Universidad Nacional del Nordeste 
Facultad de Ciencias Exactas, Naturales y Agrimensura 
Profesor: Roberto Rodriguez
 En 1815 George Boole propuso una herramienta matemática llamada 
Álgebra de Boole. 
 Luego en 1938 Claude Shannon propu...
 Sea 퐵 ≠ ∅, (퐵, +,∙) es un álgebra de Boole si se verifica: 
 ∀푥, 푦 ∈ 퐵: 
푥 + 푦 ∈ 퐵 푥 ∙ 푦 ∈ 퐵 
 ∀푥, 푦 ∈ 퐵: 
푥 + 푦 = 푦 +...
 Idempotencia 푥 + 푥 = 푥 
푥. 푥 = 푥 
 Propiedades de acotación. 푥 + 1 = 1 
푥. 0 = 0 
 Propiedades de absorción. 푥 + 푥. 푦 ...
 Una expresión booleana es una suma de productos (llamados 
minitérminos) o un producto de sumas (llamadas maxitérminos)....
 Dada una expresión booleana P, se llama dual de P, a la expresión 
booleana que resulta de intercambiar sumas y producto...
 Sea (퐵, +, . ) un álgebra de Boole. 
 푓 es una función booleana de grado n si: 
푓 es una función 
푛 ∈ ℕ 
푓: 퐵푛 → 퐵 
 E...
 Cuando se plantea un problema, no siempre, la expresión dada u obtenida 
de una función booleana es la óptima. Por ello,...
 Toda función booleana puede ser escrita en una forma estándar, llamada 
forma normal o canónica. 
 Forma Normal Disyunt...
Situación Minitérmino 
퐹 퐴, 퐵, 퐶, 퐷 
= 퐴´퐵퐶´ + 퐴´퐵퐶 + 퐴퐵´퐶 + 퐴퐵퐶
Situación Maxitérmino 
퐹(퐴, 퐵, 퐶, 퐷) = 
(퐴 + 퐵 + 퐶). (퐴 + 퐵 + 퐶’). (퐴´ + 퐵 + 퐶). (퐴’ + 퐵’ + 퐶)
 Utilizando los axiomas y las propiedades vistas del álgebra de Boole 
podemos simplificar una función booleana.
 Si f es una función booleana de grado n (n variables), el mapa de 
Karnaugh correspondiente consiste en una tabla de 2푛 ...
 Para dos variables. 
Región A Región B Región A’.B’ Región A’.B 
Región A’ Región B’ Región A.B’ Región A.B’
 Para tres variables. 
4 minitérminos
 Para tres variables. 
2 minitérminos
 Para tres variables. 
2 minitérminos
 Para tres variables. 
En las extremidades
 Ejemplo para 4 variables. 
 S = A’B’C’D+A’B’CD’+A’B’CD+A’BC’D+A’BCD+ 
+AB’C’D’+AB’C’D+AB’CD+ABC’D’+ABC’D+ABCD
 Ejemplo para 4 variables. 
 S = A’B’C’D+A’B’CD’+A’B’CD+A’BC’D+A’BCD+ 
+AB’C’D’+AB’C’D+AB’CD+ABC’D’+ABC’D+ABCD 
S = D+AC...
 Se utilizan para representar gráficamente funciones booleanas. Estos 
gráficos son utilizados en distintas áreas: mecáni...
 BOGART, K. (1998): “Matemáticas discretas”. Editorial Noriega. México. 
 GRIMALDI, R. (1998): “Matemáticas discreta y c...
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Funciones booleanas

  1. 1. Universidad Nacional del Nordeste Facultad de Ciencias Exactas, Naturales y Agrimensura Profesor: Roberto Rodriguez
  2. 2.  En 1815 George Boole propuso una herramienta matemática llamada Álgebra de Boole.  Luego en 1938 Claude Shannon propuso que con esta álgebra es posible modelar los llamados Sistemas Digitales.
  3. 3.  Sea 퐵 ≠ ∅, (퐵, +,∙) es un álgebra de Boole si se verifica:  ∀푥, 푦 ∈ 퐵: 푥 + 푦 ∈ 퐵 푥 ∙ 푦 ∈ 퐵  ∀푥, 푦 ∈ 퐵: 푥 + 푦 = 푦 + 푥 푥. 푦 = 푦. 푥  ∀푥, 푦, 푧 ∈ 퐵: 푥 + 푦 + 푧 = 푥 + 푦 + 푧 푥. 푦. 푧 = 푥. 푦 . 푧  ∀푥, 푦, 푧 ∈ 퐵: 푥 + 푦. 푧 = 푥 + 푦 . 푥 + 푧 푥. 푦 + 푧 = 푥. 푦 + 푥. 푧  ∃0 ∈ 퐵 ∀ 푥 ∈ 퐵: ∃1 ∈ 퐵, 1 ≠ 0 ∀ 푥 ∈ 퐵: 푥 + 0 = 푥 푥. 1 = 푥  ∀푥 ∈ 퐵, ∃푥′ ∈ 퐵: 푥 + 푥′ = 1 푥. 푥’ = 0
  4. 4.  Idempotencia 푥 + 푥 = 푥 푥. 푥 = 푥  Propiedades de acotación. 푥 + 1 = 1 푥. 0 = 0  Propiedades de absorción. 푥 + 푥. 푦 = 푥 푥. 푥 + 푦 = 푥  Propiedades de los complementos: 0′ = 1 1′ = 0  Involución: (푥´)´ = 푥  Leyes de Morgan 푥 + 푦 ′ = 푥´. 푦′ 푥. 푦 ′ = 푥′ + 푦′  푥 + 푥′푦 = 푥 + 푦 푥. 푥′ + 푦 = 푥푦
  5. 5.  Una expresión booleana es una suma de productos (llamados minitérminos) o un producto de sumas (llamadas maxitérminos).  Ejemplo:  퐹 = 푥푦′푧 + 푥′푦  푆 = (퐴 + 퐶). (퐵 + 퐶’)
  6. 6.  Dada una expresión booleana P, se llama dual de P, a la expresión booleana que resulta de intercambiar sumas y productos por productos y sumas, 0 por 1 y viceversa.  Ejemplo en B: Si P es 푥. 푦’ + 푥’. ( 푥 + 푦)+0 su dual es: 푥 + 푦’ . 푥’ + 푥. 푦 . 1  Principio de Dualidad:  Si una proposición es derivable a partir de los axiomas del álgebra de Boole, su dual también lo es.
  7. 7.  Sea (퐵, +, . ) un álgebra de Boole.  푓 es una función booleana de grado n si: 푓 es una función 푛 ∈ ℕ 푓: 퐵푛 → 퐵  Ejemplo:  B={0,1} 푓: 퐵3 → 퐵 푓 푥, 푦, 푧 = 푥푦′ + 푥푦푧
  8. 8.  Cuando se plantea un problema, no siempre, la expresión dada u obtenida de una función booleana es la óptima. Por ello, generalmente, dicha expresión puede ser simplificada, mediante:  Tablas de verdad.  Propiedades del álgebra de Boole.  Mapas de Karnaugh.
  9. 9.  Toda función booleana puede ser escrita en una forma estándar, llamada forma normal o canónica.  Forma Normal Disyuntiva (FND): suma de minitérminos.  Forma Normal Conjuntiva (FNC): producto de maxitérminos.
  10. 10. Situación Minitérmino 퐹 퐴, 퐵, 퐶, 퐷 = 퐴´퐵퐶´ + 퐴´퐵퐶 + 퐴퐵´퐶 + 퐴퐵퐶
  11. 11. Situación Maxitérmino 퐹(퐴, 퐵, 퐶, 퐷) = (퐴 + 퐵 + 퐶). (퐴 + 퐵 + 퐶’). (퐴´ + 퐵 + 퐶). (퐴’ + 퐵’ + 퐶)
  12. 12.  Utilizando los axiomas y las propiedades vistas del álgebra de Boole podemos simplificar una función booleana.
  13. 13.  Si f es una función booleana de grado n (n variables), el mapa de Karnaugh correspondiente consiste en una tabla de 2푛 celdas.  Dicha tabla puede ser utilizada para simplificar funciones booleanas.  Cada celda representa un minitérmino y se coloca un 1 si dicho minitérmino aparece en la expresión de la función.  Para simplificar la función booleana se agrupan los 1 que se encuentran en celdas adyacentes formando bloques cuadrados o rectangulares, llamados subcubos, de 1,2,4, … , 2푛 celdas.  En los subcubos se descartan las variables cuyo valor cambia de una celda a otra.
  14. 14.  Para dos variables. Región A Región B Región A’.B’ Región A’.B Región A’ Región B’ Región A.B’ Región A.B’
  15. 15.  Para tres variables. 4 minitérminos
  16. 16.  Para tres variables. 2 minitérminos
  17. 17.  Para tres variables. 2 minitérminos
  18. 18.  Para tres variables. En las extremidades
  19. 19.  Ejemplo para 4 variables.  S = A’B’C’D+A’B’CD’+A’B’CD+A’BC’D+A’BCD+ +AB’C’D’+AB’C’D+AB’CD+ABC’D’+ABC’D+ABCD
  20. 20.  Ejemplo para 4 variables.  S = A’B’C’D+A’B’CD’+A’B’CD+A’BC’D+A’BCD+ +AB’C’D’+AB’C’D+AB’CD+ABC’D’+ABC’D+ABCD S = D+AC’+A´B´C
  21. 21.  Se utilizan para representar gráficamente funciones booleanas. Estos gráficos son utilizados en distintas áreas: mecánica, electricidad, electrónica e informática, entre otros.
  22. 22.  BOGART, K. (1998): “Matemáticas discretas”. Editorial Noriega. México.  GRIMALDI, R. (1998): “Matemáticas discreta y combinatoria. Una introducción con aplicaciones”. 3ra Edición. Editorial Prentice Hall. México.  JIMENEZ MURILLO, J. (2009): “Matemáticas para la computación”. Alfa Omega Grupo Editor S.A. México.  KOLMAN, B.; BUSBY, R. y ROSS, S.(1997): “Estructuras de Matemáticas Discretas para la Computación”. Tercera Edición. Pearson- Prentice Hall-México.  ROSEN, K.(2004): “Matemática discreta y sus aplicaciones”. Quinta Edición. Editorial Mc Graw Hill. España.

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