Este documento resume las operaciones paralelas con matrices densas y el algoritmo de Cannon para la multiplicación de matrices. En 3 oraciones o menos: El documento describe diferentes particiones de datos para operaciones paralelas con matrices densas, incluidas particiones de bloques y cíclicas de filas y columnas. También explica el algoritmo de Cannon para la multiplicación paralela de matrices, el cual mueve bloques de las matrices A y B para alinear los datos y permitir la multiplicación en paralelo de todos los procesadores.

1. Programación y Computación
paralela (5)
Operaciones con Matrices Densas
Glen D. Rodríguez R.
Basado en material de J. Demmel
1

2. Revisión de BLAS
• Bloques básicos de operaciones de alg. Lineal.
•Las librerías paralelas llaman alas funciones seriales en
cada CPU: deben ser veloces!
•Recordar la eficiencia del algor. q = # flops / # refs mem
• A mayor q, más rápido el algoritmo en computadoras
reales con jerarquía de memoria
• “axpy” (ax plus y): y = α*x + y, con α escalar, x e y
vectores
Nivel BLAS Ex. # mem refs # flops q
1 “Axpy”, 3n 2n1 2/3
prod escalar
2 Mult. Matriz- n2 2n2 2
vector
3 Mult Matriz- 4n2 2n3 n/2
matriz
2

3. Varias particiones de data en prc. paralelos para matrices
0 1 2 3 0123012301230123
1) Bloques de columnas en 1D
2) Columnas cíclicas en 1D
0 1 2 3 0 1 2 3
4) Cambiar columnas por filas en los
casos 1,2,3 y salen 3 casos análogos
3) Bloques cíclicos de cols. 1D
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 2 3 2 3 2 3 2 3
0 1 0 1 0 1 0 1
Generalizar otros
2 3 2 3 2 3 2 3
2 3
0 1 0 1 0 1 0 1
2 3 2 3 2 3 2 3
6) Bloques cíclicos 2D
5) Bloques (sub matrices) en 2D 0 1 0 1 0 1 0 1
2 3 2 3 2 3 2 3 3

4. Multiplicación paralela matriz vector
• Computar y = y + A*x, con A matriz densa
• Partición:
• Bloques de filas en 1D
• A(i) es el bloque de filas tamaño n por n/p asignado al
procesador i, P0 P1 P2 P3
x
• x(i) e y(i) son los segmentos de
x,y asignados al proc.“i” P0
y
• Algoritmo: P1
• Para todos los procesadores i
P2
• Broadcast x(i)
• Computar y(i) = y(i) + A(i)*x P3
• Algoritmo use la formula
y(i) = y(i) + A(i)*x = y(i) + Σj A(i,j)*x(j)
4

5. Multiplicación matriz vector y = y + A*x
• Una partición por columnas elimina el broadcast de x
• Pero implicaría un mpi_reduce para obtener el valor de y
• Una partición de bloques 2D use broadcast y reducción,
ambos en un subconjunto de procesadores
• sqrt(p) si tenemos una distribución cuadrada de procesadores (2x2,
3x3, 4x4, 5x5, etc.)
P0 P1 P2 P3
P0 P1 P2 P3
P4 P5 P6 P7
P8 P9 P10 P11
P12 P13 P14 P15
5

6. Multiplicación de matrices en paralelo
• Computar C=C+A*B
• Usando algoritmo básico: 2*n3 Flops
• Variables:
• Partición de la data
• Topología de las máquinas
• Scheduling (calendarización) de la comunicación
• Uso de modelos de performance para diseñar el algoritmo
• Tiempo comunicación= “latencia” + #words *tiempo-por-word
= α + n*β
• Eficiencia (en cualquier modelo):
• serial time / (p * parallel time) = speedup / p
• speedup perfecto (lineal) es “p” ↔ efficiency = 1 = 100%
6

7. Algoritmo trivial
• Si hay suficiente espacio de memoria en cada
procesador para guardar todos los elementos de A, B y
C; entonces dividir solo el cálculo pero no la data.
C + A x B
Todos guardan la totalidad de A, B, C. Los
valores iniciales se comunican con broadcast
Para matrices de tamaño nxn, cada procesador
debe usar memoria= tamaño word x 3n2
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8. Mejora al trivial
• Se ahorra algo de memoria si se divide la memoria de C
y de A, pero no de B.
• La división es por bloques de filas 1D
• Ver programa ejemplo
Proc. 0
Proc. 1
Proc. 2
Proc. 3
…
A
Proc. p-2
Proc. p-1
Para matrices de tamaño nxn, si hay p procesadores,
cada procesador debe usar memoria =
tamaño word x (n2 + 2n2/p)
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9. Multiplic. matrices con partición columnas 1D
• Asumir matrices de n x n con n divisible por p
Suposición razonable
p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 para análisis, no para
programar
• A(i) es el bloque de columnas tamaño n por n/p
asignado al proc.”i” (lo mismo para B(i) y C(i))
• B(i,j) es un sub-bloque tamaño n/p por n/p de B(i)
• desde la fila j*n/p hasta la fila ((j+1)*n/p)-1
• Algoritmo usa la formula
C(i) = C(i) + A*B(i) = C(i) + Σj A(j)*B(j,i)
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10. Partición 1D en Bus ó Anillo
• Algoritmo usa la formula
C(i) = C(i) + A*B(i) = C(i) + Σj A(j)*B(j,i)
• Primero, considerar una máquina que usa bus y sin
broadcast: solo un par de procesadores pueden
comunicarse a la vez (ej.: ethernet)
• Luego, considerar procesadores en un anillo: todos los
procesadores se pueden comunicar con sus vecinos
inmediatos a la vez.
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11. MatMul: Partición 1D en Bus sin Broadcast
Algoritmo simplón:
C(myproc) = C(myproc) + A(myproc)*B(myproc,myproc)
for i = 0 to p-1
for j = 0 to p-1 except i
if (myproc == i) send A(i) al procesador j
if (myproc == j)
receive A(i) del procesador i
C(myproc) = C(myproc) + A(i)*B(i,myproc)
barrier
Costo del loop interno :
computación: 2*n*(n/p)2 = 2*n3/p2
comunicación: α + β*n2 /p
11

12. Continua…
Costo del loop interno:
computación: 2*n*(n/p)2 = 2*n3/p2
comunicación: α + β*n2 /p … aprox.
Solo un par de procesadores (i , j) están activos en una iteración,
y de ellos, sólo i esta computando
=> el algoritmo es prácticamente serial
Tiempo de ejecución:
= (p*(p-1) + 1)*computación + p*(p-1)*comunicación
~= 2*n3 + p2*α + p*n2*β
α β
Es peor que el tiempo serial y crece con p.
Quién lo usaría si es malo? ojo, no acelera tiempo de
ejecución pero por lo menos aumenta la memoria disponible.
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13. Matmul en columnas 1D y en un anillo
• Pares de procesadores se pueden comunicar a la vez
Copiae A(myproc) en Tmp
C(myproc) = C(myproc) + Tmp*B(myproc , myproc)
for j = 1 to p-1
Send Tmp al procesador myproc+1 mod p
Receive Tmp del procesador myproc-1 mod p
C(myproc) = C(myproc) + Tmp*B( myproc-j mod p , myproc)
• Misma idea que en el paralelismo de N-body, usar un buffer
de variables temporales
• Tiempo del loop interno = 2*(α + β*n2/p) + 2*n*(n/p)2
α
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14. Matmul en columnas 1D y en un anillo
• Tiempo del loop interno= 2*(α + β*n2/p) + 2*n*(n/p)2
α
• Tiempo Total = 2*n* (n/p)2 + (p-1) * Tiempo loop interno
• ~ 2*n3/p + 2*p*α + 2*β*n2
α β
• Optimo para partición 1D en Ring o Bus, aún con Broadcast:
• Speedup perfecto para aritmética
• A(myproc) debe moverse a los demás procesadores, cuesta por
lo menos:
(p-1)*costo de enviar n*(n/p) words
• Eficiencia paralela = 2*n3 / (p * Tiempo Total paralelo)
= 1/(1 + α * p2/(2*n3) + β * p/(2*n) )
= 1/ (1 + O(p/n))
• Se acerca a 1 si n/p crece (o si α , β se achican)
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15. MatMul en particiones 2D
• Considerar procesadores en malla 2D (física o lógica)
• Procs. se pueden comunicar con 4 vecinos inmediatos
• Broadcast a lo largo de filas y columnas
p(0,0) p(0,1) p(0,2) p(0,0) p(0,1) p(0,2) p(0,0) p(0,1) p(0,2)
p(1,0) p(1,1) p(1,2)
= p(1,0) p(1,1) p(1,2)
* p(1,0) p(1,1) p(1,2)
p(2,0) p(2,1) p(2,2) p(2,0) p(2,1) p(2,2) p(2,0) p(2,1) p(2,2)
• Asumir p procesadores forman una malla de s x s
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16. Algoritmo de Cannon
… C(i,j) = C(i,j) + Σ A(i,k)*B(k,j)
k
… se asume que s = sqrt(p) es entero
forall i=0 to s-1 … “mover” A
desplaz. circular-izq. de la fila i de A en “i” posiciones
… tal que A(i,j) es sobreescrito por A(i,(j+i)mod s)
forall i=0 to s-1 … “mover” B
desplaz.circular-arriba de columna i de B en “i” pos.
…tal que that B(i,j) es sobreescrito por B((i+j)mod s), j)
for k=0 to s-1 … secuencial
forall i=0 to s-1 and j=0 to s-1 … todos procs. en paralelo
C(i,j) = C(i,j) + A(i,j)*B(i,j)
despl.circular-izq para cada fila de A en 1
despl.circular-arriba para cada columna de B en 1
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17. MatMul con Cannon
C(1,2) = A(1,0) * B(0,2) + A(1,1) * B(1,2) + A(1,2) * B(2,2)
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18. Paso inicial para mover Matrices en Cannon
• Input inicial por bloques
A(0,0) A(0,1) A(0,2) B(0,0) B(0,1) B(0,2)
A(1,0) A(1,1) A(1,2) B(1,0) B(1,1) B(1,2)
A(2,0) A(2,1) A(2,2) B(2,0) B(2,1) B(2,2)
• Después de 1er movimiento, antes de multiplicar
A(0,0) A(0,1) A(0,2) B(0,0) B(1,1) B(2,2)
A(1,1) A(1,2) A(1,0) B(1,0) B(2,1) B(0,2)
A(2,2) A(2,0) A(2,1) B(2,0) B(0,1) B(1,2)
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19. Siguientes movimientos en Cannon
• 1er. paso
A(0,0) A(0,1) A(0,2) B(0,0) B(1,1) B(2,2)
A(1,1) A(1,2) A(1,0) B(1,0) B(2,1) B(0,2)
A(2,2) A(2,0) A(2,1) B(2,0) B(0,1) B(1,2)
• 2do. paso
A(0,1) A(0,2) A(0,0) B(1,0) B(2,1) B(0,2)
A(1,2) A(1,0) A(1,1) B(2,0) B(0,1) B(1,2)
A(2,0) A(2,1) A(2,2) B(0,0) B(1,1) B(2,2)
• 3er. paso
A(0,2) A(0,0) A(0,1) B(2,0) B(0,1) B(1,2)
A(1,0) A(1,1) A(1,2) B(0,0) B(1,1) B(2,2)
A(2,1) A(2,2) A(2,0) B(1,0) B(2,1) B(0,2)
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20. Costo del Algoritmo de Cannon
forall i=0 to s-1 … recordar que s = sqrt(p)
despl.circ.izq. fila i de A en i … costo = s*(α + β*n2/p)
α
forall i=0 to s-1
desp.circ.arr. columna i de B en i … costo = s*(α + β*n2/p)
α
for k=0 to s-1
forall i=0 to s-1 and j=0 to s-1
C(i,j) = C(i,j) + A(i,j)*B(i,j) … costo = 2*(n/s)3 = 2*n3/p3/2
despl.circ.izq. cada fila de A en 1 … costo = α + β*n2/p
desp.circ.arr. cada columna de B en 1 … costo = α + β*n2/p
°Tiempo Total = 2*n3/p + 4* s*α + 4*β*n2/s
α β
°Eficiencia Paralela = 2*n3 / (p * Tiempo Total paralelo)
= 1/( 1 + α * 2*(s/n)3 + β * 2*(s/n) )
= 1/(1 + O(sqrt(p)/n))
°Se acerca a 1 si crece n/s = n/sqrt(p) = sqrt(data por procesador)
°Mejor que 1D, que tiene eficiencia= 1/(1 + O(p/n))
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21. Pros y Contras de Cannon
• Se optimiza la computación local
• Difícil de generalizar para:
• Valores de p que no son cuadrados perfectos
• Matrices A y B no son cuadradas
• Dimensiones de A, B que no son divisibles por s=sqrt(p)
• A y B no “alineadas” en la forma en que están guardadas en los
procesadores
• Bloques cíclicos
• Consume memoria (copias extra de matrices locales)
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22. Algoritmo SUMMA
• SUMMA = Scalable Universal Matrix Multiply
• Un poco menos eficiente, pero es más sencillo y más
fácil de generalizar
• Link: slides de van de Geijn y Watts
• www.netlib.org/lapack/lawns/lawn96.ps
• Ideas similares aparecieron en muchas ocasiones
• Usado en PBLAS = Parallel BLAS
• www.netlib.org/lapack/lawns/lawn100.ps
22

23. SUMMA
k j B(k,j)
Proc(1,1) k
Proc(2,1)
* =
i C(i,j)
A(i,k)
Proc(pr,pc)
• i, j representan todas las filas, columnas asignadas a
un procesador
• k es una sola fila o columna; o un bloque de b filas o
columnas
• C(i,j) = C(i,j) + Σk A(i,k)*B(k,j)
• Asumir una malla de pr por pc procesadores (pr = pc =
4 en el ejemplo de arriba) . El número de procesadores
no necesariamente debe ser cuadrado perfecto. 23

24. SUMMA
k j B(k,j)
k
* =
i C(i,j)
A(i,k)
For k=0 to n-1 … ó (n/b)-1 donde b es el tamaño de bloque
… b= # columnas en A(i,k) y # filas en B(k,j)
for all i = 1 to pr … en paralelo
dueño de A(i,k) le hace broadcast a todos los procs. de esa fila
for all j = 1 to pc … en paralelo
dueño de B(k,j) le hace broadcast a todos los procs. de esa col.
Receive A(i,k) en Acol
Receive B(k,j) en Brow
C_myproc = C_myproc + Acol * Brow
24

25. Performance de SUMMA
° Solo para simplificar análisis, asumir s = sqrt(p)
For k=0 to n/b-1
for all i = 1 to s … s = sqrt(p)
dueño de A(i,k) le hace bc. a todos los procs. de la fila
… tiempo = log s *( α + β * b*n/s), usando árbol
for all j = 1 to s
dueño de B(k,j) le hace bc. a todos los procs. de la col.
… tiempo = log s *( α + β * b*n/s), usando árbol
Receive A(i,k) en Acol
Receive B(k,j) en Brow
C_myproc = C_myproc + Acol * Brow
… tiempo= 2*(n/s)2*b
° Tiempo Total = 2*n3/p + α * log p * n/b + β * log p * n2 /s
25

26. Performance de SUMMA
• Tiempo total = 2*n3/p + α * log p * n/b + β * log p * n2 /s
• Eficiencia Paralela =
1/(1 + α * log p * p / (2*b*n2) + β * log p * s/(2*n) )
• ~Mismo término β de Cannon, excepto por el factor log p
log p crece lento, así que no es problema
• Término con latencia (α) puede ser mayor, dependiendo de b
Cuando b=1, se tiene α * log p * n
Si b se acerca a n/s, término se achica hacia
α * log p * s (log p veces Cannon)
• Storage temporal crece como 2*b*n/s
• Se puede cambiar b para disminuir latencia a costa de la
necesidad de más memoria
26

27. Librería paralela ScaLAPACK
27

28. PDGEMM = rutina PBLAS
para multipl. matrices
Observaciones:
Para N fijo, si P aumenta,
Mflops aumenta, pero
menos que 100% eficiencia
Para P fijo, si N aumenta,
Mflops (eficiencia) aumenta
DGEMM = rutina BLAS
para multip. matrices
Max. Velocidad para PDGEMM
= # Procs * veloc. de DGEMM
Observaciones (mismas arriba):
Eficiencia por lo menos 48%
Para N fijo, si P aumenta,
eficiencia cae
Para P fijo, si N aumenta,
eficiencia aumenta
28

29. Notación para el algoritmo de Fox
Los índices
comienzan en 0 para
las sub matrices,
pero comienzan en 1
para filas y columnas
de procesadores
29

30. Algoritmo de Fox (Broadcast, Multiply, y Roll)
30

31. Primer paso -- index n=0 en suma de sub-bloque
31

32. Segundo paso -- index n=1 en suma de sub-bloque
32

33. Segundo paso, continuado
33

34. El algoritmo completo para un elemento
34

35. MPI: grupos de procesadores y comunicación colectiva
• Necesitamos “broadcasts parciales” a lo largo de las filas en
Fox (y de las columnas también en SUMMA)
• Y rolls (desplazamientos en 1) en las columnas en Fox
(parecido en Cannon)
• Estas son “comunicaciones colectivas”
• “Broadcasts de filas” son broadcasts es sub-grupos especiales
de procesadores
• Rolls se hacen como una variante del MPI_SENDRECV con
“condiciones de frontera ciclicas”
• También hay rutinas especiales MPI para definir la malla 2D de
procesadores
35

36. Broadcast en el caso de la Matriz completa
• MatMul usando Fox o Summa con MPI emplea
broadcast como comunicación básica
• Usaremos esta aplicación para discutir 3 enfoques del
broadcast
• Trivial
• Logarítmico
• Pipe (tubo)
• Que tiene diferente performance dependiendo en el
tamaño del mensaje y la arquitectura del hardware.
36

37. Implementación Broadcast trivial y del logarítmico
37

38. Broadcast de pipe o tubo
• En el caso que el tamaño del mensaje es grande, otras implementaciones
son posibles o deseables, ya que será necesario hacer broadcast del
mensaje previa sub división en una secuencia de mensajes más chicos.
• El broadcast puede establecer un camino (o varios) desde el procesador
origen y que visita a los demás procesadores de un grupo.
• El mensaje es enviado desde la fuente a lo largo del camino en un “tubo”,
donde cada procesador recibe un bloque del mensaje desdensupredecesor
y lo envia luego a su sucesor.
• La performance de este broadcast es por lo tanto el tiempo para enviar el
mensaje al procesador al final del camino más la latencia de inicializar y
terminar el “tubo”.
• Tiempo = (Tamaño del mensaje + Tamaño de un paquete (√N – 2))tcomm
• Para granos suficientemente gruesos, el pipe es mejor que el log.
• Alta latencia es mala para este enfoque de “tubo”
• MPI usa logarítmico, pero se puede “adoptarel trivial.
38

39. Esquema de Operación
39

40. Análisis de performance
40

41. Resumen de MatMul paralela
• 1D
• Bus sin broadcast – más lento que serial
• Comunicación al vecino más próximo en anillo (o bus con broadcast):
Eficiencia = 1/(1 + O(p/n))
• 2D
• Cannon
• Eficiencia = 1/(1+O(α ∗ ( sqrt(p) /n)3 +β* sqrt(p) /n))
• Difícil de generalizar para arbitrarios p, n, bloques cíclicos,
alineamientos
• SUMMA
• Eficiencia = 1/(1 + O(α ∗ log p * p / (b*n2) + β∗log p * sqrt(p) /n))
• Más genérico
• b chico => menos memoria, menos eficiencia
• b grande => más memoria, más eficiencia
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