Tesina Il Caos Deterministico di Federico Indino

1. Federico Indino VD IL CAOS DETERMINISTICO Dalle origini del concetto di caos alle moderne applicazioni di una nuova scienza

2. Le radici del concetto di caos… Casma Cascw (sto aperto, sto spalancato) (voragine, apertura) Caos Caos (baratro, abisso)

3. …la Teogonia di Esiodo Teogonia vv. 116-123 “Dunque in principio fu Caos; poi subito Gea dall’ampio seno, per sempre sicura dimora di tutti gli immortali che possiedono la vetta dell’Olimpo nevoso, e il Tartaro tenebroso negli abissi della terra dagli ampi cammini, quindi Eros, il più bello tra gli dei immortali, che scioglie le membra e di tutti gli dei e di tutti gli uomini doma nei petti la mente e l’assennato consiglio. Da Caos nacquero Tenebra e la nera Notte…” Esiodo

5. Individua le proprietà più importanti del sistema in analisi

6. Trascura le caratteristiche secondarie

8. …al pensiero di Poincaré “[…]Ma pure se accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto. Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diviene impossibile.” Teoria del caos Jules Henri Poincaré (1903)

9. L’evoluzione temporale del sistema L’evoluzione temporale del sistema si ottiene applicando il modello Applicazione modello = iterazione della funzione xt+1 = f(xt) xt+2 = f(xt+1) xt xt+1 xt+2 f f

10. Iterazione: metodo della scala x0 – tratto verticale – grafico della funzione –tratto orizzontale –bisettrice (x1) La funzione ha dei punti fissi (x*) caratteristici; questi corrispondono alle intersezioni del grafico della funzione con la bisettrice del 1° e 3° quadrante punto fisso = situazione di equilibrio del sistema

12. repulsiva, se la traiettoria del sistema si allontana dal punto fissoEsempio: f(x) = ax Al variare di a si distinguono quattro situazioni: Per -1<a<+1 il sistema converge a x*=0 Per a<-1 v a>+1 il sistema diverge da x*= 0 Per a=1 ogni x0 è un punto fisso Per a=-1 per ogni x0 si crea un ciclo di periodo 2 I valori a = 1 e a = -1 sono detti punti di biforcazione del sistema

14. presenta due punti fissi: p*(origine), indipendente del parametro, e x*, dipendente dal parametrox* p*

17. Per a=3,45 NUOVA BIFORCAZIONE FLIP RADDOPPIO DEL PERIODO (4) Per a=3,56 NUOVA BIFORCAZIONE FLIP RADDOPPIO DEL PERIODO (8) Per a > 3,56994 (Punto di Feigenbaum) Caos

19. Transitività o mixing, le traiettorie occupano densamente lo spazio sovrapponendosi senza mai ripetersi (zone nere nel grafico)

20. Esistenza di infiniti cicli repulsivi

22. La riscoperta del caos: Edward Lorenz Nel 1961 Lorenz elaborò un modello matematico di 12 equazioni (derivate da quella di Navier-Stokes) che fosse in grado di prevedere l’evoluzione delle condizioni atmosferiche: si accorse che la minima variazione nelle condizioni iniziali poteva causare cambiamenti enormi negli effetti finali “Il battito d’ali di una farfalla in Brasile può causare un uragano in Texas” Edward Lorenz

23. Sistema di equazioni non lineari elaborato la Lorenz per descrivere il moto di convezione ATTRATTORE STRANO DI LORENZ La traiettoria descrive una doppia spirale tridimensionale senza mai ripetersi in modo uguale Il passaggio da un’ala all’altra della spirale indica l’inversione del moto del fluido

24. La teoria delle catastrofi RenèThom STRUTTURE NATURALI CAOTICHE MUTAMENTI CATASTROFICI NEI PUNTI DI BIFORCAZIONE

26. due variabili di controllo (assi x e y)Diagramma di fase dell’acqua (passaggio stato liquido-aeriforme) Acqua riscaldata oltre il punto di ebollizione Sospensione (isteresi) Ebollizione ritardata catastrofica (cuspide)

29. Le applicazioni mediche Schizofrenia Osservazione: Gli schizofrenici non riescono a seguire il movimento di un pendolo in oscillazione Bernardo Huberman elabora un modello con equazioni non lineari che descrive il movimento oculare Disordine nel movimento dei muscoli oculari

30. La fisiologia cardiaca NORMALITA’ (elasticità cardiaca) CAOS MALATTIA (fibrillazione) PERIODICITA’

31. IL CAOS E LA VITA “Non può essere che la patologia matematica, cioè il caos, sia salute? E che la salute matematica, che sono la predicibilità e la differenziabilità di questo tipo di struttura, sia malattia?” Arnold Mandell

32. Perché studiare il caos? NATURA ESTREMAMENTE ARMONICA E COMPLESSA NECESSITA’ DI NUOVI STRUMENTI PER STUDIARLA TEORIA DEL CAOS E NON LINEARITA’ “Il nostro universo fisico non ha più come simbolo il moto regolare e periodico dei pianeti, moto che è alla base della meccanica classica. E’ invece un universo di instabilità e fluttuazioni, che sono all’origine dell’incredibile ricchezza di forme e strutture che vediamo nel mondo intorno a noi. Abbiamo quindi bisogno di nuovi concetti e nuovi strumenti per descrivere una natura in cui evoluzione e pluralismo sono divenute le parole fondamentali.” Il’jaRomanovičPrigožin

33. Bibliografia: G. I. BISCHI, R. CARINI, L. GARDINI, P. TENTI, Sulle orme del caos, comportamenti complessi in modelli matematici semplici, ed. Bruno Mondadori, 2004 F. CRAMER , Caos e ordine, la complessa struttura del vivente, ed. Bollati Boringhieri, 1994 ESIODO, Teogonia, ed. Oscar Mondadori, 2004 J. GLEICK, Caos, la nascita di una nuova scienza, ed. BUR, 2000 P. N. OVIDIO, Metamorfosi, ed. Einaudi, 1994 D. RUELLE, Caso e caos, ed. Bollati Boringhieri, 1992 R. THOM, Stabilità strutturale e morfogenesi, saggio di una teoria generale dei modelli, ed. Einaudi, 1980 Sitografia: www.emsf.rai.it/scripts/interviste (intervista a RenèThom) www.dti.unimi.it www.matematica.unibocconi.it/thom/teoria www.sicap.it www.wikipedia.org/Attrattore www.wikipedia.org/Flusso_turbolento