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Calculo para administración

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  1. 1. GUÍA DIDÁCTICA Y MÓDULO GABRIEL JAIME POSADA HERNÁNDEZ FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, ECONÓMICAS Y CONTABLES Colombia, 2008
  2. 2. COMITÉ DIRECTIVO Fray Marino Martínez Pérez Rector Hernán Ospina Atehortúa Vicerrector Administrativo y Financiero Director de Planeación José Jaime Díaz Osorio Vicerrector Académico Francisco Javier Acosta Gómez Secretario General CÁLCULO Gabriel Jaime Posada Hernández Decana Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables: María Victoria Agudelo Vargas Corrección de estilo: SOMOS PROFESIONALES LTDA. Diseño: Colectivo Docente Facultad de Administración Impresión: Departamento de Publicaciones FUNLAM www.funlam.edu.co TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS Medellín – Colombia 2008 Cálculo 2
  3. 3. CONTENIDO GUÍA DIDÁCTICA Pág PRESENTACIÓN 8 1. IDENTIFICACIÓN 10 2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS 11 2.1. Objetivo general 11 2.2. Objetivos complementarios 11 3. UNIDADES TEMÁTICAS 12 4. METODOLOGÍA GENERAL 13 5. EVALUACIÓN INTEGRAL 14 5.1. Sistema de evaluación 14 5.2. Actividades de reconocimiento 14 5.3. Actividades de profundización 15 CÁLCULO INTRODUCCIÓN 17 JUSTIFICACIÓN 19 UNIDAD 1 1.LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES 21 1.1. Definición de límite 22 1.2. Propiedades de los límites 25 1.3. Formas indeterminadas y límites al infinito 27 1.3.1. Asíntotas horizontales de una función 30 1.3.2. Asíntotas verticales de una función 31 Cálculo 3
  4. 4. 1.4. Continuidad de una función en un punto 32 UNIDAD 2 2. DERIVADA DE FUNCIONES REALES 34 2.1. Definición 35 2.2. Incrementos y tasas 36 2.3. Definición de la derivada 40 2.3.1. Interpretación geométrica de la derivada 43 2.3.2. Reglas de derivación 46 2.3.3. Regla de la cadena 50 2.4. Derivada de las funciones logarítmica y exponencial 52 2.5. Derivadas de orden superior 57 UNIDAD 3 3. ANÁLISIS MARGINAL 60 3.1. Costo marginal 61 3.2. Ingreso marginal 63 3.3. Utilidad marginal 66 UNIDAD 4 4. OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS 70 4.1. Crecimiento y decrecimiento de una función 71 4.2. Concavidad de una función 75 4.3. Máximos y mínimos 77 4.3.1. Criterio de la primera derivada para hallar extremos 80 4.3.2. Criterio de la segunda derivada para hallar extremos 83 4.4. Bosquejo de curvas polinomiales 90 4.4.1. Intervalos de crecimiento 93 4.4.2. Puntos de inflexión 94 4.4.3. Intervalos de concavidad 95 Cálculo 4
  5. 5. 4.4.4. Ubicación de puntos e intervalos 96 UNIDAD 5 5. INTEGRAL INDEFINIDA 98 5.1. Antiderivada 99 5.2. Reglas de integración 101 5.3. Métodos de integración 109 5.3.1. Integración por sustitución 109 5.3.2. Integración por partes 111 UNIDAD 6 6. INTEGRAL DEFINIDA 116 6.1. Áreas bajo curvas 117 6.2. Propiedades de la integral definida 120 6.3. Teorema fundamental del cálculo 126 6.4. Aplicaciones de la integral definida 130 6.4.1. Coeficientes de desigualdad para distribuciones de ingreso 130 6.4.2. Curvas de aprendizaje 134 6.4.3. Maximización de la utilidad con respecto al tiempo 137 6.4.4.valor presente de un ingreso continuo 142 6.4.5. Superávit del consumidor y del productor 144 UNIDAD 7 7. CÁLCULO MULTIVARIABLE 152 7.1. Funciones de varias variables 153 7.2. Derivadas parciales 159 7.3. Optimización de funciones de varias variables 170 7.4 multiplicadores de lagrange 180 Cálculo 5
  6. 6. UNIDAD 8 8. ÁLGEBRA DE MATRICES 191 8.1. Definición 192 8.2. Operaciones de matrices 195 8.2.1. Multiplicación de una matriz por un escalar 195 8.2.2. Adición y sustracción de matrices 197 8.2.3. Multiplicación de matrices 198 8.3. Solución de sistemas de ecuaciones lineales 203 8.3.1. Matrices aumentadas 205 8.3.2. Forma reducida por filas o renglones 207 8.4. Eliminación de gauss-jordan mediante matrices 209 ESTUDIOS DE CASOS 216 ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO 219 ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN 221 BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL 235 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 236 GLOSARIO 237 RESPUESTA A PREGUNTAS FRECUENTES 239 Cálculo 6
  7. 7. Cálculo 7
  8. 8. PRESENTACIÓN Apreciado estudiante, bienvenido al programa de Administración de Empresas con énfasis en Economía Solidaria de la Fundación Universitaria Luis Amigó. Este módulo ha sido escrito teniendo presente al estudiante que ingresa en la metodología a distancia, la cual se constituye en uno de los nuevos retos y alternativas para la formación de profesionales capaces de intervenir problemáticas sociales contemporáneas, desde la aplicación de la ciencia y la tecnología con criterios éticos y de calidad. La educación a distancia responde a la necesidad de ofrecer un proceso de formación que supere obstáculos representados en grandes distancias geográficas y escasez de tiempo de personas deseosas de tener las oportunidades de desarrollo humano que brinda la educación superior. Dicha metodología exige a cada estudiante un esfuerzo investigativo, creativo e innovador soportado por la voluntad del compromiso que demanda nuestra sociedad. Por esto, para el alcance de los objetivos en este proceso formativo, más que construir un texto, se ha tratado de presentar un instrumento de comunicación académica y dinámica entre la institución y el estudiante, en el que se diferencian dos partes fundamentales: la guía de estudio y trabajo, el módulo de aprendizaje. La guía considera las orientaciones sobre el desarrollo del curso en cuanto define los elementos necesarios para la interlocución entre estudiantes y asesor, describiendo en la metodología las actividades a realizar para cada encuentro, bibliografía complementaria, Cálculo 8
  9. 9. proceso de evaluación y compromisos adquiridos por el estudiante. El módulo desarrolla el contenido conceptual básico que permite al estudiante la comprensión de los problemas potenciales en el campo administrativo. Seguros de que en dicho material se encuentran los referentes necesarios para el desarrollo de un proceso académico con calidad, le deseamos éxitos en este nuevo ciclo de su formación profesional. Cálculo 9
  10. 10. 1. IDENTIFICACIÓN Ficha técnica CURSO CÁLCULO AUTOR GABRIEL JAIME POSADA HERNÁNDEZ INSTITUCIÓN FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ UNIDAD ACADÉMICA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, ECONÓMICAS Y CONTABLES PROGRAMAS ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS, CONTADURÍA PÚBLICA, NEGOCIOS INTERNACIONALES PALABRAS CLAVE MATEMÁTICAS, FUNCIÓN, TASA, DERIVADA, INTEGRAL, ECUACIONES, MATRIZ ÁREA DE CONOCIMIENTO BÁSICA CRÉDITOS 3 (TRES) CIUDAD MEDELLÍN FECHA 20 DE JULIO DE 2007 ACTUALIZACIÓN ADICIÓN DE TEMAS APROBADA POR 2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS 2.1. Objetivo general Cálculo 10
  11. 11. Familiarizar al estudiante con los conceptos generales del cálculo, en el contexto de las disciplinas administrativa, económica y contable, para utilizarlos como herramienta matemática en los procesos que impliquen toma de decisiones en las diferentes organizaciones. 2.2. Objetivos específicos  Determinar el límite y la continuidad de una función real en un punto determinado.  Calcular e interpretar la derivada de una función real para un valor determinado.  Calcular y analizar las funciones marginales a partir de la derivada.  Aplicar los criterios de las derivadas en el bosquejo de curvas y optimización de funciones.  Solucionar problemas utilizando la integral definida.  Optimizar funciones de varias variables.  Realizar operaciones matriciales que permitan tomar decisiones en el campo administrativo. 3. UNIDADES TEMÁTICAS UNIDAD 1 Límites y continuidad de funciones reales Cálculo 11
  12. 12. UNIDAD 2 Derivada de funciones reales UNIDAD 3 Análisis marginal UNIDAD 4 Optimización y bosquejo de curvas UNIDAD 5 Integral indefinida UNIDAD 6 Integral definida UNIDAD 7 Cálculo multivariable UNIDAD 8 Álgebra de matrices 4. METODOLOGÍA GENERAL Cálculo 12
  13. 13. Para garantizar el buen desarrollo del curso se establecerán los criterios definidos en el Reglamento Estudiantil con relación a evaluación y seguimiento del portafolio personal de desempeño, entre otros. En los encuentros presenciales se hará claridad sobre aquellos conceptos que han presentado alguna dificultad en los estudiantes; para ello se utilizarán explicaciones precisas sobre el tema, ejemplos y aplicaciones. Adicionalmente, se responderán inquietudes sobre los ejercicios propuestos para ser desarrollados por los estudiantes en el tiempo destinado al trabajo independiente. El estudiante debe realizar las actividades de forma consecuente con los encuentros presenciales, para garantizar el logro de los objetivos propuestos en el curso. 5. EVALUACIÓN INTEGRAL Cálculo 13
  14. 14. 5.1. Sistema de evaluación Para la Fundación Universitaria Luis Amigó la evaluación es definida como “un proceso crítico, intencionado y sistemático de recolección, análisis, comprensión e interpretación de información que permite a los actores educativos valorar el estado en que se encuentra la formación integral de los estudiantes”, por lo cual, la evaluación se caracteriza por ser pedagógica, integral, continua, cooperativa, de perspectiva científica y de carácter ético. El Portafolio Personal de Desempeño es el instrumento de evaluación del estudiante; en él se debe llevar el registro y compendio de las diferentes actividades evaluativas y de la reflexión permanente que realiza cada estudiante sobre su proceso de formación; tiene en cuenta las responsabilidades y compromisos acordados entre docentes y estudiantes, los avances y dificultades encontradas en el proceso por cada estudiante y las sugerencias de los docentes y compañeros para la obtención de los logros propuestos. 5.2. Actividades de reconocimiento Las actividades de reconocimiento están planteadas para que el estudiante identifique los conceptos previos al desarrollo de la temática del módulo. Esto le permitirá comprender de forma rápida los conocimientos presentados en cada unidad. 5.3. Actividades de profundización Las actividades de profundización permiten al estudiante reforzar los conocimientos adquiridos en cada unidad. Estas actividades se presentan Cálculo 14
  15. 15. en forma de talleres, los cuales requieren de soluciones puntuales para los ejercicios planteados y de interpretaciones para los resultados obtenidos. Cálculo 15
  16. 16. INTRODUCCIÓN Cálculo 16
  17. 17. Desde el punto de vista histórico, el cálculo diferencial se desarrolló como respuesta al problema de hallar la recta tangente a una curva arbitraria. Pero muy pronto fue claro que, al resolver este problema, los matemáticos dispondrían de un método para resolver muchos problemas prácticos relacionados con la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra. La herramienta básica utilizada en el cálculo diferencial es la derivada de una función. A su vez, el concepto de derivada se basa en una noción más fundamental: la del límite de una función. Posteriormente, se inicia el estudio de otra rama del cálculo, conocida como el cálculo integral. En este caso hay que resolver el problema inverso: si se conoce la razón de cambio de una variable en relación con otra, ¿se puede hallar la relación entre ambas? El módulo de cálculo se ha elaborado a partir de la compilación de conceptos tratados por varios autores, entre ellos Arya y Lardner, S. T. Tan y Haeussler y Paul. Está conformado por ocho unidades temáticas, a saber: límites y continuidad, derivada de funciones reales, análisis marginal, optimización y bosquejo de curvas, integral indefinida, integral definida, cálculo multivariable y álgebra de matrices. En cada unidad se presentan las actividades de reconocimiento como un conjunto de elementos previos que el estudiante debe manejar, con el objeto de lograr un mayor entendimiento de los conceptos compartidos en dicha unidad. La temática tratada en cada unidad está desarrollada de forma didáctica y secuencial, a partir de la definición de los conceptos, presentación de Cálculo 17
  18. 18. ecuaciones correspondientes, ejemplos y, finalmente, actividades de profundización. Al final, se presenta un estudio de caso en el cual se ilustra una de las tantas maneras de la aplicación de matemáticas en el campo administrativo; además, algunas preguntas frecuentes con su respectiva respuesta, que se presentan al estudiar el cálculo. JUSTIFICACIÓN Cálculo 18
  19. 19. El desarrollo científico del siglo XXI exige una formación profesional íntegra, que reúna conocimientos, experiencia y expectativas, que permita la utilización adecuada de los recursos y herramientas del mundo actual. El estudio de la Matemática presenta grandes alternativas para el profesional de hoy, entre ellas la aplicación en el área administrativa, la cual permite relacionar fenómenos de la organización con la construcción de modelos matemáticos que den cuenta del comportamiento y las tendencias de las variables que intervienen en ella. En la actualidad, las áreas administrativas, contables y económicas requieren de un profesional con conocimientos básicos de cálculo, de tal forma que lo lleven a incursionar en el campo investigativo y en la toma de decisiones, para generar nuevos conocimientos a partir de la integración de los conceptos propios y de las diferentes áreas de estudio, que lo hagan más competente en los retos del mundo moderno. Siendo conscientes de las diferentes decisiones que se toman en la organización, es preciso que los profesionales de la FUNLAM lo hagan de manera acertada, con criterios lógicos y coherentes, apoyados en elementos matemáticos que permitan establecer modelos para facilitar la toma de decisiones en las diferentes organizaciones. Cálculo 19
  20. 20. Cálculo 20
  21. 21. 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES En esta sección se pretende estudiar los límites y continuidad de las funciones reales. Para ello, se aborda desde la definición de límites, propiedades de los límites, formas indeterminadas y límites al infinito y, por último, la continuidad de una función en un punto. OBJETIVOS 1. Comprender el concepto de Límite de funciones reales. 2. Aplicar las propiedades para el cálculo de límite de funciones reales. 3. Hallar las asíntotas horizontales y verticales de una función. 4. Evaluar la continuidad de una función real. Cálculo 21
  22. 22. 1.1. Definición de límite Tal vez ha estado usted en un estacionamiento en el que puede “aproximarse” al automóvil de enfrente, pero no quiere golpearlo ni tocarlo. Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas, y está involucrada en el concepto de límite, en el que descansa el fundamento del cálculo. Básicamente, haremos que una variable “se aproxime” a un valor particular y examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la función. Examínese lo que sucede con la función ƒ(x) = x + 3 cuando x → 2 se permite que x tome los valores 1.8, 1.9, 1.99, 1.999 y 1.9999 que, sin duda, se acercan cada vez más a 2. Los valores correspondientes de ƒ(x) están dados en la tabla 1. TABLA 1. Valores correspondientes para ƒ(x) con x menor que 2. x 1.8 1.9 1.99 1.999 1.9999 ƒ(x) 4.4 4.9 4.99 4.999 4.9999 A partir de esta tabla es claro que a medida que x se acerca a 2, ƒ(x) está cada vez más cerca de 5. Se escribe, entonces ƒ(x) → 5 cuando x → 2. Cálculo 22
  23. 23. Los valores de x considerados en la tabla 1 son menores que 2. En tal caso, decimos que x se aproxima a 2 por debajo. Podemos considerar también el caso alternativo en que x se aproxima a 2 por encima; es decir, x toma valores que están cada vez más cerca de 2 pero siempre son mayores que 2. Estos valores se presentan en la tabla 2. TABLA 2. Valores correspondientes para ƒ(x) con x mayores que 2. x 2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001 ƒ(x) 5.5 5.1 5.01 5.001 5.0001 El comportamiento de la función cuando x toma valores próximos a 2, se representa en la gráfica 1. Gráfica 1 Cálculo 23
  24. 24. En consecuencia, cuando x se aproxima a 2 por debajo o por encima, ƒ(x) = x + 3 se acerca a 5. Se dice que el límite (o valor límite) de ƒ(x) cuando x tiende a 2 es igual a 5. Esto se denota así: lim( x + 3) = 5 x →2 Definición: el límite de ƒ(x) cuando x se acerca (o tiende) a c, es el número L, escrito lím f ( x ) = L , x →C Siempre que ƒ(x) esté arbitrariamente cercana de L para toda x lo suficientemente cerca, pero diferente de c. Ejemplo: Hallar el límite de la función ƒ(x) = 4x – 7 cuando x tiende a 2. Solución: lím (4x – 7) = 4(2) – 7 = 8 – 7 = 1. x →2 1.2. Propiedades de los límites Cálculo 24
  25. 25. Los límites pueden ser calculados mediante la aplicación de las siguientes propiedades: 1. Si ƒ(x) = k, es una función constante, entonces, ƒ(x) = k=k lím lím x→C x→C Ejemplo: lím x→2 7 = 7; lím x→ 3 − 8=8 lím ( x ) = , para cualquier entero positivo n. n Cn 2. x→C Ejemplo: lím x→6 x² = 6² = 36 ƒ(x) y g(x) existe, entonces: lím lím si x→C x→C [ƒ(x) ± g(x)] = ƒ(x) ± g(x) lím lím lím 3. x→C x→C x→C Esto es, el límite de una suma o diferencia es la suma o diferencia, respectivamente, de los límites. Ejemplo: (x² + x) = x² + x = 2² + 2 = 6 lím lím lím x→2 x→2 x→2 [ƒ(x) . g(x)] = ƒ(x) . g(x) lím lím lím 4. x→C x→C x→C Esto es, el límite de un producto es el producto de los límites. Ejemplo: lím x→2 [(x + 1) (x – 3)] = lím x→2 (x + 1) . lím x→2 (x – 3) Cálculo 25
  26. 26. = [ x+ 1] . [ x - 3] lím lím lím lím x→2 x→2 x→2 x→2 = (2 + 1) . (2 – 3) = 3(-1) = -3 lim f ( x) f ( x) x →c 5. lím = , si lím g ( x) ≠ 0 x →c x→ C g ( x) lim g ( x) x →c Esto es, el límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el denominador no tenga un límite de 0. 2x² + x - 3 2(1)² +(1) - 3 0 Ejemplo: lím x→1 = (1)³ +4 = =0 x³ + 4 5 [k ƒ(x)] = k [ ƒ(x)], donde k es una constante. lím lím 6. x→C x→C Esto es, el límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función. Ejemplo: lím x→ 2 − 3x³ = 3 . lím x→ 2 − x³ = 3(-2)³ = -24 7. lím n f ( x) = x →c n lím f ( x) , con x →c lím f ( x ) x→c positivo si n es par. Ejemplo: lím x + 3 = lím( x + 3) = 3 + 3 = 6 x →3 x →3 1.3. Formas indeterminadas y límites al infinito Cálculo 26
  27. 27. Con frecuencia se encuentran límites cuyo cálculo por sustitución directa dé como resultado formas indeterminadas, tales como ∞−∞, 0. ∞, 0/0, ∞ ∞ , entre otras. Estos límites deben ser calculados mediante operaciones algebraicas sobre ƒ(x), de modo que se obtenga una forma en la cual las propiedades de los límites puedan aplicarse. Ejemplo: lím (x² −1) Determinar x →−1 x +1 Solución: Cuando x → -1, tanto el numerador como el denominador se aproximan a cero. Ya que el límite del denominador es 0, no puede utilizarse la propiedad 5. Sin embargo, se puede simplificar la fracción: (x² −1) (x −1) (x +1) x +1 = x +1 =x–1 Esta manipulación algebraica (factorización y cancelación), sobre la función original, da lugar a una nueva función, que es igual a la función original. Por tanto, (x² −1) (x −1) (x +1) lím x→ 1 − x +1 = lím x→ 1 − = lím x→ 1 − (x – 1) = -1 –1 = - 2 x +1 Observar que, aunque la función original no está definida en –1, tiene un límite cuando x → -1. Cálculo 27
  28. 28. Para el caso de fracciones con radicales, la indeterminación se evita racionalizando el numerador y/o el denominador. 1 Otra forma indeterminada es lím x→0 , la cual toma valores de - ∞ cuando se x aproxima a x por la izquierda, y + ∞ cuando se aproxima por la derecha. En muchos casos se desea saber qué pasa con los valores de f(x) cuando x se hace cada vez mayor, lo cual se denota: ƒ(x) lím x→∞ Al igual que en el caso en que x tiende a un número finito c, el límite de ƒ(x) puede ser finito ( lím ƒ(x) = L) o no puede ser finito ( lím ƒ(x) = x →∞ x →∞ ∞ ). En este último caso, la indeterminación ∞ ∞ se resuelve dividiendo numerador y denominador de la función entre la potencia de mayor grado. Ejemplo: x +1 Calcular lím x→ ∞ x² +4 Se dividen todos los términos del numerador y denominador por x² Cálculo 28
  29. 29. x 1 1 1 + + lím x² x² = lím x x² = 0 +0 = 0. x →∞ x² 4 x →∞ 4 1 +0 + 1 + x² x² x² 1.3.1. Asíntotas horizontales de una función Para determinar las asíntotas horizontales de una función hay que calcular, cuando exista, el límite de f (x ) cuando x tiende a + ∞ o a − ∞ . Los valores finitos de estos límites determinan las asíntotas horizontales. La función f (x ) tiene por asíntota horizontal la recta de ecuación y = b cuando existe al menos uno de los límites laterales de la función , tiende a dicho punto y vale +∞ o −∞. lím f ( x) = b ∨ lím f ( x) = b − x→ + ∞ x → −∞ Ejemplo x2 Hallar las asíntotas horizontales de la función f ( x) = x 2 − 36 Solución: Cálculo 29
  30. 30. Cuando x tiende a + ∞ , la función va tomando valores cada vez más próximos a 1. Es decir, x2 lím = =1 x →+∞ x 2 − 36 En este caso, la recta de ecuación y = 1 es una asíntota horizontal de la función. 1.3.2. Asíntotas verticales de una función La función f (x ) tiene por asíntota vertical la recta de ecuación x=a cuando existe al menos uno de los límites laterales de la función , tiende a dicho punto y vale +∞ ó −∞. lím f ( x) = ± ∞ ∨ lím f ( x) = ± ∞ − x→ a + x→ a − Ejemplo: x2 Hallar las asíntotas verticales de la función f ( x) = x 2 − 36 Observar que cuando x tiende a 6 + la función tiende a + ∞ , y cuando x tiende a 6 − , la función tiende a −∞. En este caso, la recta de la ecuación x = 6 es una asíntota vertical de la función. Cuando x tiende a −6+ la función tiende a −∞ y cuando x tiende a −6 − la función tiende a + ∞ , luego: Cálculo 30
  31. 31. x2 x2 lím+ = = +∞ lím− = =−∞ x → −6 x 2 − 36 x → −6 x 2 − 36 La recta de ecuación x = -6 es asíntota vertical. 1.4. Continuidad de una función en un punto Muchas funciones tienen la propiedad de que no hay “cortes“ en sus gráficas. A este tipo de funciones se les denomina funciones continuas. Definición: una función ƒ(x) es continua en c si y sólo si cumple las tres condiciones siguientes: 1. ƒ(x) está definida en x = c; esto es, c está en el dominio de ƒ(x). 2. lím ƒ(x) existe. x →C 3. lím ƒ(x) = ƒ(c). x →C Si ƒ está definida en un intervalo abierto que contenga a c, excepto tal vez en ella misma, y ƒ(x) no es continua en c, entonces, se dice que ƒ(x) es discontinua en c, y c es llamado punto de discontinuidad. Ejemplo: Demostrar que ƒ(x) = x² - 3 es continua en – 4. Solución: 1. La función ƒ(x) está definida en x = - 4 ( - 4 pertenece al dominio). Cálculo 31
  32. 32. 2. lím ( x² - 3) = (- 4)² - 3 = 13 (existe). x→ 4 − 3. ƒ(- 4) = (- 4)² - 3 = 13 (igual al límite). Por tanto, ƒ(x) es continua en x = - 4. Cálculo 32
  33. 33. Cálculo 33
  34. 34. 2. DERIVADA DE FUNCIONES REALES Uno de los problemas principales de que se ocupa el cálculo es el de encontrar la pendiente de la recta tangente a un punto sobre una curva, entendida ésta como la recta que toca la curva en un solo punto. OBJETIVOS 1. Calcular el incremento, la tasa de cambio relativa a una función. 2. Interpretar la derivada de una función real. 3. Aplicar las reglas de derivación para el cálculo de la derivada de una función real. 4. Calcular e interpretar la derivada de las funciones logarítmica y exponencial. 5. Calcular las derivadas de orden superior de una función real. Cálculo 34
  35. 35. 2.1. Definición La pendiente de una curva en un punto P es la pendiente, en caso de que exista, de la recta tangente en P. De tal forma que: f ( x + ∆x) − f ( x) mPQ = lím ∆x →0 ∆x Donde m PQ es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P, como se visualiza en la gráfica 2. Gráfica 2 Cálculo 35
  36. 36. 2.2. Incrementos y tasas Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces, el cambio en el valor x, que es x2 - x1 , se denomina el incremento de x y se denota por ∆x. De tal forma que ∆x = x2 - x1 (ver gráfica 3). Se usa la letra griega ∆ (delta) para denotar un cambio o incremento de cualquier variable. Gráfica 3 Sea y una variable que depende de x tal que y = f(x) está definida por todo valor de x entre x1 y x2 . Cuando x = x1 , y tiene el valor y1 = f(x1 ). De manera similar, cuando x = x2 , y tiene el valor y2 = f(x2 ). Así, el incremento de y es: ∆y = y2 - y1 ∆y = f(x2 ) - f(x1 ) Cálculo 36
  37. 37. Resolviendo la ecuación ∆x = x2 - x1 para x2 , se tiene x2 = x1 + ∆x. Usando este valor de x2 en la definición de ∆y , se obtienen: ∆y = f(x1 + ∆x) - f(x1 ) Dado que x1 puede ser cualquier valor de x, se puede suprimir el subíndice y escribir: ∆ y = f(x + ∆x) - f(x ) En forma alternativa, dado que ƒ(x) = y, se puede escribir: y +∆y = f(x + ∆x) Ejemplo: Dada ƒ(x) = x² , calcular ∆y si x = 1 y ∆x = 0.2. Solución: Sustituyendo los valores de x y ∆x en la fórmula de ∆y, se obtiene: ∆y = f(x + ∆x) - f(x ) = f(1 + 0.2) - f(1 ) = f(1.2) - f(1 ) = f(1.2)² - f(1 )² = 1.44 – 1 = 0.44 Cálculo 37
  38. 38. Así que, un cambio de 0.2 en el valor de x, da como resultado un cambio en y de 0.44. La tasa de cambio promedio de una función ƒ, sobre un intervalo de x a d ( y) (x + ∆x), se define por la razón d ( x ) . Por tanto, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x es: ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) = ∆x ∆x Ejemplo: Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas de cierto fertilizante está dado por C(x) = 20.000 + 40x pesos, y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas está dado por R(x) = 100x – 0.01 x². La compañía, actualmente, produce 3.100 toneladas por semana, pero está considerando incrementar la producción a 3.200 toneladas por semana. Calcular los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determinar la tasa de cambio promedio de la utilidad para las toneladas extra producidas. Cálculo 38
  39. 39. Solución: El primer valor de x es 3.100 y (x + ∆x) es 3.200 ∆C = C(x + ∆x) - C(x) = C(3200) - C(3.100) = [20.000 + 40(3.200)] - [20.000 + 40(3.100)] = 148.000 – 144.000 = 4.000 ∆R = R(x + ∆x) - R(x) = R(3.200) - R(3.100) = [100(3.200) – 0.01(3.200)²] - [100(3.100) 0.01(3.100)²] = 217.600 – 213.900 = 3.700 De modo que los costos se incrementan en $4.000, bajo el incremento dado en la producción, mientras que los ingresos se incrementan en $3.700. A partir de estos resultados, es claro que la utilidad debe decrecer en $300. Se puede advertir esto con más detalle si se considera que las utilidades obtenidas por la empresa son iguales a sus ingresos menos sus costos, de modo que la utilidad P(x) por la venta de x toneladas de fertilizantes es: P(x) = R(x) - C(x) = 100x – 0.01x² - (20.000 + 40x) = 60x – 0.01x² - 20.000 Cálculo 39
  40. 40. En consecuencia, el incremento en la utilidad cuando x cambia de 3.00 a 3.200 es: ∆P = P(3.200) - P(3.100) = [60(3.200)–0.01(3.200)²-20.000] –[60(3.100)–01(3.100)²-20.000] = 69.600 – 69.900 = -300 Así pues, la utilidad decrece en $300. La tasa de cambio promedio de la utilidad por tonelada extra es: ∆P − 300 ∆x = 100 = -3 En donde ∆x = 3.200 – 3.100 = 100. De modo que la utilidad decrece en un promedio de $3 por tonelada bajo el incremento dado en la producción. 2.3. Definición de la derivada Sea y = ƒ(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada por dy / dx, se define por: dy ∆y dy f ( x + ∆x) − f ( x) = lím Δ x →0 ó bien = lím Δ x →0 dx ∆x dx ∆x A la derivada también se le llama coeficiente diferencial y la operación de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación. Cálculo 40
  41. 41. Si la derivada de una función existe en un punto en particular, se dice que f es diferenciable en tal punto. La derivada de y = f(x) con respecto a x también se denota por uno de los símbolos siguientes: d ( y) d( f ) d ( x) , d ( x) , y’ , ƒ’(x) , D y, x Dx f Con el propósito de calcular la derivada dy/dx, se procede de la siguiente manera: 1. Se calcula y = ƒ(x) y y + ∆y = ƒ(x + ∆x) 2. Se resta la primera cantidad de la segunda a fin de obtener ∆y y se simplifica el resultado. 3. Se divide ∆y entre ∆x y se toma el límite de la expresión resultante cuando ∆x → 0 El valor de dy / dx depende de la elección de x. Esto se enfatiza cuando se utiliza la notación ƒ’(x), la cual indica que la derivada ƒ’(x) es una función de x. El valor de la derivada en un punto particular, por ejemplo, x = 2, entonces es ƒ’(2). Ejemplo: Cálculo 41
  42. 42. Durante un periodo de 10 años, de 1970 a 1980, se encontró que la población de cierto país estaba dada por la fórmula: ƒ(x) = 1 + 0.03x + 0.001x2 Donde y está en millones y x es el tiempo medido en años desde 1970. Determinar y‘ (5). Solución: 2 Sea y = ƒ(x) = 1 + 0.03x + 0.001x . Entonces, 2 y + ∆y = ƒ(x + ∆x) = 1 + 0.03(x + ∆x) + 0.001(x + ∆x) 2 2 = 1+0.03x + 0.03∆x + 0.001[ x + 2x∆x + (∆x) ] 2 =1+0.03x + 0.03∆x + 0.001x2 + 0.002x∆x + 0.001(∆x) Restando y de y + ∆y, se tiene: ∆y=1+0.03x + 0.03∆x + 0.001x2+0.002x∆x + 0.001(∆x)2 - [ 1+ 0.03x + 0.001x2] ∆y = 1+0.03x + 0.03∆x + 0.001x2+0.002x∆x + 0.001(∆x)2 - 1- 0.03x - 0.001x2 ∆y = 0.03∆x + 0.002x∆x + 0.001(∆x)2 ∆y = ∆x (0.03 + 0.002x + 0.001∆x) ∆y Y así = 0.03 + 0.002x + 0.001∆x ∆x d ( y) Por lo que d ( x ) = lím Δ x →0 = lím Δ x →0 (0.03 + 0.002x + 0.001∆x) = 0.03 + 0.002x Esto es, ƒ’(x) = 0.03 + 0.002x Cuando x = 5, ƒ’(5) = 0.03 + 0.002(5) = 0.04 millones de habitantes. Cálculo 42
  43. 43. 2.3.1. Interpretación geométrica de la derivada d ( y) Como se mencionó, inicialmente, para la función y = ƒ(x) la derivada d ( x ) representa la tasa de cambio de y con respecto a x. Además de esta clase de aplicación, la derivada también tiene una interpretación desde el punto de vista geométrico. Si P y Q son dos puntos (x, ƒ(x)) y (x +∆x , ƒ(x + ∆x)) sobre la gráfica y = ƒ(x), entonces, la razón ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) = ∆x ∆x Representa la pendiente del segmento de recta PQ. A medida que ∆x se hace más y más pequeño, el punto Q se aproxima cada vez más a P y el segmento secante PQ está cada vez más cerca de ser tangente. Cuando ∆x → 0, la pendiente de la secante PQ se aproxima a la pendiente de la recta tangente en P. Así que: ∆y dy lím Δ x →0 = ∆x dx Representa la pendiente de la recta tangente a y = ƒ(x) en el punto P(x, ƒ(x)). Con tal de que la curva y = ƒ(x) sea “suave” en P; esto es, si se puede dibujar una tangente que no sea vertical en P, el límite existirá. Cálculo 43
  44. 44. Gráfica 4 En consecuencia, la derivada de una función será la pendiente de la recta tangente a la función en un punto determinado. Ejemplo: Determinar la pendiente de la tangente y la ecuación de la recta tangente a la gráfica y = ƒ(x) = x en el punto (4,2) y en el punto (¼,½). Solución: La pendiente de la recta tangente será la derivada de ƒ(x). Es decir, Cálculo 44
  45. 45. 1 1 1 ƒ’(x) = 2 x . Cuando x = 4, ƒ’(4) = 2 4 = 4 . Lo cual significa que la 1 pendiente de la tangente en el punto (4,2) es . 4 Para obtener la ecuación de la recta tangente, se puede utilizar la fórmula punto-pendiente: y - y1 = m(x-x1) Con pendiente m = ¼ y (x1,y1) = (4,2) 1 Cuando x = ¼, ƒ’(¼) = 2 ¼ = 1. Por lo cual la pendiente de la tangente en (¼,½) es 1. Con base en la fórmula punto-pendiente, la ecuación es: y- ½ = 1. (x - ¼) ó y = x + ¼ 2.3.2. Reglas de derivación Hallar la derivada de una función aplicando la definición por medio de límite no siempre es fácil; en ocasiones, y en especial en el campo administrativo, se presentan funciones con algunos niveles de complejidad para obtener su Cálculo 45
  46. 46. derivada. Sin embargo, existen técnicas útiles para solucionar este tipo de inconvenientes. Teorema 1: “La derivada de cualquier potencia constante de x es la potencia de x reducida en 1 y multiplicada por el exponente original”. n dy n −1 Si y = x , entonces dx = f ' ( x) = n x Ejemplo: Hallar la derivada de: 1. y = ƒ(x) = x7 Solución: ƒ’(x) = 7x6 1 2. y = ƒ(t) = t 1 1 Solución: ƒ(t) = t -1/2 , ƒ’(x) = - 2 t -1/2-1 = - 2 t - 3/2 Teorema 2: “La derivada del producto de una constante por una función de x es igual al producto de la constante por la derivada de la función”. Si u(x) es una función diferenciable de x y c es una constante, d du entonces c(u) = c = cƒ’(u) dx dx Cálculo 46
  47. 47. Ejemplo: 3 Hallar la derivada de y = ƒ(x) = 5x ƒ’(x) = 5.3x2 = 15 x2 Teorema 3: “La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones” Si u(x) yv (x) son funciones diferenciables de x, d du dv entonces (u+ v ) = + = ƒ’(u) + ƒ’( v ). dx dx dx Ejemplo: Hallar la derivada de y = ƒ(x) = x2 + x d d 1 Solución: ƒ’(x) = dx (x2) + dx (x1/2) = 2x + 2 x-1/2 Teorema 4: “La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda más la primera función por la derivada de la segunda”. Si u(x) y v (x) son funciones diferenciables de x, se sigue que d du (u. v ) = v + u dv = ƒ’(u).ƒ( v ) +ƒ(u).ƒ’( v ) dx dx dx Cálculo 47
  48. 48. Ejemplo: 2 Calcular la derivada si y = (5x - 3x)(2x³ + 8x + 7) Solución: La función dada y puede escribirse como un producto y = u v si hacemos. 2 u = 5x - 3x y v = 2x³ + 8x + 7 Calculando las derivadas se tiene que: u' = 10x – 3 y v ' = 6 x2 + 8 Por consiguiente, y' = u' v + u v ' 2 2 = (10x – 3)( 2x³ + 8x + 7) + (5x - 3x)( 6 x + 8) 4 2 = 50x – 24x³ + 120x + 22x – 21 Teorema 5: “La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador”. Si u(x) y v (x) son funciones diferenciables de x, se sigue que du dv d u v−u f ' (u ).v − u. f ' (v) ( )= dx dx = 2 dx v 2 v v Cálculo 48
  49. 49. Ejemplo: x² +1 Calcular la derivada de y = x³ + 4 Solución: Inicialmente se seleccionan u y v , tales que y = u/ v . En este caso U = x² + 1 y v = x³ + 4 Entonces, f ' (u ) = u' = 2x y f ' (v ) = v ' = 3x2 Finalmente, aplicando el teorema se tiene: (2 x)( x 3 + 4) − ( x 2 +1)(3 x 2 ) 2 x 4 + 8 x − (3 x 4 + 3 x 2 ) − x 4 − 3x 2 + 8 x y' = ( x 3 + 4) 2 = ( x 3 + 4) 2 = ( x 3 + 4) 2 2.3.3. Regla de la cadena La regla de la cadena es una de las herramientas más útiles en derivación de funciones, pues se utiliza cuando se deriva una función compuesta de dos o más funciones simples. Sea y = f (u ) una función de u y u = g ( x ) una función de x. Entonces, se puede escribir: y = f [ g (x )] Cálculo 49
  50. 50. Que representa a y como una función x, denominada la función composición de f y g . Se denota por ( f  g )( x) Teorema 6: “La derivada de una función compuesta es la derivada de la función externa por la derivada de la función interna”. Si y = [u ( x )] n , entonces dy du = nu n −1 dx dx Ejemplo: Calcular la derivada de y = ( x 2 +1) 5 Solución: Se define la parte externa de la función como ( x 2 +1) 5 y la parte interna como x 2 +1 En consecuencia, la derivada externa será 5( x 2 +1) 4 y la derivada interna será 2 x . dy Por lo tanto, = (derivada externa)(derivada interna). dx = [5( x 2 + 1) 4 ](2 x) Cálculo 50
  51. 51. 2.4. Derivada de las funciones logarítmica y exponencial Una función del tipo y = a x (a > 0, a ≠ 1) se denomina una función exponencial. Cuando a >1, la función se conoce como una función exponencial creciente, mientras que si a <1, se llama una función exponencial decreciente. El número a que aparece en la función exponencial y = a x se conoce como la base. Ésta puede ser cualquier número real positivo excepto 1 (por que se convertiría en una función constante). Con frecuencia es útil usar como base un número irracional denotado por e , el cual está dado hasta cinco cifras decimales: Cálculo 51
  52. 52. e = 2.71828. La función exponencial correspondiente se denota por ex y se denomina la función exponencial natural. Sea la función y = f ( x) = a u , donde u es función de x, entonces du y ' = a u . ln(a ). dx Ejemplo: Hallar la derivada de la función y = f ( x) = 5 3 x Solución: La función y = f ( x) = 5 3 x presenta como base 5 y exponente 3x. Por tanto, la derivada será: y ' = 5 3 x . ln(5).3 = 3.5 3 x . ln(5) Definición: Sea la función y = f ( x) = e u , donde u es función de x, entonces du y' = e u . dx Ejemplo: Cálculo 52
  53. 53. 2 Hallar la derivada de la función y = e 3 x Solución: 2 La función y = e 3 x presenta como base e y exponente 3x 2 . Por tanto, la derivada será: 2 2 y ' = e 3 x .6 x = 6 x.e 3 x La inversa de una función f (x ) se obtiene resolviendo la ecuación y = f (x ) −1 para x, de modo que se exprese a x como función de y : x = f ( y ) . Se puede considerar la posibilidad de construir la inversa de la función a x . Con el propósito de lograrlo, se debe resolver la ecuación y = a x para x. Tal ecuación no puede resolverse en términos de las funciones que conocemos hasta el momento. Se escribe la solución en la forma x = log a ( y ) , la cual denominamos logaritmo de y con base a. x = log a ( y ) si y sólo si y = a x La función a x sólo está definida cuando a > 0. Además, cuando a = 1, entonces 1x = 1 para todo x, en consecuencia, esta función no puede tener una inversa. Por tanto, en estas definiciones a puede ser cualquier número positivo excepto 1. Cuando la base del logaritmo es 10, por convención, se denota log10 = log . Cálculo 53
  54. 54. También se pueden formar logaritmos con base e . Éstos se denominan logaritmos naturales (o logaritmos neperianos). Se denotan con el símbolo ln y se definen como: y = ex, x = log e ( y ) = ln( y ) Esto es, la función x = ln( y ) es la inversa de la función y = e x . Definición: Sea la función y = f ( x) = log a (u ) , donde u es función de x, entonces 1 du y' = . log a (e). u dx Ejemplo: Hallar la derivada de la función y = log x 2 . Solución: Cálculo 54
  55. 55. Aplicando la definición, se encuentra que la derivada para la función es: 1 2 y' = 2 . log(e).2 x = log(e) x x Definición: Sea la función y = f ( x) = ln(u ) , donde u es función de x, entonces 1 du y' = . u dx Ejemplo: Hallar la derivada de la función y = f ( x) = ln( x 3 ) . Solución: Aplicando la definición, se encuentra que la derivada para la función es: 1 3 y' = 3 .3 x 2 = x x Cálculo 55
  56. 56. 2.5. Derivadas de orden superior dy Sea y = f (x ) una función dada con derivada = f ' ( x ) . A ésta, se le llama dx la primera derivada de y con respecto a x. Si f ' ( x) es una función diferenciable, su derivada se conoce como la segunda derivada de y con respecto a x. Si la segunda derivada es una función diferenciable, su derivada se conoce como la tercera derivada de y con respecto a x, etcétera. Si y = f (x ) es una función derivable, entonces dy La primera derivada será: y' ó f ' ( x) ó dx d2y La segunda derivada será: y ' ' ó f ' ' ( x) ó dx 2 d3y La tercera derivada será: y' ' ' ó f ' ' ' ( x) ó dx 3 dny La enésima derivada será: y n ó f n ( x) ó dx n Ejemplo: Cálculo 56
  57. 57. Calcular la primera derivada y las de orden superior de la función y = f ( x) = 3x 4 − 5 x 3 + 7 x 2 − 1 . Solución: La primera derivada de la función será: y ' = f ' ( x ) = 12 x 3 −15 x 2 +14 x La segunda derivada será la derivada de la primera derivada: y ' ' = f ' ' ( x) = 36 x 2 − 30 x +14 La tercera derivada será la derivada de la segunda derivada: y ' ' ' = f ' ' ' ( x ) = 72 x − 30 La cuarta derivada será la derivada de la tercera derivada: d4y = 72 dx 4 La quinta derivada será la derivada de la cuarta derivada: d5y =0 dx 5 Cálculo 57
  58. 58. Cálculo 58
  59. 59. 3. ANÁLISIS MARGINAL El análisis marginal es el estudio de la razón de cambio de cantidades económicas; por ejemplo, un administrador no se preocupa sólo por el valor del producto interno bruto (PIB) de una economía en un instante dado, sino también por la razón por la que aumenta o disminuye. En el mismo sentido, un fabricante no sólo se interesa en sus gastos totales correspondientes a cierto nivel de producción de un artículo, sino también en la razón de cambio de los gastos totales con respecto al nivel de producción. OBJETIVOS 1. Calcular e interpretar la función de costo marginal. 2. Calcular e interpretar la función de costo promedio. 3. Calcular e interpretar la función de ingreso marginal. 4. Calcular e interpretar la función de utilidad marginal. Cálculo 59
  60. 60. 3.1. Costo marginal El costo marginal se define como el valor límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero. Así, se puede pensar el costo marginal como el casto promedio por artículo extra cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida. Es decir, es el costo adicional al producir un artículo extra por encima de un límite de producción. De tal forma que, si se define c(x) como el costo total en función del número de artículos producidos x, el costo marginal se define por: lím ∆ = lím c( x + ∆x) − c( x) Costo marginal = ∆x → c 0 ∆x ∆x →0 ∆x Es claro que esta ecuación no es otra cosa que la derivada de la función de costo con respecto a la cantidad producida. dc Costo marginal = dx El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de la cantidad producida. Nota: para hallar el costo marginal se aplica los teoremas de derivación. Cálculo 60
  61. 61. Ejemplo: Para el caso de la función de costo C ( x) = 0.001x 3 − 0.3 x 2 + 40 x +1000 determinar el costo marginal como una función de x, y evaluarlo cuando la producción está dada por 50 artículos. Solución: La función de costo marginal será la derivada de C(x). Por tanto, Costo marginal = C’(x) = 0.001(3x 2 ) −0.3(2x) +40(1) +0 = 0.003x 2 −0.5x + 40 El costo marginal cuando se han producido 50 unidades está dado por: C' (50) = 0.003(50)2 − 0.5(50) + 40 = 7.5 – 30 + 40 = 17.5 Puede decirse que el costo adicional de producir el artículo 51 es de $ 17.5 Es importante no confundir el costo marginal con el costo promedio. Si C (x ) es la función de costo, el costo promedio de producir x artículos es el costo total, C (x) , dividido entre el número de artículos producidos. C ( x) Costo promedio por artículo = C ( x ) = x Ejemplo: Cálculo 61
  62. 62. Sea la ecuación de costo c( x) =1000 +10 x + 0.1x 2 , hallar el costo promedio cuando se producen 100 artículos. Solución: El costo promedio de producir 100 artículos será: 1000 + 10(100) + 0.1(100) 2 1000 + 1000 + 1000 C (100) = = = 30 100 100 Esto es, el costo promedio por artículo cuando se producen 100, es de $ 30. 3.2. Ingreso marginal Considerando los ingresos derivados de la venta de los productos o servicios de una empresa como R(x), se define el ingreso marginal como la derivada R’(x). ∆R Ingreso marginal = R ' ( x) = ∆x →0 lím ∆x Si el número de artículos vendidos se incrementa de x a x + ∆x , entonces, existe un incremento correspondiente en el ingreso dado por: Cálculo 62
  63. 63. ∆R = Nuevo ingreso – Ingreso original = R ( x + ∆x) − R ( x) El incremento promedio en el ingreso por artículo adicional vendido, se obtiene dividiendo ∆R entre el número de artículos adicionales, lo que da ∆R → ∆x . El valor límite de este promedio cuando ∆x 0 da el ingreso marginal. Así pues, el ingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por artículo adicional vendido cuando ocurre un incremento muy pequeño en el número de artículos vendidos. Esto es, la tasa con la que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen de ventas. Ejemplo: Si la función de ingreso está dada por R ( x) =10 x − 0.01x 2 , donde x es el número de artículos vendidos, determinar el ingreso marginal y evaluarlo cuando se venden 200 artículos. Solución: La función de ingreso marginal será la derivada de R(x). Por lo cual, R’(x) = 10 –0.01(2x) R’(200) = 10 – 0.02(x) R’(200) = 10 – 0.02(200) R’(200) = 10 – 4 = 6 Así que, producir el artículo 201 genera un ingreso adicional de $ 6. Cálculo 63
  64. 64. Cálculo del ingreso marginal a partir de la ecuación de demanda La función de ingreso puede escribirse como: R ( x ) = xp Donde p es el precio por artículo y x es el número de artículos vendidos. La relación entre x y p está dada por la ecuación de demanda. Mientras más artículos pueda vender la empresa, más bajo puede fijar el precio; entre más alto se fije el precio, en general, menor será el volumen de las ventas. Ejemplo: Determinar el ingreso marginal cuando x = 300 si la ecuación de demanda es: X = 1000 - 100p. Solución: De la ecuación de demanda se debe expresar a p como una función de x. 100p = 1000 – x p = 10 – 0.01x Así, la función de ingreso está dada por: R ( x ) = xp = x(10 –0.01x) = 10x – 0.01x² Cálculo 64
  65. 65. Por lo cual, R’(x) = 10 –0.02(x) Cuando el volumen de ventas es 300, el ingreso marginal está dado por: R’(300) = 10 –0.02(300) = 10 – 6 = 4. Así que, producir el artículo 301 genera un ingreso adicional de $4. 3.3. Utilidad marginal La utilidad que una empresa obtiene está dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. Si la función de ingreso es R(x) cuando se venden x artículos y la función de costo es C(x) al producirse esos mismos x artículos, entonces la utilidad P(x) obtenida por producir y vender x artículos está dada por: P(x) = R(x) - C(x) La derivada P’(x) se denomina utilidad marginal. Representa la utilidad adicional por artículo, si la producción sufre un pequeño incremento. Ejemplo: La ecuación de demanda de cierto artículo es: p + 0.1x = 180 Y la función de costo es: Cálculo 65
  66. 66. C(x) = 5000 + 20x. Calcular la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades. Solución: La función de ingreso está dada por: R(x) =xp = x(80 – 1.0x) = 80x – 1.0x² Por consiguiente, la utilidad generada por la producción y venta de x artículos está dada por: P(x) = R(x) - C(x) = (80x - 1.0x²) – (5.000 + 20x) = 60x – 0.10x² - 5.000 La utilidad marginal es la derivada P’(x). P’(x) = 60 – 0.2x Si x = 150, se obtiene P’(150) = 60 – 0.2(150) = 30 Cálculo 66
  67. 67. Así pues, cuando se producen y venden 150 artículos, la utilidad marginal, es decir, la utilidad extra cuando se produce un artículo adicional por encima de 150 es de $30. Cálculo 67
  68. 68. 4. OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS OBJETIVOS Cálculo 68
  69. 69. 1. Hallar los intervalos de crecimiento de una función real. 2. Hallar los intervalos de una concavidad de una función real. 3. Calcular los valores extremos de una función (máximo y mínimo) a partir de la derivada. 4. Bosquejar la gráfica de una función a partir de la derivada. 4.1. Crecimiento y decrecimiento de una función Una función y = f (x ) se dice que es una función creciente sobre un intervalo de valores de x si, y crece al incrementarse la x. Esto es, si x1 y x2 son dos Cálculo 69
  70. 70. valores cualesquiera en un intervalo dado con x1 > x2, entonces, f (x2) > f (x1). Una función y = f (x ) se dice que es una función decreciente sobre un intervalo de valores de x, si y decrece al incrementarse la x. Es decir, si x2 > x1 son dos valores de x en un intervalo dado, entonces f ( x2) < f ( x1). Definición: Si y = f (x ) es una función diferenciable en un intervalo dado, entonces, f (x ) es creciente en el intervalo en el cual f ' ( x ) > 0 , y es decreciente en el intervalo en el cual f ' ( x) < 0 . El valor x = c se denomina punto crítico para una función continua f (x ) si f (c) está bien definida y si f ' (c ) = 0 ó f ' ( x) no existe en x = c . El punto crítico es el punto en el cual existe cambio de crecimiento; es decir, deja de ser creciente para convertirse en decreciente o viceversa. Se calcula hallando los valores de x que hacen a f ' ( x) = 0. Ejemplo: Hallar los puntos críticos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y = f ( x) = ( x 2 −1) 2 . Solución: Cálculo 70
  71. 71. Para hallar los puntos críticos e intervalos de crecimiento y decrecimiento se debe iniciar con el cálculo de la primera derivada: f ' ( x ) = 4 x ( x 2 −1) Los puntos críticos son aquellos que hacen a f ' ( x) = 0, por tanto, 4 x ( x 2 −1) = 0 4 x ( x −1)( x +1) = 0 Donde, x = 0, x = 1, x = -1 Luego, al reemplazar en la función los valores de x para los cuales f ' ( x) = 0, se obtiene: y = f (0) = (0 2 − 1) 2 = 1 y = f (1) = (12 −1) 2 = 0 [ ] y = f ( −1) = ( −1) 2 − 1 = 0 2 En consecuencia, los puntos críticos serán (0, 1), (1, 0) y (-1, 0). Los valores de la coordenada x de los puntos críticos dividen la recta real en cuatro intervalos Cálculo 71
  72. 72. (- ∞ , -1), (-1, 0), (0, 1) y (1, + ∞ ). Intervalo (- ∞ , -1) (-1, 0) (0, 1) (1, + ∞ ) Punto de prueba -2 -0.5 0.5 2 f ' ( x ) = 4 x ( x 2 −1) [ 4( − ) ( − ) 2 2 2 ] −1 0 [ 4( − .5) ( − .5) 2 − 0 1 ] [ 4(0.5) (0.5) 2 −1 ] 4( 2)[( 2) 2 −1] <0 >0 <0 >0 f (x ) Decrece Crece Decrece Crece -∞ -1 0 1 +∞ En cada uno de estos intervalos, f ' ( x) tiene signo constante, sólo cambia en los valores de x =-1, x = 0 y x = 1. Así, que sólo se selecciona un punto de prueba en cada intervalo y se calcula el signo de f ' ( x) para cada intervalo. Los resultados obtenidos son los siguientes: Se observa que f ' ( x) > 0 en (-1, 0) y en ( 1, + ∞ ), así que la función es creciente en estos intervalos. En (- ∞ , -1) y en (0, 1), f ' ( x) < 0, así que la función es decreciente en estos intervalos. Cálculo 72
  73. 73. 4.2. Concavidad de una función La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo. Definición: si f (x ) es una función cuya segunda derivada existe en un intervalo dado, entonces: si f ' ' ( x ) > 0 para todo x en el intervalo dado, la función f (x ) es cóncava hacia arriba en dicho intervalo. si f ' ' ( x ) < 0 para todo x en el intervalo dado, la función f (x ) es cóncava hacia abajo en dicho intervalo. Cálculo 73
  74. 74. El punto de inflexión de una curva es el punto en donde la curva cambia de concavidad; es decir, cambia de ser cóncava hacia arriba para ser cóncava hacia abajo o viceversa. El punto de inflexión se calcula hallando los valores de x que hace a f ' ' ( x) = 0 Ejemplo: Hallar puntos de inflexión y concavidad de la función y = f ( x) = x 3 − 3x + 1 Solución: Los puntos de inflexión se hallan a partir de los valores de x que hacen f ' ' ( x) = 0 , por tanto, f ' ( x) = 3 x 2 − 3 f ' ' ( x) = 6 x 6x = 0 x =0 El valor de 0 corresponde a la coordenada x del punto de inflexión, y la coordenada y será: y = f (0) = 0 3 − 3(0) + 1 = 1 Luego, el punto de inflexión está representado por (0, 1) Cálculo 74
  75. 75. Para obtener los intervalos de concavidad, se toma el valor de x del punto de inflexión, el cual divide la recta numérica en dos intervalos (- ∞ , 0) y (0, + ∞ ). En cada uno de estos intervalos f ' ' ( x ) tiene signo constante, así que se elige un punto de prueba conveniente y se calcula el signo de f ' ' ( x ) en este punto. Esto determina el signo de f ' ' ( x ) en todo el intervalo. -∞ 0 +∞ Los resultados para la concavidad del ejercicio son los siguientes: Intervalo (- ∞ , 0) (0, + ∞ ) Punto de prueba -3 4 f ' ' ( x) = 6 x 6(-3) < 0 6(4) > 0 Concavidad Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba 4.3. Máximos y mínimos Muchas de las aplicaciones importantes de derivadas consisten en encontrar los valores máximo y mínimo de una función. Por ejemplo, la utilidad que obtiene un fabricante depende del precio que cobra por el producto, y el fabricante está interesado en conocer el precio que hace que su ganancia sea máxima. El precio óptimo (o mejor precio) se obtiene por medio de un proceso llamado maximización u optimización de la función de utilidad. Cálculo 75
  76. 76. Definición: Una función f (x) se dice que tiene un máximo local en x = c si f (c ) > f ( x ) para todo x suficientemente cerca de c. Así, los puntos P y Q de las gráficas 5 y 6 corresponden a máximos locales de las funciones correspondientes. Una función f (x) se dice que tiene un mínimo local en x = c si f (c ) < f ( x ) para todo x suficientemente cerca de c. Así, los puntos A y B de las gráficas 7 y 8 corresponden a mínimos locales de las funciones correspondientes. Cálculo 76
  77. 77. Gráfica 5 Gráfica 6 Cálculo 77
  78. 78. Gráfica 7 Gráfica 8 El término extremo se utiliza para denotar a un máximo local o bien a un mínimo local. Una función puede tener más de un máximo local y más de un mínimo local. 4.3.1. Criterio de la primera derivada para hallar extremos Sea x = c un punto crítico de una función f (x ) , entonces, f (x ) es máximo local si f ' ( x ) > 0 antes de c y f ' ( x ) < 0 después de c. Cálculo 78 f (x ) es mínimo local si f ' ( x ) < 0 antes de c y f ' ( x) > 0 después de c.
  79. 79. Esto es, si x = c es punto crítico y f (x) cambia de creciente a decreciente, entonces, x = c es un máximo y cuando f (x ) cambia de decreciente a creciente, entonces x = c es un mínimo. Ejemplo: Hallar los extremos de la función y = f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 7 bajo el criterio de la primera derivada. Solución: Para determinar los extremos se deben calcular los puntos críticos de la función, esto es: f ' ( x) = 4 x 3 −12 x 2 = 4 x 2 ( x − 3) En este caso los puntos críticos serían x = 0 ó x = 3. Estos puntos críticos dividen la recta en tres intervalos (- ∞ , 0), (0, 3) y (3, ∞ ). Por tanto, los resultados de crecimiento serán: Cálculo 79
  80. 80. Intervalo (- ∞ , 0) (0, 3) (3, + ∞ ) Punto de prueba -1 1 4 f ' ( x) = 4 x 2 ( x − 3) 4( − ) 1 2 ( − − ) =− 1 3 16 4 (1) 2 (1 − ) =− 3 8 4( 4) 2 ( 4 −3) =64 <0 <0 >0 f (x ) Decrece Decrece Crece En x = 0, f ' ( x ) es negativa en ambos intervalos, o sea que no es un extremo, porque a pesar de ser punto crítico no existe cambio de crecimiento de la función. Para x = 3, la función es decreciente antes de él y creciente después de él, por tanto, x = 3 es un mínimo. El valor mínimo (la coordenada y) se calcula reemplazando en la función: y = f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 7 y = f (3) = 34 − 4(3)3 + 7 = −20 Luego, el punto mínimo en la gráfica será (3, -20) Resumen para determinar extremos bajo el criterio de la primera derivada Cálculo 80
  81. 81. Paso 1. Encuentre los puntos críticos de la función (valores de x en los cuales f ' ( x) = 0 ) Paso 2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función (crece en f ' ( x ) > 0 y decrece en f ' ( x) < 0 ) Paso 3. Analice el crecimiento y decrecimiento antes y después de los puntos críticos (si crece antes del punto crítico y después de éste decrece, el punto crítico es un máximo local. Si decrece antes del punto crítico y después de éste crece, el punto crítico es un mínimo). 4.3.2. Criterio de la segunda derivada para hallar extremos Sea x = c un punto crítico de una función f (x ) , entonces x = c es máximo local si f ' ' (c ) < 0 x = c es mínimo local si f ' ' (c ) > 0 Esto es, si x = c es punto crítico y al reemplazarlo en la segunda derivada de la función se obtiene un resultado negativo (< 0), entonces, la función es cóncava hacia abajo; mientras que, si se obtiene un resultado positivo (> 0), entonces la función es cóncava hacia arriba. Ejemplo: Cálculo 81
  82. 82. Hallar los puntos extremos de la función y = f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 4 x − 8 bajo el criterio de la segunda derivada. Solución: Para determinar los extremos se deben calcular los puntos críticos de la función, esto es: f ' ( x) = 3x 2 + 4 x − 4 3x 2 + 4 x − 4 = 0 (3 x − 2)( x + 2) = 0 2 Luego, los valores de x para los puntos críticos son x = , x = −2 3 La segunda derivada de la función es f ' ' ( x) = 6 x + 4 2 Reemplazando x = en la segunda derivada se obtiene: 3 2 2 f ' ' ( ) = 6( ) + 4 = 8 > 0 3 3 2 Por tanto, al reemplazar en la segunda derivada el valor de x = se obtiene 3 un valor positivo (> 0), entonces la función en cóncava hacia arriba en ese 2 punto. En consecuencia, la función tiene un mínimo local cuando x = . El 3 valor mínimo local está dado por: Cálculo 82
  83. 83. 2 2 2 2 256 y = f ( ) = ( )3 + 2( ) 2 − 4( ) − 8 = − 3 3 3 3 27 Reemplazando x = −2 en la segunda derivada se obtiene: f ' ' ( −2) = 6( −2) + 4 = −8 < 0 Por tanto, al reemplazar en la segunda derivada el valor de x = −2 se obtiene un valor negativo (< 0), entonces la función en cóncava hacia abajo en ese punto. En consecuencia, la función tiene un máximo local cuando x = −2 . El valor máximo local está dado por: y = f (−2) = (−2)3 + 2( −2) 2 − 4( −2) − 8 = 0 Así, el único valor máximo local de f (x) es 0, y ocurre cuando x = −2 y el 256 2 único valor mínimo local es − y aparece cuando x = . 27 3 Resumen para determinar extremos bajo el criterio de la segunda derivada Paso 1: encuentre los puntos críticos de la función valores de x en los cuales f ' ( x) = 0 ). Paso 2. Encontrar f ' ' ( x) y evaluarlo cuando x=c Paso 3. f ' ' (c ) < 0 , entonces la función tiene un máximo local en x = c. Si f ' ' (c ) > 0 , entonces la función tiene un mínimo local en x = c. Cálculo 83
  84. 84. Si f ' ' (c ) = 0 ó f ' ' (c) no está definida, entonces x = c no es mínimo ni máximo local. Optimización Hay situaciones en Administración y Economía en las que aparece una función que conviene optimizar. Así, por ejemplo, un empresario, teniendo en cuenta que el costo por unidad y el precio de venta la público dependen del número de unidades fabricadas, puede calcular este número para maximizar la utilidad. Para abordar este tipo de situaciones no existen normas fijas, pero sí se sugieren algunos pasos que es conveniente seguir: - Hallar la expresión algebraica de la función teniendo en cuenta los datos del problema. - Si la función depende de más de una variable, hay que buscar relaciones entre ellas hasta poder dejar la función dependiendo de una sola. - Calcular los extremos de la función (máximos y mínimos). - Interpretar los resultados en el contexto del problema. Ejemplo: Se ha de construir un tanque con una base cuadrada horizontal y lados verticales rectangulares. No tendrá tapa. El tanque debe tener una capacidad de 4 metros cúbicos de agua. El material con que se construirá el tanque Cálculo 84
  85. 85. tiene un costo de $10 por cada metro cuadrado. ¿Qué dimensiones del tanque minimizan el costo del material? Solución: Paso 1. Determinación de los datos del problema. Las variables en el problema son las dimensiones del tanque y el costo de los materiales de construcción. El costo depende del área total de la base y de los lados. Se denota con x la longitud de un lado de la base y, con y, la altura del tanque, como lo ilustra la figura 1. y x x Figura 1 La cantidad que debe minimizarse es el costo total de materiales, denotada por C, y es igual al área del tanque multiplicada por $10, que es el costo por unidad de área. La base es un cuadrado con lado x, de modo que tiene un área igual a x². Cada lado es un rectángulo con dimensiones x e y, y tiene un área xy. El área total de la base más los cuatro lados es x 2 + 4 xy . En consecuencia, se escribe: C = 10( x 2 + 4 xy ) Paso 2. La cantidad a minimizar está expresada como una función de dos variables, de modo que se necesita una relación entre x e y a fin de eliminar Cálculo 85
  86. 86. una de éstas. Esta relación se obtiene del requerimiento de que el volumen del tanque debe ser 4 metros cúbicos. El volumen es igual al área de la base por la altura, esto es, x 2 y , y así se tiene la condición: x2 y = 4 4 Luego, y = x2 Así, la función de costo a minimizar será:  4   16  C ( x) = 10  x 2 + 4 x( 2 ) = 10  x 2 +   x   x Paso 3. Se deriva la función de costo para obtener los puntos críticos. 16 8 C ' ( x ) = 10(2 x − 2 ) = 20( x − 2 ) x x Para los puntos críticos se hace C ' ( x) = 0 . Esto es: 8 20( x − ) =0 x2 x3 − 8 20( 2 ) = 0 x Donde x3 − 8 = 0 x3 = 8 x=2 Se verifica si x = 2 es mínimo por medio del criterio de la segunda derivada. Esto es: 16 320 C ' ' ( x) = 20(0 + 3 )= 3 x x Cálculo 86
  87. 87. 320 320 320 C ' ' ( 2) = = 3 = = 40 > 0 x3 2 8 Al reemplazar el valor crítico x = 2 en la segunda derivada se obtiene un valor positivo, lo cual implica que, en el punto x = 2 la función es cóncava hacia arriba; en consecuencia, siendo x = 2 punto crítico y la función cóncava hacia arriba, x = 2 es un mínimo. 4 Luego, y = =1 22 Paso 4. Para obtener el mínimo costo del material, el tanque debe construirse con una base de 2 metros de lado y una altura de un metro. El costo total del tanque será C = 10[22 + 4(2)(1)] = 10[12] = $120 4.4. Bosquejo de curvas polinomiales En muchas ocasiones se requiere la gráfica de una función para visualizar su comportamiento a medida que la variable independiente toma valores específicos. En este caso, la primera y segunda derivadas son herramientas efectivas para bosquejar la gráfica de una función. En el siguiente cuadro se esquematizan las combinaciones de primera y segunda derivada, compartidas en temas anteriores. Signo de f ' ( x) y Propiedades de la gráfica Forma de la gráfica f ' ' ( x) f ' ( x) > hacia 0 Creciente y cóncava y f ' ' ( x) > 0 arriba Cálculo 87
  88. 88. f ' ( x) > 0 y f ' ' ( x) < 0 Creciente y cóncava hacia abajo f ' ( x) < 0 y f ' ' ( x) > 0 Decreciente y cóncava hacia arriba f ' ( x) < 0 y f ' ' ( x) < 0 Decreciente y cóncava hacia abajo Los pasos necesarios para el bosquejo de la gráfica de una función polinomial son los siguientes: Paso 1: calcular f ' ( x ) . Determinar los puntos críticos, esto es valores de x para los cuales f ' ( x ) = 0 ; luego, calcular la coordenada y en la función f (x) . Determinar los intervalos en que f ' ( x ) es positiva (intervalos en que la función f (x ) crece) o negativa (intervalos en que la función f (x ) decrece). Paso 2: calcular f ' ' ( x) . Determinar los puntos de inflexión, esto es valores de x para los cuales f ' ' ( x) = 0 ; luego calcular a la coordenada y en la función f (x ) . Cálculo 88
  89. 89. Determinar los intervalos en que f ' ' ( x) es positiva (cóncava hacia arriba) o negativa (cóncava hacia abajo). Paso 3: ubicar puntos. En lo posible, calcular los puntos de intercepto1 de la gráfica con los ejes de coordenadas x y y. Esto es, intercepto con eje x (se hace y = 0 en la función y se encuentran los valores de x), intercepto con eje y (se hace x = 0 en la función y se encuentran los valores de y). Localizar los interceptos con los ejes, los puntos críticos y de inflexión sobre un plano cartesiano y trazar la curva, teniendo en cuenta los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo. En este caso, puede apoyarse del cuadro de combinaciones de primera y segunda derivada. Ejemplo: Bosquejar la gráfica de la función y = f ( x) = x 3 − 3x . Solución: Siguiendo los pasos para el bosquejo de gráficas, se tiene: Intercepto con el eje x. Se hace y = 0 en la función y se obtienen los valores para x, esto es: x3 − 3x = 0 1 Intercepto: es el corte de una función con un eje de coordenadas. Intersección: es la ubicación simultánea de dos funciones en un plano determinado. Cálculo 89
  90. 90. x( x 2 − 3) = 0 x( x − 3 )( x + 3 ) = 0 Donde x = 0, x = 3, x =− 3 Por tanto, los interceptos para el eje x son (0,0), ( 3 ,0), ( − 3 ,0) Para el intercepto con el eje y. Hacer x = 0 en la función y obtener los valores para y, esto es: y = 03 − 3(0) = 0 En consecuencia, el intercepto con el eje y es el punto (0, 0). Puntos críticos. A partir de la primera derivada de la función se obtienen los puntos críticos; éstos son los valores de x que hace cero a f ' ( x) . f ' ( x ) = 3 x 2 − 3 = 3( x 2 −1) = 3( x −1)( x +1) . 3( x −1)( x +1) = 0 Luego, x = 1 y x = -1 son los valores de x para los puntos críticos. Reemplazando estos valores en la función se obtienen las respectivas coordenadas y. y = f (1) = (1)3 − 3(1) = 1 − 3 = −2 y y = f (−1) = (−1)3 − 3(−1) = −1 + 3 = 2 Luego, los puntos críticos son (-1, 2) y (1, -2) 4.4.1. Intervalos de crecimiento Cálculo 90
  91. 91. Los valores de x de los puntos críticos dividen la recta real en tres intervalos: Intervalo (- ∞ , -1) (-1, 1) (1, + ∞ ) Punto de prueba -2 0 2 f ' ( x) = 3 x 2 − 3 3(−2) 2 − 3 = 9 3(0) 2 − 3 = −3 3( 2) 2 − 3 = 9 >0 <0 >0 f (x ) Crece Decrece Crece (- ∞ , -1), (-1, 1) y (1, ∞ ). En cada uno de estos intervalos, f ' ( x) tiene signo constante; luego, se selecciona un punto de prueba para cada uno y se obtiene el signo del intervalo respectivo. Esto es: 4.4.2. Puntos de inflexión Se hallan a partir de la segunda derivada de la función. Son aquellos valores de x que hace cero la segunda derivada. Esto es: f ' ' ( x) = 6 x 6 x = 0, x=0 Luego se reemplaza el valor x = 0 en la función para hallar la coordenada y: y = f (0) = (0)3 − 3(0) = 0 Cálculo 91
  92. 92. En consecuencia, la función tiene cambio de concavidad en el punto de inflexión (0, 0). 4.4.3. Intervalos de concavidad El valor x = 0 del punto de inflexión divide la recta real en dos intervalos (- ∞ , 0) y (0, ∞ ). En cada uno de estos intervalos se selecciona un punto de prueba para determinar el signo de f ' ' ( x) , y en consecuencia, la concavidad de la función. Esto es: Intervalo (- ∞ , 0) (0, + ∞ ) Punto de -2 2 prueba f ' ' ( x) = 6 x 6( − ) = − 2 12 6( 2) = 12 <0 >0 f (x ) Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Cálculo 92
  1. 1. GUÍA DIDÁCTICA Y MÓDULO GABRIEL JAIME POSADA HERNÁNDEZ FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, ECONÓMICAS Y CONTABLES Colombia, 2008
  2. 2. COMITÉ DIRECTIVO Fray Marino Martínez Pérez Rector Hernán Ospina Atehortúa Vicerrector Administrativo y Financiero Director de Planeación José Jaime Díaz Osorio Vicerrector Académico Francisco Javier Acosta Gómez Secretario General CÁLCULO Gabriel Jaime Posada Hernández Decana Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables: María Victoria Agudelo Vargas Corrección de estilo: SOMOS PROFESIONALES LTDA. Diseño: Colectivo Docente Facultad de Administración Impresión: Departamento de Publicaciones FUNLAM www.funlam.edu.co TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS Medellín – Colombia 2008 Cálculo 2
  3. 3. CONTENIDO GUÍA DIDÁCTICA Pág PRESENTACIÓN 8 1. IDENTIFICACIÓN 10 2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS 11 2.1. Objetivo general 11 2.2. Objetivos complementarios 11 3. UNIDADES TEMÁTICAS 12 4. METODOLOGÍA GENERAL 13 5. EVALUACIÓN INTEGRAL 14 5.1. Sistema de evaluación 14 5.2. Actividades de reconocimiento 14 5.3. Actividades de profundización 15 CÁLCULO INTRODUCCIÓN 17 JUSTIFICACIÓN 19 UNIDAD 1 1.LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES 21 1.1. Definición de límite 22 1.2. Propiedades de los límites 25 1.3. Formas indeterminadas y límites al infinito 27 1.3.1. Asíntotas horizontales de una función 30 1.3.2. Asíntotas verticales de una función 31 Cálculo 3
  4. 4. 1.4. Continuidad de una función en un punto 32 UNIDAD 2 2. DERIVADA DE FUNCIONES REALES 34 2.1. Definición 35 2.2. Incrementos y tasas 36 2.3. Definición de la derivada 40 2.3.1. Interpretación geométrica de la derivada 43 2.3.2. Reglas de derivación 46 2.3.3. Regla de la cadena 50 2.4. Derivada de las funciones logarítmica y exponencial 52 2.5. Derivadas de orden superior 57 UNIDAD 3 3. ANÁLISIS MARGINAL 60 3.1. Costo marginal 61 3.2. Ingreso marginal 63 3.3. Utilidad marginal 66 UNIDAD 4 4. OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS 70 4.1. Crecimiento y decrecimiento de una función 71 4.2. Concavidad de una función 75 4.3. Máximos y mínimos 77 4.3.1. Criterio de la primera derivada para hallar extremos 80 4.3.2. Criterio de la segunda derivada para hallar extremos 83 4.4. Bosquejo de curvas polinomiales 90 4.4.1. Intervalos de crecimiento 93 4.4.2. Puntos de inflexión 94 4.4.3. Intervalos de concavidad 95 Cálculo 4
  5. 5. 4.4.4. Ubicación de puntos e intervalos 96 UNIDAD 5 5. INTEGRAL INDEFINIDA 98 5.1. Antiderivada 99 5.2. Reglas de integración 101 5.3. Métodos de integración 109 5.3.1. Integración por sustitución 109 5.3.2. Integración por partes 111 UNIDAD 6 6. INTEGRAL DEFINIDA 116 6.1. Áreas bajo curvas 117 6.2. Propiedades de la integral definida 120 6.3. Teorema fundamental del cálculo 126 6.4. Aplicaciones de la integral definida 130 6.4.1. Coeficientes de desigualdad para distribuciones de ingreso 130 6.4.2. Curvas de aprendizaje 134 6.4.3. Maximización de la utilidad con respecto al tiempo 137 6.4.4.valor presente de un ingreso continuo 142 6.4.5. Superávit del consumidor y del productor 144 UNIDAD 7 7. CÁLCULO MULTIVARIABLE 152 7.1. Funciones de varias variables 153 7.2. Derivadas parciales 159 7.3. Optimización de funciones de varias variables 170 7.4 multiplicadores de lagrange 180 Cálculo 5
  6. 6. UNIDAD 8 8. ÁLGEBRA DE MATRICES 191 8.1. Definición 192 8.2. Operaciones de matrices 195 8.2.1. Multiplicación de una matriz por un escalar 195 8.2.2. Adición y sustracción de matrices 197 8.2.3. Multiplicación de matrices 198 8.3. Solución de sistemas de ecuaciones lineales 203 8.3.1. Matrices aumentadas 205 8.3.2. Forma reducida por filas o renglones 207 8.4. Eliminación de gauss-jordan mediante matrices 209 ESTUDIOS DE CASOS 216 ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO 219 ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN 221 BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL 235 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 236 GLOSARIO 237 RESPUESTA A PREGUNTAS FRECUENTES 239 Cálculo 6
  7. 7. Cálculo 7
  8. 8. PRESENTACIÓN Apreciado estudiante, bienvenido al programa de Administración de Empresas con énfasis en Economía Solidaria de la Fundación Universitaria Luis Amigó. Este módulo ha sido escrito teniendo presente al estudiante que ingresa en la metodología a distancia, la cual se constituye en uno de los nuevos retos y alternativas para la formación de profesionales capaces de intervenir problemáticas sociales contemporáneas, desde la aplicación de la ciencia y la tecnología con criterios éticos y de calidad. La educación a distancia responde a la necesidad de ofrecer un proceso de formación que supere obstáculos representados en grandes distancias geográficas y escasez de tiempo de personas deseosas de tener las oportunidades de desarrollo humano que brinda la educación superior. Dicha metodología exige a cada estudiante un esfuerzo investigativo, creativo e innovador soportado por la voluntad del compromiso que demanda nuestra sociedad. Por esto, para el alcance de los objetivos en este proceso formativo, más que construir un texto, se ha tratado de presentar un instrumento de comunicación académica y dinámica entre la institución y el estudiante, en el que se diferencian dos partes fundamentales: la guía de estudio y trabajo, el módulo de aprendizaje. La guía considera las orientaciones sobre el desarrollo del curso en cuanto define los elementos necesarios para la interlocución entre estudiantes y asesor, describiendo en la metodología las actividades a realizar para cada encuentro, bibliografía complementaria, Cálculo 8
  9. 9. proceso de evaluación y compromisos adquiridos por el estudiante. El módulo desarrolla el contenido conceptual básico que permite al estudiante la comprensión de los problemas potenciales en el campo administrativo. Seguros de que en dicho material se encuentran los referentes necesarios para el desarrollo de un proceso académico con calidad, le deseamos éxitos en este nuevo ciclo de su formación profesional. Cálculo 9
  10. 10. 1. IDENTIFICACIÓN Ficha técnica CURSO CÁLCULO AUTOR GABRIEL JAIME POSADA HERNÁNDEZ INSTITUCIÓN FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ UNIDAD ACADÉMICA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, ECONÓMICAS Y CONTABLES PROGRAMAS ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS, CONTADURÍA PÚBLICA, NEGOCIOS INTERNACIONALES PALABRAS CLAVE MATEMÁTICAS, FUNCIÓN, TASA, DERIVADA, INTEGRAL, ECUACIONES, MATRIZ ÁREA DE CONOCIMIENTO BÁSICA CRÉDITOS 3 (TRES) CIUDAD MEDELLÍN FECHA 20 DE JULIO DE 2007 ACTUALIZACIÓN ADICIÓN DE TEMAS APROBADA POR 2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS 2.1. Objetivo general Cálculo 10
  11. 11. Familiarizar al estudiante con los conceptos generales del cálculo, en el contexto de las disciplinas administrativa, económica y contable, para utilizarlos como herramienta matemática en los procesos que impliquen toma de decisiones en las diferentes organizaciones. 2.2. Objetivos específicos  Determinar el límite y la continuidad de una función real en un punto determinado.  Calcular e interpretar la derivada de una función real para un valor determinado.  Calcular y analizar las funciones marginales a partir de la derivada.  Aplicar los criterios de las derivadas en el bosquejo de curvas y optimización de funciones.  Solucionar problemas utilizando la integral definida.  Optimizar funciones de varias variables.  Realizar operaciones matriciales que permitan tomar decisiones en el campo administrativo. 3. UNIDADES TEMÁTICAS UNIDAD 1 Límites y continuidad de funciones reales Cálculo 11
  12. 12. UNIDAD 2 Derivada de funciones reales UNIDAD 3 Análisis marginal UNIDAD 4 Optimización y bosquejo de curvas UNIDAD 5 Integral indefinida UNIDAD 6 Integral definida UNIDAD 7 Cálculo multivariable UNIDAD 8 Álgebra de matrices 4. METODOLOGÍA GENERAL Cálculo 12
  13. 13. Para garantizar el buen desarrollo del curso se establecerán los criterios definidos en el Reglamento Estudiantil con relación a evaluación y seguimiento del portafolio personal de desempeño, entre otros. En los encuentros presenciales se hará claridad sobre aquellos conceptos que han presentado alguna dificultad en los estudiantes; para ello se utilizarán explicaciones precisas sobre el tema, ejemplos y aplicaciones. Adicionalmente, se responderán inquietudes sobre los ejercicios propuestos para ser desarrollados por los estudiantes en el tiempo destinado al trabajo independiente. El estudiante debe realizar las actividades de forma consecuente con los encuentros presenciales, para garantizar el logro de los objetivos propuestos en el curso. 5. EVALUACIÓN INTEGRAL Cálculo 13
  14. 14. 5.1. Sistema de evaluación Para la Fundación Universitaria Luis Amigó la evaluación es definida como “un proceso crítico, intencionado y sistemático de recolección, análisis, comprensión e interpretación de información que permite a los actores educativos valorar el estado en que se encuentra la formación integral de los estudiantes”, por lo cual, la evaluación se caracteriza por ser pedagógica, integral, continua, cooperativa, de perspectiva científica y de carácter ético. El Portafolio Personal de Desempeño es el instrumento de evaluación del estudiante; en él se debe llevar el registro y compendio de las diferentes actividades evaluativas y de la reflexión permanente que realiza cada estudiante sobre su proceso de formación; tiene en cuenta las responsabilidades y compromisos acordados entre docentes y estudiantes, los avances y dificultades encontradas en el proceso por cada estudiante y las sugerencias de los docentes y compañeros para la obtención de los logros propuestos. 5.2. Actividades de reconocimiento Las actividades de reconocimiento están planteadas para que el estudiante identifique los conceptos previos al desarrollo de la temática del módulo. Esto le permitirá comprender de forma rápida los conocimientos presentados en cada unidad. 5.3. Actividades de profundización Las actividades de profundización permiten al estudiante reforzar los conocimientos adquiridos en cada unidad. Estas actividades se presentan Cálculo 14
  15. 15. en forma de talleres, los cuales requieren de soluciones puntuales para los ejercicios planteados y de interpretaciones para los resultados obtenidos. Cálculo 15
  16. 16. INTRODUCCIÓN Cálculo 16
  17. 17. Desde el punto de vista histórico, el cálculo diferencial se desarrolló como respuesta al problema de hallar la recta tangente a una curva arbitraria. Pero muy pronto fue claro que, al resolver este problema, los matemáticos dispondrían de un método para resolver muchos problemas prácticos relacionados con la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra. La herramienta básica utilizada en el cálculo diferencial es la derivada de una función. A su vez, el concepto de derivada se basa en una noción más fundamental: la del límite de una función. Posteriormente, se inicia el estudio de otra rama del cálculo, conocida como el cálculo integral. En este caso hay que resolver el problema inverso: si se conoce la razón de cambio de una variable en relación con otra, ¿se puede hallar la relación entre ambas? El módulo de cálculo se ha elaborado a partir de la compilación de conceptos tratados por varios autores, entre ellos Arya y Lardner, S. T. Tan y Haeussler y Paul. Está conformado por ocho unidades temáticas, a saber: límites y continuidad, derivada de funciones reales, análisis marginal, optimización y bosquejo de curvas, integral indefinida, integral definida, cálculo multivariable y álgebra de matrices. En cada unidad se presentan las actividades de reconocimiento como un conjunto de elementos previos que el estudiante debe manejar, con el objeto de lograr un mayor entendimiento de los conceptos compartidos en dicha unidad. La temática tratada en cada unidad está desarrollada de forma didáctica y secuencial, a partir de la definición de los conceptos, presentación de Cálculo 17
  18. 18. ecuaciones correspondientes, ejemplos y, finalmente, actividades de profundización. Al final, se presenta un estudio de caso en el cual se ilustra una de las tantas maneras de la aplicación de matemáticas en el campo administrativo; además, algunas preguntas frecuentes con su respectiva respuesta, que se presentan al estudiar el cálculo. JUSTIFICACIÓN Cálculo 18
  19. 19. El desarrollo científico del siglo XXI exige una formación profesional íntegra, que reúna conocimientos, experiencia y expectativas, que permita la utilización adecuada de los recursos y herramientas del mundo actual. El estudio de la Matemática presenta grandes alternativas para el profesional de hoy, entre ellas la aplicación en el área administrativa, la cual permite relacionar fenómenos de la organización con la construcción de modelos matemáticos que den cuenta del comportamiento y las tendencias de las variables que intervienen en ella. En la actualidad, las áreas administrativas, contables y económicas requieren de un profesional con conocimientos básicos de cálculo, de tal forma que lo lleven a incursionar en el campo investigativo y en la toma de decisiones, para generar nuevos conocimientos a partir de la integración de los conceptos propios y de las diferentes áreas de estudio, que lo hagan más competente en los retos del mundo moderno. Siendo conscientes de las diferentes decisiones que se toman en la organización, es preciso que los profesionales de la FUNLAM lo hagan de manera acertada, con criterios lógicos y coherentes, apoyados en elementos matemáticos que permitan establecer modelos para facilitar la toma de decisiones en las diferentes organizaciones. Cálculo 19
  20. 20. Cálculo 20
  21. 21. 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES En esta sección se pretende estudiar los límites y continuidad de las funciones reales. Para ello, se aborda desde la definición de límites, propiedades de los límites, formas indeterminadas y límites al infinito y, por último, la continuidad de una función en un punto. OBJETIVOS 1. Comprender el concepto de Límite de funciones reales. 2. Aplicar las propiedades para el cálculo de límite de funciones reales. 3. Hallar las asíntotas horizontales y verticales de una función. 4. Evaluar la continuidad de una función real. Cálculo 21
  22. 22. 1.1. Definición de límite Tal vez ha estado usted en un estacionamiento en el que puede “aproximarse” al automóvil de enfrente, pero no quiere golpearlo ni tocarlo. Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas, y está involucrada en el concepto de límite, en el que descansa el fundamento del cálculo. Básicamente, haremos que una variable “se aproxime” a un valor particular y examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la función. Examínese lo que sucede con la función ƒ(x) = x + 3 cuando x → 2 se permite que x tome los valores 1.8, 1.9, 1.99, 1.999 y 1.9999 que, sin duda, se acercan cada vez más a 2. Los valores correspondientes de ƒ(x) están dados en la tabla 1. TABLA 1. Valores correspondientes para ƒ(x) con x menor que 2. x 1.8 1.9 1.99 1.999 1.9999 ƒ(x) 4.4 4.9 4.99 4.999 4.9999 A partir de esta tabla es claro que a medida que x se acerca a 2, ƒ(x) está cada vez más cerca de 5. Se escribe, entonces ƒ(x) → 5 cuando x → 2. Cálculo 22
  23. 23. Los valores de x considerados en la tabla 1 son menores que 2. En tal caso, decimos que x se aproxima a 2 por debajo. Podemos considerar también el caso alternativo en que x se aproxima a 2 por encima; es decir, x toma valores que están cada vez más cerca de 2 pero siempre son mayores que 2. Estos valores se presentan en la tabla 2. TABLA 2. Valores correspondientes para ƒ(x) con x mayores que 2. x 2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001 ƒ(x) 5.5 5.1 5.01 5.001 5.0001 El comportamiento de la función cuando x toma valores próximos a 2, se representa en la gráfica 1. Gráfica 1 Cálculo 23
  24. 24. En consecuencia, cuando x se aproxima a 2 por debajo o por encima, ƒ(x) = x + 3 se acerca a 5. Se dice que el límite (o valor límite) de ƒ(x) cuando x tiende a 2 es igual a 5. Esto se denota así: lim( x + 3) = 5 x →2 Definición: el límite de ƒ(x) cuando x se acerca (o tiende) a c, es el número L, escrito lím f ( x ) = L , x →C Siempre que ƒ(x) esté arbitrariamente cercana de L para toda x lo suficientemente cerca, pero diferente de c. Ejemplo: Hallar el límite de la función ƒ(x) = 4x – 7 cuando x tiende a 2. Solución: lím (4x – 7) = 4(2) – 7 = 8 – 7 = 1. x →2 1.2. Propiedades de los límites Cálculo 24
  25. 25. Los límites pueden ser calculados mediante la aplicación de las siguientes propiedades: 1. Si ƒ(x) = k, es una función constante, entonces, ƒ(x) = k=k lím lím x→C x→C Ejemplo: lím x→2 7 = 7; lím x→ 3 − 8=8 lím ( x ) = , para cualquier entero positivo n. n Cn 2. x→C Ejemplo: lím x→6 x² = 6² = 36 ƒ(x) y g(x) existe, entonces: lím lím si x→C x→C [ƒ(x) ± g(x)] = ƒ(x) ± g(x) lím lím lím 3. x→C x→C x→C Esto es, el límite de una suma o diferencia es la suma o diferencia, respectivamente, de los límites. Ejemplo: (x² + x) = x² + x = 2² + 2 = 6 lím lím lím x→2 x→2 x→2 [ƒ(x) . g(x)] = ƒ(x) . g(x) lím lím lím 4. x→C x→C x→C Esto es, el límite de un producto es el producto de los límites. Ejemplo: lím x→2 [(x + 1) (x – 3)] = lím x→2 (x + 1) . lím x→2 (x – 3) Cálculo 25
  26. 26. = [ x+ 1] . [ x - 3] lím lím lím lím x→2 x→2 x→2 x→2 = (2 + 1) . (2 – 3) = 3(-1) = -3 lim f ( x) f ( x) x →c 5. lím = , si lím g ( x) ≠ 0 x →c x→ C g ( x) lim g ( x) x →c Esto es, el límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el denominador no tenga un límite de 0. 2x² + x - 3 2(1)² +(1) - 3 0 Ejemplo: lím x→1 = (1)³ +4 = =0 x³ + 4 5 [k ƒ(x)] = k [ ƒ(x)], donde k es una constante. lím lím 6. x→C x→C Esto es, el límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función. Ejemplo: lím x→ 2 − 3x³ = 3 . lím x→ 2 − x³ = 3(-2)³ = -24 7. lím n f ( x) = x →c n lím f ( x) , con x →c lím f ( x ) x→c positivo si n es par. Ejemplo: lím x + 3 = lím( x + 3) = 3 + 3 = 6 x →3 x →3 1.3. Formas indeterminadas y límites al infinito Cálculo 26
  27. 27. Con frecuencia se encuentran límites cuyo cálculo por sustitución directa dé como resultado formas indeterminadas, tales como ∞−∞, 0. ∞, 0/0, ∞ ∞ , entre otras. Estos límites deben ser calculados mediante operaciones algebraicas sobre ƒ(x), de modo que se obtenga una forma en la cual las propiedades de los límites puedan aplicarse. Ejemplo: lím (x² −1) Determinar x →−1 x +1 Solución: Cuando x → -1, tanto el numerador como el denominador se aproximan a cero. Ya que el límite del denominador es 0, no puede utilizarse la propiedad 5. Sin embargo, se puede simplificar la fracción: (x² −1) (x −1) (x +1) x +1 = x +1 =x–1 Esta manipulación algebraica (factorización y cancelación), sobre la función original, da lugar a una nueva función, que es igual a la función original. Por tanto, (x² −1) (x −1) (x +1) lím x→ 1 − x +1 = lím x→ 1 − = lím x→ 1 − (x – 1) = -1 –1 = - 2 x +1 Observar que, aunque la función original no está definida en –1, tiene un límite cuando x → -1. Cálculo 27
  28. 28. Para el caso de fracciones con radicales, la indeterminación se evita racionalizando el numerador y/o el denominador. 1 Otra forma indeterminada es lím x→0 , la cual toma valores de - ∞ cuando se x aproxima a x por la izquierda, y + ∞ cuando se aproxima por la derecha. En muchos casos se desea saber qué pasa con los valores de f(x) cuando x se hace cada vez mayor, lo cual se denota: ƒ(x) lím x→∞ Al igual que en el caso en que x tiende a un número finito c, el límite de ƒ(x) puede ser finito ( lím ƒ(x) = L) o no puede ser finito ( lím ƒ(x) = x →∞ x →∞ ∞ ). En este último caso, la indeterminación ∞ ∞ se resuelve dividiendo numerador y denominador de la función entre la potencia de mayor grado. Ejemplo: x +1 Calcular lím x→ ∞ x² +4 Se dividen todos los términos del numerador y denominador por x² Cálculo 28
  29. 29. x 1 1 1 + + lím x² x² = lím x x² = 0 +0 = 0. x →∞ x² 4 x →∞ 4 1 +0 + 1 + x² x² x² 1.3.1. Asíntotas horizontales de una función Para determinar las asíntotas horizontales de una función hay que calcular, cuando exista, el límite de f (x ) cuando x tiende a + ∞ o a − ∞ . Los valores finitos de estos límites determinan las asíntotas horizontales. La función f (x ) tiene por asíntota horizontal la recta de ecuación y = b cuando existe al menos uno de los límites laterales de la función , tiende a dicho punto y vale +∞ o −∞. lím f ( x) = b ∨ lím f ( x) = b − x→ + ∞ x → −∞ Ejemplo x2 Hallar las asíntotas horizontales de la función f ( x) = x 2 − 36 Solución: Cálculo 29
  30. 30. Cuando x tiende a + ∞ , la función va tomando valores cada vez más próximos a 1. Es decir, x2 lím = =1 x →+∞ x 2 − 36 En este caso, la recta de ecuación y = 1 es una asíntota horizontal de la función. 1.3.2. Asíntotas verticales de una función La función f (x ) tiene por asíntota vertical la recta de ecuación x=a cuando existe al menos uno de los límites laterales de la función , tiende a dicho punto y vale +∞ ó −∞. lím f ( x) = ± ∞ ∨ lím f ( x) = ± ∞ − x→ a + x→ a − Ejemplo: x2 Hallar las asíntotas verticales de la función f ( x) = x 2 − 36 Observar que cuando x tiende a 6 + la función tiende a + ∞ , y cuando x tiende a 6 − , la función tiende a −∞. En este caso, la recta de la ecuación x = 6 es una asíntota vertical de la función. Cuando x tiende a −6+ la función tiende a −∞ y cuando x tiende a −6 − la función tiende a + ∞ , luego: Cálculo 30
  31. 31. x2 x2 lím+ = = +∞ lím− = =−∞ x → −6 x 2 − 36 x → −6 x 2 − 36 La recta de ecuación x = -6 es asíntota vertical. 1.4. Continuidad de una función en un punto Muchas funciones tienen la propiedad de que no hay “cortes“ en sus gráficas. A este tipo de funciones se les denomina funciones continuas. Definición: una función ƒ(x) es continua en c si y sólo si cumple las tres condiciones siguientes: 1. ƒ(x) está definida en x = c; esto es, c está en el dominio de ƒ(x). 2. lím ƒ(x) existe. x →C 3. lím ƒ(x) = ƒ(c). x →C Si ƒ está definida en un intervalo abierto que contenga a c, excepto tal vez en ella misma, y ƒ(x) no es continua en c, entonces, se dice que ƒ(x) es discontinua en c, y c es llamado punto de discontinuidad. Ejemplo: Demostrar que ƒ(x) = x² - 3 es continua en – 4. Solución: 1. La función ƒ(x) está definida en x = - 4 ( - 4 pertenece al dominio). Cálculo 31
  32. 32. 2. lím ( x² - 3) = (- 4)² - 3 = 13 (existe). x→ 4 − 3. ƒ(- 4) = (- 4)² - 3 = 13 (igual al límite). Por tanto, ƒ(x) es continua en x = - 4. Cálculo 32
  33. 33. Cálculo 33
  34. 34. 2. DERIVADA DE FUNCIONES REALES Uno de los problemas principales de que se ocupa el cálculo es el de encontrar la pendiente de la recta tangente a un punto sobre una curva, entendida ésta como la recta que toca la curva en un solo punto. OBJETIVOS 1. Calcular el incremento, la tasa de cambio relativa a una función. 2. Interpretar la derivada de una función real. 3. Aplicar las reglas de derivación para el cálculo de la derivada de una función real. 4. Calcular e interpretar la derivada de las funciones logarítmica y exponencial. 5. Calcular las derivadas de orden superior de una función real. Cálculo 34
  35. 35. 2.1. Definición La pendiente de una curva en un punto P es la pendiente, en caso de que exista, de la recta tangente en P. De tal forma que: f ( x + ∆x) − f ( x) mPQ = lím ∆x →0 ∆x Donde m PQ es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P, como se visualiza en la gráfica 2. Gráfica 2 Cálculo 35
  36. 36. 2.2. Incrementos y tasas Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces, el cambio en el valor x, que es x2 - x1 , se denomina el incremento de x y se denota por ∆x. De tal forma que ∆x = x2 - x1 (ver gráfica 3). Se usa la letra griega ∆ (delta) para denotar un cambio o incremento de cualquier variable. Gráfica 3 Sea y una variable que depende de x tal que y = f(x) está definida por todo valor de x entre x1 y x2 . Cuando x = x1 , y tiene el valor y1 = f(x1 ). De manera similar, cuando x = x2 , y tiene el valor y2 = f(x2 ). Así, el incremento de y es: ∆y = y2 - y1 ∆y = f(x2 ) - f(x1 ) Cálculo 36
  37. 37. Resolviendo la ecuación ∆x = x2 - x1 para x2 , se tiene x2 = x1 + ∆x. Usando este valor de x2 en la definición de ∆y , se obtienen: ∆y = f(x1 + ∆x) - f(x1 ) Dado que x1 puede ser cualquier valor de x, se puede suprimir el subíndice y escribir: ∆ y = f(x + ∆x) - f(x ) En forma alternativa, dado que ƒ(x) = y, se puede escribir: y +∆y = f(x + ∆x) Ejemplo: Dada ƒ(x) = x² , calcular ∆y si x = 1 y ∆x = 0.2. Solución: Sustituyendo los valores de x y ∆x en la fórmula de ∆y, se obtiene: ∆y = f(x + ∆x) - f(x ) = f(1 + 0.2) - f(1 ) = f(1.2) - f(1 ) = f(1.2)² - f(1 )² = 1.44 – 1 = 0.44 Cálculo 37
  38. 38. Así que, un cambio de 0.2 en el valor de x, da como resultado un cambio en y de 0.44. La tasa de cambio promedio de una función ƒ, sobre un intervalo de x a d ( y) (x + ∆x), se define por la razón d ( x ) . Por tanto, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x es: ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) = ∆x ∆x Ejemplo: Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas de cierto fertilizante está dado por C(x) = 20.000 + 40x pesos, y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas está dado por R(x) = 100x – 0.01 x². La compañía, actualmente, produce 3.100 toneladas por semana, pero está considerando incrementar la producción a 3.200 toneladas por semana. Calcular los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determinar la tasa de cambio promedio de la utilidad para las toneladas extra producidas. Cálculo 38
  39. 39. Solución: El primer valor de x es 3.100 y (x + ∆x) es 3.200 ∆C = C(x + ∆x) - C(x) = C(3200) - C(3.100) = [20.000 + 40(3.200)] - [20.000 + 40(3.100)] = 148.000 – 144.000 = 4.000 ∆R = R(x + ∆x) - R(x) = R(3.200) - R(3.100) = [100(3.200) – 0.01(3.200)²] - [100(3.100) 0.01(3.100)²] = 217.600 – 213.900 = 3.700 De modo que los costos se incrementan en $4.000, bajo el incremento dado en la producción, mientras que los ingresos se incrementan en $3.700. A partir de estos resultados, es claro que la utilidad debe decrecer en $300. Se puede advertir esto con más detalle si se considera que las utilidades obtenidas por la empresa son iguales a sus ingresos menos sus costos, de modo que la utilidad P(x) por la venta de x toneladas de fertilizantes es: P(x) = R(x) - C(x) = 100x – 0.01x² - (20.000 + 40x) = 60x – 0.01x² - 20.000 Cálculo 39
  40. 40. En consecuencia, el incremento en la utilidad cuando x cambia de 3.00 a 3.200 es: ∆P = P(3.200) - P(3.100) = [60(3.200)–0.01(3.200)²-20.000] –[60(3.100)–01(3.100)²-20.000] = 69.600 – 69.900 = -300 Así pues, la utilidad decrece en $300. La tasa de cambio promedio de la utilidad por tonelada extra es: ∆P − 300 ∆x = 100 = -3 En donde ∆x = 3.200 – 3.100 = 100. De modo que la utilidad decrece en un promedio de $3 por tonelada bajo el incremento dado en la producción. 2.3. Definición de la derivada Sea y = ƒ(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada por dy / dx, se define por: dy ∆y dy f ( x + ∆x) − f ( x) = lím Δ x →0 ó bien = lím Δ x →0 dx ∆x dx ∆x A la derivada también se le llama coeficiente diferencial y la operación de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación. Cálculo 40
  41. 41. Si la derivada de una función existe en un punto en particular, se dice que f es diferenciable en tal punto. La derivada de y = f(x) con respecto a x también se denota por uno de los símbolos siguientes: d ( y) d( f ) d ( x) , d ( x) , y’ , ƒ’(x) , D y, x Dx f Con el propósito de calcular la derivada dy/dx, se procede de la siguiente manera: 1. Se calcula y = ƒ(x) y y + ∆y = ƒ(x + ∆x) 2. Se resta la primera cantidad de la segunda a fin de obtener ∆y y se simplifica el resultado. 3. Se divide ∆y entre ∆x y se toma el límite de la expresión resultante cuando ∆x → 0 El valor de dy / dx depende de la elección de x. Esto se enfatiza cuando se utiliza la notación ƒ’(x), la cual indica que la derivada ƒ’(x) es una función de x. El valor de la derivada en un punto particular, por ejemplo, x = 2, entonces es ƒ’(2). Ejemplo: Cálculo 41
  42. 42. Durante un periodo de 10 años, de 1970 a 1980, se encontró que la población de cierto país estaba dada por la fórmula: ƒ(x) = 1 + 0.03x + 0.001x2 Donde y está en millones y x es el tiempo medido en años desde 1970. Determinar y‘ (5). Solución: 2 Sea y = ƒ(x) = 1 + 0.03x + 0.001x . Entonces, 2 y + ∆y = ƒ(x + ∆x) = 1 + 0.03(x + ∆x) + 0.001(x + ∆x) 2 2 = 1+0.03x + 0.03∆x + 0.001[ x + 2x∆x + (∆x) ] 2 =1+0.03x + 0.03∆x + 0.001x2 + 0.002x∆x + 0.001(∆x) Restando y de y + ∆y, se tiene: ∆y=1+0.03x + 0.03∆x + 0.001x2+0.002x∆x + 0.001(∆x)2 - [ 1+ 0.03x + 0.001x2] ∆y = 1+0.03x + 0.03∆x + 0.001x2+0.002x∆x + 0.001(∆x)2 - 1- 0.03x - 0.001x2 ∆y = 0.03∆x + 0.002x∆x + 0.001(∆x)2 ∆y = ∆x (0.03 + 0.002x + 0.001∆x) ∆y Y así = 0.03 + 0.002x + 0.001∆x ∆x d ( y) Por lo que d ( x ) = lím Δ x →0 = lím Δ x →0 (0.03 + 0.002x + 0.001∆x) = 0.03 + 0.002x Esto es, ƒ’(x) = 0.03 + 0.002x Cuando x = 5, ƒ’(5) = 0.03 + 0.002(5) = 0.04 millones de habitantes. Cálculo 42
  43. 43. 2.3.1. Interpretación geométrica de la derivada d ( y) Como se mencionó, inicialmente, para la función y = ƒ(x) la derivada d ( x ) representa la tasa de cambio de y con respecto a x. Además de esta clase de aplicación, la derivada también tiene una interpretación desde el punto de vista geométrico. Si P y Q son dos puntos (x, ƒ(x)) y (x +∆x , ƒ(x + ∆x)) sobre la gráfica y = ƒ(x), entonces, la razón ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) = ∆x ∆x Representa la pendiente del segmento de recta PQ. A medida que ∆x se hace más y más pequeño, el punto Q se aproxima cada vez más a P y el segmento secante PQ está cada vez más cerca de ser tangente. Cuando ∆x → 0, la pendiente de la secante PQ se aproxima a la pendiente de la recta tangente en P. Así que: ∆y dy lím Δ x →0 = ∆x dx Representa la pendiente de la recta tangente a y = ƒ(x) en el punto P(x, ƒ(x)). Con tal de que la curva y = ƒ(x) sea “suave” en P; esto es, si se puede dibujar una tangente que no sea vertical en P, el límite existirá. Cálculo 43
  44. 44. Gráfica 4 En consecuencia, la derivada de una función será la pendiente de la recta tangente a la función en un punto determinado. Ejemplo: Determinar la pendiente de la tangente y la ecuación de la recta tangente a la gráfica y = ƒ(x) = x en el punto (4,2) y en el punto (¼,½). Solución: La pendiente de la recta tangente será la derivada de ƒ(x). Es decir, Cálculo 44
  45. 45. 1 1 1 ƒ’(x) = 2 x . Cuando x = 4, ƒ’(4) = 2 4 = 4 . Lo cual significa que la 1 pendiente de la tangente en el punto (4,2) es . 4 Para obtener la ecuación de la recta tangente, se puede utilizar la fórmula punto-pendiente: y - y1 = m(x-x1) Con pendiente m = ¼ y (x1,y1) = (4,2) 1 Cuando x = ¼, ƒ’(¼) = 2 ¼ = 1. Por lo cual la pendiente de la tangente en (¼,½) es 1. Con base en la fórmula punto-pendiente, la ecuación es: y- ½ = 1. (x - ¼) ó y = x + ¼ 2.3.2. Reglas de derivación Hallar la derivada de una función aplicando la definición por medio de límite no siempre es fácil; en ocasiones, y en especial en el campo administrativo, se presentan funciones con algunos niveles de complejidad para obtener su Cálculo 45
  46. 46. derivada. Sin embargo, existen técnicas útiles para solucionar este tipo de inconvenientes. Teorema 1: “La derivada de cualquier potencia constante de x es la potencia de x reducida en 1 y multiplicada por el exponente original”. n dy n −1 Si y = x , entonces dx = f ' ( x) = n x Ejemplo: Hallar la derivada de: 1. y = ƒ(x) = x7 Solución: ƒ’(x) = 7x6 1 2. y = ƒ(t) = t 1 1 Solución: ƒ(t) = t -1/2 , ƒ’(x) = - 2 t -1/2-1 = - 2 t - 3/2 Teorema 2: “La derivada del producto de una constante por una función de x es igual al producto de la constante por la derivada de la función”. Si u(x) es una función diferenciable de x y c es una constante, d du entonces c(u) = c = cƒ’(u) dx dx Cálculo 46
  47. 47. Ejemplo: 3 Hallar la derivada de y = ƒ(x) = 5x ƒ’(x) = 5.3x2 = 15 x2 Teorema 3: “La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones” Si u(x) yv (x) son funciones diferenciables de x, d du dv entonces (u+ v ) = + = ƒ’(u) + ƒ’( v ). dx dx dx Ejemplo: Hallar la derivada de y = ƒ(x) = x2 + x d d 1 Solución: ƒ’(x) = dx (x2) + dx (x1/2) = 2x + 2 x-1/2 Teorema 4: “La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda más la primera función por la derivada de la segunda”. Si u(x) y v (x) son funciones diferenciables de x, se sigue que d du (u. v ) = v + u dv = ƒ’(u).ƒ( v ) +ƒ(u).ƒ’( v ) dx dx dx Cálculo 47
  48. 48. Ejemplo: 2 Calcular la derivada si y = (5x - 3x)(2x³ + 8x + 7) Solución: La función dada y puede escribirse como un producto y = u v si hacemos. 2 u = 5x - 3x y v = 2x³ + 8x + 7 Calculando las derivadas se tiene que: u' = 10x – 3 y v ' = 6 x2 + 8 Por consiguiente, y' = u' v + u v ' 2 2 = (10x – 3)( 2x³ + 8x + 7) + (5x - 3x)( 6 x + 8) 4 2 = 50x – 24x³ + 120x + 22x – 21 Teorema 5: “La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador”. Si u(x) y v (x) son funciones diferenciables de x, se sigue que du dv d u v−u f ' (u ).v − u. f ' (v) ( )= dx dx = 2 dx v 2 v v Cálculo 48
  49. 49. Ejemplo: x² +1 Calcular la derivada de y = x³ + 4 Solución: Inicialmente se seleccionan u y v , tales que y = u/ v . En este caso U = x² + 1 y v = x³ + 4 Entonces, f ' (u ) = u' = 2x y f ' (v ) = v ' = 3x2 Finalmente, aplicando el teorema se tiene: (2 x)( x 3 + 4) − ( x 2 +1)(3 x 2 ) 2 x 4 + 8 x − (3 x 4 + 3 x 2 ) − x 4 − 3x 2 + 8 x y' = ( x 3 + 4) 2 = ( x 3 + 4) 2 = ( x 3 + 4) 2 2.3.3. Regla de la cadena La regla de la cadena es una de las herramientas más útiles en derivación de funciones, pues se utiliza cuando se deriva una función compuesta de dos o más funciones simples. Sea y = f (u ) una función de u y u = g ( x ) una función de x. Entonces, se puede escribir: y = f [ g (x )] Cálculo 49
  50. 50. Que representa a y como una función x, denominada la función composición de f y g . Se denota por ( f  g )( x) Teorema 6: “La derivada de una función compuesta es la derivada de la función externa por la derivada de la función interna”. Si y = [u ( x )] n , entonces dy du = nu n −1 dx dx Ejemplo: Calcular la derivada de y = ( x 2 +1) 5 Solución: Se define la parte externa de la función como ( x 2 +1) 5 y la parte interna como x 2 +1 En consecuencia, la derivada externa será 5( x 2 +1) 4 y la derivada interna será 2 x . dy Por lo tanto, = (derivada externa)(derivada interna). dx = [5( x 2 + 1) 4 ](2 x) Cálculo 50
  51. 51. 2.4. Derivada de las funciones logarítmica y exponencial Una función del tipo y = a x (a > 0, a ≠ 1) se denomina una función exponencial. Cuando a >1, la función se conoce como una función exponencial creciente, mientras que si a <1, se llama una función exponencial decreciente. El número a que aparece en la función exponencial y = a x se conoce como la base. Ésta puede ser cualquier número real positivo excepto 1 (por que se convertiría en una función constante). Con frecuencia es útil usar como base un número irracional denotado por e , el cual está dado hasta cinco cifras decimales: Cálculo 51
  52. 52. e = 2.71828. La función exponencial correspondiente se denota por ex y se denomina la función exponencial natural. Sea la función y = f ( x) = a u , donde u es función de x, entonces du y ' = a u . ln(a ). dx Ejemplo: Hallar la derivada de la función y = f ( x) = 5 3 x Solución: La función y = f ( x) = 5 3 x presenta como base 5 y exponente 3x. Por tanto, la derivada será: y ' = 5 3 x . ln(5).3 = 3.5 3 x . ln(5) Definición: Sea la función y = f ( x) = e u , donde u es función de x, entonces du y' = e u . dx Ejemplo: Cálculo 52
  53. 53. 2 Hallar la derivada de la función y = e 3 x Solución: 2 La función y = e 3 x presenta como base e y exponente 3x 2 . Por tanto, la derivada será: 2 2 y ' = e 3 x .6 x = 6 x.e 3 x La inversa de una función f (x ) se obtiene resolviendo la ecuación y = f (x ) −1 para x, de modo que se exprese a x como función de y : x = f ( y ) . Se puede considerar la posibilidad de construir la inversa de la función a x . Con el propósito de lograrlo, se debe resolver la ecuación y = a x para x. Tal ecuación no puede resolverse en términos de las funciones que conocemos hasta el momento. Se escribe la solución en la forma x = log a ( y ) , la cual denominamos logaritmo de y con base a. x = log a ( y ) si y sólo si y = a x La función a x sólo está definida cuando a > 0. Además, cuando a = 1, entonces 1x = 1 para todo x, en consecuencia, esta función no puede tener una inversa. Por tanto, en estas definiciones a puede ser cualquier número positivo excepto 1. Cuando la base del logaritmo es 10, por convención, se denota log10 = log . Cálculo 53
  54. 54. También se pueden formar logaritmos con base e . Éstos se denominan logaritmos naturales (o logaritmos neperianos). Se denotan con el símbolo ln y se definen como: y = ex, x = log e ( y ) = ln( y ) Esto es, la función x = ln( y ) es la inversa de la función y = e x . Definición: Sea la función y = f ( x) = log a (u ) , donde u es función de x, entonces 1 du y' = . log a (e). u dx Ejemplo: Hallar la derivada de la función y = log x 2 . Solución: Cálculo 54
  55. 55. Aplicando la definición, se encuentra que la derivada para la función es: 1 2 y' = 2 . log(e).2 x = log(e) x x Definición: Sea la función y = f ( x) = ln(u ) , donde u es función de x, entonces 1 du y' = . u dx Ejemplo: Hallar la derivada de la función y = f ( x) = ln( x 3 ) . Solución: Aplicando la definición, se encuentra que la derivada para la función es: 1 3 y' = 3 .3 x 2 = x x Cálculo 55
  56. 56. 2.5. Derivadas de orden superior dy Sea y = f (x ) una función dada con derivada = f ' ( x ) . A ésta, se le llama dx la primera derivada de y con respecto a x. Si f ' ( x) es una función diferenciable, su derivada se conoce como la segunda derivada de y con respecto a x. Si la segunda derivada es una función diferenciable, su derivada se conoce como la tercera derivada de y con respecto a x, etcétera. Si y = f (x ) es una función derivable, entonces dy La primera derivada será: y' ó f ' ( x) ó dx d2y La segunda derivada será: y ' ' ó f ' ' ( x) ó dx 2 d3y La tercera derivada será: y' ' ' ó f ' ' ' ( x) ó dx 3 dny La enésima derivada será: y n ó f n ( x) ó dx n Ejemplo: Cálculo 56
  57. 57. Calcular la primera derivada y las de orden superior de la función y = f ( x) = 3x 4 − 5 x 3 + 7 x 2 − 1 . Solución: La primera derivada de la función será: y ' = f ' ( x ) = 12 x 3 −15 x 2 +14 x La segunda derivada será la derivada de la primera derivada: y ' ' = f ' ' ( x) = 36 x 2 − 30 x +14 La tercera derivada será la derivada de la segunda derivada: y ' ' ' = f ' ' ' ( x ) = 72 x − 30 La cuarta derivada será la derivada de la tercera derivada: d4y = 72 dx 4 La quinta derivada será la derivada de la cuarta derivada: d5y =0 dx 5 Cálculo 57
  58. 58. Cálculo 58
  59. 59. 3. ANÁLISIS MARGINAL El análisis marginal es el estudio de la razón de cambio de cantidades económicas; por ejemplo, un administrador no se preocupa sólo por el valor del producto interno bruto (PIB) de una economía en un instante dado, sino también por la razón por la que aumenta o disminuye. En el mismo sentido, un fabricante no sólo se interesa en sus gastos totales correspondientes a cierto nivel de producción de un artículo, sino también en la razón de cambio de los gastos totales con respecto al nivel de producción. OBJETIVOS 1. Calcular e interpretar la función de costo marginal. 2. Calcular e interpretar la función de costo promedio. 3. Calcular e interpretar la función de ingreso marginal. 4. Calcular e interpretar la función de utilidad marginal. Cálculo 59
  60. 60. 3.1. Costo marginal El costo marginal se define como el valor límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero. Así, se puede pensar el costo marginal como el casto promedio por artículo extra cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida. Es decir, es el costo adicional al producir un artículo extra por encima de un límite de producción. De tal forma que, si se define c(x) como el costo total en función del número de artículos producidos x, el costo marginal se define por: lím ∆ = lím c( x + ∆x) − c( x) Costo marginal = ∆x → c 0 ∆x ∆x →0 ∆x Es claro que esta ecuación no es otra cosa que la derivada de la función de costo con respecto a la cantidad producida. dc Costo marginal = dx El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de la cantidad producida. Nota: para hallar el costo marginal se aplica los teoremas de derivación. Cálculo 60
  61. 61. Ejemplo: Para el caso de la función de costo C ( x) = 0.001x 3 − 0.3 x 2 + 40 x +1000 determinar el costo marginal como una función de x, y evaluarlo cuando la producción está dada por 50 artículos. Solución: La función de costo marginal será la derivada de C(x). Por tanto, Costo marginal = C’(x) = 0.001(3x 2 ) −0.3(2x) +40(1) +0 = 0.003x 2 −0.5x + 40 El costo marginal cuando se han producido 50 unidades está dado por: C' (50) = 0.003(50)2 − 0.5(50) + 40 = 7.5 – 30 + 40 = 17.5 Puede decirse que el costo adicional de producir el artículo 51 es de $ 17.5 Es importante no confundir el costo marginal con el costo promedio. Si C (x ) es la función de costo, el costo promedio de producir x artículos es el costo total, C (x) , dividido entre el número de artículos producidos. C ( x) Costo promedio por artículo = C ( x ) = x Ejemplo: Cálculo 61
  62. 62. Sea la ecuación de costo c( x) =1000 +10 x + 0.1x 2 , hallar el costo promedio cuando se producen 100 artículos. Solución: El costo promedio de producir 100 artículos será: 1000 + 10(100) + 0.1(100) 2 1000 + 1000 + 1000 C (100) = = = 30 100 100 Esto es, el costo promedio por artículo cuando se producen 100, es de $ 30. 3.2. Ingreso marginal Considerando los ingresos derivados de la venta de los productos o servicios de una empresa como R(x), se define el ingreso marginal como la derivada R’(x). ∆R Ingreso marginal = R ' ( x) = ∆x →0 lím ∆x Si el número de artículos vendidos se incrementa de x a x + ∆x , entonces, existe un incremento correspondiente en el ingreso dado por: Cálculo 62
  63. 63. ∆R = Nuevo ingreso – Ingreso original = R ( x + ∆x) − R ( x) El incremento promedio en el ingreso por artículo adicional vendido, se obtiene dividiendo ∆R entre el número de artículos adicionales, lo que da ∆R → ∆x . El valor límite de este promedio cuando ∆x 0 da el ingreso marginal. Así pues, el ingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por artículo adicional vendido cuando ocurre un incremento muy pequeño en el número de artículos vendidos. Esto es, la tasa con la que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen de ventas. Ejemplo: Si la función de ingreso está dada por R ( x) =10 x − 0.01x 2 , donde x es el número de artículos vendidos, determinar el ingreso marginal y evaluarlo cuando se venden 200 artículos. Solución: La función de ingreso marginal será la derivada de R(x). Por lo cual, R’(x) = 10 –0.01(2x) R’(200) = 10 – 0.02(x) R’(200) = 10 – 0.02(200) R’(200) = 10 – 4 = 6 Así que, producir el artículo 201 genera un ingreso adicional de $ 6. Cálculo 63
  64. 64. Cálculo del ingreso marginal a partir de la ecuación de demanda La función de ingreso puede escribirse como: R ( x ) = xp Donde p es el precio por artículo y x es el número de artículos vendidos. La relación entre x y p está dada por la ecuación de demanda. Mientras más artículos pueda vender la empresa, más bajo puede fijar el precio; entre más alto se fije el precio, en general, menor será el volumen de las ventas. Ejemplo: Determinar el ingreso marginal cuando x = 300 si la ecuación de demanda es: X = 1000 - 100p. Solución: De la ecuación de demanda se debe expresar a p como una función de x. 100p = 1000 – x p = 10 – 0.01x Así, la función de ingreso está dada por: R ( x ) = xp = x(10 –0.01x) = 10x – 0.01x² Cálculo 64
  65. 65. Por lo cual, R’(x) = 10 –0.02(x) Cuando el volumen de ventas es 300, el ingreso marginal está dado por: R’(300) = 10 –0.02(300) = 10 – 6 = 4. Así que, producir el artículo 301 genera un ingreso adicional de $4. 3.3. Utilidad marginal La utilidad que una empresa obtiene está dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. Si la función de ingreso es R(x) cuando se venden x artículos y la función de costo es C(x) al producirse esos mismos x artículos, entonces la utilidad P(x) obtenida por producir y vender x artículos está dada por: P(x) = R(x) - C(x) La derivada P’(x) se denomina utilidad marginal. Representa la utilidad adicional por artículo, si la producción sufre un pequeño incremento. Ejemplo: La ecuación de demanda de cierto artículo es: p + 0.1x = 180 Y la función de costo es: Cálculo 65
  66. 66. C(x) = 5000 + 20x. Calcular la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades. Solución: La función de ingreso está dada por: R(x) =xp = x(80 – 1.0x) = 80x – 1.0x² Por consiguiente, la utilidad generada por la producción y venta de x artículos está dada por: P(x) = R(x) - C(x) = (80x - 1.0x²) – (5.000 + 20x) = 60x – 0.10x² - 5.000 La utilidad marginal es la derivada P’(x). P’(x) = 60 – 0.2x Si x = 150, se obtiene P’(150) = 60 – 0.2(150) = 30 Cálculo 66
  67. 67. Así pues, cuando se producen y venden 150 artículos, la utilidad marginal, es decir, la utilidad extra cuando se produce un artículo adicional por encima de 150 es de $30. Cálculo 67
  68. 68. 4. OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS OBJETIVOS Cálculo 68
  69. 69. 1. Hallar los intervalos de crecimiento de una función real. 2. Hallar los intervalos de una concavidad de una función real. 3. Calcular los valores extremos de una función (máximo y mínimo) a partir de la derivada. 4. Bosquejar la gráfica de una función a partir de la derivada. 4.1. Crecimiento y decrecimiento de una función Una función y = f (x ) se dice que es una función creciente sobre un intervalo de valores de x si, y crece al incrementarse la x. Esto es, si x1 y x2 son dos Cálculo 69
  70. 70. valores cualesquiera en un intervalo dado con x1 > x2, entonces, f (x2) > f (x1). Una función y = f (x ) se dice que es una función decreciente sobre un intervalo de valores de x, si y decrece al incrementarse la x. Es decir, si x2 > x1 son dos valores de x en un intervalo dado, entonces f ( x2) < f ( x1). Definición: Si y = f (x ) es una función diferenciable en un intervalo dado, entonces, f (x ) es creciente en el intervalo en el cual f ' ( x ) > 0 , y es decreciente en el intervalo en el cual f ' ( x) < 0 . El valor x = c se denomina punto crítico para una función continua f (x ) si f (c) está bien definida y si f ' (c ) = 0 ó f ' ( x) no existe en x = c . El punto crítico es el punto en el cual existe cambio de crecimiento; es decir, deja de ser creciente para convertirse en decreciente o viceversa. Se calcula hallando los valores de x que hacen a f ' ( x) = 0. Ejemplo: Hallar los puntos críticos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y = f ( x) = ( x 2 −1) 2 . Solución: Cálculo 70
  71. 71. Para hallar los puntos críticos e intervalos de crecimiento y decrecimiento se debe iniciar con el cálculo de la primera derivada: f ' ( x ) = 4 x ( x 2 −1) Los puntos críticos son aquellos que hacen a f ' ( x) = 0, por tanto, 4 x ( x 2 −1) = 0 4 x ( x −1)( x +1) = 0 Donde, x = 0, x = 1, x = -1 Luego, al reemplazar en la función los valores de x para los cuales f ' ( x) = 0, se obtiene: y = f (0) = (0 2 − 1) 2 = 1 y = f (1) = (12 −1) 2 = 0 [ ] y = f ( −1) = ( −1) 2 − 1 = 0 2 En consecuencia, los puntos críticos serán (0, 1), (1, 0) y (-1, 0). Los valores de la coordenada x de los puntos críticos dividen la recta real en cuatro intervalos Cálculo 71
  72. 72. (- ∞ , -1), (-1, 0), (0, 1) y (1, + ∞ ). Intervalo (- ∞ , -1) (-1, 0) (0, 1) (1, + ∞ ) Punto de prueba -2 -0.5 0.5 2 f ' ( x ) = 4 x ( x 2 −1) [ 4( − ) ( − ) 2 2 2 ] −1 0 [ 4( − .5) ( − .5) 2 − 0 1 ] [ 4(0.5) (0.5) 2 −1 ] 4( 2)[( 2) 2 −1] <0 >0 <0 >0 f (x ) Decrece Crece Decrece Crece -∞ -1 0 1 +∞ En cada uno de estos intervalos, f ' ( x) tiene signo constante, sólo cambia en los valores de x =-1, x = 0 y x = 1. Así, que sólo se selecciona un punto de prueba en cada intervalo y se calcula el signo de f ' ( x) para cada intervalo. Los resultados obtenidos son los siguientes: Se observa que f ' ( x) > 0 en (-1, 0) y en ( 1, + ∞ ), así que la función es creciente en estos intervalos. En (- ∞ , -1) y en (0, 1), f ' ( x) < 0, así que la función es decreciente en estos intervalos. Cálculo 72
  73. 73. 4.2. Concavidad de una función La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo. Definición: si f (x ) es una función cuya segunda derivada existe en un intervalo dado, entonces: si f ' ' ( x ) > 0 para todo x en el intervalo dado, la función f (x ) es cóncava hacia arriba en dicho intervalo. si f ' ' ( x ) < 0 para todo x en el intervalo dado, la función f (x ) es cóncava hacia abajo en dicho intervalo. Cálculo 73
  74. 74. El punto de inflexión de una curva es el punto en donde la curva cambia de concavidad; es decir, cambia de ser cóncava hacia arriba para ser cóncava hacia abajo o viceversa. El punto de inflexión se calcula hallando los valores de x que hace a f ' ' ( x) = 0 Ejemplo: Hallar puntos de inflexión y concavidad de la función y = f ( x) = x 3 − 3x + 1 Solución: Los puntos de inflexión se hallan a partir de los valores de x que hacen f ' ' ( x) = 0 , por tanto, f ' ( x) = 3 x 2 − 3 f ' ' ( x) = 6 x 6x = 0 x =0 El valor de 0 corresponde a la coordenada x del punto de inflexión, y la coordenada y será: y = f (0) = 0 3 − 3(0) + 1 = 1 Luego, el punto de inflexión está representado por (0, 1) Cálculo 74
  75. 75. Para obtener los intervalos de concavidad, se toma el valor de x del punto de inflexión, el cual divide la recta numérica en dos intervalos (- ∞ , 0) y (0, + ∞ ). En cada uno de estos intervalos f ' ' ( x ) tiene signo constante, así que se elige un punto de prueba conveniente y se calcula el signo de f ' ' ( x ) en este punto. Esto determina el signo de f ' ' ( x ) en todo el intervalo. -∞ 0 +∞ Los resultados para la concavidad del ejercicio son los siguientes: Intervalo (- ∞ , 0) (0, + ∞ ) Punto de prueba -3 4 f ' ' ( x) = 6 x 6(-3) < 0 6(4) > 0 Concavidad Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba 4.3. Máximos y mínimos Muchas de las aplicaciones importantes de derivadas consisten en encontrar los valores máximo y mínimo de una función. Por ejemplo, la utilidad que obtiene un fabricante depende del precio que cobra por el producto, y el fabricante está interesado en conocer el precio que hace que su ganancia sea máxima. El precio óptimo (o mejor precio) se obtiene por medio de un proceso llamado maximización u optimización de la función de utilidad. Cálculo 75
  76. 76. Definición: Una función f (x) se dice que tiene un máximo local en x = c si f (c ) > f ( x ) para todo x suficientemente cerca de c. Así, los puntos P y Q de las gráficas 5 y 6 corresponden a máximos locales de las funciones correspondientes. Una función f (x) se dice que tiene un mínimo local en x = c si f (c ) < f ( x ) para todo x suficientemente cerca de c. Así, los puntos A y B de las gráficas 7 y 8 corresponden a mínimos locales de las funciones correspondientes. Cálculo 76
  77. 77. Gráfica 5 Gráfica 6 Cálculo 77
  78. 78. Gráfica 7 Gráfica 8 El término extremo se utiliza para denotar a un máximo local o bien a un mínimo local. Una función puede tener más de un máximo local y más de un mínimo local. 4.3.1. Criterio de la primera derivada para hallar extremos Sea x = c un punto crítico de una función f (x ) , entonces, f (x ) es máximo local si f ' ( x ) > 0 antes de c y f ' ( x ) < 0 después de c. Cálculo 78 f (x ) es mínimo local si f ' ( x ) < 0 antes de c y f ' ( x) > 0 después de c.
  79. 79. Esto es, si x = c es punto crítico y f (x) cambia de creciente a decreciente, entonces, x = c es un máximo y cuando f (x ) cambia de decreciente a creciente, entonces x = c es un mínimo. Ejemplo: Hallar los extremos de la función y = f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 7 bajo el criterio de la primera derivada. Solución: Para determinar los extremos se deben calcular los puntos críticos de la función, esto es: f ' ( x) = 4 x 3 −12 x 2 = 4 x 2 ( x − 3) En este caso los puntos críticos serían x = 0 ó x = 3. Estos puntos críticos dividen la recta en tres intervalos (- ∞ , 0), (0, 3) y (3, ∞ ). Por tanto, los resultados de crecimiento serán: Cálculo 79
  80. 80. Intervalo (- ∞ , 0) (0, 3) (3, + ∞ ) Punto de prueba -1 1 4 f ' ( x) = 4 x 2 ( x − 3) 4( − ) 1 2 ( − − ) =− 1 3 16 4 (1) 2 (1 − ) =− 3 8 4( 4) 2 ( 4 −3) =64 <0 <0 >0 f (x ) Decrece Decrece Crece En x = 0, f ' ( x ) es negativa en ambos intervalos, o sea que no es un extremo, porque a pesar de ser punto crítico no existe cambio de crecimiento de la función. Para x = 3, la función es decreciente antes de él y creciente después de él, por tanto, x = 3 es un mínimo. El valor mínimo (la coordenada y) se calcula reemplazando en la función: y = f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 7 y = f (3) = 34 − 4(3)3 + 7 = −20 Luego, el punto mínimo en la gráfica será (3, -20) Resumen para determinar extremos bajo el criterio de la primera derivada Cálculo 80
  81. 81. Paso 1. Encuentre los puntos críticos de la función (valores de x en los cuales f ' ( x) = 0 ) Paso 2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función (crece en f ' ( x ) > 0 y decrece en f ' ( x) < 0 ) Paso 3. Analice el crecimiento y decrecimiento antes y después de los puntos críticos (si crece antes del punto crítico y después de éste decrece, el punto crítico es un máximo local. Si decrece antes del punto crítico y después de éste crece, el punto crítico es un mínimo). 4.3.2. Criterio de la segunda derivada para hallar extremos Sea x = c un punto crítico de una función f (x ) , entonces x = c es máximo local si f ' ' (c ) < 0 x = c es mínimo local si f ' ' (c ) > 0 Esto es, si x = c es punto crítico y al reemplazarlo en la segunda derivada de la función se obtiene un resultado negativo (< 0), entonces, la función es cóncava hacia abajo; mientras que, si se obtiene un resultado positivo (> 0), entonces la función es cóncava hacia arriba. Ejemplo: Cálculo 81
  82. 82. Hallar los puntos extremos de la función y = f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 4 x − 8 bajo el criterio de la segunda derivada. Solución: Para determinar los extremos se deben calcular los puntos críticos de la función, esto es: f ' ( x) = 3x 2 + 4 x − 4 3x 2 + 4 x − 4 = 0 (3 x − 2)( x + 2) = 0 2 Luego, los valores de x para los puntos críticos son x = , x = −2 3 La segunda derivada de la función es f ' ' ( x) = 6 x + 4 2 Reemplazando x = en la segunda derivada se obtiene: 3 2 2 f ' ' ( ) = 6( ) + 4 = 8 > 0 3 3 2 Por tanto, al reemplazar en la segunda derivada el valor de x = se obtiene 3 un valor positivo (> 0), entonces la función en cóncava hacia arriba en ese 2 punto. En consecuencia, la función tiene un mínimo local cuando x = . El 3 valor mínimo local está dado por: Cálculo 82
  83. 83. 2 2 2 2 256 y = f ( ) = ( )3 + 2( ) 2 − 4( ) − 8 = − 3 3 3 3 27 Reemplazando x = −2 en la segunda derivada se obtiene: f ' ' ( −2) = 6( −2) + 4 = −8 < 0 Por tanto, al reemplazar en la segunda derivada el valor de x = −2 se obtiene un valor negativo (< 0), entonces la función en cóncava hacia abajo en ese punto. En consecuencia, la función tiene un máximo local cuando x = −2 . El valor máximo local está dado por: y = f (−2) = (−2)3 + 2( −2) 2 − 4( −2) − 8 = 0 Así, el único valor máximo local de f (x) es 0, y ocurre cuando x = −2 y el 256 2 único valor mínimo local es − y aparece cuando x = . 27 3 Resumen para determinar extremos bajo el criterio de la segunda derivada Paso 1: encuentre los puntos críticos de la función valores de x en los cuales f ' ( x) = 0 ). Paso 2. Encontrar f ' ' ( x) y evaluarlo cuando x=c Paso 3. f ' ' (c ) < 0 , entonces la función tiene un máximo local en x = c. Si f ' ' (c ) > 0 , entonces la función tiene un mínimo local en x = c. Cálculo 83
  84. 84. Si f ' ' (c ) = 0 ó f ' ' (c) no está definida, entonces x = c no es mínimo ni máximo local. Optimización Hay situaciones en Administración y Economía en las que aparece una función que conviene optimizar. Así, por ejemplo, un empresario, teniendo en cuenta que el costo por unidad y el precio de venta la público dependen del número de unidades fabricadas, puede calcular este número para maximizar la utilidad. Para abordar este tipo de situaciones no existen normas fijas, pero sí se sugieren algunos pasos que es conveniente seguir: - Hallar la expresión algebraica de la función teniendo en cuenta los datos del problema. - Si la función depende de más de una variable, hay que buscar relaciones entre ellas hasta poder dejar la función dependiendo de una sola. - Calcular los extremos de la función (máximos y mínimos). - Interpretar los resultados en el contexto del problema. Ejemplo: Se ha de construir un tanque con una base cuadrada horizontal y lados verticales rectangulares. No tendrá tapa. El tanque debe tener una capacidad de 4 metros cúbicos de agua. El material con que se construirá el tanque Cálculo 84
  85. 85. tiene un costo de $10 por cada metro cuadrado. ¿Qué dimensiones del tanque minimizan el costo del material? Solución: Paso 1. Determinación de los datos del problema. Las variables en el problema son las dimensiones del tanque y el costo de los materiales de construcción. El costo depende del área total de la base y de los lados. Se denota con x la longitud de un lado de la base y, con y, la altura del tanque, como lo ilustra la figura 1. y x x Figura 1 La cantidad que debe minimizarse es el costo total de materiales, denotada por C, y es igual al área del tanque multiplicada por $10, que es el costo por unidad de área. La base es un cuadrado con lado x, de modo que tiene un área igual a x². Cada lado es un rectángulo con dimensiones x e y, y tiene un área xy. El área total de la base más los cuatro lados es x 2 + 4 xy . En consecuencia, se escribe: C = 10( x 2 + 4 xy ) Paso 2. La cantidad a minimizar está expresada como una función de dos variables, de modo que se necesita una relación entre x e y a fin de eliminar Cálculo 85
  86. 86. una de éstas. Esta relación se obtiene del requerimiento de que el volumen del tanque debe ser 4 metros cúbicos. El volumen es igual al área de la base por la altura, esto es, x 2 y , y así se tiene la condición: x2 y = 4 4 Luego, y = x2 Así, la función de costo a minimizar será:  4   16  C ( x) = 10  x 2 + 4 x( 2 ) = 10  x 2 +   x   x Paso 3. Se deriva la función de costo para obtener los puntos críticos. 16 8 C ' ( x ) = 10(2 x − 2 ) = 20( x − 2 ) x x Para los puntos críticos se hace C ' ( x) = 0 . Esto es: 8 20( x − ) =0 x2 x3 − 8 20( 2 ) = 0 x Donde x3 − 8 = 0 x3 = 8 x=2 Se verifica si x = 2 es mínimo por medio del criterio de la segunda derivada. Esto es: 16 320 C ' ' ( x) = 20(0 + 3 )= 3 x x Cálculo 86
  87. 87. 320 320 320 C ' ' ( 2) = = 3 = = 40 > 0 x3 2 8 Al reemplazar el valor crítico x = 2 en la segunda derivada se obtiene un valor positivo, lo cual implica que, en el punto x = 2 la función es cóncava hacia arriba; en consecuencia, siendo x = 2 punto crítico y la función cóncava hacia arriba, x = 2 es un mínimo. 4 Luego, y = =1 22 Paso 4. Para obtener el mínimo costo del material, el tanque debe construirse con una base de 2 metros de lado y una altura de un metro. El costo total del tanque será C = 10[22 + 4(2)(1)] = 10[12] = $120 4.4. Bosquejo de curvas polinomiales En muchas ocasiones se requiere la gráfica de una función para visualizar su comportamiento a medida que la variable independiente toma valores específicos. En este caso, la primera y segunda derivadas son herramientas efectivas para bosquejar la gráfica de una función. En el siguiente cuadro se esquematizan las combinaciones de primera y segunda derivada, compartidas en temas anteriores. Signo de f ' ( x) y Propiedades de la gráfica Forma de la gráfica f ' ' ( x) f ' ( x) > hacia 0 Creciente y cóncava y f ' ' ( x) > 0 arriba Cálculo 87
  88. 88. f ' ( x) > 0 y f ' ' ( x) < 0 Creciente y cóncava hacia abajo f ' ( x) < 0 y f ' ' ( x) > 0 Decreciente y cóncava hacia arriba f ' ( x) < 0 y f ' ' ( x) < 0 Decreciente y cóncava hacia abajo Los pasos necesarios para el bosquejo de la gráfica de una función polinomial son los siguientes: Paso 1: calcular f ' ( x ) . Determinar los puntos críticos, esto es valores de x para los cuales f ' ( x ) = 0 ; luego, calcular la coordenada y en la función f (x) . Determinar los intervalos en que f ' ( x ) es positiva (intervalos en que la función f (x ) crece) o negativa (intervalos en que la función f (x ) decrece). Paso 2: calcular f ' ' ( x) . Determinar los puntos de inflexión, esto es valores de x para los cuales f ' ' ( x) = 0 ; luego calcular a la coordenada y en la función f (x ) . Cálculo 88
  89. 89. Determinar los intervalos en que f ' ' ( x) es positiva (cóncava hacia arriba) o negativa (cóncava hacia abajo). Paso 3: ubicar puntos. En lo posible, calcular los puntos de intercepto1 de la gráfica con los ejes de coordenadas x y y. Esto es, intercepto con eje x (se hace y = 0 en la función y se encuentran los valores de x), intercepto con eje y (se hace x = 0 en la función y se encuentran los valores de y). Localizar los interceptos con los ejes, los puntos críticos y de inflexión sobre un plano cartesiano y trazar la curva, teniendo en cuenta los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo. En este caso, puede apoyarse del cuadro de combinaciones de primera y segunda derivada. Ejemplo: Bosquejar la gráfica de la función y = f ( x) = x 3 − 3x . Solución: Siguiendo los pasos para el bosquejo de gráficas, se tiene: Intercepto con el eje x. Se hace y = 0 en la función y se obtienen los valores para x, esto es: x3 − 3x = 0 1 Intercepto: es el corte de una función con un eje de coordenadas. Intersección: es la ubicación simultánea de dos funciones en un plano determinado. Cálculo 89
  90. 90. x( x 2 − 3) = 0 x( x − 3 )( x + 3 ) = 0 Donde x = 0, x = 3, x =− 3 Por tanto, los interceptos para el eje x son (0,0), ( 3 ,0), ( − 3 ,0) Para el intercepto con el eje y. Hacer x = 0 en la función y obtener los valores para y, esto es: y = 03 − 3(0) = 0 En consecuencia, el intercepto con el eje y es el punto (0, 0). Puntos críticos. A partir de la primera derivada de la función se obtienen los puntos críticos; éstos son los valores de x que hace cero a f ' ( x) . f ' ( x ) = 3 x 2 − 3 = 3( x 2 −1) = 3( x −1)( x +1) . 3( x −1)( x +1) = 0 Luego, x = 1 y x = -1 son los valores de x para los puntos críticos. Reemplazando estos valores en la función se obtienen las respectivas coordenadas y. y = f (1) = (1)3 − 3(1) = 1 − 3 = −2 y y = f (−1) = (−1)3 − 3(−1) = −1 + 3 = 2 Luego, los puntos críticos son (-1, 2) y (1, -2) 4.4.1. Intervalos de crecimiento Cálculo 90
  91. 91. Los valores de x de los puntos críticos dividen la recta real en tres intervalos: Intervalo (- ∞ , -1) (-1, 1) (1, + ∞ ) Punto de prueba -2 0 2 f ' ( x) = 3 x 2 − 3 3(−2) 2 − 3 = 9 3(0) 2 − 3 = −3 3( 2) 2 − 3 = 9 >0 <0 >0 f (x ) Crece Decrece Crece (- ∞ , -1), (-1, 1) y (1, ∞ ). En cada uno de estos intervalos, f ' ( x) tiene signo constante; luego, se selecciona un punto de prueba para cada uno y se obtiene el signo del intervalo respectivo. Esto es: 4.4.2. Puntos de inflexión Se hallan a partir de la segunda derivada de la función. Son aquellos valores de x que hace cero la segunda derivada. Esto es: f ' ' ( x) = 6 x 6 x = 0, x=0 Luego se reemplaza el valor x = 0 en la función para hallar la coordenada y: y = f (0) = (0)3 − 3(0) = 0 Cálculo 91
  92. 92. En consecuencia, la función tiene cambio de concavidad en el punto de inflexión (0, 0). 4.4.3. Intervalos de concavidad El valor x = 0 del punto de inflexión divide la recta real en dos intervalos (- ∞ , 0) y (0, ∞ ). En cada uno de estos intervalos se selecciona un punto de prueba para determinar el signo de f ' ' ( x) , y en consecuencia, la concavidad de la función. Esto es: Intervalo (- ∞ , 0) (0, + ∞ ) Punto de -2 2 prueba f ' ' ( x) = 6 x 6( − ) = − 2 12 6( 2) = 12 <0 >0 f (x ) Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Cálculo 92

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