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Presentación de contenidos 
Lugares Geométricos 
NIVEL: TERCERO MEDIO 
PROFESORES: BRANDON MELLA MUÑOZ 
RAMÓN BUSTOS MÉNDEZ
Contenidos 
Distancia entre dos puntos del plano.(unidad 1) 
La circunferencia como lugar geométrico.(unidad 2) 
La elipse y la parábola como lugar 
geométrico.(unidad 3) 
¡estos son los temas que veras en el curso!
Introducción 
En el año 1637, René Descartes publicó su famoso 
tratado “El discurso del método”, y en uno de sus 
apéndices se sientan las bases de su entonces 
innovador acercamiento analítico a la geometría, lo 
cual significó un paso trascendente en la visión 
integrada que se tiene hoy de la matemática. 
En la enseñanza escolar, el tema de los lugares 
geométricos, el conjunto de puntos que satisface 
ciertas condiciones determinadas, permite 
promover el pensamiento asociado a imágenes y 
relacionar claramente los registros gráfico, 
algebraico y numérico.
Introducción 
 Coordenadas Rectangulares: el sistema de coordenadas 
rectangulares divide el plano en cuatro cuadrantes por medio 
dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto O 
.La 
recta horizontal se denomina “eje x” y la recta vertical “eje y” 
y ambas constituyen los dos ejes coordenados. El punto O 
se 
llama origen del sistema. 
 La distancia de un punto al eje Y se llama abscisa del mismo. 
La distancia de un punto al eje X se llama ordenada. Y 
ambas constituyen las coordenadas del punto en cuestión y 
se representa por el símbolo  x, y 
.
Definición de lugar Geométricos 
 Lugar geométrico o Grafica :De una ecuación de dos 
variables es una línea, recta o curva, que contiene 
todos sus puntos y solo ellos, cuya coordenadas 
satisfacen la ecuación dada. 
 Para representar un lugar geométrico, es conveniente 
conocer: intersección con los ejes, simetrías, campos 
de variación de las variables, etc.
Distancia entre dos puntos del plano 
 Intuitivamente sabemos que el menor recorrido 
para ir de un punto a otro es el segmentos de recta 
que los une.(esto es valido en plano y en el 
espacio).Nosotros nos concentraremos en plano. 
2
Distancia entre dos puntos del plano 
 Como vimos en cursos anteriores ab 
representa la 
distancia entre las números ab 
y . 
 Ahora para dos puntos PP 
y cualquiera 
1 2 del plano. La distancia d  P, P 
 entre P1  x1, y1  y P2  x2 , y2  1 2 se 
obtiene aplicando el teorema de Pitágoras. 
 En efecto si formamos el  PQP rectángulo Q 
en 
1 2 entonces 
2 2 
2 
d P P PQ QP PQ x x 
QP y y y y 
        
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 
2 2 2 2 
2 
d P P x x y y x x 
1 2 2 1 2 1 2 1 
2 2 
d P P x x y 
y 
1 2 2 1 2 1 
2 1 
( , ) y como y 
se tiene : 
( , ) ( ) ( ) 
de aqui obtemos la formula de distancia entre pu 
( , 
ntos 
) ) 
. 
( ( ) 
y y 
      
     
 
PROPIEDADES DE LA DISTANCIA 
El signo + de la raiz obedece a que es una longitud; es decir. 
( , ) 0 siempre.En rigor es una función. 
1 2 
: 2 2 
, ( ( , ), ( , )) ( , ) 
1 1 1 2 2 2 1 2 
con las siguientes propiedades , y . 
1 2 3 
) 
d 
d P P d 
d P x y P x y d P P 
P P P 
i 
 
  
  
d P P 
( , ) 0. 
1 2 
 
   
 
  
ii d P P P P 
iii d P P d P P 
iv d P P d P P d P P 
) ( , ) 0 . 
1 2 1 2 
) ( , ) ( , ). 
1 2 2 1 
) ( , ) ( , ) ( , ). 
1 2 1 3 3 2
Distancia entre dos puntos del plano 
 Durante el curso se te facilitara el materia teórico y 
practico(ejercicios) respecto a este contenido.
La circunferencia como lugar geométrico. 
Se llama circunferencia al conjunto de puntos que están a 
una distancia fija de un punto fijo llamado centro. La 
distancia fija es el radio de la circunferencia. 
Sea r C h 
k P x 
y 
el radio, ( , ) el centro y ( , ) un punto cualquiera 
de una circunferencia; entonces, por definicion. 
2 2 
r  x  h  y  
k 
r 
    
( ) ( ) , de aqui se 
( ) ( ) 
2 2 2 
h y 
k 
ecuacion de la circunfere 
obtiene. 
x 
que es la nci 
a de centro (h, k) y radio r
La circunferencia como lugar geométrico 
Elementos de la circunferencia. 
En la unidad 2 (la circunferencia como lugar geométrico), 
deducirá la ecuación de la circunferencia y presentaran 
problemas relacionados con la circunferencia.
La elipse y parábola como lugar geométrico 
 Definición de elipse: Una elipse es el lugar de los 
puntos del plano cuya suma de las distancias por dos 
puntos F1, F2 (focos) es constante.
La elipse y parábola como lugar geométrico. 
 Definición de parábola: Se denomina parábola al 
lugar geométrico de los puntos de un plano que 
equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de 
un punto exterior a ella, llamado foco.
La elipse y parábola como lugar geométrico. 
 Durante el curso se te facilitara el materia teórico y 
practico(ejercicios) respecto a este contenido.
FIN

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  • 1. Presentación de contenidos Lugares Geométricos NIVEL: TERCERO MEDIO PROFESORES: BRANDON MELLA MUÑOZ RAMÓN BUSTOS MÉNDEZ
  • 2. Contenidos Distancia entre dos puntos del plano.(unidad 1) La circunferencia como lugar geométrico.(unidad 2) La elipse y la parábola como lugar geométrico.(unidad 3) ¡estos son los temas que veras en el curso!
  • 3. Introducción En el año 1637, René Descartes publicó su famoso tratado “El discurso del método”, y en uno de sus apéndices se sientan las bases de su entonces innovador acercamiento analítico a la geometría, lo cual significó un paso trascendente en la visión integrada que se tiene hoy de la matemática. En la enseñanza escolar, el tema de los lugares geométricos, el conjunto de puntos que satisface ciertas condiciones determinadas, permite promover el pensamiento asociado a imágenes y relacionar claramente los registros gráfico, algebraico y numérico.
  • 4. Introducción  Coordenadas Rectangulares: el sistema de coordenadas rectangulares divide el plano en cuatro cuadrantes por medio dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto O .La recta horizontal se denomina “eje x” y la recta vertical “eje y” y ambas constituyen los dos ejes coordenados. El punto O se llama origen del sistema.  La distancia de un punto al eje Y se llama abscisa del mismo. La distancia de un punto al eje X se llama ordenada. Y ambas constituyen las coordenadas del punto en cuestión y se representa por el símbolo  x, y .
  • 5.
  • 6. Definición de lugar Geométricos  Lugar geométrico o Grafica :De una ecuación de dos variables es una línea, recta o curva, que contiene todos sus puntos y solo ellos, cuya coordenadas satisfacen la ecuación dada.  Para representar un lugar geométrico, es conveniente conocer: intersección con los ejes, simetrías, campos de variación de las variables, etc.
  • 7. Distancia entre dos puntos del plano  Intuitivamente sabemos que el menor recorrido para ir de un punto a otro es el segmentos de recta que los une.(esto es valido en plano y en el espacio).Nosotros nos concentraremos en plano. 2
  • 8. Distancia entre dos puntos del plano  Como vimos en cursos anteriores ab representa la distancia entre las números ab y .  Ahora para dos puntos PP y cualquiera 1 2 del plano. La distancia d  P, P  entre P1  x1, y1  y P2  x2 , y2  1 2 se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.  En efecto si formamos el  PQP rectángulo Q en 1 2 entonces 2 2 2 d P P PQ QP PQ x x QP y y y y         1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 d P P x x y y x x 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 d P P x x y y 1 2 2 1 2 1 2 1 ( , ) y como y se tiene : ( , ) ( ) ( ) de aqui obtemos la formula de distancia entre pu ( , ntos ) ) . ( ( ) y y             
  • 9. PROPIEDADES DE LA DISTANCIA El signo + de la raiz obedece a que es una longitud; es decir. ( , ) 0 siempre.En rigor es una función. 1 2 : 2 2 , ( ( , ), ( , )) ( , ) 1 1 1 2 2 2 1 2 con las siguientes propiedades , y . 1 2 3 ) d d P P d d P x y P x y d P P P P P i      d P P ( , ) 0. 1 2        ii d P P P P iii d P P d P P iv d P P d P P d P P ) ( , ) 0 . 1 2 1 2 ) ( , ) ( , ). 1 2 2 1 ) ( , ) ( , ) ( , ). 1 2 1 3 3 2
  • 10. Distancia entre dos puntos del plano  Durante el curso se te facilitara el materia teórico y practico(ejercicios) respecto a este contenido.
  • 11. La circunferencia como lugar geométrico. Se llama circunferencia al conjunto de puntos que están a una distancia fija de un punto fijo llamado centro. La distancia fija es el radio de la circunferencia. Sea r C h k P x y el radio, ( , ) el centro y ( , ) un punto cualquiera de una circunferencia; entonces, por definicion. 2 2 r  x  h  y  k r     ( ) ( ) , de aqui se ( ) ( ) 2 2 2 h y k ecuacion de la circunfere obtiene. x que es la nci a de centro (h, k) y radio r
  • 12. La circunferencia como lugar geométrico Elementos de la circunferencia. En la unidad 2 (la circunferencia como lugar geométrico), deducirá la ecuación de la circunferencia y presentaran problemas relacionados con la circunferencia.
  • 13. La elipse y parábola como lugar geométrico  Definición de elipse: Una elipse es el lugar de los puntos del plano cuya suma de las distancias por dos puntos F1, F2 (focos) es constante.
  • 14. La elipse y parábola como lugar geométrico.  Definición de parábola: Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella, llamado foco.
  • 15. La elipse y parábola como lugar geométrico.  Durante el curso se te facilitara el materia teórico y practico(ejercicios) respecto a este contenido.