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ELECTROSTÁTICA
CARGA ELÉCTRICA
Es la manifestación que se presenta en la
materia cuando esta es atraída o repelida por un
cuerpo que ha perdido o adquirido electrones.
Cuando los adquiere, se dice que es
eléctricamente negativo y cuando los pierde es
eléctricamente positivo.
LEY DE CARGA ELÉCTRICA
Las cargas del mismo signo se repelen y las de
signo contrario se atraen.
UNIDAD DE CARGA
La carga eléctrica neta de un objeto se
representa por q y el una cantidad escalar que
puede ser positiva o negativa.
La carga eléctrica se mide en Coulombs
1 C = 6 x 1018 electrones
1 e = 1.602 x 10 -19 C
LEY DE COULOMB
La fuerza eléctrica ejercida por un cuerpo
cargado sobre otro depende directamente del
producto de sus magnitudes e inversamente
proporcional del cuadrado de su separación.
F a │q1││q2│
r2
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD
En el sistema internacional, la constante de
proporcionalidad K se expresa de la siguiente
manera:

K = 1/ 4pe0
e0 = 8.85418781762 x 10 -12 C2 / N m2
FINALMENTE

F = k │q1││q2│
r2
PROBLEMA 1
El núcleo de un átomo de hierro tiene un radio
aproximado de 4 x 10 -15 mts y contiene 26
protones. ¿Qué fuerza electrostática de
repulsión opera entre dos protones del núcleo si
se hallan a una distancia de un radio?
FORMA VECTORIAL
AL SER UNA FUERZA, LA LEY DE COULOMB SE
PUEDE REPRESENTAR MEDIANTE VECTORES, YA
QUE TIENE MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO.
PROBLEMA 2
Determine la la fuerza electrostática que se
ejerce sobre la carga q1 = - 1.2 mC, q2 = 3.7
mC, q3 = -2.3 mC, r1,2 = 15 cm, r1,3 =10 cm,
q = 32º.
PROBLEMA 3
Dos bolas pequeñas y similares de masa m se
cuelgan de hilos de seda de longitud L y portan
la misma carga q. Suponga que q es tan
pequeño que tan q pueder ser
reemplazado por sen q a) Con esta
aproximación, pruebe, que en el estado de
equilibrio
X = (q2 L/ 2peo mg) 1/3
Donde x es la distancia entre las dos bolas.
PROBLEMA 3
PROBLEMA 3
Si L = 122 cm, m = 11.2 g y x= 4.70 cm, ¿Cual es
el valor de q?
CAMPO ELÉCTRICO
Está asociado a un grupo de cargas que ejercen
una fuerza sobre una carga puntual positiva qo.

E = F/qo (N/C)
PROBLEMA 4
Un electrón colocado cerca de un cuerpo
cargado experimenta una fuerza en la dirección
+y de magnitud 3.60 x 10 -8 N.
a) ¿Cuál es el campo eléctrico en ese lugar?
b) ¿Qué fuerza ejercería el mismo cuerpo
cargado sobre una partícula alfa ( q = 2e)
puesto en el sitio ocupado antes por el
electrón?
CAMPO ELÉCTRICO DE CARGAS
PUNTUALES
F = k qo │q│/ r2
E = F/qo = k │q│/ r2

Et = S E n
ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA

b

DU = -

ò F dr = Ub – Ua = k q1q2(1/r -1/ra)
b

a
PROBLEMA 5
Dos protones en el núcleo de un átomo de 238U
están separados por una distancia de 6 fm ¿Cuál
es la energía potencial relacionada con la fuerza
eléctrica que opera entra las partículas?
Problema 6
Dado el sistema de cargas mostrado, donde r12
= r13 = r23 = 12 cm y q1 = +q, q2 = -4q y q3 = 2q
( q=150 C) ¿Cuál es la energía potencial del
sistema? Considere U = 0 cuando una distancia
infinita separa las cargas.
POTENCIAL ELÉCTRICO
Es la diferencia de la energía potencial eléctrica
por unidad de carga de prueba.
DV = D U/q0 (J/C)

1 VOLT = 1 J/ 1C

Vb – Va = (Ub – Ua)/q0
POTENCIAL A PARTIR DEL CAMPO
ELÉCTRICO
DV = Vb – Va = (- ò F ·dr)/q0 = - ò E ·dr
DV = - ò E dr cos(q)
Problema 7
En la siguiente figura, una carga de prueba q0 se
desplaza por un campo eléctrico uniforme E,
desde a hasta b en la trayectoria abc. Determine
la diferencia de potencial entre a y b
La ley de Gauss
• La ley de Gauss constituye una de las leyes
fundamentales de la Teoría Electromagnética.
• Se trata de una relación entre la carga
encerrada en una superficie y el flujo de su
campo eléctrico, a través de la misma.
• Constituye un medio para obtener
expresiones de campos eléctricos, con
suficientes condiciones de simetría.
Enunciado
El flujo de campo eléctrico a través de
cualesquier superficie cerrada (gaussiana),
es igual a la carga neta encerrada, por la
misma, entre la constante
0

0

E

 
E dA qenc

qenc
Ley de Gauss – ¿Cuándo se usa?
• Sólo es útil para situaciones donde hay mucha
simetría.
• Hay que usar la simetría para saber dónde E es
constante y cuál es su dirección.
• Hay que seleccionar una superficie cerrada en
la cual E sea constante o donde el flujo sea
cero (E perpendicular a la superficie).
Guía para aplicar la Ley de Gauss
• Identificar al campo eléctrico y representarlo con líneas de campo.
– En los casos de cargas estáticas en sólidos, el campo eléctrico tiene
dirección perpendicular a la superficie.
• Seleccionar superficie gaussiana acorde a la simetría.
– Que pase por los puntos donde se desea conocer la magnitud de E
– Que sea cerrada.
– Que E sea constante en los puntos de la superficie.
– Que E sea paralelo a la superficie en las partes donde no es constante.
• La integral lleva directo a una expresión algebráica que contiene E.
• Calcular la carga encerrada por la superficie.
– En ocasiones será necesario calcularla a partir de alguna densidad de carga.

• Aplicar la ley de Gauss.
Superficies esfericas Gaussianas

a) carga puntual positiva
Flujo Positivo

a) carga puntual negativa

Flujo Negativo
Campo Eléctrico de una carga
puntual
Considere una carga puntual q. El flujo en una
esfera de radio r será:
E dA

E dA

E4 r

2

q
0

E
dA
r

q

q / 4 r2
E

0
Campo eléctrico de una carga puntual
0

 
E dA

0

0

EdA qenc

E dA q

0E 4 r

2

q

E

1
4

0

q
2
r
Un conductor aislado cargado
Si un exceso de cargas es
colocado en un conductor
aislado, esa cantidad de carga
se moverá completamente a
la superficie del conductor.
Nada del exceso de carga se
encontrara dentro del cuerpo
del conductor.
Ejemplo de aplicación de la ley de Gauss
Una Linea Recta e Infinita de Carga
• Lo de infinita es importante porque es lo que nos permite decir que
todos los puntos en los lados de nuestra superficie Gaussiana cilíndrica
(en amarillo) tienen la misma magnitud de E. En la práctica, por
supuesto, no existen lineas infinitas pero el resultado que obtengamos
será una buena aproximación al caso de puntos que quedan cerca de
una linea de carga finita.
• En una situación como esta con un punto y una linea, la única
dirección definida por la realidad física es la dirección radial
(coordenadas cilíndricas). E tiene que ser en esa dirección.
• Nuestra superficie Gaussiana tiene lados y dos tapas. En las tapas E
no es constante pero es perpendicular a E así que la integral sobre las
tapas es cero y la integral sobre los lados es
• Ese resultado es siempre igual para toda simetría cilíndrica.
Como siempre, la solución al problema particular se reduce a determinar la carga dentro de la
superficie. En este caso resulta ser λh donde λ es la densidad lineal de carga. Así que la
ecuación de la ley de Gauss se convierte en este problema en
y resolviendo por
E obtenemos
o sea el campo disminuye con la primera potencia de r no con la
segunda. Esto quizás no debe extrañarnos ya que tenemos una carga mucho más grande que
una carga puntiforme.
Para el caso de una linea de longitud L con carga total Q, entonces λ = Q / L y nuestro resultado
es correcto sólo para puntos donde r << L y que quedan lejos de los extremos de la linea.
Aplicación de la ley de Gauss,
simetría cilíndrica
EA cos
E (2 rh ) cos 0

qenc

0
0

E (2 rh )

E 2 rh
E

h
2

0

r
Para una
densidad
el campo
punto p,
de carga

línea infinita, con
lineal de carga uniforme,
eléctrico en cualquier
es perpendicular a la línea
y de magnitud:
E

2

0

r

Donde r es la distancia perpendicular de la
línea de carga al punto.
Aplicación de la Ley de Gauss
Simetría Plana
La única dirección especificada por la situación
física es la dirección perpendicular al plano. Por
tanto, ésta tiene que ser la dirección de E.
Puntos que quedan en planos paralelos están
equidistantes al plano y tienen un campo E de la
misma magnitud
La superficie Gaussiana que usamos tiene
tapas que son dos de esos planos paralelos. El
flujo a través de la superficie Gaussiana es cero.
Los flujos a través de las dos tapas son iguales.
Dos placas conductoras:

E

2

1
0

0
Ejemplo
CAPACITORES
Definición de un capacitor


Conocidos también como condensadores son
dispositivos electrónicos que permiten almacenar
energía eléctrica. En un circuito pueden estar
asociados en serie paralelo o mixto, tal como lo
hacen las resistencias.

Capacitor cilíndrico
Diseño de un capacitor


Está formado por dos conductores, denominan
placas, muy cercanos entre si. Entre ellas se coloca
un dieléctrico que permite aislar las placas entre si.
La figura muestra un esquema de un capacitor de
placas paralelas, aislado, en este caso, por aire.
Existen otros dieléctricos tales como vidrio, papel
humedecido con parafina etc.

d
Diseño de un capacitor, la botella de
Leyden
• Es
un
condensador
cilíndrico,
tiene
por
armaduras hojas metálicas
que envuelven el recipiente
de vidrio (dieléctrico) por
fuera y por dentro.

• Ocupa un volumen grande y
tiene relativamente poca
capacidad.

Vidrio

Hojas
metálicas

(llamado botella de Leyden, por la ciudad holandesa donde primero se construyó)
Diseño de un capacitor
• Se
pueden
construir
condensadores de gran
capacitancia
y
poco
volumen usando como
armaduras
hojas
metálicas, separadas por
un
dieléctrico
(generalmente
papel
parafinado), y enrollado,
tal como muestra la figura.

Aluminio

Dieléctrico
Simbología de un capacitor


Tal como acontece con los componentes de un
circuito, los capacitores poseen su propia
representación. Esta es la que indica la figura
siguiente.
Funcionamiento de un capacitor
proceso de carga


Se conecta el capacitor inicialmente descargado, a
una batería o fuente de poder, una placa al polo
negativo y la otra al positivo, respetando la polaridad
del capacitor y la batería. (positivo con positivo y negativo
con negativo).

+

_

Generalmente el polo negativo del capacitor es más corto ( es usual que venga señalado en el cuerpo del capacitor)
Funcionamiento de un capacitor
proceso de carga


En esta situación la batería extrae electrones desde
una placa, la que finalmente adquiere una carga +Q ,
y los deposita en la otra que gana una carga –Q. El
capacitor queda entonces con carga Q. Para ello se
hace referencia al módulo de la carga que adquiere
una de las placas. +
Q

La carga neta del capacitor es cero

Q
Funcionamiento de un capacitor
proceso de carga


La transferencia de carga va aumentando hasta un
límite en el cual la diferencia de potencial entre las
placas del capacitor se iguala con la que posee la
batería. Esta condición es la que limita el
almacenamiento de energía (carga eléctrica) en el
capacitor
V (volt)
+Q

-Q

V (volt)
Funcionamiento de un capacitor
proceso de carga


Si se cambia la fuente de poder por otra que posea
más voltaje entre sus polos, entonces el capacitor
junto con acumular más energía en forma de carga
eléctrica, aumenta su voltaje terminal, de tal modo
que el cuociente Q/ V se mantiene constante. Este
cuociente se denomina capacitancia y es
característico de cada capacitor:

C

Q
V

Si Q se mide en coulomb y
V en volt, entonces C se
mide en Faradios (F)

Una capacitancia igual a 1F = 1C/V es una unidad muy grande. Se acostumbra a
usar submúltiplos como el microfaradio ( F) = 1 10-6 F o picofaradio (pF) = 1 10-12 F
Funcionamiento de un capacitor
proceso de carga


Se puede demostrar usando la ley de Gauss
(contenido que escapa de los objetivos de este
curso) que la capacitancia de un capacitor de placas
paralelas es:

C

0

0

A
d

Área entre placas
Separación entre placas

: permitividad del espacio libre entre las placas (aire o vacío). Esta constante se
relaciona con la constante de Coulomb a través de 0 = 1/ 4 K y por tanto posee un
valor igual a 8,85 10-12 C2/Nm2
Funcionamiento de un capacitor
proceso de carga
• Como la longitud “L” de las placas conductoras en
comparación con la distancia “d” que las separa, es
muchísimo mayor, dentro del capacitor se forma un
campo electrostático uniforme.

E0

Bajo estas condiciones el campo
Posee un valor que depende del
Voltaje entre las placas y la
Separación entre las mismas, es decir:

E0

V0
d
Funcionamiento de un capacitor, con
dieléctrico


Como se vio, la capacitancia
de un capacitor depende del
área de las placas y la
separación entre ellas, pero
también puede aumentarse si
además entre las armaduras
de él se coloca un dieléctrico o
aislador. El dieléctrico se
afecta por el campo eléctrico
del capacitor, ocasionando
que aquel se polarice, como
indica la figura.

E0

Ep

Dieléctrico
Funcionamiento de un capacitor, con
dieléctrico


Esto provoca que en el dieléctrico se forme un
campo Ep en dirección opuesta al que genera el
capacitor. Por consiguiente el campo neto es la
suma de ambos: E T = E0 -E p . En este proceso la
carga Q acumulada en las placas no se afecta
ET = E0 -EP
Funcionamiento de un capacitor, con
dieléctrico




Recuerde que V0 = E0 d. Como la diferencia de
potencial es función del campo dentro del capacitor
y de la separación entre las placas se obtiene que,
la nueva diferencia de potencial disminuye, esto es:
V= ET d, porque el campo disminuye. Es decir que:
V
V0 .
La nueva capacitancia es C = Q/ V
C0

C

Q

13V
Sin dieléctrico

Q

9V
Con dieléctrico
Funcionamiento de un capacitor, con
dieléctrico


Se demuestra que V = V0 / kd donde kd
la capacitancia puede expresarse como:
C = K d Q / V0



Es decir, C = k d C0. A su vez esta ecuación puede
escribirse en término del área de las placas y de la
distabcia d entre ellas, tal como sigue:

C

kd

0

A
d

K d se conoce como la constante del dieléctrico

1. Luego
Funcionamiento de un capacitor, con
dieléctrico




Para variar la capacidad de un condensador, se
pueden poner materiales con distintas constantes
dieléctricas entre sus placas. La constante
dieléctrica del vació es 1; la de un conductor
perfecto sería infinita.
Otra utilidad de los dieléctricos, y especialmente los
sólidos, es que permiten colocar las placas muy
cerca sin peligro de que se toquen y se descarguen,
lo cual permite aumentar aún más la capacitancia
del condensador.
Energía en un capacitor


Cuando un condensador se descarga, se produce un
flujo de cargas desde la placa negativa a la positiva
hasta que se igualen las cargas y desaparezca la
diferencia de potencial. El transporte de esas cargas ,
implica un trabajo eléctrico y por tanto la transformación
de energía eléctrica. La expresión general para la
energía almacenada en un capacitor es:
Uc

Uc

C V
2

Q V
2

2

De acuerdo a los datos

Uc

Puede expresarse también así

Q : carga acumulada, C: capacitancia , V: diferencia de potencial entre las placas

Q2
2C
Constante dieléctricas de algunos
materiales
Material
Vacío
Aire
Baquelita
Cuarzo
Vidrio
pyrex
Poliestireno
Teflón

Constante Material
Caucho
1
1,00059 Nylon
Papel
4,9
Titanio
3,78
Agua
5,6

2,56
2,1

aceite

Constante

6,7
3,4
3,7
233
80
2,5
Ejemplo
1.- Se conecta un capacitor a una batería de 300V.
Suponga que la carga transferida a las placas del
capacitor es 1,2 10-3 C. Determine la capacitancia
cuando el dieléctrico usado es aire.
Resp. Aplicando C = Q/ V
C = 4 10-6 F = 4 F

Habitualmente V se escribe como V y vice-versa
Ejemplo
2.- Suponga que se mantiene el capacitor conectado a
la batería de la pregunta anterior. Se separan las
placas una distancia el doble de la inicial. ¿ Cuál
será el valor del voltaje entre las placas del
capacitor?
Resp. No cambia pues las placas siguen conectadas
a la misma diferencia de potencial de la batería.
Esto e independiente de la separación de las placas.
Ejemplo
3.- Con las condiciones del problema anterior
determine la capacitancia .

Resp. C =

4 F
2

2 F
Ejemplo
4.-Para el mismo problema anterior determine la carga
entre las placas.

Resp. Aplicando Q = C V
Q = 2 10-6 ( F) 300 (V)
Q = 6 10-4 C

Obs.
A pesar que el voltaje en el capacitor se mantuvo, la carga acumulada disminuye debido
que la capacitancia del mismo disminuyó a la mitad producto de la nueva separación entre
las placas del mismo
Ejemplo
5.- Determinar el área de las placas de un capacitor
de placas paralelas de 1 F, sabiendo que ellas estás
separadas 1 mm.
-12 C2/ Nm2
0 = 8,85 10
d = 1 10-3 m
C=1F

A

C d
0

1 1 10 3
8,85 10 12

1 108 m2

Esto corresponde a un cuadrado de 10 Km por lado. Por eso los capacitores
de uso común son del orden del picofaradio (1 10-12 F)
Ejemplo
7.- Un condensador plano cargado pero desconectado
de la batería tiene una capacidad de 9 F y entre
sus armaduras hay una diferencia de potencial de
200 V. ¿ Qué energía se liberará en la descarga
del capacitor?
Resp. U c = Q V/2
Q = C V = 1,8 10-3 C
UC = 0,18 j
Ejemplo
8.- Respecto del problema anterior. Determinar la
energía que se almacenará en el capacitor cuando la
distancia entre las placas se triplique:
Resp.
La carga no sufre alteración de modo de Q = 1,8 10-3C.
Como la capacitancia del condensador es
inversamente proporcional a la distancia entre las
placas C= C0/3= 3 10-6 F. Además V= Q/C = 600V.
Por lo tanto la nueva energía UC = 0,54 j
Ejemplo
9.- Con relación al problema anterior, ¿cuál es el
trabajo realizado para separa las placas del
condensador?
Resp.
El trabajo realizado se transfirió al capacitor por ello
aumentó su energía. De acuerdo con el principio de
conservación de la energía:
W = E= Uc- U0c= 0,54-0,18=0,36J
Tipos de capacitores


Existen
diversos
condensadores,
algunos
denominados polarizados, variables, pasante
electrolítico, ajustable etc. En esta unidad se ha
centrado el estudio en los Condensadores no
polarizados. Cada tipo posee su propia simbología.
Simbología para diversos capacitores
Algunas equivalencias


La carga acumulada se mide en Coulomb (C) y el
potencial en volt (V). Luego la unidad de medida en
el sistema S.I. para la capacitancia es el : C/V. Que
se denomina Farad o Faradio (F). Por ser una unidad
más bien grande se utiliza otras submúltiplos como :
Nano faradio: nF = 1 10-9 F
Micro faradio: F = 1 10-6 F
Pico faradio: pF = 1 10-12 F
Mili faradio: mF = 1 10-3 F
Capacitores en serie y paralelo
Considérese primero el efecto de un grupo de capacitores
conectados a lo largo de una sola trayectoria, Una conexión de
este tipo, en donde la placa positiva de un capacitor se conecta a
la placa negativa de otro, se llama conexión en serie. La batería
mantiene una diferencia de potencial V entre la placa positiva C1 y
la placa negativa C3, con una transferencia de electrones de una
a otra. La carga no puede pasar entre las placas del capacitor ;
en consecuencia, toda la carga contenida dentro del
paralelogramo punteado, Fig. 3.3., es carga inducida. Por esta
razón, la carga en cada capacitor es idéntica. Se escribe:
Q=Q1=Q2=Q3
Capacitores en serie y paralelo
Capacitores en serie y paralelo


Los tres capacitores pueden reemplazarse por una
capacitancia equivalente C, sin que varíe el efecto externo. A
continuación se deduce una expresión que sirve para calcular
la capacitancia equivalente para esta conexión en
serie. Puesto que la diferencia de potencial entre A y B es
independiente de la trayectoria, el voltaje de la batería debe ser
igual a la suma de las caídas de potencial a través de cada
capacitor.
V=V1+V2+V3
Capacitores en serie y paralelo
Si se recuerda que la capacitancia C se define
por la razón Q/V, la ecuación se convierte:

Para una conexión en serie,
Q=Q1=Q2=Q3 así, que si se divide entre la
carga, se obtiene :
1 =1 + 1 + 1
Ce C1 C2 C3

Capacitores en serie y paralelo
Ahora bien, considérese un grupo de
capacitores conectados de tal modo que la
carga pueda distribuirse entre dos o más
conductores. Cuando varios capacitores están
conectados directamente a la misma fuente de
potencial, se dice que ellos están conectados
en paralelo.
Capacitores en paralelo
Capacitores en paralelo
De la definición de capacitancia,, la carga en un
capacitor conectado en paralelo es :
Q1=C1V1 Q2=C22V2
Q3=C3V3
La carga total Q es igual a la suma de las cargas
individuales
Q=Q1 =Q2+Q3
La capacitancia equivalente a todo el circuito es Q=CV,
así que la ecuación se transforma en CV=
C1V1 + C22V2 + C3V3
Para una conexión en paralelo,
V =V1=V2=V3
Ya que todos los capacitores están conectados
a la misma diferencia de potencial. Por tanto,
al dividir ambos miembros de la ecuación
CV = C1V1 +C2V2 +C3V3 entre el voltaje se
obtiene
C = C1 +C2 +C3
Conexión en paralelo
EJEMPLO
A) Encuéntrese la capacitancia equivalente del
circuito mostrado en la figura.
B) Determínese la carga en cada capacitor.
c). Cuál es la diferencia de potencial entre las
placas del capacitor de 4µF.
Electrostática: Leyes de Coulomb, Gauss y Campo Eléctrico

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Electrostática: Leyes de Coulomb, Gauss y Campo Eléctrico

  • 2. CARGA ELÉCTRICA Es la manifestación que se presenta en la materia cuando esta es atraída o repelida por un cuerpo que ha perdido o adquirido electrones. Cuando los adquiere, se dice que es eléctricamente negativo y cuando los pierde es eléctricamente positivo.
  • 3. LEY DE CARGA ELÉCTRICA Las cargas del mismo signo se repelen y las de signo contrario se atraen.
  • 4. UNIDAD DE CARGA La carga eléctrica neta de un objeto se representa por q y el una cantidad escalar que puede ser positiva o negativa. La carga eléctrica se mide en Coulombs 1 C = 6 x 1018 electrones 1 e = 1.602 x 10 -19 C
  • 5. LEY DE COULOMB La fuerza eléctrica ejercida por un cuerpo cargado sobre otro depende directamente del producto de sus magnitudes e inversamente proporcional del cuadrado de su separación. F a │q1││q2│ r2
  • 6. CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD En el sistema internacional, la constante de proporcionalidad K se expresa de la siguiente manera: K = 1/ 4pe0 e0 = 8.85418781762 x 10 -12 C2 / N m2
  • 7. FINALMENTE F = k │q1││q2│ r2
  • 8. PROBLEMA 1 El núcleo de un átomo de hierro tiene un radio aproximado de 4 x 10 -15 mts y contiene 26 protones. ¿Qué fuerza electrostática de repulsión opera entre dos protones del núcleo si se hallan a una distancia de un radio?
  • 9. FORMA VECTORIAL AL SER UNA FUERZA, LA LEY DE COULOMB SE PUEDE REPRESENTAR MEDIANTE VECTORES, YA QUE TIENE MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO.
  • 10. PROBLEMA 2 Determine la la fuerza electrostática que se ejerce sobre la carga q1 = - 1.2 mC, q2 = 3.7 mC, q3 = -2.3 mC, r1,2 = 15 cm, r1,3 =10 cm, q = 32º.
  • 11. PROBLEMA 3 Dos bolas pequeñas y similares de masa m se cuelgan de hilos de seda de longitud L y portan la misma carga q. Suponga que q es tan pequeño que tan q pueder ser reemplazado por sen q a) Con esta aproximación, pruebe, que en el estado de equilibrio X = (q2 L/ 2peo mg) 1/3 Donde x es la distancia entre las dos bolas.
  • 13. PROBLEMA 3 Si L = 122 cm, m = 11.2 g y x= 4.70 cm, ¿Cual es el valor de q?
  • 14. CAMPO ELÉCTRICO Está asociado a un grupo de cargas que ejercen una fuerza sobre una carga puntual positiva qo. E = F/qo (N/C)
  • 15. PROBLEMA 4 Un electrón colocado cerca de un cuerpo cargado experimenta una fuerza en la dirección +y de magnitud 3.60 x 10 -8 N. a) ¿Cuál es el campo eléctrico en ese lugar? b) ¿Qué fuerza ejercería el mismo cuerpo cargado sobre una partícula alfa ( q = 2e) puesto en el sitio ocupado antes por el electrón?
  • 16. CAMPO ELÉCTRICO DE CARGAS PUNTUALES F = k qo │q│/ r2 E = F/qo = k │q│/ r2 Et = S E n
  • 17. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA b DU = - ò F dr = Ub – Ua = k q1q2(1/r -1/ra) b a
  • 18. PROBLEMA 5 Dos protones en el núcleo de un átomo de 238U están separados por una distancia de 6 fm ¿Cuál es la energía potencial relacionada con la fuerza eléctrica que opera entra las partículas?
  • 19. Problema 6 Dado el sistema de cargas mostrado, donde r12 = r13 = r23 = 12 cm y q1 = +q, q2 = -4q y q3 = 2q ( q=150 C) ¿Cuál es la energía potencial del sistema? Considere U = 0 cuando una distancia infinita separa las cargas.
  • 20. POTENCIAL ELÉCTRICO Es la diferencia de la energía potencial eléctrica por unidad de carga de prueba. DV = D U/q0 (J/C) 1 VOLT = 1 J/ 1C Vb – Va = (Ub – Ua)/q0
  • 21. POTENCIAL A PARTIR DEL CAMPO ELÉCTRICO DV = Vb – Va = (- ò F ·dr)/q0 = - ò E ·dr DV = - ò E dr cos(q)
  • 22. Problema 7 En la siguiente figura, una carga de prueba q0 se desplaza por un campo eléctrico uniforme E, desde a hasta b en la trayectoria abc. Determine la diferencia de potencial entre a y b
  • 23.
  • 24. La ley de Gauss • La ley de Gauss constituye una de las leyes fundamentales de la Teoría Electromagnética. • Se trata de una relación entre la carga encerrada en una superficie y el flujo de su campo eléctrico, a través de la misma. • Constituye un medio para obtener expresiones de campos eléctricos, con suficientes condiciones de simetría.
  • 25. Enunciado El flujo de campo eléctrico a través de cualesquier superficie cerrada (gaussiana), es igual a la carga neta encerrada, por la misma, entre la constante 0 0 E   E dA qenc qenc
  • 26. Ley de Gauss – ¿Cuándo se usa? • Sólo es útil para situaciones donde hay mucha simetría. • Hay que usar la simetría para saber dónde E es constante y cuál es su dirección. • Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).
  • 27. Guía para aplicar la Ley de Gauss • Identificar al campo eléctrico y representarlo con líneas de campo. – En los casos de cargas estáticas en sólidos, el campo eléctrico tiene dirección perpendicular a la superficie. • Seleccionar superficie gaussiana acorde a la simetría. – Que pase por los puntos donde se desea conocer la magnitud de E – Que sea cerrada. – Que E sea constante en los puntos de la superficie. – Que E sea paralelo a la superficie en las partes donde no es constante. • La integral lleva directo a una expresión algebráica que contiene E. • Calcular la carga encerrada por la superficie. – En ocasiones será necesario calcularla a partir de alguna densidad de carga. • Aplicar la ley de Gauss.
  • 28. Superficies esfericas Gaussianas a) carga puntual positiva Flujo Positivo a) carga puntual negativa Flujo Negativo
  • 29. Campo Eléctrico de una carga puntual Considere una carga puntual q. El flujo en una esfera de radio r será: E dA E dA E4 r 2 q 0 E dA r q q / 4 r2 E 0
  • 30. Campo eléctrico de una carga puntual 0   E dA 0 0 EdA qenc E dA q 0E 4 r 2 q E 1 4 0 q 2 r
  • 31. Un conductor aislado cargado Si un exceso de cargas es colocado en un conductor aislado, esa cantidad de carga se moverá completamente a la superficie del conductor. Nada del exceso de carga se encontrara dentro del cuerpo del conductor.
  • 32. Ejemplo de aplicación de la ley de Gauss Una Linea Recta e Infinita de Carga • Lo de infinita es importante porque es lo que nos permite decir que todos los puntos en los lados de nuestra superficie Gaussiana cilíndrica (en amarillo) tienen la misma magnitud de E. En la práctica, por supuesto, no existen lineas infinitas pero el resultado que obtengamos será una buena aproximación al caso de puntos que quedan cerca de una linea de carga finita. • En una situación como esta con un punto y una linea, la única dirección definida por la realidad física es la dirección radial (coordenadas cilíndricas). E tiene que ser en esa dirección. • Nuestra superficie Gaussiana tiene lados y dos tapas. En las tapas E no es constante pero es perpendicular a E así que la integral sobre las tapas es cero y la integral sobre los lados es • Ese resultado es siempre igual para toda simetría cilíndrica. Como siempre, la solución al problema particular se reduce a determinar la carga dentro de la superficie. En este caso resulta ser λh donde λ es la densidad lineal de carga. Así que la ecuación de la ley de Gauss se convierte en este problema en y resolviendo por E obtenemos o sea el campo disminuye con la primera potencia de r no con la segunda. Esto quizás no debe extrañarnos ya que tenemos una carga mucho más grande que una carga puntiforme. Para el caso de una linea de longitud L con carga total Q, entonces λ = Q / L y nuestro resultado es correcto sólo para puntos donde r << L y que quedan lejos de los extremos de la linea.
  • 33. Aplicación de la ley de Gauss, simetría cilíndrica EA cos E (2 rh ) cos 0 qenc 0 0 E (2 rh ) E 2 rh E h 2 0 r
  • 34. Para una densidad el campo punto p, de carga línea infinita, con lineal de carga uniforme, eléctrico en cualquier es perpendicular a la línea y de magnitud: E 2 0 r Donde r es la distancia perpendicular de la línea de carga al punto.
  • 35. Aplicación de la Ley de Gauss Simetría Plana La única dirección especificada por la situación física es la dirección perpendicular al plano. Por tanto, ésta tiene que ser la dirección de E. Puntos que quedan en planos paralelos están equidistantes al plano y tienen un campo E de la misma magnitud La superficie Gaussiana que usamos tiene tapas que son dos de esos planos paralelos. El flujo a través de la superficie Gaussiana es cero. Los flujos a través de las dos tapas son iguales.
  • 39. Definición de un capacitor  Conocidos también como condensadores son dispositivos electrónicos que permiten almacenar energía eléctrica. En un circuito pueden estar asociados en serie paralelo o mixto, tal como lo hacen las resistencias. Capacitor cilíndrico
  • 40. Diseño de un capacitor  Está formado por dos conductores, denominan placas, muy cercanos entre si. Entre ellas se coloca un dieléctrico que permite aislar las placas entre si. La figura muestra un esquema de un capacitor de placas paralelas, aislado, en este caso, por aire. Existen otros dieléctricos tales como vidrio, papel humedecido con parafina etc. d
  • 41. Diseño de un capacitor, la botella de Leyden • Es un condensador cilíndrico, tiene por armaduras hojas metálicas que envuelven el recipiente de vidrio (dieléctrico) por fuera y por dentro. • Ocupa un volumen grande y tiene relativamente poca capacidad. Vidrio Hojas metálicas (llamado botella de Leyden, por la ciudad holandesa donde primero se construyó)
  • 42. Diseño de un capacitor • Se pueden construir condensadores de gran capacitancia y poco volumen usando como armaduras hojas metálicas, separadas por un dieléctrico (generalmente papel parafinado), y enrollado, tal como muestra la figura. Aluminio Dieléctrico
  • 43. Simbología de un capacitor  Tal como acontece con los componentes de un circuito, los capacitores poseen su propia representación. Esta es la que indica la figura siguiente.
  • 44. Funcionamiento de un capacitor proceso de carga  Se conecta el capacitor inicialmente descargado, a una batería o fuente de poder, una placa al polo negativo y la otra al positivo, respetando la polaridad del capacitor y la batería. (positivo con positivo y negativo con negativo). + _ Generalmente el polo negativo del capacitor es más corto ( es usual que venga señalado en el cuerpo del capacitor)
  • 45. Funcionamiento de un capacitor proceso de carga  En esta situación la batería extrae electrones desde una placa, la que finalmente adquiere una carga +Q , y los deposita en la otra que gana una carga –Q. El capacitor queda entonces con carga Q. Para ello se hace referencia al módulo de la carga que adquiere una de las placas. + Q La carga neta del capacitor es cero Q
  • 46. Funcionamiento de un capacitor proceso de carga  La transferencia de carga va aumentando hasta un límite en el cual la diferencia de potencial entre las placas del capacitor se iguala con la que posee la batería. Esta condición es la que limita el almacenamiento de energía (carga eléctrica) en el capacitor V (volt) +Q -Q V (volt)
  • 47. Funcionamiento de un capacitor proceso de carga  Si se cambia la fuente de poder por otra que posea más voltaje entre sus polos, entonces el capacitor junto con acumular más energía en forma de carga eléctrica, aumenta su voltaje terminal, de tal modo que el cuociente Q/ V se mantiene constante. Este cuociente se denomina capacitancia y es característico de cada capacitor: C Q V Si Q se mide en coulomb y V en volt, entonces C se mide en Faradios (F) Una capacitancia igual a 1F = 1C/V es una unidad muy grande. Se acostumbra a usar submúltiplos como el microfaradio ( F) = 1 10-6 F o picofaradio (pF) = 1 10-12 F
  • 48. Funcionamiento de un capacitor proceso de carga  Se puede demostrar usando la ley de Gauss (contenido que escapa de los objetivos de este curso) que la capacitancia de un capacitor de placas paralelas es: C 0 0 A d Área entre placas Separación entre placas : permitividad del espacio libre entre las placas (aire o vacío). Esta constante se relaciona con la constante de Coulomb a través de 0 = 1/ 4 K y por tanto posee un valor igual a 8,85 10-12 C2/Nm2
  • 49. Funcionamiento de un capacitor proceso de carga • Como la longitud “L” de las placas conductoras en comparación con la distancia “d” que las separa, es muchísimo mayor, dentro del capacitor se forma un campo electrostático uniforme. E0 Bajo estas condiciones el campo Posee un valor que depende del Voltaje entre las placas y la Separación entre las mismas, es decir: E0 V0 d
  • 50. Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico  Como se vio, la capacitancia de un capacitor depende del área de las placas y la separación entre ellas, pero también puede aumentarse si además entre las armaduras de él se coloca un dieléctrico o aislador. El dieléctrico se afecta por el campo eléctrico del capacitor, ocasionando que aquel se polarice, como indica la figura. E0 Ep Dieléctrico
  • 51. Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico  Esto provoca que en el dieléctrico se forme un campo Ep en dirección opuesta al que genera el capacitor. Por consiguiente el campo neto es la suma de ambos: E T = E0 -E p . En este proceso la carga Q acumulada en las placas no se afecta ET = E0 -EP
  • 52. Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico   Recuerde que V0 = E0 d. Como la diferencia de potencial es función del campo dentro del capacitor y de la separación entre las placas se obtiene que, la nueva diferencia de potencial disminuye, esto es: V= ET d, porque el campo disminuye. Es decir que: V V0 . La nueva capacitancia es C = Q/ V C0 C Q 13V Sin dieléctrico Q 9V Con dieléctrico
  • 53. Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico  Se demuestra que V = V0 / kd donde kd la capacitancia puede expresarse como: C = K d Q / V0  Es decir, C = k d C0. A su vez esta ecuación puede escribirse en término del área de las placas y de la distabcia d entre ellas, tal como sigue: C kd 0 A d K d se conoce como la constante del dieléctrico 1. Luego
  • 54. Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico   Para variar la capacidad de un condensador, se pueden poner materiales con distintas constantes dieléctricas entre sus placas. La constante dieléctrica del vació es 1; la de un conductor perfecto sería infinita. Otra utilidad de los dieléctricos, y especialmente los sólidos, es que permiten colocar las placas muy cerca sin peligro de que se toquen y se descarguen, lo cual permite aumentar aún más la capacitancia del condensador.
  • 55. Energía en un capacitor  Cuando un condensador se descarga, se produce un flujo de cargas desde la placa negativa a la positiva hasta que se igualen las cargas y desaparezca la diferencia de potencial. El transporte de esas cargas , implica un trabajo eléctrico y por tanto la transformación de energía eléctrica. La expresión general para la energía almacenada en un capacitor es: Uc Uc C V 2 Q V 2 2 De acuerdo a los datos Uc Puede expresarse también así Q : carga acumulada, C: capacitancia , V: diferencia de potencial entre las placas Q2 2C
  • 56. Constante dieléctricas de algunos materiales Material Vacío Aire Baquelita Cuarzo Vidrio pyrex Poliestireno Teflón Constante Material Caucho 1 1,00059 Nylon Papel 4,9 Titanio 3,78 Agua 5,6 2,56 2,1 aceite Constante 6,7 3,4 3,7 233 80 2,5
  • 57. Ejemplo 1.- Se conecta un capacitor a una batería de 300V. Suponga que la carga transferida a las placas del capacitor es 1,2 10-3 C. Determine la capacitancia cuando el dieléctrico usado es aire. Resp. Aplicando C = Q/ V C = 4 10-6 F = 4 F Habitualmente V se escribe como V y vice-versa
  • 58. Ejemplo 2.- Suponga que se mantiene el capacitor conectado a la batería de la pregunta anterior. Se separan las placas una distancia el doble de la inicial. ¿ Cuál será el valor del voltaje entre las placas del capacitor? Resp. No cambia pues las placas siguen conectadas a la misma diferencia de potencial de la batería. Esto e independiente de la separación de las placas.
  • 59. Ejemplo 3.- Con las condiciones del problema anterior determine la capacitancia . Resp. C = 4 F 2 2 F
  • 60. Ejemplo 4.-Para el mismo problema anterior determine la carga entre las placas. Resp. Aplicando Q = C V Q = 2 10-6 ( F) 300 (V) Q = 6 10-4 C Obs. A pesar que el voltaje en el capacitor se mantuvo, la carga acumulada disminuye debido que la capacitancia del mismo disminuyó a la mitad producto de la nueva separación entre las placas del mismo
  • 61. Ejemplo 5.- Determinar el área de las placas de un capacitor de placas paralelas de 1 F, sabiendo que ellas estás separadas 1 mm. -12 C2/ Nm2 0 = 8,85 10 d = 1 10-3 m C=1F A C d 0 1 1 10 3 8,85 10 12 1 108 m2 Esto corresponde a un cuadrado de 10 Km por lado. Por eso los capacitores de uso común son del orden del picofaradio (1 10-12 F)
  • 62. Ejemplo 7.- Un condensador plano cargado pero desconectado de la batería tiene una capacidad de 9 F y entre sus armaduras hay una diferencia de potencial de 200 V. ¿ Qué energía se liberará en la descarga del capacitor? Resp. U c = Q V/2 Q = C V = 1,8 10-3 C UC = 0,18 j
  • 63. Ejemplo 8.- Respecto del problema anterior. Determinar la energía que se almacenará en el capacitor cuando la distancia entre las placas se triplique: Resp. La carga no sufre alteración de modo de Q = 1,8 10-3C. Como la capacitancia del condensador es inversamente proporcional a la distancia entre las placas C= C0/3= 3 10-6 F. Además V= Q/C = 600V. Por lo tanto la nueva energía UC = 0,54 j
  • 64. Ejemplo 9.- Con relación al problema anterior, ¿cuál es el trabajo realizado para separa las placas del condensador? Resp. El trabajo realizado se transfirió al capacitor por ello aumentó su energía. De acuerdo con el principio de conservación de la energía: W = E= Uc- U0c= 0,54-0,18=0,36J
  • 65. Tipos de capacitores  Existen diversos condensadores, algunos denominados polarizados, variables, pasante electrolítico, ajustable etc. En esta unidad se ha centrado el estudio en los Condensadores no polarizados. Cada tipo posee su propia simbología.
  • 67. Algunas equivalencias  La carga acumulada se mide en Coulomb (C) y el potencial en volt (V). Luego la unidad de medida en el sistema S.I. para la capacitancia es el : C/V. Que se denomina Farad o Faradio (F). Por ser una unidad más bien grande se utiliza otras submúltiplos como : Nano faradio: nF = 1 10-9 F Micro faradio: F = 1 10-6 F Pico faradio: pF = 1 10-12 F Mili faradio: mF = 1 10-3 F
  • 68. Capacitores en serie y paralelo Considérese primero el efecto de un grupo de capacitores conectados a lo largo de una sola trayectoria, Una conexión de este tipo, en donde la placa positiva de un capacitor se conecta a la placa negativa de otro, se llama conexión en serie. La batería mantiene una diferencia de potencial V entre la placa positiva C1 y la placa negativa C3, con una transferencia de electrones de una a otra. La carga no puede pasar entre las placas del capacitor ; en consecuencia, toda la carga contenida dentro del paralelogramo punteado, Fig. 3.3., es carga inducida. Por esta razón, la carga en cada capacitor es idéntica. Se escribe: Q=Q1=Q2=Q3
  • 69. Capacitores en serie y paralelo
  • 70. Capacitores en serie y paralelo  Los tres capacitores pueden reemplazarse por una capacitancia equivalente C, sin que varíe el efecto externo. A continuación se deduce una expresión que sirve para calcular la capacitancia equivalente para esta conexión en serie. Puesto que la diferencia de potencial entre A y B es independiente de la trayectoria, el voltaje de la batería debe ser igual a la suma de las caídas de potencial a través de cada capacitor. V=V1+V2+V3
  • 71. Capacitores en serie y paralelo Si se recuerda que la capacitancia C se define por la razón Q/V, la ecuación se convierte: Para una conexión en serie, Q=Q1=Q2=Q3 así, que si se divide entre la carga, se obtiene : 1 =1 + 1 + 1 Ce C1 C2 C3 
  • 72. Capacitores en serie y paralelo Ahora bien, considérese un grupo de capacitores conectados de tal modo que la carga pueda distribuirse entre dos o más conductores. Cuando varios capacitores están conectados directamente a la misma fuente de potencial, se dice que ellos están conectados en paralelo.
  • 74. Capacitores en paralelo De la definición de capacitancia,, la carga en un capacitor conectado en paralelo es : Q1=C1V1 Q2=C22V2 Q3=C3V3 La carga total Q es igual a la suma de las cargas individuales Q=Q1 =Q2+Q3 La capacitancia equivalente a todo el circuito es Q=CV, así que la ecuación se transforma en CV= C1V1 + C22V2 + C3V3 Para una conexión en paralelo, V =V1=V2=V3
  • 75. Ya que todos los capacitores están conectados a la misma diferencia de potencial. Por tanto, al dividir ambos miembros de la ecuación CV = C1V1 +C2V2 +C3V3 entre el voltaje se obtiene C = C1 +C2 +C3 Conexión en paralelo
  • 76. EJEMPLO A) Encuéntrese la capacitancia equivalente del circuito mostrado en la figura. B) Determínese la carga en cada capacitor. c). Cuál es la diferencia de potencial entre las placas del capacitor de 4µF.