2. TEOREMA A TEOREMA B
FUNGSI IMPLISIT LATIHAN SOAL

3. Misalkan 𝑥 = 𝑥(𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑡) terdiferensiasikan di t dan misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
terdiferensiasikan di 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 . Maka, 𝑧 = 𝑓(𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ) dapat dideferensiasikan
di t dan
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑑𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡

4. Diketahui 𝑢 = 𝑥2
+ 𝑦2
misal 𝑥 = 𝑟𝑒5
dan 𝑦 = 𝑟𝑒−5
Tentukanlah
𝑑𝑢
𝑑𝑟
:
𝑑𝑢
𝑑𝑟
=
 𝑢
 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑟
+
 𝑢
 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑟
= 2𝑥 𝑒5 + 2𝑦 𝑒−5
= 𝟐𝒙𝒆 𝟓 + 𝟐𝒚𝒆−𝟓

5. misal 𝑥 = 𝑑𝑣5
dan 𝑦 = 𝑑𝑣−5
Tentukanlah
𝑑𝑢
𝑑𝑟
:
𝑑𝑢
𝑑𝑣
=
 𝑢
 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣
+
 𝑢
 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑣
= 2𝑥 𝑣5 + 2𝑦 𝑣−5
= 𝟐𝒙𝒗 𝟓 + 𝟐𝒚𝒗−𝟓

6. Misalkan 𝑥 = 𝑥(𝑠, 𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑠, 𝑡) mempunyai turunan-turunan
parsialpertama di (s, t ) dan misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) terdiferensiasi di
(𝑥 𝑠, 𝑡 , 𝑦 𝑠, 𝑡 ). Maka 𝑧 = 𝑓(𝑥 𝑠, 𝑡 , 𝑦 𝑠, 𝑡 ) mempunyai turunan-turunan
parsial pertamayang diberikan oleh:
1.
 𝑧
 𝑠
=
 𝑧
 𝑥
 𝑥
 𝑠
+
 𝑧
 𝑦
 𝑦
 𝑠
1.
 𝑧
 𝑡
=
 𝑧
 𝑥
 𝑥
 𝑡
+
 𝑧
 𝑦
 𝑦
 𝑡

7. Diketahui 𝑎 = 4𝑥2 + 𝑦2 dan 𝑥 = 3𝑠 + 6𝑡;𝑦 = 4𝑠𝑡, carilah  𝑎
 𝑡
!dan
nyatakan dalam bentuk s dan t!
𝑎
𝑡
=
𝑎
𝑥
𝑥
𝑡
+
𝑎
𝑦
𝑦
𝑡
= 8𝑥 6 + (2𝑦)(4𝑠)
= 48 3𝑠 + 6𝑡 + 8𝑠𝑡 4𝑠𝑡
= 144𝑠 + 288𝑡 + 32𝑠2 𝑡

8. 𝑎
𝑡
=

𝑡
(4𝑥2 + 𝑦2)
=

𝑡
4 3𝑠 + 6𝑡2 + (4𝑠𝑡2)
=

𝑡
4 9𝑠2 + 36𝑡2 + 36𝑠𝑡 + 16𝑠2 𝑡2
=

𝑡
36𝑠2
+ 144𝑡2
+ 144𝑠𝑡

9. Fungsi Implisit yaitu fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variable yakni
variable bebas dan variable tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak
bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda.
𝐹
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+
𝐹
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
Mencari 𝑑𝑦
𝑑𝑥, yaitu
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = −
𝐹
𝑥
𝐹
𝑦

10. Carilah 𝑑𝑦
𝑑𝑥 jika 𝑥2 + 𝑥3 𝑦 + 4𝑦3!
(diferensiasi implisit)
Misalkan F(x,y)= 𝑥2
+ 𝑥3
𝑦 + 4𝑦3
, maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = −
𝐹
𝑥
𝐹
𝑦
= −
2𝑥 + 3𝑥𝑦
𝑥3 +12𝑦2

11. (aturan rantai)
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 2𝑥+𝑥3 𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 3𝑥𝑦 +12𝑦2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0

12. 1. Jika diketahui 𝑧 = 6𝑥2
+ 𝑦2
dengan 𝑥 = 2𝑡 + 𝑠 dan 𝑦 = 2𝑠𝑡 carilah
 𝑎
 𝑡
dan nyatakan dalam bentuk s dan t!
2. Carilah 𝑑𝑦
𝑑𝑥 jika 𝑥3 + 2𝑥2 𝑦 + 𝑦3 = 0 menggunakan diferensiasi implisit!