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Universidad ICESI
Departamento de Matem´aticas y Estad´ıstica
Ejercicios resueltos de C´alculo de una variable
Tema: Derivadas de las funciones trigonom´etricas Ejercicios: a
EJERCICIO 1. Pruebe que:
d
dx
sec x = sec x tan x
SOLUCION: A partir de las bien conocidas identidades trigonom´etricas sec x =
1
cos x
y tan x =
sen x
cos x
, aplicando la
regla del cociente, se obtiene:
d
dx
sec x =
d
dx
1
cos x
=
0 × cos x − (− sen x) × 1
cos2 x
=
0 + sen x
cos2 x
=
sen x
cos2 x
=
1
cos x
×
sen x
cos x
∴
d
dx
sec x = sec x tan x
EJERCICIO 2. Considere la funci´on f definida en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2π de la siguiente manera:
f(x) = x − sen x
¿En qu´e intervalo es f c´oncava hacia arriba?
SOLUCION: Derivando dos veces la funci´on dada se obtiene:
f (x) = 1 − cos x ∴ f (x) = 0 − (− sen x) ∴ f (x) = sen x
-1
1
0 π 2π
En la gr´afica de f (x) = sen x, la derivada segunda de la funci´on f dada, que se presenta en la figura anterior se observa que
es positiva ´unicamente en el intervalo abierto (0, π). Se concluye, entonces, que la respuesta a este ejercicio es:
La funci´on f dada es c´oncava hacia arriba solamente en el intervalo abierto (0, π) de su dominio
EJERCICIO 3. Encuentre la derivada solicitada, hallando unas cuantas de las primeras derivadas y observando el patr´on
que se presenta.
d 99
dx99
sen x
1
SOLUCION: Derivando cuatro veces la funci´on dada se obtiene:
d
dx
sen x = cos x ∴
d2
dx2
sen x = − sen x ∴
d3
dx3
sen x = − cos x ∴
d4
dx4
sen x = −(− sen x) = sen x
Estos resultados se clasifican en la siguiente tabla:
orden 0 1 2 3 4
derivada sen x cos x − sen x − cos x sen x
Como despu´es de derivar cuatro veces se vuelve a la funci´on inicial sen x, se deduce que estos resultados se siguen repitiendo
de tal manera que para encontrar la derivada de orden n todo lo que se debe hacer es determinar el residuo r en la divisi´on
larga de n por cuatro y como r es no negativo y menor que cuatro, se busca en la tabla la derivada que corresponde a r.
Entonces, con n = 99 se tiene:
4
2 4
9 9
1 9
3
De que en la tabla al residuo 3 le corresponde la derivada − cos x, se concluye que la respuesta a este ejercicio es:
La derivada solicitada es
d 99
dx99
sen x = − cos x
EJERCICIO 4. Utilice la f´ormula lim
θ→0
sen θ
θ
= 1 e identidades trigonom´etricas para evaluar el l´ımite:
lim
θ→0
sen θ
θ + tan θ
SOLUCION: Dividiendo numerador y denominador por θ y empleando la bien conocida identidad trigonom´etrica
tan θ =
sen θ
cos θ
, se obtiene:
lim
θ→0
sen θ
θ + tan θ
= lim
θ→0
sen θ
θ
θ + tan θ
θ
= lim
θ→0
sen θ
θ
1 +
tan θ
θ
= lim
θ→0
sen θ
θ
1 +
sen θ
θ cos θ
= lim
θ→0
sen θ
θ
1 +
sen θ
θ
×
1
cos θ
=
1
1 + 1 ×
1
1
=
1
1 + 1
=
1
2
∴
lim
θ→0
sen θ
θ + tan θ
=
1
2
EJERCICIO 5.
a) Eval´ue lim
x→∞
x sen
1
x
b) Eval´ue lim
x→0
x sen
1
x
2
SOLUCION:
a) Para resolver esta parte del ejercicio podemos emplear el cambio de variable x =
1
θ
que implica θ =
1
x
.
x
θ
El gr´afico anterior muestra el cambio de variable mencionado. En el se observa que, cuando la variable θ se acerca a
cero por la derecha la variable x se acerca a m´as infinito, por tanto:
lim
x→∞
x sen
1
x
= lim
θ→0+
1
θ
sen θ = lim
θ→0+
sen θ
θ
= 1 ∴
lim
x→∞
x sen
1
x
= 1
b) Empleando una bien conocida propiedad de la funci´on trigonom´etrica seno, una propiedad de las desigualdades, varias
propiedades del valor absoluto y el teorema de la compresi´on, se obtiene:
|sen x| ≤ 1 ∴ |x||sen x| ≤ |x| × 1 ∴ |x sen x| ≤ |x| ∴ −|x| ≤ x sen x ≤ |x| ∴
lim
x→0
x sen
1
x
= 0
EJERCICIO 6. En la figura se muestra un arco circular de longitud s y una cuerda de longitud d, los dos subtendidos por
un ´angulo central θ.
θ
d
s
Encuentre:
lim
θ→0+
s
d
3
SOLUCION: Denominemos r al radio del c´ırculo y, bajando una perpendicular a la cuerda AB desde el centro O, dividamos
el ´angulo central θ en dos partes iguales, como se muestra en la figura.
θ/2
d/2
r
s
O
PA B
Como la longitud del arco circular s es directamente proporcional al ´angulo central θ (medido en radianes) con constante de
proporcionalidad igual al radio r del c´ırculo, resulta:
s = rθ (1)
Adem´as, en el tri´angulo rect´angulo OPA se tiene:
sen θ/2 =
d/2
r
∴ d/2 = r sen θ/2 ∴ d = 2r sen θ/2 (2)
Como la variable θ/2 va a cero por la derecha cuando la variable θ va a cero por la derecha, empleando (1) y (2) se concluye:
lim
θ→0+
s
d
= lim
θ→0+
rθ
2r sen θ/2
= lim
θ→0+
θ
2 sen θ/2
= lim
θ→0+
1
2 sen θ/2
θ
= lim
θ→0+
1
sen θ/2
θ/2
=
1
1
= 1 ∴
limθ→0+
s
d
= 1
EJERCICIO 7. Un semic´ırculo con di´ametro PQ descansa sobre un tri´angulo is´osceles PQR para formar una regi´on
sombreada semejante a un sorbete, como se muestra en la figura.
P Q
θ
R
A(θ)
B(θ)
Si A(θ) es el ´area del semic´ırculo y B(θ) la del tri´angulo, halle:
lim
θ→0+
A(θ)
B(θ)
4
SOLUCION: Bajemos una perpendicular desde el punto R hasta el di´ametro PQ y tomemos el tri´angulo rect´angulo de la
izquierda de los dos en que queda dividido el tri´angulo original. El ´angulo θ queda dividido en dos partes iguales lo mismo
que el di´ametro PQ. Denominemos r a la mitad del di´ametro, es decir al radio del semic´ırculo, a a la hipotenusa y y al otro
cateto, como aparece en la figura.
r
y
a
θ
2
Entonces se tiene:
sen
θ
2
=
r
a
∴ r = a sen
θ
2
cos
θ
2
=
y
a
∴ y = a cos
θ
2
Por tanto:
A(θ) =
πr2
2
=
π
2
a2
sen2 θ
2
∴ A(θ) =
π
2
a2
sen2 θ
2
B(θ) =
2ry
2
= ry = a sen
θ
2
× a cos
θ
2
= a2
sen
θ
2
cos
θ
2
∴ B(θ) = a2
sen
θ
2
cos
θ
2
Como la variable
θ
2
va a cero por la derecha cuando la variable θ va a cero por la derecha, de lo anterior se concluye:
lim
θ→0+
A(θ)
B(θ)
= lim
θ→0+
π
2
a2
sen2 θ
2
a2 sen
θ
2
cos
θ
2
= lim
θ→0+
π
2
sen
θ
2
cos
θ
2
=
π
2
× 0
1
=
0
1
= 0 ∴
lim
θ→0+
A(θ)
B(θ)
= 0
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  • 1. Universidad ICESI Departamento de Matem´aticas y Estad´ıstica Ejercicios resueltos de C´alculo de una variable Tema: Derivadas de las funciones trigonom´etricas Ejercicios: a EJERCICIO 1. Pruebe que: d dx sec x = sec x tan x SOLUCION: A partir de las bien conocidas identidades trigonom´etricas sec x = 1 cos x y tan x = sen x cos x , aplicando la regla del cociente, se obtiene: d dx sec x = d dx 1 cos x = 0 × cos x − (− sen x) × 1 cos2 x = 0 + sen x cos2 x = sen x cos2 x = 1 cos x × sen x cos x ∴ d dx sec x = sec x tan x EJERCICIO 2. Considere la funci´on f definida en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2π de la siguiente manera: f(x) = x − sen x ¿En qu´e intervalo es f c´oncava hacia arriba? SOLUCION: Derivando dos veces la funci´on dada se obtiene: f (x) = 1 − cos x ∴ f (x) = 0 − (− sen x) ∴ f (x) = sen x -1 1 0 π 2π En la gr´afica de f (x) = sen x, la derivada segunda de la funci´on f dada, que se presenta en la figura anterior se observa que es positiva ´unicamente en el intervalo abierto (0, π). Se concluye, entonces, que la respuesta a este ejercicio es: La funci´on f dada es c´oncava hacia arriba solamente en el intervalo abierto (0, π) de su dominio EJERCICIO 3. Encuentre la derivada solicitada, hallando unas cuantas de las primeras derivadas y observando el patr´on que se presenta. d 99 dx99 sen x 1
  • 2. SOLUCION: Derivando cuatro veces la funci´on dada se obtiene: d dx sen x = cos x ∴ d2 dx2 sen x = − sen x ∴ d3 dx3 sen x = − cos x ∴ d4 dx4 sen x = −(− sen x) = sen x Estos resultados se clasifican en la siguiente tabla: orden 0 1 2 3 4 derivada sen x cos x − sen x − cos x sen x Como despu´es de derivar cuatro veces se vuelve a la funci´on inicial sen x, se deduce que estos resultados se siguen repitiendo de tal manera que para encontrar la derivada de orden n todo lo que se debe hacer es determinar el residuo r en la divisi´on larga de n por cuatro y como r es no negativo y menor que cuatro, se busca en la tabla la derivada que corresponde a r. Entonces, con n = 99 se tiene: 4 2 4 9 9 1 9 3 De que en la tabla al residuo 3 le corresponde la derivada − cos x, se concluye que la respuesta a este ejercicio es: La derivada solicitada es d 99 dx99 sen x = − cos x EJERCICIO 4. Utilice la f´ormula lim θ→0 sen θ θ = 1 e identidades trigonom´etricas para evaluar el l´ımite: lim θ→0 sen θ θ + tan θ SOLUCION: Dividiendo numerador y denominador por θ y empleando la bien conocida identidad trigonom´etrica tan θ = sen θ cos θ , se obtiene: lim θ→0 sen θ θ + tan θ = lim θ→0 sen θ θ θ + tan θ θ = lim θ→0 sen θ θ 1 + tan θ θ = lim θ→0 sen θ θ 1 + sen θ θ cos θ = lim θ→0 sen θ θ 1 + sen θ θ × 1 cos θ = 1 1 + 1 × 1 1 = 1 1 + 1 = 1 2 ∴ lim θ→0 sen θ θ + tan θ = 1 2 EJERCICIO 5. a) Eval´ue lim x→∞ x sen 1 x b) Eval´ue lim x→0 x sen 1 x 2
  • 3. SOLUCION: a) Para resolver esta parte del ejercicio podemos emplear el cambio de variable x = 1 θ que implica θ = 1 x . x θ El gr´afico anterior muestra el cambio de variable mencionado. En el se observa que, cuando la variable θ se acerca a cero por la derecha la variable x se acerca a m´as infinito, por tanto: lim x→∞ x sen 1 x = lim θ→0+ 1 θ sen θ = lim θ→0+ sen θ θ = 1 ∴ lim x→∞ x sen 1 x = 1 b) Empleando una bien conocida propiedad de la funci´on trigonom´etrica seno, una propiedad de las desigualdades, varias propiedades del valor absoluto y el teorema de la compresi´on, se obtiene: |sen x| ≤ 1 ∴ |x||sen x| ≤ |x| × 1 ∴ |x sen x| ≤ |x| ∴ −|x| ≤ x sen x ≤ |x| ∴ lim x→0 x sen 1 x = 0 EJERCICIO 6. En la figura se muestra un arco circular de longitud s y una cuerda de longitud d, los dos subtendidos por un ´angulo central θ. θ d s Encuentre: lim θ→0+ s d 3
  • 4. SOLUCION: Denominemos r al radio del c´ırculo y, bajando una perpendicular a la cuerda AB desde el centro O, dividamos el ´angulo central θ en dos partes iguales, como se muestra en la figura. θ/2 d/2 r s O PA B Como la longitud del arco circular s es directamente proporcional al ´angulo central θ (medido en radianes) con constante de proporcionalidad igual al radio r del c´ırculo, resulta: s = rθ (1) Adem´as, en el tri´angulo rect´angulo OPA se tiene: sen θ/2 = d/2 r ∴ d/2 = r sen θ/2 ∴ d = 2r sen θ/2 (2) Como la variable θ/2 va a cero por la derecha cuando la variable θ va a cero por la derecha, empleando (1) y (2) se concluye: lim θ→0+ s d = lim θ→0+ rθ 2r sen θ/2 = lim θ→0+ θ 2 sen θ/2 = lim θ→0+ 1 2 sen θ/2 θ = lim θ→0+ 1 sen θ/2 θ/2 = 1 1 = 1 ∴ limθ→0+ s d = 1 EJERCICIO 7. Un semic´ırculo con di´ametro PQ descansa sobre un tri´angulo is´osceles PQR para formar una regi´on sombreada semejante a un sorbete, como se muestra en la figura. P Q θ R A(θ) B(θ) Si A(θ) es el ´area del semic´ırculo y B(θ) la del tri´angulo, halle: lim θ→0+ A(θ) B(θ) 4
  • 5. SOLUCION: Bajemos una perpendicular desde el punto R hasta el di´ametro PQ y tomemos el tri´angulo rect´angulo de la izquierda de los dos en que queda dividido el tri´angulo original. El ´angulo θ queda dividido en dos partes iguales lo mismo que el di´ametro PQ. Denominemos r a la mitad del di´ametro, es decir al radio del semic´ırculo, a a la hipotenusa y y al otro cateto, como aparece en la figura. r y a θ 2 Entonces se tiene: sen θ 2 = r a ∴ r = a sen θ 2 cos θ 2 = y a ∴ y = a cos θ 2 Por tanto: A(θ) = πr2 2 = π 2 a2 sen2 θ 2 ∴ A(θ) = π 2 a2 sen2 θ 2 B(θ) = 2ry 2 = ry = a sen θ 2 × a cos θ 2 = a2 sen θ 2 cos θ 2 ∴ B(θ) = a2 sen θ 2 cos θ 2 Como la variable θ 2 va a cero por la derecha cuando la variable θ va a cero por la derecha, de lo anterior se concluye: lim θ→0+ A(θ) B(θ) = lim θ→0+ π 2 a2 sen2 θ 2 a2 sen θ 2 cos θ 2 = lim θ→0+ π 2 sen θ 2 cos θ 2 = π 2 × 0 1 = 0 1 = 0 ∴ lim θ→0+ A(θ) B(θ) = 0 5