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Elipse y parábola

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CÓNICAS 
Elipse y Parábola 
PROFESORES: Brandon Mella 
Ramón Bustos
Cónicas Definición 
 Se denomina sección cónica ( o simplemente cónica ) a todas las curvas 
intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el 
vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Dependiendo del 
ángulo del plano relativo al cono, la intersección es un círculo, una elipse, 
una hipérbola o una parábola.(Nosotros nos concentraremos en la elipse y 
parábola)
Elipse 
 Es una curva cerrada, la intersección de un cono circular recto, y 
un plano no paralelo a su base, el eje o algún elemento del cono.
elipse 
 Definición geométrica: sean 퐹1 , 퐹2 dos puntos 
diferentes del plano y 푘 > 0, 푘 mayor que la 
distancia entre 퐹1 y 퐹2. 
La elipse de focos 퐹1,퐹2 y eje mayor de longitud 푘, 
es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya 
suma de distancia a 퐹1 y 퐹2 es igual a 푘. 
El punto central entre 퐹1 y 퐹2 se llama centro de la 
elipse. La recta que pasa por 퐹1 y 퐹2 contiene 2 
puntos de la elipse se llaman vértices de la elipse 푣1 y 
푣2
Elipse 
Observacion: se demuestra que la distancia entre 
푣1 y 푣2 es 푘, por lo que el segmento 푣1푣2 es el eje 
mayor de la elipse.
Ecuacion de una elipse con centro (ퟎ, ퟎ) y eje 
mayor horizontal 
Sean 퐹1(−퐶, 푂) Y 퐹2(퐶, 푂), 퐶 > 0 los focos de la 
elipse y sea 푘 = 2푎 la longitud del eje mayor, 
con 2푎 > 2푐, es decir, 푎 > 푐.

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Elipse y parábola

  • 1. CÓNICAS Elipse y Parábola PROFESORES: Brandon Mella Ramón Bustos
  • 2. Cónicas Definición  Se denomina sección cónica ( o simplemente cónica ) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Dependiendo del ángulo del plano relativo al cono, la intersección es un círculo, una elipse, una hipérbola o una parábola.(Nosotros nos concentraremos en la elipse y parábola)
  • 3. Elipse  Es una curva cerrada, la intersección de un cono circular recto, y un plano no paralelo a su base, el eje o algún elemento del cono.
  • 4. elipse  Definición geométrica: sean 퐹1 , 퐹2 dos puntos diferentes del plano y 푘 > 0, 푘 mayor que la distancia entre 퐹1 y 퐹2. La elipse de focos 퐹1,퐹2 y eje mayor de longitud 푘, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancia a 퐹1 y 퐹2 es igual a 푘. El punto central entre 퐹1 y 퐹2 se llama centro de la elipse. La recta que pasa por 퐹1 y 퐹2 contiene 2 puntos de la elipse se llaman vértices de la elipse 푣1 y 푣2
  • 5. Elipse Observacion: se demuestra que la distancia entre 푣1 y 푣2 es 푘, por lo que el segmento 푣1푣2 es el eje mayor de la elipse.
  • 6. Ecuacion de una elipse con centro (ퟎ, ퟎ) y eje mayor horizontal Sean 퐹1(−퐶, 푂) Y 퐹2(퐶, 푂), 퐶 > 0 los focos de la elipse y sea 푘 = 2푎 la longitud del eje mayor, con 2푎 > 2푐, es decir, 푎 > 푐.
  • 7. Ecuacion de una elipse con centro (ퟎ, ퟎ) y eje mayor horizontal Deducción ecuación: ∀ 푃 푥, 푦 , 푃 푥, 푦 ∈ 푒푙푖푝푠푒 ⇔ 푑 푃, 퐹1 + 푑 푃, 퐹2 = 2푎 ⇔ 푥 + 푐 2 + 푦2 + 푥 − 푐 2 + 푦2 = 2푎 ⇔ 푥 + 푐 2 + 푦2 = 2푎 − 푥 − 푐 2 + 푦2 , elevamos al cuadrado. ⇔ 푥 + 푐 2 + 푦2 = 4푎2 − 4푎 푥 − 푐 2 + 푦2 + 푥 − 푐 2 + 푦2 ⇔푥2 + 2푥푐 + 푐2 = 4푎2 − 4푎 푥 − 푐 2 + 푦2 + 푥2 − 2푥푐 + 푐2 ⇔4푎 푥 − 푐 2 + 푦2 = 4푎2 − 4xc, multiplicamos por 1 4 y elevamos 2
  • 8. Ecuacion de una elipse con centro (ퟎ, ퟎ) y eje mayor horizontal ⇔푎2 푥2 − 2푥푐 + 푐2 + 푦2 = 푎4 − 2푎2푥푐 + 푥2푐2 ⇔푎2푥2 + 푎2푦2 − 푥2푐2 = 푎4 − 푎2푐2. ⇔푥2(푎2 − 푐2) + 푎2푦2=푎2(푎2 − 푐2), div. Por 푎2(푎2 − 푐2) Observación como 푎 > 푐 > 0 ⇒ (푎2 − 푐2)> 0 푥2 푎2 + ⇔ 푦2 (푎2−푐2) = 1, luego definimos 푏2=(푎2 − 푐2) 2 2 x y a b    2 2 1, es la ecuacion de elipse con   c centro 0,0 y focos de 2 de distancia.
  • 9. Elipse  De forma similar se demuestra la ecuación elipse con centro C 0,0 y eje mayor vertical. además mostramos le caso anterior eje mayor horizontal.
  • 10. Ecuacion de una elipse con centro en 퐂 풉, 풌 y el eje mayor horizontal Los vertices y focos son respestivamente. ( , ), ( , ) ( , ), ( , ).     2 2 x h y k a b      v h a k v h a k F h c k F h c k 2 2 1, 1 2 1 2 Ecuacion de una elipse con centro en 퐂 풉, 풌 y el eje mayor vertical     2 2 x h y k b a      Los vertices y focos son respestivamente. ( , ), ( , ) ( , ), ( , ). 2 2 1,     v h k a v h k a F h k c F h k c     1 2 1 2
  • 11. Ecuación general elipse Observación: la ecuación de cualquier elipse con ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados es de la forma general. 퐴푥2 + B푦2 + Cx + Dy + E = 0, Con 퐴, 퐵, 퐶, 퐷, 퐸 ∈ ℝ fijos y 퐴B >0, A≠B(ambos negativos o positivos). Recíprocamente toda ecuación de esta forma con las condiciones mencionadas representa una elipse con ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados o una elipse degenerada(∅(negativa) o un punto(푥 = ℎ ∧ 푥 = 푘)).
  • 12. Ejemplo: determine todos los elementos de la elipse. 1. 3푥2 + 4푦2 + 6푥 − 12푦 + 10 = 0 Solución: 3≠4 y ambos positivos es elipse. 3 푥2 + 2푥 + 1 + 4 푦2 − 3푦 + 9 4 = −10 + 3 + 9 3 푥 + 1 2 + 4 푦 − 3 2 2 = 2 , dividimos por 2 3 푥 + 1 2 2 + 2 푦 − 3 2 2 = 1 푥 + 1 2 2 3 + 푦 − 3 2 2 1 2 Continua próxima diapositiva.
  • 13. Ejemplo: determine todos los elementos de la elipse Como 2 3 > 1 2 ⇒ 2 3 = 푎2 por tanto horizontal. luego el centro −1, 3 2 y eje mayor horizontal. 2 3 푎2= ⇒ 푎= 2 3 , 푏2= 1 2 ⇒ b= 1 2 = 2 2 . 2 3 Entonces 푐2=푎2-푏2= − 1 2 = 1 6 ⇒푐 = ± 1 6 =± 6 6 Finalmente los focos y vértices son los siguientes.     2 3 2 3 v h a k v h a k v v ( , ), ( , ) 1 , , 1 ,              1 2 1 2 3 2 3 2 1 3 1 3         F h c k F h c k F F ( , ), ( , ) 1 , , 1 ,          1 2 1 2 6 2 6 2    
  • 14. Parábola  Una parábola es una curva abierta, producida por la intersección de un cono circular recto y un plano paralelo a algún elemento del cono.
  • 15. PARÁBOLA: Lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.
  • 16. Concepto previo «distancia de un punto a una recta» Ya sabemos calcular la distancia entre puntos de la unidad 1, ahora para poder deducir la ecuación de la parábola es necesario saber obtener la «distancia de un punto a una recta»
  • 17. Distancia de un Punto a una recta Sea 푙 una recta de ecuación 푎푥 + 푏푦 + 푐 = 0, con 푎, 푏 푦 푐 ∈ ℝ , 푎 ≠ 0 ∨ 푏 ≠0 y sea 푃0 = (푥0, 푦0) un punto que no pertenece a 푙. Si 푑 푃0, 푙 se denota la distancia de 푃0 a 푙. Se demuestra que 푑 푃0, 푙 . 푑 푃0, 푙 = 푎푥0+푏푦0+푐 푎2+푏2
  • 18. Ecuación de la parábola con vertice 푉(0,0) , eje de simetría vertical y Foco de la parabola 푭 ퟎ, 푪 , 푪 ≠ ퟎ y 풍 ∶ 풚 = −풄 d(P, F)  d(P, l) Los puntos de la parábola cumplen:
  • 19. Deducción ecuación de la parábola con vertice 푉(0,0) , eje de simetría vertical y Foco de la parábola 푭 ퟎ, 푪 , 푪 ≠ ퟎ y 풍 ∶ 풚 = −풄  Entoces ∀ 푃 푥, 푦 , 푃 푥, 푦 ∈ parábola ⇔푑 푃, 퐹 = 푑 푃, 푙 (la condición). ⇔ 푥2 + 푦 − 푐 2= 푦+푐 0+12 (distancia Punto a recta ) ⇔ 푥2 + 푦 − 푐 2= 푦 + 푐 ( eleva cuadrado ambos +) ⇔푥2+푦2 − 2yc + 푐2=푦2 + 2yc + 푐2 (cancelamos) continuamos próxima diapositiva……
  • 20. Deducción ecuación de la parábola con vertice 푉(0,0) , eje de simetría vertical y Foco de la parábola 푭 ퟎ, 푪 , 푪 ≠ ퟎ y 풍 ∶ 풚 = −풄 Continuemos. 2 cy x cy x x       4 / multiplicamos por -1 4 2 2 (finalmente lo que buscabamos)   4 y c
  • 21. La parábola en otros casos
  • 22. Ecuacion de una parábola con vértice en V 풉, 풌 풚 풆풋풆 풅풆 풔풊풎풆풕풓풊풂. 1) Vertical. 푦−k = 푥−ℎ 2 4푐 , Donde 푐 es la distancia entre el vértice y el foco o entre el vértice y la directriz. 2) Horizontal. 푥 − ℎ = 푦−푘 2 4푐
  • 23. Ecuación general de una parábola  La ecuación de cualquier parábola con ejes de simetría paralelos a uno de los ejes coordenados es de la forma general. 퐴푥2 + B푦2 + Cx + Dy + E = 0, Con 퐴, 퐵, 퐶, 퐷, 퐸 ∈ ℝ fijos y 퐴=0 o bien 퐵=0. Recíprocamente, toda ecuación de la forma anterior con 퐴 = 0 o bien 퐵=0 representa una parábola en el plano con ejes de simetría paralelos a uno de los ejes coordenados o una parábola degenerada(vacia, una recta o la unión de dos rectas)
  • 24. Ejemplos: determine todos los elementos de la parábola 1. 3푥2 + 6푥 + 5푦 − 8 = 0. Solución. 3 푥2 + 2x + 1 = −5y + 8 + 3 3 푥 + 1 2 = −5(푦 − 11 5 ) 푦 − 11 5 = − 3 5 푥 + 1 2 푦 − 11 5 = 푥 + 1 2 − 5 3 Continua próxima diapositiva.
  • 25. Ejemplos: determine todos los elementos de la parábola Continuación solución, cuando la parábola es de la forma . 푦−k = 푥−ℎ 2 4푐 . Eje de simetría Vertical . Comparando con lo obtenido. 푦 − 11 5 = 푥+1 2 − 5 3 , Se obtiene el vértice ℎ, 푘 , es −1, 11 5 , como 4푐 = − 5 3 , luego 푐 = − 5 12 . 퐹(−1, 11 5 − 5 12 = 107 60 ) , Bisectriz: 푦 = 11 5 + 푐 = 157 60
  • 26. Ejemplos: determine todos los elementos de la parábola 2) 5푦2 + 3푥 − 25푦 + 10 = 0. Solución: 5푦2 − 25푦 = −3푥 − 10 5 푦2 − 5y + 25 4 = −3x − 10 + 125 4 5 푦 − 5 2 2 = −3푥 + 85 4 5 푦 − 5 2 2 = −3(x − 85 12 ) Continua próxima diapositiva…..
  • 27. Ejemplos: determine todos los elementos de la parábola 푥 − 85 12 = − 5 3 푦 − 5 2 2 푥 − 85 12 = 푦 − 5 2 2 − 3 5 Notamos que la ecuación es de la forma ;con eje de simetría Horizontal. 푥 − ℎ = 푦−푘 2 4푐 , continua prox. Diapositiva.
  • 28. Ejemplos: determine todos los elementos de la parábola V h k V  85 5 El vertice es ( , ) , y su eje de 12 2 simetria horizontal y se habre hacia la izquierda. 3 3 5 c c y 4 , eje de simetria 5 20 2 85 3 5 104 5 F F foco , , 12 20 2 15 2 85 y la directriz es:        1  x                              3 217 2 20 30