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Problemas resueltos de derivadas
Derivada de una constante
Derivada de las potencias
Derivada del producto de una función por una constante
Derivada de la suma
Derivada del producto
Derivada del cociente
Segunda derivada y derivadas de orden superior
Derivadas de las funciones trigonométricas
    • Derivada del seno
La regla de la cadena
Problemas de razones de cambio
Problemas de aplicación de máximos y mínimos




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                                                         1
DERIVADA DE UNA CONSTANTE
Si c es una constante y si f(x) = c, entonces
f’ (x) = 0

Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 123
f(x) = 5
f’ (x) = 0


DERIVADA DE LAS POTENCIAS
La regla de las potencias para enteros negativos es la misma que para los positivos

Si n es un entero negativo y x ≠ 0
 d ⎛ n⎞        n -1
    ⎜x ⎟ = n x
dx ⎝    ⎠


Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124

f(x) = x8

 d 8
dx
    ( )
   x = 8 x 8 -1


f ' (x ) = 8 x 7

Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124

f(x) = x

 d
   (x ) = x1-1
dx

f ' (x ) = x 0
f’ (x) = 1

Derivada del producto de una función por una constante
Si f es una función, c es una constante y g es la función definida por

g (x) = c f(x)

y si f ’existe, entonces

g’ (x) = c f ’ (x)

Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 125

f(x) = 5 x7

 d
dx
    ( )
   5 x 7 = 5 (x )7
             d
            dx

                                                                                      2
f ' (x ) = 5 (7 ) x 7-1
f ' (x ) = 35 x 6

DERIVADA DE LA SUMA
Si f y g son funciones y si h es la función definida por

h(x) = f(x) + g(x)

y si f’ (x) y g’ (x) existen, entonces

h’ (x) = f’ (x) + g’ (x)


Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 126

f(x) = 7 x4 – 2 x3 + 8 x + 5

 d
dx
       (                       )
   7 x 4 - 2 x 3 + 8 x + 5 = 7 (x )4 - 2
                               d
                              dx
                                         d (x )3
                                           dx
                                                 +8
                                                     d
                                                    dx
                                                       (x ) + d (5)
                                                              dx

f ' (x ) = 7 (4 )(x )4-1 - 2 (3)(x )3-1 + 8 (1)(x )1-1 + 0


f ' (x ) = 28 (x )3 - 6 (x )2 + 8 (x )0 + 0

f ' (x ) = 28 x 3 - 6 x 2 + 8

Calcular la derivada

y = 3 x -4 + 3 x 4

y' =
           ( ) ( )
       d 3x - 4 d 3x 4
               +
         dx       dx
                  -4 -1                 4 -1
y’= (3) (-4) x            + (3) (4) x

            -5
y’= -12x         + 12x 3

ordenando
              12
 y' = 12x 3 -
              x5

DERIVADA DEL PRODUCTO
Es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la
derivada de la primera.

Si u y v son diferenciables en x, su producto (u v) también lo es,
d
  (uv ) = u dv + v du
d           dx     dx
La derivada del producto (u v) es u por la derivada de v mas v por la derivada de u.



                                                                                                 3
’     ’      ’
En notación prima, (u v) = u v + v u

Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 127

Hallar la derivada de h(x) = (2x3 – 4x2) (3x5 + x2)

Primer termino = (2x3 – 4x2)
Segundo termino = (3x5 + x2)


h ' (x ) =
                 [(               )(
           d 2 x 3 - 4x 2 3 x 5 + x 2       )]
                         dx
             (
h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2
                           d
                          dx
                             ) [              ](
                             3 x5 + x2 + 3 x5 + x2
                                                    d
                                                   dx
                                                      2 x3 − 4 x2  ) [            ]
             (               )[                      ](                  )[
h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2 3 (5) x 5-1 + 2 x 2-1 + 3 x 5 + x 2 2 (3) x 3-1 - 4 (2 ) x 2-1   ]
h ' ( x) = ⎛ 2x 3 - 4x 2 ⎞ ⎡ 15 x 4 + 2 x ⎤ + ⎛ 3x 5 + x 2 ⎞ ⎡6 x 2 - 8 x ⎤
           ⎜             ⎟⎢
           ⎝             ⎠⎣               ⎥ ⎜
                                          ⎦ ⎝
                                                           ⎟⎢
                                                           ⎠⎣             ⎥
                                                                          ⎦

Resolviendo el polinomio

h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4 x 4 - 8 x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24 x 6 - 8 x 3

h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4x 4 - 8x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24 x 6 - 8 x 3

Reduciendo términos semejantes
h ' ( x) = 48 x 7 - 84 x 6 + 10x 4 - 16x 3

Ejemplo # 1 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 131

Hallar la derivada de f(x) = (3 x – 2 x2) (5 + 4 x)

Primer termino = (3 x – 2 x2)
Segundo termino = (5 + 4 x)


f ' (x ) =
                 [(          )
           d 3 x - 2 x 2 (5 + 4 x )    ]
                       dx
             (
f ' ( x) = 3 x - 2 x 2   )
                         d
                        dx
                                                           [
                           [5 + 4 x ] + (5 + 4 x ) d 3 x − 2 x 2
                                                  dx
                                                                              ]
             (
f ' ( x) = 3 x - 2 x 2   )[ 4] + (5 + 4 x ) [3 - 2 * 2 x 2-1 ]
             (
f ' ( x) = 3x - 2x 2     )[ 4] + (5 + 4x ) [3 - 2 * 2x1 ]
             [               ]
f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + (5 + 4 x ) [3 - 4 x ]

Resolviendo el polinomio
             [               ](
f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + 15 + 12 x - 20 x - 16 x 2            )
Reduciendo términos semejantes


                                                                                              4
[                 ](
f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + 15 - 8 x - 16 x 2                 )
f ' ( x) = 12x - 8x 2 + 15 - 8x - 16x 2
f ' ( x) = 4 x - 24 x 2 + 15

Ordenando
f ' ( x) = - 24 x 2 + 4 x + 15

Ejemplo # 2 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 132

Hallar la derivada de y = (1 + x - 1) (x - 1)

Primer termino = (1 + x - 1)
Segundo termino = (x - 1)

f ' (x ) =
                 [(        )
             d 1 + x - 1 (x − 1)       ]
                    dx

             (
f ' ( x) = 1 + x - 1   ) dx [x − 1] + (x - 1) dx [1 + x - 1 ]
                          d                    d



             (
f ' ( x) = 1 + x - 1   ) dx [x − 1] + (x - 1) [1 + x - 1-1 ]
                          d



f ' ( x) = ⎛1 + x - 1 ⎞ [1] + (x - 1) ⎡- 1 x - 2 ⎤
           ⎜          ⎟
           ⎝          ⎠               ⎢
                                      ⎣          ⎥
                                                 ⎦

             (         )
f ' ( x) = 1 + x - 1 + (x - 1) - x - 2     [        ]
Resolviendo el polinomio
             (         ) [
f ' ( x) = 1 + x - 1 + - 1 x - 1 + x - 2                ]
Reduciendo términos semejantes
f ' ( x) = 1 + x - 1 - x - 1 + x - 2

f ' ( x) = 1 + x - 2
                    2
f ' ( x) = 1 + 1 = x + 1
               x2   x2

Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136.
Problema 4
Hallar la derivada de f(x) = (x2 – 2x + 1) (x3 - 1)

Primer termino = (x2 – 2x + 1)
Segundo termino = (x3 - 1)


f ' (x ) =
                 [(               )(
             d x 2 - 2 x + 1 x3 − 1            )]
                       dx

             (
f ' ( x) = x 2 - 2 x + 1       ) dx [x 3 − 1]+ (x 3 − 1) dx [ x 2 - 2 x + 1]
                                  d                       d


                                                                               5
(             )[          ] ( )[ (2) x 2-1 - 2 x1-1 + 1]
f ' ( x) = x 2 - 2 x + 1 (3) x 3-1 + x 3 − 1

f ' ( x) = (x 2 - 2 x + 1)[(3) x 3-1 ]+ (x 3 − 1)(2) [ x1 - 2 x 0 ]

f ' ( x) = (x 2 - 2 x + 1)[3x 2 ]+ (x 3 − 1)[ 2 x - 2]

Resolviendo el polinomio

             (                    ) [
f ' ( x) = 3 x 4 - 6 x 3 + 3 x 2 + 2 x 4 - 2 x - 2 x 3 + 2     ]
Reduciendo términos semejantes

f ' ( x) = 3x 4 - 6x 3 + 3x 2 + 2x 4 - 2x - 2x 3 + 2

Reduciendo términos semejantes

f ' ( x) = 5 x 4 - 8 x 3 + 3 x 2 - 2 x + 2

Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136.
Problema 5
Hallar la derivada de f(x) = (x3 – 3 x) (2 x2 + 3 x + 5)

Primer termino = (x3 – 3 x)
Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 5)

f ' (x ) =
                 [(     )(
             d x 3 - 3x 2 x 2 + 3 x + 5   )]
                        dx

             (
f ' ( x) = x 3 - 3 x   ) dx [2 x 2 + 3 x + 5]+ (2 x 2 + 3 x + 5) dx [ x 3 - 3 x ]
                          d                                       d



           (
f ' ( x) = x 3 - 3 x  )[(2) x 2-1 + 3 x1-1 ]+ (2 x 2 + 3 x + 5)[ (3) x 3-1 - 3 x1-1 ]
f ' ( x) = (x 3 - 3 x )[4 x + 3] + (2 x 2 + 3 x + 5)[ 3 x 2 - 3]

Resolviendo el polinomio
             [                           ](
f ' ( x) = 4 x 4 - 12 x 2 + 3 x 3 - 9 x + 6 x 4 + 9 x 3 + 15 x 2 - 6 x 2 - 9 x - 15     )
Reduciendo términos semejantes
f ' ( x) = 4x 4 - 12x 2 + 3x 3 - 9x + 6x 4 + 9x 3 + 15x 2 − 6x 2 - 9x - 15

Reduciendo términos semejantes
f ' ( x) = 10 x 4 + 12 x 3 − 3 x 2 - 18 x - 15

Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136.
Problema 6
Hallar la derivada de f(x) = (x – 1) (x2 – 3 x + 2)

Primer termino = (x – 1)
Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 2)



                                                                                            6
f ' (x ) =
                 [           (
           d (x - 1) 2 x 2 + 3 x + 2                      )]
                       dx
f ' ( x) = (x - 1 )
                     d 2
                    dx
                                 [
                       x − 3 x + 2 + x2 − 3 x + 2
                                                   d
                                                  dx
                                                          ](
                                                     [ x - 1]                       )
                         [                                ](
f ' ( x) = (x - 1 ) (2) x 2-1 − 3 x 1-1 + x 2 − 3 x + 2 [ x - 1]                    )
                                              (
f ' ( x) = (x - 1 ) [2 x − 3] + x 2 − 3 x + 2 [1]                   )
Resolviendo el polinomio
             [
f ' ( x) = 2x 2 − 2x - 3x + 3 + x 2 − 3x + 2          ](                        )
Reduciendo términos semejantes
             [
f ' ( x) = 2x 2 − 5 x + 3 + x 2 − 3 x + 2 ](                        )
Reduciendo términos semejantes
f ' ( x) = 2x 2 - 5x + 3 + x 2 - 3x + 2

f ' ( x) = 3 x 2 - 8 x + 5

Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136.
Problema 7
                                       ⎛ 1 ⎞
Hallar la derivada de f(x) = x 5 − 3 x ⎜
                                       ⎜ 2⎟⎟              (             )
                                       ⎝x ⎠
Primer termino = (x5 – 3 x)
                                            ⎛ 1 ⎞
Segundo termino = ⎜                             ⎟
                  ⎜                            2⎟
                                            ⎝x ⎠
            ⎡
                     (
          d ⎢ x5 - 3 x               )⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟⎤⎥
                                      ⎝        ⎠⎦
f ' (x ) = ⎣
                   dx


             (
f ' ( x) = x 5 - 3 x         ) dx ⎡⎢ x12 ⎤⎥ + ⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟ dx [ x 5 - 3x ]
                                d                          d
                                        ⎣         ⎦ ⎝           ⎠


             (
f ' ( x) = x 5 - 3 x         ) dx [x - 2 ]+ ⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟ dx [ x 5 - 3 x ]
                                d                        d
                                                      ⎝        ⎠

                                              ⎛ 1                       ⎞ d ⎡ 5
f ' ( x) = ⎛ x 5 - 3x ⎞ (- 2 ) ⎡ x - 2 -1 ⎤ + ⎜
           ⎜          ⎟                                                 ⎟      x - 3x ⎤
           ⎝          ⎠        ⎢
                               ⎣          ⎥ ⎜ 2
                                          ⎦ ⎝x                          ⎟ dx ⎢
                                                                             ⎣        ⎥
                                                                                      ⎦
                                                                        ⎠


             (               ) [     ⎛ 1 ⎞
f ' ( x) = x 5 - 3 x (- 2) x - 2-1 + ⎜
                                     ⎜ 2 ⎟ (5) x - 3 x
                                         ⎟
                                                5-1
                                                      ]1-1
                                                                    [                   ]
                                     ⎝x ⎠


             (               )[ ⎛ 1
f ' ( x) = x 5 - 3 x - 2x - 3 + ⎜
                                ⎜ 2           ]                ⎞
                                                                [
                                                               ⎟ 5 x4 -3
                                                               ⎟            ]
                                ⎝x                             ⎠

Resolviendo el polinomio

                                                                                            7
(       ⎡ 2 ⎤ ⎛ 1
f ' ( x) = x 5 - 3 x ⎢-   ⎥+⎜
                            ⎜  )
                     ⎣ x3 ⎦ ⎝ x2
                                             ⎞
                                                 [
                                             ⎟ 5 x4 -3
                                             ⎟
                                             ⎠
                                                         ]
           ⎡- 2 x5 + 6 x ⎤ ⎛ 5 x4 - 3 ⎞
f ' ( x) = ⎢             ⎥+⎜          ⎟
           ⎢     x3        ⎜ x2 ⎟
                         ⎥ ⎝
           ⎣             ⎦            ⎠

           ⎡ - 2x 5 + 6x + 5x 5 - 3x ⎤
f ' ( x) = ⎢                         ⎥
           ⎢
           ⎣           x3            ⎥
                                     ⎦

Reduciendo términos semejantes

           ⎡3 x5 + 3 x              ⎤
f ' ( x) = ⎢                        ⎥
           ⎢
           ⎣    x3                  ⎥
                                    ⎦

             3 x5          3x
f ' ( x) =             +
                 x3        x3

                           3
f ' ( x) = 3 x 2 +
                           x2

Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136.
Problema 14
Hallar la derivada de f(x) = 3 x x + 3               (       )
      6
f(x) = x 2 * x 3 + 3 3 x

      6
f(x) = x 5 + 3 3 x
             5             1
f(x) = x 6 + 3 x 3

Se convierte en una suma

            ⎡ 5⎤   ⎡   1                     ⎤
 '        d ⎢ 6⎥ d ⎢                         ⎥
f ( x) =     x +     3x3
         dx ⎢ ⎥ dx ⎢                         ⎥
            ⎣ ⎦    ⎣                         ⎦

                       1                -2
 '      5 -   1
f ( x) = x 6 + * 3 x 3
        6     3

Resolviendo el polinomio

                      -1           -2
 '      5
f ( x) = x 6 + x 3
        6

                  5                1
f ' ( x) =                 +
                    1               2
                 6x 6              x3
                                                                 8
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136.
Problema 16

Hallar la derivada de h(x) = (x2 – 1)2
h(x) = (x2 – 1) (x2 – 1)

Primer termino = (x2 – 1)
Segundo termino = (x2 – 1)


h ' (x ) =
                     [(
             d x2 - 1 x2 −1       )(   )]
                    dx


                 ( ) dx [x 2 − 1]+ (x 2 − 1) dx [ x 2 - 1]
h ' ( x) = x 2 - 1
                      d                       d



h ' ( x) = ⎛ x 2 - 1⎞ [2x ] + ⎛ x 2 − 1⎞ [ 2x ]
           ⎜        ⎟         ⎜        ⎟
           ⎝        ⎠         ⎝        ⎠

Reduciendo términos semejantes

                     (
h ' ( x) = 2 x 2 - 1 [2 x ]   )
Resolviendo el polinomio

                 (
h ' ( x) = x 2 - 1 [4 x ] )
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136.
Problema 17
Hallar la derivada de h(s) = (s3 – 2)2

h(s) = (s3 – 2) (s3 – 2)

Primer termino = (s3 – 2)
Segundo termino = (s3 – 2)


h ' (s ) =
                     [(
             d s3 - 2 s3 − 2      )(   )]
                    dx


             ( ) [
h ' (s) = s 3 - 2
                   d 3
                  dx
                     s − 2 + s3 − 2
                                     d 3
                                    dx
                                       s -2 ](        ) [   ]
             (            )[ ] (
h ' (s) = s 3 - 2 3s 2 + s 3 − 2 3 s 2       )[   ]
Reduciendo términos semejantes

                 (
h ' (s) = 2 s 3 - 2 3 s 2  )[ ]
Resolviendo el polinomio

             (
h ' (s) = s 3 - 2 6 s 2   )[ ]
                                                                9
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136.
Problema 20

Hallar la derivada de f(x) = (x2 – x) (x2 + 1) (x2 + x + 1)

Primer termino = (x2 – x)
Segundo termino = (x2 + 1)
Tercer termino = (x2 + x + 1)

f ' (x ) =
                 [
             d (x 2 - x )(x 2 + 1)(x 2 + x + 1)  ]
                             dx


             (       )(
f ' ( x) = x 2 + 1 x 2 + x + 1         ) dx [x 2 − x ]+ (x 2 − x )(x 2 + x + 1) dx [ x 2 + 1]+ (x 2 - x )(x 2 + 1) dx (x 2 + x + 1)
                                          d                                      d                                  d




f ' ( x) = ⎜ x 2 + 1 ⎞ ⎛ x 2 + x + 1⎞ [2x − 1 ] + ⎜ x 2 − x ⎟ ⎜ x 2 + x + 1⎞ [ 2x ] + ⎛ x 2 - x ⎞ ⎛ x 2 + 1⎞ (2x + 1)
           ⎛         ⎟⎜             ⎟             ⎛         ⎞⎛             ⎟          ⎜         ⎟⎜         ⎟
           ⎝         ⎠⎝             ⎠             ⎝         ⎠⎝             ⎠          ⎝         ⎠⎝         ⎠

Resolviendo el polinomio

         (                                   )         (        )(            )        (            )(
f ' ( x) = x 4 + x 2 + x 3 + x + x 2 + 1 [2x − 1 ] + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1)    )
Reduciendo términos semejantes

             (                           )            (         )(                )        (
f ' ( x) = x 4 + 2x 2 + x 3 + x + 1 [2x − 1 ] + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1)    )(           )
Reduciendo términos semejantes

             (                                                               ) (               )(                 )       (
f ' ( x) = 2x 5 + 4x 3 + 2x 4 + 2x 2 + 2x - x 4 - 2x 2 - x 3 - x - 1 + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1)  )(   )
           (                         ) ( )(                     ) ( )( )
f ' ( x) = 2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1 + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1)

f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (x 4 − x 3 + x 3 - x 2 + x 2 - x ) [ 2x ] + (x 2 - x )(x 2 + 1)(2x + 1)

f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (x 2 - x )(x 2 + 1)(2x + 1)

f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (x 4 - x 3 + x 2 - x ) (2x + 1)

f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (2x 5 - 2x 4 + 2x 3 - 2x 2 + x 4 - x 3 + x 2 - x )

f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (2x 5 - x 4 + x 3 - x 2 - x )

f ' ( x) = 2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1 + 2x 5 - 2x 2 + 2x 5 - x 4 + x 3 - x 2 - x

f ' ( x) = 6 x 5 + 4 x 3 - 3 x 2 - 1




                                                                                                                                   10
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136.
Problema 21

Hallar la derivada de f(x) = (3x3 + 4x) (x - 5) (x + 1)

Primer termino = (3x3 + 4x)
Segundo termino = (x - 5)
Tercer termino = (x + 1)

f ' (x ) =
              [(            )
             d 3 x 3 + 4 x (x − 5)(x + 1)        ]
                          dx


f ' ( x) = (x - 5 )(x + 1)
                                 d
                                dx
                                         [           ](          d
                                                                dx
                                                                   )                       (  d
                                                                                             dx
                                                                                                )
                                   3x 3 + 4x + 3x 3 + 4x (x + 1) [ x - 5] + 3x 3 + 4x (x - 5) ( x + 1)


                            [  ](                         )              (            )
f ' ( x) = (x - 5 )(x + 1) 9 x 2 + 4 + 3 x 3 + 4 x (x + 1) [ 1] + 3 x 3 + 4 x (x - 5)( 1)

f ( x) = (x - 5x + x - 5 )[9x + 4 ]+ (3x
 '            2                          2           3
                                                       + 4 x )(x + 1) + (3 x 3 + 4 x )(x - 5)

           (            )[          ](            )          (
f ' ( x) = x 2 - 4x - 5 9x 2 + 4 + 3x 3 + 4x (x + 1) + 3x 3 + 4x (x - 5))
f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 45x 2 + 4x 2 - 16x - 20 ) + (3x 3 + 4x )(x + 1) + (3x 3 + 4x )(x - 5)

f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 3 + 4x )(x + 1) + (3x 3 + 4x )(x - 5)

f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x ) + (3x 3 + 4x )(x - 5)

f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x ) + (3x 4 + 4x 2 - 15x 3 - 20x )

f ' ( x) = 9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 + 3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x + 3x 4 + 4x 2 - 15x 3 - 20x

f ' ( x) = 15x 4 - 48x 3 - 33x 2 - 32x - 20

Problema 10.35 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
           ( )( )
Derivar y = 2x 2 2-x

Primer termino = (2x 2 )
Segundo termino =               (    2-x     )
y ' (x ) =
               [( )(
             d 2x 2        2-x      )]
                      dx

      ( ) dx [ 2 − x ]+ ( 2 − x ) dx [ 2x 2 ]
y ' = 2x 2
           d                       d



      ( ) dx [2 − x]1 2 + ( 2 − x ) dx [ 2x 2 ]
y ' = 2x 2
           d                         d


La derivada interna es (-1)

                                                                                                            11
( ) 1 * (- 1)* [2 − x]- 1 2 + ( 2 − x )[ 4x]
y ' = 2x 2
           2

Cancelando términos semejantes
       ( )
y ' = - x 2 [2 − x ]- 1 2 + 2 − x [ 4x ]         (               )
y' =
           - x2
                              +   (       2−x    )[ 4x]
       (2 - x )1 2

       - x 2 + 2 - x [4x ] 2 − x
y' =
                        (2 - x )1 2

       - x 2 + (2 - x ) [4x ]
y' =
                (2 - x )1 2

       - x 2 + 8x - 4x 2                       8x - 5x 2
y' =                                       =
             (2 - x )1 2                             2-x


Problema 10.36 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
                                      ⎛                    ⎞
Derivar f (x ) = (x ) ⎜ 3 - 2x 2 ⎟
                                      ⎝                    ⎠

Primer termino = x
                                           ⎛                    ⎞
Segundo termino = ⎜ 3 - 2x 2 ⎟
                                           ⎝                    ⎠
            ⎡ ⎛              ⎞⎤
          d ⎢( x )⎜ 3 - 2x 2 ⎟⎥
                  ⎝          ⎠⎦
f ' (x ) = ⎣
                    dx
                     d ⎡           ⎤ ⎛                               ⎞ d
f ' (x ) = (x   )
                    dx ⎢
                         3 − 2 x 2 ⎥ + ⎜ 3 − 2x 2
                                       ⎜                             ⎟ dx [ x ]
                                                                     ⎟
                       ⎣           ⎦ ⎝                               ⎠

                                   12 ⎛                               ⎞ d
                                                                      ⎟ dx [ x ]
                     d ⎡
f ' (x ) = (x   )       3 − 2x 2 ⎤   + ⎜ 3 − 2x 2
                                       ⎜                              ⎟
                    dx ⎢
                       ⎣         ⎥
                                 ⎦     ⎝                              ⎠

La derivada interna es (- 4x)
                                                         -1 2     ⎛               ⎞ d
f ' (x ) = (x   ) 1 * (- 4x ) ⎡3 − 2x 2 ⎤
                              ⎢       ⎣ ⎥            ⎦
                                                                + ⎜ 3 − 2x 2
                                                                  ⎜               ⎟ dx [ x ]
                                                                                  ⎟
                    2                                             ⎝               ⎠


                          [
f ' (x ) = - 2x 2 3 − 2 x 2                    ]-1 2 + ⎛⎜⎝                ⎞
                                                                 3 − 2x 2 ⎟
                                                                          ⎠
                    - 2x 2    ⎛          ⎞
f ' (x ) =                  + ⎜ 3 − 2x 2 ⎟
                    3 - 2x 2 ⎝           ⎠


                                                                                               12
⎛          ⎞⎛            ⎞
           - 2 x 2 + ⎜ 3 - 2x 2 ⎟ ⎜ 3 − 2 x 2 ⎟
f ' (x ) =           ⎝          ⎠⎝            ⎠
                                  3 − 2x 2


f
                2
  ' (x ) = - 2 x + 3 - 2x
                          2 (            )
                3 − 2x 2

             - 2 x 2 + 3 - 2x 2
f ' (x ) =
                     3 − 2x 2
                 3 - 4x 2
f ' (x ) =
                 3 − 2x 2

Ejemplo # 6 Leythold.
Hallar la derivada de hx) = (2x 3 – 4x2) (3x5 + x2)

Primer termino = (2x 3 – 4x2)
Segundo termino = (3x5 + x2)
             (
h ' ( x) = 2x 3 - 4x 2
                       d
                                ) dx [
                                     ](
                         3x 5 + x 2 + 3x 5 + x 2     ) dx [ 2x 3 - 4x 2 ]
                                                        d


h ' ( x) = (2x 3 - 4x 2 )[ 4 + 2 x ]+ (3x 5 + x 2 )[ 6x 2 - 8x ]
                         15x

Resolviendo el polinomio
             [                                   ] [
h ' ( x) = 30x 7 - 60x 6 + 4 x 4 - 8x 3 + 18x 7 + 6x 4 - 24x 6 - 8x 3   ]
Reduciendo términos semejantes
h ' ( x) = 30x 7 + 18x 7 - 60x 6 - 24 x 6 + 4x 4 + 6x 4 - 8x 3 - 8x 3

Reduciendo términos semejantes
h ' ( x) = 48x 7 - 84 x 6 + 10x 4 - 16x 3

Ejercicio 2.4 Calculo Leythold
Problema #19
Hallar la derivada de f(s) = 3 s 3 - s 2     (         )
                 (          )
f(s) = 3 s 3 - s 2 = 3s 3 − 3s 2

f ' (s) = 3 3s 2 − 2 3s

f ' (s) = 3 * s(3s − 2)

Ejercicio 2.4 Calculo Leythold
Problema #20
Hallar la derivada de g(x) = (2x2 + 5) (4x – 1)

Primer termino = (2x2 + 5)

                                                                            13
Segundo termino = (4x – 1)


         (
g ' (x ) = 2x 2 + 5   ) dx [4x − 1] + (4x − 1) dx [ 2x 2 + 5]
                         d                      d



         (            )
g ' (x ) = 2x 2 + 5 [4] + (4 x − 1) [ 4x ]

g ' (x ) = 8x 2 + 20 + 16 x 2 − 4 x

g ' (x ) = 24x 2 + 20 − 4 x


Ejercicio 2.4 Calculo Leythold
Problema #21
Hallar la derivada de f(x) = (2x4 - 1) (5x3 + 6x)

Primer termino = (2x4 - 1)
Segundo termino = (5x3 + 6x)


         (
f ' (x ) = 2x 4 − 1) dx [5x3 + 6x]+ (5x3 + 6 x) dx [ 2x 4 - 1]
                      d                          d



         (         )[             ](           )[ ]
f ' (x ) = 2x 4 − 1 15 x 2 + 6 + 5 x 3 + 6 x 8x 3

                                           (
f ' (x ) = 30x 6 − 15 x 2 + 12 x 4 − 6 + 40 x 6 + 48 x 4   )
Reduciendo términos semejantes
f ' (x ) = 30x 6 − 15 x 2 + 12 x 4 − 6 + 40x 6 + 48 x 4

f ' (x ) = 76x 6 − 15 x 2 + 60 x 4 − 6

Ejercicio 2.4 Calculo Leythold
Problema #22
Hallar la derivada de f(x) = (4x2 + 3)2
f(x) = (4x2 + 3) * (4x2 + 3)

Primer termino = (4x2 + 3)
Segundo termino = (4x2 + 3)


         (
f ' ( x) = 4x 2 + 3   ) dx [4x 2 + 3]+ (4x 2 + 3) dx [ 4x 2 + 3]
                         d                         d



         (            )       (        )
f ' ( x) = 4x 2 + 3 [8x ] + 4x 2 + 3 [ 8x ]

Resolviendo el polinomio
             (            )
f ' ( x) = 2 * 4x 2 + 3 [8x ]

Reduciendo términos semejantes


                                                                   14
(            )
f ' ( x) = 4x 2 + 3 [16x ]
f ' ( x) = 64 x 3 + 48x


Ejercicio 2.4 Calculo Leythold
Problema # 23
Hallar la derivada de G(y) = (7 – 3y3)2
G(y) = (7 – 3y3) * (7 – 3y3)

Primer termino = (7 – 3y3)
Segundo termino = (7 – 3y3)


           ( ) dx [4x 2 + 3]+ (4x 2 + 3) dx [ 4x 2 + 3]
f ' ( x) = 4x 2 + 3
                       d                       d

f ' ( x) = (4x 2 + 3 )[8x ] + (4x 2 + 3)[ 8x ]


Resolviendo el polinomio
             (
f ' ( x) = 2 * 4x 2 + 3 [8x ] )
Reduciendo términos semejantes
         (            )
f ' ( x) = 4x 2 + 3 [16x ]

f ' ( x) = 64 x 3 + 48x



Ejercicio 2.4 Calculo Leythold
Problema #24
Hallar la derivada de F(t) = (t3 – 2t + 1) (2t2 + 3t)

Primer termino = (t3 – 2t + 1)
Segundo termino = (2t2 + 3t)


         (
F ' (t ) = t 3 − 2t + 1
                         d
                        dx
                          ) [         ](
                           2t 2 + 3t + 2t 2 + 3t
                                                 dx
                                                    ) [
                                                  d 3
                                                    t − 2t + 1          ]
         (                )       (          )[
F ' (t ) = t 3 − 2t + 1 [4t + 3] + 2t 2 + 3t 3t 2 − 2   ]
Resolviendo el polinomio
         [                                  ][
F ' (t ) = 4t 4 - 8t 2 + 4t + 3t 3 - 6t + 3 + 6t 4 + 9t 3 - 4t 2 - 6t   ]
Reduciendo términos semejantes
F ' (t ) = 4t 4 − 8t 2 + 4t + 3t 3 - 6t + 3 + 6t 4 + 9t 3 - 4t 2 - 6t

F ' (t ) = 10t 4 − 12t 2 - 8t + 12t 3 + 3


Ejemplo Calculo Purcell pag 111.

                                                                            15
Hallar la derivada de F(x) = (3x2 - 5) (2x4 - x)

Primer termino = (3x2 - 5)
Segundo termino = (2x4 - x)


          (
F ' ( x) = 3x 2 − 5     ) dx [2x 4 - x ]+ (2x 4 - x ) dx [ 3x 2 − 5]
                           d                           d



          (             )[       ](
F ' ( x) = 3x 2 − 5 8x 3 - 1 + 2x 4 - x [ 6x ])
Resolviendo el polinomio
F ' ( x) = 24x 5 - 40x 3 - 3x 2 + 5 + 12x 5 − 6 x 2

Reduciendo términos semejantes
F ' ( x) = 24x 5 - 40x 3 - 3x 2 + 5 + 12x 5 − 6 x 2

F ' ( x) = 36x 5 - 40x 3 - 9x 2 + 5

Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 23

Hallar la derivada de f(x) = (x) (x2 + 1)

Primer termino = (x)
Segundo termino = (x2 + 1)


f ' ( x) = (x )     [
                   d 2
                  dx
                             ]( )
                     x +1 + x2 +1
                                   d
                                  dx
                                     [ x]

f ' ( x) = (x ) [2x ] + (x 2 + 1)[ 1]

Resolviendo el polinomio

f ' ( x) = 2 x 2 + x 2 + 1

Reduciendo términos semejantes

f ' ( x) = 2 x 2 + x 2 + 1

f ' ( x) = 3x 2 + 1

Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 24
Hallar la derivada de y = (3x) (x3 - 1)

Primer termino = (3x)
Segundo termino = (x3 - 1)


y ' = (3x )
               d 3
              dx
                   [ ]( )
                 x -1 + x3 -1
                               d
                              dx
                                 [ 3x ]

                                                                       16
[ ]( )
y ' = (3x ) 3x 2 + x 3 - 1 [ 3]

Resolviendo el polinomio
y ' = 9x 3 + 3x 3 − 3

Reduciendo términos semejantes
y ' = 9x 3 + 3x 3 − 3
y ' = 12x 3 − 3


Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 26
Hallar la derivada de y = (- 3x + 2)2
y = (- 3x + 2) (- 3x + 2)

Primer termino = (- 3x + 2)
Segundo termino = (- 3x + 2)


y ' = (- 3x + 2 )
                     d
                       [- 3x + 2] + (- 3x + 2) d [ - 3x + 2]
                    dx                        dx
y ' = (- 3x + 2 ) [- 3] + (- 3x + 2 ) [ - 3]

Resolviendo el polinomio
y ' = 2 (- 3x + 2 ) [- 3]

Reduciendo términos semejantes
y ' = (- 3x + 2 ) [- 6]
y ' = 18x - 12


Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 27
Hallar la derivada de y = (x2 + 2) (x3 + 1)

Primer termino = (x2 + 2)
Segundo termino = (x3 + 1)

y ' (x ) =
              [(     )(
             d x 2 + 2 x3 + 1)]
                    dx

      ( ) dx [x 3 + 1]+ (x 3 + 1) dx [ x 2 + 2]
y' = x 2 + 2
                 d                       d

y ' = (x 2 + 2 )[3x 2 ]+ (x 3 + 1)[ 2x ]

Resolviendo el polinomio
y ' = 3x 4 + 6x 2 + 2x 4 + 2 x

Reduciendo términos semejantes
y ' = 3x 4 + 6x 2 + 2x 4 + 2 x

                                                               17
y ' = 5x 4 + 6 x 2 + 2 x

Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 28
Hallar la derivada de y = (x4 - 1) (x2 + 1)

Primer termino = (x4 - 1)
Segundo termino = (x2 + 1)

y ' (x ) =
              [(       )(
             d x4 - 1 x2 + 1  )]
                    dx

      ( ) dx [x 2 + 1]+ (x 2 + 1) dx [ x 4 − 1]
y' = x 4 −1
                d                       d

y ' = (x 4 − 1)[2x + 1] + (x 2 + 1)[ 4x 3 ]

Resolviendo el polinomio
      (            )         (
y ' = x 4 − 1 [2x + 1] + x 2 + 1 4x 3   )[ ]
Reduciendo términos semejantes
y ' = 2x 5 - 2x + 4x 5 + 4x 3
y ' = 6x 5 - 2x + 4x 3


Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 29
Hallar la derivada de y = (x2 + 17) (x3 – 3x + 1)

Primer termino = (x2 + 17)
Segundo termino = (x3 – 3x + 1)

h ' (x ) =
              [(        )(          )]
             d x 2 + 17 x 3 − 3 x + 1
                       dx

      ( ) dx [x 3 − 3x + 1]+ (x 3 - 3x + 1) dx [ x 2 + 17]
y ' = x 2 + 17
                  d                               d

y ' = (x 2 + 17 )[3x 2 − 3]+ (x 3 - 3x + 1)[ 2x ]

Resolviendo el polinomio
y ' = 3x 4 + 51x 2 - 3x 2 - 51 + 2x 4 − 6 x 2 + 2x


Reduciendo términos semejantes
y ' = 3x 4 + 51x 2 - 3x 2 - 51 + 2x 4 − 6 x 2 + 2x
y ' = 5x 4 + 42x 2 - 3x 2 - 51 + 2x

Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 30
Hallar la derivada de y = (x4 + 2x) (x3 +2x2 + 1)

Primer termino = (x4 + 2x)

                                                             18
Segundo termino = (x3 +2x2 + 1)


      ( ) dx [x 3 + 2x 2 + 1]+ (x 3 + 2x 2 + 1) dx [ x 4 + 2x]
y ' = x 4 + 2x
                   d                                     d

y ' = (x 4 + 2 x )[3x 2 + 4x ]+ (x 3 + 2x 2 + 1)[ 4x 3 + 2]

Resolviendo el polinomio
y ' = 3x 6 + 6x 3 + 4x 5 + 8x 2 + 4x 6 + 8x 5 + 4 x 3 + 2x 3 + 4x 2 + 2

Reduciendo términos semejantes
y ' = 3x 6 + 6x 3 + 4x 5 + 8x 2 + 4x 6 + 8x 5 + 4 x 3 + 2x 3 + 4x 2 + 2
y ' = 7x 6 + 12x 3 + 12x 5 + 12x 2 + 2


Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 31
Hallar la derivada de y = (5x2 -7) (3x2 -2x + 1)

Primer termino = (5x2 -7)
Segundo termino = (3x2 -2x + 1)


      ( ) dx [3x 2 - 2x + 1]+ (3x 2 − 2x + 1) dx [ 5x 2 − 7]
y ' = 5x 2 - 7
                  d                                d

y ' = (5x 2 - 7 )[6x - 2] + (3x 2 − 2x + 1)[ 10x ]

Resolviendo el polinomio
y ' = 30x 3 - 42x - 10x 2 + 14 + 30x 3 - 20x 2 + 10x

Reduciendo términos semejantes
y ' = 30x 3 - 42x - 10x 2 + 14 + 30x 3 - 20x 2 + 10x
y ' = 60x 3 - 32x - 30x 2 + 14


Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 32
Hallar la derivada de y = (3x2 +2x) (x4 - 3x + 1)

Primer termino = (3x2 +2x)
Segundo termino = (x4 - 3x + 1)


      (
y ' = 3x 2 + 2x  ) dx [x 4 - 3x + 1]+ (x 4 − 3x + 1) dx [ 3x 2 + 2x]
                    d                                 d

y ' = (3x 2 + 2x )[4x 3 - 3]+ (x 4 − 3x + 1)[ 6x + 2]

Resolviendo el polinomio
y ' = 12x 5 + 8x 4 - 9x 2 - 6x + 6x 5 - 18x 2 + 6x + 2x 4 - 6x + 2

Reduciendo términos semejantes


                                                                          19
y ' = 12x 5 + 8x 4 - 9x 2 - 6x + 6x 5 - 18x 2 + 6x + 2x 4 - 6x + 2
y ' = 18x 5 + 10x 4 - 27x 2 - 6x + 2


Sección 3.2 Calculo Thomas.
Problema # 13
Hallar la derivada de y = (3 - x2) (x3 - x + 1)

Primer termino = (3 - x2)
Segundo termino = (x3 - x + 1)


      ( ) dx [x 3 - x + 1]+ (x 3 − x + 1) dx [ 3 - x 2 ]
y' = 3 - x 2
                 d                                d

y ' = (3 - x 2 )[3x 2 - 1]+ (x 3 − x + 1)[ - 2x ]

Resolviendo el polinomio
y ' = 9x 2 - 3x 4 - 3 + x 2 − 2 x 4 + 2x 2 - 2x

Reduciendo términos semejantes
y ' = 9x 2 - 3x 4 - 3 + x 2 − 2 x 4 + 2x 2 - 2x
y ' = 12x 2 - 5x 4 - 3 - 2x


Sección 3.2 Calculo Thomas.
Problema # 14
Hallar la derivada de y = (x - 1) (x2 + x + 1)

Primer termino = (x - 1)
Segundo termino = (x2 + x + 1)


y ' = (x - 1 )       [
                    d 2
                   dx
                                    ](
                      x + x +1 + x2 + x +1
                                            d
                                           dx
                                             )[ x - 1]
                           (             )
y ' = (x - 1 ) [2x + 1] + x 2 + x + 1 [ 1]

Resolviendo el polinomio
y ' = 2x 2 - 2x + x - 1 + x 2 + x + 1

Reduciendo términos semejantes
y ' = 2x 2 - 2x + x - 1 + x 2 + x + 1
y ' = 3x 2

Hallar la derivada de y = (x3 - 1) (x3 + 1)

Primer termino = (x3 - 1)
Segundo termino = (x3 + 1)

y ' (x ) =
              [(      )(
             d x 3 - 1 x3 + 1  )]
                     dx



                                                                     20
( ) dx [x 3 + 1]+ (x 3 + 1) dx [ x 3 - 1]
y' = x3 -1
                 d                         d

y ' = (x 3 - 1 )[3 x 3 -1 ]+ (x 3 + 1)[ 3 x 3 -1 ]
y ' = (x 3 - 1 )[3 x 2 ]+ (x 3 + 1)[ 3 x 2 ]

Resolviendo el polinomio
y' = 3 x5 - 3 x 2 + 3 x5 + 3 x 2

Reduciendo términos semejantes
y' = 3 x5 - 3 x 2 + 3 x5 + 3 x 2
y' = 6 x5


DERIVADA DEL COCIENTE

Si u y v son diferenciables en x y v(x) ≠ 0, entonces el cociente u/v es diferenciable en x, y
                     du    dv
                 v      -u
 d ⎛u⎞               dx    dx
   ⎜ ⎟=
dx ⎝ v ⎠              (v )2

Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129
Problema 17
Hallar la derivada (aplicando cocientes)
     2x + 5
y=
     3x - 2
      ⎛ 2x + 5 ⎞
     d⎜        ⎟
y' =  ⎝3x -2⎠
         dx
        (3x - 2)⎡ d(2x + 5) ⎤ - (2x + 5)⎡ d(3x - 2) ⎤
                ⎢           ⎥           ⎢           ⎥
 y' =            ⎣    dx      ⎦         ⎣    dx    ⎦
                           (3x - 2)2
y' =
        (3x - 2)[2] - (2x + 5)[3]
               (3x - 2)2
Cancelando términos semejantes
        6x - 4 - 6x _ 15
y' =
           (3x - 2)2
           - 19
y' =
        (3x - 2)2

Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129
Problema 18
Hallar la derivada (aplicando cocientes)
        2x + 1
y=
        x 2 -1

                                                                                                 21
⎛ 2x + 1 ⎞
    d⎜        ⎟
     ⎜ 2 ⎟
y' = ⎝ x - 1 ⎠
        dx
                                         ⎡ d ⎛ x 2 - 1⎞ ⎤
                                             ⎜        ⎟⎥
      ⎛x  2 - 1⎞ ⎡ d(2x + 1) ⎤ - (2x + 1)⎢ ⎝          ⎠
      ⎜        ⎟⎢             ⎥          ⎢              ⎥
      ⎝        ⎠ ⎣ dx ⎦                  ⎢      dx      ⎥
 y' =                                    ⎣              ⎦
                                    2
                          ⎛ 2 ⎟
                          ⎜ x - 1⎞
                          ⎝       ⎠
     ⎛x  2 - 1⎞[2] - (2x + 1)[2](x )2 −1
     ⎜        ⎟
y' = ⎝        ⎠
                             2
                  ⎛ x 2 - 1⎞
                  ⎜        ⎟
                  ⎝        ⎠

y' =
       ( )
       x 2 - 1 [2] - (2x + 1) [2] (x )

                    (x 2 - 1)2
       2x 2 - 2 - (2x + 1)(2x )
y' =
               (x 2 - 1)2
       2x 2 - 2 - 4x 2 - 2x
y' =
                      2
           ⎛ x 2 - 1⎞
           ⎜        ⎟
           ⎝        ⎠
Cancelando términos semejantes

       2x 2 - 2 - 4x 2 - 2x
y' =
                       2
            ⎛ x 2 - 1⎞
            ⎜        ⎟
            ⎝        ⎠
       - 2x 2 - 2 - 2x
y' =
                  2
      ⎛ x 2 - 1⎞
      ⎜         ⎟
      ⎝         ⎠
    - 2 ⎛ x 2 + x + 1⎞
        ⎜            ⎟
y' = ⎝               ⎠
                   2
        ⎛ x 2 - 1⎞
        ⎜        ⎟
        ⎝        ⎠



Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129
Problema 19
Hallar la derivada (aplicando cocientes)

          x2 - 4
g(x ) =
          x + 0,5
            ⎛ x2 - 4 ⎞
          d⎜          ⎟
            ⎜ x + 0,5 ⎟
g' (x ) = ⎝           ⎠
               dx
                    ⎡    2  ( ⎤    ) (    ⎢      )
           (x + 0,5)⎢ d x - 4 ⎥ - x 2 - 4 ⎡ d(x + 0,5)⎤
                                                      ⎥
                    ⎢ dx ⎥
                    ⎣         ⎦           ⎣    dx     ⎦
 g' (x ) =
                           (x + 0,5)2

                                                            22
g' (x ) =
                           ( )(
             (x + 0,5)[2] x 2 -1 - x 2 - 4 [1]   )
                       (x + 0,5)2

g' (x ) =
                                  (
             (x + 0,5)[2](x ) - x 2 - 4      )
                    (x + 0,5)2

g(x )' =
            (x + 0,5)(2x ) - x 2 + 4
                  (x + 0,5)2
Cancelando términos semejantes

            2x 2 + x - x 2 + 4
g' (x ) =
                (x + 0,5)2
            x2 + x + 4
g' (x ) =
            (x + 0,5)2

Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129
Problema 20
Hallar la derivada (aplicando cocientes)

             t 2 -1
f (t ) =
           t2 + t - 2
             ⎛ t 2 -1 ⎞
           d⎜               ⎟
             ⎜ 2            ⎟
                t +t -2⎠
f ' (t ) = ⎝
                  dx
                           ⎡ d ⎛ t 2 - 1⎞ ⎤             ⎡ d⎛ t 2 + t - 2 ⎞ ⎤
            ⎛ t 2 + t - 2⎞ ⎢ ⎜ ⎝
                                         ⎟⎥
                                         ⎠ - ⎛ t 2 - 1⎞ ⎢ ⎝
                                                           ⎜             ⎟⎥
                                                                         ⎠
            ⎜            ⎟⎢               ⎥ ⎜         ⎟⎢                   ⎥
            ⎝            ⎠ ⎢ dx ⎥ ⎝                   ⎠⎢        dx         ⎥
 f ' (t ) =                ⎣              ⎦             ⎣                  ⎦
                                                    2
                                    ⎛ t 2 + t - 2⎞
                                    ⎜             ⎟
                                    ⎝             ⎠
           ⎛ t 2 + t - 2 ⎞[2]⎛ t 2 -1 ⎞ - ⎛ t 2 - 1⎞[2](t )2 −1 + 1
           ⎜             ⎟ ⎜          ⎟ ⎜          ⎟
f ' (t ) = ⎝             ⎠ ⎝          ⎠ ⎝          ⎠
                                                2
                              ⎛ t 2 + t - 2⎞
                              ⎜               ⎟
                              ⎝               ⎠

           ⎛ t 2 + t - 2 ⎞[2](t ) - ⎛ t 2 - 1⎞[2](t ) + 1
           ⎜             ⎟          ⎜         ⎟
f ' (t ) = ⎝             ⎠          ⎝         ⎠
                                          2
                        ⎛ t 2 + t - 2⎞
                        ⎜               ⎟
                        ⎝               ⎠
           ⎛ t 2 + t - 2 ⎞(2t ) - ⎛ t 2 - 1⎞(2t + 1)
           ⎜             ⎟        ⎜         ⎟
f ' (t ) = ⎝             ⎠        ⎝         ⎠
                                             2
                          ⎛ t 2 + t - 2⎞
                          ⎜            ⎟
                          ⎝            ⎠
Cancelando términos semejantes



                                                                               23
2t 3 + 2t 2 - 4t - 2t 3 + 2t - t 2 + 1
f ' (t ) =
                                          2
                         ⎛ t 2 + t - 2⎞
                         ⎜            ⎟
                         ⎝            ⎠

f ' (t ) =
                 t 2 - 2t + 1
                                =
                                 (t - 1)(t - 1) = (t - 1)(t - 1)
                            2 [(t + 2)(t - 1)]2 (t + 2)2 (t - 1)2
             ⎛ t 2 + t - 2⎞
             ⎜             ⎟
             ⎝             ⎠

f ' (t ) =
                     1
             (t + 2)2

Calcular la derivada

         5
y=
        x2
y = 5x -2


 y' =
          ( )
        d 5x - 2
           dx

y’= (-2) (5) x -2-1


y’= -10x -3

             10
 y' = -
             x3

Otra forma (aplicando cocientes)

         5
y=
        x2
     ⎛ 5         ⎞
    d⎜           ⎟
     ⎜ 2         ⎟
y' = ⎝           ⎠
       x
       dx
                     ⎡ d⎛ x 2 ⎞ ⎤
                        ⎜ ⎟
         ⎡ d(5) ⎤ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥
      x2 ⎢      ⎥ - 5⎢          ⎥
         ⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥
                     ⎢
                     ⎣          ⎥
                                ⎦
 y' =
                     2
             ⎜x ⎞
             ⎛ 2⎟
             ⎝ ⎠


     x 2 [0] - 5⎡2 x 2 -1 ⎤
                ⎢
                ⎣         ⎥
                          ⎦
y' =
        ⎛x2 ⎞ ⎛x2 ⎞
        ⎜ ⎟⎜ ⎟
        ⎝ ⎠⎝ ⎠




                                                                    24
x 2 [0] - 5[2 x ]
y' =
          (x 2 )(x 2 )
       - [10x ] - 10
y' =           =
         x4      x3

       - 10
y' =
        x3

Calcular la derivada
      1
y=
     3x 2

     1 -2
y=     x
     3

     ⎛1      ⎞
    d⎜ x - 2 ⎟
y' = ⎝       ⎠
       3
        dx


y’= (-2) (1/3) x -2-1

 y’= - 2/3 x -3
            2
 y' = -
          3 x3


Otra forma (aplicando cocientes)
      1
y=
     3x 2
     ⎛ 1         ⎞
    d⎜           ⎟
     ⎜ 2         ⎟
y' = ⎝           ⎠
       3x
       dx
                      ⎡ d⎛ 3x 2 ⎞ ⎤
                          ⎜     ⎟⎥
        2 ⎡ d(1) ⎤ - 1⎢ ⎝       ⎠
      3x ⎢       ⎥ ⎢              ⎥
          ⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥
                      ⎢
                      ⎣           ⎥
                                  ⎦
 y' =
                        2
              ⎛ 3x 2 ⎞
              ⎜       ⎟
              ⎝       ⎠


                      [        ]
       3x 2 [0] - 1 (2 )(3)x 2 -1
y' =
                (3x 2 )(3x 2 )
       (3x 2 )[0] - 1[(2)(3)(x)]
y' =
            (3x 2 )(3x 2 )

                                      25
- 1[6x ]       - 6x       -2
y' =              =          =
        9x 4          9x 4       3x 3

       -2
y' =
       3x 3


Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 129
Ejemplo 2
Hallar la derivada (aplicando cocientes)

           2 x3 + 4
f (x ) =
            x2 +1

             ⎛ 2 x3 + 4 ⎞
           d⎜            ⎟
             ⎜ 2         ⎟
f ' (x ) =   ⎝ x +1 ⎠
                 dx
                       ⎡ d⎛ 2 x 3 + 4 ⎞ ⎤                ⎡ d⎛ x 2 + 1⎞ ⎤
                          ⎜            ⎟                    ⎜        ⎟⎥
            ⎛ x 2 + 1⎞ ⎢ ⎝
            ⎜        ⎟⎢
                                       ⎠ ⎥ - ⎛ 2 x3 + 4⎞ ⎢ ⎝         ⎠
                                         ⎥ ⎜           ⎟⎢              ⎥
            ⎝        ⎠⎢       dx         ⎥   ⎝         ⎠⎢      dx      ⎥
                       ⎣                 ⎦               ⎣             ⎦
 f ' (x ) =
                                                 2
                                    ⎛ x 2 + 1⎞
                                    ⎜          ⎟
                                    ⎝          ⎠
           ⎛   2 + 1⎞ [2] (3)(x )3-1 - ⎛ 2 x 3 + 4 ⎞ [2] (x )2 −1
           ⎜x       ⎟                     ⎜          ⎟
f ' (x ) = ⎝        ⎠                     ⎝          ⎠
                                              2
                                 ⎛ x 2 + 1⎞
                                 ⎜          ⎟
                                 ⎝          ⎠

           ⎛ x 2 + 1⎟ 6 x 2 - ⎛ 2 x 3 + 4 ⎞ 2 x
           ⎜        ⎞           ⎜         ⎟
f ' (x ) = ⎝        ⎠           ⎝         ⎠
                                    2
                        ⎛ x 2 + 1⎞
                        ⎜         ⎟
                        ⎝         ⎠
           6 x 4 + 6 x 2 - 4 x 4 - 8x
f ' (x ) =
                               2
                   ⎛ x 2 + 1⎞
                   ⎜         ⎟
                   ⎝         ⎠
Cancelando términos semejantes

             2 x 4 + 6 x 2 - 8x
f ' (x ) =
                            2
                 ⎛ x 2 + 1⎞
                 ⎜        ⎟
                 ⎝        ⎠

Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 129
Ejemplo 3
Hallar la derivada (aplicando cocientes)
        3
x =
       x5




                                                                           26
⎛ 3 ⎞
    d⎜    ⎟
     ⎜ 5⎟
x' = ⎝
       x ⎠
       dx
                        ⎡ d⎛ x 5 ⎞ ⎤
                           ⎜ ⎟
      5 ⎡ d (3) ⎤ - (3) ⎢ ⎝ ⎠ ⎥
     x ⎢        ⎥       ⎢          ⎥
        ⎣ dx ⎦          ⎢ dx ⎥
                        ⎢
                        ⎣          ⎥
                                   ⎦
x '=
                      2
              ⎛ x5 ⎞
              ⎜ ⎟
              ⎝ ⎠


     x 5 [0] - (3) ⎡(5)x 5 -1 ⎤
                   ⎢
                   ⎣          ⎥
                              ⎦
y' =
          ⎛x ⎟⎜ ⎟
          ⎜
              5 ⎞ ⎛ x5 ⎞
          ⎝ ⎠⎝ ⎠


      - (3) ⎡(5)x 4 ⎤
            ⎢
            ⎣       ⎥
                    ⎦
y' =
      ⎛ x5 ⎞ ⎛ x5 ⎞
      ⎜ ⎟⎜ ⎟
      ⎝ ⎠⎝ ⎠
         - 15 x 4
y' =
     ⎛ x5 ⎞ ⎛ x5 ⎞
     ⎜ ⎟⎜ ⎟
     ⎝ ⎠⎝ ⎠

          - 15    - 15
y' =            =
        x ⎛ x5 ⎞ x
                     6
          ⎜ ⎟
          ⎝ ⎠

Calcular la derivada
             2
y=
        (x + 1)2
     ⎛ 2 ⎞
    d⎜           ⎟
     ⎜ ( x + 1)2 ⎟
y' = ⎝           ⎠
          dx
                             ⎡          2⎤
        (x + 1)2 ⎢ d(2) ⎤ - 2 ⎢ d (x + 1)
                 ⎡
                        ⎥                ⎥
                 ⎣ dx ⎦      ⎢
                             ⎣
                                     dx  ⎥
                                         ⎦
 y' =
                                 2
                   ⎡(x + 1)2 ⎤
                   ⎢
                   ⎣         ⎥
                             ⎦
        (x + 1)2 (0) - 2⎡(2)(x + 1)2 −1 ⎤
                        ⎢               ⎥
                        ⎣                   ⎦
y' =
                   [(x + 1)]4

          - 2[(2 )(x + 1)]
y' =
            [(x + 1)]4
         - 4(x + 1)   -4
y' =                =
         (x + 1)4 (x + 1)3


                                                27
-4
y' =
       (x + 1)3

Calcular la derivada
           x
y=
        x 2 −1
      ⎛ x ⎞
     d⎜     ⎟
      ⎜ 2   ⎟
y' =  ⎝ x −1⎠
         dx
                               ⎡ d ⎛ x 2 − 1⎞ ⎤
                                   ⎜        ⎟⎥
      ⎛ x 2 − 1⎟ ⎡ d(x ) ⎤ - x ⎢ ⎝
      ⎜        ⎞                            ⎠
                               ⎢              ⎥
      ⎝        ⎠ ⎣ dx ⎥ ⎢
                 ⎢
                         ⎦            dx      ⎥
                               ⎢
                               ⎣              ⎥
                                              ⎦
 y' =
                                2
                   ⎛ x 2 − 1⎞
                   ⎜          ⎟
                   ⎝          ⎠

     ⎛ x 2 − 1⎞ [1] - x ⎡(2 ) x 2 -1 ⎤
     ⎜        ⎟
     ⎝        ⎠         ⎢
                        ⎣            ⎥
                                     ⎦
y' =
                           2
             ⎛ x 2 − 1⎞
             ⎜           ⎟
             ⎝           ⎠


       x 2 - 1 - x [2x ]
y' =
                    2
        ⎛ x 2 − 1⎞
        ⎜         ⎟
        ⎝         ⎠
reduciendo términos semejantes
    x 2 - 1 - 2x 2
y' =
         (x 2 − 1)2
                       - ⎛ x 2 + 1⎞
                         ⎜        ⎟
         -1 - x 2        ⎝        ⎠
y' =                 =
                 2                2
     ⎛ x 2 − 1⎞
     ⎜         ⎟       ⎛ x 2 − 1⎞
                       ⎜        ⎟
     ⎝         ⎠       ⎝        ⎠
          x 2 +1
y' = -
                   2
       ⎛ x 2 − 1⎞
       ⎜         ⎟
       ⎝         ⎠




                                                  28
Calculo Thomas




                 29
SEGUNDA DERIVADA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

                                                 30
La derivada y’ = dy/dx es la primera derivada (derivada de primer orden) de y con respecto a x. la
derivada en si bien puede ser una función diferenciable.

                '              2
      y ' ' = dy = d ⎡ dy ⎤ = d y
              dx dx ⎢ dx ⎥ dx 2
                     ⎣ ⎦

Se llama la segunda derivada (derivada de segundo orden ) de y con respecto a x.


Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 130
Ejemplo 4

Encuentre todas las derivadas.

f (x) = 8 x4 + 5 x3 – x2 + 7
 ‘
f (x) = 8 (4) x4 - 1 + 5 (3) x3-1 – (2) x2-1 + 0
 ‘
f (x) = 32 x3 + 15 x2 – 2 x

 ‘‘
f (x) = 32 (3) x3-1 + 15 (2) x2-1 – 2 x1-1
 ‘‘
f (x) = 96 x2 + 30 x – 2

 ‘‘‘
f (x) = 96 (2) x2-1 + 30 x1-1 – 0
 ‘‘‘
f (x) = 192 x + 30

 4
f (x) = 192 x1-1 + 0
 4
f (x) = 192

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

DERIVADA DEL SENO
En pocas palabras, la derivada del seno es el coseno.
 d
   (sen x ) = cos x
dx

Calcular la derivada

y = x3 sen x

Aplicando la derivada del producto
Primer termino = (x3)
Segundo termino = (sen x)


y' =
           (
     d x 3 sen x    )
          dx
      ( )
y' = x3
          d
            [sen x ] + (sen x ) d x 3   [ ]
y ' = (x 3 )[cos x ] + (sen x ) [3x 2 ]
         dx                    dx



y ' = x 3 cos x + 3x 2 senx

                                                                                                31
Calcular la derivada

y = (x sen x)3
       d (x sen x )3
 y' =
            dx
y' = x3( ) d
          dx
              [sen x ]3 + (sen x )3 d x 3
                                    dx
                                         [ ]
                       d (x sen x )
y ' = 3[x sen x ]3 −1
                           dx
                    d (x sen x )
y ' = 3[x sen x ]2
                         dx
Aplicando derivada del producto
                   ⎡ d (senx )          ⎛ d ( x ) ⎞⎤
y ' = 3[x sen x ]2 ⎢(x )       + (senx )⎜         ⎟⎥
                   ⎣     dx             ⎝ dx ⎠⎦
y ' = 3[x sen x ]2 [(x ) cos x + (senx )(1)]
y ' = 3[x sen x ]2 [x cos x + senx]

Otra forma (aplicando la derivada interna)

y = (x sen x)3
y = x3 (sen x)3

Aplicando la derivada del producto
Primer termino = (x3)
Segundo termino = (sen x)3


y' =
        [
     d x 3 (senx )3  ]
           dx
y' = x3( )d
         dx
             [sen x ]3 + (sen x )3 d x 3
                                   dx
                                         [ ]
       ( )                                       [ ]
y ' = x 3 3(cos x ) [sen x ]3 - 1 + (sen x )3 3 x 3 - 1

La derivada interna de (sen x)3 es: cos x
y ' = 3 x 3 (cos x ) [sen x ]2 + (sen x )3 3 x 2

   y ' = 3 x 3 (cos x ) sen 2 x + 3x 2 sen 3 x

Factor común
  y ' = 3 x 2 sen 2 x[x cosx + sen x ]

Calcular la derivada

y = sen x
y = sen x = (sen x )1 2

                                                          32
y' =
       [
    d (sen x )1 2   ]
         dx
                    d[(sen x )]
y' = (sen x )1 2 −1
    1
    2                   dx

y' =
     1
       (sen x )1 2 −1 * (1)cos x
     2
y' = (sen x ) − 1 2 (cos x )
     1
     2
y' =
           1
                   (cos x )
     2(sen x )1 2
         cos x         cos x
y' =               =
     2(sen x )1 2 2 sen x
       cos x
y' =
     2 sen x


Calcular la derivada

       ln x
y=
       x −1
        ⎛ x ⎞
      d⎜        ⎟
y' =    ⎝ x −1⎠
          dx
       (x - 1)⎡ d(ln x )⎤ - ln x ⎡ d(x - 1)⎤
              ⎢ dx ⎥                ⎢ dx ⎥
 y' =         ⎣           ⎦         ⎣        ⎦
                      [x − 1]  2

      (x - 1) ⎛ 1 ⎞ ⎡ d(x )⎤ - ln x [1]
              ⎜ ⎟⎢
y' =          ⎝ x ⎠ ⎣ dx ⎥   ⎦
                  [x − 1]  2

      (x - 1) ⎛ 1 ⎞ [1] - ln x
              ⎜ ⎟
y' =          ⎝x⎠
             [x − 1]2
     ⎛ x -1⎞
     ⎜        ⎟ - ln x
                            (x - 1) - x ln x
y' = ⎝
          x ⎠
                         =          x        =
                                               (x - 1) - x ln x = x - 1 - x ln x
          [x − 1] 2             (x - 1)2         x (x - 1)2        x (x - 1)2
      x - 1 - x ln x
y' =
        x (x - 1)2

Calcular la derivada

y = tag (2x + 1)




                                                                                   33
d [tag (2x + 1)]
y' =
              dx
y ' = sec 2 (2x + 1) [2x + 1]
                     d
                    dx
y ' = sec 2 (2x + 1) [2]

y ' = 2 sec 2 (2x + 1)

Calcular la derivada                                                  1
                                                     y' = tag x *         = tag x sec x
                                                                    cos x
     1                                               y' = sec x tag x
y=
   cos x
     1
y=       = sec x                                     Otra forma (utilizando el exponente)
   cos x                                                  1
                                                     y=
       d(sec x )                                        cos x
y' =
                                                              = (cos x )−1
         dx                                               1
                  d(x )
                                                     y=
 y' = sec x tag x                                       cos x
                   dx                                       d(cos x )−1
y' = sec x tag x (1)                                 y' =
                                                                dx
y' = sec x tag x
                                                                               d (cos x )
                                                      y' = (- 1)(cos x )-1 -1
                                                                                  dx
Otra forma (utilizando el cociente)                                         d(cos x )
y=
         1                                           y' = (- 1)(cos x )- 2
                                                                                dx
       cos x
                                                               -1     d (cos x )
       ⎛ 1 ⎞                                         y' =
      d⎜
       ⎝ cos x ⎠
                ⎟                                         (cos x ) dx
                                                                   2
y' =
                                                                     * (- sen x )
                                                               -1
          dx                                         y' =
             ⎡ d(1) ⎤ ⎡ d(cos x ) ⎤                       (cos x )2
      cos x ⎢       ⎥ - 1⎢        ⎥
 y' =        ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦                           y' =
                                                             sen x
                    (cos x )2                             (cos x )2
       cos x [0] - 1[− sen x ]                       y' =
                                                                sen x
                                                                           =
                                                                             sen x 1
y' =                                                                                *
                                                          (cos x )(cos x ) cos x cos x
             (cos x )2
                                                     y' = tag x sec x
     - 1[− sen x ]         sen x        sen x   1
y' =               =                  =       *
        (cos x )2       cos x (cos x ) cos x cos x


Hallar la derivada de y = (x5) (esen x)

Primer termino = (x5)
Segundo termino = (esen x)


y' =
        [ ( )]
       d (x )5 e senx
              dx

y' = x5( ) dx [e senx ]+ (esen x ) dx [x 5 ]
            d                       d




                                                                                            34
⎡                   d (senx ) ⎤ ⎛ sen x ⎞ ⎡ 5 -1 ⎤
y ' = ⎢⎛ x 5 ⎞ ⎜ e senx ⎞
       ⎜ ⎟⎛             ⎟             + ⎜e    ⎟ (5) ⎢ x
      ⎣⎝ ⎠⎝             ⎠    dx ⎥ ⎝ ⎦         ⎠ ⎣       ⎥
                                                        ⎦


      ⎡⎛                           d (x ) ⎤
y ' = ⎢⎜ x 5 ⎞ ⎛ e senx ⎞ (cos x )
             ⎟⎜         ⎟                   + 5 ⎛ e sen x ⎞ ⎡ x 4 ⎤
                                                ⎜         ⎟⎢ ⎥
      ⎣⎝ ⎠ ⎝            ⎠           dx ⎥  ⎦     ⎝         ⎠⎣ ⎦


y ' = ⎢⎛ x 5 ⎟ ⎛ e senx ⎞ (cos x )(1)⎤ + 5 ⎛ e sen x ⎞ ⎡ x 4 ⎤
      ⎡
       ⎜ ⎞⎜             ⎟            ⎥     ⎜         ⎟⎢ ⎥
      ⎣⎝ ⎠ ⎝            ⎠            ⎦     ⎝         ⎠⎣ ⎦



y ' = x 5 (cos x ) ⎛ e sen x ⎞ + 5x 4 ⎛ e sen x ⎞
                   ⎜         ⎟        ⎜         ⎟
                   ⎝         ⎠        ⎝         ⎠


y ' = x 4 ⎛ e sen x ⎞ [x cos x + 5]
          ⎜         ⎟
          ⎝         ⎠

Calcular la derivada


y = sen 1 - 2 x
y = sen 1 - 2 x = sen (1 - 2x )1 2
       ⎡              1 2⎤
     d ⎢ sen⎛1 - 2 x ⎞ ⎥
            ⎜        ⎟
       ⎢ ⎝           ⎠ ⎥
y' = ⎣                    ⎦
               dx
                          ⎡          1 2⎤
                        d ⎢⎛1 − 2 x ⎞ ⎥
                           ⎜        ⎟
                   1 2 ⎢⎝           ⎠ ⎥
                          ⎣             ⎦
y' = cos ⎛1 - 2 x ⎞
          ⎜       ⎟
          ⎝       ⎠            dx

                 ⎛               d ⎛1 − 2 x ⎞ ⎞
                 ⎜1                ⎜        ⎟⎟
y' = cos 1 - 2 x ⎜ (1 − 2 x )−1 2 ⎝         ⎠⎟
                 ⎜2                  dx       ⎟
                 ⎜                            ⎟
                 ⎝                            ⎠

                 ⎛1                              ⎞
y' = cos 1 - 2 x ⎜ (1 − 2 x )−1 2 ⎛ − 2 x ln 2 ⎞ ⎟
                                  ⎜            ⎟
                 ⎝2               ⎝            ⎠⎠

                 ⎛
y' = cos 1 - 2 x ⎜
                      1
                 ⎜ 2 1 - 2x(
                                       ⎞
                            − 2 x ln 2 ⎟
                                       ⎟ )(           )
                 ⎝                     ⎠

                 ⎛ ⎛ - 2 x ln 2 ⎞ ⎞
                 ⎜⎜             ⎟⎟
y' = cos 1 - 2 x ⎜⎝             ⎠⎟
                       (
                 ⎜ 2 1 - 2x ⎟
                 ⎜
                                 )⎟
                 ⎝                ⎠


     ⎛ - 2 x ln2 ⎞ ⎛ cos 1 - 2 x
     ⎜           ⎟⎜
                                     ⎞
                                     ⎟
     ⎝           ⎠⎜⎝
                                     ⎟
                                     ⎠
y' =
               2 1- 2x




                                                                      35
Calcular la derivada

y = cos x
y = cos x = cos (x )1 2
    d ⎡cos (x )1 2 ⎤
      ⎢            ⎥
y' = ⎣             ⎦
          dx
                   ⎛1⎞
y' = - sen (x )1 2 ⎜ ⎟ (x )1 2 − 1
                   ⎝2⎠

             ⎛1⎞
y' = - sen x ⎜ ⎟ (x )- 1 2
             ⎝2⎠
             ⎛1⎞⎛ 1 ⎞
y' = - sen x ⎜ ⎟ ⎜      ⎟
             ⎝2⎠⎝ x ⎠
        - sen x
y' =
         2 x

Calcular la derivada

y = (x) (sen x)3

Primer termino = (x)
Segundo termino = (sen x)3


 y' =
             [
        d (x )(senx )3   ]
              dx

y ' = (x )
              d
             dx
                 [           ]
                (sen x )3 + (sen x )3 d [x ]
                                      dx

y ' = (x )(cos x )3
                       d
                      dx
                             [ ]
                         (x )3 + (sen x )3 [1]

                    [           ]
y ' = (x )(cos x )3 (3)(x )3 −1 + (sen x )3

y ' = (x )(cos x )3 [(3)(x )2 ]+ (sen x )3

y ' = 3 (x )(x )2 (cos x )3 + (sen x )3

y ' = 3 x 3 (cos x )3 + (sen x )3


Calcular la derivada

y = ln [sen (x2 + 5)]


                                                 36
y
          [( (   2
   ' = d ln sen x + 5            )]
                 dx
     ⎛      1                ⎞ ⎡ d (sen (x 2 + 5) ⎤
y' = ⎜                       ⎟⎢
     ⎝      (
     ⎜ sen x 2 + 5 ⎟ ⎢
                   ⎠⎣    )             dx        ⎥
                                                 ⎦
                                                  ⎥

     ⎛                ⎞
     ⎜                ⎟
                      ⎟ ⎡cos ⎛ x 2 + 5 ⎞(2 )(x )2 −1 ⎤
  '= ⎜       1
y                            ⎜         ⎟
     ⎜ sen⎜ x 2 + 5 ⎞ ⎟ ⎢
          ⎛         ⎟⎟⎣
                             ⎝         ⎠             ⎥
                                                     ⎦
     ⎜
     ⎝    ⎝         ⎠⎠

     ⎛                ⎞
     ⎜                ⎟
                      ⎟ ⎡cos ⎜ x 2 + 5 ⎞(2 )(x )⎤
                             ⎛
             1
y' = ⎜                                 ⎟
     ⎜ sen⎛ x 2 + 5 ⎞ ⎟ ⎢
          ⎜         ⎟⎟  ⎣    ⎝         ⎠        ⎥
                                                ⎦
     ⎜
     ⎝    ⎝         ⎠⎠

     ⎛ ⎛                  ⎞⎞
     ⎜ 2x ⎜ cos ⎛ x + 5 ⎞ ⎟ ⎟
                   2
                ⎜       ⎟
          ⎝     ⎝       ⎠⎠ ⎟
y' = ⎜
     ⎜        ⎛ 2    ⎞ ⎟
     ⎜ sen⎜ x + 5 ⎟ ⎟
              ⎝      ⎠ ⎠
     ⎝

                 (
       2x cos x 2 + 5         )
y' =
             (
         sen x 2 + 5     )
                     (
y ' = (2x ) cot x 2 + 5           )
Calcular la derivada

         1+ x2
y = ln
         1− x2
       ⎛ 1+ x2 ⎞
      d⎜ ln       ⎟
       ⎜         2⎟
            1− x ⎠
y' = ⎝
            dx
               ⎡ ⎛1+ x2 ⎞⎤
               ⎢d⎜       ⎟⎥
               ⎢ ⎜1 − x2 ⎟⎥
               ⎢ ⎝       ⎠⎥
          1
 y' =
       1+ x  2 ⎢    dx    ⎥
               ⎢          ⎥
       1- x2 ⎢ ⎣
                          ⎥
                          ⎦

               ⎡ ⎛1 + x2 ⎞ ⎤
               ⎢ d⎜      ⎟⎥
     ⎛ 1- x2 ⎞ ⎢ ⎜1 − x2 ⎟ ⎥
y' = ⎜       ⎟⎢ ⎝        ⎠⎥
     ⎜     2 ⎟⎢     dx     ⎥
     ⎝1+ x ⎠ ⎢             ⎥
               ⎢           ⎥
               ⎣           ⎦




                                                         37
⎡           ⎛ d ⎛1 + x 2 ⎞ ⎞              ⎛ d ⎛1 - x 2 ⎞ ⎞ ⎤
               ⎢⎛          ⎜ ⎜          ⎟⎟               ⎜ ⎜          ⎟ ⎟⎥
                               ⎝        ⎠ ⎟ - ⎛1 + x 2 ⎞ ⎜ ⎝          ⎠⎟
               ⎢ ⎜1 - x ⎞ ⎜
                       2
                         ⎟                    ⎜        ⎟                  ⎥
               ⎢ ⎝       ⎠⎜      dx       ⎟ ⎝          ⎠⎜      dx       ⎟⎥
     ⎛ 1- x2 ⎞ ⎢           ⎜              ⎟              ⎜              ⎟
y' = ⎜       ⎟             ⎝              ⎠              ⎝              ⎠⎥
     ⎜     2⎟  ⎢                                  2                       ⎥
     ⎝1+ x ⎠ ⎢                       ⎛1 - x 2 ⎞
                                     ⎜          ⎟                         ⎥
               ⎢                     ⎝          ⎠                         ⎥
               ⎢                                                          ⎥
               ⎢                                                          ⎥
               ⎣                                                          ⎦
                  ⎡                  2 -1 - ⎛1 + x 2 ⎞ (− 2 )(x )2 −1 ⎤
                    ⎛     2⎞
     ⎛ 1- x2    ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2)(x )        ⎜        ⎟                ⎥
y' = ⎜          ⎟ ⎢⎝       ⎠                ⎝        ⎠                ⎥
     ⎜     2    ⎟⎢                               2                    ⎥
     ⎝1+ x      ⎠⎢                    ⎛1 - x ⎟
                                      ⎜
                                              2⎞
                                                                      ⎥
                  ⎣                   ⎝        ⎠                      ⎦
                 ⎡                                       ⎤
                   ⎛     2⎞             ⎛       2⎞
     ⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2)(x ) - ⎜1 + x ⎟ (− 2)(x ) ⎥
y' = ⎜         ⎟ ⎢⎝       ⎠             ⎝          ⎠     ⎥
     ⎜       2 ⎟⎢                             2          ⎥
     ⎝1+ x ⎠ ⎢                  ⎛1 - x 2 ⎞
                                ⎜           ⎟            ⎥
                 ⎣              ⎝           ⎠            ⎦
                 ⎡                                     ⎤
                   ⎛     2⎞          ⎛        2⎞
     ⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2 x ) - ⎜1 + x ⎟ (− 2 x ) ⎥
y' = ⎜         ⎟ ⎢⎝       ⎠          ⎝          ⎠      ⎥
     ⎜       2 ⎟⎢                          2           ⎥
     ⎝ 1+ x ⎠                 ⎛1 - x ⎟2⎞
                 ⎢            ⎜                        ⎥
                 ⎣            ⎝          ⎠             ⎦
                 ⎡                                   ⎤
                   ⎛     2⎞           ⎛        2⎞
     ⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2 x ) + ⎜1 + x ⎟ (2 x ) ⎥
y' = ⎜         ⎟ ⎢⎝       ⎠           ⎝          ⎠   ⎥
     ⎜       2 ⎟⎢                         2          ⎥
     ⎝1+ x ⎠ ⎢               ⎛1 - x 2 ⎞
                             ⎜          ⎟            ⎥
                 ⎣           ⎝          ⎠            ⎦
     ⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎡ 2x - 2x 3 + 2x + 2x 3 ⎤
y' = ⎜         ⎟⎢                        ⎥
     ⎜1 + x 2 ⎟ ⎢
     ⎝         ⎠⎢⎣        1- x2( )
                                2        ⎥
                                         ⎥
                                         ⎦
     ⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎡ 4x ⎤
y' = ⎜         ⎟⎢        ⎥
     ⎜1+ x2 ⎟ ⎢
     ⎝               ( )2⎥
               ⎠ ⎢ 1- x2 ⎥
                 ⎣       ⎦
             4x - 4x 3
y' =
                               2
       ⎛1 + x 2 ⎞ ⎛1 − x 2 ⎞
       ⎜        ⎟⎜         ⎟
       ⎝        ⎠⎝         ⎠


Calcular la derivada

y = e1 x

     d ⎛ e1 x ⎞
       ⎜      ⎟
       ⎝      ⎠
y' =
         dx
               ⎛1⎞
              d⎜ ⎟
y' = ⎛ e1 x ⎞ ⎝ ⎠
                x
     ⎜      ⎟
     ⎝      ⎠ dx




                                                                              38
d ⎛ x −1 ⎞
                ⎜      ⎟
y' = ⎛ e1 x ⎞ ⎝        ⎠
     ⎜      ⎟
     ⎝      ⎠ dx

y' = ⎛ e1 x ⎞ (- 1)(x )-1-1
     ⎜      ⎟
     ⎝      ⎠

       ( )
y' = e1 x (- 1)(x )- 2

       - e1 x
y' =
        x2

LA REGLA DE LA CADENA
Si y = f(u) es función derivable de u y
u = g(x) es función derivable de x
entonces y = f(g(x)) es función derivable de x, con

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
  =⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

 d
   [f (g(x ))] = f ' (g(x )) g ' (x ) ’
dx

Sección 3.5 Ejemplo # 3 calculo Larson Edic 5 Pág. 139
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

y = (x2 + 1)3

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
  =⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

Se halla primero

dy
du

dy d ⎛ 2       3
  =   ⎜ x + 1⎞
             ⎟
du du ⎝      ⎠

                    3 −1
   = (3) ⎛ x 2 + 1⎞
dy
         ⎜        ⎟
du       ⎝        ⎠
                    2
   = (3) ⎛ x 2 + 1⎞
dy
         ⎜        ⎟
du       ⎝        ⎠

Después se halla

du
dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (x2 + 1)


                                                                      39
y = (x2 + 1)3 = (u)3

    d ⎛ x 2 + 1⎞
      ⎜        ⎟
   = ⎝         ⎠ = 2x 2 -1
du
dx       dx

 du
    = 2 x 2 -1
 dx

du
   = 2x
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
  =⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

                     2
   = (3) ⎛ x 2 + 1 ⎞ (2x )
dy
         ⎜         ⎟
dx       ⎝         ⎠

dy ⎛ 2        2
  = ⎜ x + 1 ⎞ (6x )
            ⎟
dx ⎝        ⎠

Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 25
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

y = (2x + 1)2

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
  =⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

Se halla primero

dy
du

dy d
  =   (2 x + 1)2
du du


   = (2 )(2 x + 1)2 −1
dy
du


   = (2 )(2 x + 1)
dy
du

Después se halla

du
dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (2 x + 1)

y = (2 x + 1)2 = (u)2

                                                                      40
du d (2 x + 1)
   =           = 2x 1-1
dx     dx

 du
    = 2 x0
 dx

du
   = 2
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
  =⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠


   = (2 )(2x + 1 )(2 )
dy
dx


   = 4 (2 x + 1 )
dy
dx

Problema 10.8 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 93
Derivar s = (t2 – 3)4

Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (2t)

s’ = 4 *(t2 – 3)3 *(2t)
s’ = (t2 – 3)3 (8t)


Problema 10.30 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
Derivar y = (1 – 5x)6

Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (-5)

y ’ = 6 *(1 – 5x)5 * (- 5)
y ’ = (1 – 5x)5 (- 30)

Problema 10.31 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
Derivar y = (3x – x3 + 1)4

Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (3 – 3x2 )

y ’ = (3x – x3 + 1)4
y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * (3 – 3x2 )

Factor común 3
y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * 3 * (1 – x2 )

y ’ = 12 (3x – x3 + 1)3 (1 – x2 )

Problema 10.32 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
Derivar y = (3 + 4x – x2 )1/2

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
  =⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

                                                                         41
Se halla primero

dy
du

                     1
dy d ⎛
  =               2⎞2
      ⎜3 + 4 x - x ⎟
du du ⎝            ⎠

                       1
dy ⎛ 1 ⎞ ⎛               −1
                    2⎞2
  = ⎜ ⎟ ⎜3 + 4 x - x ⎟
du ⎝ 2 ⎠ ⎝           ⎠

                              1
dy ⎛ 1 ⎞ ⎛                 −
   = ⎜ ⎟ ⎜3 + 4 x - x ⎟ 2⎞ 2
du ⎝ 2 ⎠ ⎝               ⎠
     ⎛                      ⎞
     ⎜                      ⎟
dy ⎜            1           ⎟
   =⎜
du                      12⎟
     ⎜ 2⎛ 3 + 4x - x 2 ⎞
                       ⎟    ⎟
     ⎜ ⎜                    ⎟
     ⎝ ⎝               ⎠    ⎠

Después se halla

du
dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (3 + 4x – x2 )

y = (3 + 4x – x2 )1/2 = (u)1/2

     d⎛ 3 + 4 x - x 2 ⎞
      ⎜               ⎟
du
   =  ⎝               ⎠
dx          dx
 du
    = 4x1 -1 - 2 x 2 -1
 dx

du
   = 4x 0 - 2 x 1
dx

du
   = 4-2x
dx

Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
   =⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

    ⎡                    ⎤
    ⎢                    ⎥
dy ⎢
  =
               1         ⎥ (4 - 2x   )
dx ⎢ ⎛                 12⎥
    ⎢ 2⎜ 3 + 4x - x 2 ⎞
                      ⎟  ⎥
    ⎣ ⎝               ⎠  ⎦


                                                                      42
⎡                    ⎤
     ⎢                    ⎥
dy ⎢          4 - 2x      ⎥=         2 (2 - x )
   =
dx   ⎢                  12⎥                      12
     ⎢ 2⎛ 3 + 4x - x 2 ⎞
        ⎜              ⎟  ⎥ (2 ) ⎛ 3 + 4x - x 2 ⎞
                                 ⎜              ⎟
     ⎣ ⎝               ⎠  ⎦      ⎝              ⎠

dy
   =
           (2 - x )
dx                   12
     ⎛ 3 + 4x - x 2 ⎞
     ⎜              ⎟
     ⎝              ⎠

REGLA GENERAL DE LAS POTENCIAS
Si y = [u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un numero racional, entonces

                    ⎛ du ⎞
   = n [u (x )]n -1 ⎜ ⎟
dy
dx                  ⎝ dx ⎠
O lo que es lo mismo

    u = n [u ]n -1 u '
 d ⎡ n⎤
dx ⎢ ⎥
   ⎣ ⎦

Sección 3.5 Ejemplo # 4 calculo Larson Edic 5 Pág. 140
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

f (x) = (3x – 2x2)3

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
  =⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

Se halla primero

dy
du

                   3
      ⎜ 3x - 2x ⎞
dy d ⎛         2
  =              ⎟
du du ⎝          ⎠

                           3 −1
dy
   = (3) ⎛ 3x - 2x 2
         ⎜             ⎞
                       ⎟
du       ⎝             ⎠
                           2
   = (3) ⎛ 3x - 2x 2   ⎞
dy
         ⎜             ⎟
du       ⎝             ⎠

Después se halla

du
dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (3x – 2x2)

y = (3x – 2x2)3 = (u)3




                                                                                           43
d⎛ 3x - 2x 2 ⎞
      ⎜           ⎟
      ⎝           ⎠
                    = 3 x1-1 - 2 (2 )x 2 -1
du
   =
dx        dx

 du
    = 3 -4x
 dx

Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
  =⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

                                  2
   = (3) ⎛ 3x - 2x 2          ⎞       (3 -   4x )
dy
         ⎜                    ⎟
dx       ⎝                    ⎠

dy ⎛                      2
  = ⎜ 3x - 2x 2       ⎞
                      ⎟       (9 - 12x )
dx ⎝                  ⎠

Sección 3.5 Ejemplo # 6 calculo Larson Edic 5 Pág. 141
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

                  2
y = 3 ⎛ x 2 + 2⎞
      ⎜         ⎟
      ⎝         ⎠
                23
y = ⎛ x 2 + 2⎞
    ⎜         ⎟
    ⎝         ⎠

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
  =⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

Se halla primero

dy
du

dy d ⎛ 2       23
  =   ⎜ x + 2⎞
             ⎟
du du ⎝      ⎠

dy ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2                      2 3 −1
  =⎜ ⎟⎜x + 2                  ⎞
                              ⎟
du ⎝ 3 ⎠ ⎝                    ⎠
dy ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2        −1 3
   =⎜ ⎟⎜x + 2 ⎞   ⎟
du ⎝ 3 ⎠ ⎝        ⎠
dy           2               2
   =                =
                 13
                      3 3 ⎛ x 2 + 2⎞
du
     3 ⎛ x 2 + 2⎞
       ⎜        ⎟         ⎜        ⎟
       ⎝        ⎠         ⎝        ⎠


Después se halla

du
dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (x2 + 2)

                                                                      44
y = (x2 + 2)2/3 = (u)2/3

     d⎛ x 2 + 2 ⎞
      ⎜         ⎟
du    ⎝         ⎠
   =              = 2 x 2 -1 + 0
dx        dx

 du
    = 2x
 dx

Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
  =⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

    ⎡        ⎤
dy ⎢
  =
        2    ⎥ (2x )
dx ⎢ 3 2     ⎥
    ⎣3 x + 2 ⎦

dy      4x
   =
dx    3
     3 x2 + 2

Sección 3.5 Ejemplo # 7 calculo Larson Edic 5 Pág. 141
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

g(t ) =
             -7
          (2t - 3)2
                      -2
g(t) = (-7) (2t – 3)

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
  =⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠
                         dy
Se halla primero: du

dy d
  =   (− 7 )(2t - 3)− 2
du du


   = (- 7 )(- 2 )(2t - 3 )− 2 −1
dy
du


   = (14 )(2t - 3 )− 3
dy
du

dy    14
   =
du (2t - 3)3


                  du
Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (2t - 3)


                                                                                        45
-2        -2
y = (2t - 3)         = (u)

du d(2t - 3 )
   =          = 2 t1-1 - 0
dx    dx

 du
    = 2
 dx

Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞
  =⎜ ⎟⎜ ⎟
dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

dy ⎡ 14 ⎤
  =⎢           ⎥ (2 )
dx ⎢ (2t - 3)3 ⎥
   ⎣           ⎦

dy    28
   =
dx (2t - 3)3


Sección 3.5 Ejemplo # 8 calculo Larson Edic 5 Pág. 142
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

f (x ) = x 2 1 - x 2
                       12
f (x ) = x 2 ⎛1 - x 2 ⎞
             ⎜        ⎟
             ⎝        ⎠
Primer termino = (x2)
                                        12
Segundo termino = ⎛1 - x 2 ⎞
                  ⎜        ⎟
                                ⎝      ⎠
                      d ⎡        12             12 d
f ' (x ) = (x )2         1- x2 ⎤    + ⎛1 - x 2 ⎞
                                      ⎜        ⎟      ⎡ x2⎤
                     dx ⎢
                        ⎣      ⎥
                               ⎦      ⎝        ⎠   dx ⎢
                                                      ⎣   ⎥
                                                          ⎦

La derivada interna de (1 – x2) es (- 2x)

La derivada de (x2) es (2x)

                 ⎛1⎞                    1 2 -1             12
f ' (x ) = (x )2 ⎜ ⎟ (- 2x ) ⎡1 - x 2 ⎤
                             ⎢        ⎥
                                               + ⎛1 - x 2 ⎞
                                                 ⎜        ⎟   [2x ]
                 ⎝2⎠         ⎣        ⎦          ⎝        ⎠

                 ⎛1⎞                       -1 2                12
f ' (x ) = (x )2 ⎜ ⎟ (- 2x ) ⎡1 - x 2 ⎤
                             ⎢        ⎥
                                                   + ⎛1 - x 2 ⎞
                                                     ⎜        ⎟   [2x ]
                 ⎝2⎠         ⎣        ⎦              ⎝        ⎠

f ' (x ) =
           (x )2 (− 2 x ) + ⎛ 1 - x 2      ⎞
                            ⎜              ⎟ (2x )
            2 1- x2         ⎝              ⎠


f ' (x ) =
             (x )2 (− x ) + ⎛            ⎞
                               ⎜ 1 - x 2 ⎟ (2x )
                1- x2          ⎝         ⎠




                                                                          46
⎛         ⎞       ⎛         ⎞
           - x 3 + ⎜ 1 - x 2 ⎟ (2x ) ⎜ 1 - x 2 ⎟
f ' (x ) =         ⎝         ⎠       ⎝         ⎠
                          1- x2
             - x 3 + ⎛1 - x 2 ⎞ (2x )
                     ⎜        ⎟
f ' (x ) =           ⎝        ⎠
                      1- x2
             - x 3 + 2x - 2x 3
f ' (x ) =
                    1- x2

             - 3x 3 + 2x        2x - 3x 3
f ' (x ) =                  =
              1- x 2              1- x2
           (x ) ⎛ 2 - 3x 2 ⎞
                ⎜          ⎟
f ' (x ) =      ⎝          ⎠
                 1- x2


Sección 3.5 Ejemplo # 9 calculo Larson Edic 5 Pág. 142
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.


f (x ) =
                x
      3 2
       x +4
En este caso se utiliza la derivada del producto

                          −1 3
f (x ) = (x ) ⎛ x 2 + 4 ⎞
              ⎜         ⎟
              ⎝         ⎠
Primer termino = (x)
                                      −1 3
Segundo termino = ⎛ x 2 + 4 ⎞
                         ⎜          ⎟
                         ⎝          ⎠
                            -1 3              -1 3 d
f ' (x ) = (x ) ⎡ x 2 + 4⎤
                d
                                 + ⎛ x 2 + 4⎞
                                   ⎜        ⎟         [ x]
               dx ⎢
                  ⎣       ⎥
                          ⎦        ⎝        ⎠      dx

La derivada interna de (x2 + 4) es (2x)

La derivada de (x) es (1)

                ⎛ 1⎞                     -1 3 -1              -1 3
f ' (x ) = (x ) ⎜ − ⎟ ( 2x ) ⎡ x 2 + 4 ⎤
                             ⎢         ⎥
                                                 + ⎛ x 2 + 4⎞
                                                   ⎜        ⎟      [1]
                ⎝ 3⎠         ⎣         ⎦           ⎝        ⎠

                 ⎛ - 2x ⎞ ⎡ 2       -4 3              -1 3
f ' ( x ) = (x ) ⎜      ⎟ ⎢x + 4 ⎤⎥
                                         + ⎛ x 2 + 4⎞
                                           ⎜        ⎟
                 ⎝ 3 ⎠⎣           ⎦        ⎝        ⎠
             ⎛ - 2 x2 ⎞             -4 3              -1 3
f ' (x ) = ⎜           ⎟ ⎡x 2 + 4 ⎤      + ⎛ x 2 + 4⎞
                                           ⎜        ⎟
             ⎜ 3 ⎟⎢      ⎣        ⎥
                                  ⎦        ⎝        ⎠
             ⎝         ⎠




                                                                         47
⎛                 ⎞
           ⎜           2     ⎟
  ' (x ) = ⎜      -2x        ⎟       1
f          ⎜              43 ⎟ +
           ⎜ 3 ⎛ x 2 + 4⎞
           ⎜ ⎜          ⎟    ⎟ 3 ⎛ x 2 + 4⎞
                             ⎟   ⎜        ⎟
           ⎝ ⎝          ⎠    ⎠   ⎝        ⎠

           ⎛                   ⎞
           ⎜                   ⎟
           ⎜      - 2 x2       ⎟
f ' (x ) = ⎜
                                       1
                               ⎟ +
           ⎜ 3⎛ 2          ⎞ ⎟ 3 ⎛ x 2 + 4⎞
                            4
           ⎜ 3 ⎜ x + 4⎟ ⎟            ⎜     ⎟
                 ⎝         ⎠ ⎠       ⎝     ⎠
           ⎝
               − 2 x2
f ' (x ) =
                                     1
                              +
                           4 3⎛ 2
           3 3 ⎜ x 2 + 4⎞
               ⎛         ⎟        ⎜ x + 4⎞
                                         ⎟
               ⎝         ⎠        ⎝      ⎠


           − 2 x 2 + ⎡3 ⎛ x 2 + 4 ⎞⎤
                      ⎢ ⎜         ⎟⎥
  ' (x ) =            ⎣ ⎝         ⎠⎦ - 2x 2 + 3x 2 + 12
f                                    =
                                       3 3 ⎛ x 2 + 4⎞
                              4
               3 3 ⎛ x 2 + 4⎞
                   ⎜        ⎟               ⎜
                                            ⎝
                                                    ⎟
                                                    ⎠
                   ⎝        ⎠
              x 2 + 12
f ' (x ) =
           3 3 ⎛ x 2 + 4⎞
                ⎜        ⎟
                ⎝        ⎠

Sección 3.5 Ejemplo # 9 calculo Larson Edic 5 Pág. 142
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.


f (x ) =
             x
           3 2
            x +4
f (x ) =
               x
                13
      ⎛ x 2 + 4⎞
      ⎜        ⎟
      ⎝        ⎠
En este caso se utiliza la derivada del cociente

           ⎛             ⎞
           ⎜             ⎟
           ⎜        x    ⎟
          d⎜
                       13⎟
           ⎜ ⎛ x 2 + 4⎞ ⎟
           ⎜⎜         ⎟ ⎟
             ⎝        ⎠ ⎠
f ' (x ) = ⎝
                  dx
                                  ⎡           13⎤
                                  ⎢d ⎛ x + 4⎞ ⎥
                                        2
                1 3 ⎡ d(x ) ⎤         ⎜      ⎟
      ⎛ x 2 + 4⎞                  ⎢ ⎝        ⎠ ⎥
      ⎜
      ⎝
               ⎟
               ⎠    ⎢ dx ⎥ - (x ) ⎢             ⎥
                    ⎣       ⎦             dx
                                  ⎢             ⎥
 y' =                             ⎣             ⎦
                                      2
                    ⎡ 2        1 3⎤
                    ⎢⎛ x + 4 ⎞ ⎥
                     ⎜        ⎟
                    ⎢⎝        ⎠ ⎥
                    ⎣               ⎦
La derivada interna de (x2 + 4) es (2x)

La derivada de (x) es (1)

                                                          48
⎡ ⎛ 2     ⎞⎤
                13                           1 3 -1 ⎢d ⎜ x + 4⎟ ⎥
     ⎛ x 2 + 4 ⎞ [1] - (x ) ⎛ 1 ⎞ ⎛ x 2 + 4 ⎞
     ⎜         ⎟            ⎜ ⎟⎜            ⎟
                                                       ⎝      ⎠
                                                    ⎢           ⎥
     ⎝         ⎠            ⎝ 3⎠⎝           ⎠       ⎢     dx    ⎥
y' =                                                ⎣           ⎦
                                             2
                         ⎡ 2           1 3⎤
                         ⎢⎛ x + 4 ⎞ ⎥
                           ⎜          ⎟
                         ⎢⎝           ⎠ ⎥
                         ⎣                 ⎦

                13                           1 3 -1
     ⎛ x 2 + 4 ⎟ [1] - (x ) ⎛ 1 ⎞ ⎛ x 2 + 4 ⎞
     ⎜         ⎞            ⎜ ⎟⎜            ⎟       [2x ]
     ⎝         ⎠            ⎝ 3⎠⎝           ⎠
y' =
                                        2
                   ⎡ 2           1 3⎤
                    ⎛ x + 4⎞ ⎥
                   ⎢⎜           ⎟
                   ⎢⎝           ⎠ ⎥
                   ⎣                  ⎦

               13 ⎛x⎞                -2 3
     ⎛ x 2 + 4⎞
     ⎜        ⎟    - ⎜ ⎟ ⎛ x 2 + 4⎞
                         ⎜         ⎟      [2x ]
     ⎝        ⎠      ⎝ 3⎠⎝         ⎠
y' =
                                 2
                ⎡ 2        1 3⎤
                 ⎛ x + 4⎞ ⎥
                ⎢⎜        ⎟
                ⎢⎝
                ⎣
                          ⎠ ⎥
                               ⎦
               1 3 ⎛ 2 x2    ⎞            -2 3
     ⎛ x 2 + 4⎞
     ⎜        ⎟   - ⎜        ⎟ ⎛ x 2 + 4⎞
                               ⎜        ⎟
     ⎝        ⎠     ⎜ 3      ⎟⎝         ⎠
y' =                ⎝        ⎠
                                   2
                   ⎡ 2      1 3⎤
                    ⎛ x + 4⎞ ⎥
                   ⎢⎜      ⎟
                   ⎢⎝
                   ⎣
                           ⎠ ⎥
                                 ⎦
                      ⎛                 ⎞   ⎡            23              13        ⎤
                                            ⎢3 ⎛ x + 4 ⎞      ⎛ x 2 + 4⎞
                                                  2                         - 2x 2 ⎥
                      ⎜                 ⎟      ⎜       ⎟      ⎜         ⎟
     ⎛ x 2 + 4⎞
               13 ⎜           2 x2      ⎟   ⎢ ⎝
                                            ⎣
                                                       ⎠      ⎝         ⎠          ⎥
                                                                                   ⎦
     ⎜        ⎟     - ⎜                 ⎟
     ⎝        ⎠                      23                               23
                      ⎜ 3 ⎛ x 2 + 4⎞
                      ⎜ ⎜          ⎟    ⎟
                                        ⎟             3 ⎛ x 2 + 4⎞
                                                         ⎜          ⎟
y' =                  ⎝ ⎝          ⎠    ⎠ =              ⎝          ⎠
                            23                                       23
                ⎡ x 2 + 4⎤                              ⎛ x 2 + 4⎞
                                                        ⎜          ⎟
                ⎢
                ⎣         ⎥
                          ⎦                             ⎝          ⎠
Producto de extremos es igual al producto de medios
       ⎡ ⎛ 2        ⎞     2⎤
       ⎢3⎜ x + 4 ⎟ - 2x ⎥
       ⎣  ⎝         ⎠      ⎦
                        23
          3 ⎛ x 2 + 4⎞
            ⎜         ⎟
            ⎝         ⎠               3 x 2 + 12 - 2x 2
y' = =                       =
                       23                   23            23
           ⎛ x 2 + 4⎞
           ⎜         ⎟         3⎜ x 2 + 4 ⎞
                                ⎛         ⎟    ⎜ x + 4⎞
                                               ⎛ 2      ⎟
           ⎝         ⎠          ⎝         ⎠    ⎝        ⎠
          x 2 + 12
y' = =
                   43
       ⎛ x 2 + 4⎞
       ⎜         ⎟
       ⎝         ⎠

Sección 3.5 Ejemplo # 10 calculo Larson Edic 5 Pág. 142
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

               2
  ⎛ 3x - 1 ⎞
y=⎜        ⎟
  ⎜ 2      ⎟
  ⎝ x + 3⎠

                                                                                       49
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  • 1. Problemas resueltos de derivadas Derivada de una constante Derivada de las potencias Derivada del producto de una función por una constante Derivada de la suma Derivada del producto Derivada del cociente Segunda derivada y derivadas de orden superior Derivadas de las funciones trigonométricas • Derivada del seno La regla de la cadena Problemas de razones de cambio Problemas de aplicación de máximos y mínimos Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010 Para cualquier inquietud o consulta escribir a: quintere@hotmail.com 0H quintere@gmail.com 1H quintere2006@yahoo.com 2H 1
  • 2. DERIVADA DE UNA CONSTANTE Si c es una constante y si f(x) = c, entonces f’ (x) = 0 Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 123 f(x) = 5 f’ (x) = 0 DERIVADA DE LAS POTENCIAS La regla de las potencias para enteros negativos es la misma que para los positivos Si n es un entero negativo y x ≠ 0 d ⎛ n⎞ n -1 ⎜x ⎟ = n x dx ⎝ ⎠ Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124 f(x) = x8 d 8 dx ( ) x = 8 x 8 -1 f ' (x ) = 8 x 7 Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124 f(x) = x d (x ) = x1-1 dx f ' (x ) = x 0 f’ (x) = 1 Derivada del producto de una función por una constante Si f es una función, c es una constante y g es la función definida por g (x) = c f(x) y si f ’existe, entonces g’ (x) = c f ’ (x) Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 125 f(x) = 5 x7 d dx ( ) 5 x 7 = 5 (x )7 d dx 2
  • 3. f ' (x ) = 5 (7 ) x 7-1 f ' (x ) = 35 x 6 DERIVADA DE LA SUMA Si f y g son funciones y si h es la función definida por h(x) = f(x) + g(x) y si f’ (x) y g’ (x) existen, entonces h’ (x) = f’ (x) + g’ (x) Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 126 f(x) = 7 x4 – 2 x3 + 8 x + 5 d dx ( ) 7 x 4 - 2 x 3 + 8 x + 5 = 7 (x )4 - 2 d dx d (x )3 dx +8 d dx (x ) + d (5) dx f ' (x ) = 7 (4 )(x )4-1 - 2 (3)(x )3-1 + 8 (1)(x )1-1 + 0 f ' (x ) = 28 (x )3 - 6 (x )2 + 8 (x )0 + 0 f ' (x ) = 28 x 3 - 6 x 2 + 8 Calcular la derivada y = 3 x -4 + 3 x 4 y' = ( ) ( ) d 3x - 4 d 3x 4 + dx dx -4 -1 4 -1 y’= (3) (-4) x + (3) (4) x -5 y’= -12x + 12x 3 ordenando 12 y' = 12x 3 - x5 DERIVADA DEL PRODUCTO Es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera. Si u y v son diferenciables en x, su producto (u v) también lo es, d (uv ) = u dv + v du d dx dx La derivada del producto (u v) es u por la derivada de v mas v por la derivada de u. 3
  • 4. ’ ’ En notación prima, (u v) = u v + v u Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 127 Hallar la derivada de h(x) = (2x3 – 4x2) (3x5 + x2) Primer termino = (2x3 – 4x2) Segundo termino = (3x5 + x2) h ' (x ) = [( )( d 2 x 3 - 4x 2 3 x 5 + x 2 )] dx ( h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2 d dx ) [ ]( 3 x5 + x2 + 3 x5 + x2 d dx 2 x3 − 4 x2 ) [ ] ( )[ ]( )[ h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2 3 (5) x 5-1 + 2 x 2-1 + 3 x 5 + x 2 2 (3) x 3-1 - 4 (2 ) x 2-1 ] h ' ( x) = ⎛ 2x 3 - 4x 2 ⎞ ⎡ 15 x 4 + 2 x ⎤ + ⎛ 3x 5 + x 2 ⎞ ⎡6 x 2 - 8 x ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣ ⎥ ⎜ ⎦ ⎝ ⎟⎢ ⎠⎣ ⎥ ⎦ Resolviendo el polinomio h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4 x 4 - 8 x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24 x 6 - 8 x 3 h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4x 4 - 8x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24 x 6 - 8 x 3 Reduciendo términos semejantes h ' ( x) = 48 x 7 - 84 x 6 + 10x 4 - 16x 3 Ejemplo # 1 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 131 Hallar la derivada de f(x) = (3 x – 2 x2) (5 + 4 x) Primer termino = (3 x – 2 x2) Segundo termino = (5 + 4 x) f ' (x ) = [( ) d 3 x - 2 x 2 (5 + 4 x ) ] dx ( f ' ( x) = 3 x - 2 x 2 ) d dx [ [5 + 4 x ] + (5 + 4 x ) d 3 x − 2 x 2 dx ] ( f ' ( x) = 3 x - 2 x 2 )[ 4] + (5 + 4 x ) [3 - 2 * 2 x 2-1 ] ( f ' ( x) = 3x - 2x 2 )[ 4] + (5 + 4x ) [3 - 2 * 2x1 ] [ ] f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + (5 + 4 x ) [3 - 4 x ] Resolviendo el polinomio [ ]( f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + 15 + 12 x - 20 x - 16 x 2 ) Reduciendo términos semejantes 4
  • 5. [ ]( f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + 15 - 8 x - 16 x 2 ) f ' ( x) = 12x - 8x 2 + 15 - 8x - 16x 2 f ' ( x) = 4 x - 24 x 2 + 15 Ordenando f ' ( x) = - 24 x 2 + 4 x + 15 Ejemplo # 2 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 132 Hallar la derivada de y = (1 + x - 1) (x - 1) Primer termino = (1 + x - 1) Segundo termino = (x - 1) f ' (x ) = [( ) d 1 + x - 1 (x − 1) ] dx ( f ' ( x) = 1 + x - 1 ) dx [x − 1] + (x - 1) dx [1 + x - 1 ] d d ( f ' ( x) = 1 + x - 1 ) dx [x − 1] + (x - 1) [1 + x - 1-1 ] d f ' ( x) = ⎛1 + x - 1 ⎞ [1] + (x - 1) ⎡- 1 x - 2 ⎤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ( ) f ' ( x) = 1 + x - 1 + (x - 1) - x - 2 [ ] Resolviendo el polinomio ( ) [ f ' ( x) = 1 + x - 1 + - 1 x - 1 + x - 2 ] Reduciendo términos semejantes f ' ( x) = 1 + x - 1 - x - 1 + x - 2 f ' ( x) = 1 + x - 2 2 f ' ( x) = 1 + 1 = x + 1 x2 x2 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 4 Hallar la derivada de f(x) = (x2 – 2x + 1) (x3 - 1) Primer termino = (x2 – 2x + 1) Segundo termino = (x3 - 1) f ' (x ) = [( )( d x 2 - 2 x + 1 x3 − 1 )] dx ( f ' ( x) = x 2 - 2 x + 1 ) dx [x 3 − 1]+ (x 3 − 1) dx [ x 2 - 2 x + 1] d d 5
  • 6. ( )[ ] ( )[ (2) x 2-1 - 2 x1-1 + 1] f ' ( x) = x 2 - 2 x + 1 (3) x 3-1 + x 3 − 1 f ' ( x) = (x 2 - 2 x + 1)[(3) x 3-1 ]+ (x 3 − 1)(2) [ x1 - 2 x 0 ] f ' ( x) = (x 2 - 2 x + 1)[3x 2 ]+ (x 3 − 1)[ 2 x - 2] Resolviendo el polinomio ( ) [ f ' ( x) = 3 x 4 - 6 x 3 + 3 x 2 + 2 x 4 - 2 x - 2 x 3 + 2 ] Reduciendo términos semejantes f ' ( x) = 3x 4 - 6x 3 + 3x 2 + 2x 4 - 2x - 2x 3 + 2 Reduciendo términos semejantes f ' ( x) = 5 x 4 - 8 x 3 + 3 x 2 - 2 x + 2 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 5 Hallar la derivada de f(x) = (x3 – 3 x) (2 x2 + 3 x + 5) Primer termino = (x3 – 3 x) Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 5) f ' (x ) = [( )( d x 3 - 3x 2 x 2 + 3 x + 5 )] dx ( f ' ( x) = x 3 - 3 x ) dx [2 x 2 + 3 x + 5]+ (2 x 2 + 3 x + 5) dx [ x 3 - 3 x ] d d ( f ' ( x) = x 3 - 3 x )[(2) x 2-1 + 3 x1-1 ]+ (2 x 2 + 3 x + 5)[ (3) x 3-1 - 3 x1-1 ] f ' ( x) = (x 3 - 3 x )[4 x + 3] + (2 x 2 + 3 x + 5)[ 3 x 2 - 3] Resolviendo el polinomio [ ]( f ' ( x) = 4 x 4 - 12 x 2 + 3 x 3 - 9 x + 6 x 4 + 9 x 3 + 15 x 2 - 6 x 2 - 9 x - 15 ) Reduciendo términos semejantes f ' ( x) = 4x 4 - 12x 2 + 3x 3 - 9x + 6x 4 + 9x 3 + 15x 2 − 6x 2 - 9x - 15 Reduciendo términos semejantes f ' ( x) = 10 x 4 + 12 x 3 − 3 x 2 - 18 x - 15 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 6 Hallar la derivada de f(x) = (x – 1) (x2 – 3 x + 2) Primer termino = (x – 1) Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 2) 6
  • 7. f ' (x ) = [ ( d (x - 1) 2 x 2 + 3 x + 2 )] dx f ' ( x) = (x - 1 ) d 2 dx [ x − 3 x + 2 + x2 − 3 x + 2 d dx ]( [ x - 1] ) [ ]( f ' ( x) = (x - 1 ) (2) x 2-1 − 3 x 1-1 + x 2 − 3 x + 2 [ x - 1] ) ( f ' ( x) = (x - 1 ) [2 x − 3] + x 2 − 3 x + 2 [1] ) Resolviendo el polinomio [ f ' ( x) = 2x 2 − 2x - 3x + 3 + x 2 − 3x + 2 ]( ) Reduciendo términos semejantes [ f ' ( x) = 2x 2 − 5 x + 3 + x 2 − 3 x + 2 ]( ) Reduciendo términos semejantes f ' ( x) = 2x 2 - 5x + 3 + x 2 - 3x + 2 f ' ( x) = 3 x 2 - 8 x + 5 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136. Problema 7 ⎛ 1 ⎞ Hallar la derivada de f(x) = x 5 − 3 x ⎜ ⎜ 2⎟⎟ ( ) ⎝x ⎠ Primer termino = (x5 – 3 x) ⎛ 1 ⎞ Segundo termino = ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝x ⎠ ⎡ ( d ⎢ x5 - 3 x )⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟⎤⎥ ⎝ ⎠⎦ f ' (x ) = ⎣ dx ( f ' ( x) = x 5 - 3 x ) dx ⎡⎢ x12 ⎤⎥ + ⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟ dx [ x 5 - 3x ] d d ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ( f ' ( x) = x 5 - 3 x ) dx [x - 2 ]+ ⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟ dx [ x 5 - 3 x ] d d ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ d ⎡ 5 f ' ( x) = ⎛ x 5 - 3x ⎞ (- 2 ) ⎡ x - 2 -1 ⎤ + ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ x - 3x ⎤ ⎝ ⎠ ⎢ ⎣ ⎥ ⎜ 2 ⎦ ⎝x ⎟ dx ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎠ ( ) [ ⎛ 1 ⎞ f ' ( x) = x 5 - 3 x (- 2) x - 2-1 + ⎜ ⎜ 2 ⎟ (5) x - 3 x ⎟ 5-1 ]1-1 [ ] ⎝x ⎠ ( )[ ⎛ 1 f ' ( x) = x 5 - 3 x - 2x - 3 + ⎜ ⎜ 2 ] ⎞ [ ⎟ 5 x4 -3 ⎟ ] ⎝x ⎠ Resolviendo el polinomio 7
  • 8. ( ⎡ 2 ⎤ ⎛ 1 f ' ( x) = x 5 - 3 x ⎢- ⎥+⎜ ⎜ ) ⎣ x3 ⎦ ⎝ x2 ⎞ [ ⎟ 5 x4 -3 ⎟ ⎠ ] ⎡- 2 x5 + 6 x ⎤ ⎛ 5 x4 - 3 ⎞ f ' ( x) = ⎢ ⎥+⎜ ⎟ ⎢ x3 ⎜ x2 ⎟ ⎥ ⎝ ⎣ ⎦ ⎠ ⎡ - 2x 5 + 6x + 5x 5 - 3x ⎤ f ' ( x) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ Reduciendo términos semejantes ⎡3 x5 + 3 x ⎤ f ' ( x) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ 3 x5 3x f ' ( x) = + x3 x3 3 f ' ( x) = 3 x 2 + x2 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 14 Hallar la derivada de f(x) = 3 x x + 3 ( ) 6 f(x) = x 2 * x 3 + 3 3 x 6 f(x) = x 5 + 3 3 x 5 1 f(x) = x 6 + 3 x 3 Se convierte en una suma ⎡ 5⎤ ⎡ 1 ⎤ ' d ⎢ 6⎥ d ⎢ ⎥ f ( x) = x + 3x3 dx ⎢ ⎥ dx ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 -2 ' 5 - 1 f ( x) = x 6 + * 3 x 3 6 3 Resolviendo el polinomio -1 -2 ' 5 f ( x) = x 6 + x 3 6 5 1 f ' ( x) = + 1 2 6x 6 x3 8
  • 9. Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 16 Hallar la derivada de h(x) = (x2 – 1)2 h(x) = (x2 – 1) (x2 – 1) Primer termino = (x2 – 1) Segundo termino = (x2 – 1) h ' (x ) = [( d x2 - 1 x2 −1 )( )] dx ( ) dx [x 2 − 1]+ (x 2 − 1) dx [ x 2 - 1] h ' ( x) = x 2 - 1 d d h ' ( x) = ⎛ x 2 - 1⎞ [2x ] + ⎛ x 2 − 1⎞ [ 2x ] ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Reduciendo términos semejantes ( h ' ( x) = 2 x 2 - 1 [2 x ] ) Resolviendo el polinomio ( h ' ( x) = x 2 - 1 [4 x ] ) Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 17 Hallar la derivada de h(s) = (s3 – 2)2 h(s) = (s3 – 2) (s3 – 2) Primer termino = (s3 – 2) Segundo termino = (s3 – 2) h ' (s ) = [( d s3 - 2 s3 − 2 )( )] dx ( ) [ h ' (s) = s 3 - 2 d 3 dx s − 2 + s3 − 2 d 3 dx s -2 ]( ) [ ] ( )[ ] ( h ' (s) = s 3 - 2 3s 2 + s 3 − 2 3 s 2 )[ ] Reduciendo términos semejantes ( h ' (s) = 2 s 3 - 2 3 s 2 )[ ] Resolviendo el polinomio ( h ' (s) = s 3 - 2 6 s 2 )[ ] 9
  • 10. Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136. Problema 20 Hallar la derivada de f(x) = (x2 – x) (x2 + 1) (x2 + x + 1) Primer termino = (x2 – x) Segundo termino = (x2 + 1) Tercer termino = (x2 + x + 1) f ' (x ) = [ d (x 2 - x )(x 2 + 1)(x 2 + x + 1) ] dx ( )( f ' ( x) = x 2 + 1 x 2 + x + 1 ) dx [x 2 − x ]+ (x 2 − x )(x 2 + x + 1) dx [ x 2 + 1]+ (x 2 - x )(x 2 + 1) dx (x 2 + x + 1) d d d f ' ( x) = ⎜ x 2 + 1 ⎞ ⎛ x 2 + x + 1⎞ [2x − 1 ] + ⎜ x 2 − x ⎟ ⎜ x 2 + x + 1⎞ [ 2x ] + ⎛ x 2 - x ⎞ ⎛ x 2 + 1⎞ (2x + 1) ⎛ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Resolviendo el polinomio ( ) ( )( ) ( )( f ' ( x) = x 4 + x 2 + x 3 + x + x 2 + 1 [2x − 1 ] + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1) ) Reduciendo términos semejantes ( ) ( )( ) ( f ' ( x) = x 4 + 2x 2 + x 3 + x + 1 [2x − 1 ] + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1) )( ) Reduciendo términos semejantes ( ) ( )( ) ( f ' ( x) = 2x 5 + 4x 3 + 2x 4 + 2x 2 + 2x - x 4 - 2x 2 - x 3 - x - 1 + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1) )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) f ' ( x) = 2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1 + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1) f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (x 4 − x 3 + x 3 - x 2 + x 2 - x ) [ 2x ] + (x 2 - x )(x 2 + 1)(2x + 1) f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (x 2 - x )(x 2 + 1)(2x + 1) f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (x 4 - x 3 + x 2 - x ) (2x + 1) f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (2x 5 - 2x 4 + 2x 3 - 2x 2 + x 4 - x 3 + x 2 - x ) f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (2x 5 - x 4 + x 3 - x 2 - x ) f ' ( x) = 2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1 + 2x 5 - 2x 2 + 2x 5 - x 4 + x 3 - x 2 - x f ' ( x) = 6 x 5 + 4 x 3 - 3 x 2 - 1 10
  • 11. Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136. Problema 21 Hallar la derivada de f(x) = (3x3 + 4x) (x - 5) (x + 1) Primer termino = (3x3 + 4x) Segundo termino = (x - 5) Tercer termino = (x + 1) f ' (x ) = [( ) d 3 x 3 + 4 x (x − 5)(x + 1) ] dx f ' ( x) = (x - 5 )(x + 1) d dx [ ]( d dx ) ( d dx ) 3x 3 + 4x + 3x 3 + 4x (x + 1) [ x - 5] + 3x 3 + 4x (x - 5) ( x + 1) [ ]( ) ( ) f ' ( x) = (x - 5 )(x + 1) 9 x 2 + 4 + 3 x 3 + 4 x (x + 1) [ 1] + 3 x 3 + 4 x (x - 5)( 1) f ( x) = (x - 5x + x - 5 )[9x + 4 ]+ (3x ' 2 2 3 + 4 x )(x + 1) + (3 x 3 + 4 x )(x - 5) ( )[ ]( ) ( f ' ( x) = x 2 - 4x - 5 9x 2 + 4 + 3x 3 + 4x (x + 1) + 3x 3 + 4x (x - 5)) f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 45x 2 + 4x 2 - 16x - 20 ) + (3x 3 + 4x )(x + 1) + (3x 3 + 4x )(x - 5) f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 3 + 4x )(x + 1) + (3x 3 + 4x )(x - 5) f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x ) + (3x 3 + 4x )(x - 5) f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x ) + (3x 4 + 4x 2 - 15x 3 - 20x ) f ' ( x) = 9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 + 3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x + 3x 4 + 4x 2 - 15x 3 - 20x f ' ( x) = 15x 4 - 48x 3 - 33x 2 - 32x - 20 Problema 10.35 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 ( )( ) Derivar y = 2x 2 2-x Primer termino = (2x 2 ) Segundo termino = ( 2-x ) y ' (x ) = [( )( d 2x 2 2-x )] dx ( ) dx [ 2 − x ]+ ( 2 − x ) dx [ 2x 2 ] y ' = 2x 2 d d ( ) dx [2 − x]1 2 + ( 2 − x ) dx [ 2x 2 ] y ' = 2x 2 d d La derivada interna es (-1) 11
  • 12. ( ) 1 * (- 1)* [2 − x]- 1 2 + ( 2 − x )[ 4x] y ' = 2x 2 2 Cancelando términos semejantes ( ) y ' = - x 2 [2 − x ]- 1 2 + 2 − x [ 4x ] ( ) y' = - x2 + ( 2−x )[ 4x] (2 - x )1 2 - x 2 + 2 - x [4x ] 2 − x y' = (2 - x )1 2 - x 2 + (2 - x ) [4x ] y' = (2 - x )1 2 - x 2 + 8x - 4x 2 8x - 5x 2 y' = = (2 - x )1 2 2-x Problema 10.36 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 ⎛ ⎞ Derivar f (x ) = (x ) ⎜ 3 - 2x 2 ⎟ ⎝ ⎠ Primer termino = x ⎛ ⎞ Segundo termino = ⎜ 3 - 2x 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎛ ⎞⎤ d ⎢( x )⎜ 3 - 2x 2 ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ f ' (x ) = ⎣ dx d ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ d f ' (x ) = (x ) dx ⎢ 3 − 2 x 2 ⎥ + ⎜ 3 − 2x 2 ⎜ ⎟ dx [ x ] ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 12 ⎛ ⎞ d ⎟ dx [ x ] d ⎡ f ' (x ) = (x ) 3 − 2x 2 ⎤ + ⎜ 3 − 2x 2 ⎜ ⎟ dx ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎝ ⎠ La derivada interna es (- 4x) -1 2 ⎛ ⎞ d f ' (x ) = (x ) 1 * (- 4x ) ⎡3 − 2x 2 ⎤ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ + ⎜ 3 − 2x 2 ⎜ ⎟ dx [ x ] ⎟ 2 ⎝ ⎠ [ f ' (x ) = - 2x 2 3 − 2 x 2 ]-1 2 + ⎛⎜⎝ ⎞ 3 − 2x 2 ⎟ ⎠ - 2x 2 ⎛ ⎞ f ' (x ) = + ⎜ 3 − 2x 2 ⎟ 3 - 2x 2 ⎝ ⎠ 12
  • 13. ⎞⎛ ⎞ - 2 x 2 + ⎜ 3 - 2x 2 ⎟ ⎜ 3 − 2 x 2 ⎟ f ' (x ) = ⎝ ⎠⎝ ⎠ 3 − 2x 2 f 2 ' (x ) = - 2 x + 3 - 2x 2 ( ) 3 − 2x 2 - 2 x 2 + 3 - 2x 2 f ' (x ) = 3 − 2x 2 3 - 4x 2 f ' (x ) = 3 − 2x 2 Ejemplo # 6 Leythold. Hallar la derivada de hx) = (2x 3 – 4x2) (3x5 + x2) Primer termino = (2x 3 – 4x2) Segundo termino = (3x5 + x2) ( h ' ( x) = 2x 3 - 4x 2 d ) dx [ ]( 3x 5 + x 2 + 3x 5 + x 2 ) dx [ 2x 3 - 4x 2 ] d h ' ( x) = (2x 3 - 4x 2 )[ 4 + 2 x ]+ (3x 5 + x 2 )[ 6x 2 - 8x ] 15x Resolviendo el polinomio [ ] [ h ' ( x) = 30x 7 - 60x 6 + 4 x 4 - 8x 3 + 18x 7 + 6x 4 - 24x 6 - 8x 3 ] Reduciendo términos semejantes h ' ( x) = 30x 7 + 18x 7 - 60x 6 - 24 x 6 + 4x 4 + 6x 4 - 8x 3 - 8x 3 Reduciendo términos semejantes h ' ( x) = 48x 7 - 84 x 6 + 10x 4 - 16x 3 Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #19 Hallar la derivada de f(s) = 3 s 3 - s 2 ( ) ( ) f(s) = 3 s 3 - s 2 = 3s 3 − 3s 2 f ' (s) = 3 3s 2 − 2 3s f ' (s) = 3 * s(3s − 2) Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #20 Hallar la derivada de g(x) = (2x2 + 5) (4x – 1) Primer termino = (2x2 + 5) 13
  • 14. Segundo termino = (4x – 1) ( g ' (x ) = 2x 2 + 5 ) dx [4x − 1] + (4x − 1) dx [ 2x 2 + 5] d d ( ) g ' (x ) = 2x 2 + 5 [4] + (4 x − 1) [ 4x ] g ' (x ) = 8x 2 + 20 + 16 x 2 − 4 x g ' (x ) = 24x 2 + 20 − 4 x Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #21 Hallar la derivada de f(x) = (2x4 - 1) (5x3 + 6x) Primer termino = (2x4 - 1) Segundo termino = (5x3 + 6x) ( f ' (x ) = 2x 4 − 1) dx [5x3 + 6x]+ (5x3 + 6 x) dx [ 2x 4 - 1] d d ( )[ ]( )[ ] f ' (x ) = 2x 4 − 1 15 x 2 + 6 + 5 x 3 + 6 x 8x 3 ( f ' (x ) = 30x 6 − 15 x 2 + 12 x 4 − 6 + 40 x 6 + 48 x 4 ) Reduciendo términos semejantes f ' (x ) = 30x 6 − 15 x 2 + 12 x 4 − 6 + 40x 6 + 48 x 4 f ' (x ) = 76x 6 − 15 x 2 + 60 x 4 − 6 Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #22 Hallar la derivada de f(x) = (4x2 + 3)2 f(x) = (4x2 + 3) * (4x2 + 3) Primer termino = (4x2 + 3) Segundo termino = (4x2 + 3) ( f ' ( x) = 4x 2 + 3 ) dx [4x 2 + 3]+ (4x 2 + 3) dx [ 4x 2 + 3] d d ( ) ( ) f ' ( x) = 4x 2 + 3 [8x ] + 4x 2 + 3 [ 8x ] Resolviendo el polinomio ( ) f ' ( x) = 2 * 4x 2 + 3 [8x ] Reduciendo términos semejantes 14
  • 15. ( ) f ' ( x) = 4x 2 + 3 [16x ] f ' ( x) = 64 x 3 + 48x Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema # 23 Hallar la derivada de G(y) = (7 – 3y3)2 G(y) = (7 – 3y3) * (7 – 3y3) Primer termino = (7 – 3y3) Segundo termino = (7 – 3y3) ( ) dx [4x 2 + 3]+ (4x 2 + 3) dx [ 4x 2 + 3] f ' ( x) = 4x 2 + 3 d d f ' ( x) = (4x 2 + 3 )[8x ] + (4x 2 + 3)[ 8x ] Resolviendo el polinomio ( f ' ( x) = 2 * 4x 2 + 3 [8x ] ) Reduciendo términos semejantes ( ) f ' ( x) = 4x 2 + 3 [16x ] f ' ( x) = 64 x 3 + 48x Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #24 Hallar la derivada de F(t) = (t3 – 2t + 1) (2t2 + 3t) Primer termino = (t3 – 2t + 1) Segundo termino = (2t2 + 3t) ( F ' (t ) = t 3 − 2t + 1 d dx ) [ ]( 2t 2 + 3t + 2t 2 + 3t dx ) [ d 3 t − 2t + 1 ] ( ) ( )[ F ' (t ) = t 3 − 2t + 1 [4t + 3] + 2t 2 + 3t 3t 2 − 2 ] Resolviendo el polinomio [ ][ F ' (t ) = 4t 4 - 8t 2 + 4t + 3t 3 - 6t + 3 + 6t 4 + 9t 3 - 4t 2 - 6t ] Reduciendo términos semejantes F ' (t ) = 4t 4 − 8t 2 + 4t + 3t 3 - 6t + 3 + 6t 4 + 9t 3 - 4t 2 - 6t F ' (t ) = 10t 4 − 12t 2 - 8t + 12t 3 + 3 Ejemplo Calculo Purcell pag 111. 15
  • 16. Hallar la derivada de F(x) = (3x2 - 5) (2x4 - x) Primer termino = (3x2 - 5) Segundo termino = (2x4 - x) ( F ' ( x) = 3x 2 − 5 ) dx [2x 4 - x ]+ (2x 4 - x ) dx [ 3x 2 − 5] d d ( )[ ]( F ' ( x) = 3x 2 − 5 8x 3 - 1 + 2x 4 - x [ 6x ]) Resolviendo el polinomio F ' ( x) = 24x 5 - 40x 3 - 3x 2 + 5 + 12x 5 − 6 x 2 Reduciendo términos semejantes F ' ( x) = 24x 5 - 40x 3 - 3x 2 + 5 + 12x 5 − 6 x 2 F ' ( x) = 36x 5 - 40x 3 - 9x 2 + 5 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 23 Hallar la derivada de f(x) = (x) (x2 + 1) Primer termino = (x) Segundo termino = (x2 + 1) f ' ( x) = (x ) [ d 2 dx ]( ) x +1 + x2 +1 d dx [ x] f ' ( x) = (x ) [2x ] + (x 2 + 1)[ 1] Resolviendo el polinomio f ' ( x) = 2 x 2 + x 2 + 1 Reduciendo términos semejantes f ' ( x) = 2 x 2 + x 2 + 1 f ' ( x) = 3x 2 + 1 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 24 Hallar la derivada de y = (3x) (x3 - 1) Primer termino = (3x) Segundo termino = (x3 - 1) y ' = (3x ) d 3 dx [ ]( ) x -1 + x3 -1 d dx [ 3x ] 16
  • 17. [ ]( ) y ' = (3x ) 3x 2 + x 3 - 1 [ 3] Resolviendo el polinomio y ' = 9x 3 + 3x 3 − 3 Reduciendo términos semejantes y ' = 9x 3 + 3x 3 − 3 y ' = 12x 3 − 3 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 26 Hallar la derivada de y = (- 3x + 2)2 y = (- 3x + 2) (- 3x + 2) Primer termino = (- 3x + 2) Segundo termino = (- 3x + 2) y ' = (- 3x + 2 ) d [- 3x + 2] + (- 3x + 2) d [ - 3x + 2] dx dx y ' = (- 3x + 2 ) [- 3] + (- 3x + 2 ) [ - 3] Resolviendo el polinomio y ' = 2 (- 3x + 2 ) [- 3] Reduciendo términos semejantes y ' = (- 3x + 2 ) [- 6] y ' = 18x - 12 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 27 Hallar la derivada de y = (x2 + 2) (x3 + 1) Primer termino = (x2 + 2) Segundo termino = (x3 + 1) y ' (x ) = [( )( d x 2 + 2 x3 + 1)] dx ( ) dx [x 3 + 1]+ (x 3 + 1) dx [ x 2 + 2] y' = x 2 + 2 d d y ' = (x 2 + 2 )[3x 2 ]+ (x 3 + 1)[ 2x ] Resolviendo el polinomio y ' = 3x 4 + 6x 2 + 2x 4 + 2 x Reduciendo términos semejantes y ' = 3x 4 + 6x 2 + 2x 4 + 2 x 17
  • 18. y ' = 5x 4 + 6 x 2 + 2 x Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 28 Hallar la derivada de y = (x4 - 1) (x2 + 1) Primer termino = (x4 - 1) Segundo termino = (x2 + 1) y ' (x ) = [( )( d x4 - 1 x2 + 1 )] dx ( ) dx [x 2 + 1]+ (x 2 + 1) dx [ x 4 − 1] y' = x 4 −1 d d y ' = (x 4 − 1)[2x + 1] + (x 2 + 1)[ 4x 3 ] Resolviendo el polinomio ( ) ( y ' = x 4 − 1 [2x + 1] + x 2 + 1 4x 3 )[ ] Reduciendo términos semejantes y ' = 2x 5 - 2x + 4x 5 + 4x 3 y ' = 6x 5 - 2x + 4x 3 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 29 Hallar la derivada de y = (x2 + 17) (x3 – 3x + 1) Primer termino = (x2 + 17) Segundo termino = (x3 – 3x + 1) h ' (x ) = [( )( )] d x 2 + 17 x 3 − 3 x + 1 dx ( ) dx [x 3 − 3x + 1]+ (x 3 - 3x + 1) dx [ x 2 + 17] y ' = x 2 + 17 d d y ' = (x 2 + 17 )[3x 2 − 3]+ (x 3 - 3x + 1)[ 2x ] Resolviendo el polinomio y ' = 3x 4 + 51x 2 - 3x 2 - 51 + 2x 4 − 6 x 2 + 2x Reduciendo términos semejantes y ' = 3x 4 + 51x 2 - 3x 2 - 51 + 2x 4 − 6 x 2 + 2x y ' = 5x 4 + 42x 2 - 3x 2 - 51 + 2x Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 30 Hallar la derivada de y = (x4 + 2x) (x3 +2x2 + 1) Primer termino = (x4 + 2x) 18
  • 19. Segundo termino = (x3 +2x2 + 1) ( ) dx [x 3 + 2x 2 + 1]+ (x 3 + 2x 2 + 1) dx [ x 4 + 2x] y ' = x 4 + 2x d d y ' = (x 4 + 2 x )[3x 2 + 4x ]+ (x 3 + 2x 2 + 1)[ 4x 3 + 2] Resolviendo el polinomio y ' = 3x 6 + 6x 3 + 4x 5 + 8x 2 + 4x 6 + 8x 5 + 4 x 3 + 2x 3 + 4x 2 + 2 Reduciendo términos semejantes y ' = 3x 6 + 6x 3 + 4x 5 + 8x 2 + 4x 6 + 8x 5 + 4 x 3 + 2x 3 + 4x 2 + 2 y ' = 7x 6 + 12x 3 + 12x 5 + 12x 2 + 2 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 31 Hallar la derivada de y = (5x2 -7) (3x2 -2x + 1) Primer termino = (5x2 -7) Segundo termino = (3x2 -2x + 1) ( ) dx [3x 2 - 2x + 1]+ (3x 2 − 2x + 1) dx [ 5x 2 − 7] y ' = 5x 2 - 7 d d y ' = (5x 2 - 7 )[6x - 2] + (3x 2 − 2x + 1)[ 10x ] Resolviendo el polinomio y ' = 30x 3 - 42x - 10x 2 + 14 + 30x 3 - 20x 2 + 10x Reduciendo términos semejantes y ' = 30x 3 - 42x - 10x 2 + 14 + 30x 3 - 20x 2 + 10x y ' = 60x 3 - 32x - 30x 2 + 14 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 32 Hallar la derivada de y = (3x2 +2x) (x4 - 3x + 1) Primer termino = (3x2 +2x) Segundo termino = (x4 - 3x + 1) ( y ' = 3x 2 + 2x ) dx [x 4 - 3x + 1]+ (x 4 − 3x + 1) dx [ 3x 2 + 2x] d d y ' = (3x 2 + 2x )[4x 3 - 3]+ (x 4 − 3x + 1)[ 6x + 2] Resolviendo el polinomio y ' = 12x 5 + 8x 4 - 9x 2 - 6x + 6x 5 - 18x 2 + 6x + 2x 4 - 6x + 2 Reduciendo términos semejantes 19
  • 20. y ' = 12x 5 + 8x 4 - 9x 2 - 6x + 6x 5 - 18x 2 + 6x + 2x 4 - 6x + 2 y ' = 18x 5 + 10x 4 - 27x 2 - 6x + 2 Sección 3.2 Calculo Thomas. Problema # 13 Hallar la derivada de y = (3 - x2) (x3 - x + 1) Primer termino = (3 - x2) Segundo termino = (x3 - x + 1) ( ) dx [x 3 - x + 1]+ (x 3 − x + 1) dx [ 3 - x 2 ] y' = 3 - x 2 d d y ' = (3 - x 2 )[3x 2 - 1]+ (x 3 − x + 1)[ - 2x ] Resolviendo el polinomio y ' = 9x 2 - 3x 4 - 3 + x 2 − 2 x 4 + 2x 2 - 2x Reduciendo términos semejantes y ' = 9x 2 - 3x 4 - 3 + x 2 − 2 x 4 + 2x 2 - 2x y ' = 12x 2 - 5x 4 - 3 - 2x Sección 3.2 Calculo Thomas. Problema # 14 Hallar la derivada de y = (x - 1) (x2 + x + 1) Primer termino = (x - 1) Segundo termino = (x2 + x + 1) y ' = (x - 1 ) [ d 2 dx ]( x + x +1 + x2 + x +1 d dx )[ x - 1] ( ) y ' = (x - 1 ) [2x + 1] + x 2 + x + 1 [ 1] Resolviendo el polinomio y ' = 2x 2 - 2x + x - 1 + x 2 + x + 1 Reduciendo términos semejantes y ' = 2x 2 - 2x + x - 1 + x 2 + x + 1 y ' = 3x 2 Hallar la derivada de y = (x3 - 1) (x3 + 1) Primer termino = (x3 - 1) Segundo termino = (x3 + 1) y ' (x ) = [( )( d x 3 - 1 x3 + 1 )] dx 20
  • 21. ( ) dx [x 3 + 1]+ (x 3 + 1) dx [ x 3 - 1] y' = x3 -1 d d y ' = (x 3 - 1 )[3 x 3 -1 ]+ (x 3 + 1)[ 3 x 3 -1 ] y ' = (x 3 - 1 )[3 x 2 ]+ (x 3 + 1)[ 3 x 2 ] Resolviendo el polinomio y' = 3 x5 - 3 x 2 + 3 x5 + 3 x 2 Reduciendo términos semejantes y' = 3 x5 - 3 x 2 + 3 x5 + 3 x 2 y' = 6 x5 DERIVADA DEL COCIENTE Si u y v son diferenciables en x y v(x) ≠ 0, entonces el cociente u/v es diferenciable en x, y du dv v -u d ⎛u⎞ dx dx ⎜ ⎟= dx ⎝ v ⎠ (v )2 Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 Problema 17 Hallar la derivada (aplicando cocientes) 2x + 5 y= 3x - 2 ⎛ 2x + 5 ⎞ d⎜ ⎟ y' = ⎝3x -2⎠ dx (3x - 2)⎡ d(2x + 5) ⎤ - (2x + 5)⎡ d(3x - 2) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ y' = ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ (3x - 2)2 y' = (3x - 2)[2] - (2x + 5)[3] (3x - 2)2 Cancelando términos semejantes 6x - 4 - 6x _ 15 y' = (3x - 2)2 - 19 y' = (3x - 2)2 Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 Problema 18 Hallar la derivada (aplicando cocientes) 2x + 1 y= x 2 -1 21
  • 22. ⎛ 2x + 1 ⎞ d⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ y' = ⎝ x - 1 ⎠ dx ⎡ d ⎛ x 2 - 1⎞ ⎤ ⎜ ⎟⎥ ⎛x 2 - 1⎞ ⎡ d(2x + 1) ⎤ - (2x + 1)⎢ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥ y' = ⎣ ⎦ 2 ⎛ 2 ⎟ ⎜ x - 1⎞ ⎝ ⎠ ⎛x 2 - 1⎞[2] - (2x + 1)[2](x )2 −1 ⎜ ⎟ y' = ⎝ ⎠ 2 ⎛ x 2 - 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y' = ( ) x 2 - 1 [2] - (2x + 1) [2] (x ) (x 2 - 1)2 2x 2 - 2 - (2x + 1)(2x ) y' = (x 2 - 1)2 2x 2 - 2 - 4x 2 - 2x y' = 2 ⎛ x 2 - 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Cancelando términos semejantes 2x 2 - 2 - 4x 2 - 2x y' = 2 ⎛ x 2 - 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ - 2x 2 - 2 - 2x y' = 2 ⎛ x 2 - 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ - 2 ⎛ x 2 + x + 1⎞ ⎜ ⎟ y' = ⎝ ⎠ 2 ⎛ x 2 - 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 Problema 19 Hallar la derivada (aplicando cocientes) x2 - 4 g(x ) = x + 0,5 ⎛ x2 - 4 ⎞ d⎜ ⎟ ⎜ x + 0,5 ⎟ g' (x ) = ⎝ ⎠ dx ⎡ 2 ( ⎤ ) ( ⎢ ) (x + 0,5)⎢ d x - 4 ⎥ - x 2 - 4 ⎡ d(x + 0,5)⎤ ⎥ ⎢ dx ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ dx ⎦ g' (x ) = (x + 0,5)2 22
  • 23. g' (x ) = ( )( (x + 0,5)[2] x 2 -1 - x 2 - 4 [1] ) (x + 0,5)2 g' (x ) = ( (x + 0,5)[2](x ) - x 2 - 4 ) (x + 0,5)2 g(x )' = (x + 0,5)(2x ) - x 2 + 4 (x + 0,5)2 Cancelando términos semejantes 2x 2 + x - x 2 + 4 g' (x ) = (x + 0,5)2 x2 + x + 4 g' (x ) = (x + 0,5)2 Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 Problema 20 Hallar la derivada (aplicando cocientes) t 2 -1 f (t ) = t2 + t - 2 ⎛ t 2 -1 ⎞ d⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ t +t -2⎠ f ' (t ) = ⎝ dx ⎡ d ⎛ t 2 - 1⎞ ⎤ ⎡ d⎛ t 2 + t - 2 ⎞ ⎤ ⎛ t 2 + t - 2⎞ ⎢ ⎜ ⎝ ⎟⎥ ⎠ - ⎛ t 2 - 1⎞ ⎢ ⎝ ⎜ ⎟⎥ ⎠ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ dx ⎥ ⎝ ⎠⎢ dx ⎥ f ' (t ) = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 ⎛ t 2 + t - 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ t 2 + t - 2 ⎞[2]⎛ t 2 -1 ⎞ - ⎛ t 2 - 1⎞[2](t )2 −1 + 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f ' (t ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎛ t 2 + t - 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ t 2 + t - 2 ⎞[2](t ) - ⎛ t 2 - 1⎞[2](t ) + 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f ' (t ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎛ t 2 + t - 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ t 2 + t - 2 ⎞(2t ) - ⎛ t 2 - 1⎞(2t + 1) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f ' (t ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎛ t 2 + t - 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Cancelando términos semejantes 23
  • 24. 2t 3 + 2t 2 - 4t - 2t 3 + 2t - t 2 + 1 f ' (t ) = 2 ⎛ t 2 + t - 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f ' (t ) = t 2 - 2t + 1 = (t - 1)(t - 1) = (t - 1)(t - 1) 2 [(t + 2)(t - 1)]2 (t + 2)2 (t - 1)2 ⎛ t 2 + t - 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f ' (t ) = 1 (t + 2)2 Calcular la derivada 5 y= x2 y = 5x -2 y' = ( ) d 5x - 2 dx y’= (-2) (5) x -2-1 y’= -10x -3 10 y' = - x3 Otra forma (aplicando cocientes) 5 y= x2 ⎛ 5 ⎞ d⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ y' = ⎝ ⎠ x dx ⎡ d⎛ x 2 ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⎡ d(5) ⎤ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ x2 ⎢ ⎥ - 5⎢ ⎥ ⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ y' = 2 ⎜x ⎞ ⎛ 2⎟ ⎝ ⎠ x 2 [0] - 5⎡2 x 2 -1 ⎤ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ y' = ⎛x2 ⎞ ⎛x2 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 24
  • 25. x 2 [0] - 5[2 x ] y' = (x 2 )(x 2 ) - [10x ] - 10 y' = = x4 x3 - 10 y' = x3 Calcular la derivada 1 y= 3x 2 1 -2 y= x 3 ⎛1 ⎞ d⎜ x - 2 ⎟ y' = ⎝ ⎠ 3 dx y’= (-2) (1/3) x -2-1 y’= - 2/3 x -3 2 y' = - 3 x3 Otra forma (aplicando cocientes) 1 y= 3x 2 ⎛ 1 ⎞ d⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ y' = ⎝ ⎠ 3x dx ⎡ d⎛ 3x 2 ⎞ ⎤ ⎜ ⎟⎥ 2 ⎡ d(1) ⎤ - 1⎢ ⎝ ⎠ 3x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ y' = 2 ⎛ 3x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ [ ] 3x 2 [0] - 1 (2 )(3)x 2 -1 y' = (3x 2 )(3x 2 ) (3x 2 )[0] - 1[(2)(3)(x)] y' = (3x 2 )(3x 2 ) 25
  • 26. - 1[6x ] - 6x -2 y' = = = 9x 4 9x 4 3x 3 -2 y' = 3x 3 Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 129 Ejemplo 2 Hallar la derivada (aplicando cocientes) 2 x3 + 4 f (x ) = x2 +1 ⎛ 2 x3 + 4 ⎞ d⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ f ' (x ) = ⎝ x +1 ⎠ dx ⎡ d⎛ 2 x 3 + 4 ⎞ ⎤ ⎡ d⎛ x 2 + 1⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎛ x 2 + 1⎞ ⎢ ⎝ ⎜ ⎟⎢ ⎠ ⎥ - ⎛ 2 x3 + 4⎞ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ dx ⎥ ⎝ ⎠⎢ dx ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ f ' (x ) = 2 ⎛ x 2 + 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 + 1⎞ [2] (3)(x )3-1 - ⎛ 2 x 3 + 4 ⎞ [2] (x )2 −1 ⎜x ⎟ ⎜ ⎟ f ' (x ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎛ x 2 + 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ x 2 + 1⎟ 6 x 2 - ⎛ 2 x 3 + 4 ⎞ 2 x ⎜ ⎞ ⎜ ⎟ f ' (x ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎛ x 2 + 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 x 4 + 6 x 2 - 4 x 4 - 8x f ' (x ) = 2 ⎛ x 2 + 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Cancelando términos semejantes 2 x 4 + 6 x 2 - 8x f ' (x ) = 2 ⎛ x 2 + 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 129 Ejemplo 3 Hallar la derivada (aplicando cocientes) 3 x = x5 26
  • 27. ⎛ 3 ⎞ d⎜ ⎟ ⎜ 5⎟ x' = ⎝ x ⎠ dx ⎡ d⎛ x 5 ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ 5 ⎡ d (3) ⎤ - (3) ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ x '= 2 ⎛ x5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x 5 [0] - (3) ⎡(5)x 5 -1 ⎤ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ y' = ⎛x ⎟⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎞ ⎛ x5 ⎞ ⎝ ⎠⎝ ⎠ - (3) ⎡(5)x 4 ⎤ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ y' = ⎛ x5 ⎞ ⎛ x5 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ - 15 x 4 y' = ⎛ x5 ⎞ ⎛ x5 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ - 15 - 15 y' = = x ⎛ x5 ⎞ x 6 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Calcular la derivada 2 y= (x + 1)2 ⎛ 2 ⎞ d⎜ ⎟ ⎜ ( x + 1)2 ⎟ y' = ⎝ ⎠ dx ⎡ 2⎤ (x + 1)2 ⎢ d(2) ⎤ - 2 ⎢ d (x + 1) ⎡ ⎥ ⎥ ⎣ dx ⎦ ⎢ ⎣ dx ⎥ ⎦ y' = 2 ⎡(x + 1)2 ⎤ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ (x + 1)2 (0) - 2⎡(2)(x + 1)2 −1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ y' = [(x + 1)]4 - 2[(2 )(x + 1)] y' = [(x + 1)]4 - 4(x + 1) -4 y' = = (x + 1)4 (x + 1)3 27
  • 28. -4 y' = (x + 1)3 Calcular la derivada x y= x 2 −1 ⎛ x ⎞ d⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ y' = ⎝ x −1⎠ dx ⎡ d ⎛ x 2 − 1⎞ ⎤ ⎜ ⎟⎥ ⎛ x 2 − 1⎟ ⎡ d(x ) ⎤ - x ⎢ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ dx ⎥ ⎢ ⎢ ⎦ dx ⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ y' = 2 ⎛ x 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ x 2 − 1⎞ [1] - x ⎡(2 ) x 2 -1 ⎤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ y' = 2 ⎛ x 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x 2 - 1 - x [2x ] y' = 2 ⎛ x 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ reduciendo términos semejantes x 2 - 1 - 2x 2 y' = (x 2 − 1)2 - ⎛ x 2 + 1⎞ ⎜ ⎟ -1 - x 2 ⎝ ⎠ y' = = 2 2 ⎛ x 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ x 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 2 +1 y' = - 2 ⎛ x 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 28
  • 30. SEGUNDA DERIVADA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 30
  • 31. La derivada y’ = dy/dx es la primera derivada (derivada de primer orden) de y con respecto a x. la derivada en si bien puede ser una función diferenciable. ' 2 y ' ' = dy = d ⎡ dy ⎤ = d y dx dx ⎢ dx ⎥ dx 2 ⎣ ⎦ Se llama la segunda derivada (derivada de segundo orden ) de y con respecto a x. Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 130 Ejemplo 4 Encuentre todas las derivadas. f (x) = 8 x4 + 5 x3 – x2 + 7 ‘ f (x) = 8 (4) x4 - 1 + 5 (3) x3-1 – (2) x2-1 + 0 ‘ f (x) = 32 x3 + 15 x2 – 2 x ‘‘ f (x) = 32 (3) x3-1 + 15 (2) x2-1 – 2 x1-1 ‘‘ f (x) = 96 x2 + 30 x – 2 ‘‘‘ f (x) = 96 (2) x2-1 + 30 x1-1 – 0 ‘‘‘ f (x) = 192 x + 30 4 f (x) = 192 x1-1 + 0 4 f (x) = 192 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DERIVADA DEL SENO En pocas palabras, la derivada del seno es el coseno. d (sen x ) = cos x dx Calcular la derivada y = x3 sen x Aplicando la derivada del producto Primer termino = (x3) Segundo termino = (sen x) y' = ( d x 3 sen x ) dx ( ) y' = x3 d [sen x ] + (sen x ) d x 3 [ ] y ' = (x 3 )[cos x ] + (sen x ) [3x 2 ] dx dx y ' = x 3 cos x + 3x 2 senx 31
  • 32. Calcular la derivada y = (x sen x)3 d (x sen x )3 y' = dx y' = x3( ) d dx [sen x ]3 + (sen x )3 d x 3 dx [ ] d (x sen x ) y ' = 3[x sen x ]3 −1 dx d (x sen x ) y ' = 3[x sen x ]2 dx Aplicando derivada del producto ⎡ d (senx ) ⎛ d ( x ) ⎞⎤ y ' = 3[x sen x ]2 ⎢(x ) + (senx )⎜ ⎟⎥ ⎣ dx ⎝ dx ⎠⎦ y ' = 3[x sen x ]2 [(x ) cos x + (senx )(1)] y ' = 3[x sen x ]2 [x cos x + senx] Otra forma (aplicando la derivada interna) y = (x sen x)3 y = x3 (sen x)3 Aplicando la derivada del producto Primer termino = (x3) Segundo termino = (sen x)3 y' = [ d x 3 (senx )3 ] dx y' = x3( )d dx [sen x ]3 + (sen x )3 d x 3 dx [ ] ( ) [ ] y ' = x 3 3(cos x ) [sen x ]3 - 1 + (sen x )3 3 x 3 - 1 La derivada interna de (sen x)3 es: cos x y ' = 3 x 3 (cos x ) [sen x ]2 + (sen x )3 3 x 2 y ' = 3 x 3 (cos x ) sen 2 x + 3x 2 sen 3 x Factor común y ' = 3 x 2 sen 2 x[x cosx + sen x ] Calcular la derivada y = sen x y = sen x = (sen x )1 2 32
  • 33. y' = [ d (sen x )1 2 ] dx d[(sen x )] y' = (sen x )1 2 −1 1 2 dx y' = 1 (sen x )1 2 −1 * (1)cos x 2 y' = (sen x ) − 1 2 (cos x ) 1 2 y' = 1 (cos x ) 2(sen x )1 2 cos x cos x y' = = 2(sen x )1 2 2 sen x cos x y' = 2 sen x Calcular la derivada ln x y= x −1 ⎛ x ⎞ d⎜ ⎟ y' = ⎝ x −1⎠ dx (x - 1)⎡ d(ln x )⎤ - ln x ⎡ d(x - 1)⎤ ⎢ dx ⎥ ⎢ dx ⎥ y' = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ [x − 1] 2 (x - 1) ⎛ 1 ⎞ ⎡ d(x )⎤ - ln x [1] ⎜ ⎟⎢ y' = ⎝ x ⎠ ⎣ dx ⎥ ⎦ [x − 1] 2 (x - 1) ⎛ 1 ⎞ [1] - ln x ⎜ ⎟ y' = ⎝x⎠ [x − 1]2 ⎛ x -1⎞ ⎜ ⎟ - ln x (x - 1) - x ln x y' = ⎝ x ⎠ = x = (x - 1) - x ln x = x - 1 - x ln x [x − 1] 2 (x - 1)2 x (x - 1)2 x (x - 1)2 x - 1 - x ln x y' = x (x - 1)2 Calcular la derivada y = tag (2x + 1) 33
  • 34. d [tag (2x + 1)] y' = dx y ' = sec 2 (2x + 1) [2x + 1] d dx y ' = sec 2 (2x + 1) [2] y ' = 2 sec 2 (2x + 1) Calcular la derivada 1 y' = tag x * = tag x sec x cos x 1 y' = sec x tag x y= cos x 1 y= = sec x Otra forma (utilizando el exponente) cos x 1 y= d(sec x ) cos x y' = = (cos x )−1 dx 1 d(x ) y= y' = sec x tag x cos x dx d(cos x )−1 y' = sec x tag x (1) y' = dx y' = sec x tag x d (cos x ) y' = (- 1)(cos x )-1 -1 dx Otra forma (utilizando el cociente) d(cos x ) y= 1 y' = (- 1)(cos x )- 2 dx cos x -1 d (cos x ) ⎛ 1 ⎞ y' = d⎜ ⎝ cos x ⎠ ⎟ (cos x ) dx 2 y' = * (- sen x ) -1 dx y' = ⎡ d(1) ⎤ ⎡ d(cos x ) ⎤ (cos x )2 cos x ⎢ ⎥ - 1⎢ ⎥ y' = ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ y' = sen x (cos x )2 (cos x )2 cos x [0] - 1[− sen x ] y' = sen x = sen x 1 y' = * (cos x )(cos x ) cos x cos x (cos x )2 y' = tag x sec x - 1[− sen x ] sen x sen x 1 y' = = = * (cos x )2 cos x (cos x ) cos x cos x Hallar la derivada de y = (x5) (esen x) Primer termino = (x5) Segundo termino = (esen x) y' = [ ( )] d (x )5 e senx dx y' = x5( ) dx [e senx ]+ (esen x ) dx [x 5 ] d d 34
  • 35. d (senx ) ⎤ ⎛ sen x ⎞ ⎡ 5 -1 ⎤ y ' = ⎢⎛ x 5 ⎞ ⎜ e senx ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎟ + ⎜e ⎟ (5) ⎢ x ⎣⎝ ⎠⎝ ⎠ dx ⎥ ⎝ ⎦ ⎠ ⎣ ⎥ ⎦ ⎡⎛ d (x ) ⎤ y ' = ⎢⎜ x 5 ⎞ ⎛ e senx ⎞ (cos x ) ⎟⎜ ⎟ + 5 ⎛ e sen x ⎞ ⎡ x 4 ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dx ⎥ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ y ' = ⎢⎛ x 5 ⎟ ⎛ e senx ⎞ (cos x )(1)⎤ + 5 ⎛ e sen x ⎞ ⎡ x 4 ⎤ ⎡ ⎜ ⎞⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ y ' = x 5 (cos x ) ⎛ e sen x ⎞ + 5x 4 ⎛ e sen x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ y ' = x 4 ⎛ e sen x ⎞ [x cos x + 5] ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Calcular la derivada y = sen 1 - 2 x y = sen 1 - 2 x = sen (1 - 2x )1 2 ⎡ 1 2⎤ d ⎢ sen⎛1 - 2 x ⎞ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ y' = ⎣ ⎦ dx ⎡ 1 2⎤ d ⎢⎛1 − 2 x ⎞ ⎥ ⎜ ⎟ 1 2 ⎢⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ y' = cos ⎛1 - 2 x ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dx ⎛ d ⎛1 − 2 x ⎞ ⎞ ⎜1 ⎜ ⎟⎟ y' = cos 1 - 2 x ⎜ (1 − 2 x )−1 2 ⎝ ⎠⎟ ⎜2 dx ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎞ y' = cos 1 - 2 x ⎜ (1 − 2 x )−1 2 ⎛ − 2 x ln 2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 ⎝ ⎠⎠ ⎛ y' = cos 1 - 2 x ⎜ 1 ⎜ 2 1 - 2x( ⎞ − 2 x ln 2 ⎟ ⎟ )( ) ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ - 2 x ln 2 ⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ y' = cos 1 - 2 x ⎜⎝ ⎠⎟ ( ⎜ 2 1 - 2x ⎟ ⎜ )⎟ ⎝ ⎠ ⎛ - 2 x ln2 ⎞ ⎛ cos 1 - 2 x ⎜ ⎟⎜ ⎞ ⎟ ⎝ ⎠⎜⎝ ⎟ ⎠ y' = 2 1- 2x 35
  • 36. Calcular la derivada y = cos x y = cos x = cos (x )1 2 d ⎡cos (x )1 2 ⎤ ⎢ ⎥ y' = ⎣ ⎦ dx ⎛1⎞ y' = - sen (x )1 2 ⎜ ⎟ (x )1 2 − 1 ⎝2⎠ ⎛1⎞ y' = - sen x ⎜ ⎟ (x )- 1 2 ⎝2⎠ ⎛1⎞⎛ 1 ⎞ y' = - sen x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠⎝ x ⎠ - sen x y' = 2 x Calcular la derivada y = (x) (sen x)3 Primer termino = (x) Segundo termino = (sen x)3 y' = [ d (x )(senx )3 ] dx y ' = (x ) d dx [ ] (sen x )3 + (sen x )3 d [x ] dx y ' = (x )(cos x )3 d dx [ ] (x )3 + (sen x )3 [1] [ ] y ' = (x )(cos x )3 (3)(x )3 −1 + (sen x )3 y ' = (x )(cos x )3 [(3)(x )2 ]+ (sen x )3 y ' = 3 (x )(x )2 (cos x )3 + (sen x )3 y ' = 3 x 3 (cos x )3 + (sen x )3 Calcular la derivada y = ln [sen (x2 + 5)] 36
  • 37. y [( ( 2 ' = d ln sen x + 5 )] dx ⎛ 1 ⎞ ⎡ d (sen (x 2 + 5) ⎤ y' = ⎜ ⎟⎢ ⎝ ( ⎜ sen x 2 + 5 ⎟ ⎢ ⎠⎣ ) dx ⎥ ⎦ ⎥ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎡cos ⎛ x 2 + 5 ⎞(2 )(x )2 −1 ⎤ '= ⎜ 1 y ⎜ ⎟ ⎜ sen⎜ x 2 + 5 ⎞ ⎟ ⎢ ⎛ ⎟⎟⎣ ⎝ ⎠ ⎥ ⎦ ⎜ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎡cos ⎜ x 2 + 5 ⎞(2 )(x )⎤ ⎛ 1 y' = ⎜ ⎟ ⎜ sen⎛ x 2 + 5 ⎞ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟⎟ ⎣ ⎝ ⎠ ⎥ ⎦ ⎜ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ 2x ⎜ cos ⎛ x + 5 ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎟ y' = ⎜ ⎜ ⎛ 2 ⎞ ⎟ ⎜ sen⎜ x + 5 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ( 2x cos x 2 + 5 ) y' = ( sen x 2 + 5 ) ( y ' = (2x ) cot x 2 + 5 ) Calcular la derivada 1+ x2 y = ln 1− x2 ⎛ 1+ x2 ⎞ d⎜ ln ⎟ ⎜ 2⎟ 1− x ⎠ y' = ⎝ dx ⎡ ⎛1+ x2 ⎞⎤ ⎢d⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜1 − x2 ⎟⎥ ⎢ ⎝ ⎠⎥ 1 y' = 1+ x 2 ⎢ dx ⎥ ⎢ ⎥ 1- x2 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎡ ⎛1 + x2 ⎞ ⎤ ⎢ d⎜ ⎟⎥ ⎛ 1- x2 ⎞ ⎢ ⎜1 − x2 ⎟ ⎥ y' = ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎜ 2 ⎟⎢ dx ⎥ ⎝1+ x ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 37
  • 38. ⎛ d ⎛1 + x 2 ⎞ ⎞ ⎛ d ⎛1 - x 2 ⎞ ⎞ ⎤ ⎢⎛ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎟ - ⎛1 + x 2 ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎢ ⎜1 - x ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠⎜ dx ⎟ ⎝ ⎠⎜ dx ⎟⎥ ⎛ 1- x2 ⎞ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ y' = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥ ⎜ 2⎟ ⎢ 2 ⎥ ⎝1+ x ⎠ ⎢ ⎛1 - x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 2 -1 - ⎛1 + x 2 ⎞ (− 2 )(x )2 −1 ⎤ ⎛ 2⎞ ⎛ 1- x2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2)(x ) ⎜ ⎟ ⎥ y' = ⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎜ 2 ⎟⎢ 2 ⎥ ⎝1+ x ⎠⎢ ⎛1 - x ⎟ ⎜ 2⎞ ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎡ ⎤ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2)(x ) - ⎜1 + x ⎟ (− 2)(x ) ⎥ y' = ⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎜ 2 ⎟⎢ 2 ⎥ ⎝1+ x ⎠ ⎢ ⎛1 - x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎡ ⎤ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2 x ) - ⎜1 + x ⎟ (− 2 x ) ⎥ y' = ⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎜ 2 ⎟⎢ 2 ⎥ ⎝ 1+ x ⎠ ⎛1 - x ⎟2⎞ ⎢ ⎜ ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎡ ⎤ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2 x ) + ⎜1 + x ⎟ (2 x ) ⎥ y' = ⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎜ 2 ⎟⎢ 2 ⎥ ⎝1+ x ⎠ ⎢ ⎛1 - x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎡ 2x - 2x 3 + 2x + 2x 3 ⎤ y' = ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜1 + x 2 ⎟ ⎢ ⎝ ⎠⎢⎣ 1- x2( ) 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎡ 4x ⎤ y' = ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜1+ x2 ⎟ ⎢ ⎝ ( )2⎥ ⎠ ⎢ 1- x2 ⎥ ⎣ ⎦ 4x - 4x 3 y' = 2 ⎛1 + x 2 ⎞ ⎛1 − x 2 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Calcular la derivada y = e1 x d ⎛ e1 x ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y' = dx ⎛1⎞ d⎜ ⎟ y' = ⎛ e1 x ⎞ ⎝ ⎠ x ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dx 38
  • 39. d ⎛ x −1 ⎞ ⎜ ⎟ y' = ⎛ e1 x ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dx y' = ⎛ e1 x ⎞ (- 1)(x )-1-1 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) y' = e1 x (- 1)(x )- 2 - e1 x y' = x2 LA REGLA DE LA CADENA Si y = f(u) es función derivable de u y u = g(x) es función derivable de x entonces y = f(g(x)) es función derivable de x, con dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ d [f (g(x ))] = f ' (g(x )) g ' (x ) ’ dx Sección 3.5 Ejemplo # 3 calculo Larson Edic 5 Pág. 139 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. y = (x2 + 1)3 dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ Se halla primero dy du dy d ⎛ 2 3 = ⎜ x + 1⎞ ⎟ du du ⎝ ⎠ 3 −1 = (3) ⎛ x 2 + 1⎞ dy ⎜ ⎟ du ⎝ ⎠ 2 = (3) ⎛ x 2 + 1⎞ dy ⎜ ⎟ du ⎝ ⎠ Después se halla du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (x2 + 1) 39
  • 40. y = (x2 + 1)3 = (u)3 d ⎛ x 2 + 1⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ = 2x 2 -1 du dx dx du = 2 x 2 -1 dx du = 2x dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ 2 = (3) ⎛ x 2 + 1 ⎞ (2x ) dy ⎜ ⎟ dx ⎝ ⎠ dy ⎛ 2 2 = ⎜ x + 1 ⎞ (6x ) ⎟ dx ⎝ ⎠ Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 25 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. y = (2x + 1)2 dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ Se halla primero dy du dy d = (2 x + 1)2 du du = (2 )(2 x + 1)2 −1 dy du = (2 )(2 x + 1) dy du Después se halla du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (2 x + 1) y = (2 x + 1)2 = (u)2 40
  • 41. du d (2 x + 1) = = 2x 1-1 dx dx du = 2 x0 dx du = 2 dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ = (2 )(2x + 1 )(2 ) dy dx = 4 (2 x + 1 ) dy dx Problema 10.8 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 93 Derivar s = (t2 – 3)4 Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (2t) s’ = 4 *(t2 – 3)3 *(2t) s’ = (t2 – 3)3 (8t) Problema 10.30 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 Derivar y = (1 – 5x)6 Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (-5) y ’ = 6 *(1 – 5x)5 * (- 5) y ’ = (1 – 5x)5 (- 30) Problema 10.31 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 Derivar y = (3x – x3 + 1)4 Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (3 – 3x2 ) y ’ = (3x – x3 + 1)4 y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * (3 – 3x2 ) Factor común 3 y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * 3 * (1 – x2 ) y ’ = 12 (3x – x3 + 1)3 (1 – x2 ) Problema 10.32 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 Derivar y = (3 + 4x – x2 )1/2 dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ 41
  • 42. Se halla primero dy du 1 dy d ⎛ = 2⎞2 ⎜3 + 4 x - x ⎟ du du ⎝ ⎠ 1 dy ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1 2⎞2 = ⎜ ⎟ ⎜3 + 4 x - x ⎟ du ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ 1 dy ⎛ 1 ⎞ ⎛ − = ⎜ ⎟ ⎜3 + 4 x - x ⎟ 2⎞ 2 du ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ dy ⎜ 1 ⎟ =⎜ du 12⎟ ⎜ 2⎛ 3 + 4x - x 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ Después se halla du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (3 + 4x – x2 ) y = (3 + 4x – x2 )1/2 = (u)1/2 d⎛ 3 + 4 x - x 2 ⎞ ⎜ ⎟ du = ⎝ ⎠ dx dx du = 4x1 -1 - 2 x 2 -1 dx du = 4x 0 - 2 x 1 dx du = 4-2x dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ dy ⎢ = 1 ⎥ (4 - 2x ) dx ⎢ ⎛ 12⎥ ⎢ 2⎜ 3 + 4x - x 2 ⎞ ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ 42
  • 43. ⎤ ⎢ ⎥ dy ⎢ 4 - 2x ⎥= 2 (2 - x ) = dx ⎢ 12⎥ 12 ⎢ 2⎛ 3 + 4x - x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎥ (2 ) ⎛ 3 + 4x - x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠ dy = (2 - x ) dx 12 ⎛ 3 + 4x - x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ REGLA GENERAL DE LAS POTENCIAS Si y = [u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un numero racional, entonces ⎛ du ⎞ = n [u (x )]n -1 ⎜ ⎟ dy dx ⎝ dx ⎠ O lo que es lo mismo u = n [u ]n -1 u ' d ⎡ n⎤ dx ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Sección 3.5 Ejemplo # 4 calculo Larson Edic 5 Pág. 140 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. f (x) = (3x – 2x2)3 dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ Se halla primero dy du 3 ⎜ 3x - 2x ⎞ dy d ⎛ 2 = ⎟ du du ⎝ ⎠ 3 −1 dy = (3) ⎛ 3x - 2x 2 ⎜ ⎞ ⎟ du ⎝ ⎠ 2 = (3) ⎛ 3x - 2x 2 ⎞ dy ⎜ ⎟ du ⎝ ⎠ Después se halla du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (3x – 2x2) y = (3x – 2x2)3 = (u)3 43
  • 44. d⎛ 3x - 2x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 3 x1-1 - 2 (2 )x 2 -1 du = dx dx du = 3 -4x dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ 2 = (3) ⎛ 3x - 2x 2 ⎞ (3 - 4x ) dy ⎜ ⎟ dx ⎝ ⎠ dy ⎛ 2 = ⎜ 3x - 2x 2 ⎞ ⎟ (9 - 12x ) dx ⎝ ⎠ Sección 3.5 Ejemplo # 6 calculo Larson Edic 5 Pág. 141 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 2 y = 3 ⎛ x 2 + 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 23 y = ⎛ x 2 + 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ Se halla primero dy du dy d ⎛ 2 23 = ⎜ x + 2⎞ ⎟ du du ⎝ ⎠ dy ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 2 3 −1 =⎜ ⎟⎜x + 2 ⎞ ⎟ du ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ dy ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 −1 3 =⎜ ⎟⎜x + 2 ⎞ ⎟ du ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ dy 2 2 = = 13 3 3 ⎛ x 2 + 2⎞ du 3 ⎛ x 2 + 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Después se halla du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (x2 + 2) 44
  • 45. y = (x2 + 2)2/3 = (u)2/3 d⎛ x 2 + 2 ⎞ ⎜ ⎟ du ⎝ ⎠ = = 2 x 2 -1 + 0 dx dx du = 2x dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ ⎡ ⎤ dy ⎢ = 2 ⎥ (2x ) dx ⎢ 3 2 ⎥ ⎣3 x + 2 ⎦ dy 4x = dx 3 3 x2 + 2 Sección 3.5 Ejemplo # 7 calculo Larson Edic 5 Pág. 141 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. g(t ) = -7 (2t - 3)2 -2 g(t) = (-7) (2t – 3) dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ dy Se halla primero: du dy d = (− 7 )(2t - 3)− 2 du du = (- 7 )(- 2 )(2t - 3 )− 2 −1 dy du = (14 )(2t - 3 )− 3 dy du dy 14 = du (2t - 3)3 du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (2t - 3) 45
  • 46. -2 -2 y = (2t - 3) = (u) du d(2t - 3 ) = = 2 t1-1 - 0 dx dx du = 2 dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ dy ⎡ 14 ⎤ =⎢ ⎥ (2 ) dx ⎢ (2t - 3)3 ⎥ ⎣ ⎦ dy 28 = dx (2t - 3)3 Sección 3.5 Ejemplo # 8 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. f (x ) = x 2 1 - x 2 12 f (x ) = x 2 ⎛1 - x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Primer termino = (x2) 12 Segundo termino = ⎛1 - x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d ⎡ 12 12 d f ' (x ) = (x )2 1- x2 ⎤ + ⎛1 - x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎡ x2⎤ dx ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎝ ⎠ dx ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ La derivada interna de (1 – x2) es (- 2x) La derivada de (x2) es (2x) ⎛1⎞ 1 2 -1 12 f ' (x ) = (x )2 ⎜ ⎟ (- 2x ) ⎡1 - x 2 ⎤ ⎢ ⎥ + ⎛1 - x 2 ⎞ ⎜ ⎟ [2x ] ⎝2⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎛1⎞ -1 2 12 f ' (x ) = (x )2 ⎜ ⎟ (- 2x ) ⎡1 - x 2 ⎤ ⎢ ⎥ + ⎛1 - x 2 ⎞ ⎜ ⎟ [2x ] ⎝2⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ f ' (x ) = (x )2 (− 2 x ) + ⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎜ ⎟ (2x ) 2 1- x2 ⎝ ⎠ f ' (x ) = (x )2 (− x ) + ⎛ ⎞ ⎜ 1 - x 2 ⎟ (2x ) 1- x2 ⎝ ⎠ 46
  • 47. ⎞ ⎛ ⎞ - x 3 + ⎜ 1 - x 2 ⎟ (2x ) ⎜ 1 - x 2 ⎟ f ' (x ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1- x2 - x 3 + ⎛1 - x 2 ⎞ (2x ) ⎜ ⎟ f ' (x ) = ⎝ ⎠ 1- x2 - x 3 + 2x - 2x 3 f ' (x ) = 1- x2 - 3x 3 + 2x 2x - 3x 3 f ' (x ) = = 1- x 2 1- x2 (x ) ⎛ 2 - 3x 2 ⎞ ⎜ ⎟ f ' (x ) = ⎝ ⎠ 1- x2 Sección 3.5 Ejemplo # 9 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. f (x ) = x 3 2 x +4 En este caso se utiliza la derivada del producto −1 3 f (x ) = (x ) ⎛ x 2 + 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Primer termino = (x) −1 3 Segundo termino = ⎛ x 2 + 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ -1 3 -1 3 d f ' (x ) = (x ) ⎡ x 2 + 4⎤ d + ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ [ x] dx ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎝ ⎠ dx La derivada interna de (x2 + 4) es (2x) La derivada de (x) es (1) ⎛ 1⎞ -1 3 -1 -1 3 f ' (x ) = (x ) ⎜ − ⎟ ( 2x ) ⎡ x 2 + 4 ⎤ ⎢ ⎥ + ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ [1] ⎝ 3⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎛ - 2x ⎞ ⎡ 2 -4 3 -1 3 f ' ( x ) = (x ) ⎜ ⎟ ⎢x + 4 ⎤⎥ + ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎛ - 2 x2 ⎞ -4 3 -1 3 f ' (x ) = ⎜ ⎟ ⎡x 2 + 4 ⎤ + ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 47
  • 48. ⎞ ⎜ 2 ⎟ ' (x ) = ⎜ -2x ⎟ 1 f ⎜ 43 ⎟ + ⎜ 3 ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 3 ⎛ x 2 + 4⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ - 2 x2 ⎟ f ' (x ) = ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 3⎛ 2 ⎞ ⎟ 3 ⎛ x 2 + 4⎞ 4 ⎜ 3 ⎜ x + 4⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − 2 x2 f ' (x ) = 1 + 4 3⎛ 2 3 3 ⎜ x 2 + 4⎞ ⎛ ⎟ ⎜ x + 4⎞ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − 2 x 2 + ⎡3 ⎛ x 2 + 4 ⎞⎤ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ' (x ) = ⎣ ⎝ ⎠⎦ - 2x 2 + 3x 2 + 12 f = 3 3 ⎛ x 2 + 4⎞ 4 3 3 ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ x 2 + 12 f ' (x ) = 3 3 ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Sección 3.5 Ejemplo # 9 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. f (x ) = x 3 2 x +4 f (x ) = x 13 ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ En este caso se utiliza la derivada del cociente ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ d⎜ 13⎟ ⎜ ⎛ x 2 + 4⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ f ' (x ) = ⎝ dx ⎡ 13⎤ ⎢d ⎛ x + 4⎞ ⎥ 2 1 3 ⎡ d(x ) ⎤ ⎜ ⎟ ⎛ x 2 + 4⎞ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎢ dx ⎥ - (x ) ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dx ⎢ ⎥ y' = ⎣ ⎦ 2 ⎡ 2 1 3⎤ ⎢⎛ x + 4 ⎞ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ La derivada interna de (x2 + 4) es (2x) La derivada de (x) es (1) 48
  • 49. ⎡ ⎛ 2 ⎞⎤ 13 1 3 -1 ⎢d ⎜ x + 4⎟ ⎥ ⎛ x 2 + 4 ⎞ [1] - (x ) ⎛ 1 ⎞ ⎛ x 2 + 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎠ ⎢ dx ⎥ y' = ⎣ ⎦ 2 ⎡ 2 1 3⎤ ⎢⎛ x + 4 ⎞ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 13 1 3 -1 ⎛ x 2 + 4 ⎟ [1] - (x ) ⎛ 1 ⎞ ⎛ x 2 + 4 ⎞ ⎜ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ [2x ] ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎠ y' = 2 ⎡ 2 1 3⎤ ⎛ x + 4⎞ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 13 ⎛x⎞ -2 3 ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ - ⎜ ⎟ ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ [2x ] ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎠ y' = 2 ⎡ 2 1 3⎤ ⎛ x + 4⎞ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎣ ⎠ ⎥ ⎦ 1 3 ⎛ 2 x2 ⎞ -2 3 ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ - ⎜ ⎟ ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 3 ⎟⎝ ⎠ y' = ⎝ ⎠ 2 ⎡ 2 1 3⎤ ⎛ x + 4⎞ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎣ ⎠ ⎥ ⎦ ⎛ ⎞ ⎡ 23 13 ⎤ ⎢3 ⎛ x + 4 ⎞ ⎛ x 2 + 4⎞ 2 - 2x 2 ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ x 2 + 4⎞ 13 ⎜ 2 x2 ⎟ ⎢ ⎝ ⎣ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎦ ⎜ ⎟ - ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 23 23 ⎜ 3 ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 3 ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ y' = ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ = ⎝ ⎠ 23 23 ⎡ x 2 + 4⎤ ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎝ ⎠ Producto de extremos es igual al producto de medios ⎡ ⎛ 2 ⎞ 2⎤ ⎢3⎜ x + 4 ⎟ - 2x ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ 23 3 ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 x 2 + 12 - 2x 2 y' = = = 23 23 23 ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ 3⎜ x 2 + 4 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ x + 4⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 2 + 12 y' = = 43 ⎛ x 2 + 4⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Sección 3.5 Ejemplo # 10 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 2 ⎛ 3x - 1 ⎞ y=⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ x + 3⎠ 49