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MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS PARA INGENIEROS
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POLITEXT 92

Mecánica de medios
continuos para ingenieros
POLITEXT

Xavier Oliver Olivella
Carlos Agelet de Saracíbar Bosch

Mecánica de medios
continuos para ingenieros
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Eduardo Vieira Chaves
Eduardo Car

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3UHVHQWDFLyQ
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FRPRGHSRVWJUDGRFXUVRVGH0iVWHUGH'RFWRUDGR
$ GLIHUHQFLD GH RWURV WH[WRV GH LQWURGXFFLyQ D OD PHFiQLFD GH PHGLRV
FRQWLQXRV HO TXH DTXt VH SUHVHQWD HVWi HVSHFtILFDPHQWH RULHQWDGR D OD
LQJHQLHUtDLQWHQWDQGRPDQWHQHUXQDGHFXDGRHTXLOLEULRHQWUHODULJXURVLGDGGH
OD IRUPXODFLyQ PDWHPiWLFD XWLOL]DGD  OD FODULGDG GH ORV SULQFLSLRV ItVLFRV
WUDWDGRV DXQTXH SRQLHQGR HQ WRGR PRPHQWR OR SULPHUR DO VHUYLFLR GH OR
VHJXQGR (Q HVWH VHQWLGR HQ ODV LPSUHVFLQGLEOHV RSHUDFLRQHV YHFWRULDOHV 
WHQVRULDOHV VH XWLOL]DQ VLPXOWiQHDPHQWH WDQWR OD QRWDFLyQ LQGLFLDO GH PiV
XWLOLGDGSDUDODGHPRVWUDFLyQPDWHPiWLFDULJXURVD
FRPRODQRWDFLyQFRPSDFWD
HQ OD TXH VH YLVOXPEUD FRQ PiV FODULGDG OD ItVLFD GHO SUREOHPD
DXQTXH D
PHGLGDTXHVHDYDQ]DHQHOWH[WRH[LVWHXQDFODUDWHQGHQFLDKDFLDODQRWDFLyQ
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ItVLFDGHODPHFiQLFDGHPHGLRVFRQWLQXRV
(OFRQWHQLGRGHOWH[WRHVWiFODUDPHQWHGLYLGLGRHQGRVSDUWHVTXHVHSUHVHQWDQ
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© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
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;DYLHU2OLYHU2OLYHOOD

DUORV$JHOHWGH6DUDFtEDU%RVFK

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Índice

1

Descripción del movimiento
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14

2

Definición de medio continuo
Ecuaciones de movimiento
Descripciones del movimiento
Derivadas temporales: local, material, convectiva
Velocidad y aceleración
Estacionariedad
Trayectoria
Línea de corriente
Tubo de corriente
Línea de traza
Superficie material
Superficie de control
Volumen material
Volumen de control

1
1
5
7
9
12
13
15
17
18
20
22
23
24

Descripción de la deformación
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14

Introducción
Tensor gradiente de deformación
Desplazamientos
Tensores de deformación
Variación de las distancias:
Estiramiento. Alargamiento unitario
Variación de ángulos
Interpretación física de los tensores de deformación
Descomposición polar
Variación de volumen
Variación del área
Deformación infinitesimal
Deformación volumétrica
Velocidad de deformación
Derivadas materiales de los tensores de deformación
y otras magnitudes

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

25
25
28
30
33
36
38
42
44
46
47
56
58
62
2.15 Movimientos y deformaciones en coordenadas
cilíndricas y esféricas
3

Ecuaciones de compatibilidad
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

4

Introducción
Ejemplo preliminar: Ecuaciones de compatibilidad
de un campo vectorial potencial
Condiciones de compatibilidad para las
deformaciones infinitesimales
Integración del campo de deformaciones
infinitesimales
Ecuaciones de compatibilidad e integración
del tensor velocidad de deformación

71
72
74
77
82

Tensión
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8

5

65

Fuerzas másicas y superficiales
Postulados de Cauchy
Tensor de tensiones
Propiedades del tensor de tensiones
Tensor de tensiones en coordenadas
curvilineas ortogonales
Círculo de Mohr en 3 dimensiones
Círculo de Mohr en 2 dimensiones
Círculos de Mohr para casos particulares

83
86
88
96
103
105
110
122

Ecuaciones de conservación-balance
5.1
5.2
5.3
5.4

Postulados de conservación-balance
Flujo por transporte de masa o flujo colectivo
Derivada local y derivada material
de una integral de volumen
Conservación de la masa. Ecuación de continuidad

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

125
125
129
134
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13

6

Ecuación de balance. Teorema del transporte
de Reynolds
Expresión general de las ecuaciones de balance
Balance de la cantidad de movimiento
Balance del momento de la cantidad
de movimiento (momento angular)
Potencia
Balance de la energía
Procesos reversibles e irreversibles
Segundo principio de la termodinámica. Entropía
Ecuaciones de la mecánica
de medios continuos. Ecuaciones constitutivas

136
138
141
143
146
151
157
159
166

Elasticidad lineal
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13

Hipótesis de la Teoría de la Elasticidad Lineal
Ecuación constitutiva elástica lineal.
Ley de Hooke generalizada
Isotropía - Constantes de Lamé- Ley de Hooke
para elasticidad lineal isótropa
Ley de Hooke en componentes esféricas
y desviadoras
Limitaciones en los valores de las
propiedades elásticas
Planteamiento del problema elástico lineal
Resolución del problema elástico lineal
Unicidad de la solución del problema elástico lineal
Principio de Saint-Venant
Termoelasticidad lineal. Tensiones
y deformaciones térmicas
Analogías térmicas
Principio de superposición en
termoelasticidad lineal
Ley de Hooke en función de los “vectores”
de tensión y deformación

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

169
171
174
176
178
180
185
188
193
195
198
208
212
7

Elasticidad lineal plana
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6

8

8.7
8.8

226

Introducción
Nociones previas
Espacio de tensiones principales
Modelos reológicos de fricción
Comportamiento fenomenológico elastoplástico
Teoría incremental de la plasticidad
en una dimensión
Plasticidad en tres dimensiones
Superficies de fluencia. Criterios de fallo

233
233
237
242
251
253
260
261

Ecuaciones constitutivas en fluidos
9.1
9.2
9.3
9.4

10

215
215
219
222
223

Plasticidad
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6

9

Introducción
Estado de tensión plana
Deformación plana
El problema elástico lineal en elasticidad bidimensional
Problemas asimilables a elasticidad bidimensional
Curvas representativas de los estados
planos de tensión

Concepto de presión
Ecuaciones constitutivas en mecánica de fluidos
Ecuaciones constitutivas (mecánicas)
en fluidos viscosos
Ecuaciones constitutivas (mecánicas)
en fluidos newtonianos

273
276
277
277

Mecánica de fluidos
10.1 Ecuaciones del problema de mecánica de fluidos

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285
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
11

Hidrostática. Fluidos en reposo
Dinámica de fluidos:fluidos perfectos barotrópicos
Dinámica de fluidos:fluidos viscosos (newtonianos)
Condiciones de contorno en la mecánica de fluidos
Flujo laminar y flujo turbulento

287
293
303
309
313

Principios variacionales
11.1 Preliminares
11.2 Principio (Teorema) de los trabajos virtuales
11.3 Energía potencial. Principio de minimización
de la energía potencial

317
323

Bibliografía

331

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

328
1 Descripción del
movimiento
1.1 Definición de medio continuo
Se entiende por Medio Continuo un conjunto infinito de partículas (que forman
parte, por ejemplo, de un sólido, de un fluido o de un gas) que va a ser
estudiado macroscópicamente, es decir, sin considerar las posibles
discontinuidades existentes en el nivel microscópico (nivel atómico o
molecular). En consecuencia, se admite que no hay discontinuidades entre las
partículas y que la descripción matemática de este medio y de sus propiedades
se puede realizar mediante funciones continuas.

1.2 Ecuaciones del movimiento
La descripción más elemental del movimiento del Medio Continuo puede
llevarse a cabo mediante funciones matemáticas que describan la posición de
cada partícula a lo largo del tiempo. En general, se requiere que éstas
funciones y sus derivadas sean continuas.
Se supone que el medio continuo está formado por infinitas partículas (puntos
materiales) que ocupan diferentes posiciones del espacio físico durante su
movimiento a lo largo del tiempo (ver Figura 1-1). Se define como configuración
del medio continuo en el instante t, que se denota por Ω t , el lugar geométrico
de las posiciones que ocupan en el espacio los puntos materiales (partículas) del
medio continuo en dicho instante.
Definiciones:
Punto espacial: Punto fijo en el espacio.
Punto material: Una partícula. Puede ocupar distintos puntos espaciales
en su movimiento a lo largo del tiempo.
Configuración: Lugar geométrico de las posiciones que ocupan en el
espacio las partículas del medio continuo para un cierto instante t.
N O T A

En general se tomará el
instante t 0 = 0 como
instante de referencia.

A un cierto instante t = t 0 del intervalo de tiempo de interés se le denomina
instante de referencia y a la configuración en dicho instante Ω 0 se la denomina
configuración inicial, material o de referencia.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
1 Descripción del movimiento

2

N O T A C I Ó N

Se utilizarán
indistintamente las
notaciones ( X , Y , Z )

Consideremos ahora el sistema de coordenadas cartesianas ( X , Y , Z ) de la
ˆ ˆ ˆ
Figura 1-1 y la correspondiente base ortonormal (e1 , e 2 , e 3 ) . En la
configuración de referencia Ω 0 el vector de posición X de una partícula que
ocupa un punto P en el espacio (en el instante de referencia) viene dado por:

y ( X 1 , X 2 , X 3 ) para
designar al sistema de
coordenadas
cartesianas.
N O T A C I Ó N

En el resto de este
texto se utilizará la
notación de Einstein o de
índices repetidos. Toda
repetición de un índice en un
mismo monomio de una
expresión algebraica supone
el sumatorio respecto a dicho
índice. Ejemplos:
i =3

t = t0

X3, Z

ˆ
e3

X

Ω0
t0
Ωt
t

t

P

Ω0

Ωt

x

(1.1)

– Configuración de referencia
– Instante de referencia
– Configuración actual
– Instante actual

P’

not

ˆ
ˆ
∑ X iei = X iei
i =1
k =3

∑ a ik bkj
=
k 1
i =3 j =3
i =1 j =1

ˆ
e1

ˆ
e2

X 2 ,Y

not

= aik bkj

∑∑ aij bij

X1, X

not

= a ij bij

N O T A C I Ó N

Se distingue aquí entre
el vector (ente físico)
X y su vector de
componentes [X].
Frecuentemente se
obviará esta distinción
N O T A C I Ó N

Siempre que sea
posible, se denotará
con letras mayúsculas a
las variables que se
refieran a la
configuración de
referencia Ω 0 y con
letras minúsculas a las
variables referidas a la
configuración actual

Ωt

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
X = X 1e1 + X 2 e 2 + X 3 e 3 = X i e i

Figura 1-1 – Configuraciones del medio continuo
donde a las componentes ( X 1 , X 2 , X 3 ) se las denomina coordenadas materiales
(de la partícula).
X1 
[X] =  X 2 
 
X 
 3

def

= coordenadas materiales

(1.2)

En la configuración actual Ω t , la partícula situada originalmente en el punto
material P (ver Figura 1-1) ocupa el punto espacial P' y su vector de posición
x viene dado por:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x = x1e1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 = xi e i

(1.3)

donde a ( x1 , x 2 , x 3 ) se las denomina coordenadas espaciales de la partícula en el
instante de tiempo t .
 x1 
[x] =  x 2 
 
x 
 3

def

= coordenada s espaciales

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(1.4)
3

1 Descripción del movimiento

El movimiento de las partículas del medio continuo puede describirse ahora
por la evolución de sus coordenadas espaciales (o de su vector de posición) a lo
largo del tiempo. Matemáticamente esto requiere conocer una función que para
cada partícula (identificada por una etiqueta) proporcione sus coordenadas
espaciales xi (o su vector de posición espacial x ) en los sucesivos instantes de
tiempo. Como etiqueta que caracteriza unívocamente a cada partícula pueden
elegirse sus coordenadas materiales X i obteniéndose las ecuaciones del movimiento:
N O T A C I Ó N

not

x = ϕ (partícula, t ) = ϕ(X, t ) = x(X, t )

Con un cierto abuso de
la notación se va a
confundir
frecuentemente la
función con su imagen.
Así las ecuaciones de
movimiento se
escribirán a menudo
como x = x ( X, t ) y

que proporcionan las coordenadas espaciales en función de las materiales, y las
ecuaciones del movimiento inversas:

sus inversas como
X = X ( x, t ) .

que proporcionan las coordenadas materiales en función de las espaciales.

(1.5)

1
xi = ϕ i (X 1 , X 2 , X 3 , t ) i ∈ { ,2,3}

not

X = ϕ −1 (x, t ) = X( x, t )
X i = ϕi

−1

(x1 , x2 , x3 , t )

(1.6)

1
i ∈ { ,2,3}

Observación 1-1
Hay diferentes alternativas para elegir la etiqueta que caracteriza una
partícula, aunque la opción de tomar sus coordenadas materiales es la
más común. Cuando las ecuaciones del movimiento vienen dadas en
función de las coordenadas materiales como etiqueta (como en la
ecuación (1.5)), se hablará de las ecuaciones de movimiento en forma canónica.
Existen ciertas restricciones matemáticas para garantizar la existencia de ϕ y de
ϕ −1 así como su correcto significado físico. Estas restricciones son:

•
•
•

•

ϕ(X,0) = X puesto que, por definición, X es el vector de posición en el
instante de referencia t = 0 (condición de consistencia).
ϕ ∈ C 1 ( la función ϕ es continua y con derivadas continuas en cada punto

e instante).
ϕ es biunívoca (para garantizar que dos partículas no ocupan
simultáneamente el mismo punto del espacio y que una partícula no ocupa
simultáneamente dos puntos distintos del espacio).
 ∂ ϕ(X, t )

 ∂X 

El Jacobiano de la transformación J = det 

not

=

∂ϕ(X, t )
0.
∂X

La interpretación física de esta condición (que se estudiará más adelante) es que
todo volumen diferencial ha de ser siempre positivo, o utilizando el principio de
conservación de la masa (que se verá más adelante), la densidad de las partículas ha
de ser siempre positiva.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
1 Descripción del movimiento

4

R E C O R D A T O R I O

Se define el operador
de dos índices Delta de
Kronecker

not

= δ ij

como:

0 i ≠ j
δ ij = 
1 i = j

El tensor unidad 1 de
segundo orden se
define entonces como

Observación 1-2
En el instante de referencia t = 0 resulta x(X, t ) t =0 = X . En
consecuencia x = X , y = Y , z = Z son las ecuaciones del
movimiento en el instante de referencia y el Jacobiano en dicho
instante resulta ser:
J (X,0) =

 ∂x
∂ ( xyz )
= det  i
∂( XYZ )
 ∂X j



 = det δ ij = det 1 = 1



[ ]

[1]ij = δ ij

Observación 1-3
La expresión x = ϕ(X, t ) , particularizada para un valor fijo de las
coordenadas materiales X , proporciona la ecuación de la trayectoria de
la partícula (ver Figura 1-2).

tn
t1

X3, Z
t0

(X 1 , X 2 , X 3 )

ˆ
e3
ˆ
e1

trayectoria

ˆ
e2

X 2 ,Y

X1, X

Figura 1-2 – Trayectoria de una partícula
Ejemplo 1-1 – La descripción espacial del movimiento de un medio continuo viene dada
por:
 x1 = X 1 e 2 t
 x = X e 2t




x(X , t ) ≡  x 2 = X 2 e −2 t
≡  y = Y e −2 t


2t
2t
z = 5 X t + Z e
 x3 = 5 X 1 t + X 3 e



Obtener las ecuaciones del movimiento inversas.
El determinante del Jacobiano resulta:

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1 Descripción del movimiento

∂x i
J=
∂X j

∂x1
∂X 1
∂x
= 2
∂X 1
∂x 3
∂X 1

∂x1
∂X 2
∂x 2
∂X 2
∂x 3
∂X 2

∂x1
∂X 3 e 2 t
∂x 2
= 0
∂X 3
5t
∂x 3
∂X 3

0
e

−2 t

0

5

0
0 = e 2t ≠ 0
e 2t

La condición suficiente (aunque no necesaria) para que la función x = ϕ( X, t )
sea biunívoca (que exista la inversa) es que el determinante del Jacobiano de la
función no sea nulo. Además puesto que el Jacobiano es positivo, el
movimiento tiene sentido físico. Por lo tanto, la inversa de la descripción
espacial dada existe y viene dada por:

x1e −2 t
X1  


 
−1
2t
X = ϕ (x, t ) ≡  X 2  = 
x2 e

 X   x e −2 t − 5tx e − 4 t 
1
 3  3


1.3 Descripciones del movimiento
La descripción matemática de las propiedades de las partículas del medio
continuo puede hacerse mediante dos formas alternativas: la descripción
material (generalmente utilizada en Mecánica de Sólidos) y la descripción espacial
(utilizada generalmente en Mecánica de Fluidos). Ambas descripciones se
diferencian esencialmente por el tipo de argumento (coordenadas materiales o
coordenadas espaciales) que aparece en las funciones matemáticas que
describen las propiedades del medio continuo.
1.3.1 Descripción material
N O T A

La literatura sobre el
tema suele referirse
también a la
descripción material
como descripción
lagrangeana .

En la descripción material se describe cierta propiedad (por ejemplo la
densidad ρ ) mediante cierta función ρ (•, t ): R 3 × R + → R + donde el argumento
(•) en ρ (•, t ) son las coordenadas materiales. Es decir:
ρ = ρ (X, t ) = ρ (X 1 , X 2 , X 3 , t )

(1.7)

Obsérvese que si se fijan los tres argumentos X ≡ ( X 1 , X 3 , X 3 ) de la ecuación
(1.7) se está siguiendo a una partícula determinada (ver Figura 1-3a), de ahí
proviene la denominación de descripción material
1.3.2 Descripción espacial

N O T A

Suele denominarse
también a la
descripción espacial
como descripción
euleriana.

En la descripción espacial la atención se centra en un punto del espacio. Se
describe la propiedad como una función ρ(•, t ): R 3 × R + → R + del punto del
espacio y del tiempo:
ρ = ρ(x, t ) = ρ(x1 , x 2 , x 3 , t )

(1.8)

de tal forma que al asignar un cierto valor al argumento x en ρ = ρ(x, t ) se
obtiene la evolución de la densidad para las distintas partículas que van pasando

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1 Descripción del movimiento

6

por dicho punto del espacio a lo largo del tiempo (ver Figura 1-3b). Por otro
lado, al fijar el argumento tiempo en la ecuación (1.8) se obtiene una
distribución instantánea (como una fotografía) de la propiedad en el espacio. Es
evidente que las ecuaciones del movimiento directas e inversas permiten pasar
de una descripción a otra de la forma:
ρ (x, t ) = ρ (x ( X , t ), t ) = ρ (X , t )
ρ (X, t ) = ρ (X ( x, t ), t ) = ρ (x, t )

(1.9)
b)

a)

(X

X3, Z

*

(x , y , z )

,Y * ,Z * )

*

X 3, Z

t =2

t =0

*

*

t =0
t =1
t =2

t =1
X 2 ,Y
X1, X

X1, X

Figura 1-3– Descripción material y espacial de una propiedad
Ejemplo 1-2 – Sean las siguientes ecuaciones del movimiento:
 x = X − Yt

x = x (X , t ) ≡  y = Xt + Y
 z = − Xt + Z


Obtener la descripción espacial de la propiedad descrita materialmente mediante
ρ (X,Y,Z,t ) =

X +Y + Z
1+t2

Las ecuaciones del movimiento están dadas en forma canónica, ya que en la
x = X

configuración de referencia Ω 0 se obtiene: x = X(X,0 ) =  y = Y
z = Z


El Jacobiano resulta: J =

∂x i
∂X j

∂x
∂X
∂y
=
∂X
∂z
∂X

∂x
∂Y
∂y
∂Y
∂z
∂Y

∂x
∂Z
1 −t 0
∂y
1 0 =1+ t 2 ≠ 0
= t
∂Z
−t 0 1
∂z
∂Z

y las ecuaciones del movimiento inversas están dadas por:

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7

1 Descripción del movimiento

Si

ahora

ρ (X,Y,Z,t) =

se


x + yt
X =
1+ t2

y − xt

X( x, t ) ≡ Y =
1+ t2


z + zt 2 + xt + yt 2
Z =
1+ t2


considera

la

descripción

material

de

la

propiedad

X +Y +Z
es posible hallar su descripción espacial sustituyendo en
1+ t2

ella las ecuaciones del movimiento inversas. Es decir:
ρ (X,Y,Z,t ) ≡

x + yt + y + z + zt 2 + yt 2

(1 + t )

2 2

= ρ (x,y,z,t )

1.4 Derivadas temporales: local, material,
convectiva
La consideración de las distintas descripciones (material y espacial) de las
propiedades del medio continuo lleva a diversas definiciones de las derivadas
temporales de dichas propiedades. Consideremos una cierta propiedad y sus
descripciones material y espacial:
Γ(X, t ) = γ (x, t )

(1.10)

donde el paso de la descripción espacial a la material y viceversa se hace a
través de las ecuaciones del movimiento (1.5) y (1.6).
Definiciones:
N O T A C I Ó N

La notación

∂(•, t ) se
∂t

entiende en el sentido
clásico de derivada
parcial respecto a la
variable t .

Derivada local: La variación de la propiedad respecto al tiempo en un
punto fijo del espacio. Si se dispone de la descripción espacial de la
propiedad, γ (x, t ) , dicha derivada local puede escribirse
matemáticamente como:
not

derivada local =

∂γ ( x, t )
∂t

Derivada material: La variación de la propiedad respecto al tiempo
siguiendo una partícula (punto material) específica del medio
continuo. Si se dispone de la descripción material de la propiedad,
Γ( X, t ) , dicha derivada material puede describirse matemáticamente
como:
not

derivada material =

∂Γ( X , t )
d
Γ=
∂t
dt

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1 Descripción del movimiento

8

Sin embargo, si se parte de la descripción espacial de la propiedad γ ( x, t ) y se
consideran implícitas en la misma las ecuaciones del movimiento:
γ ( x, t ) = γ ( x( X, t ), t ) = Γ( X, t )

(1.11)

puede obtenerse la derivada material (siguiendo a una partícula) a partir de la
descripción espacial, como:
not

derivada material =
N O T A C I Ó N

En la literatura se
utiliza frecuentemente

(•) como
Dt
(•) .
alternativa a d
dt
la notación D

∂Γ(X, t )
d
γ (x(X, t ), t ) =
∂t
dt

(1.12)

Desarrollando la ecuación (1.12) se obtiene:
dγ(x(X, t ), t ) ∂γ( x, t ) ∂γ ∂x i ∂γ (x, t ) ∂γ ∂x
=
+
=
+
⋅
∂t
∂x i ∂t
∂t
∂x !
∂t
dt

(1.13)

v (x,t )

donde se ha considerado la definición de la velocidad como la derivada
respecto al tiempo de las ecuaciones de movimiento (1.5),
∂x( X, t )
= V ( X(x, t ), t ) = v( x, t )
∂t

(1.14)

La obtención de la derivada material a partir de la descripción espacial puede
generalizarse para cualquier propiedad χ (x, t ) (de carácter escalar, vectorial o
tensorial):
N O T A C I Ó N

Se considera aquí la
forma simbólica del
operador Nabla espacial:

∇≡

∂
ei
ˆ
∂x i

d χ ( x, t )
% $
dt #

derivada material

=

∂χ ( x, t )
% $
∂t #

derivada local

+

v ( x, t ) ⋅ ∇χ ( x, t )
% 
$
#

(1.15)

derivada convectiva

Observación 1-4
La ecuación (1.15) define implícitamente la derivada convectiva v ⋅ ∇(• )
como la diferencia entre las derivadas material y local de la propiedad.
El término convección se aplica en Mecánica de Medios Continuos a
fenómenos relacionados con el transporte de masa (o de partículas).
Obsérvese que si no hay convección ( v = 0 ) la derivada convectiva
desaparece y las derivadas local y material coinciden.

Ejemplo 1-3 – Dada la siguiente ecuación del movimiento
 x = X + Yt + Zt

 y = Y + 2 Zt
 z = Z + 3 Xt


y la descripción espacial de una propiedad
material.

ρ(x, t ) = 3 x + 2 y + 3t , calcular su derivada

La descripción material de la propiedad se obtiene reemplazando las
ecuaciones del movimiento en la expresión espacial:
ρ (X,Y,Z,t ) = 3(X + Yt + Zt ) + 2(Y + 2 Zt ) + 3t = 3 X + 3Yt + 7 Zt + 2Y + 3t
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1 Descripción del movimiento

9

La derivada material puede obtenerse en primera instancia como la derivada
respecto al tiempo en la descripción material, es decir:
∂ρ
= 3Y + 7Z + 3
∂t

Otra alternativa para el cálculo de la derivada material es utilizar el concepto de
derivada material de la descripción espacial de la propiedad:
∂ρ
=3
∂t

dρ ∂ρ
=
+ v ⋅ ∇ρ
dt ∂t
∂x
v=
= (Y + Z, 2 Z, 3 X )T
∂t

3
∇ρ = { ,2,0}T

Reemplazando en la expresión del operador derivada material se tiene:
dρ
= 3 + 3Y + 7 Z
dt

Obsérvese que las expresiones de la derivada material de la propiedad
obtenidas a partir de la descripción material,

∂ρ
, o de la descripción espacial,
∂t

dρ
, coinciden.
dt

1.5 Velocidad y aceleración
Definición:
Velocidad: Derivada temporal de las ecuaciones del movimiento.
La descripción material de la velocidad viene dada, en consecuencia, por:
∂x(X, t )
∂t
∂x (X, t )
Vi (X, t ) = i
∂t

V (X, t ) =

i ∈{1, 2,3}

(1.16)

y si se dispone de las ecuaciones inversas del movimiento X = ϕ −1 (x, t ) es
posible obtener la descripción espacial de la velocidad como:
v (x, t ) = V ( X( x, t ), t )

(1.17)

Definición:
Aceleración: Derivada material del campo de velocidades.
Si se tiene la velocidad descrita en forma material, se puede hallar la
descripción material de la aceleración como:

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1 Descripción del movimiento

10

∂V (X, t )
∂t
∂V (X, t )
A i (X, t ) = i
∂t

A (X, t ) =

(1.18)

y a través de las ecuaciones inversas del movimiento X = ϕ −1 (x, t ) , se puede
pasar a la descripción espacial a(x, t ) = A(X(x, t ), t ). Como alternativa, si se
dispone de la descripción espacial de la velocidad, puede obtenerse
directamente la descripción espacial de la aceleración aplicando la ecuación
(1.15) para obtener la derivada material de v(x, t ) :
a(x, t ) =

dv (x, t ) ∂v(x, t )
=
+ v (x, t ) ⋅ ∇v(x, t )
∂t
dt

(1.19)

Ejemplo 1-4 – Considérese un sólido, ver Figura 1-4, que gira con velocidad angular ω
constante y que tiene como ecuación del movimiento:
 x = R sin(ωt + φ)

 y = R cos (ωt + φ)

Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento descritas en forma material y espacial.
t =0

Y

P
t

R

φ

P’

ωt

R
Figura 1-4

X

Las ecuaciones del movimiento pueden reescribirse como:
x = R sin(ωt + φ) = R sin(ωt )cos φ + R cos(ωt ) sinφ
y = R cos(ωt + φ) = R cos (ωt ) cos φ − R sin(ωt ) sinφ
 X = R sinφ
, las formas canónicas de la ecuación del
Y = R cosφ

y, ya que para t = 0 ⇒ 

movimiento y de su inversa quedan:

 x = X cos (ωt ) + Y sin(ωt )

 y = − X sin (ωt ) + Y cos (ωt )

 X = x cos (ωt ) − y sin(ωt )

Y = x sin(ωt ) + y cos(ωt )

a.1) Velocidad en descripción material
∂x

= − X ω sin(ωt ) + Y ω cos (ωt )
V =
∂x(X, t )  x ∂t

≡
V (X, t ) =
∂t
V = ∂y = − X ω cos (ωt ) − Y ω sin (ωt )
 y ∂t

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1 Descripción del movimiento

11

a.2) Velocidad en descripción espacial
Sustituyendo los valores x e y dados en la forma canónica vista anteriormente,
es posible obtener la forma espacial de la velocidad como:

∂x

 v x = ∂t = ω y   ω y 


v(x, t ) = 

=
 v = ∂y = − ω x  − ω x 
 y ∂t




b.1) Aceleración en descripción material:
A (X, t ) =

∂V (X, t )
∂t


 ∂v x
2
2
 ∂t = − Xω cos(ωt ) − Yω sin(ωt )


2  X cos(ωt ) + Ysin(ωt ) 
A (X , t ) = 
=−ω 

− Xsin(ωt ) + Y cos(ωt )
 ∂v y = Xω 2 sin(ωt ) − Yω 2 cos(ωt ) 


 ∂t


b.2) Aceleración en descripción espacial:
Sustituyendo las ecuaciones del movimiento inversas en la ecuación anterior:
a x = −ω 2 x 


a(x, t ) = A( X( x, t ), t ) ≡ 
2 
a y = − ω y 



Esta misma expresión podría ser obtenida si se considera la expresión de la
velocidad v (x, t ) y la expresión de la derivada material en (1.15):
dv(x, t ) ∂v(x, t )
=
+ v (x, t ) ⋅ ∇v(x, t ) =
a(x, t ) =
dt

∂t

∂
 ∂x 
∂  ωy 
= 
 + [ωy − ωx ]  ∂  [ωy − ωx ] =
∂t − ωx 
 
 ∂y 
 
∂
∂

 ∂x (ωy ) ∂x (− ωx ) − ω 2 x 
0


=   + [ωy − ωx ]  ∂
=  2 
∂
0

 (ωy )
(− ωx ) − ω y 


∂y
 ∂y




Obsérvese que el resultado obtenido por los dos procedimientos es idéntico.

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1 Descripción del movimiento

12

1.6 Estacionariedad
Definición:
Una propiedad es estacionaria cuando su descripción espacial no
depende del tiempo.
De acuerdo con la definición anterior y con el concepto de derivada local, toda
propiedad estacionaria tiene su derivada local nula. Por ejemplo, si la velocidad
para un cierto movimiento es estacionaria, puede ser descrita espacialmente
como:
v(x, t ) = v (x ) ⇔

∂v(x, t )
=0
∂t

(1.20)

Observación 1-5
La independencia del tiempo de la descripción espacial
(estacionariedad) supone que para un mismo punto del espacio la
propiedad en cuestión no varía a lo largo del tiempo. Esto no implica
que, para una misma partícula, la propiedad no varíe con el tiempo (la
descripción material puede depender del tiempo). Por ejemplo, si la
velocidad v (x, t ) es estacionaria
⇒ v (x, t ) ≡ v(x ) = v(x( X, t ) ) = V ( X, t )
luego la descripción material de la velocidad depende del tiempo. Para
un caso de densidad estacionaria (ver Figura 1-5) ocurrirá que para
dos partículas de etiquetas X 1 y X 2 que varían su densidad a lo largo
del tiempo, al pasar por un mismo punto espacial x (en dos instantes
distintos t1 y t 2 ) tomarán el mismo valor de la densidad
( ρ (X1 , t1 ) = ρ (X 2 , t 2 ) = ρ(x ) . Es decir, para un observador situado en
el exterior del medio, la densidad en el punto fijo del espacio x será
siempre la misma
Y
X

1

ρ(x )

x
X

2

X
Figura 1-5– Movimiento con densidad estacionaria

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1 Descripción del movimiento

13

Ejemplo 1-5 – En el Ejemplo 1-4 se tiene un campo de velocidades cuya
ω y
 . Es decir, se trata de un caso en que la
−ωx 


descripción espacial es: v(x ) ≡ 

descripción espacial de la velocidad no depende del tiempo y la velocidad es
estacionaria. Es evidente que esto no implica que la velocidad de las partículas
(que tienen un movimiento de rotación uniforme respecto al origen, con velocidad
angular ω ) no dependa del tiempo (ver Figura 1-6). La dirección del vector
velocidad para una misma partícula es tangente a su trayectoria circular y va
variando a lo largo del tiempo.
t0

P

Y
φ

v0

R
ωt

t

P’
R

vt

X
Figura 1-6
La aceleración (derivada material de la velocidad) aparece por el cambio de la
dirección del vector velocidad de las partículas y es conocida como aceleración
centrípeta:
a(x ) =

dv(x ) ∂v (x )
=
+ v(x ) ⋅ ∇v(x ) = v(x ) ⋅ ∇v (x )
∂t
dt

1.7 Trayectoria
Definición:
Trayectoria: Lugar geométrico de las posiciones que ocupa una
partícula en el espacio a lo largo del tiempo.
La ecuación paramétrica en función del tiempo de una trayectoria se obtiene
particularizando las ecuaciones del movimiento para una determinada partícula
(identificada por sus coordenadas materiales X * , ver Figura 1-7):
x(t ) = ϕ(X, t )

X = X*

(1.21)

Dadas las ecuaciones del movimiento x = ϕ(X, t ), por cada punto del espacio
pasa una trayectoria caracterizada por el valor de la etiqueta (coordenadas
materiales) X . Las ecuaciones del movimiento definen entonces una familia de
curvas cuyos elementos son las trayectorias de las diversas partículas.
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1 Descripción del movimiento

14

Y

t

t0

x

X*

X
Figura 1-7 – Trayectoria de una partícula
1.7.1 Ecuación diferencial de las trayectorias
Dado el campo de velocidades en descripción espacial v(x, t ) , es posible
obtener la familia de trayectorias planteando el sistema de ecuaciones
diferenciales que impone que, en cada punto del espacio x , el vector velocidad
sea la derivada respecto al tiempo de la ecuación paramétrica de las trayectorias
dada por la ecuación (1.21).
 dx(t )
 dt = v (x(t ), t )

Encontrar x(t ) := 
 dx i (t ) = v (x(t ), t ) i ∈{1,2,3}
i
 dt


(1.22)

La solución del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden (1.22)
dependerá de tres constantes de integración (C1 , C 2 , C 3 ) :
x = φ(C1, C 2, C 3, t )

 xi = φ i (C1 , C 2 , C3 , t )

i ∈{1,2,3}

(1.23)

Las expresiones (1.23) constituyen una familia de curvas en el espacio
parametrizada por las constantes (C1 , C 2 , C3 ) . Asignando un valor
determinado a dichas constantes se obtiene un miembro de la familia que es la
trayectoria de una partícula caracterizada por la etiqueta (C1 , C 2 , C3 ) .
Para obtener las ecuaciones en forma canónica se impone la condición de
consistencia en la configuración de referencia:
x(t ) t =0 = X ⇒ X = φ(C1, C 2, C 3 ,0) ⇒ C i = χ i ( X) i ∈{1,2,3}

(1.24)

y substituyendo en la ecuación (1.23) se obtiene la forma canónica de la
ecuación de las trayectorias:
x = φ(C1 (X ), C 2 (X ), C3 (X ), t ) = ϕ(X, t )
Ejemplo 1-6 – Considérese el campo de velocidades del Ejemplo 1-5:
 ω y

− ω x 

v(x, t ) = 
Obtener la ecuación de las trayectorias.

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(1.25)
1 Descripción del movimiento

15

Utilizando la expresión (1.22), se puede escribir:

 dx(t )
 dt = v x (x, t ) = ωy
dx(t )

= v(x, t ) ⇒ 
dt
 dy (t ) = v (x, t ) = −ωx
y
 dt


El sistema anterior de ecuaciones diferenciales es un sistema de variables
cruzadas. Si se deriva la segunda ecuación y se substituye el resultado en la
primera se obtiene:
d 2 y (t )
dx (t )
= −ω
= − ω2 y (t ) ⇒ y´´ + ω2 y = 0
2
dt
dt
Ecuación característica: r 2 + ω2 = 0

Soluciones características: rj = ± i ω
Solución : y (t ) = Parte Real { 1e
C

j ∈{1,2}

}

+ C 2 e − iwt = C1 cos(ωt ) + C 2 sin(ωt )
dy
= − ωx que resulta en
La solución para x (t ) se obtiene a partir de
dt
1 dy
, obteniéndose así:
x=−
ω dt
 x(C1 , C 2 , t ) = C1 sin(ωt ) − C 2 cos (ωt )

 y (C1 , C 2 , t ) = C1 cos(ωt ) + C 2 sin(ωt )
iwt

Las anteriores ecuaciones proporcionan las expresiones de las trayectorias en
forma no canónica. La forma canónica se obtiene considerando la condición
inicial:
x(C1 , C 2 ,0 ) = X
es decir:
 x (C1 , C2 ,0) = −C2 = X

 y (C1 , C2 ,0) = C1 = Y

Así, las ecuaciones del movimiento, o ecuación de las trayectorias, en forma
canónica son:
 x = Y sin(ωt ) + X cos (ωt )

 y = Y cos (ωt ) − X sin(ωt )

1.8 Línea de corriente
N O T A

Dado un campo
vectorial se definen sus
envolventes como la
familia de curvas cuyo
vector tangente, en
cada punto, coincide
en dirección y sentido
con el correspondiente
vector de dicho campo
vectorial.

Definición:
Líneas de corriente: Aquella familia de curvas que, para cada instante de
tiempo, son las envolventes del campo de velocidades.
De acuerdo con su definición, la tangente en cada punto de una línea de
corriente tiene la misma dirección y sentido (aunque no necesariamente la
misma magnitud) que el vector de velocidad en dicho punto del espacio.

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1 Descripción del movimiento

16

Y

tiempo - t 0

v

tiempo - t1

Y

X

X

Figura 1-8– Líneas de corriente
Observación 1-6
En el caso más general el campo de velocidades (descripción espacial)
será distinto para cada instante de tiempo ( v ≡ v( x, t ) ). Cabrá hablar,
en consecuencia, de una familia distinta de líneas de corriente para
cada instante de tiempo (ver Figura 1-8).
1.8.1 Ecuación diferencial de las líneas de corriente
Considérese un instante de tiempo dado t * y la descripción espacial del campo
de velocidades en dicho instante v( x, t * ) . Sea x(λ ) la ecuación de una línea de
corriente parametrizada en función de un cierto parámetro λ . El vector
tangente a la línea de corriente queda definido, para cada valor de λ por
dx(λ )
y la condición de tangencia del campo de velocidades puede escribirse
dλ

como:
N O T A

Se supone que el valor
del parámetro λ se
elige de tal forma que
en cada punto x del

dx(λ ) no
espacio,
dλ

solamente tiene la
dirección del vector
v(x, t ) sino que
coincide con el mismo.

 dx(λ )
*
 dλ = v x(λ ), t

Encontrar x( λ ) := 
 dx i (λ ) = v x (λ ), t *
i
 dλ


(

)

(

)

i ∈ {1,2,3}

(1.26)

La ecuaciones (1.26) constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales de
primer orden cuya solución para cada instante de tiempo t * , que dependerá de
'
tres constantes de integración ( C1' , C 2 , C3' ), proporciona la expresión
paramétrica de las líneas de corriente:
'
'
x = φ(C1' , C 2 , C 3 , λ, t * )


'
'
 xi = φ i (C1' , C 2 , C 3 , λ, t * )


i ∈{1,2,3}

(1.27)

'
Cada tripleta de constantes de integración ( C1' , C 2 , C3' ) identifica una línea de
corriente cuyos puntos se obtienen a su vez asignando valores al parámetro λ .
Para cada instante de tiempo t * se obtiene una nueva familia de líneas de
corriente.

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1 Descripción del movimiento

17

Observación 1-7
Si se tiene un campo de velocidades estacionario ( ⇒ v (x, t ) ≡ v ( x ) ),
las trayectorias y líneas de corriente coinciden. La justificación de este hecho
se puede hacer desde dos ópticas distintas:
•

La no aparición del tiempo en el campo de velocidades en las
ecuaciones (1.22) y (1.26) motiva que las ecuaciones diferenciales
que definen las trayectorias y las que definen las líneas de
corriente solo difieran en la denominación del parámetro de
integración ( t o λ respectivamente). La solución de ambos
sistemas debe ser, por consiguiente, la misma salvo por el nombre
del parámetro utilizado en los dos tipos de curvas.

•

Desde un punto de vista más físico: a) Si el campo de velocidades
es estacionario sus envolventes (las líneas de corriente) no varían
con el tiempo; b) una determinada partícula recorre el espacio
manteniendo su trayectoria en la dirección tangente al campo de
velocidades que va encontrando a lo largo del tiempo; c) por
consiguiente, si una trayectoria empieza en un punto de cierta
línea de corriente, se mantiene sobre la misma a lo largo del
tiempo.

1.9 Tubo de Corriente
Definición:
Tubo de corriente: Superficie constituida por un haz de líneas de
corriente que pasan por los puntos de una línea cerrada, fija en el
espacio y que no constituye una línea de corriente.
En casos no estacionarios, aunque la línea cerrada no varía, el tubo de corriente
y las líneas de corriente sí lo hacen. Por el contrario, para el caso estacionario el
tubo de corriente permanece fijo en el espacio a lo largo del tiempo.
1.9.1 Ecuación del tubo de corriente
Las líneas de corriente constituyen una familia de curvas del tipo:
x = f (C1 , C 2 , C3 , λ, t )

(1.28)

El problema consiste en determinar para cada instante de tiempo, qué curvas
de la familia de curvas de las líneas de corriente pasan por una línea cerrada y
fija en el espacio Γ, cuya expresión matemática parametrizada en función de
un parámetro s es:
Γ := x = g (s )

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(1.29)
1 Descripción del movimiento

18

Para ello se impone la condición de pertenencia de un mismo punto a las dos
curvas, en términos de los parámetros λ* y s * :

( ) (

g s * = f C1 , C 2 , C3 , λ* , t

)

(1.30)

Con lo cual se obtiene un sistema de tres ecuaciones del cual se puede despejar,
por ejemplo, s * , λ* , C 3 , esto es:
s * = s * (C1 , C 2 , t )

λ* = λ* (C1 , C 2 , t )

(1.31)

C 3 = C 3 (C1 , C 2 , t )

Sustituyendo (1.31) en (1.30) se obtiene:
x = f (C1 , C2 , C3 (C1 , C 2 , t ), λ (C1 , C2 , t ), t ) = h (C1 , C2 , t )

(1.32)

que constituye la expresión parametrizada (en función de los parámetros
C1 ,C 2 ) del tubo de corriente, para cada instante t (ver Figura 1-9).

t

s =1
s=0

Z
λ = 0,1,2...

*

*

s ;λ

Y
X

Figura 1-9 – Tubo de Corriente

1.10 Línea de traza
Definición:
Línea de traza, relativa a un punto fijo en el espacio x * denominado
punto de vertido y a un intervalo de tiempo denominado tiempo de vertido
[t i , t f ], es el lugar geométrico de las posiciones que ocupan en un
instante t , todas las partículas que han pasado por x * en un instante
τ ∈ [t i , t ] ∩ [t i , t f ].
La anterior definición corresponde al concepto físico de la línea de color (traza)
que se observaría en el medio en el instante t , si se vertiese un colorante en el
punto de vertido x * durante el intervalo de tiempo [t i , t f ] (ver Figura 1-10).
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19

1 Descripción del movimiento

(x , y
*

*

,z

*

τ = ti

) punto de vertido

τ = t1

z

τ = t2
τ =tf
t
y

x

Figura 1-10 – Línea de traza
1.10.1 Ecuación de la línea de traza
Para determinar la ecuación de la línea de traza es necesario identificar las
partículas que pasan por el punto x * en los correspondientes instantes τ .
Partiendo de las ecuaciones del movimiento dadas por (1.5) y (1.6) se trata de
determinar cuál es la etiqueta de la partícula que en el instante de tiempo τ
pasa por el punto de vertido. Para ello se plantea:
x * = x(X, τ )

xi* = xi (X, τ )



 ⇒ X = f (τ )
i ∈1, 2,3


(1.33)

Sustituyendo (1.33) en las ecuaciones del movimiento (1.5) se obtiene:
x = ϕ (f (τ ), t ) = g( τ, t )

[

τ ∈ [ti , t ]∩ ti , t f

]

(1.34)

La expresión (1.34) constituye, para cada instante t , la expresión paramétrica
(en términos del parámetro τ ) de un segmento curvilíneo en el espacio que es
la línea de traza en dicho instante.
Ejemplo 1-7 – Sea un movimiento definido por las siguientes ecuaciones del movimiento:
x = (X + Y ) t 2 + X cos t
y = (X + Y )cos t − X

Obtener la ecuación de la línea de traza asociada al punto de vertido x * = (0,1) para el
periodo de vertido [t 0 ,+∞) .
Las coordenadas materiales de la partícula que han pasado por el punto de
vertido en el instante τ están dadas por:

−τ2
X = 2
2
0=(X +Y) τ2 + X cos τ   τ +cos τ
⇒

1=(X +Y)cos τ− X   τ2 +cosτ
Y = τ2 +cos2τ


Por lo tanto la etiqueta de las partículas que han pasado por el punto de vertido
desde el instante de inicio de vertido t 0 hasta el instante actual t queda
definida por:

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1 Descripción del movimiento

20


− τ2
2
2 
τ + cos τ 
 τ ∈ [t 0 , t ] ∩ [t 0 , ∞] = [t 0 , t ]
τ 2 + cos τ 
Y= 2
τ + cos 2 τ 

X=

De aquí substituyendo en las ecuaciones del movimiento se obtienen las
ecuaciones de la línea de traza:

cos τ
− τ2
cos t
x= 2
t2 + 2


τ + cos 2 τ
τ + cos 2 τ
x = g( τ, t ) ≡ 
cos τ
− τ2
y =
cos t − 2

τ 2 + cos 2 τ
τ + cos 2 τ


τ ∈ [t 0 , t ]

Observación 1-8
En un problema estacionario las líneas de traza son segmentos de las
trayectorias (o de las líneas de corriente). La justificación se basa en el
hecho de que en el caso estacionario la trayectoria sigue la envolvente
del campo de velocidades que permanece constante con el tiempo. Si
se considera un punto de vertido, x* , todas las partículas que pasan
por él seguirán porciones (segmentos) de la misma trayectoria.

1.11 Superficie material
Definición:
Superficie material: Superficie móvil en el espacio constituida siempre
por las mismas partículas (puntos materiales).
En la configuración de referencia Ω 0 la superficie Σ 0 podrá definirse en
términos de una función de las coordenadas materiales F ( X , Y , Z ) como:
Σ 0 := { X , Y , Z

| F (X,Y,Z ) = 0}

Observación 1-9
La función F ( X , Y , Z ) no depende del tiempo, lo que garantiza que
las partículas, identificadas por su etiqueta, que cumplen la ecuación
F ( X , Y , Z ) = 0 son siempre las mismas de acuerdo con la definición
de superficie material.

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(1.35)
1 Descripción del movimiento

Z

21

Σ 0 := { X F ( X , Y , Z ) = 0}

t =0

Σ t := { x

ϕ(X , t )

f (x, y, z, t ) = 0}

Σ0
t

Σt
Y
X
Figura 1-11 – Superficie material
La descripción espacial de la superficie se obtendrá a partir de la descripción
espacial de F ( X( x, t ) = f ( x, y, z , t ) :
Σ t := {x, y , z |

f (x, y , z,t ) = 0}

Observación 1-10
La función f ( x, y, z , t ) depende explícitamente del tiempo, lo que
establece que los puntos del espacio que estarán sobre la superficie varían
con el tiempo. Esta dependencia del tiempo de la descripción espacial
de la superficie, le confiere su carácter de superficie móvil en el
espacio (ver Figura 1-11).

Observación 1-11
Condición necesaria y suficiente para que una superficie móvil en el
espacio, definida implícitamente por una función f ( x, y , z, t ) = 0 , sea
material (esté constituida siempre por las mismas partículas) es que la
derivada material de f ( x, y , z, t ) sea nula:
df ( x, t ) ∂f
=
+ v ⋅ ∇f = 0
∂t
dt

∀x ∈ Σ t ∀t

La condición es necesaria puesto que si la superficie es material, su
descripción material no depende del tiempo ( F ≡ F (X ) ) y por
consiguiente, su descripción espacial tiene derivada material nula. La
condición de suficiencia se fundamenta en que, si la derivada material
de f ( x, t ) es nula, la correspondiente descripción material no
depende del tiempo ( F ≡ F (X) ) y por consiguiente, el conjunto de
partículas (identificadas por su coordenadas materiales) que cumplen
la condición F ( X ) = 0 es siempre el mismo.
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(1.36)
1 Descripción del movimiento

22

Ejemplo 1-8 – En la teoría de oleaje se impone la condición de que la
superficie libre del fluido que está en contacto con la atmósfera sea una
superficie material. Es decir, esta restricción supone que la superficie libre está
formada siempre por las mismas partículas (hipótesis razonable sobre todo en
aguas profundas).
Si se supone que z = η(x , y , t ) define la altura de la superficie del mar respecto
a un nivel de referencia, la superficie libre del agua vendrá definida por:
f (x , y , z , t ) ≡ z − η(x, y , t ) = 0 .
z
superficie libre
y
x

z = η (x, y, t ) =cota
de la superficie libre

Figura 1-12
df
= 0 se escribe como:
La condición
dt
∂f
∂η
=−
∂t
∂t
 ∂f 


 ∂x 
∂f
∂f
∂f
 ∂f 
v ⋅ ∇f = v x v y v z 
 = v x ∂x + v y ∂y + v z ∂z
∂
 y 
 ∂f 
 ∂z 



[

]

∂η
∂η
∂η
df ∂f
=
+ v ⋅ ∇f = −
− vx
− vy
+ vz = 0 ⇒
∂t
∂x
∂y
dt ∂t
∂η
∂η
∂η
vz =
+ vx
+vy
∂t
∂x
∂y

Es decir, la condición de superficie material se traduce en una condición sobre
la componente vertical del campo de velocidades.

1.12 Superficie de control
Definición:
Superficie de control: Una superficie fija en el espacio.
Su descripción matemática viene dada por:
Σ := { x |

f (x, y, z ) = 0}

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(1.37)
1 Descripción del movimiento

23

Es evidente que una superficie de control es atravesada por las distintas
partículas del medio continuo a lo largo del tiempo (ver Figura 1-13)
Σ

Z

Y
X
Figura 1-13 – Superficie de control

1.13 Volumen material
Definición:
Volumen material: Es un volumen limitado por una superficie material
cerrada.

N O T A

Se entiende la función
F (X) definida de tal
forma que F ( X)  0
corresponde a puntos
del interior de V0

La descripción matemática del volumen material V (ver Figura 1-14) viene dada
por:
V0 := { X | F (X ) ≤ 0}

(1.38)

en la descripción material, y por:
Vt := { x |

f (x, t ) ≤ 0}

(1.39)

en la descripción espacial, siendo F ( X) = f (x( X, t ), t ) la función que describe la
superficie material que lo encierra.
Observación 1-12
Un volumen material está constituido siempre por las mismas
partículas. La justificación se hace por reducción al absurdo: si una
cierta partícula pudiese entrar o salir del volumen material, se
incorporaría en su movimiento a la superficie material (al menos por
un instante de tiempo). Esto sería contrario al hecho de que la
superficie, por ser material, está formada siempre por las mismas
partículas.

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1 Descripción del movimiento

24

t=0

t

V0
f (x, t ) = 0

Vt

Y
X

Figura 1-14– Volumen material

1.14 Volumen de control
Definición:
Volumen de control: Conjunto de puntos del espacio situados en el
interior de una superficie de control cerrada.

N O T A

Se entiende la función
f (x) definida de tal

Se trata de un volumen fijo en el espacio que es atravesado por las partículas
del medio durante su movimiento. Su descripción matemática es:
V := { x |

f (x ) ≤ 0}

(1.40)

forma que f (x)  0
corresponde a puntos
del interior de V

z

V

f (x ) = 0
y
x

Figura 1-15 – Volumen de control

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2 Descripción de la
deformación
2.1 Introducción
Definición
Deformación: en el contexto más general, el concepto deformación se
refiere al estudio no ya del movimiento absoluto de las partículas tal
como se hizo en el capítulo 1, sino del movimiento relativo con respecto
a una partícula determinada, de las partículas situadas en un entorno
diferencial de aquella.

2.2 Tensor gradiente de deformación
Consideremos en el medio continuo en movimiento de la Figura 2-1 una
partícula P en la configuración de referencia Ω 0 , y que ocupa el punto del
espacio P ' en la configuración actual Ω t , y una partícula Q situada en un
entorno diferencial de P y cuyas posiciones relativa respecto a ésta en los
instante de referencia y actual vienen dadas por dX y dx respectivamente.
ϕ(X , t )

t0
X 3 , x3

dX
X

X 1 , x1

Q

P´

Ω0

Ωt

x

ˆ
e3
ˆ
e1

t

P

ˆ
e2

dx

Q´

X 2 , x2

Figura 2-1

Sean
not

x = ϕ(X, t ) = x(X, t )

not
 x = ϕ (X , X , X , t ) = x ( X , X , X , t )
i
i
1
2
3
1
2
3
 i

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1
i ∈ { ,2,3}

(2.1)
2 Descripción de la deformación

26

las ecuaciones del movimiento. Diferenciando (2.1) con respecto a las
coordenadas materiales X resulta:

Ecuación fundamenta l
de la deformació n

N O T A C I Ó N

Se considera aquí la
forma simbólica del
operador Nabla material:

∂
ˆ
ei
∇≡
∂X i
aplicada a la expresión
del producto tensorial o
abierto:

[a ⊗ b]ij
= ai b j

= [a b ]ij =

not

→

∂x i

dx i = ∂X dX j

#!
j

Fij


dx = F ⋅ dX

i, j ∈{1,2,3}

(2.2)

La ecuación (2.2) define el tensor gradiente material de la deformación F( X, t ) :
 not
F = x ⊗ ∇
Tensor gradiente material

→ 
∂xi
de la deformació n
i, j ∈{1,2,3}
 Fij =
∂X j



(2.3)

Las componentes explícitas del tensor F vienen dadas por:
 ∂x1

 ∂X 1
 x1 
 ∂
  ∂x 2
∂
∂
[F ] = x ⊗ ∇ =  x 2  
=
  ∂X
∂
∂X 3
1
 %%%X 2 %%   ∂X 1
 x3  #
%
!
 
$
 ∂x 3
T
[x]
∇
 ∂X 1


[

∂x1
∂X 2
∂x 2
∂X 2
∂x 3
∂X 2

]

∂x1 

∂X 3 
∂x 2 
∂X 3 

∂x 3 
∂X 3 


(2.4)

Observación 2-1
El tensor gradiente de la deformación F(X, t ) contiene la información del
movimiento relativo, a lo largo del tiempo t , de todas las partículas
materiales en el entorno diferencial de una dada, identificada por sus
coordenadas materiales X . En efecto, la ecuación (2.2) proporciona
la evolución del vector de posición relativo dx en función de la
correspondiente posición relativa dX en el instante de referencia. En
este sentido, si se conoce el valor de F( X, t ) se dispone de la
información asociada al concepto general de deformación definida en
la sección 2.1
2.2.1 Tensor gradiente de la deformación inverso
Considerando ahora las ecuaciones de movimiento inversas:
not

−1
X = ϕ (x, t ) = X(x, t )

not
 X = ϕ −1 (x , x , x , t ) = X (x , x , x , t )
i
i 1
1
2
3
2
3
 i

1
i ∈ { ,2,3}

y diferenciando (2.5) con respecto a las coordenadas espaciales xi , resulta:

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(2.5)
27

2 Descripción de la deformación

∂X i

dX i = ∂x dx j i, j ∈{1,2,3}
j

#!



F−1

ij

dX = F −1 ⋅ dx


(2.6)

Al tensor definido por al ecuación (2.6) se le denomina tensor gradiente espacial
de la deformación o tensor gradiente (material) de la deformación inverso y viene
caracterizado por:
N O T A C I Ó N

 −1 not
F = X ⊗ ∇
Tensor gradiente espacial

→  −1 ∂X
i
de la deformació n
i, j ∈{1,2,3}
Fij =
∂x j



Se considera aquí la
forma simbólica del
operador Nabla espacial

∇≡

∂
ˆ
ei .
∂x i

Obsérvese la diferencia
de notación entre dicho
operador espacial ( ∇ )
y el operador Nabla
material ( ∇ ).

(2.7)

Las componentes explícitas del tensor F −1 vienen dadas por:

[F ]
−1

 ∂X 1

 ∂x1
 X1 
 ∂
∂
∂   ∂X 2
= [X ⊗ ∇ ] =  X 2  
=
  ∂x ∂x
∂ 3 
1
 %% 2 %x!  ∂x1
 X 3 #
% % %

#!
 ∂X 3
[∇ ]T
[X]
 ∂x1


∂X 1
∂x 2
∂X 2
∂x 2
∂X 3
∂x 2

∂X 1 

∂x3 
∂X 2 
∂x3 

∂X 3 
∂x3 


(2.8)

Observación 2-2

R E C O R D A T O R I O

Se define el operador
de dos índices Delta de
Kronecker δ ij como:
1 si i = j
δ ij = 
0 si i ≠ j
El tensor unidad de 2º
orden 1 viene definido
por: [1]ij = δ ij .

El tensor gradiente espacial de la deformación, denotado en (2.6) y
(2.7) mediante F −1 , es efectivamente el inverso del tensor gradiente
(material) de la deformación F . La comprobación es inmediata
puesto que:
∂x i ∂X k ∂x i not
=
= δ ij
∂X k ∂x j ∂x j
$$
F
−1
ik F

⇒ F ⋅ F −1 = 1

kj

∂X i not
∂X i ∂x k
= δ ij
=
∂x k ∂X j ∂X j
$$
F−1 F
ik

⇒ F −1 ⋅ F = 1

kj

Ejemplo 2-1 – Para un determinado instante, el movimiento de un medio continuo viene
definido por:
x1 = X 1 − AX 3 , x 2 = X 2 − AX 3 , x 3 = − AX 1 + AX 2 + X 3 .
Obtener el tensor gradiente material de la deformación F(X) en dicho instante. A partir de
las ecuaciones de movimiento inversas obtener el tensor gradiente espacial de la deformación
F −1 ( x) . Con los resultados obtenidos comprobar que F ⋅ F −1 = 1 .

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2 Descripción de la deformación

28

a) Tensor gradiente material de la deformación:

[]

F = x ⊗ ∇ ≡ [x] ⋅ ∇

T

X 1 − AX 3



⋅ ∂ ,
=
X 2 − AX 3
  ∂X
− AX 1 + AX 2 + X 3   1


 1 0 − A
=  0 1 − A


− A A 1 



∂
,
∂X 2

∂ 
=
∂X 3 

b) Ecuaciones de movimiento inversas: De la inversión algebraica de las ecuaciones
de movimiento se obtiene:
 X 1 = (1 + A 2 ) x1 − A 2 x 2 + A x 3


X( x, t ) ≡  X 2 = A 2 x1 + (1 − A 2 ) x 2 + A x3
X = A x − A x + x
1
2
3
 3


c) Tensor gradiente espacial de la deformación:
F −1 = X ⊗ ∇ ≡ [X]⋅ [∇ ]

T

(1 + A 2 ) x1 − A 2 x 2 + A x3 

  ∂
,
=  A 2 x1 + (1 − A 2 ) x 2 + A x3  ⋅ 

  ∂x1
A x1 − A x 2 + x 3




1 + A 2 − A 2

1 − A2
=  A2
 A
−A


∂
,
∂x 2

∂ 
=
∂x3 

A

A
1


d) Comprobación:
F⋅F

−1

0 − A 1 + A 2 − A 2
 1

1 − A2
≡  0 1 − A ⋅  A 2


− A A 1   A
−A

 

A 1 0 0

A = 0 1 0 ≡ 1


1  0 0 1 

 

2.3 Desplazamientos
Definición:
Desplazamiento: diferencia entre los vectores de posición de una misma
partícula en las configuraciones actual y de referencia.
El desplazamiento de una partícula P en un instante determinado viene
definido por el vector u que une los puntos del espacio P (posición inicial) y
P ′ (posición en el instante actual t ) de la partícula (ver Figura 2-2). El
desplazamiento de todas las partículas del medio continuo define el campo
vectorial de desplazamientos que, como toda propiedad del medio continuo, podrá
describirse en forma material U( X, t ) o espacial, u(x, t ) :
U( X, t ) = x( X, t ) − X

U i ( X, t ) = x i (X, t ) − X i

i ∈{1,2,3}

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(2.9)
2 Descripción de la deformación

u (x, t ) = x − X( x, t )

u i (x, t ) = xi − X i (x, t )

t

Ω0

P′
Ωt

P

X 3 , x3

(2.10)

i ∈{1,2,3}

u

t0

29

x

X
ˆ
e3
X 2 , x2
ˆ
e2
e1
ˆ
X 1 , x1

Figura 2-2 – Desplazamientos

2.3.1 Tensores gradiente material y espacial de los
desplazamientos
La derivación del vector desplazamiento U i en la ecuación (2.9) con respecto a
las coordenadas materiales lleva a:
def
∂U i
∂x
∂X i
= i −
= Fij − δ ij = J ij
∂X j ∂X j ∂X j
$ $
Fij
δij

(2.11)

que define el tensor gradiente material de los desplazamientos como:
def

Tensor gradiente
J ( X, t ) = U( X, t ) ⊗ ∇ = F − 1


material de los → 
∂U i
= Fij − δ ij i, j ∈{1,2,3}
 J ij =
desplazami entos
∂X j



∂U i

dU i = ∂X dX j = J ij dX j
j

dU = J ⋅ dX


i, j ∈{1, 2,3}

(2.12)

(2.13)

De forma similar, diferenciando la expresión de u i en la ecuación (2.10), con
respecto a las coordenadas espaciales se obtiene:
def
∂u i ∂xi ∂X i
=
−
= δ ij − Fij−1 = jij
∂x j ∂x j ∂x j
(2.14)
$ $
δij

Fij−1

que define el tensor gradiente espacial de los desplazamientos como:
def

Tensor gradiente
j(x, t ) = u (x, t ) ⊗ ∇ = 1 − F −1


espacial de los → 
∂u i
= δ ij − Fij−1 i, j ∈{1,2,3}
 j ij =
desplazami entos
∂x j



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(2.15)
2 Descripción de la deformación

30

∂u i

du i = ∂x dx j = jij dx j
j

du = j ⋅ dx


i, j ∈{1,2,3}

(2.16)

2.4 Tensores de deformación
Consideremos ahora una partícula del medio continuo, que ocupa el punto del
espacio P en la configuración material, y otra partícula Q de su entorno
diferencial separada de la anterior por el segmento dX (de longitud
dS = dX ⋅ dX ) siendo dx (de longitud ds = dx ⋅ dx ) su homólogo en la
configuración actual (ver Figura 2-3). Ambos vectores diferenciales están
relacionados por el tensor gradiente de la deformación F( X, t ) mediante las
ecuaciones (2.2) ó (2.6):
 dx = F ⋅ dX


dxi = Fij dX j


dX = F -1⋅ dx
dX i = Fij−1 dx

(2.17)
j

F(X, t )

t

t0

Q′

X 3 , x3
Q
dX

ˆ
e3

dS
P

X

ds

dx

P′

x

O
ˆ
e1

ˆ
e2

X 1 , x1

X 2 , x2

Figura 2-3

Puede escribirse entonces:

(ds )2 = dx ⋅ dx = [dx]T ⋅ [dx ] = [F ⋅ dX ]T ⋅ [F ⋅ dX]= dX ⋅ F T ⋅ F ⋅ dX
(ds )2 = dxk dxk = Fki dX i Fkj dX j = dX i Fki Fkj dX j = dX i FikT Fkj dX j

(2.18)

y, alternativamente,
N O T A C I Ó N

Se utiliza la convención:

[(•) ]

not
−1 T

= (•)

−T

(dS )2 = dX ⋅ dX = [dX ]T ⋅ [dX ] = [F −1 ⋅ dx] ⋅ [F −1 ⋅ dx ] = dx ⋅ F −T ⋅ F −1 ⋅ dx
(dS )2 = dX k dX k = Fki−1 dxi Fkj−1 dx j = dxi Fki−1 Fkj−1dx j = dxi Fik−T Fkj−1dx j
T

not

(2.19)

2.4.1 Tensor material de deformación (tensor de deformación
de Green-Lagrange)
Restando las expresiones (2.18) y (2.19) se obtiene:

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31

2 Descripción de la deformación

(ds )2 − (dS )2 = dX ⋅ F T

⋅ F ⋅ dX − dX ⋅ dX = dX ⋅ F T ⋅ F ⋅ dX − dX ⋅ 1 ⋅ dX =

= d X ⋅ ( F T ⋅ F − 1) ⋅ d X = 2 d X ⋅ E ⋅ d X
#%%!

(2.20)

def

= 2E

La ecuación (2.20) define implícitamente el denominado tensor material de
deformación o tensor de deformación de Green-Lagrange como:
1 T

Tensor material
E( X, t ) = 2 (F ⋅ F − 1)

de deformació n
→
 E ( X, t ) = 1 ( F F − δ ) i, j ∈{1,2,3}
(Green - Lagrange)
ki kj
ij
 ij
2


(2.21)

Observación 2-3
El tensor material de deformación E es simétrico. La demostración se
obtiene directamente de la ecuación (2.21) observando que:
1 T
1 T
 T 1 T
T
T T
T
E = (F ⋅ F − 1) = (F ⋅ (F ) − 1 ) = (F ⋅ F − 1) = E
2
2
2

E ij = E ji
i, j ∈{1,2,3}


2.4.2 Tensor espacial de deformación (tensor de deformación
de Almansi)
Restando de forma alternativa las expresiones (2.18) y (2.19) se obtiene:

(ds )2 − (dS )2 = dx ⋅ dx − dx ⋅ F −T

⋅ F −1 ⋅ dx = dx ⋅ 1 ⋅ dx − dx ⋅ F −T ⋅ F −1 ⋅ dx

−T
−1
= dx ⋅ (1 %F%% ) ⋅ dx = 2 dx ⋅ e ⋅ dx
# −% ⋅ F !

(2.22)

def

= 2e

La ecuación (2.22) define implícitamente el denominado tensor espacial de
deformación o tensor de deformación de Almansi como:
 ( , ) = 1 ( − −T ⋅ −1 )
Tensor espacial
F
e x t 2 1 F

de deformación → 
e (x, t ) = 1 (δ − F −1 F −1 ) i, j ∈{1, 2,3}
(Almansi)
ij
ki
kj
 ij

2

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(2.23)
32

2 Descripción de la deformación

Observación 2-4
El tensor espacial de deformación e es simétrico. La demostración se
obtiene directamente de la ecuación (2.23) observando que:
1 T
 T 1
−T
−1 T
−1 T
−T T
e = 2 (1 − F ⋅ F ) = 2 (1 − (F ) ⋅ (F ) ) =

1

−T
−1
 = (1 − F ⋅ F ) = e
2

eij = e ji i, j ∈{1,2,3}



Observación 2-5
Los tensores material E y espacial e de deformación son tensores
distintos y no se trata de la descripción material y espacial de un mismo tensor de
deformación. Las expresiones (2.20) y (2.22):

(ds )2 − (dS )2 = 2 dX ⋅ E ⋅ dX = 2 dx ⋅ e ⋅ dx
lo ponen de manifiesto puesto que ambos tensores vienen afectados
por distintos vectores ( dX y dx respectivamente).
El tensor de deformación de Green-Lagrange viene descrito naturalmente en
descripción material ( E( X, t ) ). En la ecuación (2.20) actúa sobre el
elemento dX (definido en la configuración material) y de ahí su
denominación de tensor material de deformación. Sin embargo, como toda
propiedad de medio continuo puede describirse, si es necesario,
también en forma espacial ( E(x, t ) ) mediante la adecuada
substitución de las ecuaciones de movimiento.
Con el tensor de deformación de Almansi ocurre lo contrario: viene
descrito naturalmente en forma espacial y en la ecuación (2.22) actúa
sobre el vector diferencial (definido en la configuración espacial) dx y
de ahí su denominación de tensor espacial de deformación. También puede
ser descrito, si es conveniente, en forma material ( e( X, t ) ).

Ejemplo 2-2 – Para el movimiento del Ejemplo 2-1, obtener los tensores material y
espacial de deformación.
1
2

a) Tensor material de deformación: E = (F T ⋅ F − 1) =
 A2 − A2
 1
0 − A  1
0 − A 1 0 0 
1
 1
1
=  0
A  ⋅  0 1 − A − 0 1 0  = − A 2
A2

 
 

2
 2 − 2 A
0

 
 

 − A − A 1  − A A 1  0 0 1  


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− 2 A

0 
2 A2 

33

2 Descripción de la deformación

1
2

b) Tensor espacial de deformación: e = (1 − F −T ⋅ F −1 ) =
1 0 0 1 + A 2
A2
1 

= 0 1 0 −  − A 2 1 − A 2

2
0 0 1   A
A

 

− 3 A 2 − 2 A 4
1 2
=  A + 2 A4
2
 − 2 A − 2 A3


A  1 + A 2 − A 2
 
1 − A2
− A ⋅  A 2
1   A
−A
 

A2 + 2 A4
A2 − 2 A4
2 A3

A 

A  =
1 


− 2 A − 2 A3 

2 A3

− 2 A2 


(Obsérvese que E ≠ e ).
2.4.3 Expresión de los tensores de deformación en términos de
los (gradientes de los) desplazamientos
Substituyendo las expresiones (2.12) ( F = 1 + J ) y (2.15) ( F −1 = 1 − j ) en las
ecuaciones (2.21) y (2.23) se obtienen las expresiones de los tensores de
deformación en función del gradiente material, J ( X, t ) , y espacial, j( x, t ) , de
los desplazamientos:

[

] [

]

1
1

T
T
T
E = 2 (1 + J ) ⋅ (1 + J ) − 1 = 2 J + J + J ⋅ J

E( X, t ) → 

∂U j ∂U k ∂U k 
E ij = 1  ∂U i +
+
 i, j ∈{1, 2,3}

2  ∂X j ∂X i
∂X i ∂X j 




[

] [

(2.24)

]

1
 1
T
T
T
e = 2 1 − (1 − j ) ⋅ (1 − j) = 2 j + j − j ⋅ j

e( x, t ) → 


∂u
eij = 1  ∂u i + j − ∂u k ∂u k  i, j ∈{1, 2,3}

2  ∂x j ∂x i
∂x i ∂x j 




(2.25)

2.5 Variación de las distancias:
Estiramiento. Alargamiento unitario
Consideremos ahora una partícula P en la configuración de referencia y otra
partícula Q , situada en un entorno diferencial de P, ver Figura 2-4. Las
correspondientes posiciones en la configuración actual vienen dadas por los
puntos del espacio P ' y Q ' de tal forma que las distancia entre ambas
partículas en la configuración de referencia, dS , se transforma en ds en el
instante actual. Sean T y t sendos vectores unitarios en las direcciones PQ y
P ′Q ′ , respectivamente.

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2 Descripción de la deformación

34

Definición:
Estiramiento: en el punto material P (o en el punto espacial P ′ ) en
la dirección material T (o en la dirección espacial t ) es la longitud del
segmento diferencial deformado P ′Q ′ por unidad de longitud del
segmento diferencial original PQ .
t0
X3

P

t

dX
dS

Q

P´
T

X

dx
ds

x

Q´
t

X2
X1

Figura 2-4 – Estiramiento y alargamiento unitario

La traducción a lenguaje matemático de la anterior definición es:
def

Estiramien to
N O T A C I Ó N

Frecuentemente se
prescindirá de los
subíndices (•) T o

(•) t al referirse a los
estiramientos o
alargamientos unitarios.
Téngase bien presente,
sin embargo, que
siempre están asociados
a una dirección
determinada.

=

λT = λt =

P´Q´ ds
=
PQ dS

(0  λ  ∞ )

(2.26)

Definición:
Alargamiento unitario: en el punto material P (o en el punto espacial
P ′ ) en la dirección material T (o en la dirección espacial t ) es el
incremento de longitud del segmento diferencial deformado P`Q` por
unidad de longitud del segmento diferencial original PQ .
y la correspondiente definición matemática:
Alargamiento unitario

def

=

εT = εt =

∆ PQ
PQ

=

ds − dS
dS

(2.27)

Las ecuaciones (2.26) y (2.27) permite relacionar inmediatamente los valores
del alargamiento unitario y del estiramiento para un mismo punto y dirección
como:
ε=

ds − dS ds
=
−1 = λ −1
dS
dS
$
λ

( ⇒ −1  ε  ∞)

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(2.28)
2 Descripción de la deformación

35

Observación 2-6
•

Si λ = 1 (ε = 0) ⇒ ds = dS : Las partículas P y Q pueden
haberse movido relativamente con el tiempo, pero sin aumentar
ni disminuir la distancia entre ellas.

•

Si λ  1 (ε  0) ⇒ ds  dS : La distancia entre las partículas P y
Q se ha alargado con la deformación del medio.

•

Si λ  1 (ε  0) ⇒ ds  dS : La distancia entre las partículas P y
Q se ha acortado con la deformación del medio.

2.5.1 Estiramientos, alargamientos unitarios y los tensores de
deformación
Considerando las ecuaciones (2.20) y (2.22) y las expresiones geométricas
dX = T dS y dx = t ds , ver Figura 2-4, se puede escribir:
(ds )2 − (dS )2 = 2 dX ⋅ E ⋅ dX = 2(dS )2 T ⋅ E ⋅ T
$
$

dS T
dS T


2
2
2
(ds ) − (dS ) = 2 dx ⋅ e ⋅ dx = 2(ds ) t ⋅ e ⋅ t
$
$

ds t
ds t


(2.29)

y dividiendo ambas ecuaciones por (dS ) 2 y (ds ) 2 , respectivamente, se obtiene:
2

ds
( ) − 1 = λ2 − 1 = 2 T ⋅ E ⋅ T ⇒
dS
$
λ

2

1− (

dS
) = 1 − (1 / λ) 2 = 2 t ⋅ e ⋅ t ⇒
ds
$
1/ λ

λ = 1 + 2 T ⋅ E ⋅ T


ε = λ − 1 = 1 + 2 T ⋅ E ⋅ T − 1


(2.30)

1

λ =
1− 2t⋅e⋅t


1
ε = λ − 1 =
−1

1− 2t ⋅e ⋅ t


(2.31)

expresiones que permiten calcular el alargamiento unitario y el estiramiento
según una dirección (material, T o espacial, t ) determinada.
Observación 2-7
Los tensores material y espacial de deformación E( X, t ) y e( x, t )
contienen información sobre los estiramientos (y los alargamientos
unitarios) para cualquier dirección en un entorno diferencial de un
partícula dada, tal como ponen de manifiesto las ecuaciones (2.30) y
(2.31).

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
2 Descripción de la deformación

36

Ejemplo 2-3 – El tensor espacial de deformación para un cierto movimiento es:
 0
0
− te tz 


0
0
e(x, t ) =  0

− te tz 0 t (2e tz − e t ) 


Calcular la longitud, en el instante t = 0 del segmento que en el instante t = 2 es rectilíneo y
une los puntos a ≡ (0,0,0) y b ≡ (1,1,1) .

Se conoce la forma y posición geométrica del segmento material en el instante
t = 2 . En el instante t = 0 (instante de referencia) el segmento no es
necesariamente rectilíneo y no se conocen las posiciones de sus extremos A y
B (ver Figura 2-5). Para conocer su longitud hay que aplicar la ecuación (2.31):
λ=

1
1− 2t ⋅e⋅t

=

t=0

z

ds
dS

⇒ dS =

1
ds
λ

t =2

z
B

ds

dS

t
b(1,1,1)

A
a(0,0,0)

y

y

x

x

Figura 2-5
para un vector de dirección en la configuración espacial t de valor:
t=

1
3

[1,

1, 1]T obteniéndose:

 0
0
− te tz  1
1
 
0
t ⋅e⋅t =
[1 1 1]⋅  0 0

 ⋅ 1
3
− te tz 0 t ( 2e tz − e t ) 1

 
1
1
⇒ λ=
⇒ λ t =2 =
=
2 t
4 2
1 + te
1+ e
3
3
B
b1
1 b
1
1
3 ⇒
⇒ l AB = ∫ dS = ∫ ds = ∫ ds = l ab =
A
aλ
a
λ$ λ
λ
lab

1

1
= − te t
3
3
3

3 + 4e 2
l AB = 3 + 4e 2

2.6 Variación de ángulos
Consideremos ahora una partícula P y otras dos partículas Q y R , situadas en
un entorno diferencial de P en la configuración material, ver Figura 2-6, y las

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37

2 Descripción de la deformación

mismas partículas ocupando las posiciones espaciales P ' , Q ' y R ' . Se plantea
ahora la relación entre los ángulos que forman los correspondientes segmentos
diferenciales en la configuración de referencia (ángulo Θ ), y en la configuración
actual (ángulo θ ).
A partir de las ecuaciones (2.2)y (2.6), aplicadas a los vectores diferenciales que
separan las partículas puede escribirse,
(1)
 (1)
 dx = F ⋅ dX
 (2 )
 dx = F ⋅ dX ( 2 )


−1
(1)
 (1)
dX = F ⋅ dx
⇒  ()
dX 2 = F −1 ⋅ dx (2 )


(2.32)

y por la propia definición de los vectores unitarios T (1) , T (2 ) , t (1 ) y t (2 ) que
definen las correspondientes direcciones en la Figura 2-6:
(1) (1)
 (1)
dX = dS T
 (2 )
dX = dS (2 ) T (2 )


(1) (1)
 (1)
dx = ds t
 (2 )
dx = ds (2 ) t (2 )


(2.33)
t

t0
T (2 )

X3

t (2 )

R
(2 )

dS
P

Θ

T (1)

dS (1) Q

X

R´
ds (2 )
θ
P´ ds (1 )
Q´

t (1 )

x
X2

Figura 2-6

X1

y, finalmente, por la definición (2.26) de los correspondientes estiramientos:
 (1) 1
(1 )
dS = λ(1) ds
ds (1) = λ(1 ) dS (1)


 (2 ) (2 ) (2 ) ⇒ 
ds = λ dS
dS (2 ) = 1 ds (2 )


λ(2 )


(2.34)

Planteando ahora el producto escalar de los vectores dx (1) ⋅ dx (2 ) :

[ ] ⋅ [dx ( ) ]=

ds (1) ds (2 ) cos θ = dx (1 ) ⋅ dx (2 ) cos θ = dx (1 ) ⋅ dx (2 ) = dx (1)

[

= F ⋅ dX (1 )
= dS

(1)

(1 )

T

2

F F
] ⋅ [F ⋅ dX ( ) ]= dX ( ) ⋅ (#⋅!)⋅ dX ( ) =
T

2

T

1

2

2E+1

T ⋅ (2E + 1) ⋅ T

(2 )

(2 )

1

(1)

(1 )

= (1) ds T ⋅ ( 2E + 1) ⋅ T
λ
1 1
= ds (1 ) ds (2 ) (1) (2 ) T (1) ⋅ ( 2E + 1) ⋅ T (2 )
λ λ
dS

(2 )

1
λ(2 )

ds

(2 )

=

y comparando los términos inicial y final de la ecuación (2.35) se obtiene:

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(2.35)
2 Descripción de la deformación

38

cos θ =

T (1) ⋅ (1 + 2E) ⋅ T (2 )
λ(1) λ(2 )

(2.36)

donde los estiramientos λ(1) y λ(2 ) pueden obtenerse aplicando la expresión
(2.30) a las direcciones T (1) y T (2 ) llegándose a:
cos θ =

T (1 ) ⋅ (1 + 2E) ⋅ T (2 )
1 + 2 T (1) ⋅ E ⋅ T (1)

(2.37)

1 + 2 T (2 ) ⋅ E ⋅ T (2 )

De un modo análogo, operando en la configuración de referencia, puede
obtenerse el ángulo Θ entre los segmentos diferenciales dX (1) y dX ( 2 ) (en
función de t (1 ) , t (2 ) y e ) como:
cos Θ =

t (1) ⋅ (1 − 2e ) ⋅ t (2 )
1 − 2 t (1) ⋅ e ⋅ t (1 )

(2.38)

1 − 2 t (2 ) ⋅ e ⋅ t (2 )

Observación 2-8
De forma similar a lo comentado en la Observación 2-7 los tensores
material y espacial de deformación, E( X, t ) y e( x, t ) , también
contienen información sobre las variaciones de los ángulos entre
segmentos diferenciales, en el entorno de una partícula, durante el
proceso de deformación. Estos hechos serán la base para
proporcionar una interpretación física de las componentes de los
tensores de deformación en el apartado 2.7 .

2.7 Interpretación física de los tensores de
deformación
2.7.1 Tensor material de deformación
Considérese un segmento PQ , orientado paralelamente al eje X 1 en la
configuración de referencia (ver Figura 2-7). Antes de la deformación PQ
tiene una longitud conocida dS = dX .
X 3 ,Z

t0
dS

T

P
dX

Q
T

(1)

ˆ
= e1
X 2 ,Y
X1, X

Figura 2-7

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(1)

1
 
≡ 0
0
 

dS 
 
dX ≡  0 
0
 
2 Descripción de la deformación

39

Se pretende conocer la longitud de P´Q´ después de la deformación. Para ello
consideremos el tensor material de deformación E dado por sus
componentes:
 E XX
E =  E XY

 E XZ


E XY
EYY
EYZ

E XZ   E11
EYZ  =  E12
 
E ZZ   E13
 

E12
E 22
E 23

E13 
E 23 

E 33 


(2.39)

En consecuencia:
T ⋅ E ⋅ T = [T]

T

 E11
⋅ [E]⋅ T = [1 0 0]⋅  E12

 E13


E12
E 22
E 23

E13  1
E 23  ⋅ 0 = E11
  
E 33  0
  

(2.40)

El estiramiento en la dirección material X 1 puede obtenerse ahora
sustituyendo el valor T ⋅ E ⋅ T en la expresión del estiramiento (2.30),
obteniéndose: λ1 = 1 + 2 E11 . De modo análogo se pueden considerar
segmentos orientados en las direcciones X 2 ≡ Y y X 3 ≡ Z y obtener los
valores λ 2 y λ 3 , resultando:
λ 1 = 1 + 2 E11 = 1 + 2 E XX

⇒ ε X = λ X − 1 = 1 + 2 E XX − 1

λ 2 = 1 + 2 E 22 = 1 + 2 EYY

⇒ ε Y = λ Y − 1 = 1 + 2 EYY − 1

λ 3 = 1 + 2 E 33 = 1 + 2 E ZZ

⇒ ε Z = λ Z − 1 = 1 + 2 E ZZ − 1

(2.41)

Observación 2-9
En las componentes E XX , EYY y E ZZ (o E11 , E 22 y E 33 ) de la
diagonal principal del tensor E (denominadas deformaciones longitudinales)
está contenida la información sobre el estiramiento y los
alargamientos unitarios de segmentos diferenciales inicialmente (en la
configuración de referencia) orientados en direcciones X , Y y Z .
•

Si E XX = 0 ⇒ ε X = 0 ⇒ No hay alargamiento en la dirección X .

•

Si EYY = 0 ⇒ ε Y = 0 ⇒ No hay alargamiento en la dirección Y .

•

Si E ZZ = 0 ⇒ ε Z = 0 ⇒ No hay alargamiento en la dirección Z .

Consideremos ahora el ángulo entre los segmentos PQ (paralelo al eje X 1 ) y
PR , (paralelo al eje X 2 ) siendo Q y R , dos partículas del entorno diferencial
de P en la configuración de material y P ′, Q ′ y R ′ las respectivas posiciones
π
) entre
2
los segmentos en la configuración de referencia es posible conocer el ángulo θ

en la configuración espacial(ver Figura 2-8). Conocido el ángulo ( Θ =

en la configuración actual, utilizando la expresión (2.37) y teniendo en cuenta la
ortogonalidad de ambos ( T (1 ) ⋅ T (2 ) = 0 ) y las igualdades T (1 ) ⋅ E ⋅ T (1 ) = E11 ,
T (2 ) ⋅ E ⋅ T (2 ) = E 22 y T (1 ) ⋅ E ⋅ T (2 ) = E12 ,

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2 Descripción de la deformación

40

cos θ =

T (1) ⋅ (1 + 2E)⋅ T (2 )
1 + 2 T (1) ⋅ E ⋅ T (1 )

o lo que es lo mismo:
θ ≡ θ xy =

1 + 2 T (2 ) ⋅ E ⋅ T (2 )

=

2 E12
1 + 2 E 11

(2.42)

1 + 2 E 22

2 E XY
π
− arcsin
2
1 + 2 E XX 1 + 2 E YY

(2.43)

y el incremento del ángulo final respecto a su valor inicial resulta:
2 E XY
∆Θ XY = θ xy − Θ XY = −arcsin
$
1 + 2 E XX 1 + 2 E YY
π
2
X3, Z

t0

t

P
Q

T

T (2 )

R

P´

π2

(1 )

R´
θ = θ xy

Q´
T

(2.44)

(1 )

T

(2 )

1
 
= 0
0
 
0
 
= 1 
0
 

X 2 ,Y

Figura 2-8

X1, X

Resultados análogos se obtienen partiendo de pares de segmentos orientados
según las distintos ejes de coordenadas llegándose a:
∆Θ XY = − arcsin

2 E XY
1 + 2 EXX 1 + 2 EYY

∆Θ XZ = − arcsin

2 E XZ
1 + 2 EXX 1 + 2 EZZ

∆ΘYZ = −arcsin

2 EYZ
1 + 2 EYY

1 + 2 EZZ

Observación 2-10
En las componentes E XY , E XZ y EYZ (o E12 , E13 y E 23 ) del tensor
E (denominadas deformaciones transversales) está contenida la
información sobre la variación de los ángulos entre segmentos
diferenciales inicialmente (en la configuración material) orientados en
las direcciones X , Y y Z .
•

Si E XY = 0 ⇒ La deformación no produce variación del ángulo
de dos segmentos inicialmente situados en las direcciones X e Y .

•

Si E XZ = 0 ⇒ La deformación no produce variación del ángulo
de dos segmentos inicialmente situados en las direcciones X y Z .

•

Si EYZ = 0 ⇒ La deformación no produce variación del ángulo
de dos segmentos inicialmente situados en las direcciones Y y Z .

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(2.45)
41

2 Descripción de la deformación

En la Figura 2-9 se presenta la interpretación física de las componentes del
tensor material de deformación sobre un paralelepípedo elemental en el
entorno de una partícula P con aristas orientadas según los ejes coordenados.
t
F
t0

dx (3 )

X3, Z
S
dX
dX

P´

(3 )

(1)

P

1 + 2 E XX dX

S´

dX (2 )

Q´

2
θ yz dx ( )

θ xz

θ xy

dx (1)

Q

1 + 2 EZZ dZ

ˆ
e3
X 2 ,Y

R

R´

1 + 2 EYY dY

ˆ
e2

ˆ
e1

∆Θ
∆Θ

X1, X

XY

XZ

= − arcsin

= −arcsin

∆Θ
= − arcsin
YZ

2 E XY
1 + 2 E XX

1 + 2 EYY

2 E XZ
1 + 2 E XX

1 + 2 E ZZ

2 EYZ
1 + 2 EYY

1 + 2 E ZZ

Figura 2-9 – Interpretación física del tensor material de deformación
2.7.2 Tensor espacial de deformación
Argumentos parecidos a los de la sección 2.7.1 permiten interpretar a su vez las
componentes del tensor espacial deformación:
e xx

e ≡ e xy
e xz


e xz  e11

e yz  = e12

e zz  e13
 

e xy
e yy
e yz

e12
e 22
e23

e13 
e 23 

e33 


(2.46)

Las componentes de la diagonal principal (deformaciones longitudinales)
pueden interpretarse en función de los estiramientos y alargamientos unitarios
de segmentos diferenciales orientados según los ejes coordenados en la
configuración actual o deformada:
λ1 =
λ2 =
λ3 =

1
1 − 2e11
1
1 − 2e 22
1
1 − 2e33

=
=
=

1
1 − 2e xx
1
1 − 2e yy
1
1 − 2e zz

⇒ εx =
⇒ εy =
⇒ εz =

1
1 − 2e xx
1
1 − 2e yy
1
1 − 2e zz

−1
−1

(2.47)

−1

mientras que las componentes de fuera de la diagonal principal (deformaciones
transversales) contienen información sobre la variación de ángulos entre

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2 Descripción de la deformación

42

segmentos diferenciales orientados según los ejes coordenados en la configuración
actual o deformada:
∆θ xy =

2e xy
π
− Θ XY = − arcsin
2
1 − 2 e xx 1 − 2 e yy

∆θ xz =

2e xz
π
− Θ XZ = − arcsin
2
1 − 2 e xx 1 − 2 e zz

∆θ yz =

2e yz
π
− Θ YZ = − arcsin
2
1 − 2 e yy 1 − 2 e zz

(2.48)

El resumen de la correspondiente interpretación física se presenta en la Figura
2-10:
1 − 2e xx dx

t0

F −1

S
dX

(3 )

P Θ XZ

t

(2 )
ΘYZ dX

S′

R
1 − 2e zz dz

Θ XY

dX

∆θ

∆θ

xy

xz

yz

dx ( 3)

dx ( 2 )

dx (1) P ′

(1)

1 − 2e yy dy

= − arcsin

= − arcsin

= − arcsin

ˆ
e1

2e xy
1 − 2 exx

1 − 2eyy

ˆ
e2

x2,y

x1 , x

2e xz
1 − 2exx

R′

Q′

ˆ
e3

Q
∆θ

x3 ,z

1 − 2ezz

2e yz
1 − 2eyy

1 − 2 ezz

Figura 2-10 – Interpretación física del tensor espacial de deformación

2.8 Descomposición polar
R E C O R D A T O R I O

Un tensor de segundo
orden Q es ortogonal
si se verifica:

Q T ⋅ Q = Q ⋅ QT = 1

El teorema de descomposición polar del análisis tensorial establece que dado un
tensor de segundo orden F tal que F  0 , existen un tensor ortogonal Q , y
dos tensores simétricos U y V :


not


V = F ⋅ FT


−1
−1
Q = F ⋅ U = V ⋅ F


not

U = FT ⋅ F

⇒

F =Q⋅U = V⋅Q

(2.49)

La descomposición (2.49) es única para cada tensor F y se denomina
descomposición polar por la izquierda ( F = Q ⋅ U ) o descomposición polar por la derecha
( F = V ⋅ Q ) y a los tensores U y V tensores derecho e izquierdo de
estiramiento, respectivamente.

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43

2 Descripción de la deformación

N O T A

Para obtener la raíz
cuadrada de un tensor
se procede a
diagonalizar el tensor,
se obtiene la raíz
cuadrada de los
elementos de la
diagonal de la matriz de
componentes
diagonalizada y se
deshace la
diagonalización.

Observación 2-11
Un tensor ortogonal Q recibe el nombre de tensor de rotación y a la
aplicación y = Q ⋅ x se la denomina rotación. Una rotación tiene las
siguientes propiedades:
•

Cuando se aplica a cualquier vector x , el resultado es un vector
y = Q ⋅ x del mismo módulo:
y

2

= y ⋅ y = [y ] ⋅ [y ] = [Q ⋅ x ] ⋅ [Q ⋅ x] = x ⋅ Q T ⋅! ⋅ x = x ⋅ x = x
# Q
T

T

2

1

•

El resultado de multiplicar (aplicar) el tensor ortogonal Q a dos
vectores x (1) y x ( 2 ) con el mismo origen y que forman entre sí un
ángulo α , mantiene el mismo ángulo entre las imágenes
( y (1) = Q ⋅ x (1) e y ( 2 ) = Q ⋅ x ( 2 ) ):
y (1) ⋅ y ( 2 )
y (1) y ( 2 )

=

x (1) ⋅ QT ⋅ Q ⋅ x ( 2 )
y (1) y ( 2 )

=

x (1) ⋅ x ( 2 )
x (1) x ( 2 )

= cos α

En consecuencia la aplicación (rotación) y = Q ⋅ x mantiene los
ángulos y las distancias.
Considerando ahora el tensor gradiente de la deformación y la relación
fundamental (2.2) ( dx = F ⋅ dX ) y la descomposición polar (2.49) se obtiene:
N O T A C I O N

Se utiliza aquí la
notación ( ) ) para
indicar la composición
de dos aplicaciones
ξyϕ:

z = ϕ ) ξ (x)

deformació n
(% '%%
%

rotación
( 
'
dx = F ⋅ dX = (V ⋅ Q ) ⋅ dX = V ⋅ ( Q ⋅ dX )

(2.50)

not

F(•) ≡ deformació n ) rotación (•)
(%rotación% 
% '% %
%
deformació n
( 
'
dx = F ⋅ dX = (Q ⋅ U ) ⋅ dX = Q ⋅ ( U ⋅ dX )
F(•) ≡ rotación ) deformació n (•)

Observación 2-12
Las ecuaciones (2.50) establecen que el movimiento relativo en el
entorno de una partícula durante el proceso de deformación
(caracterizado por el tensor F ) puede entenderse como la composición
de una rotación (caracterizada por el tensor de rotación Q , que
mantiene ángulos y distancias) y una deformación propiamente dicha (que
modifica ángulos y distancias) caracterizada por el tensor V (ver
Figura 2-11).

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(2.51)
2 Descripción de la deformación

44

Observación 2-13
•

Alternativamente las ecuaciones (2.51) permiten caracterizar el
movimiento relativo en el entorno de una partícula durante el
proceso de deformación como la superposición de una deformación
propiamente dicha (caracterizada por el tensor U ) y una rotación
(caracterizada por el tensor de rotación Q ).

•

Un movimiento de sólido rígido es un caso particular de
deformación caracterizado por U = V = 1 y Q = F .

F
X3

t0

Q ⋅ dX

P'

P

Rotación
dX

t

dX

Rotación

ˆ
e3

ˆ
e1

Deformación

dx = V ⋅ Q ⋅ dX

dx = Q ⋅ V ⋅ dX
ˆ
e2

X2

V ⋅ dX
P'

Deformación

X1
F

dX

Figura 2-11 – Descomposición polar

2.9 Variación de volumen
Consideremos una partícula P del medio continuo en la configuración de
referencia, ( t = 0 ) que tiene asociado un volumen diferencial dV0 (ver Figura 212) que queda caracterizado mediante las posiciones de otras tres partículas Q ,
R y S de su entorno diferencial, alineadas con P según tres direcciones
arbitrarias. El diferencial de volumen dVt , asociado a la misma partícula en la
configuración actual (a tiempo t ), quedará asimismo caracterizado por las
correspondientes puntos espaciales P ′ , Q ′ , R ′ y S ′ de la figura (cuyas
posiciones configurarán un paralelepípedo que ya no está orientado según los
ejes coordenados como ocurre en la configuración material).
Sean dX (1) , dX ( 2 ) y dX (3) los vectores de posición relativos entre partículas en
la configuración material, y dx (1) = F ⋅ dX (1) , dx ( 2 ) = F ⋅ dX ( 2 ) y dx (3) = F ⋅ dX (3)
sus homólogos en la configuración espacial. Evidentemente se cumplen las
relaciones:

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45

2 Descripción de la deformación

 dx ( i ) = F ⋅ dX ( i )

 (i )
(i )
dx j = F jk ⋅ dX k

R E C O R D A T O R I O

El volumen de un
paralelepípedo puede
calcularse como el
producto mixto
(a × b) ⋅ c de los
vectores-arista a , b y
c que concurren en
cualquiera de sus
vértices.
Por otra parte, el
producto mixto de tres
vectores es el
determinante de la
matriz constituida por
las componentes de
dichos vectores
ordenadas en filas

(2.52)

i, j, k ∈{1,2,3}

Los volúmenes asociados a la partícula en ambas configuraciones pueden
escribirse como:

(

)

dV0 = dX (1) × dX (2 ) ⋅ dX (3)

(

dVt = dx

(1)

× dx

(2 )

)⋅ dx

(3 )

(
(
 dX 1(1) dX 21) dX 31) 
 (2 )
(
( 
= det dX 1
dX 22 ) dX 32 )  = M
(
(
 dX 1(3 ) dX 23 ) dX 33 ) 

#%%% %%%%
%
!

[M ]

 dx (1)

=

dx (1)

(
dx 31)



dx 3
=m
(3 ) 
dx 3
#%%% %%%% 
%
!
[m ]

1
 (
det dx1 2 )
 dx (3 )
 1

M ij = dX (ji )

2
(
dx 22 )
(
dx 23 )

mij = dx (ji )
t
X 3 , x3
S′

F
t0
dV0

P´
S

dX

(1)

P

(2.53)

(2 )

dx (3 )
R´
dx(2 )

dx(1)

dX(3 )
ˆ
e3

R
dX(2 )

Q

ˆ
e1

Q´

dVt

ˆ
e2

X 2 , x2

X 1 , x1

Figura 2-12 – Variación de un elemento diferencial de volumen
Por otro lado, considerando las expresiones (2.52) y (2.53) puede escribirse:
T
mij = dx (ji ) = F jk dX k(i ) = F jk M ik = M ik Fkj

⇒ m = M ⋅ FT

(2.54)

y, en consecuencia:
N O T A

Se utilizan aquí las
expresiones:
A⋅B = A B y

AT = A




⇒
0

dVt = dV ( x( X, t ), t ) = F ( X, t ) dV ( X,0) = F t dV 0 


dVt = m = M ⋅ F T = M F T = F M = F dV 0
$
dV

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dVt = F t dV0

(2.55)
2 Descripción de la deformación

46

2.10 Variación del área
Consideremos ahora el diferencial de área dA asociado a una partícula P en la
configuración de referencia y su variación a lo largo del tiempo. Para definir
dicho diferencial de área, consideraremos dos partículas Q y R del entorno
diferencial de P , cuyas posiciones relativas respecto a la misma son dX (1) y
dX (2 ) (ver Figura 2-13). Consideremos también una partícula auxiliar
cualquiera S y su vector de posición relativo dX (3 ) . Asociado al escalar diferencial
de área, dA , definiremos el vector diferencial de área dA = dA N cuyo módulo es
dA y cuya dirección es la de la normal N .
En la configuración actual, en el tiempo t , la partícula ocupará un
punto espacial P ′ , y tendrá asociado un diferencial de área da que, a su vez,
define un vector diferencial de área da = da n , donde n es la correspondiente
normal. Consideremos también las posiciones de las demás partículas Q ′ y R ′ y
S ′ y sus vectores de posición relativos dx (1) , dx (2 ) y dx (3 ) .
n

t0

X 3 , x3

N

.

dA

dh

P´

dX(3 ) 2
( )
P dX R

dX(1)

ˆ
e3

ˆ
e1

Q

da = n da
S´

dx (3)
dx ( 2)

F
dA = N dA
S

dH

.

t

dx (1)

ˆ
e2

R´

da

Q´
X 2 , x2

X 1 , x1

Figura 2-13 – Variación del área
Los volúmenes dV0 y dVt de los respectivos paralelepípedos podrán calcularse
como:
dV0 = dH dA = d%(3 ) % dA = dX (3 ) ⋅ N dA = dA ⋅ dX (3 )
X
N
#  ⋅!
$
dH
dA

(3 )
dVt = dh da = dx! da = dx (3 ) ⋅ n da = da ⋅ dx (3 )
# %
% ⋅n
$
dh
da

N O T A

Se tiene en cuenta aquí
el siguiente teorema del
álgebra tensorial: dados
dos vectores a y b , si
se cumple que
a ⋅ x = b ⋅ x para todo
vector x ⇒ a = b .

(2.56)

y teniendo en cuenta que dx (3) = F ⋅ dX (3 ) , así como la ecuación de cambio de
volumen (2.55), puede escribirse:
da ⋅ F ⋅ dX (3 ) = da ⋅ dx (3 ) = dVt = F dV 0 = F dA ⋅ dX (3 )

∀dX (3 )

(2.57)

Comparando el primer y último término de (2.57), y teniendo en cuenta que la
posición relativa de la partícula S es cualquiera ( y por tanto también lo es el
vector dX ( 3) ), se llega finalmente a:
da ⋅ F = F dA ⇒

da = F dA ⋅ F −1

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(2.58)
2 Descripción de la deformación

47

Para obtener una relación entre los escalares diferencial de área dA y da se
sustituyen las expresiones dA = N dA y da = n da en la ecuación (2.58) y se
toman módulos:
da n = F N ⋅ F −1 dA ⇒ da = F N ⋅ F −1 dA

(2.59)

2.11 Deformación infinitesimal
La teoría de la deformación infinitesimal (también denominada teoría de pequeñas
deformaciones) se basa en dos hipótesis simplificativas sobre la teoría general (o
de deformación finita) vista en apartados anteriores (ver Figura 2-14).
Hipótesis:
1) Los desplazamientos son muy pequeños frente a las dimensiones típicas
del medio continuo ( u  X ).
2) Los gradientes de los desplazamientos son muy pequeños (infinitesimales).
t

t0

u

P′

P

X3,Z

X

x

ˆ
e2

X 2 ,Y

ˆ
e3

ˆ
e1
X1, X

Figura 2-14

En virtud de la primera hipótesis las configuraciones de referencia, Ω 0 y actual,
Ω t , están muy próximas entre sí y se consideran indistinguibles una de otra.
En consecuencia, las coordenadas materiales y espaciales coinciden y ya no
tiene sentido hablar de descripciones material y espacial:
not

x = X + u ≅ X
U(X, t ) = u(X, t ) ≡ u(x, t )
⇒

not
 xi = X i + u i ≅ X i
U i (X, t ) = u i (X, t ) ≡ u i (x, t ) i ∈{1,2,3}


(2.60)

La segunda hipótesis puede escribirse matemáticamente como:
∂u i
 1,
∂x j

∀i, j ∈{1, 2,3}

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(2.61)
2 Descripción de la deformación

48

2.11.1 Tensores de deformación. Tensor de deformación
infinitesimal
Los tensores gradiente material y gradiente espacial de los desplazamientos
coinciden. En efecto, a la vista de la ecuación (2.60):
∂U i
x j = X j
∂u
= J ij ⇒ j = J
⇒ jij = i =

∂x j ∂X j
u i (x, t ) = U i ( X, t )

(2.62)

y el tensor material de deformación resulta ser:

(

) (

)

1
1

T
T
T
E = 2 J + J + J J ≅ 2 J + J


E = 1  ∂u i + ∂u j + ∂u k ∂u k  ≅ 1  ∂u i + ∂u j



 ij 2  ∂x j ∂xi
∂xi ∂x j  2  ∂x j ∂x i



# % 
% !

1








(2.63)

donde se ha tenido en cuenta el carácter de infinitésimo de segundo orden del
término

∂u k ∂u k
. Operando similarmente con el tensor espacial de
∂xi ∂x j

deformación:

(

) (

) (

)

1
1
 1
T
T
T
T
e = 2 j + j − j j ≅ 2 j + j = 2 J + J



∂u j ∂u k ∂u k  1  ∂u i ∂u j 
1  ∂u
≅ 

eij =  i +
+
−
2  ∂x j ∂x i
∂x i ∂x j  2  ∂x j ∂x i 




# % 
% !

 1

N O T A C I Ó N

Se define el operador
gradiente simétrico ∇ s
mediante: ∇ s (•) =

1
[(•) ⊗ ∇ + ∇ ⊗ (•)]
2

(2.64)

Las ecuaciones (2.63) y (2.64) permiten definir el tensor de deformación infinitesimal
(o tensor de pequeñas deformaciones) ε :

(

)

not
1

T
s
ε = 2 J + J = ∇ u

deformació n → 

∂u 
ε ij = 1  ∂u i + j 
infinitesi mal

2  ∂x j ∂x i 




Tensor de

Observación 2-14
Bajo la hipótesis de deformación infinitesimal los tensores material y
espacial de deformación coinciden y colapsan en el tensor de deformación
infinitesimal.
E(x, t ) = e( x, t ) = ε (x, t )

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(2.65)
2 Descripción de la deformación

49

Observación 2-15
El tensor de deformación infinitesimal es simétrico, tal como se observa de su
definición en la ecuación (2.65):
εΤ =

(

1
J + JT
2

)

T

=

(

)

1
J + JT = ε
2

Observación 2-16
Las componentes del tensor infinitesimal de deformación ε son infinitésimos
( ε ij  1 ). La demostración es evidente a partir de la ecuación (2.65) y
la condición de infinitésimo de las componentes de J = j (ver
ecuación (2.61)).

Ejemplo 2-4 – Para el movimiento del Ejemplo 2-1, determinar bajo qué condiciones
constituye un caso de deformación infinitesimal. Para dicho caso obtener el tensor infinitesimal
de deformación. Comparar con el resultado obtenido a partir de los tensores espacial y
material de deformación del Ejemplo 2-2 considerando las hipótesis de deformación
infinitesimal.
 x1 = X 1 − AX 3

a) Las ecuaciones de movimiento vienen dadas por  x 2 = X 2 − AX 3
de las
 x = − AX + AX + X
1
2
3
 3

cuales

se

obtiene
el
campo
de
desplazamientos:
U 1 = − AX 3

. Es evidente que para que
U ( X , t ) = x − X ≡  U 2 = − AX 3
 U = − AX + AX
1
2
 3
los desplazamientos sean infinitesimales debe cumplirse que A sea un
infinitésimo ( A  1 ).

b) Tensor de deformación: El tensor gradiente de los desplazamientos
J ( X, t ) = j(x, t ) vendrá dado por:
 − AX 3

 ∂ ,
J = U ⊗ ∇ =  − AX 3

  ∂X 1

− AX 1 + AX 2 



∂
,
∂X 2

0 − A
 0
∂  
0 − A
= 0

∂X 3  

− A A 0 



y el tensor infinitesimal de deformación, de acuerdo con la ecuación (2.65),
será:
 0 0 − A
ε=∇ U= 0 0 0 


− A 0 0 


s

c) Tensores material y espacial de deformación: En el Ejemplo 2-2 los tensores
material y espacial de deformación resultan ser, respectivamente:

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
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  • 3. MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS PARA INGENIEROS Published by ATARAXIAINC 111 III World Street Hoboken, NJ 07030-5774 Copyright © 2006 by Ataraxiainc, Bogota, Chibchombia Published by Ataraxiainc, Bogota, Chibchombia Published simultaneously in the Earth planet All parts of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system or transmitted in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, scanning or otherwise, except as no permitted under Sections of the Copyright Act, without either the prior written permission of the Publisher, or authorization through payment of the appropriate per-copy fee to the Copyright Clearance Center, 2*2 Rosewood Drive, Danvers, MA 0+-23, (978) 75.-84/*00, fax (9”%) 646-·/600. Requests to the Publisher for permission should be addressed to the Legal Department, Ataraxiainc, Bogota, Chibchombia e-mail: Ataraxiainc@Gmail.com. Trademarks: ATARAXIAINC LIMIT OF LIABILITY/DISCLAIMER OF WARRANTY: THE PUBLISHER AND THE AUTHOR MAKE NO REPRESENTATIONS OR WARRANTIES WITH RESPECT TO THE ACCURACY OR COMPLETENESS OF THE CONTENTS OF THIS WORK AND SPECIFICALLY DISCLAIM ALL WARRANTIES, INCLUDING WITHOUT LIMITATION WARRANTIES OF FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. NO WARRANTY MAY BE CREATED OR EXTENDED BY SALES OR PROMOTIONAL MATERIALS. THE ADVICE AND STRATEGIES CONTAINED HEREIN MAY NOT BE SUITABLE FOR EVERY SITUATION. THIS WORK IS SOLD WITH THE UNDERSTANDING THAT THE PUBLISHER IS NOT ENGAGED IN RENDERING LEGAL, ACCOUNTING, OR OTHER PROFESSIONAL SERVICES. IF PROFESSIONAL ASSISTANCE IS REQUIRED, THE SERVICES OF A COMPETENT PROFESSIONAL PERSON SHOULD BE SOUGHT. NEITHER THE PUBLISHER NOR THE AUTHOR SHALL BE LIABLE FOR DAMAGES ARISING HEREFROM. THE FACT THAT AN ORGANIZATION OR WEBSITE IS REFERRED TO IN THIS WORK AS A CITATION AND/OR A POTENTIAL SOURCE OF FURTHER INFORMATION DOES NOT MEAN THAT THE AUTHOR OR THE PUBLISHER ENDORSES THE INFORMATION THE ORGANIZATION OR WEBSITE MAY PROVIDE OR RECOMMENDATIONS IT MAY MAKE. FURTHER, READERS SHOULD BE AWARE THAT INTERNET WEBSITES LISTED IN THIS WORK MAY HAVE CHANGED OR DISAPPEARED BETWEEN WHEN THIS WORK WAS WRITTEN AND WHEN IT IS READ. For general information on our other products and services or to obtain technical support, please contact our Customer Care Department within the “(·$”=$(%&/&)%$=, outside the U.S. at “·=$(%(“%·$$__”·(/$-·$)($, or fax |@#¬€#¬43@#. Ataraxiainc also publishes its books in a variety of electronic formats. Some content that appears in print may not be available in electronic books. Library of Congress Control Number: -·!”$&$+-+)=(%·/ ISBN: !?”=·)$(%/&-/+* Manufactured in the Chibchombian World 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2O/QW/RQ/QU/IN
  • 4. POLITEXT 92 Mecánica de medios continuos para ingenieros
  • 5. POLITEXT Xavier Oliver Olivella Carlos Agelet de Saracíbar Bosch Mecánica de medios continuos para ingenieros Compilación: Eduardo Vieira Chaves Eduardo Car EDICIONS UPC
  • 6. Primera edición: septiembre de 2000 Segunda edición: enero de 2002 Diseño de la cubierta: Manuel Andreu © Los autores, 2000 © Edicions UPC, 2000 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: edicions-upc@upc.es Producción: CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord) La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona Depósito legal: B-2.938-2002 ISBN: 84-8301-582-X Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.
  • 9. $ GLIHUHQFLD GH RWURV WH[WRV GH LQWURGXFFLyQ D OD PHFiQLFD GH PHGLRV FRQWLQXRV HO TXH DTXt VH SUHVHQWD HVWi HVSHFtILFDPHQWH RULHQWDGR D OD LQJHQLHUtDLQWHQWDQGRPDQWHQHUXQDGHFXDGRHTXLOLEULRHQWUHODULJXURVLGDGGH OD IRUPXODFLyQ PDWHPiWLFD XWLOL]DGD OD FODULGDG GH ORV SULQFLSLRV ItVLFRV WUDWDGRV DXQTXH SRQLHQGR HQ WRGR PRPHQWR OR SULPHUR DO VHUYLFLR GH OR VHJXQGR (Q HVWH VHQWLGR HQ ODV LPSUHVFLQGLEOHV RSHUDFLRQHV YHFWRULDOHV WHQVRULDOHV VH XWLOL]DQ VLPXOWiQHDPHQWH WDQWR OD QRWDFLyQ LQGLFLDO GH PiV XWLOLGDGSDUDODGHPRVWUDFLyQPDWHPiWLFDULJXURVD
  • 10. FRPRODQRWDFLyQFRPSDFWD HQ OD TXH VH YLVOXPEUD FRQ PiV FODULGDG OD ItVLFD GHO SUREOHPD
  • 11. DXQTXH D PHGLGDTXHVHDYDQ]DHQHOWH[WRH[LVWHXQDFODUDWHQGHQFLDKDFLDODQRWDFLyQ FRPSDFWD HQ XQLQWHQWR GH IRFDOL]DU OD DWHQFLyQ GHO OHFWRU HQ OD FRPSRQHQWH ItVLFDGHODPHFiQLFDGHPHGLRVFRQWLQXRV (OFRQWHQLGRGHOWH[WRHVWiFODUDPHQWHGLYLGLGRHQGRVSDUWHVTXHVHSUHVHQWDQ VHFXHQFLDOPHQWH (Q OD SULPHUD SDUWH FDStWXORV D
  • 14. VH HVWXGLDQ IDPLOLDV HVSHFtILFDV GH PHGLRV FRQWLQXRV FRPR VRQ ORV VyOLGRV ORV IOXLGRV HQ XQ SODQWHDPLHQWR TXH FRPLHQ]D FRQ OD FRUUHVSRQGLHQWH HFXDFLyQ FRQVWLWXWLYD WHUPLQD FRQ ODV IRUPXODFLRQHV FOiVLFDV GH OD PHFiQLFD GH VyOLGRV HOiVWLFRVOLQHDOHV HODVWR SOiVWLFRV
  • 15. GH OD PHFiQLFD GH IOXLGRV UpJLPHQ ODPLQDU
  • 16. )LQDOPHQWH VH KDFH XQD EUHYH LQFXUVLyQ HQ ORV SULQFLSLRV YDULDFLRQDOHV SULQFLSLR GH ODV WUDEDMRV YLUWXDOHV GH PLQLPL]DFLyQ GH OD HQHUJtD SRWHQFLDO
  • 17. FRPR LQJUHGLHQWHV GH SDUWLGD HQ OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV GH PHFiQLFD GH PHGLRV FRQWLQXRV PHGLDQWH PpWRGRV QXPpULFRV (VWD HVWUXFWXUD SHUPLWH OD XWLOL]DFLyQ GHO WH[WR FRQ SURSyVLWRV GRFHQWHV WDQWR HQ XQ ~QLFR FXUVR GH DOUHGHGRU GH KRUDV OHFWLYDVFRPRHQGRVFXUVRVGLIHUHQFLDGRVHOSULPHUREDVDGRHQORVSULPHURV FLQFRFDStWXORVGHGLFDGRDODLQWURGXFFLyQGHORVIXQGDPHQWRVGHODPHFiQLFD GHPHGLRVFRQWLQXRVHOVHJXQGRHVSHFtILFDPHQWHGHGLFDGRDODPHFiQLFDGH VyOLGRVODPHFiQLFDGHIOXLGRV © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 18. )LQDOPHQWH ORV DXWRUHV TXLHUHQ H[SUHVDU VX DJUDGHFLPLHQWR DO ,QJHQLHUR (GXDUGR 9LHLUD KDYHV DO 'U (GXDUGR DU SRU HO HVPHUDGR WUDEDMR GH FRPSLODFLyQGHXQDSULPHUDYHUVLyQGHHVWHWH[WRDSDUWLUGHODVQRWDVGHFODVH SHUVRQDOHV GH ORV DXWRUHV $VLPLVPR GHVHDQ DJUDGHFHU DO 3URIHVRU 5DPyQ RGLQDVXVRSRUWXQDVVXJHUHQFLDVFRUUHFFLRQHVVREUHODVSULPHUDVYHUVLRQHV GHOWH[WR %DUFHORQD6HSWLHPEUHGH ;DYLHU2OLYHU2OLYHOOD DUORV$JHOHWGH6DUDFtEDU%RVFK © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 19. Índice 1 Descripción del movimiento 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 2 Definición de medio continuo Ecuaciones de movimiento Descripciones del movimiento Derivadas temporales: local, material, convectiva Velocidad y aceleración Estacionariedad Trayectoria Línea de corriente Tubo de corriente Línea de traza Superficie material Superficie de control Volumen material Volumen de control 1 1 5 7 9 12 13 15 17 18 20 22 23 24 Descripción de la deformación 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 Introducción Tensor gradiente de deformación Desplazamientos Tensores de deformación Variación de las distancias: Estiramiento. Alargamiento unitario Variación de ángulos Interpretación física de los tensores de deformación Descomposición polar Variación de volumen Variación del área Deformación infinitesimal Deformación volumétrica Velocidad de deformación Derivadas materiales de los tensores de deformación y otras magnitudes © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 25 25 28 30 33 36 38 42 44 46 47 56 58 62
  • 20. 2.15 Movimientos y deformaciones en coordenadas cilíndricas y esféricas 3 Ecuaciones de compatibilidad 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4 Introducción Ejemplo preliminar: Ecuaciones de compatibilidad de un campo vectorial potencial Condiciones de compatibilidad para las deformaciones infinitesimales Integración del campo de deformaciones infinitesimales Ecuaciones de compatibilidad e integración del tensor velocidad de deformación 71 72 74 77 82 Tensión 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 5 65 Fuerzas másicas y superficiales Postulados de Cauchy Tensor de tensiones Propiedades del tensor de tensiones Tensor de tensiones en coordenadas curvilineas ortogonales Círculo de Mohr en 3 dimensiones Círculo de Mohr en 2 dimensiones Círculos de Mohr para casos particulares 83 86 88 96 103 105 110 122 Ecuaciones de conservación-balance 5.1 5.2 5.3 5.4 Postulados de conservación-balance Flujo por transporte de masa o flujo colectivo Derivada local y derivada material de una integral de volumen Conservación de la masa. Ecuación de continuidad © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 125 125 129 134
  • 21. 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 6 Ecuación de balance. Teorema del transporte de Reynolds Expresión general de las ecuaciones de balance Balance de la cantidad de movimiento Balance del momento de la cantidad de movimiento (momento angular) Potencia Balance de la energía Procesos reversibles e irreversibles Segundo principio de la termodinámica. Entropía Ecuaciones de la mecánica de medios continuos. Ecuaciones constitutivas 136 138 141 143 146 151 157 159 166 Elasticidad lineal 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 Hipótesis de la Teoría de la Elasticidad Lineal Ecuación constitutiva elástica lineal. Ley de Hooke generalizada Isotropía - Constantes de Lamé- Ley de Hooke para elasticidad lineal isótropa Ley de Hooke en componentes esféricas y desviadoras Limitaciones en los valores de las propiedades elásticas Planteamiento del problema elástico lineal Resolución del problema elástico lineal Unicidad de la solución del problema elástico lineal Principio de Saint-Venant Termoelasticidad lineal. Tensiones y deformaciones térmicas Analogías térmicas Principio de superposición en termoelasticidad lineal Ley de Hooke en función de los “vectores” de tensión y deformación © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 169 171 174 176 178 180 185 188 193 195 198 208 212
  • 22. 7 Elasticidad lineal plana 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 8 8.7 8.8 226 Introducción Nociones previas Espacio de tensiones principales Modelos reológicos de fricción Comportamiento fenomenológico elastoplástico Teoría incremental de la plasticidad en una dimensión Plasticidad en tres dimensiones Superficies de fluencia. Criterios de fallo 233 233 237 242 251 253 260 261 Ecuaciones constitutivas en fluidos 9.1 9.2 9.3 9.4 10 215 215 219 222 223 Plasticidad 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 9 Introducción Estado de tensión plana Deformación plana El problema elástico lineal en elasticidad bidimensional Problemas asimilables a elasticidad bidimensional Curvas representativas de los estados planos de tensión Concepto de presión Ecuaciones constitutivas en mecánica de fluidos Ecuaciones constitutivas (mecánicas) en fluidos viscosos Ecuaciones constitutivas (mecánicas) en fluidos newtonianos 273 276 277 277 Mecánica de fluidos 10.1 Ecuaciones del problema de mecánica de fluidos © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 285
  • 23. 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 11 Hidrostática. Fluidos en reposo Dinámica de fluidos:fluidos perfectos barotrópicos Dinámica de fluidos:fluidos viscosos (newtonianos) Condiciones de contorno en la mecánica de fluidos Flujo laminar y flujo turbulento 287 293 303 309 313 Principios variacionales 11.1 Preliminares 11.2 Principio (Teorema) de los trabajos virtuales 11.3 Energía potencial. Principio de minimización de la energía potencial 317 323 Bibliografía 331 © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 328
  • 24. 1 Descripción del movimiento 1.1 Definición de medio continuo Se entiende por Medio Continuo un conjunto infinito de partículas (que forman parte, por ejemplo, de un sólido, de un fluido o de un gas) que va a ser estudiado macroscópicamente, es decir, sin considerar las posibles discontinuidades existentes en el nivel microscópico (nivel atómico o molecular). En consecuencia, se admite que no hay discontinuidades entre las partículas y que la descripción matemática de este medio y de sus propiedades se puede realizar mediante funciones continuas. 1.2 Ecuaciones del movimiento La descripción más elemental del movimiento del Medio Continuo puede llevarse a cabo mediante funciones matemáticas que describan la posición de cada partícula a lo largo del tiempo. En general, se requiere que éstas funciones y sus derivadas sean continuas. Se supone que el medio continuo está formado por infinitas partículas (puntos materiales) que ocupan diferentes posiciones del espacio físico durante su movimiento a lo largo del tiempo (ver Figura 1-1). Se define como configuración del medio continuo en el instante t, que se denota por Ω t , el lugar geométrico de las posiciones que ocupan en el espacio los puntos materiales (partículas) del medio continuo en dicho instante. Definiciones: Punto espacial: Punto fijo en el espacio. Punto material: Una partícula. Puede ocupar distintos puntos espaciales en su movimiento a lo largo del tiempo. Configuración: Lugar geométrico de las posiciones que ocupan en el espacio las partículas del medio continuo para un cierto instante t. N O T A En general se tomará el instante t 0 = 0 como instante de referencia. A un cierto instante t = t 0 del intervalo de tiempo de interés se le denomina instante de referencia y a la configuración en dicho instante Ω 0 se la denomina configuración inicial, material o de referencia. © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 25. 1 Descripción del movimiento 2 N O T A C I Ó N Se utilizarán indistintamente las notaciones ( X , Y , Z ) Consideremos ahora el sistema de coordenadas cartesianas ( X , Y , Z ) de la ˆ ˆ ˆ Figura 1-1 y la correspondiente base ortonormal (e1 , e 2 , e 3 ) . En la configuración de referencia Ω 0 el vector de posición X de una partícula que ocupa un punto P en el espacio (en el instante de referencia) viene dado por: y ( X 1 , X 2 , X 3 ) para designar al sistema de coordenadas cartesianas. N O T A C I Ó N En el resto de este texto se utilizará la notación de Einstein o de índices repetidos. Toda repetición de un índice en un mismo monomio de una expresión algebraica supone el sumatorio respecto a dicho índice. Ejemplos: i =3 t = t0 X3, Z ˆ e3 X Ω0 t0 Ωt t t P Ω0 Ωt x (1.1) – Configuración de referencia – Instante de referencia – Configuración actual – Instante actual P’ not ˆ ˆ ∑ X iei = X iei i =1 k =3 ∑ a ik bkj = k 1 i =3 j =3 i =1 j =1 ˆ e1 ˆ e2 X 2 ,Y not = aik bkj ∑∑ aij bij X1, X not = a ij bij N O T A C I Ó N Se distingue aquí entre el vector (ente físico) X y su vector de componentes [X]. Frecuentemente se obviará esta distinción N O T A C I Ó N Siempre que sea posible, se denotará con letras mayúsculas a las variables que se refieran a la configuración de referencia Ω 0 y con letras minúsculas a las variables referidas a la configuración actual Ωt ˆ ˆ ˆ ˆ X = X 1e1 + X 2 e 2 + X 3 e 3 = X i e i Figura 1-1 – Configuraciones del medio continuo donde a las componentes ( X 1 , X 2 , X 3 ) se las denomina coordenadas materiales (de la partícula). X1  [X] =  X 2    X   3 def = coordenadas materiales (1.2) En la configuración actual Ω t , la partícula situada originalmente en el punto material P (ver Figura 1-1) ocupa el punto espacial P' y su vector de posición x viene dado por: ˆ ˆ ˆ ˆ x = x1e1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 = xi e i (1.3) donde a ( x1 , x 2 , x 3 ) se las denomina coordenadas espaciales de la partícula en el instante de tiempo t .  x1  [x] =  x 2    x   3 def = coordenada s espaciales © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (1.4)
  • 26. 3 1 Descripción del movimiento El movimiento de las partículas del medio continuo puede describirse ahora por la evolución de sus coordenadas espaciales (o de su vector de posición) a lo largo del tiempo. Matemáticamente esto requiere conocer una función que para cada partícula (identificada por una etiqueta) proporcione sus coordenadas espaciales xi (o su vector de posición espacial x ) en los sucesivos instantes de tiempo. Como etiqueta que caracteriza unívocamente a cada partícula pueden elegirse sus coordenadas materiales X i obteniéndose las ecuaciones del movimiento: N O T A C I Ó N not x = ϕ (partícula, t ) = ϕ(X, t ) = x(X, t ) Con un cierto abuso de la notación se va a confundir frecuentemente la función con su imagen. Así las ecuaciones de movimiento se escribirán a menudo como x = x ( X, t ) y que proporcionan las coordenadas espaciales en función de las materiales, y las ecuaciones del movimiento inversas: sus inversas como X = X ( x, t ) . que proporcionan las coordenadas materiales en función de las espaciales. (1.5) 1 xi = ϕ i (X 1 , X 2 , X 3 , t ) i ∈ { ,2,3} not X = ϕ −1 (x, t ) = X( x, t ) X i = ϕi −1 (x1 , x2 , x3 , t ) (1.6) 1 i ∈ { ,2,3} Observación 1-1 Hay diferentes alternativas para elegir la etiqueta que caracteriza una partícula, aunque la opción de tomar sus coordenadas materiales es la más común. Cuando las ecuaciones del movimiento vienen dadas en función de las coordenadas materiales como etiqueta (como en la ecuación (1.5)), se hablará de las ecuaciones de movimiento en forma canónica. Existen ciertas restricciones matemáticas para garantizar la existencia de ϕ y de ϕ −1 así como su correcto significado físico. Estas restricciones son: • • • • ϕ(X,0) = X puesto que, por definición, X es el vector de posición en el instante de referencia t = 0 (condición de consistencia). ϕ ∈ C 1 ( la función ϕ es continua y con derivadas continuas en cada punto e instante). ϕ es biunívoca (para garantizar que dos partículas no ocupan simultáneamente el mismo punto del espacio y que una partícula no ocupa simultáneamente dos puntos distintos del espacio).  ∂ ϕ(X, t )   ∂X  El Jacobiano de la transformación J = det  not = ∂ϕ(X, t ) 0. ∂X La interpretación física de esta condición (que se estudiará más adelante) es que todo volumen diferencial ha de ser siempre positivo, o utilizando el principio de conservación de la masa (que se verá más adelante), la densidad de las partículas ha de ser siempre positiva. © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 27. 1 Descripción del movimiento 4 R E C O R D A T O R I O Se define el operador de dos índices Delta de Kronecker not = δ ij como: 0 i ≠ j δ ij =  1 i = j El tensor unidad 1 de segundo orden se define entonces como Observación 1-2 En el instante de referencia t = 0 resulta x(X, t ) t =0 = X . En consecuencia x = X , y = Y , z = Z son las ecuaciones del movimiento en el instante de referencia y el Jacobiano en dicho instante resulta ser: J (X,0) =  ∂x ∂ ( xyz ) = det  i ∂( XYZ )  ∂X j    = det δ ij = det 1 = 1   [ ] [1]ij = δ ij Observación 1-3 La expresión x = ϕ(X, t ) , particularizada para un valor fijo de las coordenadas materiales X , proporciona la ecuación de la trayectoria de la partícula (ver Figura 1-2). tn t1 X3, Z t0 (X 1 , X 2 , X 3 ) ˆ e3 ˆ e1 trayectoria ˆ e2 X 2 ,Y X1, X Figura 1-2 – Trayectoria de una partícula Ejemplo 1-1 – La descripción espacial del movimiento de un medio continuo viene dada por:  x1 = X 1 e 2 t  x = X e 2t     x(X , t ) ≡  x 2 = X 2 e −2 t ≡  y = Y e −2 t   2t 2t z = 5 X t + Z e  x3 = 5 X 1 t + X 3 e   Obtener las ecuaciones del movimiento inversas. El determinante del Jacobiano resulta: © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 28. 1 Descripción del movimiento ∂x i J= ∂X j ∂x1 ∂X 1 ∂x = 2 ∂X 1 ∂x 3 ∂X 1 ∂x1 ∂X 2 ∂x 2 ∂X 2 ∂x 3 ∂X 2 ∂x1 ∂X 3 e 2 t ∂x 2 = 0 ∂X 3 5t ∂x 3 ∂X 3 0 e −2 t 0 5 0 0 = e 2t ≠ 0 e 2t La condición suficiente (aunque no necesaria) para que la función x = ϕ( X, t ) sea biunívoca (que exista la inversa) es que el determinante del Jacobiano de la función no sea nulo. Además puesto que el Jacobiano es positivo, el movimiento tiene sentido físico. Por lo tanto, la inversa de la descripción espacial dada existe y viene dada por:  x1e −2 t X1       −1 2t X = ϕ (x, t ) ≡  X 2  =  x2 e   X   x e −2 t − 5tx e − 4 t  1  3  3  1.3 Descripciones del movimiento La descripción matemática de las propiedades de las partículas del medio continuo puede hacerse mediante dos formas alternativas: la descripción material (generalmente utilizada en Mecánica de Sólidos) y la descripción espacial (utilizada generalmente en Mecánica de Fluidos). Ambas descripciones se diferencian esencialmente por el tipo de argumento (coordenadas materiales o coordenadas espaciales) que aparece en las funciones matemáticas que describen las propiedades del medio continuo. 1.3.1 Descripción material N O T A La literatura sobre el tema suele referirse también a la descripción material como descripción lagrangeana . En la descripción material se describe cierta propiedad (por ejemplo la densidad ρ ) mediante cierta función ρ (•, t ): R 3 × R + → R + donde el argumento (•) en ρ (•, t ) son las coordenadas materiales. Es decir: ρ = ρ (X, t ) = ρ (X 1 , X 2 , X 3 , t ) (1.7) Obsérvese que si se fijan los tres argumentos X ≡ ( X 1 , X 3 , X 3 ) de la ecuación (1.7) se está siguiendo a una partícula determinada (ver Figura 1-3a), de ahí proviene la denominación de descripción material 1.3.2 Descripción espacial N O T A Suele denominarse también a la descripción espacial como descripción euleriana. En la descripción espacial la atención se centra en un punto del espacio. Se describe la propiedad como una función ρ(•, t ): R 3 × R + → R + del punto del espacio y del tiempo: ρ = ρ(x, t ) = ρ(x1 , x 2 , x 3 , t ) (1.8) de tal forma que al asignar un cierto valor al argumento x en ρ = ρ(x, t ) se obtiene la evolución de la densidad para las distintas partículas que van pasando © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 29. 1 Descripción del movimiento 6 por dicho punto del espacio a lo largo del tiempo (ver Figura 1-3b). Por otro lado, al fijar el argumento tiempo en la ecuación (1.8) se obtiene una distribución instantánea (como una fotografía) de la propiedad en el espacio. Es evidente que las ecuaciones del movimiento directas e inversas permiten pasar de una descripción a otra de la forma: ρ (x, t ) = ρ (x ( X , t ), t ) = ρ (X , t ) ρ (X, t ) = ρ (X ( x, t ), t ) = ρ (x, t ) (1.9) b) a) (X X3, Z * (x , y , z ) ,Y * ,Z * ) * X 3, Z t =2 t =0 * * t =0 t =1 t =2 t =1 X 2 ,Y X1, X X1, X Figura 1-3– Descripción material y espacial de una propiedad Ejemplo 1-2 – Sean las siguientes ecuaciones del movimiento:  x = X − Yt  x = x (X , t ) ≡  y = Xt + Y  z = − Xt + Z  Obtener la descripción espacial de la propiedad descrita materialmente mediante ρ (X,Y,Z,t ) = X +Y + Z 1+t2 Las ecuaciones del movimiento están dadas en forma canónica, ya que en la x = X  configuración de referencia Ω 0 se obtiene: x = X(X,0 ) =  y = Y z = Z  El Jacobiano resulta: J = ∂x i ∂X j ∂x ∂X ∂y = ∂X ∂z ∂X ∂x ∂Y ∂y ∂Y ∂z ∂Y ∂x ∂Z 1 −t 0 ∂y 1 0 =1+ t 2 ≠ 0 = t ∂Z −t 0 1 ∂z ∂Z y las ecuaciones del movimiento inversas están dadas por: © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 30. 7 1 Descripción del movimiento Si ahora ρ (X,Y,Z,t) = se  x + yt X = 1+ t2  y − xt  X( x, t ) ≡ Y = 1+ t2   z + zt 2 + xt + yt 2 Z = 1+ t2  considera la descripción material de la propiedad X +Y +Z es posible hallar su descripción espacial sustituyendo en 1+ t2 ella las ecuaciones del movimiento inversas. Es decir: ρ (X,Y,Z,t ) ≡ x + yt + y + z + zt 2 + yt 2 (1 + t ) 2 2 = ρ (x,y,z,t ) 1.4 Derivadas temporales: local, material, convectiva La consideración de las distintas descripciones (material y espacial) de las propiedades del medio continuo lleva a diversas definiciones de las derivadas temporales de dichas propiedades. Consideremos una cierta propiedad y sus descripciones material y espacial: Γ(X, t ) = γ (x, t ) (1.10) donde el paso de la descripción espacial a la material y viceversa se hace a través de las ecuaciones del movimiento (1.5) y (1.6). Definiciones: N O T A C I Ó N La notación ∂(•, t ) se ∂t entiende en el sentido clásico de derivada parcial respecto a la variable t . Derivada local: La variación de la propiedad respecto al tiempo en un punto fijo del espacio. Si se dispone de la descripción espacial de la propiedad, γ (x, t ) , dicha derivada local puede escribirse matemáticamente como: not derivada local = ∂γ ( x, t ) ∂t Derivada material: La variación de la propiedad respecto al tiempo siguiendo una partícula (punto material) específica del medio continuo. Si se dispone de la descripción material de la propiedad, Γ( X, t ) , dicha derivada material puede describirse matemáticamente como: not derivada material = ∂Γ( X , t ) d Γ= ∂t dt © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 31. 1 Descripción del movimiento 8 Sin embargo, si se parte de la descripción espacial de la propiedad γ ( x, t ) y se consideran implícitas en la misma las ecuaciones del movimiento: γ ( x, t ) = γ ( x( X, t ), t ) = Γ( X, t ) (1.11) puede obtenerse la derivada material (siguiendo a una partícula) a partir de la descripción espacial, como: not derivada material = N O T A C I Ó N En la literatura se utiliza frecuentemente (•) como Dt (•) . alternativa a d dt la notación D ∂Γ(X, t ) d γ (x(X, t ), t ) = ∂t dt (1.12) Desarrollando la ecuación (1.12) se obtiene: dγ(x(X, t ), t ) ∂γ( x, t ) ∂γ ∂x i ∂γ (x, t ) ∂γ ∂x = + = + ⋅ ∂t ∂x i ∂t ∂t ∂x ! ∂t dt (1.13) v (x,t ) donde se ha considerado la definición de la velocidad como la derivada respecto al tiempo de las ecuaciones de movimiento (1.5), ∂x( X, t ) = V ( X(x, t ), t ) = v( x, t ) ∂t (1.14) La obtención de la derivada material a partir de la descripción espacial puede generalizarse para cualquier propiedad χ (x, t ) (de carácter escalar, vectorial o tensorial): N O T A C I Ó N Se considera aquí la forma simbólica del operador Nabla espacial: ∇≡ ∂ ei ˆ ∂x i d χ ( x, t ) % $ dt # derivada material = ∂χ ( x, t ) % $ ∂t # derivada local + v ( x, t ) ⋅ ∇χ ( x, t ) % $ # (1.15) derivada convectiva Observación 1-4 La ecuación (1.15) define implícitamente la derivada convectiva v ⋅ ∇(• ) como la diferencia entre las derivadas material y local de la propiedad. El término convección se aplica en Mecánica de Medios Continuos a fenómenos relacionados con el transporte de masa (o de partículas). Obsérvese que si no hay convección ( v = 0 ) la derivada convectiva desaparece y las derivadas local y material coinciden. Ejemplo 1-3 – Dada la siguiente ecuación del movimiento  x = X + Yt + Zt   y = Y + 2 Zt  z = Z + 3 Xt  y la descripción espacial de una propiedad material. ρ(x, t ) = 3 x + 2 y + 3t , calcular su derivada La descripción material de la propiedad se obtiene reemplazando las ecuaciones del movimiento en la expresión espacial: ρ (X,Y,Z,t ) = 3(X + Yt + Zt ) + 2(Y + 2 Zt ) + 3t = 3 X + 3Yt + 7 Zt + 2Y + 3t © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 32. 1 Descripción del movimiento 9 La derivada material puede obtenerse en primera instancia como la derivada respecto al tiempo en la descripción material, es decir: ∂ρ = 3Y + 7Z + 3 ∂t Otra alternativa para el cálculo de la derivada material es utilizar el concepto de derivada material de la descripción espacial de la propiedad: ∂ρ =3 ∂t dρ ∂ρ = + v ⋅ ∇ρ dt ∂t ∂x v= = (Y + Z, 2 Z, 3 X )T ∂t 3 ∇ρ = { ,2,0}T Reemplazando en la expresión del operador derivada material se tiene: dρ = 3 + 3Y + 7 Z dt Obsérvese que las expresiones de la derivada material de la propiedad obtenidas a partir de la descripción material, ∂ρ , o de la descripción espacial, ∂t dρ , coinciden. dt 1.5 Velocidad y aceleración Definición: Velocidad: Derivada temporal de las ecuaciones del movimiento. La descripción material de la velocidad viene dada, en consecuencia, por: ∂x(X, t ) ∂t ∂x (X, t ) Vi (X, t ) = i ∂t V (X, t ) = i ∈{1, 2,3} (1.16) y si se dispone de las ecuaciones inversas del movimiento X = ϕ −1 (x, t ) es posible obtener la descripción espacial de la velocidad como: v (x, t ) = V ( X( x, t ), t ) (1.17) Definición: Aceleración: Derivada material del campo de velocidades. Si se tiene la velocidad descrita en forma material, se puede hallar la descripción material de la aceleración como: © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 33. 1 Descripción del movimiento 10 ∂V (X, t ) ∂t ∂V (X, t ) A i (X, t ) = i ∂t A (X, t ) = (1.18) y a través de las ecuaciones inversas del movimiento X = ϕ −1 (x, t ) , se puede pasar a la descripción espacial a(x, t ) = A(X(x, t ), t ). Como alternativa, si se dispone de la descripción espacial de la velocidad, puede obtenerse directamente la descripción espacial de la aceleración aplicando la ecuación (1.15) para obtener la derivada material de v(x, t ) : a(x, t ) = dv (x, t ) ∂v(x, t ) = + v (x, t ) ⋅ ∇v(x, t ) ∂t dt (1.19) Ejemplo 1-4 – Considérese un sólido, ver Figura 1-4, que gira con velocidad angular ω constante y que tiene como ecuación del movimiento:  x = R sin(ωt + φ)   y = R cos (ωt + φ) Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento descritas en forma material y espacial. t =0 Y P t R φ P’ ωt R Figura 1-4 X Las ecuaciones del movimiento pueden reescribirse como: x = R sin(ωt + φ) = R sin(ωt )cos φ + R cos(ωt ) sinφ y = R cos(ωt + φ) = R cos (ωt ) cos φ − R sin(ωt ) sinφ  X = R sinφ , las formas canónicas de la ecuación del Y = R cosφ y, ya que para t = 0 ⇒  movimiento y de su inversa quedan:  x = X cos (ωt ) + Y sin(ωt )   y = − X sin (ωt ) + Y cos (ωt )  X = x cos (ωt ) − y sin(ωt )  Y = x sin(ωt ) + y cos(ωt ) a.1) Velocidad en descripción material ∂x  = − X ω sin(ωt ) + Y ω cos (ωt ) V = ∂x(X, t )  x ∂t  ≡ V (X, t ) = ∂t V = ∂y = − X ω cos (ωt ) − Y ω sin (ωt )  y ∂t  © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 34. 1 Descripción del movimiento 11 a.2) Velocidad en descripción espacial Sustituyendo los valores x e y dados en la forma canónica vista anteriormente, es posible obtener la forma espacial de la velocidad como:  ∂x   v x = ∂t = ω y   ω y    v(x, t ) =   =  v = ∂y = − ω x  − ω x   y ∂t    b.1) Aceleración en descripción material: A (X, t ) = ∂V (X, t ) ∂t   ∂v x 2 2  ∂t = − Xω cos(ωt ) − Yω sin(ωt )   2  X cos(ωt ) + Ysin(ωt )  A (X , t ) =  =−ω   − Xsin(ωt ) + Y cos(ωt )  ∂v y = Xω 2 sin(ωt ) − Yω 2 cos(ωt )     ∂t  b.2) Aceleración en descripción espacial: Sustituyendo las ecuaciones del movimiento inversas en la ecuación anterior: a x = −ω 2 x    a(x, t ) = A( X( x, t ), t ) ≡  2  a y = − ω y    Esta misma expresión podría ser obtenida si se considera la expresión de la velocidad v (x, t ) y la expresión de la derivada material en (1.15): dv(x, t ) ∂v(x, t ) = + v (x, t ) ⋅ ∇v(x, t ) = a(x, t ) = dt ∂t ∂  ∂x  ∂  ωy  =   + [ωy − ωx ]  ∂  [ωy − ωx ] = ∂t − ωx     ∂y    ∂ ∂   ∂x (ωy ) ∂x (− ωx ) − ω 2 x  0   =   + [ωy − ωx ]  ∂ =  2  ∂ 0   (ωy ) (− ωx ) − ω y    ∂y  ∂y    Obsérvese que el resultado obtenido por los dos procedimientos es idéntico. © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 35. 1 Descripción del movimiento 12 1.6 Estacionariedad Definición: Una propiedad es estacionaria cuando su descripción espacial no depende del tiempo. De acuerdo con la definición anterior y con el concepto de derivada local, toda propiedad estacionaria tiene su derivada local nula. Por ejemplo, si la velocidad para un cierto movimiento es estacionaria, puede ser descrita espacialmente como: v(x, t ) = v (x ) ⇔ ∂v(x, t ) =0 ∂t (1.20) Observación 1-5 La independencia del tiempo de la descripción espacial (estacionariedad) supone que para un mismo punto del espacio la propiedad en cuestión no varía a lo largo del tiempo. Esto no implica que, para una misma partícula, la propiedad no varíe con el tiempo (la descripción material puede depender del tiempo). Por ejemplo, si la velocidad v (x, t ) es estacionaria ⇒ v (x, t ) ≡ v(x ) = v(x( X, t ) ) = V ( X, t ) luego la descripción material de la velocidad depende del tiempo. Para un caso de densidad estacionaria (ver Figura 1-5) ocurrirá que para dos partículas de etiquetas X 1 y X 2 que varían su densidad a lo largo del tiempo, al pasar por un mismo punto espacial x (en dos instantes distintos t1 y t 2 ) tomarán el mismo valor de la densidad ( ρ (X1 , t1 ) = ρ (X 2 , t 2 ) = ρ(x ) . Es decir, para un observador situado en el exterior del medio, la densidad en el punto fijo del espacio x será siempre la misma Y X 1 ρ(x ) x X 2 X Figura 1-5– Movimiento con densidad estacionaria © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 36. 1 Descripción del movimiento 13 Ejemplo 1-5 – En el Ejemplo 1-4 se tiene un campo de velocidades cuya ω y  . Es decir, se trata de un caso en que la −ωx   descripción espacial es: v(x ) ≡  descripción espacial de la velocidad no depende del tiempo y la velocidad es estacionaria. Es evidente que esto no implica que la velocidad de las partículas (que tienen un movimiento de rotación uniforme respecto al origen, con velocidad angular ω ) no dependa del tiempo (ver Figura 1-6). La dirección del vector velocidad para una misma partícula es tangente a su trayectoria circular y va variando a lo largo del tiempo. t0 P Y φ v0 R ωt t P’ R vt X Figura 1-6 La aceleración (derivada material de la velocidad) aparece por el cambio de la dirección del vector velocidad de las partículas y es conocida como aceleración centrípeta: a(x ) = dv(x ) ∂v (x ) = + v(x ) ⋅ ∇v(x ) = v(x ) ⋅ ∇v (x ) ∂t dt 1.7 Trayectoria Definición: Trayectoria: Lugar geométrico de las posiciones que ocupa una partícula en el espacio a lo largo del tiempo. La ecuación paramétrica en función del tiempo de una trayectoria se obtiene particularizando las ecuaciones del movimiento para una determinada partícula (identificada por sus coordenadas materiales X * , ver Figura 1-7): x(t ) = ϕ(X, t ) X = X* (1.21) Dadas las ecuaciones del movimiento x = ϕ(X, t ), por cada punto del espacio pasa una trayectoria caracterizada por el valor de la etiqueta (coordenadas materiales) X . Las ecuaciones del movimiento definen entonces una familia de curvas cuyos elementos son las trayectorias de las diversas partículas. © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 37. 1 Descripción del movimiento 14 Y t t0 x X* X Figura 1-7 – Trayectoria de una partícula 1.7.1 Ecuación diferencial de las trayectorias Dado el campo de velocidades en descripción espacial v(x, t ) , es posible obtener la familia de trayectorias planteando el sistema de ecuaciones diferenciales que impone que, en cada punto del espacio x , el vector velocidad sea la derivada respecto al tiempo de la ecuación paramétrica de las trayectorias dada por la ecuación (1.21).  dx(t )  dt = v (x(t ), t )  Encontrar x(t ) :=   dx i (t ) = v (x(t ), t ) i ∈{1,2,3} i  dt  (1.22) La solución del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden (1.22) dependerá de tres constantes de integración (C1 , C 2 , C 3 ) : x = φ(C1, C 2, C 3, t )   xi = φ i (C1 , C 2 , C3 , t ) i ∈{1,2,3} (1.23) Las expresiones (1.23) constituyen una familia de curvas en el espacio parametrizada por las constantes (C1 , C 2 , C3 ) . Asignando un valor determinado a dichas constantes se obtiene un miembro de la familia que es la trayectoria de una partícula caracterizada por la etiqueta (C1 , C 2 , C3 ) . Para obtener las ecuaciones en forma canónica se impone la condición de consistencia en la configuración de referencia: x(t ) t =0 = X ⇒ X = φ(C1, C 2, C 3 ,0) ⇒ C i = χ i ( X) i ∈{1,2,3} (1.24) y substituyendo en la ecuación (1.23) se obtiene la forma canónica de la ecuación de las trayectorias: x = φ(C1 (X ), C 2 (X ), C3 (X ), t ) = ϕ(X, t ) Ejemplo 1-6 – Considérese el campo de velocidades del Ejemplo 1-5:  ω y  − ω x  v(x, t ) =  Obtener la ecuación de las trayectorias. © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (1.25)
  • 38. 1 Descripción del movimiento 15 Utilizando la expresión (1.22), se puede escribir:  dx(t )  dt = v x (x, t ) = ωy dx(t )  = v(x, t ) ⇒  dt  dy (t ) = v (x, t ) = −ωx y  dt  El sistema anterior de ecuaciones diferenciales es un sistema de variables cruzadas. Si se deriva la segunda ecuación y se substituye el resultado en la primera se obtiene: d 2 y (t ) dx (t ) = −ω = − ω2 y (t ) ⇒ y´´ + ω2 y = 0 2 dt dt Ecuación característica: r 2 + ω2 = 0 Soluciones características: rj = ± i ω Solución : y (t ) = Parte Real { 1e C j ∈{1,2} } + C 2 e − iwt = C1 cos(ωt ) + C 2 sin(ωt ) dy = − ωx que resulta en La solución para x (t ) se obtiene a partir de dt 1 dy , obteniéndose así: x=− ω dt  x(C1 , C 2 , t ) = C1 sin(ωt ) − C 2 cos (ωt )   y (C1 , C 2 , t ) = C1 cos(ωt ) + C 2 sin(ωt ) iwt Las anteriores ecuaciones proporcionan las expresiones de las trayectorias en forma no canónica. La forma canónica se obtiene considerando la condición inicial: x(C1 , C 2 ,0 ) = X es decir:  x (C1 , C2 ,0) = −C2 = X   y (C1 , C2 ,0) = C1 = Y Así, las ecuaciones del movimiento, o ecuación de las trayectorias, en forma canónica son:  x = Y sin(ωt ) + X cos (ωt )   y = Y cos (ωt ) − X sin(ωt ) 1.8 Línea de corriente N O T A Dado un campo vectorial se definen sus envolventes como la familia de curvas cuyo vector tangente, en cada punto, coincide en dirección y sentido con el correspondiente vector de dicho campo vectorial. Definición: Líneas de corriente: Aquella familia de curvas que, para cada instante de tiempo, son las envolventes del campo de velocidades. De acuerdo con su definición, la tangente en cada punto de una línea de corriente tiene la misma dirección y sentido (aunque no necesariamente la misma magnitud) que el vector de velocidad en dicho punto del espacio. © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 39. 1 Descripción del movimiento 16 Y tiempo - t 0 v tiempo - t1 Y X X Figura 1-8– Líneas de corriente Observación 1-6 En el caso más general el campo de velocidades (descripción espacial) será distinto para cada instante de tiempo ( v ≡ v( x, t ) ). Cabrá hablar, en consecuencia, de una familia distinta de líneas de corriente para cada instante de tiempo (ver Figura 1-8). 1.8.1 Ecuación diferencial de las líneas de corriente Considérese un instante de tiempo dado t * y la descripción espacial del campo de velocidades en dicho instante v( x, t * ) . Sea x(λ ) la ecuación de una línea de corriente parametrizada en función de un cierto parámetro λ . El vector tangente a la línea de corriente queda definido, para cada valor de λ por dx(λ ) y la condición de tangencia del campo de velocidades puede escribirse dλ como: N O T A Se supone que el valor del parámetro λ se elige de tal forma que en cada punto x del dx(λ ) no espacio, dλ solamente tiene la dirección del vector v(x, t ) sino que coincide con el mismo.  dx(λ ) *  dλ = v x(λ ), t  Encontrar x( λ ) :=   dx i (λ ) = v x (λ ), t * i  dλ  ( ) ( ) i ∈ {1,2,3} (1.26) La ecuaciones (1.26) constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden cuya solución para cada instante de tiempo t * , que dependerá de ' tres constantes de integración ( C1' , C 2 , C3' ), proporciona la expresión paramétrica de las líneas de corriente: ' ' x = φ(C1' , C 2 , C 3 , λ, t * )   ' '  xi = φ i (C1' , C 2 , C 3 , λ, t * )  i ∈{1,2,3} (1.27) ' Cada tripleta de constantes de integración ( C1' , C 2 , C3' ) identifica una línea de corriente cuyos puntos se obtienen a su vez asignando valores al parámetro λ . Para cada instante de tiempo t * se obtiene una nueva familia de líneas de corriente. © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 40. 1 Descripción del movimiento 17 Observación 1-7 Si se tiene un campo de velocidades estacionario ( ⇒ v (x, t ) ≡ v ( x ) ), las trayectorias y líneas de corriente coinciden. La justificación de este hecho se puede hacer desde dos ópticas distintas: • La no aparición del tiempo en el campo de velocidades en las ecuaciones (1.22) y (1.26) motiva que las ecuaciones diferenciales que definen las trayectorias y las que definen las líneas de corriente solo difieran en la denominación del parámetro de integración ( t o λ respectivamente). La solución de ambos sistemas debe ser, por consiguiente, la misma salvo por el nombre del parámetro utilizado en los dos tipos de curvas. • Desde un punto de vista más físico: a) Si el campo de velocidades es estacionario sus envolventes (las líneas de corriente) no varían con el tiempo; b) una determinada partícula recorre el espacio manteniendo su trayectoria en la dirección tangente al campo de velocidades que va encontrando a lo largo del tiempo; c) por consiguiente, si una trayectoria empieza en un punto de cierta línea de corriente, se mantiene sobre la misma a lo largo del tiempo. 1.9 Tubo de Corriente Definición: Tubo de corriente: Superficie constituida por un haz de líneas de corriente que pasan por los puntos de una línea cerrada, fija en el espacio y que no constituye una línea de corriente. En casos no estacionarios, aunque la línea cerrada no varía, el tubo de corriente y las líneas de corriente sí lo hacen. Por el contrario, para el caso estacionario el tubo de corriente permanece fijo en el espacio a lo largo del tiempo. 1.9.1 Ecuación del tubo de corriente Las líneas de corriente constituyen una familia de curvas del tipo: x = f (C1 , C 2 , C3 , λ, t ) (1.28) El problema consiste en determinar para cada instante de tiempo, qué curvas de la familia de curvas de las líneas de corriente pasan por una línea cerrada y fija en el espacio Γ, cuya expresión matemática parametrizada en función de un parámetro s es: Γ := x = g (s ) © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (1.29)
  • 41. 1 Descripción del movimiento 18 Para ello se impone la condición de pertenencia de un mismo punto a las dos curvas, en términos de los parámetros λ* y s * : ( ) ( g s * = f C1 , C 2 , C3 , λ* , t ) (1.30) Con lo cual se obtiene un sistema de tres ecuaciones del cual se puede despejar, por ejemplo, s * , λ* , C 3 , esto es: s * = s * (C1 , C 2 , t ) λ* = λ* (C1 , C 2 , t ) (1.31) C 3 = C 3 (C1 , C 2 , t ) Sustituyendo (1.31) en (1.30) se obtiene: x = f (C1 , C2 , C3 (C1 , C 2 , t ), λ (C1 , C2 , t ), t ) = h (C1 , C2 , t ) (1.32) que constituye la expresión parametrizada (en función de los parámetros C1 ,C 2 ) del tubo de corriente, para cada instante t (ver Figura 1-9). t s =1 s=0 Z λ = 0,1,2... * * s ;λ Y X Figura 1-9 – Tubo de Corriente 1.10 Línea de traza Definición: Línea de traza, relativa a un punto fijo en el espacio x * denominado punto de vertido y a un intervalo de tiempo denominado tiempo de vertido [t i , t f ], es el lugar geométrico de las posiciones que ocupan en un instante t , todas las partículas que han pasado por x * en un instante τ ∈ [t i , t ] ∩ [t i , t f ]. La anterior definición corresponde al concepto físico de la línea de color (traza) que se observaría en el medio en el instante t , si se vertiese un colorante en el punto de vertido x * durante el intervalo de tiempo [t i , t f ] (ver Figura 1-10). © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 42. 19 1 Descripción del movimiento (x , y * * ,z * τ = ti ) punto de vertido τ = t1 z τ = t2 τ =tf t y x Figura 1-10 – Línea de traza 1.10.1 Ecuación de la línea de traza Para determinar la ecuación de la línea de traza es necesario identificar las partículas que pasan por el punto x * en los correspondientes instantes τ . Partiendo de las ecuaciones del movimiento dadas por (1.5) y (1.6) se trata de determinar cuál es la etiqueta de la partícula que en el instante de tiempo τ pasa por el punto de vertido. Para ello se plantea: x * = x(X, τ ) xi* = xi (X, τ )    ⇒ X = f (τ ) i ∈1, 2,3  (1.33) Sustituyendo (1.33) en las ecuaciones del movimiento (1.5) se obtiene: x = ϕ (f (τ ), t ) = g( τ, t ) [ τ ∈ [ti , t ]∩ ti , t f ] (1.34) La expresión (1.34) constituye, para cada instante t , la expresión paramétrica (en términos del parámetro τ ) de un segmento curvilíneo en el espacio que es la línea de traza en dicho instante. Ejemplo 1-7 – Sea un movimiento definido por las siguientes ecuaciones del movimiento: x = (X + Y ) t 2 + X cos t y = (X + Y )cos t − X Obtener la ecuación de la línea de traza asociada al punto de vertido x * = (0,1) para el periodo de vertido [t 0 ,+∞) . Las coordenadas materiales de la partícula que han pasado por el punto de vertido en el instante τ están dadas por:  −τ2 X = 2 2 0=(X +Y) τ2 + X cos τ   τ +cos τ ⇒  1=(X +Y)cos τ− X   τ2 +cosτ Y = τ2 +cos2τ  Por lo tanto la etiqueta de las partículas que han pasado por el punto de vertido desde el instante de inicio de vertido t 0 hasta el instante actual t queda definida por: © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 43. 1 Descripción del movimiento 20  − τ2 2 2  τ + cos τ   τ ∈ [t 0 , t ] ∩ [t 0 , ∞] = [t 0 , t ] τ 2 + cos τ  Y= 2 τ + cos 2 τ   X= De aquí substituyendo en las ecuaciones del movimiento se obtienen las ecuaciones de la línea de traza:  cos τ − τ2 cos t x= 2 t2 + 2   τ + cos 2 τ τ + cos 2 τ x = g( τ, t ) ≡  cos τ − τ2 y = cos t − 2  τ 2 + cos 2 τ τ + cos 2 τ  τ ∈ [t 0 , t ] Observación 1-8 En un problema estacionario las líneas de traza son segmentos de las trayectorias (o de las líneas de corriente). La justificación se basa en el hecho de que en el caso estacionario la trayectoria sigue la envolvente del campo de velocidades que permanece constante con el tiempo. Si se considera un punto de vertido, x* , todas las partículas que pasan por él seguirán porciones (segmentos) de la misma trayectoria. 1.11 Superficie material Definición: Superficie material: Superficie móvil en el espacio constituida siempre por las mismas partículas (puntos materiales). En la configuración de referencia Ω 0 la superficie Σ 0 podrá definirse en términos de una función de las coordenadas materiales F ( X , Y , Z ) como: Σ 0 := { X , Y , Z | F (X,Y,Z ) = 0} Observación 1-9 La función F ( X , Y , Z ) no depende del tiempo, lo que garantiza que las partículas, identificadas por su etiqueta, que cumplen la ecuación F ( X , Y , Z ) = 0 son siempre las mismas de acuerdo con la definición de superficie material. © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (1.35)
  • 44. 1 Descripción del movimiento Z 21 Σ 0 := { X F ( X , Y , Z ) = 0} t =0 Σ t := { x ϕ(X , t ) f (x, y, z, t ) = 0} Σ0 t Σt Y X Figura 1-11 – Superficie material La descripción espacial de la superficie se obtendrá a partir de la descripción espacial de F ( X( x, t ) = f ( x, y, z , t ) : Σ t := {x, y , z | f (x, y , z,t ) = 0} Observación 1-10 La función f ( x, y, z , t ) depende explícitamente del tiempo, lo que establece que los puntos del espacio que estarán sobre la superficie varían con el tiempo. Esta dependencia del tiempo de la descripción espacial de la superficie, le confiere su carácter de superficie móvil en el espacio (ver Figura 1-11). Observación 1-11 Condición necesaria y suficiente para que una superficie móvil en el espacio, definida implícitamente por una función f ( x, y , z, t ) = 0 , sea material (esté constituida siempre por las mismas partículas) es que la derivada material de f ( x, y , z, t ) sea nula: df ( x, t ) ∂f = + v ⋅ ∇f = 0 ∂t dt ∀x ∈ Σ t ∀t La condición es necesaria puesto que si la superficie es material, su descripción material no depende del tiempo ( F ≡ F (X ) ) y por consiguiente, su descripción espacial tiene derivada material nula. La condición de suficiencia se fundamenta en que, si la derivada material de f ( x, t ) es nula, la correspondiente descripción material no depende del tiempo ( F ≡ F (X) ) y por consiguiente, el conjunto de partículas (identificadas por su coordenadas materiales) que cumplen la condición F ( X ) = 0 es siempre el mismo. © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (1.36)
  • 45. 1 Descripción del movimiento 22 Ejemplo 1-8 – En la teoría de oleaje se impone la condición de que la superficie libre del fluido que está en contacto con la atmósfera sea una superficie material. Es decir, esta restricción supone que la superficie libre está formada siempre por las mismas partículas (hipótesis razonable sobre todo en aguas profundas). Si se supone que z = η(x , y , t ) define la altura de la superficie del mar respecto a un nivel de referencia, la superficie libre del agua vendrá definida por: f (x , y , z , t ) ≡ z − η(x, y , t ) = 0 . z superficie libre y x z = η (x, y, t ) =cota de la superficie libre Figura 1-12 df = 0 se escribe como: La condición dt ∂f ∂η =− ∂t ∂t  ∂f     ∂x  ∂f ∂f ∂f  ∂f  v ⋅ ∇f = v x v y v z   = v x ∂x + v y ∂y + v z ∂z ∂  y   ∂f   ∂z    [ ] ∂η ∂η ∂η df ∂f = + v ⋅ ∇f = − − vx − vy + vz = 0 ⇒ ∂t ∂x ∂y dt ∂t ∂η ∂η ∂η vz = + vx +vy ∂t ∂x ∂y Es decir, la condición de superficie material se traduce en una condición sobre la componente vertical del campo de velocidades. 1.12 Superficie de control Definición: Superficie de control: Una superficie fija en el espacio. Su descripción matemática viene dada por: Σ := { x | f (x, y, z ) = 0} © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (1.37)
  • 46. 1 Descripción del movimiento 23 Es evidente que una superficie de control es atravesada por las distintas partículas del medio continuo a lo largo del tiempo (ver Figura 1-13) Σ Z Y X Figura 1-13 – Superficie de control 1.13 Volumen material Definición: Volumen material: Es un volumen limitado por una superficie material cerrada. N O T A Se entiende la función F (X) definida de tal forma que F ( X) 0 corresponde a puntos del interior de V0 La descripción matemática del volumen material V (ver Figura 1-14) viene dada por: V0 := { X | F (X ) ≤ 0} (1.38) en la descripción material, y por: Vt := { x | f (x, t ) ≤ 0} (1.39) en la descripción espacial, siendo F ( X) = f (x( X, t ), t ) la función que describe la superficie material que lo encierra. Observación 1-12 Un volumen material está constituido siempre por las mismas partículas. La justificación se hace por reducción al absurdo: si una cierta partícula pudiese entrar o salir del volumen material, se incorporaría en su movimiento a la superficie material (al menos por un instante de tiempo). Esto sería contrario al hecho de que la superficie, por ser material, está formada siempre por las mismas partículas. © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 47. 1 Descripción del movimiento 24 t=0 t V0 f (x, t ) = 0 Vt Y X Figura 1-14– Volumen material 1.14 Volumen de control Definición: Volumen de control: Conjunto de puntos del espacio situados en el interior de una superficie de control cerrada. N O T A Se entiende la función f (x) definida de tal Se trata de un volumen fijo en el espacio que es atravesado por las partículas del medio durante su movimiento. Su descripción matemática es: V := { x | f (x ) ≤ 0} (1.40) forma que f (x) 0 corresponde a puntos del interior de V z V f (x ) = 0 y x Figura 1-15 – Volumen de control © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 48. 2 Descripción de la deformación 2.1 Introducción Definición Deformación: en el contexto más general, el concepto deformación se refiere al estudio no ya del movimiento absoluto de las partículas tal como se hizo en el capítulo 1, sino del movimiento relativo con respecto a una partícula determinada, de las partículas situadas en un entorno diferencial de aquella. 2.2 Tensor gradiente de deformación Consideremos en el medio continuo en movimiento de la Figura 2-1 una partícula P en la configuración de referencia Ω 0 , y que ocupa el punto del espacio P ' en la configuración actual Ω t , y una partícula Q situada en un entorno diferencial de P y cuyas posiciones relativa respecto a ésta en los instante de referencia y actual vienen dadas por dX y dx respectivamente. ϕ(X , t ) t0 X 3 , x3 dX X X 1 , x1 Q P´ Ω0 Ωt x ˆ e3 ˆ e1 t P ˆ e2 dx Q´ X 2 , x2 Figura 2-1 Sean not  x = ϕ(X, t ) = x(X, t )  not  x = ϕ (X , X , X , t ) = x ( X , X , X , t ) i i 1 2 3 1 2 3  i © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 1 i ∈ { ,2,3} (2.1)
  • 49. 2 Descripción de la deformación 26 las ecuaciones del movimiento. Diferenciando (2.1) con respecto a las coordenadas materiales X resulta: Ecuación fundamenta l de la deformació n N O T A C I Ó N Se considera aquí la forma simbólica del operador Nabla material: ∂ ˆ ei ∇≡ ∂X i aplicada a la expresión del producto tensorial o abierto: [a ⊗ b]ij = ai b j = [a b ]ij = not → ∂x i  dx i = ∂X dX j  #! j  Fij   dx = F ⋅ dX i, j ∈{1,2,3} (2.2) La ecuación (2.2) define el tensor gradiente material de la deformación F( X, t ) :  not F = x ⊗ ∇ Tensor gradiente material  →  ∂xi de la deformació n i, j ∈{1,2,3}  Fij = ∂X j   (2.3) Las componentes explícitas del tensor F vienen dadas por:  ∂x1   ∂X 1  x1   ∂   ∂x 2 ∂ ∂ [F ] = x ⊗ ∇ =  x 2   =   ∂X ∂ ∂X 3 1  %%%X 2 %%   ∂X 1  x3  # % !   $  ∂x 3 T [x] ∇  ∂X 1  [ ∂x1 ∂X 2 ∂x 2 ∂X 2 ∂x 3 ∂X 2 ] ∂x1   ∂X 3  ∂x 2  ∂X 3   ∂x 3  ∂X 3   (2.4) Observación 2-1 El tensor gradiente de la deformación F(X, t ) contiene la información del movimiento relativo, a lo largo del tiempo t , de todas las partículas materiales en el entorno diferencial de una dada, identificada por sus coordenadas materiales X . En efecto, la ecuación (2.2) proporciona la evolución del vector de posición relativo dx en función de la correspondiente posición relativa dX en el instante de referencia. En este sentido, si se conoce el valor de F( X, t ) se dispone de la información asociada al concepto general de deformación definida en la sección 2.1 2.2.1 Tensor gradiente de la deformación inverso Considerando ahora las ecuaciones de movimiento inversas: not  −1 X = ϕ (x, t ) = X(x, t )  not  X = ϕ −1 (x , x , x , t ) = X (x , x , x , t ) i i 1 1 2 3 2 3  i 1 i ∈ { ,2,3} y diferenciando (2.5) con respecto a las coordenadas espaciales xi , resulta: © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (2.5)
  • 50. 27 2 Descripción de la deformación ∂X i  dX i = ∂x dx j i, j ∈{1,2,3} j  #!   F−1  ij  dX = F −1 ⋅ dx  (2.6) Al tensor definido por al ecuación (2.6) se le denomina tensor gradiente espacial de la deformación o tensor gradiente (material) de la deformación inverso y viene caracterizado por: N O T A C I Ó N  −1 not F = X ⊗ ∇ Tensor gradiente espacial  →  −1 ∂X i de la deformació n i, j ∈{1,2,3} Fij = ∂x j   Se considera aquí la forma simbólica del operador Nabla espacial ∇≡ ∂ ˆ ei . ∂x i Obsérvese la diferencia de notación entre dicho operador espacial ( ∇ ) y el operador Nabla material ( ∇ ). (2.7) Las componentes explícitas del tensor F −1 vienen dadas por: [F ] −1  ∂X 1   ∂x1  X1   ∂ ∂ ∂   ∂X 2 = [X ⊗ ∇ ] =  X 2   =   ∂x ∂x ∂ 3  1  %% 2 %x!  ∂x1  X 3 # % % %  #!  ∂X 3 [∇ ]T [X]  ∂x1  ∂X 1 ∂x 2 ∂X 2 ∂x 2 ∂X 3 ∂x 2 ∂X 1   ∂x3  ∂X 2  ∂x3   ∂X 3  ∂x3   (2.8) Observación 2-2 R E C O R D A T O R I O Se define el operador de dos índices Delta de Kronecker δ ij como: 1 si i = j δ ij =  0 si i ≠ j El tensor unidad de 2º orden 1 viene definido por: [1]ij = δ ij . El tensor gradiente espacial de la deformación, denotado en (2.6) y (2.7) mediante F −1 , es efectivamente el inverso del tensor gradiente (material) de la deformación F . La comprobación es inmediata puesto que: ∂x i ∂X k ∂x i not = = δ ij ∂X k ∂x j ∂x j $$ F −1 ik F ⇒ F ⋅ F −1 = 1 kj ∂X i not ∂X i ∂x k = δ ij = ∂x k ∂X j ∂X j $$ F−1 F ik ⇒ F −1 ⋅ F = 1 kj Ejemplo 2-1 – Para un determinado instante, el movimiento de un medio continuo viene definido por: x1 = X 1 − AX 3 , x 2 = X 2 − AX 3 , x 3 = − AX 1 + AX 2 + X 3 . Obtener el tensor gradiente material de la deformación F(X) en dicho instante. A partir de las ecuaciones de movimiento inversas obtener el tensor gradiente espacial de la deformación F −1 ( x) . Con los resultados obtenidos comprobar que F ⋅ F −1 = 1 . © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 51. 2 Descripción de la deformación 28 a) Tensor gradiente material de la deformación: [] F = x ⊗ ∇ ≡ [x] ⋅ ∇ T X 1 − AX 3    ⋅ ∂ , = X 2 − AX 3   ∂X − AX 1 + AX 2 + X 3   1    1 0 − A =  0 1 − A   − A A 1    ∂ , ∂X 2 ∂  = ∂X 3  b) Ecuaciones de movimiento inversas: De la inversión algebraica de las ecuaciones de movimiento se obtiene:  X 1 = (1 + A 2 ) x1 − A 2 x 2 + A x 3   X( x, t ) ≡  X 2 = A 2 x1 + (1 − A 2 ) x 2 + A x3 X = A x − A x + x 1 2 3  3  c) Tensor gradiente espacial de la deformación: F −1 = X ⊗ ∇ ≡ [X]⋅ [∇ ] T (1 + A 2 ) x1 − A 2 x 2 + A x3     ∂ , =  A 2 x1 + (1 − A 2 ) x 2 + A x3  ⋅     ∂x1 A x1 − A x 2 + x 3     1 + A 2 − A 2  1 − A2 =  A2  A −A  ∂ , ∂x 2 ∂  = ∂x3  A  A 1  d) Comprobación: F⋅F −1 0 − A 1 + A 2 − A 2  1  1 − A2 ≡  0 1 − A ⋅  A 2   − A A 1   A −A    A 1 0 0  A = 0 1 0 ≡ 1   1  0 0 1     2.3 Desplazamientos Definición: Desplazamiento: diferencia entre los vectores de posición de una misma partícula en las configuraciones actual y de referencia. El desplazamiento de una partícula P en un instante determinado viene definido por el vector u que une los puntos del espacio P (posición inicial) y P ′ (posición en el instante actual t ) de la partícula (ver Figura 2-2). El desplazamiento de todas las partículas del medio continuo define el campo vectorial de desplazamientos que, como toda propiedad del medio continuo, podrá describirse en forma material U( X, t ) o espacial, u(x, t ) : U( X, t ) = x( X, t ) − X  U i ( X, t ) = x i (X, t ) − X i i ∈{1,2,3} © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (2.9)
  • 52. 2 Descripción de la deformación u (x, t ) = x − X( x, t )  u i (x, t ) = xi − X i (x, t ) t Ω0 P′ Ωt P X 3 , x3 (2.10) i ∈{1,2,3} u t0 29 x X ˆ e3 X 2 , x2 ˆ e2 e1 ˆ X 1 , x1 Figura 2-2 – Desplazamientos 2.3.1 Tensores gradiente material y espacial de los desplazamientos La derivación del vector desplazamiento U i en la ecuación (2.9) con respecto a las coordenadas materiales lleva a: def ∂U i ∂x ∂X i = i − = Fij − δ ij = J ij ∂X j ∂X j ∂X j $ $ Fij δij (2.11) que define el tensor gradiente material de los desplazamientos como: def  Tensor gradiente J ( X, t ) = U( X, t ) ⊗ ∇ = F − 1   material de los →  ∂U i = Fij − δ ij i, j ∈{1,2,3}  J ij = desplazami entos ∂X j   ∂U i  dU i = ∂X dX j = J ij dX j j  dU = J ⋅ dX  i, j ∈{1, 2,3} (2.12) (2.13) De forma similar, diferenciando la expresión de u i en la ecuación (2.10), con respecto a las coordenadas espaciales se obtiene: def ∂u i ∂xi ∂X i = − = δ ij − Fij−1 = jij ∂x j ∂x j ∂x j (2.14) $ $ δij Fij−1 que define el tensor gradiente espacial de los desplazamientos como: def  Tensor gradiente j(x, t ) = u (x, t ) ⊗ ∇ = 1 − F −1   espacial de los →  ∂u i = δ ij − Fij−1 i, j ∈{1,2,3}  j ij = desplazami entos ∂x j   © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (2.15)
  • 53. 2 Descripción de la deformación 30 ∂u i  du i = ∂x dx j = jij dx j j  du = j ⋅ dx  i, j ∈{1,2,3} (2.16) 2.4 Tensores de deformación Consideremos ahora una partícula del medio continuo, que ocupa el punto del espacio P en la configuración material, y otra partícula Q de su entorno diferencial separada de la anterior por el segmento dX (de longitud dS = dX ⋅ dX ) siendo dx (de longitud ds = dx ⋅ dx ) su homólogo en la configuración actual (ver Figura 2-3). Ambos vectores diferenciales están relacionados por el tensor gradiente de la deformación F( X, t ) mediante las ecuaciones (2.2) ó (2.6):  dx = F ⋅ dX   dxi = Fij dX j  dX = F -1⋅ dx dX i = Fij−1 dx (2.17) j F(X, t ) t t0 Q′ X 3 , x3 Q dX ˆ e3 dS P X ds dx P′ x O ˆ e1 ˆ e2 X 1 , x1 X 2 , x2 Figura 2-3 Puede escribirse entonces: (ds )2 = dx ⋅ dx = [dx]T ⋅ [dx ] = [F ⋅ dX ]T ⋅ [F ⋅ dX]= dX ⋅ F T ⋅ F ⋅ dX (ds )2 = dxk dxk = Fki dX i Fkj dX j = dX i Fki Fkj dX j = dX i FikT Fkj dX j (2.18) y, alternativamente, N O T A C I Ó N Se utiliza la convención: [(•) ] not −1 T = (•) −T (dS )2 = dX ⋅ dX = [dX ]T ⋅ [dX ] = [F −1 ⋅ dx] ⋅ [F −1 ⋅ dx ] = dx ⋅ F −T ⋅ F −1 ⋅ dx (dS )2 = dX k dX k = Fki−1 dxi Fkj−1 dx j = dxi Fki−1 Fkj−1dx j = dxi Fik−T Fkj−1dx j T not (2.19) 2.4.1 Tensor material de deformación (tensor de deformación de Green-Lagrange) Restando las expresiones (2.18) y (2.19) se obtiene: © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 54. 31 2 Descripción de la deformación (ds )2 − (dS )2 = dX ⋅ F T ⋅ F ⋅ dX − dX ⋅ dX = dX ⋅ F T ⋅ F ⋅ dX − dX ⋅ 1 ⋅ dX = = d X ⋅ ( F T ⋅ F − 1) ⋅ d X = 2 d X ⋅ E ⋅ d X #%%! (2.20) def = 2E La ecuación (2.20) define implícitamente el denominado tensor material de deformación o tensor de deformación de Green-Lagrange como: 1 T  Tensor material E( X, t ) = 2 (F ⋅ F − 1)  de deformació n →  E ( X, t ) = 1 ( F F − δ ) i, j ∈{1,2,3} (Green - Lagrange) ki kj ij  ij 2  (2.21) Observación 2-3 El tensor material de deformación E es simétrico. La demostración se obtiene directamente de la ecuación (2.21) observando que: 1 T 1 T  T 1 T T T T T E = (F ⋅ F − 1) = (F ⋅ (F ) − 1 ) = (F ⋅ F − 1) = E 2 2 2  E ij = E ji i, j ∈{1,2,3}  2.4.2 Tensor espacial de deformación (tensor de deformación de Almansi) Restando de forma alternativa las expresiones (2.18) y (2.19) se obtiene: (ds )2 − (dS )2 = dx ⋅ dx − dx ⋅ F −T ⋅ F −1 ⋅ dx = dx ⋅ 1 ⋅ dx − dx ⋅ F −T ⋅ F −1 ⋅ dx −T −1 = dx ⋅ (1 %F%% ) ⋅ dx = 2 dx ⋅ e ⋅ dx # −% ⋅ F ! (2.22) def = 2e La ecuación (2.22) define implícitamente el denominado tensor espacial de deformación o tensor de deformación de Almansi como:  ( , ) = 1 ( − −T ⋅ −1 ) Tensor espacial F e x t 2 1 F  de deformación →  e (x, t ) = 1 (δ − F −1 F −1 ) i, j ∈{1, 2,3} (Almansi) ij ki kj  ij  2 © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (2.23)
  • 55. 32 2 Descripción de la deformación Observación 2-4 El tensor espacial de deformación e es simétrico. La demostración se obtiene directamente de la ecuación (2.23) observando que: 1 T  T 1 −T −1 T −1 T −T T e = 2 (1 − F ⋅ F ) = 2 (1 − (F ) ⋅ (F ) ) =  1  −T −1  = (1 − F ⋅ F ) = e 2  eij = e ji i, j ∈{1,2,3}   Observación 2-5 Los tensores material E y espacial e de deformación son tensores distintos y no se trata de la descripción material y espacial de un mismo tensor de deformación. Las expresiones (2.20) y (2.22): (ds )2 − (dS )2 = 2 dX ⋅ E ⋅ dX = 2 dx ⋅ e ⋅ dx lo ponen de manifiesto puesto que ambos tensores vienen afectados por distintos vectores ( dX y dx respectivamente). El tensor de deformación de Green-Lagrange viene descrito naturalmente en descripción material ( E( X, t ) ). En la ecuación (2.20) actúa sobre el elemento dX (definido en la configuración material) y de ahí su denominación de tensor material de deformación. Sin embargo, como toda propiedad de medio continuo puede describirse, si es necesario, también en forma espacial ( E(x, t ) ) mediante la adecuada substitución de las ecuaciones de movimiento. Con el tensor de deformación de Almansi ocurre lo contrario: viene descrito naturalmente en forma espacial y en la ecuación (2.22) actúa sobre el vector diferencial (definido en la configuración espacial) dx y de ahí su denominación de tensor espacial de deformación. También puede ser descrito, si es conveniente, en forma material ( e( X, t ) ). Ejemplo 2-2 – Para el movimiento del Ejemplo 2-1, obtener los tensores material y espacial de deformación. 1 2 a) Tensor material de deformación: E = (F T ⋅ F − 1) =  A2 − A2  1 0 − A  1 0 − A 1 0 0  1  1 1 =  0 A  ⋅  0 1 − A − 0 1 0  = − A 2 A2       2  2 − 2 A 0        − A − A 1  − A A 1  0 0 1    © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 − 2 A  0  2 A2  
  • 56. 33 2 Descripción de la deformación 1 2 b) Tensor espacial de deformación: e = (1 − F −T ⋅ F −1 ) = 1 0 0 1 + A 2 A2 1   = 0 1 0 −  − A 2 1 − A 2  2 0 0 1   A A     − 3 A 2 − 2 A 4 1 2 =  A + 2 A4 2  − 2 A − 2 A3  A  1 + A 2 − A 2   1 − A2 − A ⋅  A 2 1   A −A   A2 + 2 A4 A2 − 2 A4 2 A3 A   A  = 1   − 2 A − 2 A3   2 A3  − 2 A2   (Obsérvese que E ≠ e ). 2.4.3 Expresión de los tensores de deformación en términos de los (gradientes de los) desplazamientos Substituyendo las expresiones (2.12) ( F = 1 + J ) y (2.15) ( F −1 = 1 − j ) en las ecuaciones (2.21) y (2.23) se obtienen las expresiones de los tensores de deformación en función del gradiente material, J ( X, t ) , y espacial, j( x, t ) , de los desplazamientos: [ ] [ ] 1 1  T T T E = 2 (1 + J ) ⋅ (1 + J ) − 1 = 2 J + J + J ⋅ J  E( X, t ) →   ∂U j ∂U k ∂U k  E ij = 1  ∂U i + +  i, j ∈{1, 2,3}  2  ∂X j ∂X i ∂X i ∂X j     [ ] [ (2.24) ] 1  1 T T T e = 2 1 − (1 − j ) ⋅ (1 − j) = 2 j + j − j ⋅ j  e( x, t ) →    ∂u eij = 1  ∂u i + j − ∂u k ∂u k  i, j ∈{1, 2,3}  2  ∂x j ∂x i ∂x i ∂x j     (2.25) 2.5 Variación de las distancias: Estiramiento. Alargamiento unitario Consideremos ahora una partícula P en la configuración de referencia y otra partícula Q , situada en un entorno diferencial de P, ver Figura 2-4. Las correspondientes posiciones en la configuración actual vienen dadas por los puntos del espacio P ' y Q ' de tal forma que las distancia entre ambas partículas en la configuración de referencia, dS , se transforma en ds en el instante actual. Sean T y t sendos vectores unitarios en las direcciones PQ y P ′Q ′ , respectivamente. © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 57. 2 Descripción de la deformación 34 Definición: Estiramiento: en el punto material P (o en el punto espacial P ′ ) en la dirección material T (o en la dirección espacial t ) es la longitud del segmento diferencial deformado P ′Q ′ por unidad de longitud del segmento diferencial original PQ . t0 X3 P t dX dS Q P´ T X dx ds x Q´ t X2 X1 Figura 2-4 – Estiramiento y alargamiento unitario La traducción a lenguaje matemático de la anterior definición es: def Estiramien to N O T A C I Ó N Frecuentemente se prescindirá de los subíndices (•) T o (•) t al referirse a los estiramientos o alargamientos unitarios. Téngase bien presente, sin embargo, que siempre están asociados a una dirección determinada. = λT = λt = P´Q´ ds = PQ dS (0 λ ∞ ) (2.26) Definición: Alargamiento unitario: en el punto material P (o en el punto espacial P ′ ) en la dirección material T (o en la dirección espacial t ) es el incremento de longitud del segmento diferencial deformado P`Q` por unidad de longitud del segmento diferencial original PQ . y la correspondiente definición matemática: Alargamiento unitario def = εT = εt = ∆ PQ PQ = ds − dS dS (2.27) Las ecuaciones (2.26) y (2.27) permite relacionar inmediatamente los valores del alargamiento unitario y del estiramiento para un mismo punto y dirección como: ε= ds − dS ds = −1 = λ −1 dS dS $ λ ( ⇒ −1 ε ∞) © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (2.28)
  • 58. 2 Descripción de la deformación 35 Observación 2-6 • Si λ = 1 (ε = 0) ⇒ ds = dS : Las partículas P y Q pueden haberse movido relativamente con el tiempo, pero sin aumentar ni disminuir la distancia entre ellas. • Si λ 1 (ε 0) ⇒ ds dS : La distancia entre las partículas P y Q se ha alargado con la deformación del medio. • Si λ 1 (ε 0) ⇒ ds dS : La distancia entre las partículas P y Q se ha acortado con la deformación del medio. 2.5.1 Estiramientos, alargamientos unitarios y los tensores de deformación Considerando las ecuaciones (2.20) y (2.22) y las expresiones geométricas dX = T dS y dx = t ds , ver Figura 2-4, se puede escribir: (ds )2 − (dS )2 = 2 dX ⋅ E ⋅ dX = 2(dS )2 T ⋅ E ⋅ T $ $  dS T dS T   2 2 2 (ds ) − (dS ) = 2 dx ⋅ e ⋅ dx = 2(ds ) t ⋅ e ⋅ t $ $  ds t ds t  (2.29) y dividiendo ambas ecuaciones por (dS ) 2 y (ds ) 2 , respectivamente, se obtiene: 2 ds ( ) − 1 = λ2 − 1 = 2 T ⋅ E ⋅ T ⇒ dS $ λ 2 1− ( dS ) = 1 − (1 / λ) 2 = 2 t ⋅ e ⋅ t ⇒ ds $ 1/ λ λ = 1 + 2 T ⋅ E ⋅ T   ε = λ − 1 = 1 + 2 T ⋅ E ⋅ T − 1  (2.30) 1  λ = 1− 2t⋅e⋅t   1 ε = λ − 1 = −1  1− 2t ⋅e ⋅ t  (2.31) expresiones que permiten calcular el alargamiento unitario y el estiramiento según una dirección (material, T o espacial, t ) determinada. Observación 2-7 Los tensores material y espacial de deformación E( X, t ) y e( x, t ) contienen información sobre los estiramientos (y los alargamientos unitarios) para cualquier dirección en un entorno diferencial de un partícula dada, tal como ponen de manifiesto las ecuaciones (2.30) y (2.31). © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 59. 2 Descripción de la deformación 36 Ejemplo 2-3 – El tensor espacial de deformación para un cierto movimiento es:  0 0 − te tz    0 0 e(x, t ) =  0  − te tz 0 t (2e tz − e t )    Calcular la longitud, en el instante t = 0 del segmento que en el instante t = 2 es rectilíneo y une los puntos a ≡ (0,0,0) y b ≡ (1,1,1) . Se conoce la forma y posición geométrica del segmento material en el instante t = 2 . En el instante t = 0 (instante de referencia) el segmento no es necesariamente rectilíneo y no se conocen las posiciones de sus extremos A y B (ver Figura 2-5). Para conocer su longitud hay que aplicar la ecuación (2.31): λ= 1 1− 2t ⋅e⋅t = t=0 z ds dS ⇒ dS = 1 ds λ t =2 z B ds dS t b(1,1,1) A a(0,0,0) y y x x Figura 2-5 para un vector de dirección en la configuración espacial t de valor: t= 1 3 [1, 1, 1]T obteniéndose:  0 0 − te tz  1 1   0 t ⋅e⋅t = [1 1 1]⋅  0 0   ⋅ 1 3 − te tz 0 t ( 2e tz − e t ) 1    1 1 ⇒ λ= ⇒ λ t =2 = = 2 t 4 2 1 + te 1+ e 3 3 B b1 1 b 1 1 3 ⇒ ⇒ l AB = ∫ dS = ∫ ds = ∫ ds = l ab = A aλ a λ$ λ λ lab 1 1 = − te t 3 3 3 3 + 4e 2 l AB = 3 + 4e 2 2.6 Variación de ángulos Consideremos ahora una partícula P y otras dos partículas Q y R , situadas en un entorno diferencial de P en la configuración material, ver Figura 2-6, y las © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 60. 37 2 Descripción de la deformación mismas partículas ocupando las posiciones espaciales P ' , Q ' y R ' . Se plantea ahora la relación entre los ángulos que forman los correspondientes segmentos diferenciales en la configuración de referencia (ángulo Θ ), y en la configuración actual (ángulo θ ). A partir de las ecuaciones (2.2)y (2.6), aplicadas a los vectores diferenciales que separan las partículas puede escribirse, (1)  (1)  dx = F ⋅ dX  (2 )  dx = F ⋅ dX ( 2 )  −1 (1)  (1) dX = F ⋅ dx ⇒  () dX 2 = F −1 ⋅ dx (2 )  (2.32) y por la propia definición de los vectores unitarios T (1) , T (2 ) , t (1 ) y t (2 ) que definen las correspondientes direcciones en la Figura 2-6: (1) (1)  (1) dX = dS T  (2 ) dX = dS (2 ) T (2 )  (1) (1)  (1) dx = ds t  (2 ) dx = ds (2 ) t (2 )  (2.33) t t0 T (2 ) X3 t (2 ) R (2 ) dS P Θ T (1) dS (1) Q X R´ ds (2 ) θ P´ ds (1 ) Q´ t (1 ) x X2 Figura 2-6 X1 y, finalmente, por la definición (2.26) de los correspondientes estiramientos:  (1) 1 (1 ) dS = λ(1) ds ds (1) = λ(1 ) dS (1)    (2 ) (2 ) (2 ) ⇒  ds = λ dS dS (2 ) = 1 ds (2 )   λ(2 )  (2.34) Planteando ahora el producto escalar de los vectores dx (1) ⋅ dx (2 ) : [ ] ⋅ [dx ( ) ]= ds (1) ds (2 ) cos θ = dx (1 ) ⋅ dx (2 ) cos θ = dx (1 ) ⋅ dx (2 ) = dx (1) [ = F ⋅ dX (1 ) = dS (1) (1 ) T 2 F F ] ⋅ [F ⋅ dX ( ) ]= dX ( ) ⋅ (#⋅!)⋅ dX ( ) = T 2 T 1 2 2E+1 T ⋅ (2E + 1) ⋅ T (2 ) (2 ) 1 (1) (1 ) = (1) ds T ⋅ ( 2E + 1) ⋅ T λ 1 1 = ds (1 ) ds (2 ) (1) (2 ) T (1) ⋅ ( 2E + 1) ⋅ T (2 ) λ λ dS (2 ) 1 λ(2 ) ds (2 ) = y comparando los términos inicial y final de la ecuación (2.35) se obtiene: © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (2.35)
  • 61. 2 Descripción de la deformación 38 cos θ = T (1) ⋅ (1 + 2E) ⋅ T (2 ) λ(1) λ(2 ) (2.36) donde los estiramientos λ(1) y λ(2 ) pueden obtenerse aplicando la expresión (2.30) a las direcciones T (1) y T (2 ) llegándose a: cos θ = T (1 ) ⋅ (1 + 2E) ⋅ T (2 ) 1 + 2 T (1) ⋅ E ⋅ T (1) (2.37) 1 + 2 T (2 ) ⋅ E ⋅ T (2 ) De un modo análogo, operando en la configuración de referencia, puede obtenerse el ángulo Θ entre los segmentos diferenciales dX (1) y dX ( 2 ) (en función de t (1 ) , t (2 ) y e ) como: cos Θ = t (1) ⋅ (1 − 2e ) ⋅ t (2 ) 1 − 2 t (1) ⋅ e ⋅ t (1 ) (2.38) 1 − 2 t (2 ) ⋅ e ⋅ t (2 ) Observación 2-8 De forma similar a lo comentado en la Observación 2-7 los tensores material y espacial de deformación, E( X, t ) y e( x, t ) , también contienen información sobre las variaciones de los ángulos entre segmentos diferenciales, en el entorno de una partícula, durante el proceso de deformación. Estos hechos serán la base para proporcionar una interpretación física de las componentes de los tensores de deformación en el apartado 2.7 . 2.7 Interpretación física de los tensores de deformación 2.7.1 Tensor material de deformación Considérese un segmento PQ , orientado paralelamente al eje X 1 en la configuración de referencia (ver Figura 2-7). Antes de la deformación PQ tiene una longitud conocida dS = dX . X 3 ,Z t0 dS T P dX Q T (1) ˆ = e1 X 2 ,Y X1, X Figura 2-7 © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (1) 1   ≡ 0 0   dS    dX ≡  0  0  
  • 62. 2 Descripción de la deformación 39 Se pretende conocer la longitud de P´Q´ después de la deformación. Para ello consideremos el tensor material de deformación E dado por sus componentes:  E XX E =  E XY   E XZ  E XY EYY EYZ E XZ   E11 EYZ  =  E12   E ZZ   E13   E12 E 22 E 23 E13  E 23   E 33   (2.39) En consecuencia: T ⋅ E ⋅ T = [T] T  E11 ⋅ [E]⋅ T = [1 0 0]⋅  E12   E13  E12 E 22 E 23 E13  1 E 23  ⋅ 0 = E11    E 33  0    (2.40) El estiramiento en la dirección material X 1 puede obtenerse ahora sustituyendo el valor T ⋅ E ⋅ T en la expresión del estiramiento (2.30), obteniéndose: λ1 = 1 + 2 E11 . De modo análogo se pueden considerar segmentos orientados en las direcciones X 2 ≡ Y y X 3 ≡ Z y obtener los valores λ 2 y λ 3 , resultando: λ 1 = 1 + 2 E11 = 1 + 2 E XX ⇒ ε X = λ X − 1 = 1 + 2 E XX − 1 λ 2 = 1 + 2 E 22 = 1 + 2 EYY ⇒ ε Y = λ Y − 1 = 1 + 2 EYY − 1 λ 3 = 1 + 2 E 33 = 1 + 2 E ZZ ⇒ ε Z = λ Z − 1 = 1 + 2 E ZZ − 1 (2.41) Observación 2-9 En las componentes E XX , EYY y E ZZ (o E11 , E 22 y E 33 ) de la diagonal principal del tensor E (denominadas deformaciones longitudinales) está contenida la información sobre el estiramiento y los alargamientos unitarios de segmentos diferenciales inicialmente (en la configuración de referencia) orientados en direcciones X , Y y Z . • Si E XX = 0 ⇒ ε X = 0 ⇒ No hay alargamiento en la dirección X . • Si EYY = 0 ⇒ ε Y = 0 ⇒ No hay alargamiento en la dirección Y . • Si E ZZ = 0 ⇒ ε Z = 0 ⇒ No hay alargamiento en la dirección Z . Consideremos ahora el ángulo entre los segmentos PQ (paralelo al eje X 1 ) y PR , (paralelo al eje X 2 ) siendo Q y R , dos partículas del entorno diferencial de P en la configuración de material y P ′, Q ′ y R ′ las respectivas posiciones π ) entre 2 los segmentos en la configuración de referencia es posible conocer el ángulo θ en la configuración espacial(ver Figura 2-8). Conocido el ángulo ( Θ = en la configuración actual, utilizando la expresión (2.37) y teniendo en cuenta la ortogonalidad de ambos ( T (1 ) ⋅ T (2 ) = 0 ) y las igualdades T (1 ) ⋅ E ⋅ T (1 ) = E11 , T (2 ) ⋅ E ⋅ T (2 ) = E 22 y T (1 ) ⋅ E ⋅ T (2 ) = E12 , © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 63. 2 Descripción de la deformación 40 cos θ = T (1) ⋅ (1 + 2E)⋅ T (2 ) 1 + 2 T (1) ⋅ E ⋅ T (1 ) o lo que es lo mismo: θ ≡ θ xy = 1 + 2 T (2 ) ⋅ E ⋅ T (2 ) = 2 E12 1 + 2 E 11 (2.42) 1 + 2 E 22 2 E XY π − arcsin 2 1 + 2 E XX 1 + 2 E YY (2.43) y el incremento del ángulo final respecto a su valor inicial resulta: 2 E XY ∆Θ XY = θ xy − Θ XY = −arcsin $ 1 + 2 E XX 1 + 2 E YY π 2 X3, Z t0 t P Q T T (2 ) R P´ π2 (1 ) R´ θ = θ xy Q´ T (2.44) (1 ) T (2 ) 1   = 0 0   0   = 1  0   X 2 ,Y Figura 2-8 X1, X Resultados análogos se obtienen partiendo de pares de segmentos orientados según las distintos ejes de coordenadas llegándose a: ∆Θ XY = − arcsin 2 E XY 1 + 2 EXX 1 + 2 EYY ∆Θ XZ = − arcsin 2 E XZ 1 + 2 EXX 1 + 2 EZZ ∆ΘYZ = −arcsin 2 EYZ 1 + 2 EYY 1 + 2 EZZ Observación 2-10 En las componentes E XY , E XZ y EYZ (o E12 , E13 y E 23 ) del tensor E (denominadas deformaciones transversales) está contenida la información sobre la variación de los ángulos entre segmentos diferenciales inicialmente (en la configuración material) orientados en las direcciones X , Y y Z . • Si E XY = 0 ⇒ La deformación no produce variación del ángulo de dos segmentos inicialmente situados en las direcciones X e Y . • Si E XZ = 0 ⇒ La deformación no produce variación del ángulo de dos segmentos inicialmente situados en las direcciones X y Z . • Si EYZ = 0 ⇒ La deformación no produce variación del ángulo de dos segmentos inicialmente situados en las direcciones Y y Z . © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (2.45)
  • 64. 41 2 Descripción de la deformación En la Figura 2-9 se presenta la interpretación física de las componentes del tensor material de deformación sobre un paralelepípedo elemental en el entorno de una partícula P con aristas orientadas según los ejes coordenados. t F t0 dx (3 ) X3, Z S dX dX P´ (3 ) (1) P 1 + 2 E XX dX S´ dX (2 ) Q´ 2 θ yz dx ( ) θ xz θ xy dx (1) Q 1 + 2 EZZ dZ ˆ e3 X 2 ,Y R R´ 1 + 2 EYY dY ˆ e2 ˆ e1 ∆Θ ∆Θ X1, X XY XZ = − arcsin = −arcsin ∆Θ = − arcsin YZ 2 E XY 1 + 2 E XX 1 + 2 EYY 2 E XZ 1 + 2 E XX 1 + 2 E ZZ 2 EYZ 1 + 2 EYY 1 + 2 E ZZ Figura 2-9 – Interpretación física del tensor material de deformación 2.7.2 Tensor espacial de deformación Argumentos parecidos a los de la sección 2.7.1 permiten interpretar a su vez las componentes del tensor espacial deformación: e xx  e ≡ e xy e xz  e xz  e11  e yz  = e12  e zz  e13   e xy e yy e yz e12 e 22 e23 e13  e 23   e33   (2.46) Las componentes de la diagonal principal (deformaciones longitudinales) pueden interpretarse en función de los estiramientos y alargamientos unitarios de segmentos diferenciales orientados según los ejes coordenados en la configuración actual o deformada: λ1 = λ2 = λ3 = 1 1 − 2e11 1 1 − 2e 22 1 1 − 2e33 = = = 1 1 − 2e xx 1 1 − 2e yy 1 1 − 2e zz ⇒ εx = ⇒ εy = ⇒ εz = 1 1 − 2e xx 1 1 − 2e yy 1 1 − 2e zz −1 −1 (2.47) −1 mientras que las componentes de fuera de la diagonal principal (deformaciones transversales) contienen información sobre la variación de ángulos entre © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 65. 2 Descripción de la deformación 42 segmentos diferenciales orientados según los ejes coordenados en la configuración actual o deformada: ∆θ xy = 2e xy π − Θ XY = − arcsin 2 1 − 2 e xx 1 − 2 e yy ∆θ xz = 2e xz π − Θ XZ = − arcsin 2 1 − 2 e xx 1 − 2 e zz ∆θ yz = 2e yz π − Θ YZ = − arcsin 2 1 − 2 e yy 1 − 2 e zz (2.48) El resumen de la correspondiente interpretación física se presenta en la Figura 2-10: 1 − 2e xx dx t0 F −1 S dX (3 ) P Θ XZ t (2 ) ΘYZ dX S′ R 1 − 2e zz dz Θ XY dX ∆θ ∆θ xy xz yz dx ( 3) dx ( 2 ) dx (1) P ′ (1) 1 − 2e yy dy = − arcsin = − arcsin = − arcsin ˆ e1 2e xy 1 − 2 exx 1 − 2eyy ˆ e2 x2,y x1 , x 2e xz 1 − 2exx R′ Q′ ˆ e3 Q ∆θ x3 ,z 1 − 2ezz 2e yz 1 − 2eyy 1 − 2 ezz Figura 2-10 – Interpretación física del tensor espacial de deformación 2.8 Descomposición polar R E C O R D A T O R I O Un tensor de segundo orden Q es ortogonal si se verifica: Q T ⋅ Q = Q ⋅ QT = 1 El teorema de descomposición polar del análisis tensorial establece que dado un tensor de segundo orden F tal que F 0 , existen un tensor ortogonal Q , y dos tensores simétricos U y V :   not   V = F ⋅ FT   −1 −1 Q = F ⋅ U = V ⋅ F   not U = FT ⋅ F ⇒ F =Q⋅U = V⋅Q (2.49) La descomposición (2.49) es única para cada tensor F y se denomina descomposición polar por la izquierda ( F = Q ⋅ U ) o descomposición polar por la derecha ( F = V ⋅ Q ) y a los tensores U y V tensores derecho e izquierdo de estiramiento, respectivamente. © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 66. 43 2 Descripción de la deformación N O T A Para obtener la raíz cuadrada de un tensor se procede a diagonalizar el tensor, se obtiene la raíz cuadrada de los elementos de la diagonal de la matriz de componentes diagonalizada y se deshace la diagonalización. Observación 2-11 Un tensor ortogonal Q recibe el nombre de tensor de rotación y a la aplicación y = Q ⋅ x se la denomina rotación. Una rotación tiene las siguientes propiedades: • Cuando se aplica a cualquier vector x , el resultado es un vector y = Q ⋅ x del mismo módulo: y 2 = y ⋅ y = [y ] ⋅ [y ] = [Q ⋅ x ] ⋅ [Q ⋅ x] = x ⋅ Q T ⋅! ⋅ x = x ⋅ x = x # Q T T 2 1 • El resultado de multiplicar (aplicar) el tensor ortogonal Q a dos vectores x (1) y x ( 2 ) con el mismo origen y que forman entre sí un ángulo α , mantiene el mismo ángulo entre las imágenes ( y (1) = Q ⋅ x (1) e y ( 2 ) = Q ⋅ x ( 2 ) ): y (1) ⋅ y ( 2 ) y (1) y ( 2 ) = x (1) ⋅ QT ⋅ Q ⋅ x ( 2 ) y (1) y ( 2 ) = x (1) ⋅ x ( 2 ) x (1) x ( 2 ) = cos α En consecuencia la aplicación (rotación) y = Q ⋅ x mantiene los ángulos y las distancias. Considerando ahora el tensor gradiente de la deformación y la relación fundamental (2.2) ( dx = F ⋅ dX ) y la descomposición polar (2.49) se obtiene: N O T A C I O N Se utiliza aquí la notación ( ) ) para indicar la composición de dos aplicaciones ξyϕ: z = ϕ ) ξ (x) deformació n (% '%% % rotación ( ' dx = F ⋅ dX = (V ⋅ Q ) ⋅ dX = V ⋅ ( Q ⋅ dX ) (2.50) not F(•) ≡ deformació n ) rotación (•) (%rotación% % '% % % deformació n ( ' dx = F ⋅ dX = (Q ⋅ U ) ⋅ dX = Q ⋅ ( U ⋅ dX ) F(•) ≡ rotación ) deformació n (•) Observación 2-12 Las ecuaciones (2.50) establecen que el movimiento relativo en el entorno de una partícula durante el proceso de deformación (caracterizado por el tensor F ) puede entenderse como la composición de una rotación (caracterizada por el tensor de rotación Q , que mantiene ángulos y distancias) y una deformación propiamente dicha (que modifica ángulos y distancias) caracterizada por el tensor V (ver Figura 2-11). © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (2.51)
  • 67. 2 Descripción de la deformación 44 Observación 2-13 • Alternativamente las ecuaciones (2.51) permiten caracterizar el movimiento relativo en el entorno de una partícula durante el proceso de deformación como la superposición de una deformación propiamente dicha (caracterizada por el tensor U ) y una rotación (caracterizada por el tensor de rotación Q ). • Un movimiento de sólido rígido es un caso particular de deformación caracterizado por U = V = 1 y Q = F . F X3 t0 Q ⋅ dX P' P Rotación dX t dX Rotación ˆ e3 ˆ e1 Deformación dx = V ⋅ Q ⋅ dX dx = Q ⋅ V ⋅ dX ˆ e2 X2 V ⋅ dX P' Deformación X1 F dX Figura 2-11 – Descomposición polar 2.9 Variación de volumen Consideremos una partícula P del medio continuo en la configuración de referencia, ( t = 0 ) que tiene asociado un volumen diferencial dV0 (ver Figura 212) que queda caracterizado mediante las posiciones de otras tres partículas Q , R y S de su entorno diferencial, alineadas con P según tres direcciones arbitrarias. El diferencial de volumen dVt , asociado a la misma partícula en la configuración actual (a tiempo t ), quedará asimismo caracterizado por las correspondientes puntos espaciales P ′ , Q ′ , R ′ y S ′ de la figura (cuyas posiciones configurarán un paralelepípedo que ya no está orientado según los ejes coordenados como ocurre en la configuración material). Sean dX (1) , dX ( 2 ) y dX (3) los vectores de posición relativos entre partículas en la configuración material, y dx (1) = F ⋅ dX (1) , dx ( 2 ) = F ⋅ dX ( 2 ) y dx (3) = F ⋅ dX (3) sus homólogos en la configuración espacial. Evidentemente se cumplen las relaciones: © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002
  • 68. 45 2 Descripción de la deformación  dx ( i ) = F ⋅ dX ( i )   (i ) (i ) dx j = F jk ⋅ dX k  R E C O R D A T O R I O El volumen de un paralelepípedo puede calcularse como el producto mixto (a × b) ⋅ c de los vectores-arista a , b y c que concurren en cualquiera de sus vértices. Por otra parte, el producto mixto de tres vectores es el determinante de la matriz constituida por las componentes de dichos vectores ordenadas en filas (2.52) i, j, k ∈{1,2,3} Los volúmenes asociados a la partícula en ambas configuraciones pueden escribirse como: ( ) dV0 = dX (1) × dX (2 ) ⋅ dX (3) ( dVt = dx (1) × dx (2 ) )⋅ dx (3 ) ( (  dX 1(1) dX 21) dX 31)   (2 ) ( (  = det dX 1 dX 22 ) dX 32 )  = M ( (  dX 1(3 ) dX 23 ) dX 33 )   #%%% %%%% % ! [M ]  dx (1) = dx (1) ( dx 31)   dx 3 =m (3 )  dx 3 #%%% %%%%  % ! [m ] 1  ( det dx1 2 )  dx (3 )  1 M ij = dX (ji ) 2 ( dx 22 ) ( dx 23 ) mij = dx (ji ) t X 3 , x3 S′ F t0 dV0 P´ S dX (1) P (2.53) (2 ) dx (3 ) R´ dx(2 ) dx(1) dX(3 ) ˆ e3 R dX(2 ) Q ˆ e1 Q´ dVt ˆ e2 X 2 , x2 X 1 , x1 Figura 2-12 – Variación de un elemento diferencial de volumen Por otro lado, considerando las expresiones (2.52) y (2.53) puede escribirse: T mij = dx (ji ) = F jk dX k(i ) = F jk M ik = M ik Fkj ⇒ m = M ⋅ FT (2.54) y, en consecuencia: N O T A Se utilizan aquí las expresiones: A⋅B = A B y AT = A    ⇒ 0  dVt = dV ( x( X, t ), t ) = F ( X, t ) dV ( X,0) = F t dV 0   dVt = m = M ⋅ F T = M F T = F M = F dV 0 $ dV © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 dVt = F t dV0 (2.55)
  • 69. 2 Descripción de la deformación 46 2.10 Variación del área Consideremos ahora el diferencial de área dA asociado a una partícula P en la configuración de referencia y su variación a lo largo del tiempo. Para definir dicho diferencial de área, consideraremos dos partículas Q y R del entorno diferencial de P , cuyas posiciones relativas respecto a la misma son dX (1) y dX (2 ) (ver Figura 2-13). Consideremos también una partícula auxiliar cualquiera S y su vector de posición relativo dX (3 ) . Asociado al escalar diferencial de área, dA , definiremos el vector diferencial de área dA = dA N cuyo módulo es dA y cuya dirección es la de la normal N . En la configuración actual, en el tiempo t , la partícula ocupará un punto espacial P ′ , y tendrá asociado un diferencial de área da que, a su vez, define un vector diferencial de área da = da n , donde n es la correspondiente normal. Consideremos también las posiciones de las demás partículas Q ′ y R ′ y S ′ y sus vectores de posición relativos dx (1) , dx (2 ) y dx (3 ) . n t0 X 3 , x3 N . dA dh P´ dX(3 ) 2 ( ) P dX R dX(1) ˆ e3 ˆ e1 Q da = n da S´ dx (3) dx ( 2) F dA = N dA S dH . t dx (1) ˆ e2 R´ da Q´ X 2 , x2 X 1 , x1 Figura 2-13 – Variación del área Los volúmenes dV0 y dVt de los respectivos paralelepípedos podrán calcularse como: dV0 = dH dA = d%(3 ) % dA = dX (3 ) ⋅ N dA = dA ⋅ dX (3 ) X N # ⋅! $ dH dA (3 ) dVt = dh da = dx! da = dx (3 ) ⋅ n da = da ⋅ dx (3 ) # % % ⋅n $ dh da N O T A Se tiene en cuenta aquí el siguiente teorema del álgebra tensorial: dados dos vectores a y b , si se cumple que a ⋅ x = b ⋅ x para todo vector x ⇒ a = b . (2.56) y teniendo en cuenta que dx (3) = F ⋅ dX (3 ) , así como la ecuación de cambio de volumen (2.55), puede escribirse: da ⋅ F ⋅ dX (3 ) = da ⋅ dx (3 ) = dVt = F dV 0 = F dA ⋅ dX (3 ) ∀dX (3 ) (2.57) Comparando el primer y último término de (2.57), y teniendo en cuenta que la posición relativa de la partícula S es cualquiera ( y por tanto también lo es el vector dX ( 3) ), se llega finalmente a: da ⋅ F = F dA ⇒ da = F dA ⋅ F −1 © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (2.58)
  • 70. 2 Descripción de la deformación 47 Para obtener una relación entre los escalares diferencial de área dA y da se sustituyen las expresiones dA = N dA y da = n da en la ecuación (2.58) y se toman módulos: da n = F N ⋅ F −1 dA ⇒ da = F N ⋅ F −1 dA (2.59) 2.11 Deformación infinitesimal La teoría de la deformación infinitesimal (también denominada teoría de pequeñas deformaciones) se basa en dos hipótesis simplificativas sobre la teoría general (o de deformación finita) vista en apartados anteriores (ver Figura 2-14). Hipótesis: 1) Los desplazamientos son muy pequeños frente a las dimensiones típicas del medio continuo ( u X ). 2) Los gradientes de los desplazamientos son muy pequeños (infinitesimales). t t0 u P′ P X3,Z X x ˆ e2 X 2 ,Y ˆ e3 ˆ e1 X1, X Figura 2-14 En virtud de la primera hipótesis las configuraciones de referencia, Ω 0 y actual, Ω t , están muy próximas entre sí y se consideran indistinguibles una de otra. En consecuencia, las coordenadas materiales y espaciales coinciden y ya no tiene sentido hablar de descripciones material y espacial: not  x = X + u ≅ X U(X, t ) = u(X, t ) ≡ u(x, t ) ⇒  not  xi = X i + u i ≅ X i U i (X, t ) = u i (X, t ) ≡ u i (x, t ) i ∈{1,2,3}  (2.60) La segunda hipótesis puede escribirse matemáticamente como: ∂u i 1, ∂x j ∀i, j ∈{1, 2,3} © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (2.61)
  • 71. 2 Descripción de la deformación 48 2.11.1 Tensores de deformación. Tensor de deformación infinitesimal Los tensores gradiente material y gradiente espacial de los desplazamientos coinciden. En efecto, a la vista de la ecuación (2.60): ∂U i x j = X j ∂u = J ij ⇒ j = J ⇒ jij = i =  ∂x j ∂X j u i (x, t ) = U i ( X, t ) (2.62) y el tensor material de deformación resulta ser: ( ) ( ) 1 1  T T T E = 2 J + J + J J ≅ 2 J + J   E = 1  ∂u i + ∂u j + ∂u k ∂u k  ≅ 1  ∂u i + ∂u j     ij 2  ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j  2  ∂x j ∂x i    # %  % !  1      (2.63) donde se ha tenido en cuenta el carácter de infinitésimo de segundo orden del término ∂u k ∂u k . Operando similarmente con el tensor espacial de ∂xi ∂x j deformación: ( ) ( ) ( ) 1 1  1 T T T T e = 2 j + j − j j ≅ 2 j + j = 2 J + J    ∂u j ∂u k ∂u k  1  ∂u i ∂u j  1  ∂u ≅   eij =  i + + − 2  ∂x j ∂x i ∂x i ∂x j  2  ∂x j ∂x i      # %  % !  1  N O T A C I Ó N Se define el operador gradiente simétrico ∇ s mediante: ∇ s (•) = 1 [(•) ⊗ ∇ + ∇ ⊗ (•)] 2 (2.64) Las ecuaciones (2.63) y (2.64) permiten definir el tensor de deformación infinitesimal (o tensor de pequeñas deformaciones) ε : ( ) not 1  T s ε = 2 J + J = ∇ u  deformació n →   ∂u  ε ij = 1  ∂u i + j  infinitesi mal  2  ∂x j ∂x i     Tensor de Observación 2-14 Bajo la hipótesis de deformación infinitesimal los tensores material y espacial de deformación coinciden y colapsan en el tensor de deformación infinitesimal. E(x, t ) = e( x, t ) = ε (x, t ) © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002 (2.65)
  • 72. 2 Descripción de la deformación 49 Observación 2-15 El tensor de deformación infinitesimal es simétrico, tal como se observa de su definición en la ecuación (2.65): εΤ = ( 1 J + JT 2 ) T = ( ) 1 J + JT = ε 2 Observación 2-16 Las componentes del tensor infinitesimal de deformación ε son infinitésimos ( ε ij 1 ). La demostración es evidente a partir de la ecuación (2.65) y la condición de infinitésimo de las componentes de J = j (ver ecuación (2.61)). Ejemplo 2-4 – Para el movimiento del Ejemplo 2-1, determinar bajo qué condiciones constituye un caso de deformación infinitesimal. Para dicho caso obtener el tensor infinitesimal de deformación. Comparar con el resultado obtenido a partir de los tensores espacial y material de deformación del Ejemplo 2-2 considerando las hipótesis de deformación infinitesimal.  x1 = X 1 − AX 3  a) Las ecuaciones de movimiento vienen dadas por  x 2 = X 2 − AX 3 de las  x = − AX + AX + X 1 2 3  3 cuales se obtiene el campo de desplazamientos: U 1 = − AX 3  . Es evidente que para que U ( X , t ) = x − X ≡  U 2 = − AX 3  U = − AX + AX 1 2  3 los desplazamientos sean infinitesimales debe cumplirse que A sea un infinitésimo ( A 1 ). b) Tensor de deformación: El tensor gradiente de los desplazamientos J ( X, t ) = j(x, t ) vendrá dado por:  − AX 3   ∂ , J = U ⊗ ∇ =  − AX 3    ∂X 1  − AX 1 + AX 2    ∂ , ∂X 2 0 − A  0 ∂   0 − A = 0  ∂X 3    − A A 0    y el tensor infinitesimal de deformación, de acuerdo con la ecuación (2.65), será:  0 0 − A ε=∇ U= 0 0 0    − A 0 0    s c) Tensores material y espacial de deformación: En el Ejemplo 2-2 los tensores material y espacial de deformación resultan ser, respectivamente: © Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002