METODO HISTORICO COMPARATIVO.pptx metodología de la investigación
Ejercicios derivadas funciones trigonometricas
1. Universidad ICESI
Departamento de Matem´aticas y Estad´ıstica
Ejercicios resueltos de C´alculo de una variable
Tema: Derivadas de las funciones trigonom´etricas Ejercicios: a
EJERCICIO 1. Pruebe que:
d
dx
sec x = sec x tan x
SOLUCION: A partir de las bien conocidas identidades trigonom´etricas sec x =
1
cos x
y tan x =
sen x
cos x
, aplicando la
regla del cociente, se obtiene:
d
dx
sec x =
d
dx
1
cos x
=
0 × cos x − (− sen x) × 1
cos2 x
=
0 + sen x
cos2 x
=
sen x
cos2 x
=
1
cos x
×
sen x
cos x
∴
d
dx
sec x = sec x tan x
EJERCICIO 2. Considere la funci´on f definida en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2π de la siguiente manera:
f(x) = x − sen x
¿En qu´e intervalo es f c´oncava hacia arriba?
SOLUCION: Derivando dos veces la funci´on dada se obtiene:
f (x) = 1 − cos x ∴ f (x) = 0 − (− sen x) ∴ f (x) = sen x
-1
1
0 π 2π
En la gr´afica de f (x) = sen x, la derivada segunda de la funci´on f dada, que se presenta en la figura anterior se observa que
es positiva ´unicamente en el intervalo abierto (0, π). Se concluye, entonces, que la respuesta a este ejercicio es:
La funci´on f dada es c´oncava hacia arriba solamente en el intervalo abierto (0, π) de su dominio
EJERCICIO 3. Encuentre la derivada solicitada, hallando unas cuantas de las primeras derivadas y observando el patr´on
que se presenta.
d 99
dx99
sen x
1
2. SOLUCION: Derivando cuatro veces la funci´on dada se obtiene:
d
dx
sen x = cos x ∴
d2
dx2
sen x = − sen x ∴
d3
dx3
sen x = − cos x ∴
d4
dx4
sen x = −(− sen x) = sen x
Estos resultados se clasifican en la siguiente tabla:
orden 0 1 2 3 4
derivada sen x cos x − sen x − cos x sen x
Como despu´es de derivar cuatro veces se vuelve a la funci´on inicial sen x, se deduce que estos resultados se siguen repitiendo
de tal manera que para encontrar la derivada de orden n todo lo que se debe hacer es determinar el residuo r en la divisi´on
larga de n por cuatro y como r es no negativo y menor que cuatro, se busca en la tabla la derivada que corresponde a r.
Entonces, con n = 99 se tiene:
4
2 4
9 9
1 9
3
De que en la tabla al residuo 3 le corresponde la derivada − cos x, se concluye que la respuesta a este ejercicio es:
La derivada solicitada es
d 99
dx99
sen x = − cos x
EJERCICIO 4. Utilice la f´ormula lim
θ→0
sen θ
θ
= 1 e identidades trigonom´etricas para evaluar el l´ımite:
lim
θ→0
sen θ
θ + tan θ
SOLUCION: Dividiendo numerador y denominador por θ y empleando la bien conocida identidad trigonom´etrica
tan θ =
sen θ
cos θ
, se obtiene:
lim
θ→0
sen θ
θ + tan θ
= lim
θ→0
sen θ
θ
θ + tan θ
θ
= lim
θ→0
sen θ
θ
1 +
tan θ
θ
= lim
θ→0
sen θ
θ
1 +
sen θ
θ cos θ
= lim
θ→0
sen θ
θ
1 +
sen θ
θ
×
1
cos θ
=
1
1 + 1 ×
1
1
=
1
1 + 1
=
1
2
∴
lim
θ→0
sen θ
θ + tan θ
=
1
2
EJERCICIO 5.
a) Eval´ue lim
x→∞
x sen
1
x
b) Eval´ue lim
x→0
x sen
1
x
2
3. SOLUCION:
a) Para resolver esta parte del ejercicio podemos emplear el cambio de variable x =
1
θ
que implica θ =
1
x
.
x
θ
El gr´afico anterior muestra el cambio de variable mencionado. En el se observa que, cuando la variable θ se acerca a
cero por la derecha la variable x se acerca a m´as infinito, por tanto:
lim
x→∞
x sen
1
x
= lim
θ→0+
1
θ
sen θ = lim
θ→0+
sen θ
θ
= 1 ∴
lim
x→∞
x sen
1
x
= 1
b) Empleando una bien conocida propiedad de la funci´on trigonom´etrica seno, una propiedad de las desigualdades, varias
propiedades del valor absoluto y el teorema de la compresi´on, se obtiene:
|sen x| ≤ 1 ∴ |x||sen x| ≤ |x| × 1 ∴ |x sen x| ≤ |x| ∴ −|x| ≤ x sen x ≤ |x| ∴
lim
x→0
x sen
1
x
= 0
EJERCICIO 6. En la figura se muestra un arco circular de longitud s y una cuerda de longitud d, los dos subtendidos por
un ´angulo central θ.
θ
d
s
Encuentre:
lim
θ→0+
s
d
3
4. SOLUCION: Denominemos r al radio del c´ırculo y, bajando una perpendicular a la cuerda AB desde el centro O, dividamos
el ´angulo central θ en dos partes iguales, como se muestra en la figura.
θ/2
d/2
r
s
O
PA B
Como la longitud del arco circular s es directamente proporcional al ´angulo central θ (medido en radianes) con constante de
proporcionalidad igual al radio r del c´ırculo, resulta:
s = rθ (1)
Adem´as, en el tri´angulo rect´angulo OPA se tiene:
sen θ/2 =
d/2
r
∴ d/2 = r sen θ/2 ∴ d = 2r sen θ/2 (2)
Como la variable θ/2 va a cero por la derecha cuando la variable θ va a cero por la derecha, empleando (1) y (2) se concluye:
lim
θ→0+
s
d
= lim
θ→0+
rθ
2r sen θ/2
= lim
θ→0+
θ
2 sen θ/2
= lim
θ→0+
1
2 sen θ/2
θ
= lim
θ→0+
1
sen θ/2
θ/2
=
1
1
= 1 ∴
limθ→0+
s
d
= 1
EJERCICIO 7. Un semic´ırculo con di´ametro PQ descansa sobre un tri´angulo is´osceles PQR para formar una regi´on
sombreada semejante a un sorbete, como se muestra en la figura.
P Q
θ
R
A(θ)
B(θ)
Si A(θ) es el ´area del semic´ırculo y B(θ) la del tri´angulo, halle:
lim
θ→0+
A(θ)
B(θ)
4
5. SOLUCION: Bajemos una perpendicular desde el punto R hasta el di´ametro PQ y tomemos el tri´angulo rect´angulo de la
izquierda de los dos en que queda dividido el tri´angulo original. El ´angulo θ queda dividido en dos partes iguales lo mismo
que el di´ametro PQ. Denominemos r a la mitad del di´ametro, es decir al radio del semic´ırculo, a a la hipotenusa y y al otro
cateto, como aparece en la figura.
r
y
a
θ
2
Entonces se tiene:
sen
θ
2
=
r
a
∴ r = a sen
θ
2
cos
θ
2
=
y
a
∴ y = a cos
θ
2
Por tanto:
A(θ) =
πr2
2
=
π
2
a2
sen2 θ
2
∴ A(θ) =
π
2
a2
sen2 θ
2
B(θ) =
2ry
2
= ry = a sen
θ
2
× a cos
θ
2
= a2
sen
θ
2
cos
θ
2
∴ B(θ) = a2
sen
θ
2
cos
θ
2
Como la variable
θ
2
va a cero por la derecha cuando la variable θ va a cero por la derecha, de lo anterior se concluye:
lim
θ→0+
A(θ)
B(θ)
= lim
θ→0+
π
2
a2
sen2 θ
2
a2 sen
θ
2
cos
θ
2
= lim
θ→0+
π
2
sen
θ
2
cos
θ
2
=
π
2
× 0
1
=
0
1
= 0 ∴
lim
θ→0+
A(θ)
B(θ)
= 0
5