1. MODUL VIII
NILAI EGIEN DAN
VEKTOR EIGEN
Prayudi STT
PLN
1

2. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen2
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn
dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol  sedemikian rupa
sehingga,
Ax = x
disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang
bersesuaian dengan .
Contoh :
Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari :








18
03
A
yang bersesuaian dengan nilai eigen,  = 3, karena :
























 2
1
3
6
3
2
1
18
03

3. Prayudi STT PLN3
Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)
Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah Ax = x
sebagai,
Ax = Ix
(I – A)x = 0






















































0
...
0
0
0
...
...
............
...
...
...
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
nnnnnn
ij
n
n
n
x
x
x
x
aaaa
a
aaaa
aaaa
aaaa





Agar supaya  menjadi nilai eigen, maka penyelesaian sistem
persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya adalah :
0...
0)det(
1
1
1 



nn
nn
ccc
AI



4. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen4
Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)
Persamaan terakhir adalah polinomial  berderajad n yang
disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai
eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A
(akar-akar polinomial dalam ).
Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen
matrik A adalah :
(1) Bentuk matrik (I – A)
(2) Hitung determinan, det(I – A)=0
(3) Tentukan persamaan karakteristik dari, (I – A) = 0
(4) Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda)
(5) Hitung vektor eigen dari SPL, (I – A)x=0

5. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen5
Contoh
Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A = 





11
53
Jawab
Bentuk, I – A yaitu :
(I – A) = 







11
53


Persamaan karakteristiknya adalah :
det(I – A) = 2 – 2 – 8 = 0
Akar-akar persamaan karakteristiknya
adalah : 1 = 4, dan 2 = –2, dan inilah
nilai eigen matrik A.
Vektor eigen x dari A diperoleh dari :
(I – A)x = 0








11
53








2
1
x
x






0
0
Untuk  = 4, diperoleh SPL








51
51






2
1
x
x






0
0
Solusi SPL diatas adalah :


















1
5
t
t
t5
x
x
2
1
Jadi vektor eigen untuk  = 4,
adalah x = [5,1]. Sedangkan
vektor eigen yang bersesuaian
dengan  = –2 adalah, x = [1,–1].

6. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen6
Contoh
Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A =













313
043
241
Jawab
Bentuk, I – A yaitu :
(I – A) =













313
043
241



Persamaan karakteristiknya adalah :
det(I – A) = 3 – 62 + 11 – 6 = 0
Akar-akar persamaan karakteristiknya
adalah : 1 = 1, 2 = 2, dan 3 = 3
Vektor eigen x dari A diperoleh dari :
(I – A)x = 0













313
043
241



Untuk  = 1, diperoleh SPL













213
033
242





















0
0
0
x
x
x
3
2
1





















0
0
0
x
x
x
3
2
1
Solusi SPL diatas adalah :
































1
1
1
t
t
t
t
x
x
x
3
2
1
Jadi vektor eigen yang
bersesuaian dengan :
 = 1 adalah x = [1,1,1] ;
 = 2 adalah x = [2,3,3] ;
 = 3 adalah x = [1,3,4].

7. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen7
Diagonalisasi
Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P
yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P–1AP adalah matrik
diagonal. Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A.
Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut :
(1). Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen
(2). Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, p1,p2, ... , pn,
(3). Bantuklah matrik P = [p1 p2 … pn] dan hitunglah P–1
(4). Hitung, D = P–1AP dengan diagonal utama, 1, 2, … ,n
Contoh :














313
043
241
A
Vektor eigen dan nilai eigennya :
 = 1 adalah x = [1,1,1] ;
 = 2 adalah x = [2,3,3] ;
 = 3 adalah x = [1,3,4].











431
331
121
P














110
231
353
P 1
D = P–1AP =










300
020
001

8. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen8
Contoh
Carilah nilai eigen, vektor eigen dan matrik
P yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana









 

521
251
222
A
Jawab
Menentukan nilai eigen A dan vektor eigen. Persamaan karakteristik A
diperoleh dari :
det(I – A) = 0
Persamaan karakteristiknya adalah : 3 – 122 + 45 – 54 = 0. dan akar-
akarnya adalah : 1 = 2 = 3, dan 3 = 6. Vektor eigen x dari A diperoleh dari
: (I – A)x = 0
0
521
251
222







Untuk  = 3, SPL-nya





















0
0
0
x
x
x
3
2
1












221
221
221
































1
0
2
s
0
1
2
t
x
x
x
3
2
1
Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen
p1 = [–2 ,1,0]
p2 = [–2 ,0,1]

9. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen9
Untuk  = 6, SPL-nya Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen












121
211
224





















0
0
0
x
x
x
3
2
1
































1
1
1
t
t
t
t
x
x
x
3
2
1
p3 = [–1,1,1]
Matrik P yang mendiagonalisasi A adalah :
P = [p1 p2 p3] =









 
110
101
122













3/23/23/1
3/13/23/1
3/23/13/1
P 1
D = P–1AP =
Matrik diagonal












3/23/23/1
3/13/23/1
3/23/13/1









 
521
251
222









 
110
101
122











600
030
003

10. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen10
Diagonalisasi Ortogonal
Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal
jika terdapat matrik P yang ortogonal sedemikian rupa sehingga, P–1AP
(=PTAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adlah nilai eigen matrik
A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.
Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan berikut ekivalen yakni :
(1). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal,
(2). A matrik simetris,
(3). A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen.
Langkah-langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut :
(1). Carilah n vektor eigen A yang bebas linier, x1, x2, ... , xn.
(2). Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal,
dari vektor basis pada langkah (1).
(3). Bentuk matrik P dari langkah (2), yakni P = [p1 p2 … pn]

11. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen11
Contoh
Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan
matrik A, secara ortogonal bilamana 












122
221
212
A
Jawab
Menentukan nilai eigen dan vktor eigen A. Persamaan karakteristik A
diperoleh dari :
det(I – A) = 0 0
122
221
212







Persamaan karakteristiknya adalah : 3 – 32 – 9 + 27 = 0. dan akar-akar
atau nilai eigennya adalah : 1 = 2 = 3, dan 3 = –3.
Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (I – A)x = 0
Untuk  = 3, SPL-nya













422
211
211





















0
0
0
x
x
x
3
2
1
Solusi SPL-nya adalah :
































1
0
2
s
0
1
1
t
x
x
x
3
2
1
Vektor eigen
x1 = [1,1,0]
x2 = [–2 ,0,1]

12. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen12
Untuk  = 6, SPL-nya













222
251
215
Solusi SPL-nya adalah :
































2
1
1
t
t2
t
t
x
x
x
3
2
1





















0
0
0
x
x
x
3
2
1
Vektor eigen
x3 = [1,–1,2]
Menentukan P = [p1 p2 p3]
Menghitung p1




 0,
2
1
,
2
1
2
]0,1,1[
1
1
1
|x|
x
p
Menghitung p2
p2 = v2/|v2|, dengan v2 = x2 – [x2,p1]p1
[x2,p1] =
2
2
0,
2
1
,
2
1
]1,0,2[ 




[x2,p1]p1 = ]0,1,1[0,
2
1
,
2
1
2
2





v2 = x2 – [x2,p1]p1
= [–2,0,1] – [–1,–1,0] = [–1,1,1]







3
1
,
3
1
,
3
1
3
]1,1,1[
2p
Menghitung p3
p3 = v3/|v3|, dengan :
v3 = x3 – [x3,p1]p1 – [x3,p2]p2
[x3,p1] = 00,
2
1
,
2
1
]2,1,1[ 





13. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen13
[x3,p1]p1 = [0,0,0]
[x3,p2] =
[x3,p2]p2 = [0,0,0]
0
3
1
,
3
1
,
3
1
]2,1,1[ 




Sehingga, v3 = x3 = [1,–1,2]







6
2
,
6
1
,
6
1
6
]2,1,1[
2p
Dengan demikian,
P = [p1 p2 p3] =


















6
2
3
1
0
6
1
3
1
2
1
6
1
3
1
2
1


















6
2
6
1
6
1
3
1
3
1
3
1
0
2
1
2
1
PT

14. Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen14














baaa
abaa
aaba
A
11
11
11














1
1
1
baaa
abaa
aaba
A
SOAL-SOAL LATIHAN
a. Tentukan persamaan karakteristik, nilai eigen matrik A
b. Tentukan vector eigen A yang membentuk yang sesuai
dengan nilai eigen A.
c. Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan A, dengan
rumus P= [x1 x2 … xn], dan D=P–1AP.
d. Dengan proses Gram-Schimdt, tentukan matrik P
mendiagonalisasikan A secara ortonormal,
P= [p1 p2 … pn], D=PTAP.














143
404
341
A











502
032
224
A














321
262
123
A













221
212
122
A