1. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Tema 3
Dinámica de fluidos
U i ri dC mp tn e
n es a o l e s
v d u 1/41

2. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Preliminares
Sea F (r, t) un campo definido en el fluido (T , ρ, ui, etc).
d ∂F
F dΩ = dΩ + F uA · dA
dt Ω(t) Ω(t) ∂t A(t)
donde A(t) es la superficie que encierra a Ω(t) y uA la velocidad de los
puntos de esa superficie.
Volumen fijo (V ): uA = 0.
d ∂F
F dV = dV
dt V V ∂t
Volumen material (V): uA = u.
D ∂F
F dV = dV + F u · dA
Dt V V ∂t A(t)
U i ri dC mp tn e
n es a o l e s
v d u 2/41

3. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Teorema del transporte de Reynolds
Osborne REYNOLDS, 1842–1912
Aplicando el teorema de la divergencia [AM18] obtenemos
D ∂F
F dV = + · (F u) dV
Dt V V ∂t
o equivalentemente
D ∂F ∂
F dV = + (F uj ) dV
Dt V V ∂t ∂xj
donde se ha empleado el criterio de suma sobre índices repetidos.
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v d u 3/41

4. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Circulación a lo largo de un camino material
D DF
F dxi = dxi + F dui
Dt C(t) C(t) Dt C(t)
(véase J. H. Spurk, Fluid Mechanics, página 34).
Corolario
Sea F = ui y C un camino material cerrado. Entonces
D Dui 1 2
ui dxi = dxi + d (ui) =⇒
Dt C(t) C(t) Dt 2 C(t)
=0
D Du
u·d = ·d
Dt C(t) C(t) Dt
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n es a o l e s
v d u 4/41

5. C ro2 0 -0 7
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Flujo másico
Masa entre dS1 y dS2
ρu dt dA cos θ = ρu · dA dt
Masa que atraviesa la superficie dA en
la unidad de tiempo: ρu · dA.
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n es a o l e s
v d u 5/41

6. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Ecuación de continuidad
V : volumen fijo arbitrario
d ∂ρ
ρ dV = dV = − ρu · dA
dt V V ∂t A
∂ρ [AM18]
dV = − ρu · dA = − · (ρu) dV
V ∂t A V
∂ρ 1 Dρ
+ · (ρu) = 0 + ·u=0
∂t ρ Dt
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v d u 6/41

7. C ro2 0 -0 7
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Fuerzas de superficie
f : fuerza por unidad de área.
n: vector unitario normal.
f (−n) = −f (n).
Fuerza de superficie total:
f (n)dA + f (−ej )dAj = f (n)dA − f (ej )dAj
dAj = ej · n dA = nj dA
fi(n) dA − fi(ej ) dAj = fi(n) − fi(ej ) nj dA
τji ≡ fi(ej )
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v d u 7/41

8. C ro2 0 -0 7
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Tensor de tensiones
τjinj ≡ fi(n)
τji es la tensión en la dirección i sobre una superficie normal al eje Xj .
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v d u 8/41

9. C ro2 0 -0 7
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Conservación del momento
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v d u 9/41

10. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
La fuerza neta en la dirección del eje X1 es
∂τ11 dx1 ∂τ11 dx1
τ11 + − τ11 + dx2dx3
∂x1 2 ∂x1 2
∂τ21 dx2 ∂τ21 dx2
+ τ21 + − τ21 + dx1dx3
∂x2 2 ∂x2 2
∂τ31 dx3 ∂τ31 dx3 ∂τj1
+ τ31 + − τ31 + dx1dx2 = dV
∂x3 2 ∂x3 2 ∂xj
Aplicando la segunda ley de Newton al elemento de masa dm = ρdV
obtenemos la ecuación de Cauchy
Dui ∂τji
ρ = ρgi +
Dt ∂xj
Agustin Louis CAUCHY, 1789–1857
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v d u 10/41

11. C ro2 0 -0 7
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Deducción alternativa de la ecuación de Cauchy
Segunda ley de Newton
D
ρuidV = ρgidV + τjidAj
Dt V V A
Utilizando el teorema de Reynolds tendremos
D ∂ ∂
ρuidV = (ρui) + (ρuiuj ) dV
Dt V V ∂t ∂xj
∂ui ∂ρ ∂ ∂ui
= ρ + ui + (ρuj ) +ρuj dV
V ∂t ∂t ∂xj ∂xj
=0
Dui
= ρ dV
V Dt
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v d u 11/41

12. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Por otra parte, empleando el teorema de la divergencia [AM18]
∂τji
τjidAj = dV
A V ∂xj
tenemos finalmente
Dui ∂τji
ρ − ρgi − dV = 0
V Dt ∂xj
Obtenemos la ecuación de Cauchy considerando que la relación anterior es
válida para cualquier volumen material. Por tanto, se cumple que
Du
ρ = ρg + ·τ
Dt
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v d u 12/41

13. C ro2 0 -0 7
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Momento de las fuerzas
D
ρ r × u dV = ρ r × g dV + r × f (n)dA
Dt V V A
Por el teorema de Reynolds, la componente i es
D ∂ ∂
ρ εijk xj uk dV = εijk (ρxj uk ) + (ρxj uk ul ) dV
Dt V V ∂t ∂xl
El término entre corchetes es igual a
∂ ∂xj ∂ ∂xj
. . . = xj (ρuk ) + ρuk +xj (ρuk ul ) + ρuk ul
∂t ∂t ∂xl ∂xl
=0 =δjl
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v d u 13/41

14. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Derivando los productos obtenemos
∂ρ ∂ ∂uk ∂uk
. . . = xj uk + (ρul ) +ρxj + ul +ρuk uj .
∂t ∂xl ∂t ∂xl
=0 Duk
=
Dt
Por tanto
Duk
εijk . . . dV = ρεijk xj dV + ρ εijk uj uk dV
V V Dt V
(u×u)i =0
y finalmente
Du
ρr × dV = ρ r × g dV + r × f (n)dA
V Dt V A
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v d u 14/41

15. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
El tensor de tensiones es simétrico
La componente i de la ecuación del momento de la fuerza es
Duk
ρ εijk xj − gk dV = εijk xj τlk nl dA
V Dt A
∂ ∂τlk
= εijk (xj τlk ) dV = εijk xj dV + εijk τlk δjl dV =⇒
V ∂xl V ∂xl V
Duk ∂τlk
εijk xj ρ − ρgk − dV = εijk τjk dV =⇒ εijk τjk = 0 , ∀i
V Dt ∂xl V
=0
Como el tensor ε es completamente antisimétrico resulta finalmente
˜
τjk = τkj
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v d u 15/41

16. C ro2 0 -0 7
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Ecuación constitutiva de un fluido newtoniano
La ecuación constitutiva de un medio relaciona la tensión con la deforma-
ción. Cuando este medio es un fluido en reposo
τij = −P δij
Cuando el fluido se mueve tendremos que, en general,
τij = −P δij + σij σij = σji
donde el tensor σ debe depender de los gradientes del flujo.
Proponemos una combinación lineal de la siguiente manera:
∂um
σij = Kijmn = Kijmnemn + Kijmnωmn
∂xn
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v d u 16/41

17. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Si el medio es isótropo Kijmn = λδij δmn + 2µδimδjn, que es simétrico
también en los dos últimos subíndices. Como se cumple que
1 1 1
Kijmnωmn = Kijmnωmn + Kijnmωnm = Kijmn (ωmn + ωnm) = 0
2 2 2
=0
tendremos
σij = (λδij δmn + 2µδimδjn) emn = λemmδij + 2µeij = λ · u δij + 2µeij
Cuando se cumple la hipótesis de Stokes 3λ + 2µ = 0 se obtiene
2
τij = − P + µ · u δij + 2µeij
3
que fue propuesta por Saint-Venant en 1843 y Stokes en 1845.
Adhémar BARRÉ, Conde de Saint-Venant, 1797–1886
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v d u 17/41

18. C ro2 0 -0 7
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Ecuación de Navier–Stokes
Henri NAVIER, 1785–1836.
George Gabriel STOKES, 1819–1903
Partiendo de la ecuación de Cauchy y de la ecuación constitutiva (supo-
niendo que µ es constante)
Dui ∂P ∂ 1
ρ =− + ρgi + 2µ eij − · u δij
Dt ∂xi ∂xj 3
1 ∂ui ∂uj
Recordando la definición del tensor eij = +
2 ∂xj ∂xi
Dui ∂P 2 1∂
ρ =− + ρgi + µ ui + ( · u)
Dt ∂xi 3 ∂xi
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v d u 18/41

19. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
En los líquidos ordinarios las variaciones espaciales de · u son muy pe-
queñas (estrictamente nulas si el fluido es incompresible). Así obtenemos la
ecuación de Navier–Stokes para fluidos newtonianos incompresibles
∂u 2
ρ + ρ(u · )u = − P + ρg + µ u
∂t
Cuando las fuerzas de viscosidad son despreciables obtenemos la ecuación
de Euler
∂u
ρ + ρ(u · )u = − P + ρg
∂t
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v d u 19/41

20. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Flujo unidimensional incompresible
∂
Como u(x, y, z, t) = u(x, y, z, t) ı tendremos u · = u y el término
∂x
∂u
advectivo resulta ser (u · )u = u ı = u( · u) = 0
∂x
Flujo de Couette
Sean dos planos paralelos horizontales, uno de los cuales se mueve respecto
al otro con velocidad uniforme V0. Entre ambos planos existe un fluido de
viscosidad µ no sometido a gradientes externos de presión.
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v d u 20/41

21. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
En estado estacionario el flujo será unidimensional u(x, y, z) = u(x, y, z) ı.
Si el fluido es incompresible u = u(y, z). Dada la simetría de traslación a
lo largo del eje Z, la velocidad tampoco puede depender de z, por lo que
u = u(y). La ecuación de Navier-Stokes se reduce a
∂P d2u ∂P
=µ 2 = −ρg
∂x dy ∂y
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v d u 21/41

22. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
La segunda ecuación nos dice que el gradiente de presión en la dirección
vertical Y es el mismo que habría si el fluido estuviera en resposo. Como
no hay gradiente aplicado en la dirección X, u (y) = 0. Con u(y = 0) = 0
y u(y = a) = V0 obtenemos un perfil lineal de velocidad
y
u(y) = V0
a
La fuerza por unidad de área que debemos aplicar al plano
∂u V0
|fx| = |τxy | = µ =µ
∂y a
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v d u 22/41

23. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Flujo de Poiseuille
Jean Louis POISEUILLE, 1799–1869
Consideremos el movimiento de un fluido incompresible en estado estacio-
nario en una tubería horizontal sometido a un gradiente de presión uniforme.
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v d u 23/41

24. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
La componente z de la ecuación de Navier–Stokes es
∂P 1 ∂ ∂uz (r)
0=− +µ r
∂z r ∂r ∂r
El gradiente de presión a lo largo de la tubería se supone uniforme
P1 − P2 ∂P
K= ≡−
L ∂z
Como uz (r = R) = 0 y uz (r = 0) = 0 obtenemos
r2 KR2
uz = V0 1− 2 V0 ≡
R 4µ
R
πKR4
Q= ρu · dA = 2πρ uz (r)r dr =
A 0 8ν
que es la ley de Poiseuille.
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v d u 24/41

25. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Energía mecánica en un fluido
Multiplicando la ecuación de Cauchy por ui y sumando sobre i
∂ 1 ∂ 1 ∂τij
ρ uiui + ρuj uiui = ρuigi + ui
∂t 2 ∂xj 2 ∂xj
Multiplicando la ecuación de continuidad por (1/2)uiui
1 ∂ρ 1 ∂
uiui + uiui (ρuj ) = 0
2 ∂t 2 ∂xj
Sumando ambas ecuaciones resulta
∂E ∂ ∂τij 1
+ (uj E) = ρuigi + ui E≡ ρ uiui
∂t ∂xj ∂xj 2
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v d u 25/41

26. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
∂E
El término es la variación local de la densidad de energía cinética en
∂t
un punto del fluido.
∂
El término (uj E) representa el transporte de densidad de energía ciné-
∂xj
tica de un punto a otro del fluido, como consecuencia del transporte de
masa.
El término ρuigi es el trabajo por unidad de tiempo (potencia) realizado
por el peso por unidad de volumen.
∂τij
El término ui es el trabajo por unidad de tiempo (potencia) realizado
∂xj
por la fuerza neta de superficie por unidad de volumen, que se invierte en
modificar E.
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n es a o l e s
v d u 26/41

27. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
La potencia neta debida a las fuerzas de superficie por unidad de volumen
es
∂ ∂ui ∂τij
(uiτij ) = τij + ui
∂xj ∂xj ∂xj
Lo comprobamos integrando dicho término en un volumen arbitrario y em-
pleando el teorema de la divergencia [AM18]
∂
u · df = u · τ · dA =
˜ uiτij dAj = (uiτij ) dV
A A A V ∂xj
∂ui
El término τij representa la potencia de deformación. Por tanto, la
∂xj
potencia neta debida a las fuerzas de superficie por unidad de volumen se
invierte tanto en modificar la densidad de energía cinética como en deformar
el fluido.
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n es a o l e s
v d u 27/41

28. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Para un fluido newtoniano tendremos
∂ui 2
τij = τij eij = −P ( · u) + 2µeij eij − µ ( · u)2
∂xj P DV
3
=− V Dt ≡2µφ
2
siendo φ ≡ eij eij − (1/3)( · u)2 = [eij − (1/3) · u δij ] una magnitud
positiva. En consecuencia, la potencia de deformación es la contribución
de la potencia debida a las fuerzas de presión por unidad de volumen y la
disipación debida a la viscosidad.
Finalmente, el balance de energía resulta ser
∂E ∂ ∂
+ (uj E) = ρuigi + (uiτij ) + P ( · u) − 2µφ
∂t ∂xj ∂xj
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v d u 28/41

29. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Ecuación de Bernoulli
Daniel BERNOULLI, 1700–1782
Consideremos un fluido sin viscosidad, donde es válida la ecuación de Euler
∂ui ∂ui ∂ 1 ∂P
+ uj =− (gz) −
∂t ∂xj ∂xi ρ ∂xi
Podemos obtener que
∂ui ∂ 1 1 ∂P ∂
+ uj uj + + (gz) = u × ( × u)
∂t ∂xi 2 ρ ∂xi ∂xi i
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n es a o l e s
v d u 29/41

30. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
A continuación consideramos un flujo barotrópico, que es aquel donde
la densidad sólo depende de la presión, ρ = ρ(P ). Por tanto, la siguiente
integral no depende del camino de integración
r r
dP dF dF 1 dP
= dρ = F (r) − F (r0) ≡
r0 ρ r0 dρ dρ ρ dρ
Por tanto
r
∂ dP ∂F dF ∂ρ 1 ∂P
= = =
∂xi r0 ρ ∂xi dρ ∂xi ρ ∂xi
Definimos la función de Bernoulli como
r
1 dP
B ≡ uiui + + gz
2 r0 ρ
∂u
+ B =u×( × u)
∂t
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n es a o l e s
v d u 30/41

31. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Si el flujo es estacionario B = u×( ×
u): u y × u son perpendiculares a B.
Ambos vectores son tangentes a las super-
ficies B = cte. Las líneas de corriente es-
tán contenidas en las superficies B = cte.
Por tanto, en estado estacionario la función de Bernoulli es constante
sobre las líneas de corriente. Si además el flujo es irrotacional ( × u = 0)
entonces la función de Bernoulli es constante en todo el fluido.
Si ρ = cte, sobre las líneas de corriente se cumple que
1 2
ρu + P + ρgz = cte
2
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n es a o l e s
v d u 31/41

32. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Tubo de Pitot
Henri PITOT, 1695–1771
Consideremos las dos líneas de co-
rriente que parten de O y O . Apli-
cando la ecuación de Bernoulli a cada
una de ellas
PO + 1 ρu2 = P1 1
2 =⇒ P1 − P2 = ρu2
PO = P2 2
P1 + ρgh1 P2 + ρgh2 + ρmghm ⇒ P1 − P2 ρmghm
ρm
u= 2 ghm
ρ
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v d u 32/41

33. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Vaciado de un depósito
Depósito cilíndrico de radio R con un pequeño orificio B circular de sección
SB , situado en el fondo del recipiente. Suponemos que se encuentra en
estado estacionario (SB πR2).
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n es a o l e s
v d u 33/41

34. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
1 2
ρgzc = ρVB =⇒ VB = 2gzc
2
Entre los instantes t y t + dt, por el orificio sale una cantidad de agua igual
es VB SB dt mientras que la altura desciende de zc a zc − dzc, por lo que el
volumen se reduce en −πR2dzc. Por tanto
d 1/2 g SB
VB SB dt = −πR2dzc =⇒ zc = −
dt 2 πR2
de donde
g SB
zc(t) = zc(0) − t
2 πR2
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v d u 34/41

35. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Teorema de Kelvin
William Thomson, Lord Kelvin, 1824–1907
Consideremos un flujo barotrópico con viscosidad despreciable. Integrando
la ecuación de Euler a lo largo de un camino material cerrado tenemos
Du D 1
·d = u·d =− P ·d + g·d
C(t) Dt Dt C(t) C(t) ρ C(t)
=0
Si el flujo es barotrópico
r r
dP 1 1
= P · d = F (r) − F (r0) =⇒ P ·d =0
r0 ρ r0 ρ C(t) ρ
D D
u · d = 0 =⇒ ω · dA = 0
Dt C(t) Dt A(t)
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v d u 35/41

36. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Flujos potenciales
Cuando un flujo es irrotacional ( × u = 0) existe una función potencial
escalar tal que
u= ϕ
Si además el fluido es incompresible ( · u = 0) entonces el potencial
velocidad verifica la ecuación de Laplace
2
ϕ=0
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v d u 36/41

37. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Flujos bidimensionales: u(x, y) = u(x, y) ı + v(x, y) . Si el flujo es además
incompresible entonces existe un potencial vector C = Ψk tal que u =
× C, por lo que
∂Ψ ∂Ψ
u= v=−
∂y ∂x
esto es
∂Ψ ∂Ψ
u= ı− 
∂y ∂x
La función de corriente Ψ es constante sobre las líneas de corriente pues
dx dy ∂Ψ ∂Ψ
= ⇒ vdx − udy = 0 ⇒ dx + dy = 0 ⇒ dΨ = 0
u v ∂x ∂y
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v d u 37/41

38. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Como ejemplo, consideremos el potencial velocidad dado por
C 2
ϕ= x − y2
2
El flujo es entonces u = C x ı − y  y la función de corriente Ψ = Cxy
(salvo una constante aditiva).
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v d u 38/41

39. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Experimento de Reynolds
∂u u

∂u
ρu ∼ 

∂x ∂x
 U
Re = =⇒ Re = Número de Reynolds
∂ 2u ∂ 2u u  ν
µ 2 ∼ 2


∂x ∂x2
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v d u 39/41

40. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Transición laminar-turbulento
Pinche sobre el icono para visualizar una animación de los vórtices de von Karman tras un cilindro
moviéndose en un fluido:
U i ri dC mp tn e
n es a o l e s
v d u 40/41

41. C ro2 0 -0 7
us 0 62 0
Análisis de escalas
Consideremos la ecuación de Navier–Stokes
∂u 2
ρ + ρ(u · )u = − P + µ u P ≡ P + ρg · r.
∂t
r u Ut P
r = u = t = P =
U ρU 2
por lo que obtenemos la siguiente ecuación adimensional
∂u 1 2
+ (u · )u = − P + u
∂t Re
Si encontramos u (r , t) podemos utilizarlo para valores arbitrarios de ρ,
µ, y U , siempre que no cambiemos el número de Reynolds (semejanza
dinámica). El número de Reynolds permite averiguar qué término es más
importante en la ecuación adimensional.
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n es a o l e s
v d u 41/41