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Red Recíproco y Difracción de Rayos X

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Clases del Curso Estado Sólido II, impartido en Programa de Maestría en Ciencia de Materiales de la Universidad de Sonora.

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Red Recíproco y Difracción de Rayos X

  1. 1. ESTADO SÓLIDO II. V.2015.012H Prof. Rodolfo Bernal
  2. 2. TEMARIO: La Red Recíproca y Determinación de Estructuras por Difracción de Rayos X. Enlace Cristalino. Gas de Fermi de Electrones Libres. Niveles Electrónicos en un Potencial Periódico. Propiedades Generales.
  3. 3. ESTADO SÓLIDO II Modalidades de los Procesos de Enseñanza y Aprendizaje. Exposición de los temas por parte del profesor. Resolución y discusión en clase de algunos problemas representativos. El estudiante deberá complementar su dominio del material de cada tema resolviendo una serie de problemas modelo que serán cuidadosamente seleccionados por el profesor.
  4. 4. BIBLIOGRAFÍA MÍNIMA: Charles Kittel. Introduction to Solid State Physics. Eighth Edition. John Wiley & Sons, New York. 2005. Neil W. Ashcroft, N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College Publishing (1976).
  5. 5. EVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN: Exámenes parciales: 60 %. Tareas: 30 %. Exposiciones: 10 %.
  6. 6. E 1 100 Para los fotones: Para neutrones: Para electrones:  E( ) 12.4 E  n E( ) 2.86 E  e E( ) 1.2226 E  1 10 100 0.1 1 10 100 12.4 0.122  E( ) n E( ) e E( ) 1001 E rayos X neutrones electrones
  7. 7. Difracción de ondas por cristales  Cuando la longitud de onda de la radiación incidente es del orden o menor que la constante de red se puede observar la difracción. Por eso no es de esperarse la difracción de cristales usando luz visible.  El haz difractado se observa cuando las reflexiones de planos paralelos de átomos interfieren constructivamente. Cada plano contribuye con una fracción muy pequeña.
  8. 8. La red recíproca
  9. 9. Difracción de rayos X
  10. 10. Difracción de ondas por cristales  Cada plano refleja 10-3 a 10-5 de la radiación incidente, de manera que de 103 a 105 planos paralelos pueden contribuir al haz reflejado en un cristal perfecto.  La ley de Bragg es una consecuencia de la periodicidad de la red.  La composición de la base asociada a cada punto de red determina la intensidad de la difracción.
  11. 11. Amplitud dispersada  La ley de Bragg establece la condición para que ocurra la interferencia constructiva de ondas dispersadas por los puntos de red.  Es necesario un análisis más a fondo para determinar la intensidad dispersada en función de la base asociada a los puntos de red, es decir, a partir de la distribución espacial de los electrones en una celda.
  12. 12. Una estructura cristalina tiene la propiedad de invarianza Traslacional, bajo traslaciones de la forma: 332211 aaaT uuu  Cualquier propiedad física local es entonces invariante traslacionalmente.
  13. 13. Análisis de Fourier FC f N L( ) R 0  1 2 L L L xf x( )    d 0            R n  1 L L L xf x( ) cos n  x L            d 1 L L L xf x( ) sin n  x L            d                    n 1 Nfor R T  Ao no Bn Sp An Cp
  14. 14. Análisis de Fourier p x( ) A0 1 N n An cos n  x L        Bn sin n  x L                1 0 1 1 0 1 2 Periodic function Nth Fourier polynomial 2 1 f x( ) p x( ) LL x 1 0 1 1 0 1 2 Periodic function Nth Fourier polynomial 2 1 f x( ) p x( ) LL x N=1 N=5 1 0 1 1 0 1 2 Periodic function Nth Fourier polynomial 2 1 f x( ) p x( ) LL x N=30 L x L : f x( ) 1 0 x 1if x 1 x 0if f x 2( ) x 1if 
  15. 15. Análisis de Fourier  En particular, la densidad electrónica n (r ) es una función periódica de r, con periodicidades a lo largo de los ejes cristalinos a1, a2 y a3. )()( rTr nn  • Las propiedades más interesantes de los cristales están directamente relacionadas con las componentes de Fourier de la densidad electrónica.
  16. 16. Análisis de Fourier Enter a function that is periodic on interval: n(x) = no + Cp cos(2p px / a)+Spsen(2πpx / a)éë ùû p>0 å p x( ) A0 1 N n An cos n  x L        Bn sin n  x L                  )()2sen()2/2cos()( 0 xnppx/a2SpapxCnaxn p ppo   
  17. 17. Análisis de Fourier ap/2Se dice que el punto es un punto en la red recíproca o el espacio de Fourier del cristal. Los puntos de la red recíproca son los términos permitidos en la serie de Fourier, que son consistentes con la periodicidad del cristal.
  18. 18. Red recíproca en 1D
  19. 19.  p apxi penxn /2 )(  pnn p  * P enteros negativos, enteros negativos y 0. Para garantizar que n sea real.    a apxi p exdxn a n 0 /2 )( 1 
  20. 20. En tres dimensiones: El conjunto de vectores G debe de ser tal que n es invariante bajo Cualquier traslación cristalina T que deja al cristal invariante. El conjunto de coeficientes de Fourier nG determina la amplitud de la dispersión de rayos X.    G rG Gr i enn )(
  21. 21. f N L( ) R 0  1 2 L L L xf x( )    d 0            R n  1 L L L xf x( ) cos n  x L            d 1 L L L xf x( ) sin n  x L            d                    n 1 Nfor R T     a apxi p exdxn a n 0 /2 )( 1 
  22. 22.    a apxi p exdxn a n 0 /2 )( 1  Vcell es el volumen de una celda del cristal.    cell )( 1 dVen V n i c rG G r
  23. 23.  p apxi penxn /2 )(     a apxi p exdxn a n 0 /2 )( 1  Coeficientes de Fourier
  24. 24. Vectores de la red recíproca 321 32 1 2 aaa aa b     321 13 2 2 aaa aa b     321 21 3 2 aaa aa b     Si los vectores a son vectores Primitivos de la red cristalina, Los vectores b son vectores Primitivos de la red recíproca.
  25. 25. ijji 2ab 332211 bbbG vvv  Los puntos en la red recíproca: Un vector G es un vector de la red recíproca.
  26. 26.    G rG G G TGrG GTr )()( rneneenn iii 332211 bbbG vvv  1)(2 )]()([ 332211 332211332211     vuvuvui uuuvvvii e ee  aaabbbTG
  27. 27. Red Recíproca  Cada estructura cristalina tiene dos redes asociadas: la red cristalina y la red recíproca.  El patrón de difracción de un cristal es un mapa de la red recíproca del cristal.  Una imagen de microscopia electrónica, en caso de poder resolverse, es un mapa de la estructura cristalina en el espacio real.
  28. 28. Red Recíproca  Ambas redes están relacionadas, de manera que si rotamos un cristal, rotamos tanto la red real como la red recíproca.
  29. 29. Análisis dimensional  Los vectores en la red directa tienen unidad de [L].  Los vectores en la red recíproca tienen unidades de [1/L].  La red recíproca es una red en el espacio de Fourier asociado con el cristal.
  30. 30. Condiciones de difracción  Teorema: El conjunto de vectores G de la red recíproca determina las reflexiones de rayos X.
  31. 31. Red recíproca de la red sc xa a1 ya a2 za a3
  32. 32. 321 32 1 2 aaa aa b     321 13 2 2 aaa aa b     321 21 3 2 aaa aa b    
  33. 33. Red recíproca de la red sc xa a1 ya a2 za a3 Los vectores de traslación de la red recíproca: xb )/2(1 a yb )/2(2 a zb )/2(3 a Discutir la construcción de la celda de Wigner-Seitz
  34. 34. Obtención de los vectores base de la red recíproca, b1, b2, y b3, correspondientes a la red directa cuyos vectores base son a1, a2, y a3. a1 a 0 0          a a2 0 a 0          a a3 0 0 a          a b1 2  a2 a3( ) a1 a2 a3( )  a1 b2 2  a3 a1( ) a1 a2 a3( )  a2 b3 2  a1 a2( ) a1 a2 a3( )  a3 b1 2 a  0 0          b2 0 2 a  0          b3 0 0 2 a          
  35. 35. Red recíproca de la red bcc
  36. 36. )( 2 1 1 zyxa  a )( 2 1 2 zyxa  a )( 2 1 3 zyxa  a
  37. 37. 321 32 1 2 aaa aa b     321 13 2 2 aaa aa b     321 21 3 2 aaa aa b    
  38. 38. Obtención de los vectores base de la red recíproca, b1, b2, y b3, correspondientes a la red directa cuyos vectores base son a1, a2, y a3. a1 1 2 a      1 1 1          a a2 1 2 a      1 1 1          a a3 1 2 a      1 1 1          a V a1 a2 a3( ) a3 b1 2  a2 a3( ) a1 a2 a3( )  a1 b2 2  a3 a1( ) a1 a2 a3( )  a2 b3 2  a1 a2( ) a1 a2 a3( )  a3 b1 0 2 a  2 a                 b2 2 a  0 2 a                 b3 2 a  2 a  0                V 1 2 a 3  bcc fcc La red recíproca de una red bcc es una red fcc.
  39. 39. fcc 3 321 )/2(2)( aV  bbb
  40. 40.  zyxbbbG )()()() 2 ( 213132332211 vvvvvv a vvv   La forma general de un vector de la red recíproca: Los G’s más cortos posibles: )( 2 )( 2 )( 2 yxzxzy                   aaa 
  41. 41. Primera zona de Brillouin de la red bcc. Se contruye la celda de Wigner-Seitz de una fcc. La figura es un dodecaedro (poliedro de doce caras planas) rómbico regular. Los vectores desde el origen al centro de cada cara son: )()()( yxzxzy                   aaa 
  42. 42. Red recíproca de una red fcc )( 2 1 1 zya  a )( 2 1 2 zxa  a )( 2 1 3 yxa  a
  43. 43. 321 32 1 2 aaa aa b     321 13 2 2 aaa aa b     321 21 3 2 aaa aa b    
  44. 44. Obtención de los vectores base de la red recíproca, b1, b2, y b3, correspondientes a la red directa cuyos vectores base son a1, a2, y a3. a1 a 2 1      0 1 1          a a2 a 2 1      1 0 1          a a3 a 2 1      1 1 0          a V a1 a2 a3( ) a3 b1 2  a2 a3( ) a1 a2 a3( )  a1 b2 2  a3 a1( ) a1 a2 a3( )  a2 b3 2  a1 a2( ) a1 a2 a3( )  a3 b1 2 a  2 a  2 a                   b2 2 a  2 a  2 a                   b3 2 a  2 a  2 a                   V 1 4 a 3  )( 2 )( 2 )( 2 321 zyxbzyxbzyxb                    aaa  )( 2 1 1 zya  a )( 2 1 2 zxa  a )( 2 1 3 yxa  a fcc bcc !! 3 321 )/2(4)( aV  bbb
  45. 45. Los vectores G más cortos:  zyxbbbG  ) 2 (332211 a vvv  Las fronteras de la celda central
  46. 46. )( 2 1 1 zyxa  a )( 2 1 2 zyxa  a )( 2 1 2 zyxa  a bcc Las fronteras de la celda central están determinadas por 8 planos normales a estos vectores en sus puntos medios. También hay cortes de los planos que son bisectores perpendiculares de otros 6 vectores de la red recíproca. )2( 2 )2( 2 )2( 2 3 zbyx                   aaa 
  47. 47. bcc Zona de Brillouin de una red fcc. Las celdas están en el espacio Recíproco, y la red recíproca es bcc.

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