Hydraulique en Charge

1. HYDRAULIQUE EN CHARGE Ecoulement en régime permanent des fluides incompressibles v1.1.1 Roland O. YONABA ING. M. Sc. Eau & Environnement Assistant d’Enseignement et de Recherche Département Hydraulique et Assainissement/LEAH - 2iE Email: ousmane.yonaba@2ie-edu.org

2. OBJECTIFS DE COURS ~ HEC ■ Comprendre et maîtriser les lois essentielles régissant la dynamique des écoulements en charge ■ Equation de continuité ■ Equation des quantités de mouvement ■ Equation de l’énergie ■ Maîtriser la résolution des problèmes types en HEC : ■ Calcul de débit, de diamètre, de rugosité, de longueur,… ■ Comprendre le comportement énergétique des machines hydrauliques génératrices (pompes) et réceptrices (turbine) ■ Maîtriser le calcul des réseaux ramifiés et maillés 27.03.15 2

3. PLAN DE COURS I. Généralités sur les écoulements en charge II. Energie des écoulements III. Etude des pertes de charge IV. Pompes et turbines V. Théorème des quantités de mouvement VI. Procédés de calcul de l’écoulement en charge VII. Calcul des réseaux 27.03.15 3

4. BIBLIOGRAPHIE 27.03.15 4 ■ Biaou, Chabi Angelbert. 2009. Cours d'Hydraulique en Charge. Ouagadougou : 2iE, 2009. ■ Carlier, Michel. 1972. Hydraulique Générale et Appliquée. Paris : Eyrolles, 1972. ■ Class, Holger et Walter, Lena. 2011. Environmental Fluid Mechanics - Part I : Hydromechanics. Stuttgart : Universität Stuttgart, 2011. ■ Dufresne, Matthieu et Vazquez, José. 2013. Hydraulique pour le technicien et l'Ingénieur. Strasbourg : ENGEES, 2013. ■ Graf, Walter et Mustafa, Altinakar. 1998. Hydraulique Fluviale. Lausanne : Presses Polytechniques Romandes, 1998. ■ Idel'Cik. 1969. Memento de pertes de charges. Paris : Eyrolles, 1969. ■ Lencastre, A. 1996. Hydraulique Générale. Paris : Eyrolles, 1996. ■ Mar, Amadou Lamine. 2003. Cours d'Hydraulique - T1: Ecoulements en Charge. s.l. : Groupe des Ecoles EIER-ETSHER, 2003. Vol. 1. ■ Mounirou, Adjadi Lawani. 2014. Essentiel d'Hydraulique Générale. Ouagadougou : 2iE, 2014.

5. GENERALITES SUR LES ECOULEMENTS EN CHARGE Chapitre I

6. 01. GENERALITES ■ Réseaux de distribution d’eau potable (AEP : Adduction en Eau Potable) ■ calcul, conception, dimensionnement ■ gestion, optimisation, maintenance ■ Pompes et stations de pompage ■ Irrigation (sous pression) ■ Le système californien ■ L’irrigation localisée goutte à goutte ■ L’irrigation par aspersion 27.03.15 Domaines d’application 6

7. 01. GENERALITES ■ Ecoulement en charge : écoulement à section pleine. La section intérieure droite de conduite est entièrement remplie par la veine liquide. ■ Formes rencontrées : circulaire, rectangulaire, triangulaire... ■ La forme circulaire est optimale et plus répandue : répartition homogène de la pression à l’intérieur du tube. 27.03.15 Définition d’un écoulement en charge Paroi de conduite Section d’écoulement 7

8. 01. GENERALITES ■ Variables caractéristiques des EC : débit 𝑄 et vitesse moyenne 𝑈 ■ Au sens large, on admet dans l’étude des EC : ■ L’unidimensionnalité ■ 𝑄 = 𝑓 𝑥, 𝑡 et 𝑈 = 𝑓(𝑥, 𝑡) ■ Types d’écoulements ■ Ecoulements permanents ■ Eclt. Uniforme (et conservatif) : 𝑄 = 𝐶𝑡𝑒 et 𝑈 = 𝐶𝑡𝑒 ■ Eclt. Variés : ■ EGV, EBV (conservatifs) : 𝑄 = 𝐶𝑡𝑒, 𝑈 = 𝑓(𝑥) ■ Eclt. Non conservatifs : 𝑄 = 𝑓 𝑥 , 𝑈 = 𝑓(𝑥) ■ Ecoulements non permanents (transitoires) 27.03.15 Classification des EC (Ecoulements en Charge) 8

9. 01. GENERALITES ■ Section mouillée : 𝑆 = 𝜋𝑅2 = 𝜋𝐷2/4 ■ Périmètre mouillé : 𝑃 = 2𝜋𝑅 = 𝜋𝐷 ■ Rayon hydraulique : 𝑅ℎ = 𝑆 𝑃 = 𝜋𝑅2 2𝜋𝑅 = 𝑅 2 ■ Diamètre hydraulique : 𝐷ℎ = 4𝑅ℎ = 4 𝑅 2 = 2𝑅 = 𝐷 27.03.15 Eléments de géométrie pour la section circulaire D R 9 D = Diamètre intérieur R = Rayon Intérieur

10. 02. REGIME D’ECOULEMENT ■ Viscosité: résistance à l’écoulement uniforme et non turbulent : traduit la capacité du fluide à s’écouler → 𝑓 𝑇𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 27.03.15 Viscosité dynamique F A = 𝜏 = 𝜂 𝑑𝑉 𝑑𝑦 = 𝜇 𝑑𝑉 𝑑𝑦 • Le facteur 𝜇 (aussi noté 𝜂), observé pour les fluides newtoniens est appelé viscosité dynamique • Unité: poiseuille (PI) ou 𝑃𝑎. 𝑠 ou 𝐾𝑔/(𝑚. 𝑠) 10

11. 02. REGIME D’ECOULEMENT ■ Viscosité cinématique : notée 𝜈, s’exprime en 𝑚2. 𝑠−1 Quelques valeurs de viscosité pour l’eau pure (ASCE) 27.03.15 Viscosité cinématique Temp (°C) Masse volumique (Kg/m3) Viscosité dynamique (PI) Viscosité cinématique (m²/s) 0 999,9 1,972E-03 1,972E-06 15 999,1 1,140E-03 1,141E-06 20 998,2 1,005E-03 1,007E-06 25 997,1 8,940E-04 8,966E-07 50 988,1 5,490E-04 5,556E-07 100 958,4 2,840E-04 2,963E-07 𝜈 = 𝜇 𝜌 11

12. 02. REGIME D’ECOULEMENT 27.03.15 Expérience de Reynolds : dispositif expérimental Osborne Reynolds 1842 - 1912 12

13. 02. REGIME D’ECOULEMENT 27.03.15 Expérience de Reynolds : observations 𝑄, 𝑈 𝑡𝑟è𝑠 𝑓𝑎𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 Ecoulement en minces filets parallèles 𝑄, 𝑈 ± 𝑓𝑎𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 Filets de courant sinueux 𝑄, 𝑈 é𝑙𝑒𝑣é𝑠 Apparition de turbulence 13

14. 02. REGIME D’ECOULEMENT 27.03.15 Nombre de Reynolds ■ Nombre adimensionnel, représente le rapport entre les forces d’inertie et de viscosité 𝑅𝑒 = 𝐹 𝐼 𝐹 𝜈 = 𝜌𝑈2 𝐿2 𝜇𝑈𝐿 = 𝜌𝑈𝐿 𝜇 = 𝑈𝐿 𝜈 𝑅𝑒 = 𝑈𝐷ℎ 𝜈 = 4𝑄 𝜋𝐷ℎ 𝜈 ■ Permet la caractérisation du régime d’écoulement d’un fluide ■ 𝑅𝑒 < 2300 : régime laminaire ■ 2300 < 𝑅𝑒 < 4000 : régime transitoire (instable) ■ R𝑒 > 4000 : régime turbulent 14

15. 03. PROFIL DE VITESSE 27.03.15 Vitesse moyenne temporelle dans une conduite d’écoulement 𝑣 𝑡 = 𝑉 + 𝑉′ 𝑉(𝑟, 𝜃) = 1 𝑇 𝑡 𝑡+𝑇 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 15

16. 03. PROFIL DE VITESSE 27.03.15 Expression algébrique du profil de vitesse Ecoulement idéal 𝑈 = 𝐶𝑡𝑒 Ecoulement laminaire Profil parabolique 𝑢(𝑟) = 𝑈0 1 − 𝑟2 𝑅2 Ecoulement turbulent Profil parabolique (Pernès, 2004) 𝑢(𝑟) = 𝑈0 1 − 𝑟 𝑅 1/𝑛 Avec 𝑈0 = 2𝑈 16

17. 04. CAVITATION 27.03.15 Tension de vapeur ℎ 𝑣 Pression à laquelle la phase gazeuse d’une substance est en équilibre avec sa phase liquide et solide, à une température donnée. 17

18. 04. CAVITATION 27.03.15 Condition de cavitation ■ Formation de cavités (ou poches) remplies de vapeur et de gaz dans un fluide en mouvement Il y a cavitation lorsque : 𝑃𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑒,𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 < ℎ 𝑣 18

19. ENERGIE DES ECOULEMENTS Chapitre II

20. 01. CHARGE HYDRAULIQUE 27.03.15 Expression de l’énergie en un point d’écoulement ■ Charge : énergie mécanique totale exprimée pour une masse fluide en mouvement, en un point de l’écoulement : ■ Energie de pression : p𝒱 ■ Energie de potentielle : 𝜌𝑔𝒱𝑧 ■ Energie cinétique : (1 2)𝜌𝒱𝑉2 ■ Energie par unité de poids 𝐻 = 𝑝 𝜌𝑔 + 𝑧 + 𝑉2 2𝑔 20

21. 01. CHARGE HYDRAULIQUE 27.03.15 Charge moyenne dans une section (1/2) ■ Dans une section droite de conduite: 𝐻 𝑚 = 1 𝑄 𝑃 𝜌𝑔 + 𝑧 + 𝑉2 2𝑔 𝑑𝑄 ■ Le terme 𝑃/𝜌𝑔 + 𝑧 est constant dans la section ■ Mais le terme 𝑉2 /2𝑔 varie (cf. profils de vitesse) ■ On substitue à l’écoulement réel un écoulement fictif à vitesse 𝑈 constante dan la section et l’on définit un coefficient 𝛼 tel que: 𝛼𝐸𝑐𝑓𝑖𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 = 𝐸𝑐 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒 𝛼 = 1 𝑈3 𝑆 𝑉3 𝑑𝑆 𝛼 est appelé coefficient de Coriolis. 21

22. 01. CHARGE HYDRAULIQUE 27.03.15 Charge moyenne dans une section (2/2) ■ La charge moyenne s’écrit donc : 𝐻 = 𝑃 𝜌𝑔 + 𝑧 + 𝛼 𝑈2 2𝑔 Valeurs de 𝛼 en fonction du nombre de Reynolds Régime Reynolds α Laminaire 𝑅𝑒 < 4 000 2 Turbulent 𝑅𝑒 ≈ 4 000 1,076 𝑅𝑒 ≈ 100 000 1,058 𝑅𝑒 ≈ 2 000 000 1,030 22

23. 02. FLUIDE PARFAIT – FLUIDE REEL 27.03.15 Définition ■ Fluide parfait : mouvement descriptible sans prise en compte des effets de viscosité et de conductivité thermique ■ 𝐹 𝜈 = 𝜇𝛻𝑉 → 0 ⇒ 𝑅𝑒 = 𝐹 𝐼 𝐹 𝜈 → ∞ ■ Concept : aucun fluide existant n’est parfait ■ Fluide s’écoulant sans perte d’énergie ■ Fluide réel: fluide ayant une viscosité. Leur mouvement est assujetti aux frottements ■ Contre la paroi d’écoulement ■ Intermoléculaires (internes) Ces frottements induisent des pertes d’énergie. 23

24. 03. THEOREME DE BERNOULLI 27.03.15 Théorème de Bernoulli pour les fluides parfaits (1/2) ■ Daniel Bernoulli (1700 – 1782) ■ Médecin, physicien, mathématicien suisse ■ Hypothèses : ■ Fluide incompressible ■ Régime d’écoulement permanent ■ Ecoulement non tourbillonnaire ■ Fluide supposé parfait ■ Aucune machine hydraulique impliquée ■ Application du théorème de l’énergie cinétique : ∆𝐸𝑐1→2 = 𝑊𝑓𝑐𝑒𝑠 = 𝑊𝑓𝑐𝑒𝑠.𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 + 𝑊𝑓𝑐𝑒𝑠.𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒 Daniel Bernoulli (1700-1782) 24

25. 03. THEOREME DE BERNOULLI 27.03.15 Théorème de Bernoulli pour les fluides parfaits (2/2) 𝐻1 = 𝐻2 → 𝑃1 𝜌𝑔 + 𝑧1 + 𝛼 𝑈1 2 2𝑔 = 𝑃2 𝜌𝑔 + 𝑧2 + 𝛼 𝑈2 2 2𝑔 Enoncé du principe Pour un fluide parfait en mouvement entre deux sections d’écoulements, l’énergie mécanique se conserve 25

26. 03. THEOREME DE BERNOULLI 27.03.15 Lignes de charge et ligne piézométrique ■ Ligne piézométrique : 𝐻𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 = 𝑃 𝜌𝑔 + 𝑧 ■ Ligne de charge : 𝐻 = 𝐻𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 + 𝐻𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 = 𝑃 𝜌𝑔 + 𝑧 + 𝛼 𝑈2 2𝑔 𝑧 𝑃 𝜌𝑔 𝛼 𝑈2 2𝑔 Ligne de charge Ligne piézométrique 26

27. 03. THEOREME DE BERNOULLI 27.03.15 Mise en évidence de la perte de charge de charge pour les fluides réels ■ Vanne fermée (𝑄 = 0). La ligne de charge est horizontale ■ Vanne ouverte (𝑄 > 0). L’écoulement se fait avec des frottements induisant une perte d’énergie ∆𝐻. La ligne de charge adopte une pente J 27

28. 03. THEOREME DE BERNOULLI 27.03.15 Théorème de Bernoulli pour les fluides réels (1/2) ■ RFD sur le volume 𝑑𝒱 en mouvement : 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚a ■ Section de conduite constante : 𝑎 = 0 𝑃1 𝜌𝑔 + 𝑧1 + 𝛼 𝑈2 2𝑔 − 𝑃2 𝜌𝑔 + 𝑧2 + 𝛼 𝑈2 2𝑔 = 𝜏0 𝜌𝑔𝑅ℎ 𝑑𝑥 Référence 𝐹𝑃2 𝐹𝑃1 𝑃 = 𝜌𝒱 𝑔 𝜏0 𝑑𝑥 𝑧1 1 𝑧2 𝑖 2 𝑥 28

29. 03. THEOREME DE BERNOULLI 27.03.15 Théorème de Bernoulli pour les fluides réels (2/2) ■ En définissant 𝐽 la perte de charge unitaire (pente de la ligne d’énergie) 𝐽 = − 𝑑𝐻 𝑑𝑥 = 𝜏0 𝜌𝑔𝑅ℎ ■ La contrainte de frottement à la paroi est alors donnée par : 𝜏0 = 𝜌𝑔𝐽𝑅ℎ = 𝜌𝑔𝜑(𝑈) ■ Quelle est la relation : 𝜏0 ∝ 𝜑(𝑈) ? (Cf. Etude des pertes de charge) 29

30. ETUDE DES PERTES DE CHARGE Chapitre III

31. 01. PERTE DE CHARGE 27.03.15 Définition et types de perte de charge ■ Tout fluide réel qui s’écoule perd de l’énergie ■ frottement contre les parois de la section d’écoulement ■ action des forces de viscosité ■ turbulence ■ obstacles induisant une courbure prononcée des lignes de courants,… ■ La perte d’énergie, ou perte de charge, peut être : ■ Linéaire (ou régulière) : frottement du fluide contre la paroi interne de la conduite, sur une longueur 𝐿 ■ Singulière (ou locale) : du fait de singularités (variation brusque du diamètre, changement de direction, robinetterie,…) 31

32. 02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE 27.03.15 Formulation générale ■ La perte de charge linéaire se met sous la forme ∆𝐻 = 𝐽𝐿 ■ 𝐽 est la perte de charge unitaire : pente de la ligne d’énergie. 𝐽 = − 𝑑𝐻 𝑑𝑥 = 𝜏0 𝜌𝑔𝑅ℎ 𝜏0 = 𝜌𝑔𝐽𝑅ℎ = 𝜌𝑔𝜑(𝑈) 32

33. 02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE 27.03.15 Formule de Chézy ■ Postulat de Chézy (1775) 𝜑 𝑈 = 𝑈2 𝐶2 ■ 𝐶 est le coefficient de Chézy 𝑈 = 𝐶 𝑅ℎ 𝐽 𝐽 = 𝑈2 𝐶2 𝑅ℎ Antoine de Chézy (1718 – 1798) 33

34. 02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE 27.03.15 Formulation moderne de Darcy-Weisbach ■ Analyse dimensionnelle, couplée à des travaux expérimentaux ont permis d’identifier la fonction 𝜆 𝜆 = 𝑓 𝑘 𝐷 , 𝑅𝑒 ■ Cette fonction permet le calcul de la perte de charge par la formule de Darcy et Weisbach 𝐽 = 𝜆 𝐷 𝑈2 2𝑔 Henry Darcy (1803 – 1858) Julius Ludwig Weisbach (1806 – 1871) 34

35. 02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE 27.03.15 Calcul de 𝜆: cas du régime laminaire ■ En régime laminaire, la loi de Hagen (1839) et Poiseuille (1841) lie la chute de pression aux paramètres de l’écoulement : 𝐽 = 128𝜈 𝑔𝜋 𝑄 𝐷4 ■ On en déduit pour 𝑅𝑒 < 2000 𝜆 = 64 𝑅𝑒 Jean-Louis Marie Poiseuille (1797-1869) Gotthilf Hagen (1797-1884) 35

36. 02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE 27.03.15 Calcul de 𝜆: cas du régime turbulent lisse ■ Le régime d’écoulement est turbulent, mais les effets de la rugosité de la conduite sont négligeables : « tuyau lisse » ■ 𝜆 est exprimé par la formule de Prandtl-Von Karman 1 𝜆 = −2 log10 2,51 𝑅𝑒 𝜆 ■ Formulation implicite en 𝜆 ■ Approximation de Blasius (1911) 𝜆 = 0,3164 𝑅𝑒1 4 Pour 104 < 𝑅𝑒 < 105 Ludwig Prandtl (1875-1953) Théodore Von Karman (1881-1963) Heinrich Blasius (1883-1970) 36

37. 02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE 27.03.15 Calcul de 𝜆: cas du régime turbulent rugueux ■ Le régime d’écoulement est turbulent, mais les effets de la rugosité de la conduite sont prédominants ■ 𝜆 est exprimé par la formule de Nikuradse 1 𝜆 = −2 log10 𝑘 3,71𝐷 ■ Rugosité ∝ hauteur des aspérités de conduites ■ 𝑘 est la hauteur des aspérités : rugosité absolue, en [mm]. ■ 𝜖 = 𝑘/𝐷 est la rugosité relative Johann Nikuradse (1894-1979) 37

38. 02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE 27.03.15 Calcul de 𝜆 : généralisation de Colebrook-White ■ Colebrook et White proposent une généralisation des formules de Prandtl-Von Karman et Nikuradse en 1839, applicable aux régimes transitoires et turbulents 1 𝜆 = −2 log10 𝑘 3,71𝐷 + 2,51 𝑅𝑒 𝜆 ■ Implicite en 𝜆, résolution par recherche itérative ■ Méthode trial & error ■ Méthode de convergence (Newton-Raphson,…) ■ Méthode de l’abaque: diagramme de Moody-Stanton ■ Approximations : Moody (1947), Swamee et Jain (1976), Haaland (1983), Chen (1984)… Cyril Frank Colebrook (1910-1997) Cedric Masey White (1898-1993) 38

39. 02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE 27.03.15 Calcul de 𝜆 : diagramme de Moody et Stanton (1944) 39

40. 02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE 27.03.15 Formules empiriques : formule de Gauckler-Manning-Strickler ■ Plus couramment appelée « formule de Manning-Strickler » ■ Très employée dans l’étude des écoulements à surface libre ■ Réécriture du coefficient de Chézy ■ Initialement proposée par Philippe Gauckler (1867) ■ Redécouverte par Manning (1885) : 𝐶 = 1 𝑛 𝑅ℎ 1/6 ■ Puis par Strickler : 𝐶 = 𝐾𝑠 𝑅ℎ 1/6 ■ On en déduit, pour une conduite en charge 𝐽 = 4 10 3 𝑄2 𝜋2 𝐾𝑠 2 𝐷 16 3 ≈ 10,29𝑄2 𝐾𝑠 2 𝐷5,33 Robert Manning (1816-1897) 40

41. 02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE 27.03.15 Formules empiriques : formule de Hazen et Williams ■ Très employée aux USA ■ Introduction d’un coefficient de rugosité noté 𝐶 𝐻𝑊 Allen Hazen (1869-1930) Gardner Stewart Williams (1866-1931) 𝐽 = 10,675𝑄1,852 𝐶 𝐻𝑊 1,852 𝐷4,87 41

42. 02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE 27.03.15 Formules empiriques : formule de Calmon et Lechapt (1965) ■ Formule de type monôme d’expression simplifiée ■ Traduit les influences relatives des paramètres 𝑄, 𝐿, 𝐷 sur la perte de charge ■ Le triplet de coefficients {𝑎, 𝑛, 𝑚} représente la rugosité de conduite 𝐽 = 𝑎 𝑄 𝑛 𝐷 𝑚 42

43. 02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE 27.03.15 Correspondances entre facteurs de rugosité Correspondances entre 𝐾𝑠, 𝑘, 𝐶 𝐻𝑊 Correspondances entre 𝑘 𝑒𝑡 {𝑎, 𝑛, 𝑚} 43

44. 03. PERTE DE CHARGE SINGULIERE 27.03.15 Notion de singularité (1/2) • Courbure des lignes de courant, qui décollent de la paroi • Formation de zones de recirculation 44

45. 03. PERTE DE CHARGE SINGULIERE 27.03.15 Notion de singularité (2/2) Comportement des lignes de courant au passage à travers une vanne (Idel’Cik, 1986) 45

46. 03. PERTE DE CHARGE SINGULIERE 27.03.15 Expression de la perte de charge singulière ■ La perte de charge singulière (ou locale) est liée à la charge cinétique de l’écoulement, prise en une section de référence ∆𝐻𝑠 ∝ 𝑈2 2𝑔 ■ On définit un coefficient adimensionnel 𝐾, appelé coefficient de débit, dont la valeur dépend de la singularité. ∆𝐻𝑠 = 𝐾 𝑈2 2𝑔 = 8𝐾𝑄2 𝑔𝜋2 𝐷4 ■ On peut assimiler une perte de charge singulière à une perte de charge linéaire de longueur équivalente 𝐿 𝑒 = 𝐾𝐷/𝜆 46

47. POMPES ET TURBINES Chapitre IV

48. 01. POMPE 27.03.15 Définition ■ Pompe : générateur d’énergie, permet de déplacer un liquide d’un point d’énergie faible à un point d’énergie plus élevé. 𝐻 𝑝 = 𝐻𝑀𝑇 = 𝐻𝑠 − 𝐻𝑒 = 𝐻𝑔𝑒𝑜 + ∆𝐻 𝐻 𝑝 = 𝑍2 − 𝑍1 + 𝑃2 − 𝑃1 𝜌𝑔 + ∆𝐻 𝑎𝑠𝑝 + ∆𝐻𝑟𝑒𝑓 𝑃ℎ = 𝜂 𝑝. 𝑃𝑒𝑙 = 𝜌𝑔𝑄𝐻 𝑝 P 𝑃𝑒𝑙 𝑃ℎ 48

49. 02. TURBINE 27.03.15 Définition ■ Turbine : consommatrice d’énergie, prélève de l’énergie à l’écoulement pour transformer (production d’électricité). 𝐻 𝑇 = 𝐻𝑒 − 𝐻𝑠 𝑃ℎ = 𝑃𝑒𝑙 𝜂 𝑝 = 𝜌𝑔𝑄𝐻 𝑇 T 𝑃ℎ 𝑃𝑒𝑙 49

50. 03. EQUATION D’ENERGIE GENERALISEE 27.03.15 Théorème de Bernoulli généralisé aux machines hydrauliques ■ Entre les sections 1 et 2 de l’écoulement : 𝐻1 + 𝐻 𝑝 = 𝐻 𝑇 + 𝐻2 + ∆𝐻1−2 + 1 𝑔 1 2 𝜕𝑉 𝜕𝑡 𝑑𝑠 ■ En régime permanent : 𝐻1 − 𝐻2 + 𝐻 𝑝 − 𝐻 𝑇 = ∆𝐻1−2 Représente les forces d’inertie par unité de poids 50

51. 04. POMPE ET CAVITATION 27.03.15 Hauteur maximale d’aspiration d’une pompe de surface ■ La hauteur maximale d’aspiration pour une pompe de surface est donnée par la condition de non cavitation à l’entrée de la pompe 𝑍 𝑒 − 𝑍1 < 𝑃1 𝜌𝑔 − ∆𝐻1−𝑒 − ℎ 𝑣 ■ En pratique, la valeur de 7 m est utilisée, en admettant que le plan d’eau à l’aspiration est libre. ■ Cette condition n’est pas limitante pour les pompes aspirant en charge 51

52. THEOREME DES QUANTITES DE MOUVEMENT Chapitre V

53. 01. QUANTITE DE MOUVEMENT 27.03.15 Théorème de Quantité de Mouvement (ou Théorème d‘Euler) (1/2) ■ S’applique aux changement de direction d’un écoulement ■ Calcul action eau/joint ■ Norme, direction et sens ■ S’applique au calcul de butée 53 Leonhard Euler 1707-1783

54. 01. QUANTITE DE MOUVEMENT 27.03.15 Théorème de Quantité de Mouvement (ou Théorème d‘Euler) (2/2) ■ Soit 𝑰 le vecteur impulsion (quantité de mouvement) d’une masse fluide en mouvement : 𝐼 = 𝑚𝑈 = 𝜌𝒱𝑈 ■ Le théorème d’Euler énonce alors que: ∆ 𝐼 ∆𝑡 = 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 + 𝐹𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 − 𝑅 ■ Pour un système à plusieurs branches (entrées et sorties) : 𝑖 𝜌𝑄𝑖 𝑈𝑖 𝑛𝑖 = 𝑖 𝐹𝑖 + 𝜌𝑑𝒱 𝑔 − 𝑅 54

55. 02. APPLICATION 27.03.15 Cas d’un coude 𝑅 𝑥 = −𝜌𝑄𝑈2 − 𝐹2 𝑅 𝑦 = 𝜌𝑄𝑈1 + 𝐹1 𝑅 = 𝑅 𝑥 2 + 𝑅 𝑦 2 𝜃 = atan 𝑅 𝑦 𝑅 𝑥 𝜃𝐹1 𝐹2 𝑈1 𝑈2 𝑅 𝑅 𝑥 𝑅 𝑦 𝑅 𝑛1 𝑛2 𝑥 𝑦 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 = 𝑃𝑒𝑓𝑓 𝑆 𝑃𝑒𝑓𝑓 = 𝑃𝑎𝑏𝑠 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 55

56. PROCEDES DE CALCUL DE L’ECOULEMENT EN CHARGE Chapitre VI

57. 01. SYSTÈME D’ECOULEMENT 27.03.15 Définition ■ Système d’écoulement : ensemble de nœuds (ou sommets) connectés par des tronçons de conduite (arcs) ■ Modélisable par un graphe ■ Le réseau hydraulique est un système d’écoulement dans lequel ■ Les nœuds sont des points de desserte (distribution) ■ Les tronçons sont des conduites qui transitent la demande au nœuds. 57

58. 01. SYSTÈME D’ECOULEMENT 27.03.15 Lois applicables ■ Loi des nœuds : conservation de masse ■ Loi des tronçons : traduit la conservation de l’énergie mécanique (théorème de Bernoulli) 𝑄 𝑒1 𝑄 𝑒2 𝑄𝑠1 𝑄𝑠2 𝑄 𝑒 = 𝑄𝑠 𝑖 𝑗 𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 = 𝑓𝑖𝑗 𝑄𝑖𝑗 58

59. 02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX 27.03.15 Conditions les plus défavorables ■ Réseau conçu avec l’esprit du « qui peut le plus peut le moins ». ■ Dimensionnement mené en situation de pointe (situation la plus défavorable) ■ Débits maximaux écoulés dans les tronçons ■ Pressions minimales à tous les nœuds de distribution ■ Possibilité de concevoir avec une qualité de service (loi de Clément) ■ Mais nécessité de connaitre les fréquences d’occurrence des débits de pointe 59

60. 02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX 27.03.15 Conditions de vitesse ■ Si la vitesse d’écoulement est trop forte ■ Pertes de charge élevées ■ Seuil limite pour le matériau canalisant l’écoulement ■ Si la vitesse d’écoulement est trop faible ■ Risque de dépôts (loi de décantation de Stokes) ■ Nécessité de définir une plage admissible de vitesses, selon les domaines d’applications ■ AEP : 0,5 𝑚/𝑠 − 1,5 𝑚/𝑠 (vitesse économique 1 𝑚/𝑠) 60

61. 02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX 27.03.15 Conditions de pression (1/3) Conduite en dépression 61

62. 02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX 27.03.15 Conditions de pression (2/3) Problème de cavitation 62

63. 02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX 27.03.15 Conditions de pression (3/3) Profil idéal 63

64. 03. PROCEDES DE CALCUL 27.03.15 Association de conduites en série ∆𝐻𝑒𝑞 = JL = 𝑖 𝐽𝑖 𝐿𝑖 𝑄 𝑒𝑞 = 𝑄𝑖 = 𝑄 64

65. 03. PROCEDES DE CALCUL 27.03.15 Association de conduites en parallèle ∆𝐻1 = ∆𝐻2 = ⋯ = ∆𝐻 𝑛 𝑄 𝑒𝑞 = 𝑖 𝑛 𝑄𝑖 𝐿1, 𝐷1, 𝑄1 𝐿2, 𝐷2, 𝑄2 𝐿3, 𝐷3, 𝑄3 𝐿 𝑛, 𝐷 𝑛, 𝑄 𝑛 𝐿𝑖, 𝐷𝑖, 𝑄𝑖 𝐴 𝐵 65

66. 03. PROCEDES DE CALCUL 27.03.15 Desserte de débits unitaires égaux à égales distance (1/2) 66

67. 03. PROCEDES DE CALCUL 27.03.15 Desserte de débits unitaires égaux à égales distance (2/2) 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑄1 𝑄0 ∆𝐻 = 𝑎 𝑑 𝐷 𝑚 𝑖 𝑁 𝑄1 + 𝑖𝑞 𝑛 𝑄 𝑒𝑞 ≈ 1 3 𝑄0 Si 𝑄1 = 0, ∆𝐻 = 𝑓 𝑄2 et 𝑁 assez grand, alors : 67

68. 03. PROCEDES DE CALCUL 27.03.15 Desserte en route 𝑑𝑥 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑄1 𝑄0 … . . . … . . . … . . . … . . . … . . . … . . . 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑄 𝑒𝑞 = 𝑄0 𝑛+1 − 𝑄1 𝑛+1 𝑄0 − 𝑄1 (𝑛 + 1) 1 𝑛 𝑄 𝑒𝑞 = 1 𝑛 + 1 1 𝑛 𝑄0 𝑄 𝑒𝑞 = 0,55𝑄0 + 0,45𝑄1 Si 𝑸 𝟏 est nul : Si 𝒒 ≪ 𝑸 𝟎, 𝑸 𝟏 : 68

69. 03. PROCEDES DE CALCUL 27.03.15 Méthode des approximations successives Objectif : trouver les 𝑄𝑖 Données : Le débit total 𝑄, les 𝐿𝑖, 𝐷𝑖, 𝑟𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑡é𝑠 Critère d’arrêt: 𝜀 ≈ 10−1, 10−2, 10−3, … Algorithme : Répéter: Fixer 𝑄′1 Calculer ∆𝐻1 Calculer les 𝑄′𝑖 𝑖≠1 (les ∆𝑯𝒊 sont égaux) Calculer 𝑄′ = 𝑄′𝑖 Jusqu’à ce que 𝑄′ − 𝑄 < 𝜀 𝐿1, 𝐷1, 𝑄1 𝐿2, 𝐷2, 𝑄2 𝐿3, 𝐷3, 𝑄3 𝐿 𝑛, 𝐷 𝑛, 𝑄 𝑛 𝐿𝑖, 𝐷𝑖, 𝑄𝑖 𝑄 69

70. CALCUL DES RESEAUX Chapitre VII

71. 01. RESEAUX HYDRAULIQUES 27.03.15 Fonctions des réseaux hydrauliques ■ Acheminer le fluide d’un réservoir vers des abonnés ■ Doit satisfaire des exigences ■ Débits demandé par l’abonné ■ Pression de service ■ Vitesse d’écoulement dans la gamme de valeurs admise 71

72. 01. RESEAUX HYDRAULIQUES 27.03.15 Typologie des réseaux hydrauliques Réseau ramifié Réseau maillé 72

73. 01. RESEAUX HYDRAULIQUES 27.03.15 Problèmes types de calcul ■ Objectif : calculer les charges et les pressions à tous les nœuds ■ Calcul amont-aval ■ Objectif : calculer la côte du plan d’eau au réservoir ■ Calcul aval-amont 73

74. 02. RESEAUX RAMIFIES 27.03.15 Calcul amont-aval (1/2) ■ Evaluer les débits de dimensionnement par tronçon en situation de pointe ■ Choisir les diamètres de conduite (sur la base d’une vitesse idéale) 𝐷𝑡ℎ = 4𝑄 𝑑𝑖𝑚 𝜋𝑈𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑡 𝐷𝑠𝑡𝑑 ≥ 𝐷𝑡ℎ ■ Calculer les pertes de charge par tronçon ∆𝐻𝑖𝑗 = 𝑓 𝑄𝑖𝑗, 𝐿𝑖𝑗, 𝐷𝑠𝑡𝑑 𝑖𝑗 , 𝑘𝑖𝑗 74

75. 02. RESEAUX RAMIFIES 27.03.15 Calcul amont-aval (2/2) ■ Evaluer les charges sur chaque nœud par le Théorème de Bernoulli 𝐻𝑗 = 𝐻𝑖 − ∆𝐻𝑖𝑗 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑄𝑖→𝑗 ■ Calculer les pressions statiques (ou maximales) et dynamiques (ou réelles) 𝑃 𝑚𝑎𝑥,𝑖 = 𝐻 𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟 − 𝑍𝑖 et 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 = 𝐻𝑖 − 𝑍𝑖 − 𝑈𝑖 2 2𝑔 ■ S’assurer qu’en tout point 𝑖, 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 ≥ 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖 Terme souvent négligé pour son ordre de grandeur dans les réseaux 75

76. 02. RESEAUX RAMIFIES 27.03.15 Calcul aval-amont (1/3) ■ Evaluer les débits de dimensionnement par tronçon en situation de pointe ■ Choisir les diamètres de conduite (sur la base d’une vitesse idéale) 𝐷𝑡ℎ = 4𝑄 𝑑𝑖𝑚 𝜋𝑈𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑡 𝐷𝑠𝑡𝑑 ≥ 𝐷𝑡ℎ ■ Calculer les pertes de charge par tronçon ∆𝐻𝑖𝑗 = 𝑓 𝑄𝑖𝑗, 𝐿𝑖𝑗, 𝐷𝑠𝑡𝑑 𝑖𝑗 , 𝑘𝑖𝑗 76

77. 02. RESEAUX RAMIFIES 27.03.15 Calcul aval-amont (2/3) ■ Calculer la charge minimale imposée au réservoir par chaque nœud de desserte 𝐻𝑖 𝑚𝑖𝑛,𝑖𝑚𝑝 = 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖 + 𝑍𝑖 + 𝑖 𝑟é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟 ∆𝐻 ■ On retiendra comme ligne de charge la valeur maximale des charges 𝐻𝑖 𝑚𝑖𝑛,𝑖𝑚𝑝 𝐻𝑟é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟 = max(𝐻𝑖 𝑚𝑖𝑛,𝑖𝑚𝑝 ) 77

78. 02. RESEAUX RAMIFIES 27.03.15 Calcul aval-amont (3/3) ■ On effectue un calcul retour (amont aval) afin de retrouver les charges et pressions (dynamiques et statiques) 𝐻𝑗 = 𝐻𝑖 − ∆𝐻𝑖𝑗 (𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑄𝑖→𝑗) 𝑃 𝑚𝑎𝑥,𝑖 = 𝐻 𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟 − 𝑍𝑖 et 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 = 𝐻𝑖 − 𝑍𝑖 ■ Vérifier aussi qu’en tout point 𝑖, 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 > 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖. 78

79. 03. RESEAUX MAILLES 27.03.15 Problématique de calcul ■ Dans le cas des réseaux ramifiés, le sens d’écoulement est implicite ■ Les débits en tronçon sont facilement déterminés ■ Mais pas dans le cas des réseaux maillés ■ Sens d’écoulement en tronçon ? ■ Débits fictifs de dimensionnement ? ■ Résolution des boucles ■ Méthodes itératives, méthodes matricielles 79

80. 03. RESEAUX MAILLES 27.03.15 Méthode de Hardy Cross ■ Hardy Cross : méthode itérative de calcul de réseau maillé en régime permanent ■ Relativement simple à mettre en œuvre ■ Convergence rapide (selon la graine initiale) ■ Facile à implémenter (programmation) ■ Deux approches ■ Approche aux nœuds : égalisation des débits ■ Approches aux boucles : égalisation des charges ■ Autres méthodes itératives : Newton-Raphson, Wood-Charles, … 80 Hardy Cross 1885-1950

81. 03. RESEAUX MAILLES 27.03.15 Hardy Cross : méthode d’égalisation des charges (1/3) ■ Objectif : pour une maille, ou plusieurs mailles contiguës, retrouver les débits de dimensionnement dans les tronçons et leur sens d’écoulement en régime permanent ■ Principe : trouver une répartition de débits qui annule la perte de charge dans la maille 𝑎𝐿𝑖 𝐷𝑖 𝑚 𝑖=1 𝑁 𝑄𝑖 𝑛−1 𝑄𝑖 = 0 𝐼 𝐼𝐼 𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4 81

82. 03. RESEAUX MAILLES 27.03.15 Hardy Cross : méthode d’égalisation des charges (2/3) ■ Identifier et numéroter les mailles ■ Fixer une convention de parcours de parcours de maille ■ Répartir arbitrairement les débits par tronçon ■ Evaluer une correction 𝑑𝑞 telle que 𝑎𝐿𝑖 𝐷𝑖 𝑚 𝑖=1 𝑁 𝑄𝑖 + 𝑑𝑞 𝑛−1(𝑄𝑖 + 𝑑𝑞) = 0 Soit donc : 𝑑𝑞 = − 𝑖=1 𝑁 ∆𝐻𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑁 ∆𝐻𝑖 𝑄𝑖 82

83. 03. RESEAUX MAILLES 27.03.15 Hardy Cross : méthode d’égalisation des charges (3/3) ■ Calculer les débits corrigés 𝑄′𝑖 = 𝑄𝑖 + 𝑑𝑞 ■ Pour les tronçons appartenant à deux mailles, effectuer une double correction. ■ Reprendre la procédure en itération 𝒏 + 𝟏 avec les nouveaux débits 𝑄′𝑖 ■ critère d’arrêt des itérations : 𝑑𝑞 < 10−1 ~ 10−3 𝑙 𝑠 ■ Conduire alors un calcul amont-aval ou aval-amont suivant les paramètres recherchés ■ Calcul de charges réelles, pressions,… 83

84. 04. CORRECTION DE PRESSION 27.03.15 Méthodes de correction des insuffisances de pression ■ Problème: 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 < 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖 ■ Quelques moyens de correction ■ Augmenter les diamètres de conduite, ■ Choisir des conduites de plus faible rugosité, ■ Relever la ligne de charge (surélévation du radier du réservoir, surpresseurs,…) ■ Retenir une ou plusieurs solutions selon ■ La facilité de mise en œuvre, le coût… 84

85. QUELQUES LOGICIELS…

86. LOGICIELS 27.03.15 Outils de simulation des réseaux en charge 86

Hydraulique en Charge

Roland Yonaba

Hydraulique en Charge