Let's learn พีทาโกรัส

1. พีทาโกรัส
จัดทำโดย :
นางสาว รติพร หินคา
563050125-2 ชั้นปีที่ 2
คณิตศาสตรศึกษา

2. คานา
หนังสือเล่มเล็ก “Let’s Learn พีทาโกรัส” ฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิชา นวัตกรรมและเทคโนโลยี สารสนเทศเพื่อการเรียนรู้ รหัสวิชา 241208 จัดทา ขึ้นเพื่อเป็นสื่อการเรียนรู้ และแหล่งข้อมูลแก่ผู้ที่สนใจ ศึกษาในเรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสในระดับพื้นฐาน ซึ่ง ประกอบด้วยเนื้อหา 3 ส่วนด้วยกัน นั่นคือ สมบัติของ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก, ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และ บท กลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ขอบพระคุณท่านอาจารย์ ดร. อนุชา โสมา บุตร อาจารย์ประจาวิชา เป็นอย่างสูง ที่ให้คาชี้แนะ และคาแนะนาในการจัดทาสมุดเล่มเล็กฉบับนี้
ผู้จัดทา

3. สารบัญ
สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
หัวเรื่อง
หน้า
8
1
9
15
16
23
-
-
-

4. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ConceptConceptConcept

5. เพื่อนๆ รู้จักรูปสามเหลี่ยมไหมเอ่ย?
สิ่งที่พบในชีวิตประจาวันมีอะไรบ้างที่เป็นรูปสามเหลี่ยม?
สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
1

6. มารู้จัก
“รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก” กันเถอะ
จากรูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม ACB ที่เป็นมุมฉาก (มีขนาด 90o)
เรียก AB ว่า “ด้านตรงข้ามมุมฉาก”
เรียก AC และ BC ว่า “ด้านประกอบมุมฉาก”
^
___
___
___
2

7. ลองวัดดูนะ
เครื่องมือวัด: ไม้โปรแทรกเตอร์ และไม้บรรทัด
รูปสามเหลี่ยมด้านบนเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไหมนะ
ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้วรูปนั้นมีด้านตรงข้ามมุม ฉาก และด้านประกอบมุมฉากยาวเท่าไรบ้างเอ่ย
?
?
3

8. จากกิจกรรม “ลองวัดดูนะ” เพื่อนๆสังเกตเห็นอะไรบ้าง?
รูปสามเหลี่ยม
ความยาว ของด้าน ประกอบ มุมฉาก (1)
ความยาว ของด้าน ประกอบ มุมฉาก (2)
ความยาวของด้านตรง ข้ามมุมฉาก
ABC
กขค
MNO
มบล
จากตารางเพื่อนๆพบความสัมพันธ์ของด้าน ทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างไรบ้าง
?
4

9. ผลที่ได้จากกิจกรรมข้างต้น
เมื่อกาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี ACB เป็นมุมฉาก ดังรูป
ให้ c แทน ความของด้านตรงข้ามุมฉาก นั่นคือ AB
a แทน ความยาวของด้านประกอบมุมฉาก นั่นคือ BC
b แทน ความยาวด้านประกอบมุมฉาก นั่นคือ AC
จะได้ c2=a2+ b2
___
___
___
^
5

10. ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมฉาก ข้างต้น เป็นไปตามสมบัติของรูปสามเหลี่ยมฉากที่กล่าวว่า
“สาหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กาลังสองของความยาวของด้าน ตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบอกของกาลังสองของความยาวของด้าน ประกอบมุมฉาก”
สมบัติข้างต้นนี้ เรียกว่า ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งถูกตั้งชื่อตามผู้ คิดค้นทฤษฎีนี้นั่นเอง
6

11. เราสามารถนาความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูป สามเหลี่ยมมุมฉากข้างต้น หาความยาวด้านใดด้านหนึ่งของรูป สามเหลี่ยมมุมฉากที่ต้องการทราบได้เสมอ เมื่อเราทราบความยาวของ ด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น
ตัวอย่างที่ 1 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กาหนดให้ จงหาค่าความยาวของ c
วิธีทา จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จะได้ c2 = 82+152
= 64 + 225
= 289
= 17x17
ดังนั้น c = 17
ตอบ 17 หน่วย
ใช้ความสัมพันธ์ ยังไงนะ?
7

12. ตัวอย่างที่ 2 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กาหนดให้ จงหาค่าความยาวของ a
วิธีทา จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จะได้ 242 = 252+a2
a2 = 252-242
= 625-576
= 49
= 7x7
ดังนั้น a = 7
ตอบ 7 หน่วย
8

13. เราได้รู้จักความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้าน ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กันมาแล้ว นั่นคือ “สาหรับรูป สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กาลังสองของความยาวของ ด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบอกของกาลังสองของ ความยาวของด้านประกอบมุมฉาก”
รู้หรือไม่? ว่าความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็นที่รู้จักกัน มานานกว่า 3,000ปีมาแล้ว ในชื่อทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่ คนในสมัยก่อนสังเกตเห็นความสัมพันธ์นี้ ในลักษณะที่เป็น ความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านทั้ง สามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังตัวอย่างต่อไปนี้ . . .
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
9

14. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี ACB เป็นมุมฉาก มี BC ยาว 3 หน่วย, AC ยาว 4 หน่วย และ AB ยาว 5 หน่วย สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABIH, รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCED และ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ACGF บนด้าน AB , ด้าน BC และ ด้าน AC ตามลาดับ ดังรูป
จะได้ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABIH เท่ากับ 52 = 25 ตารางหน่วย
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCED เท่ากับ 32 = 9 ตารางหน่วย
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ACGF เท่ากับ 42 = 16 ตารางหน่วย
ซึ่ง 25 = 9+16
ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABIH เท่ากับ ผลบวกของพื้นที่ของรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัส BCED และ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ACGF
10

15. ตัวอย่างข้างต้นเป็นการแสดงความสัมพันธ์ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ กล่าวได้อีกแบบหนึ่งดังนี้ “สาหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่ของรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสบทด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของพื้นที่ของรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก”
คิดสนุก
ตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ นักคณิตศาสตร์ได้พยายามหาวิธีพิสูจน์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหลายๆวิธี วิธีข้างต้นก็เป็นหนึ่งในนั้น ลองมาช่วยกันหา วิธีอื่นอีกดีกว่า ใช้วิธีไหนดีนะ? ..
11

16. รู้หรือเปล่า? พีทาโกรัสอยู่รอบตัวเรา
ตัวอย่างที่ 1 เราใช้ความยาวของเส้นทแยงมุมของหน้าจอโทรทัศน์ เพื่อ บอกขนาดของโทรทัศน์ โทรทัศน์เครื่องหนึ่งมีหน้าจอที่วัดตามแนวเส้นทแยงมุมได้ 20 นิ้ว ถ้าหน้าจอโทรทัศน์สูง 12 นิ้ว
วิธีทา กาหนดให้ x แทน ความยาวของหน้าจอโทรทัศน์
จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จะได้ 202= 122 + x2
x2 = 202-122
= 400 – 144
= 256
= 17x17
ดังนั้น x = 17
ตอบ หน้าจอโทรทัศน์ยาว 17 นิ้ว
12

17. ตัวอย่างที่ 2 ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCDEFGH มีด้าน AF ยาว 8 เซนติเมตร ด้าน AB ยาว 12 เซนติเมตร และด้าน BC ยาว 9 เซนติเมตร จงหาความยาวของ FC
___
วิธีทา เนื่องจาก AFC มี FAC เป็นมุมฉาก
ดังนั้น FC2 = AF2 + AC2…………(1)
หา AC2 จาก ABC
เนื่องจาก ABC มี ABC เป็นมุมฉาก
ดังนั้น AC2 = AB2 + BC2………..(2)
แทนสมการ (2) ลงสมการ (1) ; FC2 = AF2 + (AB2 + BC2)
= 82+ (122+92)
= 64 + 144 +81
= 289
= 17 x 17
ดังนั้น FC = 17
นั่นคือ FC ยาว 17 เซนติเมตร
ตอบ 17 เซนติเมตร
^
___
^
13

18. ตัวอย่างที่ 3 อเล็กซ์สูง 6 ฟุต ยืนอยู่ห่างจากจุดปล่อยบอลลูน 400 ฟุต บอลลูนลอยขึ้นไป จากจุดปล่อยบอลลูน 306 ฟุต ศีรษะของอเล็กซ์อยู่ห่างจากบอลลูนกี่ฟุต
วิธีทา วาดแบบจาลอง โดยให้จุด B เป็นจุดปล่อยบอลลูน จุด A เป็นจุดที่อเล็กซ์ ยืนอยู่ จุด C เป็นตาแหน่งที่บอลลูนลอยอยู่ และ AP แทนความสูงของอเล็กซ์
ให้ PQ = AB และ PQ ตั้งจากกับ BC ที่จุด Q ดังรูป
จะได้ AB = PQ = 400
BC = 306
และ AP = BQ = 6
ดังนั้น CQ = 306-6
= 300
เนื่องจาก PQC มี PQC เป็นมุมฉาก
จะได้ PC2 = PQ2 + CQ2
= 4002 + 3002
= 160,000 + 90,000
= 250,000
= 500 X 500
ดังนั้น PC = 500
นั่นคือ ศีรษะของอเล็กอยู่ห่างจากบอลลูน 500 ฟุต
ตอบ 500 ฟุต
^
14

19. แก้โจทย์ปัญหาพีทาโกรัส
อ่านโจทย์ แล้วหา...
 สิ่งที่โจทย์กาหนดให้
 สิ่งที่โจทย์ถาม
วาดรูป แล้วเขียน...
 สิ่งที่รู้
 สิ่งที่ต้องการหา
แก้โจทย์
ตรวจคาตอบ
Finish
15

20. บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
มาเตะฟุตบอลกันเถอะ ...
ก่อนเราจะไปเตะฟุตบอลกัน เพื่อนๆ สังเกตหรือไม่ว่าสนามฟุตบอลที่เราเคยเห็น กันต่างก็มีเส้นสีขาวๆ บอกเขตแดน
“เรามาช่วยกันตีเส้นสนามหญ้า บ้านอเล็กซ์ให้กลายเป็นสนามบอลกัน เถอะ !!”

21. 16
เรามีปูนขาวไว้ใช้โรยบนสนามหญ้าแล้ว ..
แต่เราจะตีเส้นอย่างไรให้ตรงนะ? เอ... แล้วตรงบริเวณมุมสนามล่ะ !!?? เราจะทาอย่าไร ให้เป็นมุมฉาก มาช่วยอเล็กซ์ตีเส้นสนามฟุตบอล ให้สาเร็จที :)
Write it down

22. ในสมัยอียิปต์โบราณ เกษตรกรที่อาศัยอยู่ริม ฝั่งแม่น้าไนล์มักจะประสอบปัญหาน้าท่วมที่ดินจนไม่ สามารถชี้แนวเขตที่ดินของตนได้ จึงต้องรังวัดที่ดิน ใหม่เกือบทุกปี ในสมัยนั้นเมื่อต้องการรังวัดที่ดินเป็น มุมฉาก ชาวบ้านจะใช้เชือกที่มี 13 ปม ระยะห่าง ระหว่างปมเป็น 1 หน่วยเท่ากัน มาขึงเป็นรูป สามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 3, 4 และ 5 หน่วย ก็จะได้รูป สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น 5 หน่วยนั่นเอง
“... เพื่อนๆคิดว่ามีจานวนสามจานวนชุดอื่นๆ ที่เป็นความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม แล้วทาให้ได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อีกหรือไม่?... ”
17

23. บทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัส กล่าวว่า
“สาหรับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้ากาลังสองของความยาวของ ด้านด้านหนึ่งเท่ากับผลบวกของกาลังสองของความยาวของด้านอีก สองด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยมรู้นั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก”
หรือกล่าวได้ว่า “ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มีด้ายยาว a, b และ c หน่วย และ c2 = a2 +b2 จะได้ว่า รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก” นั่นเอง
18

24. การพิสูจน์บทกลับของทฤษฎีบทพีกาโกรัส ทาได้ดังนี้
กาหนดให้ ABC มี AB = c หน่วย, BC = a หน่วย, AC = b หน่วย และ c2 = a2 +b2
ต้องการพิสูจน์ว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี ACB เป็น มุมฉาก
พิสูจน์ สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก DEF ให้ด้านประกอบมุมฉาก EF และ DF ยาว a หน่วย และ b หน่วยตามลาดับ และให้ DFE เป็นมุมฉาก ดังรูป
^
19
^

25. EF = BC = a และ DF = AC = b (จากการสร้าง)
จาก DEF จะได้ DE2 = a2 + b2 (โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
จาก ABC จะได้ c2 = a2 + b2 (กาหนดให้)
ดังนั้น DE2= c2 (สมบัติของการเท่ากัน)
นั่นคือ DE = c
จะได้ DEF ABC (ด้าน-ด้าน-ด้าน)
ดังนั้น DFE = ACB = 90o (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูป สามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน)
นั่นคือ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี ACB เป็นมุมฉาก
^
^
^
20

26. ลองใช้บทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัสในการแก้ไขปัญหาต่อไปนี้
กาหนด รูปสามเหลี่ยม ABC ดังรูป จงแสดงว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ทาได้หรือเปล่า?
21

27. ทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม่ยากอย่างที่คิดใช่ไหมคะ?
ทฤษฎีนี้เป็นทฤษฎีที่มีประโยชน์สามารถนาไปใช้ได้ใน ชีวิตประจาวันได้อย่างคาดไม่ถึง ทั้งในการสร้างอาคารบ้านเรือน ทฤษฎีนี้ ก็ถูกหยิบไปใช้ในการคานวณต่างๆมากมาย เช่น การสร้างหลังคาบ้าน การออกแบบบันไดที่สามารถขึ้น-ลงได้ง่าย ทั้งในการผลิตเครื่องมือ ทางการแพทย์ และทางด้านอื่นที่เราคาดไม่ถึงเลยทีเดียว
แต่ที่แน่ๆ ทฤษฎีนี้ถือเป็นพื้นฐานในการต่อยอดสู่การเรียนรู้ใน เรื่องที่น่าสนใจ ทั้งในวิชาคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และวิชาอื่นๆอีก มากมายเลยนะคะ
22

28. ทาได้ไหมน้า...?
บันไดยาว 6.5 เมตร วางพิงผนัง ตึกให้เชิงบันไดห่างจากผนัง 2.5 เมตร
1. อยากรู้จังว่า ปลายบนของ บันได อยู่สูงจากพื้นกี่เมตร
2.ถ้าต้องการพิงบันได้ ให้ปลาย บนของบันไดอยู่สูงกว่าพื้นไม่ถึง 6 เมตร ควรจะวางเชิงบันไดห่างจากตึกมากกว่า
ตลาดอยู่ห่างจากบ้านญาญ่า 1,800 เมตร และอยู่ห่างจาก โรงเรียน 2.4 กิโลเมตร ทุกๆ วันญาญ่าจะปั่นจักรยานแวะซื้อ กับข้าวที่ตลาดหลังเลิกเรียน แต่ใน ตอนเช้าญาญ่าจะปั่นจักรยานไป โรงเรียนโดยไม่ผ่านตลาด ในแต่ละ วันญาญ่าจะปั่นจักรยานเป็น
23

29. บรรณานุกรม
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2553).
ทฤษฎีพีทาโกรัส. กรุงเทพมหานคร: สกสค. ลาดพร้าว.