1. SUMATORIAS
Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito de números, que se denota como
sigue:
ththkh
th
hk
k
nnnnnS 11

donde:
S: magnitud resultante de la suma.
T: cantidad de valores a sumar.
k: índice de la suma, que varía entre h y h+t
h: punto inicial de la sumatoria
h+t: punto final de la sumatoria
nk: valor de la magnitud objeto de suma en el punto k
Un tipo particular de sumatoria de gran importancia lo es el caso cuando t→ ∞, que se
conoce como serie y se representa de la manera siguiente:
hk
k
nS
Considerando la amplitud que reviste el análisis de las series, este tema no será abordado en
este trabajo.
III. Propiedades de las sumatorias
Entre las propiedades generales de las sumatorias reportadas en la literatura se encuentra las
once que se relacionan a continuación, cuya demostración se realiza utilizando el
procedimiento matemático de Inducción Completa.
III.1 Reportadas en la literatura

2. Propiedad #1:
2
1
1
nn
k
n
k
Propiedad #2:
2
1pqpq
k
q
pk
Propiedad #3: 12
1
nnk
n
k
Propiedad #4: 2
1
12 nk
n
k
Propiedad #5: 1214
1
nnk
n
k
Propiedad #6: 124
1
nnk
n
k
Propiedad #7:
6
121
1
2 nnn
k
n
k
Propiedad #8: 21
3
1
1
1
nnnkk
n
k
Propiedad #9:
11
1
1 n
n
kk
n
k
Propiedad #10:
2
1
3
2
1nn
k
n
k

3. Propiedad #11:
30
133121
2
1
4 nnnnn
k
n
k
La integral de Riemann
CONCEPTO DE INTEGRAL
La geometría nos facilita ciertas fórmulas para calcular el área de determinadas figuras
(círculo, triángulo, etc.). El problema se nos plantea cuando deseamos conocer el área
definida por una función y = f(x), por ejemplo cuando alcanza zonas positivas y zonas
negativas. Es decir, partiendo de un punto O y teniendo dos intervalo (a, O) y (O, b), el
número que asignamos como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a,
b].
Partición
Sea a < b. Recibe el nombre de partición del intervalo [a, b] toda colección finita de puntos
de [a, b], de los cuales uno es a y otro es b.
Ejemplo
Partición en cuatro subintervalos
a = t0 < t1 < t2 < t3 < t4 = b
mi = mínimo de f en el intervalo i
Mi = máximo de f en el intervalo i
s = m1 · (t1 - t0) + m2 · (t2 - t1) + m3 · (t3 - t2) + m4 · (t4 - t3)
S = M1 · (t1 - t0) + M2 · (t2 - t1) + M3 · (t3 - t2) + M4 · (t4 - t3)

4. Generalizando: supongamos una función f acotada sobre [a, b] y P una partición de [a, b]:
 mi = inf { f(x) : ti-1 <= x <= ti }
 Mi = sup { f(x) : ti-1 <= x <= ti }
Valor de una integral
 La suma superior de f para P es U( f, P ) = Sumatorio desde i = 1 hasta n de Mi ·
( ti - ti-1 )
 La suma inferior de f para P es L( f, P ) = Sumatorio desde i = 1 hasta n de mi · (
ti - ti-1 )
Se cumple que:
L( f, P ) <= U( f, P )
Si aumentamos los puntos de la partición, es decir:
P = partición de n puntos || Q = partición de k puntos || k > n
L( f, P ) <= L( f, Q ) || U( f, P ) >= U( f, Q )
Al incrementar sucesivamente los puntos de la partición:
L1 <= L2 <= L3 <= L4 <= ...<= Ln<= A <= Un <= ... <= U4 <= U3 <= U2 <= U1
FUNCIONES INTEGRABLES
Definición

5. Una función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre [a, b] si:
sup { L( f, P ) : P es una partición de [a, b] } = inf { U( f, P ) : P es una partición de [a, b] }
En este caso este número común recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y se denota
por:
para todas las particiones de [a, b]
Teorema
Sea f una función acotada sobre [a, b], entonces f es integrable sobre [a, b] si y sólo si para
todo e > 0, existe una partición de P en [a, b] tal que:
U( f, P ) - L( f, P ) < e
Si una función es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. Si f es continua en [a,
b] salvo en un conjunto finito de puntos, y es además acotada en [a, b], entonces es
integrable.
Propiedades
Si g(x) <= f(x) para todo el intervalo [a, b]

6. INTEGRAL INDEFINIDA
Si f es una función integrable en [a, b], llamamos integral indefinida de f, a la función:
Si f es una función acotada e integrable en [a, b], F(x) es continua en [a, b].
Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Si f es una función integrable en [a, b] y continua en un x0 perteneciente a [a, b], entonces
la integral indefinida F es derivable en x0 y además F ' (x0) = f (x0). Este teorema nos
permite calcular integrales indefinidas buscando la primitiva de la función bajo el signo
integral (integrando), es decir, una función cuya derivada nos dé como resultado el
integrando de la integral:

7. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Regla de Barrow
f(x) es una función integrable en el intervalo y que admite primitiva.
Ejemplo
Calcular la integral de
Calcular la integral de (x^3 - 2)^2 · x^2 · dx :
F(x) = x^9 / 9 - 4x^6 / 6 + 4x^3 / 3 + K

8. FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama
función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho
intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].
Así:
La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.
PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCION
Primera propiedad
Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la
función
F(x) + C es otra primitiva de f(x).

9. Demostración:
Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las
derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.
(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)
Ejercicio: primitivas de una función
 Encontrar tres primitivas de la funcióncos x.
Resolución:
 Se sabe quesen x es una primitiva decos x.
 Tres primitivas decos x son, por ejemplo,
Segunda propiedad
Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.
Demostración:
Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra
primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le
quieran dar
aC.
Tercera propiedad

10. Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si
F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.
INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC.
Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas
de la función f(x), y se simboliza
Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
donde C representa una constante llamada constante de integración.
Ejercicio: cálculo de primitivas
Resolución:
 Puesto que una primitiva decos x es sen x,
Resolución:

11. Por consiguiente,
Resolución:
INTEGRALES INMEDIATAS
De la derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes
integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende
ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.

12. Ejercicio:
Resolución:
Resolución:
 Por la propiedad del producto de potencias de la misma base,
Por tanto,

13. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Integración por descomposición
Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las
integrales:
Primera propiedad de las integrales
La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la
suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.
Esto es,
Segunda propiedad de las integrales
La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la
constante por la integral de la función.
Es decir,
Ejercicio: cálculo de integrales aplicando el método por descomposición

14. Integración por cambio de variable (o sustitución)
Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante
un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método
preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de
variable más conveniente.
Ejercicio:
Resolución:
Ejercicio: cálculo de integrales por cambio de variable
Resolución:

15.  Se multiplica y se divide por 6:
INTEGRAL DEFINIDA
El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc.,
además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número
que coincide con el de cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la
figura. Se puede cuestionar entonces si cualquier figura tiene área y cómo se
calcula.
Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función muy
sencilla, por ejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema de ejes cartesianos y tratar de
calcular el área de la superficie limitada por la función, el eje de abscisas y la
ordenada correspondiente a la abscisa x = 1.
Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la
unidad, por tanto su área es 1/2.
Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede
aprovechar su simplicidad para intentar obtener algo útil en otros casos menos
sencillos.
Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual longitud:
[0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectángulos como se observa en
la figura, la suma de las áreas de los rectángulos rayados es menor que el área del
triángulo; mientras que la suma de las áreas de los rectángulos punteados, exceden
al área del triángulo.

16. Calculando estas áreas se obtiene:
Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por exceso,
0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5.
Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo [0, 1], parece lógico que
las diferencias que han resultado en el caso anterior, tenderán a disminuir. Si se
divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud 1/n, la superficie que se
«desperdicia» es menor, si n> 4.
Área por defecto:
Área por exceso:
Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es:

17. Además,
Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un número
infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área
por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando.
Partición de un intervalo [a, b]
Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos contenidos en [a,
b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y cuya unión es [a,b]. La
partición de un intervalo queda determinada por los extremos de los nuevos
intervalos, y por esto, la partición se suele expresar nombrando dichos extremos. En
la figura, la partición de
[a, b] es:
Estos extremos se suelen escribir en orden creciente,
a = x0 <x1 <x2 <x3 <x4 <x5 = b
Ejemplo de partición

18. Función escalonada
Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en
R, f:[a,b] R;f es una funciónescalonada cuando existe una partición del
intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de
los intervalos de la partición.
Ejemplos de funciones escalonadas
1. La función f: [-3, 4] R definida por:
La partición asociada a f(x) es P = {-3, 2, 4} y en cada intervalo la función es
constante.
Obsérvese que para cada función escalonada existe una infinidad de particiones
asociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra partición asociada a f, ya que la
función toma valores constantes en cada intervalo de la partición.
2. El ejemplo más representativo de función escalonada es la función parte
La imagen de un número cualquiera mediante E[x] es el mayor número entero que
es menor o igual que el número del que se parte.
Así,
E [3,105] = 3

19. E [5] = 5
E [-3,001] = -4
E [-1,5401] = -2
E [7,32] = 7
E [-1,52] = -2
De una función escalonada sólo van a interesar los valores que toma en el interior
de cada intervalo que compone la partición, no considerando el valor que toma en
los extremos.
INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCION ESCALONADA
Sea f una función escalonada definida en [a, b], y P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b}
una partición de [a, b]. Si mi es el valor que toma la función f en el intervalo (xi-1,
xi) (es decir, si x (xi-1, xi), f(x) = mi ), se llama integral de la función f en [a, b] al
número
m1(x1 - x0) + m2(x2 - x1) + m3(x3 - x2) + ... + mn(xn - xn-1)
Este número se simboliza por:
A los números a y b se les llama límites de integración, y la anterior expresión se
lee «integral, entre a y b, de f(x) diferencial de x».

20. Propiedades de la integral definida de una función escalonada
 La integral definida de una función escalonada no depende de la partición
elegida.
Esto significa que si se consideran dos particiones P y P' de una función
 Si los límites de integración, en una integraldefinida de una función escalonada,
coinciden, entonces
 Si en una integral definida se intercambian los límites de integración, el valor de
la integral cambia de signo:
Ejercicio: cálculo de integrales definidas de funciones escalonadas
Resolución:
 Se toma la partición asociadaP = {-3, -1, 2, 4}

21. Resolución:
 Se toma, por ejemplo, la particiónP = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
 Por definición,
INTEGRAL DE RIEMANN
Ahora se va a definir la integral de una función cualquiera definida en un intervalo
[a, b] con la única condición de que esté acotada, es decir, que exista un número M>
0, de forma que la función, en el intervalo [a, b], siempre tome valores entre -M y
M.
Volviendo al ejemplo introductorio del tema, f(x) = x, es necesario recordar que para
el cálculo del área de un triángulo se tomaron funciones escalonadas g(x)
cumpliendo g(x) f(x) para cualquier x [a, b] y otras funciones escalonadas h(x)
tales que f(x) h(x) si x [a, b]. De todo ello resultaba que:

22. En general, para una función f(x) acotada, se toman todas las funciones escalonadas
g(x) por defecto, y todas las funciones escalonadas por exceso, es decir, g(x) f(x)
 h(x) cuando x [a, b]. En estas condiciones, si existe un único número I que
cumpla
para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x) f(x) h(x) si
x [a, b], al número I se le llama integral de f(x) entre a y b.
y se lee «integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x),diferencial de x.
significado de la integral definida de una función
 Si una función positivaf(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable (existe
su por
la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.
 Si la funcióny = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la gráfica de la función
quedaría por debajo del eje de abscisas.

23. En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto, sus
integrales correspondientes serían negativas, y puesto que
el área
de la región que determina una función negativa es:
Este hecho no debería llamar la atención si se tiene presente cómo está definida la
integral de una función escalonada: la suma de las áreas de los rectángulos que
determina con el eje de abscisas, si la función escalonada es positiva y la suma de
las áreas de los rectángulos que determina con el eje de abscisas con signo menos, si
la función escalonada es negativa.
 Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima, y parte por
debajo del eje de abscisas, la integral se descompondrá en varios sumandos cuando
se quiera calcular el área de la región que delimita con el eje de abscisas en el
intervalo [a, b].
Se ve claramente que:

24. La definición de integral de Riemann poco ayuda a su cálculo, pues es imposible
encontrar todas las funciones escalonadas por defecto y por exceso de otra función
dada. Hay, no obstante, criterios que son mucho más útiles de cara a decidir si una
función acotada es integrable o no. Uno de ellos se obtiene con el siguiente teorema,
cuya demostración se omite por escapar de los objetivos de este libro.
Teorema
Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.
Si y = f(x) es una función continua definida en un intervalo [a, b], entonces f(x) es
Con este teorema resulta evidente la integrabilidad de funciones como sen x, cos x,
de cualquier función polinómica y, en general, de cualquier función continua.
Aún así, todavía no hay nada que permita calcular de una manera rápida la integral
de una función f(x) definida en un intervalo [a, b].
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea una función y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene sentido y
existe

25. A partir de f(x) se define una nueva función G de la siguiente forma:
Obsérvese que se ha llamado t a la variable de la función G para no confundirla con
la variable x de la función f.
En estas condiciones, si t0  [a, b] es un punto en el que la función f es continua, la
función G es derivable en t0 y el valor de la derivada en t0 es G'(t0) = f(t0). Es
decir, la derivada de la función G en un punto coincide con el valor de f en ese
mismo punto, o lo que es lo mismo, si la función f es continua, la función G es una
primitiva de la función f.
El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un método
que permita resolver las integrales definidas de un modo sencillo. Basta, para ello,
con utilizar la importante consecuencia que de él se deriva y que se conoce como
Regla de Barrow.
Regla de Barrow
Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una función definida
en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para cualquier x (a, b),
entonces
Este resultado es conocido, frecuentemente, por «segunda parte del teorema
fundamental del cálculo». Es obligado hacer notar que, para resolver una integral
definida de una función continua, basta con encontrar una primitiva de la función,

26. sustituir en ella los límites de integración superior e inferior respectivamente y
restar ambos valores.
Claro es que, aunque la regla de Barrow dé un método para el cálculo de integrales
definidas, no siempre es fácil encontrar las primitivas de una función.
Conviene observar también que como F(b) - F(a) es un número, es decir, no
depende de la variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es una primitiva
de f(t), f(u) es una primitiva de f(u), etc., todas las expresiones siguientes tienen el
mismo significado:
Ejercicio: cálculo de áreas
 Calcular el área encerrada por la curvay = x2, el eje de abscisas y las rectas
x = 1 y x = 2.
Resolución:
Dos propiedades fundamentales de la integral definida

27. Las dos propiedades fundamentales del cálculo de primitivas siguen siendo válidas
en el cálculo de integrales definidas:
1. Si K es un número real cualquiera,
Forma integral del Teorema del valor medio
Para una función continua en el cerrado , existe un valor en dicho intervalo,
tal que1
Demostración Dado que la función es continua en el cerrado , posee un valor
máximo en dicho intervalo para algún , que llamaremos y
también un valor mínimo en el mismo intervalo: , para algún . Es
decir y . Si consideramos las
áreas de los rectángulos con base y altura ó tendremos la siguiente
desigualdad:
Lo que implica:

28. De donde se deduce que debe existir algún para el cual la función alcanza el
valor de la integral , es decir:
El teorema no especifíca como determinar , pero resulta que coincide con el valor
medio (promedio) de la función en el intervalo .