metodos numericos

1. EJERCICIO 2:
La ecuación 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 2−𝑋
tiene infinitas soluciones positivas que se
denotarán por 𝑟1 < 𝑟2 < 𝑟3 < ⋯ < 𝑟𝑛 < 𝑟𝑛+1 < ⋯ se pide:
a) Mediante el método de Bisección, calcular la raíz 𝑟1 є [1,1.5] con una
cota de error absoluto ∆ 𝑟= 0.5 ∗ 10−2
. ¿Cuántas iteraciones son
suficientes?.
SOLUCIÓN
DATOS:
Función que da origen a la ecuación 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 2−𝑋
Intervalo para realizar el proceso iterativo [1,1.5]
Número de cifras significativas 𝑛 = 4
Error prefijado 𝐸𝑃 = 0.5 ∗ 102−𝑛
= 0.005
PROGRAMA DE GEOGEBRA
Mediante el programa GeoGebra determinamos la raíz aproximada y el
intervalo [𝐴0, 𝐵0]

2. La raíz aproximada 𝑅∗
= 1.076925048
El intervalo para realizar el proceso iterativo [1,1.5]
PROGRAMA EXCEL

3. La raíz buscada de la ecuación con una cota de error absoluto ∆ 𝑟= 0.5 ∗
10−2
es 𝑟∗
= 1.07693481
PROGRAMA MAPLE 18

7. b) Aplicar el método de Newton-Raphson para hallar la raíz 𝑟3 partiendo
de la aproximación inicial 𝒙 𝟎 = 𝟓. 𝟓 .Iterar hasta alcanzar una precisión de
7 cifras significativas.
SOLUCIÓN
DATOS:
Función que da origen a la ecuación 𝐹( 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠( 𝑥) − 2−𝑋
= 0
Raíz en la cero iteración 𝒙 𝟎 = 𝟓. 𝟓
Número de cifras significativas 𝐧 = 𝟕
Error prefijado 𝐸𝑃 = 0.5 ∗ 102−𝑛
= 0.000005
Derivada de la función 𝑭´( 𝒙) = −𝒔𝒆𝒏( 𝒙) + ( 𝟐−𝒙) ∗ 𝑳𝑵( 𝟐)
Segunda derivada de la función 𝑭"(𝒙) = −𝒄𝒐𝒔(𝒙) − (𝟐−𝒙
) ∗ 𝒍𝒏𝟒
Controlador |
𝐹(5.5)∗𝐹"(5.5)
(𝐹´(5.5)2 | = 0.9503646919 < 1
PROGRAMA DE GEOGEBRA
Mediante el programa GeoGebra determinamos la raíz aproximada.

8. La raíz aproximada 𝑅∗
= 4.749571314
PROGRAMA EXCEL
PROGRAMA MAPLE 18

12. EJERCICIO 6:
Aplicando el método de Newton encontrar el cero de la función
𝐹( 𝑥) =
−𝑙𝑛𝑥
2
+ 𝑒−𝑥
−
1
5
Más próximo al valor 𝑥0 = 1.5 hasta lograr 4 cifras
significativas exactas de precisión.
SOLUCIÓN
DATOS:
Función que da origen a la ecuación 𝐹( 𝑥) =
−𝑙𝑛𝑥
2
+ 𝑒−𝑥
−
1
5
Raíz en la cero iteración 𝒙 𝟎 = 𝟏. 𝟓
Número de cifras significativas 𝐧 = 𝟒
Error prefijado 𝐸𝑃 = 0.5 ∗ 102−𝑛
= 0.005
Derivada de la función 𝑭´( 𝒙) =
(−𝟐𝒙 𝒆−𝒙
− 𝟏)
𝟐𝒙
Segunda derivada de la función 𝑭"(𝒙) =
(𝟐𝒙²𝒆−𝒙
+ 𝟏)
𝟐𝒙 𝟐
Controlador |
𝐹(1.5)∗𝐹"(1.5)
𝐹´(1.5)2 | = 0.2583107885 < 1
PROGRAMA DE GEOGEBRA

13. Mediante el programa GeoGebra determinamos la raíz aproximada.
La raíz aproximada 𝑅∗
= 1.2140656367
PROGRAMA EXCEL
PROGRAMA MAPLE 18

17. EJERCICIO 7:
Utilizando el método de la Bisección para la solución aproximada de
raíces, hallar la solución aproximada para la ecuación
1
2
− 𝑒−𝑥
= 0 en el
intervalo [0.5,1] con una exactitud de 4 dígitos significativos exactos.
SOLUCIÓN
DATOS:
Función que da origen a la ecuación
1
2
− 𝑒−𝑥
= 0
Intervalo para realizar el proceso iterativo [0.5,1]
Número de cifras significativas 𝑛 = 4
Error prefijado 𝐸𝑃 = 0.5 ∗ 102−𝑛
= 0.005
PROGRAMA DE GEOGEBRA
Mediante el programa GeoGebra determinamos la raíz aproximada y el
intervalo [𝐴0, 𝐵0]

18. La raíz aproximada 𝑅∗
= 1.076925048
El intervalo para realizar el proceso iterativo [0.5,1]
PROGRAMA EXCEL

19. La raíz buscada de la ecuación con 4 cifras significativas 𝑟∗
= 0.6931
PROGRAMA MAPLE 18

24. EJERCICIO 11:
La función 𝑭(𝒙) = 𝒍𝒏(𝒙² + 𝟏) − 𝒆
𝒙
𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝝅 𝒙) Tiene una cantidad infinita de
raíces.
a) Se quiere emplear el método de Bisección para encontrar una solución
aproximada de la primera raíz de la ecuación 𝑓(𝑥) = 0 en el intervalo
[0.1,1], para alcanzar una precisión de 7 cifras significativas exactas.
¿Cuántas iteraciones son suficientes realizar?.
SOLUCIÓN
DATOS:
Función que da origen a la ecuación 𝑭(𝒙) = 𝒍𝒏(𝒙² + 𝟏) − 𝒆
𝒙
𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝝅 𝒙)
Intervalo para realizar el proceso iterativo [0.1,1]
Número de cifras significativas 𝑛 = 7
Error prefijado 𝐸𝑃 = 0.5 ∗ 102−𝑛
= 0.000005
PROGRAMA DE GEOGEBRA
Mediante el programa GeoGebra determinamos la raíz aproximada y el
intervalo [𝐴0, 𝐵0]

25. La raíz aproximada 𝑅∗
= 0.4525310704
El intervalo para realizar el proceso iterativo [0.1,1]

26. PROGRAMA EXCEL
La raíz buscada de la ecuación con 7 cifras significativas 𝑟∗
= 0.45253107
PROGRAMA MAPLE 18

32. b) Aproximar mediante el método de Newton-Raphson la raíz de 𝑓(𝑥) =
0 tomando como valor inicial 𝑥0 = 0.6 con una exactitud de 0.5 ∗ 10−3
SOLUCIÓN
DATOS:
Función que da origen a la ecuación 𝑭(𝒙) = 𝒍𝒏(𝒙² + 𝟏) − 𝒆
𝒙
𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝝅 𝒙)
Raíz en la cero iteración 𝒙 𝟎 = 𝟎. 𝟔
Error prefijado 𝐸𝑃 = 0.5 ∗ 10−3
= 0.0005
Derivada de la función 𝐹´(𝑥) = (−ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) + 2𝜋 ℯ^(1 /
2 𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜋 𝑥) − 𝑥² ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) + 2𝜋 𝑥² ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜋 𝑥) +
4𝑥) / (2𝑥² + 2)

33. Segunda derivada de la función 𝐹"(𝑥) = (−8𝑥² − ℯ^(1 /
2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) + 4𝜋 ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜋 𝑥) + 4𝜋² ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) −
2𝑥² ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) − 𝑥⁴ ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) + 8𝜋 𝑥² ℯ^(1 /
2 𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜋 𝑥) + 4𝜋 𝑥⁴ ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜋 𝑥) + 8𝜋² 𝑥² ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) +
4𝜋² 𝑥⁴ ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) + 8) / (4𝑥⁴ + 8𝑥² + 4)
Controlador |
𝐹(0.6)∗𝐹"(0.6)
(𝐹´(0.6)2 | = 0.019665582 < 1
PROGRAMA DE GEOGEBRA
Mediante el programa GeoGebra determinamos la raíz aproximada.
La raíz aproximada 𝑅∗
= 0.4525310704

34. PROGRAMA EXCEL
PROGRAMA MAPLE