Operaciones básicas con números racionales

1. ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
1.2.1. Adición o Suma y Resta o Sustracción en Q.
 Si las fracciones tienen IGUAL DENOMINADOR, se
coloca el denominador común y se suman
algebraicamente los numeradores. Si es posible se
simplifica la fracción obtenida.
Vamos a resolver los siguientes ejemplos:
1 6 17
a. − + =
2 2 2
Solución:
1 6 17 1− 6 + 17
− + = (Se coloca el denominador común, en el numerador
2 2 2 2
todos los valores de las fracciones)
18 − 6
= (Se suman positivos con positivos y negativos con negativos)
2
12
= (Se restan porque tienen diferentes signos)
2
= 6. (Como el numerador es divisible por el denominador
entonces se pudo reducir la fracción)
5 7 9 8
b. + − − =
10 10 10 10
Solución:
Se coloca el denominador común, en el numerador todos los valores de las
fracciones con sus respectivos signos:
5 7 9 8 5+7−9−8
+ − − =
10 10 10 10 10
Se suman positivos con positivos y negativos con negativos
12 −17
=
10
Se restan porque tienen diferentes signos, y se coloca el signo del número mayor
−5
=
10

2. ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Tanto el numerador como el denominador son divisibles por cinco (5), entonces se
puede reducir la fracción; además el signo negativo del numerador se divide por el
signo positivo del denominador, así
− 5/ 5 1
= = − .
+ 10 / 5 2
 Si las fracciones poseen DIFERENTES DENOMINADOR, se reducen las fracciones a
común denominador mediante el uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre
ellos, y posteriormente se suman los numeradores.
Ahora fíjate en los siguientes ejemplos:
3  2 7 1
a. − + −  =
5  3 18 4 
Solución:
Lo primero que se hace es eliminar el paréntesis, recordando la multiplicación del
signo de cada fracción con el signo que está fuera del paréntesis
3  2 7 1 3 2 7 1
a. − + −  = − − +
5  3 18 4  5 3 18 4
Ahora encontramos el m.c.m. de los denominadores, así:
m.c.m.(5, 3, 18, 4) = 180
(Este valor será el denominador común)
Con este valor en el denominador, resolvemos de la siguiente forma: Dividimos 180
entre el denominador de cada fracción y el resultado lo multiplicamos por su
respectivo numerador formando la suma algebraica.
180 180 180 180
× 3 = 108 ; × 2 = 120; × 7 = 70; ×1 = 45
5 3 18 4
3 2 7 1 108 −120 − 70 + 45
= − − + =
5 3 18 4 180
En el numerador se suman positivos con positivos y negativos con negativos,
manteniendo igual el denominador

3. ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
153 − 190
=
180
Finalmente se restan porque tienen diferentes signos, quedando una fracción
irreducible
− 37 37
= = −
+ 180 180
Resumiendo
3  2 7 1 3 2 7 1 108 −120 − 70 + 45 153 − 190 37
a. − + −  = − − + = = =−
5  3 18 4  5 3 18 4 180 180 180
y ahora,
2 4 2 1 3
b. + −  + −  =
3 5 5 7 4
Solución:
De manera análoga lo resolvemos:
2 4 2 1 3 2 4 2 1 3
+ − + −  = + − − + (Se elimina el paréntesis)
3 5 5 7 4 3 5 5 7 4
2 4 2 1 3
= + − − + (Se agrupan para restar porque tiene
3 5 5 7 4
el mismo denominador)
2 2 1 3
= + − + (Se realiza la operación algebraica)
3 5 7 4
m.c.m. (3, 4, 5, 7) = 420 (Se determina el m.c.m. de los denominadores)
Se escribe en el denominador el valor del m.c.m. y el numerador está conformado
por los resultados de dividir 420 entre el denominador y multiplicarlo por el
numerador de cada fracción:
420 420 420 420
x2 = 280; x2 = 168; x1= 60; x3 = 315
3 5 7 4
Entonces:

4. ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
280 + 168 − 60 + 315
= (Se sustituye)
420
763 − 60
= (Se suman los términos de igual signo)
420
703
= (Se resta porque los términos son de diferentes signo
420
resultando una fracción irreducible)
Resumiendo
2 4 2 1 3 2 4 2 1 3 2 4 2 1 3 2 2 1 3
+ − + −  = + − − + = + − − + = + − + .
3 5 5 7 4 3 5 5 7 4 3 5 5 7 4 3 5 7 4
280 + 168 − 60 + 315 763 − 60 703
= = =
420 420 420
1.2.2. Multiplicación o Producto en Q.
a c
Para realizar el producto entre dos números racionales y , solo se debe
b d
a c a. c
multiplicar numeradores y denominadores entre si, es decir: . =
b d b. d
4 7 4 . 7 28
Por ejemplo: . = =
7 5 7 . 5 35
Y si observas un poco, la fracción resultante es reducible, porque tanto 28 como 35
son divisibles por cinco (5), entonces:
28 28 / 7 4
= = =
35 35 / 7 5
Otra forma de operar en el ejemplo, es que si chequeamos en el momento de la
multiplicación en el numerador existe un valor igual a uno ubicado en el
denominador, por lo que se pueden simplificar:
4 7 4.7 4
. = =
7 5 7. 5 5
¿Crees tú que simplificar dos números en una fracción significa que al multiplicar y
dividir por un mismo número resultará la unidad?

5. ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Observa esto:
1.2.3. División o Cociente en Q.
a c a c
Para dividir y , solo se debe multiplicar por la fracción inversa de , es decir
b d b d
d a c a d a. d
, por lo que: ÷ = . = dice que para
c b d b c b. c
a c
Otra forma de visualizar esta operación matemática, se dice que para dividir y ,
b d
se debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la
segunda fracción y este producto irá en el numerador del resultado; y el multiplicar
el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda irá ubicado
en el denominador del resultado. Esto se conoce como producto en cruz. Un
ejemplo de ello es:
4 7 4 7 4. 5 20
÷ = ÷ = =
7 5 7 5 7.7 49

6. ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
1.2.4. Potenciación en Q.
a a
Si es un racional y n un número natural, la potencia de elevado a la n es el
b b
n
a a  a a a a a a
producto n veces de :   = . . . . ... (n veces) .
b b  b b b b b b
Recordemos que lo manejamos en la Guía Didáctica de potenciación en N. Sin
embargo, acá tenemos algunos ejemplos:
3 3
3 33 3 3 3 27  5 (−5)3 (-5) (-5) (-5) − 125 125
a.   = 3 = . . = b.  −  = = . . = =−
2 2 2 2 2 8  3 3 3 3 3 27 27
3
Actividad de Control:
Ya tienes que ejercitar!!!! Efectúa y expresa el resultado como una fracción
irreducible.
3 1 9 3 1 9 1
a. + − = b. + − −  =
5 5 5 7 7 5 2
3 1  10 1  1 9  77 1 
c. − − −  = d.  −  − 7 +  − − =
6 7  5 6 8 3  11 2 
3 1 3 1
e. . . 1= f. ÷ ÷ 1=
6 7 6 7
 3 1 12  1 
g.  −  . . - 36 = h. ÷ − =
 6 3 6  6 
5 4
2  1
i.   = j.  −  =
7  5
5 4  1 9    77 2 
4 −3 l.  −  − 2 ÷  − − =
k.   .  =
3  4   2 3    11 2 
60 60
m. Elisa recorre en bicicleta Km los sábados y km los domingos. ¿Cuántos
9 9
Kilómetros recorre Elisa en 3 sábados y 3 domingos?
16
n. Maribel tiene Kg de azúcar. Si los quiere colocaren 3 recipientes con igual
3
cantidades cada uno. ¿Cuántos Kilogramos debe colocar en cada recipiente?