1.
Anjo de Deus, meu querido amigo, a quem o amor de
Deus me destina aqui; sempre neste dia esteja comigo
para iluminar e guardar, governar e guiar…
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
SOLUCIÓN DEL EXAMEN CON MATLAB
CURSO: METODOS NUMERICOS
ALUMNO:
ROQUE CHARCA, Rosand
DOCENTE:
Lic. Faustino Murillo Mamani

2.
UNA - PUNO 2012
Dedicado al alma mater de mi formación académico -
científico…Universidad Nacional del Altiplano - Puno
1º EXAMEN PARCIAL (TIEMPO: 120min)
1. Obtenga el polinomio de Taylor de tercer grado para alrededor de y use el
polinomio para aproximar . Encuentre el valor exacto y halle el error absoluto y relativo.
SOLUCIÓN: Puesto que podemos aplicar el teorema de Taylor de grado 3, además:
donde:
Para y tenemos:
donde:
( )
( )
donde: entonces cuando x= podemos evaluar con Taylor:
Hallamos una cota para el error: | | |
| el cual es un valor aceptable, ahora hallamos
error relativo | | para hacer comparaciones estos resultados
evaluamos y hallamos las posibles raíces con un programa desarrollado en matlab utilizando un algoritmo
para esta aproximación:
1º GRAFICAMOS
Rosand Roque Charca – V Semestre
1

3.
UNA - PUNO 2012
GRAFICO Nº 1 EN MATLAB
120
100
De este grafico nos damos cuenta que existe una
80 posible raíz en el punto o a partir del punto
 f (x )  (1  x )2
60 puesto que 〈 〉 además se ve que en el punto
no existe raíz pues es una asíntota vertical;
40
luego utilizamos un algoritmo de un programa
EJE Y
desarrollado en matlab que para este caso
20
0 utilizaremos newton raphson.
-20
P (x )  1  2x  3x 2  4x 3  Rn (x ) 
-40
-60
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
EJE X
Como estamos viendo en el programa en 3
iteraciones ya hacemos una posible
aproximación de la raíz que sería de
2.54376, aunque el problema no nos pide la
raíz ya entendemos cómo funciona el
polinomio de aproximación de Taylor.
2. Sea F(x)= ∫ . Usando el polinomio de Taylor de tercer grado para ,
expandido alrededor de , Aproxime F(0.1)
SOLUCIÓN: Puesto que aplicamos el teorema de Taylor de grado 3 para calcular la
aproximación, además:
Rosand Roque Charca – V Semestre
2

4.
UNA - PUNO 2012
Donde:
Para y tenemos:
donde:
( )
( )
Dónde: entonces cuando x= podemos aproximar la integral con el polinomio de
Taylor:
∫ ∫ ∫
∫
Por tanto: ̂ Una cota para el error en esta aproximación se determina con la integral del
residuo de Taylor y el hecho de que
∫ ( )
El error de esta aproximación se halla dentro de la cota, siendo el valor verdadero de esta integral:
3. Use el algoritmo de bisección para encontrar soluciones de:
a) para
b) para
c) para
SOLUCIÓN: Analizamos cada ejercicio primero gráficamente luego utilizaremos el algoritmo de bisección
con nuestro programa.
a) Sea la ecuación donde obtenemos la función asociada despejando tenemos:
Luego: , de la grafica Nº 2 podemos claramente que es continua en
GRAFICA Nº 2 EN MATLAB
70
60
50
40
 f 2(x )  2 x
EJE Y
30
20
10
0
 f 1(x )  x
-10
-6 -4 -2 0 2 4 6
EJE X
Sabiendo que nuestra raíz se halla entre , nuestro programa desarrollado en matlab arroja el
resultado de , visto de dos formas en matlab:
Rosand Roque Charca – V Semestre
3

5.
UNA - PUNO 2012
b) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 3” podemos ver
claramente que es continua en dos intervalos pero nos piden la raíz aproximada en el intervalo
GRAFICO Nº 3 EN MATLAB
200
180
160
140
f (x )  e x  2 x  2cos x  6 
120 Entonces para hallar la raíz que se halla entre ,
100
nuestro programa desarrollado en matlab muestra el
80
resultado de , visto de las dos formas en
60
matlab:
40
20
0
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
Rosand Roque Charca – V Semestre
4

6.
UNA - PUNO 2012
c) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 4” podemos ver
claramente que es continua en el intervalo
GRAFICO Nº 4 EN MATLAB
200
150
Entonces para hallar la raíz por el método de
f (x )  e x  x 2  3x  2  bisección entre , nuestro programa desarrollado
100
en matlab muestra el resultado de ,
50 visto de las dos formas en matlab:
0
-50
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
4. Use el método de Newton para aproximar las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
SOLUCIÓN: Analizamos cada ejercicio observando su gráfico para que de manera inmediata hallemos el
punto de inicio o valor inicial utilizando para ello el algoritmo de Newton Raphson de nuestro programa.
a) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 5”
podemos ver claramente que es continua en el intervalo de donde nuestro valor inicial más
próximo a la raíz sería: ”
Rosand Roque Charca – V Semestre
5

7.
UNA - PUNO 2012
GRAFICO Nº 5 EN MATLAB
50
0
Entonces para hallar la raíz por el método de
-50 Newton raphson con un , nuestro
f (x )  x 2  e x  3x  2  programa desarrollado en matlab muestra el
-100
resultado de , lo cual es un valor
aceptable, seguidamente se muestra las dos formas
-150
en matlab,
-200
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
b) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 6” podemos ver claramente
que es continua en varios intervalos, primero en , segundo intervalo , etc., entonces solo
vamos a mostrar el comportamiento en el primer intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicial
más próximo a la raíz de: ”
GRAFICO Nº 6 MATLAB
100
50
Entonces para hallar la raíz por el método de
0 Newton raphson con un , nuestro
programa desarrollado en matlab muestra el
f (x )  3x 2  e x  resultado de , lo cual es un valor
-50
aceptable, seguidamente se muestra las dos formas
-100
en matlab,
-150
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
Rosand Roque Charca – V Semestre
6

8.
UNA - PUNO 2012
c) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 7” podemos ver
claramente que es continua en dos intervalos, primero en , segundo intervalo ,
entonces solo vamos a mostrar el comportamiento en el segundo intervalo por cuestiones de tiempo, dando
un valor inicial más próximo a la raíz de: ”
GRAFICO Nº 7 EN MATLAB
200
180
160 Entonces para hallar la raíz por el método de Newton
140 raphson con un , nuestro programa
120 desarrollado en matlab muestra el resultado de
f (x )  e x  2 x  2cos x  6 
100 , lo cual es un valor aceptable,
80 seguidamente se muestra las dos formas en matlab,
60
40
20
0
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
Rosand Roque Charca – V Semestre
7

9.
UNA - PUNO 2012
d) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 8” podemos ver claramente
que es continua en varios intervalos, de los cuales trabajamos en el intervalo , entonces solo
vamos a mostrar el comportamiento en este intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicial más
próximo a la raíz de: ”
GRAFICO Nº 8 EN MATLAB
50
40
Entonces para hallar la raíz por el método de Newton
30 raphson con un , nuestro programa
f (x )  x 2  10cos x  desarrollado en matlab muestra el resultado de
20
, lo cual es un valor aceptable,
seguidamente se muestra las dos formas en matlab,
10
0
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
5. La función tiene un cero en . Use el método de Newton con las siguientes
aproximaciones lineales y explique los resultados gráficamente:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
SOLUCIÓN: La ecuación tiene una asíntota vertical en donde la función no es continua en
este punto, entonces ahora vamos analizar la función en los respectivos puntos, el grafico general de la
función se muestra en el gráfico Nº 9 donde podemos apreciar los posibles intervalos de continuidad
Rosand Roque Charca – V Semestre
8

10.
UNA - PUNO 2012
GRAFICO Nº 9 EN MATLAB
5.5
5
4x  7 Entonces vamos evaluar todos los puntos usando el
4.5
f (x )   método de Newton raphson, nuestro programa
x 2
4  desarrollado en matlab muestra los siguientes
resultados en matlab
3.5
3
2.5
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
1. Para la primera aproximación de 1.625 que la raíz
calculada por newton Raphson muestra un valor de
1.750000000 con un error de 0.000002 lo cual es
bastante aproximado a la raíz real y es un valor
aceptado.
2. Para la segunda aproximación de 1.875 la raíz
calculada por newton Raphson muestra un valor de
1.750000000 con un error de 0.000002, que es igual
al anterior punto, esto ocurre debido a que newton
Raphson trabaja en función a intervalos y por ejemplo
un intervalo es
3. Para la tercera aproximación de 1. 5 la raíz
calculada por newton Raphson muestra un valor no
admitido o no existe respuesta, esto ocurre debido a
que newton Raphson trabaja en función a intervalos y
por ejemplo la asíntota vertical genera un vecindad
donde no es posibles calcular raíces.
4. Para la cuarta aproximación de 1. 95 la raíz
calculada por newton Raphson muestra un valor de
1.750000000 con un error de 0.000113 lo cual se va
alejando de la raíz real y aun así sigue mostrando un
valor aceptado.
Rosand Roque Charca – V Semestre
9

11.
UNA - PUNO 2012
5. Para la quinta aproximación de 3 la raíz calculada
por newton Raphson muestra un valor de infinito con
un error muy grande de 0.998382 lo que significa que
la raíz real está muy lejos del intervalo de
continuidad.
6. Para la sexta aproximación de 7 la raíz calculada
por newton Raphson muestra un valor de infinito como
en el caso anterior, con un error muy grande de
0.997697 lo que significa que la raíz real está muy
lejos del intervalo de continuidad.
6. El valor acumulado en una cuenta de ahorros basada en pagos periódicos regulares puede
determinarse de la ecuación de vencimiento anual, , en esta ecuación A es la
cantidad en la cuenta, P es la cantidad depositada regularmente, e, i, es la tasa de interés por
periodo para los n periodos de depósito.
A un ingeniero le gustaría tener una cantidad de $75,000 en una cuenta de ahorros cuando se retire
en 20 años y puede, para este fin, depositar $150 al mes. Cuál es la tasa de interés mínima a la
cual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el interés se compone cada trimestre. Cuál
es la tasa de interés mínima si el interés es compuesto diariamente
SOLUCIÓN: Se sabe que el interés que genera un capital prestado se acumula al capital, al final cada
intervalo de tiempo especificado. Entonces tenemos para>
a) La tasa de interés mínima a la cual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el interés se
compone de cada trimestre.
en 20 años si deposita $150 al mes tendría $36000
Entonces evaluando en la ecuación de vencimiento anual que:
b) La tasa de interés mínima a la cual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el interés se
compone diariamente.
en 20 años si deposita $150 al mes tendría $36000
Entonces evaluando en la ecuación de vencimiento anual tenemos que:
Rosand Roque Charca – V Semestre
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