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Cap. 11B – Rotación de cuerpo rígido
Presentación PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University
©

2007
Objetivos: Después de completar
este módulo, deberá:
•• Definir y calcular el momento de inercia para
Definir y calcular el momento de inercia para
sistemas simples.
sistemas simples.
•• Definir y aplicar los conceptos de segunda ley de
Definir y aplicar los conceptos de segunda ley de
Newton,, energía cinética rotacional,, trabajo
Newton energía cinética rotacional trabajo
rotacional,, potencia rotacional y cantidad de
rotacional potencia rotacional y cantidad de
movimiento rotacional a la solución de
movimiento rotacional a la solución de
problemas físicos.
problemas físicos.
•• Aplicar principios de conservación de energía y
Aplicar principios de conservación de energía y
cantidad de movimiento a problemas que
cantidad de movimiento a problemas que
involucran rotación de cuerpos rígidos.
involucran rotación de cuerpos rígidos.
Inercia de rotación
Considere la segunda ley de Newton para que la inercia de
rotación se modele a partir de la ley de traslación.
F = 20 N

a = 4 m/s2
F = 20 N
R = 0.5 m

α = 2 rad/s2

Inercia lineal, m
24 N
m = 4 m/s2 5 kg
=
Inercia rotacional, I
τ
(20 N)(0.5 m)
I = α=
= 2.5 kg m2
4 m/s2

La fuerza hace para la traslación lo que el momento de
torsión hace para la rotación:
Energía cinética rotacional
Considere masa pequeña
m:

v = ωR

K = ½mv
K = ½m(ωR)2
2

K = ½(mR )ω
2

ω
2

m

m4

m1

eje

m3

m2

Suma para encontrar K total: Objeto que rota a ω constante.

K = ½(ΣmR2)ω2

Definición de inercia rotacional:

(½ω2 igual para toda m )

II = ΣmR22
= ΣmR
Ejemplo 1: ¿Cuál es la energía cinética
rotacional del dispositivo que se
muestra si rota con rapidez constante
de 600 rpm?
Primero: I = ΣmR2
3 m 3 kg
I = (3 kg)(1 m)
+
(2 kg)(3 m)2 +
(1 kg)(2 m)2
2

I = 25 kg m2

2 kg

1m
2m

ω

1 kg

ω = 600 rpm = 62.8 rad/s

K = ½Iw2 = ½(25 kg m2)(62.8 rad/s) 2
K = 49,300 J
K = 49,300 J
Inercias rotacionales
comunes
L

L

I=

I=

2

3

mL

1
12

2

mL

R

R

R

I = mR

2

Aro

1

I = ½mR

2

Disco o cilindro

I=

2

5

mR

2

Esfera sólida
Ejemplo 2: Un aro circular y un disco
tienen cada uno una masa de 3 kg y
un radio de 30 cm. Compare sus
inercias rotacionales.

I = mR = (3 kg)(0.2 m)
2

I = ½mR2
Disco

R

I = mR2

I = 0.120 kg m2
R

2

Aro

I = mR = (3 kg)(0.2 m)
1
2

2

1
2

I = 0.0600 kg m2

2
Analogías importantes
Para muchos problemas que involucran rotación,
hay una analogía extraída del movimiento lineal.

x

m
f

Una fuerza resultante
F produce
aceleración negativa
a para una masa m.

F = ma

τ

I

R

4 kg

ω ω = 50 rad/s
ο

τ = 40 N m

Un momento de torsión
resultante τ produce
aceleración angular α de
disco con inercia rotacional
I.

τ = Iα
Segunda ley de rotación de Newton
¿Cuántas
revoluciones requiere
para detenerse?

τ = Iα
FR = (½mR2)α
2F
2(40N)
α=
=
mR (4 kg)(0.2 m)
α = 100 rad/s2

F
R

4 kg

ω

ωο = 50 rad/s
R = 0.20 m
F = 40 N
0

2αθ = ωf - ωo2
2

2
−ω 0
−(50 rad/s) 2
θ=
=
2α
2(100 rad/s 2 )

θ = 12.5 rad = 1.99 rev
Ejemplo 3: ¿Cuál es la aceleración
lineal de la masa de 2-kg que cae? R = 50 cm
M

Aplique 2a ley de Newton al disco rotatorio:
τ = Iα

TR = (½MR )α
2

a
T = ½MRα pero a = αR; α = R
a
T = ½MR( ) ;
T = ½Ma
y
R

6 kg

a=?
2 kg
R = 50 cm
6 kg

Aplique 2a ley de Newton a la masa que cae:

mg - T = ma

mg - ½Ma = ma
T

T
+a

(2 kg)(9.8 m/s2) - ½(6 kg) a = (2 kg) a
19.6 N - (3 kg) a = (2 kg) a

T

a = 3.92 m/s2

2 kg

mg
Trabajo y potencia para rotación
Trabajo = Fs = FRθ

τ = FR
θ

Trabajo = τθ
Trabajo = τθ
Trabajo

Potencia =

t

τθ
= t

s

θ
ω=
t

F
F

s = Rθ

Potencia = τ ω
Potencia = Momento de torsión x velocidad angular promedio
Ejemplo 4: El disco rotatorio tiene
un radio de 40 cm y una masa de
6 kg. Encuentre el trabajo y la
potencia si la masa de 2 kg se
eleva 20 m en 4 s.
Trabajo = τθ = FR θ
s
20 m
θ= =
= 50 rad
R
0.4 m

θ
2 kg

6 kg

Potencia =

Trabaj
o

t

=

392 J
4s

F

F=W
s = 20 m

F = mg = (2 kg)(9.8 m/s2); F = 19.6 N
Trabajo = (19.6 N)(0.4 m)(50 rad)

s

Trabajo = 392 J

Potencia = 98 W
El teorema trabajo-energía
Recuerde para movimiento lineal que el trabajo
realizado es igual al cambio en energía cinética
lineal:

Fx = ½ mv − ½ mv
2
f

2
0

Al usar analogías angulares, se encuentra que el
trabajo rotacional es igual al cambio en energía
cinética rotacional:

τθ = ½ Iω − ½ Iω
2
f

2
0
Aplicación del teorema trabajo-energía:
¿Qué trabajo se necesita
para detener la rueda
que rota?

F
R

Trabajo = ∆Κr

4 kg

ω

ωο = 60 rad/s
R = 0.30 m
F = 40 N

Primero encuentre I para rueda: I = mR2 = (4 kg)(0.3 m)2 =
0.36 kg m2
0

τθ = ½ Iω − ½ Iω
2
f

2
0

Trabajo = -½Iωο2

Trabajo = -½(0.36 kg m2)(60 rad/s)2

Trabajo = -648 J
Rotación y traslación combinadas
vcm
vcm
vcm

Primero considere un disco que se
desliza sin fricción. La velocidad
de cualquier parte es igual a la
velocidad vcm del centro de masa.

Ahora considere una bola que
rueda sin deslizar. La velocidad
angular ω en torno al punto P es
igual que ω para el disco, así que
se escribe:

v
ω=
R

O

ω

v

R

P

v = ωR
Dos tipos de energía cinética
ω
Energía
2
K = ½mv
cinética de
traslación:
v
R
Energía
P
K = ½Iω2
cinética de
rotación:
Energía cinética total de un objeto que rueda:

KT = mv + I ω
1
2

2

1
2

2
Conversiones angular/lineal
En muchas aplicaciones, debe resolver una
ecuación con parámetros angulares y lineales. Es
necesario recordar los puentes:
puentes
Desplazamiento:

s =θR

Velocidad:

v = ωR

Aceleración:

v =αR

s
θ=
R

v
ω=
R
α
a=
R
¿Traslación o rotación?
Si debe resolver un parámetro lineal, debe convertir
todos los términos angulares a términos lineales:
s
θ=
R

v
ω=
R

α
a=
R

I = (?)mR 2

Si debe resolver un parámetro angular, debe
convertir todos los términos lineales a términos
angulares:
v =αR
s =θR
v = ωR
Ejemplo (a): Encuentre la velocidad v de un
disco dada su energía cinética total E.
Energía total: E = ½mv2 + ½Iω2
v
E = mv + I ω ; I = mR ; ω =
R
 v2 
E = 1 mv 2 + 1 1 mR 2  2 ÷; E = 1 mv 2 + 1 mv 2
2
2 2
2
4
R 

1
2

2

2

1
2

1
2

(

3mv 2
E=
4

2

)

or

4E
v=
3m
Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular ω
de un disco dada su energía cinética total E.
Energía total: E = ½mv2 + ½Iω2
E = 1 mv 2 + 1 I ω 2 ; I = 1 mR 2 ; v = ω R
2
2
2

E = 1 m(ω R ) 2 + 1 ( 1 mR 2 ) ω 2 ; E = 1 mR 2ω 2 + 1 mR 2ω 2
2
2 2
2
4

3mR 2ω 2
E=
4

or

4E
ω=
3mR 2
Estrategia para problemas
• Dibuje y etiquete un bosquejo del problema.

• Mencione lo dado y establezca lo que debe
encontrar.
• Escriba fórmulas para encontrar los momentos
de inercia de cada cuerpo que rota.

• Recuerde conceptos involucrados (potencia,

energía, trabajo, conservación, etc.) y escriba
una ecuación que involucre la cantidad
desconocida.

• Resuelva para la cantidad desconocida.
Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares,
cada uno con la misma masa y radio,
ruedan con rapidez lineal v. Compare sus
energías cinéticas.
ω
ω

Dos tipos de energía:
KT = ½mv2

v

Kr = ½Iω2

Energía total: E = ½mv + ½Iω

2

2

 v2 
E = ½ mv 2 + ½ ½ mR 2  2 
Disco:
R 
 v2 
2
2
Aro: E = ½ mv + ½ mR  2 
R 

(

)

(

)

v
ω=
R
E = ¾mv2
E = mv2

v
Conservación de energía
La energía total todavía se conserva
para sistemas en rotación y traslación.

Sin embargo, ahora debe considerar la rotación.
Inicio: (U + Kt + KR)o = Fin: (U + Kt + KR)f
¿Altura?

mgho

¿Rotación
?

½Ιωο2

¿Velocidad
?

½mv

2
o

=

mghf
½Ιωf2
½mv

2
f

¿Altura?
¿Rotación
?
¿Velocidad
?
Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa
de 2 kg justo antes de golpear el suelo.

mgho

mghf

=

½Ιωο2

½Ιωf2
½mvf2

½mv

2
o

mgh0 = 1 mv 2 + 1 I ω 2
2
2

(2)(9.8)(10) = (2)v + (6)v
2

6 kg
2 kg
h = 10 m

I = 1 MR 2
2

 v2 
mgh0 = 1 mv 2 + 1 ( 1 MR 2 )  2 ÷
2
2 2
R 
1
2

R = 50 cm

1
4

2

2.5v2 = 196 m2/s2

v = 8.85 m/s
Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desde
lo alto de un plano inclinado. ¿Cuáles son
sus rapideces en el fondo si la altura inicial
es 20 m?
mgho = ½mv2 + ½Iω2

Aro: I = mR2

 v2 
mgh0 = ½ mv 2 + ½(mR 2 )  2 
R 

mgho = ½mv2 + ½mv2;

20 m

mgho = mv2

v = gh0 = (9.8 m/s 2 )(20 m)

Aro:

Disco: I = ½mR2; mgho = ½mv2 + ½Iω2

 v2 
mgh0 = ½ mv 2 + ½(½ mR 2 )  2 
R 

v = 14 m/s
v = 14 m/s

v=

4

3

gh0

v = 16.2 m/s
Definición de cantidad de
movimiento angular
Considere una partícula m
que se mueve con velocidad v
en un círculo de radio r.

Defina cantidad de
movimiento angular L:

L = mvr
Al sustituir v= ωr, da:
L = m(ωr) r = mr2ω
Para cuerpo extendido en
rotación:

L = (Σmr2) ω

v = ωr

ω

m

m4

m1

eje

m3

m2

Objeto que rota con ω constante.

Dado que I = Σmr2, se tiene:

L = Iω
Cantidad de
movimiento angular
Ejemplo 8: Encuentre la cantidad de
L=2m
movimiento angular de una barra
delgada de 4 kg y 2 m de longitud si
rota en torno a su punto medio con
m = 4 kg
una rapidez de 300 rpm.
1
1
Para barra : I =
mL2 =
(4 kg)(2 m) 2
I = 1.33 kg m2
12
12

rev  2π rad  1 min 

ω =  300


 = 31.4 rad/s
min  1 rev  60 s 

L = Iω = (1.33 kg m2)(31.4 rad/s)2
L = 1315 kg m2/s
Impulso y cantidad de
movimiento

Recuerde que, para movimiento lineal, el impulso
lineal es igual al cambio en cantidad de movimiento
lineal:

F ∆t = mv f − mv0
Al usar analogías angulares, se encuentra que el
impulso angular es igual al cambio en cantidad de
movimiento angular :

τ ∆t = Iω f − Iω 0
Ejemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica al
borde de una rueda libre para girar. La fuerza
actúa durante 0.002 s. ¿Cuál es la velocidad
angular final?
I = mR2 = (2 kg)(0.4 m)2
I = 0.32 kg m2
Momento de torsión
aplicado τ = FR

∆ t = 0.002 s ω ο = 0 rad/s
ω
R
R = 0.40 m

F

2 kg

F = 200 N

Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular
0
τ ∆t = Iωf − Ιωo
FR ∆t = Iωf

FR ∆t (200 N)(0.4 m)(0.002 s)
ωf =
=
I
0.32 m 2

ω f = 0.5 rad/s
Conservación de cantidad de
movimiento

En ausencia de momento de torsión externo, se
conserva la cantidad de movimiento rotacional de un
sistema (es constante).
0
Ifωf = Ιοωo
Ifωf − Ιοωo = τ ∆t

Io = 2 kg m2; ω ο = 600 rpm

I 0ω 0 (2 kg ⋅ m )(600 rpm)
ωf =
=
2
If
6 kg ⋅ m
2

If = 6 kg m2; ω ο = ?

ωf = 200 rpm
Resumen – Analogías rotacionales
Cantidad

Lineal

Desplazamiento Desplazamiento x

Rotacional
Radianes θ

Inercia

Masa (kg)

I (kg⋅m2)

Fuerza

Newtons N

Velocidad

v

“ m/s ”

Momento de
torsión N·m
ω
Rad/s

Aceleración

a

“ m/s2 ”

α

Cantidad de
movimiento

mv (kg m/s)

Rad/s2

Iω (kg⋅m2⋅rad/s)
Fórmulas análogas
Movimiento lineal

Movimiento rotacional

F = ma
K = ½mv2
Trabajo = Fx

τ = Iα
K = ½Iω2
Trabajo = τθ

Potencia = Fv

Potencia = Iω

Fx = ½mvf2 - ½mvo2

τθ = ½Iωf2 - ½Iωo2
Resumen de
K = Iω
1
2

II = ΣmR22
fórmulas: = ΣmR

τθ = ½ Iω − ½ Iω
2
f

¿Altura?
¿Rotación
?
¿Velocidad
?

I oω o = I f ω f

Trabajo = τθ

2

mgho
½Ιωο2
½mv

2
o

2
0

=

τθ
Potencia =
= τω
t

mghf
½Ιωf2
½mv

2
f

¿Altura?
¿Rotación
?
¿Velocidad
?
CONCLUSIÓN: Capítulo 11B
Rotación de cuerpo rígido

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  • 1. Cap. 11B – Rotación de cuerpo rígido Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University © 2007
  • 2. Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: •• Definir y calcular el momento de inercia para Definir y calcular el momento de inercia para sistemas simples. sistemas simples. •• Definir y aplicar los conceptos de segunda ley de Definir y aplicar los conceptos de segunda ley de Newton,, energía cinética rotacional,, trabajo Newton energía cinética rotacional trabajo rotacional,, potencia rotacional y cantidad de rotacional potencia rotacional y cantidad de movimiento rotacional a la solución de movimiento rotacional a la solución de problemas físicos. problemas físicos. •• Aplicar principios de conservación de energía y Aplicar principios de conservación de energía y cantidad de movimiento a problemas que cantidad de movimiento a problemas que involucran rotación de cuerpos rígidos. involucran rotación de cuerpos rígidos.
  • 3. Inercia de rotación Considere la segunda ley de Newton para que la inercia de rotación se modele a partir de la ley de traslación. F = 20 N a = 4 m/s2 F = 20 N R = 0.5 m α = 2 rad/s2 Inercia lineal, m 24 N m = 4 m/s2 5 kg = Inercia rotacional, I τ (20 N)(0.5 m) I = α= = 2.5 kg m2 4 m/s2 La fuerza hace para la traslación lo que el momento de torsión hace para la rotación:
  • 4. Energía cinética rotacional Considere masa pequeña m: v = ωR K = ½mv K = ½m(ωR)2 2 K = ½(mR )ω 2 ω 2 m m4 m1 eje m3 m2 Suma para encontrar K total: Objeto que rota a ω constante. K = ½(ΣmR2)ω2 Definición de inercia rotacional: (½ω2 igual para toda m ) II = ΣmR22 = ΣmR
  • 5. Ejemplo 1: ¿Cuál es la energía cinética rotacional del dispositivo que se muestra si rota con rapidez constante de 600 rpm? Primero: I = ΣmR2 3 m 3 kg I = (3 kg)(1 m) + (2 kg)(3 m)2 + (1 kg)(2 m)2 2 I = 25 kg m2 2 kg 1m 2m ω 1 kg ω = 600 rpm = 62.8 rad/s K = ½Iw2 = ½(25 kg m2)(62.8 rad/s) 2 K = 49,300 J K = 49,300 J
  • 6. Inercias rotacionales comunes L L I= I= 2 3 mL 1 12 2 mL R R R I = mR 2 Aro 1 I = ½mR 2 Disco o cilindro I= 2 5 mR 2 Esfera sólida
  • 7. Ejemplo 2: Un aro circular y un disco tienen cada uno una masa de 3 kg y un radio de 30 cm. Compare sus inercias rotacionales. I = mR = (3 kg)(0.2 m) 2 I = ½mR2 Disco R I = mR2 I = 0.120 kg m2 R 2 Aro I = mR = (3 kg)(0.2 m) 1 2 2 1 2 I = 0.0600 kg m2 2
  • 8. Analogías importantes Para muchos problemas que involucran rotación, hay una analogía extraída del movimiento lineal. x m f Una fuerza resultante F produce aceleración negativa a para una masa m. F = ma τ I R 4 kg ω ω = 50 rad/s ο τ = 40 N m Un momento de torsión resultante τ produce aceleración angular α de disco con inercia rotacional I. τ = Iα
  • 9. Segunda ley de rotación de Newton ¿Cuántas revoluciones requiere para detenerse? τ = Iα FR = (½mR2)α 2F 2(40N) α= = mR (4 kg)(0.2 m) α = 100 rad/s2 F R 4 kg ω ωο = 50 rad/s R = 0.20 m F = 40 N 0 2αθ = ωf - ωo2 2 2 −ω 0 −(50 rad/s) 2 θ= = 2α 2(100 rad/s 2 ) θ = 12.5 rad = 1.99 rev
  • 10. Ejemplo 3: ¿Cuál es la aceleración lineal de la masa de 2-kg que cae? R = 50 cm M Aplique 2a ley de Newton al disco rotatorio: τ = Iα TR = (½MR )α 2 a T = ½MRα pero a = αR; α = R a T = ½MR( ) ; T = ½Ma y R 6 kg a=? 2 kg R = 50 cm 6 kg Aplique 2a ley de Newton a la masa que cae: mg - T = ma mg - ½Ma = ma T T +a (2 kg)(9.8 m/s2) - ½(6 kg) a = (2 kg) a 19.6 N - (3 kg) a = (2 kg) a T a = 3.92 m/s2 2 kg mg
  • 11. Trabajo y potencia para rotación Trabajo = Fs = FRθ τ = FR θ Trabajo = τθ Trabajo = τθ Trabajo Potencia = t τθ = t s θ ω= t F F s = Rθ Potencia = τ ω Potencia = Momento de torsión x velocidad angular promedio
  • 12. Ejemplo 4: El disco rotatorio tiene un radio de 40 cm y una masa de 6 kg. Encuentre el trabajo y la potencia si la masa de 2 kg se eleva 20 m en 4 s. Trabajo = τθ = FR θ s 20 m θ= = = 50 rad R 0.4 m θ 2 kg 6 kg Potencia = Trabaj o t = 392 J 4s F F=W s = 20 m F = mg = (2 kg)(9.8 m/s2); F = 19.6 N Trabajo = (19.6 N)(0.4 m)(50 rad) s Trabajo = 392 J Potencia = 98 W
  • 13. El teorema trabajo-energía Recuerde para movimiento lineal que el trabajo realizado es igual al cambio en energía cinética lineal: Fx = ½ mv − ½ mv 2 f 2 0 Al usar analogías angulares, se encuentra que el trabajo rotacional es igual al cambio en energía cinética rotacional: τθ = ½ Iω − ½ Iω 2 f 2 0
  • 14. Aplicación del teorema trabajo-energía: ¿Qué trabajo se necesita para detener la rueda que rota? F R Trabajo = ∆Κr 4 kg ω ωο = 60 rad/s R = 0.30 m F = 40 N Primero encuentre I para rueda: I = mR2 = (4 kg)(0.3 m)2 = 0.36 kg m2 0 τθ = ½ Iω − ½ Iω 2 f 2 0 Trabajo = -½Iωο2 Trabajo = -½(0.36 kg m2)(60 rad/s)2 Trabajo = -648 J
  • 15. Rotación y traslación combinadas vcm vcm vcm Primero considere un disco que se desliza sin fricción. La velocidad de cualquier parte es igual a la velocidad vcm del centro de masa. Ahora considere una bola que rueda sin deslizar. La velocidad angular ω en torno al punto P es igual que ω para el disco, así que se escribe: v ω= R O ω v R P v = ωR
  • 16. Dos tipos de energía cinética ω Energía 2 K = ½mv cinética de traslación: v R Energía P K = ½Iω2 cinética de rotación: Energía cinética total de un objeto que rueda: KT = mv + I ω 1 2 2 1 2 2
  • 17. Conversiones angular/lineal En muchas aplicaciones, debe resolver una ecuación con parámetros angulares y lineales. Es necesario recordar los puentes: puentes Desplazamiento: s =θR Velocidad: v = ωR Aceleración: v =αR s θ= R v ω= R α a= R
  • 18. ¿Traslación o rotación? Si debe resolver un parámetro lineal, debe convertir todos los términos angulares a términos lineales: s θ= R v ω= R α a= R I = (?)mR 2 Si debe resolver un parámetro angular, debe convertir todos los términos lineales a términos angulares: v =αR s =θR v = ωR
  • 19. Ejemplo (a): Encuentre la velocidad v de un disco dada su energía cinética total E. Energía total: E = ½mv2 + ½Iω2 v E = mv + I ω ; I = mR ; ω = R  v2  E = 1 mv 2 + 1 1 mR 2  2 ÷; E = 1 mv 2 + 1 mv 2 2 2 2 2 4 R   1 2 2 2 1 2 1 2 ( 3mv 2 E= 4 2 ) or 4E v= 3m
  • 20. Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular ω de un disco dada su energía cinética total E. Energía total: E = ½mv2 + ½Iω2 E = 1 mv 2 + 1 I ω 2 ; I = 1 mR 2 ; v = ω R 2 2 2 E = 1 m(ω R ) 2 + 1 ( 1 mR 2 ) ω 2 ; E = 1 mR 2ω 2 + 1 mR 2ω 2 2 2 2 2 4 3mR 2ω 2 E= 4 or 4E ω= 3mR 2
  • 21. Estrategia para problemas • Dibuje y etiquete un bosquejo del problema. • Mencione lo dado y establezca lo que debe encontrar. • Escriba fórmulas para encontrar los momentos de inercia de cada cuerpo que rota. • Recuerde conceptos involucrados (potencia, energía, trabajo, conservación, etc.) y escriba una ecuación que involucre la cantidad desconocida. • Resuelva para la cantidad desconocida.
  • 22. Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares, cada uno con la misma masa y radio, ruedan con rapidez lineal v. Compare sus energías cinéticas. ω ω Dos tipos de energía: KT = ½mv2 v Kr = ½Iω2 Energía total: E = ½mv + ½Iω 2 2  v2  E = ½ mv 2 + ½ ½ mR 2  2  Disco: R   v2  2 2 Aro: E = ½ mv + ½ mR  2  R  ( ) ( ) v ω= R E = ¾mv2 E = mv2 v
  • 23. Conservación de energía La energía total todavía se conserva para sistemas en rotación y traslación. Sin embargo, ahora debe considerar la rotación. Inicio: (U + Kt + KR)o = Fin: (U + Kt + KR)f ¿Altura? mgho ¿Rotación ? ½Ιωο2 ¿Velocidad ? ½mv 2 o = mghf ½Ιωf2 ½mv 2 f ¿Altura? ¿Rotación ? ¿Velocidad ?
  • 24. Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa de 2 kg justo antes de golpear el suelo. mgho mghf = ½Ιωο2 ½Ιωf2 ½mvf2 ½mv 2 o mgh0 = 1 mv 2 + 1 I ω 2 2 2 (2)(9.8)(10) = (2)v + (6)v 2 6 kg 2 kg h = 10 m I = 1 MR 2 2  v2  mgh0 = 1 mv 2 + 1 ( 1 MR 2 )  2 ÷ 2 2 2 R  1 2 R = 50 cm 1 4 2 2.5v2 = 196 m2/s2 v = 8.85 m/s
  • 25. Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desde lo alto de un plano inclinado. ¿Cuáles son sus rapideces en el fondo si la altura inicial es 20 m? mgho = ½mv2 + ½Iω2 Aro: I = mR2  v2  mgh0 = ½ mv 2 + ½(mR 2 )  2  R  mgho = ½mv2 + ½mv2; 20 m mgho = mv2 v = gh0 = (9.8 m/s 2 )(20 m) Aro: Disco: I = ½mR2; mgho = ½mv2 + ½Iω2  v2  mgh0 = ½ mv 2 + ½(½ mR 2 )  2  R  v = 14 m/s v = 14 m/s v= 4 3 gh0 v = 16.2 m/s
  • 26. Definición de cantidad de movimiento angular Considere una partícula m que se mueve con velocidad v en un círculo de radio r. Defina cantidad de movimiento angular L: L = mvr Al sustituir v= ωr, da: L = m(ωr) r = mr2ω Para cuerpo extendido en rotación: L = (Σmr2) ω v = ωr ω m m4 m1 eje m3 m2 Objeto que rota con ω constante. Dado que I = Σmr2, se tiene: L = Iω Cantidad de movimiento angular
  • 27. Ejemplo 8: Encuentre la cantidad de L=2m movimiento angular de una barra delgada de 4 kg y 2 m de longitud si rota en torno a su punto medio con m = 4 kg una rapidez de 300 rpm. 1 1 Para barra : I = mL2 = (4 kg)(2 m) 2 I = 1.33 kg m2 12 12 rev  2π rad  1 min   ω =  300    = 31.4 rad/s min  1 rev  60 s   L = Iω = (1.33 kg m2)(31.4 rad/s)2 L = 1315 kg m2/s
  • 28. Impulso y cantidad de movimiento Recuerde que, para movimiento lineal, el impulso lineal es igual al cambio en cantidad de movimiento lineal: F ∆t = mv f − mv0 Al usar analogías angulares, se encuentra que el impulso angular es igual al cambio en cantidad de movimiento angular : τ ∆t = Iω f − Iω 0
  • 29. Ejemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica al borde de una rueda libre para girar. La fuerza actúa durante 0.002 s. ¿Cuál es la velocidad angular final? I = mR2 = (2 kg)(0.4 m)2 I = 0.32 kg m2 Momento de torsión aplicado τ = FR ∆ t = 0.002 s ω ο = 0 rad/s ω R R = 0.40 m F 2 kg F = 200 N Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular 0 τ ∆t = Iωf − Ιωo FR ∆t = Iωf FR ∆t (200 N)(0.4 m)(0.002 s) ωf = = I 0.32 m 2 ω f = 0.5 rad/s
  • 30. Conservación de cantidad de movimiento En ausencia de momento de torsión externo, se conserva la cantidad de movimiento rotacional de un sistema (es constante). 0 Ifωf = Ιοωo Ifωf − Ιοωo = τ ∆t Io = 2 kg m2; ω ο = 600 rpm I 0ω 0 (2 kg ⋅ m )(600 rpm) ωf = = 2 If 6 kg ⋅ m 2 If = 6 kg m2; ω ο = ? ωf = 200 rpm
  • 31. Resumen – Analogías rotacionales Cantidad Lineal Desplazamiento Desplazamiento x Rotacional Radianes θ Inercia Masa (kg) I (kg⋅m2) Fuerza Newtons N Velocidad v “ m/s ” Momento de torsión N·m ω Rad/s Aceleración a “ m/s2 ” α Cantidad de movimiento mv (kg m/s) Rad/s2 Iω (kg⋅m2⋅rad/s)
  • 32. Fórmulas análogas Movimiento lineal Movimiento rotacional F = ma K = ½mv2 Trabajo = Fx τ = Iα K = ½Iω2 Trabajo = τθ Potencia = Fv Potencia = Iω Fx = ½mvf2 - ½mvo2 τθ = ½Iωf2 - ½Iωo2
  • 33. Resumen de K = Iω 1 2 II = ΣmR22 fórmulas: = ΣmR τθ = ½ Iω − ½ Iω 2 f ¿Altura? ¿Rotación ? ¿Velocidad ? I oω o = I f ω f Trabajo = τθ 2 mgho ½Ιωο2 ½mv 2 o 2 0 = τθ Potencia = = τω t mghf ½Ιωf2 ½mv 2 f ¿Altura? ¿Rotación ? ¿Velocidad ?