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Diapositivas limites

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
MUNICIPALIZACIÓN TOCÓPERO
PROGRAMA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
MENCIÓN INFORMÁTICA
ELECTIVA II
Autora:
Yarí, Rosa.
Tocópero; Junio de 2013
LÍMITES
LÍMITES
En matemática, el límite es un concepto que describe
la tendencia de una sucesión o una función, a medida que
los parámetros de esa sucesión o función se acercan a
determinado valor.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma
abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se
representa mediante la flecha (→) como en an → a.
En cálculo (especialmente en análisis real y
matemático) este concepto se utiliza para definir los
conceptos fundamentales de
convergencia, continuidad, derivación.
LÍMITES
La definición de límite matemático para el caso de una
sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la
sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o
punto , si existe, para valores grandes de . Esta definición es
muy parecida a la definición del límite de una función cuando
tiende a .
Formalmente, se dice que la sucesión tiende hasta su límite , o
que converge o es convergente (a ), y se denota como:
IGUALDADES SIMBÓLICAS
0.K = 0
K/∞ = 0
∞.k = ∞
0/K = 0
∞/K = 0
K/0 = ∞
∞+-k = ∞
FORMAS INDETERMINADAS
0/0
∞.0
∞/∞
∞-∞
0/∞
∞/0
Entre otras.
LÍMITES
TEOREMAS
Límite de una función constante: el límite es la misma constante.
Se denota:
Lim f(x) k = lim k = k
Límite de una variable: el límite es el valor al cual tiende a esa
variable. Se denota:
Lim f(x) x = lim x = a
x a x a
x a x a
Límite de una suma algebraica de dos o más funciones: el límite es
igual a cada una de las funciones. Se denota:
Lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x)
x a x a x a
LÍMITES DE LAS FORMAS INDETERMINADAS
Caso 3: Límite de la forma ∞-∞: los límites de este caso se
resuelven haciendo operaciones básicas y simplificando o
multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada.
Caso 1: Límite de la forma 0/0: en estos casos donde al
sustituir la variable por su valor resulta la indeterminación
0/0, la podemos eliminar factorizando el numerador y el
denominador para posteriormente simplificar
.Caso 2: Límite de la forma ∞/∞: tenemos que
encontrar la mayor potencia de la variable, luego se
divide el numerador y denominador entre esa potencia
y por último se simplifica.
Calcular el límite por sustitución de las siguientes variables.
EJERCICIOS
•lim 3x + 6 = 3 (2) + 6 = 6 + 6 = 12
x 2
• lim x + 2 = (1) + 2 = 1 + 2 = 3
x 1 3 + 1 4 4 4
EJERCICIOS
2
Calcular los siguientes límites de formas indeterminadas.
•lim 4x – 2x = 4 (0) – 2 (0) = 0 – 0 = 0 Indeterminación
x 0 x 0 0 0
Sacamos factor común
lim x 4x – 2 = lim 4x – 2 = 4 (0) – 2 = -2
Xx 0
x x 0
x 0
EJERCICIOS
•lim 3x – 2x = 3(∞) – 2 (∞) = ∞ – ∞ = ∞ Indeterminación
x ∞ x + 1 ∞ + 1 ∞ ∞
4
lim 3x – 2x
4
4
x ∞
x+1
X
x
= lim 3x – 2x4
4
x ∞
x+1
X
x
4
4
x
4
X
x ∞
x+1
X
x
3
3
x
4
X
= lim 3x – 2x
x ∞
1 +1
∞
∞
3
3
∞
4
∞
lim 3∞– 2∞
= 3 – 0 = 3 = ∞
0 – 0 0
•lim √1+x - √x = √1+∞ - √∞ = √∞ - √∞ = ∞ – ∞ Indeterminación
x ∞
2
lim √1+x - √x . √1+x + √x = (√1+x) - √x
x ∞ √1+x - √x √1+x + √x
lim 1+x - x . = ___1____ =___1____ = _1_ = 1 = 0
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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” MUNICIPALIZACIÓN TOCÓPERO PROGRAMA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA MENCIÓN INFORMÁTICA ELECTIVA II Autora: Yarí, Rosa. Tocópero; Junio de 2013 LÍMITES
  • 2. LÍMITES En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación.
  • 3. LÍMITES La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando tiende a . Formalmente, se dice que la sucesión tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a ), y se denota como:
  • 4. IGUALDADES SIMBÓLICAS 0.K = 0 K/∞ = 0 ∞.k = ∞ 0/K = 0 ∞/K = 0 K/0 = ∞ ∞+-k = ∞ FORMAS INDETERMINADAS 0/0 ∞.0 ∞/∞ ∞-∞ 0/∞ ∞/0 Entre otras. LÍMITES
  • 5. TEOREMAS Límite de una función constante: el límite es la misma constante. Se denota: Lim f(x) k = lim k = k Límite de una variable: el límite es el valor al cual tiende a esa variable. Se denota: Lim f(x) x = lim x = a x a x a x a x a Límite de una suma algebraica de dos o más funciones: el límite es igual a cada una de las funciones. Se denota: Lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) x a x a x a
  • 6. LÍMITES DE LAS FORMAS INDETERMINADAS Caso 3: Límite de la forma ∞-∞: los límites de este caso se resuelven haciendo operaciones básicas y simplificando o multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada. Caso 1: Límite de la forma 0/0: en estos casos donde al sustituir la variable por su valor resulta la indeterminación 0/0, la podemos eliminar factorizando el numerador y el denominador para posteriormente simplificar .Caso 2: Límite de la forma ∞/∞: tenemos que encontrar la mayor potencia de la variable, luego se divide el numerador y denominador entre esa potencia y por último se simplifica.
  • 7. Calcular el límite por sustitución de las siguientes variables. EJERCICIOS •lim 3x + 6 = 3 (2) + 6 = 6 + 6 = 12 x 2 • lim x + 2 = (1) + 2 = 1 + 2 = 3 x 1 3 + 1 4 4 4
  • 8. EJERCICIOS 2 Calcular los siguientes límites de formas indeterminadas. •lim 4x – 2x = 4 (0) – 2 (0) = 0 – 0 = 0 Indeterminación x 0 x 0 0 0 Sacamos factor común lim x 4x – 2 = lim 4x – 2 = 4 (0) – 2 = -2 Xx 0 x x 0 x 0
  • 9. EJERCICIOS •lim 3x – 2x = 3(∞) – 2 (∞) = ∞ – ∞ = ∞ Indeterminación x ∞ x + 1 ∞ + 1 ∞ ∞ 4 lim 3x – 2x 4 4 x ∞ x+1 X x = lim 3x – 2x4 4 x ∞ x+1 X x 4 4 x 4 X x ∞ x+1 X x 3 3 x 4 X = lim 3x – 2x x ∞ 1 +1 ∞ ∞ 3 3 ∞ 4 ∞ lim 3∞– 2∞ = 3 – 0 = 3 = ∞ 0 – 0 0
  • 10. •lim √1+x - √x = √1+∞ - √∞ = √∞ - √∞ = ∞ – ∞ Indeterminación x ∞ 2 lim √1+x - √x . √1+x + √x = (√1+x) - √x x ∞ √1+x - √x √1+x + √x lim 1+x - x . = ___1____ =___1____ = _1_ = 1 = 0 x ∞ √1+x + √x √1+x + √x √1+∞- √∞ ∞-∞ ∞ EJERCICIOS