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Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría Tema 1 1
Trigonometría
ITMNIII2T1
TEMA: 1
Razones Trigonometricas de Ángulos Agudos
DESARROLLO DEL TEMA
1.	 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Las razones trigonométricas son números que
resultan de dividir dos lados de un triángulo
rectángulo.
A.	 Triangulo rectángulo
	
Hipotenusa
Cateto
C
A
T
E
T
O
	 Teorema de Pitágoras
“La suma de cuadrados de los catetos es igual
al cuadrado de la hipotenusa”.
a2
+ b2
= c2
b
a
C
B
C
A
	 Teorema
“Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios”.
A + B = 90º
II.	
DEFINICION DE LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS PARA UN
ANGULOAGUDO
Dado el triángulo ABC, recto en “B”, según la
figura, se establecen las sgts definiciones para el
ángulo agudo “α”:
	
b
a
C
B
C
A
β
α
	 Sena =
Cat. op.
Hip.
=
c
b
= Cosb
	 Ctga =
Cat. op.
Cat. ady.
=
c
b
= Tgb
	 Seca =
Hip.
Cat. ady.
=
b
a
= Cscb
	 Csca =
Hip.
Cat. op.
=
b
c
= Secb
III.	
PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS
A.	 Razones Trigonométricas Recíprocas
“Al comparar las seis razones trigonométricas
de un mismo ángulo agudo, notamos que tres
partes de ellas al multiplicarse nos producen
la unidad”.
Las parejas de las R.T. recíprocas son
entonces:
Senα • Cscα = 1
Cosα • Secα = 1
Tgα • Ctgα = 1
Ejemplos:
Indicar la verdad de las siguientes
proposiciones.
I.	 Sen20º.Csc10º =1	 ( )
II.	 Tg35º.Ctg50º =1	 ( )
III.	Cos40º.Sec40º=1	 ( )
B.	Razones Trigonométricas de Angulos
Complementarios
“Al comparar las seis R.T. de ángulos agudos,
notamos que tres pares de ellas producen el
mismo número, siempre que su ángulo sean
complementarios”.
2
Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 1
Razones Trigonometricas de Ángulos Agudos
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1	
En un triángulo rectángulo ABC (recto
en C), se sabe que la suma de catetos
es igual “k” veces la hipotenusa.
Calcular la suma de los senos de los
ángulos agudos del triángulo.
Resolución:
Nótese que en el enunciado del
problema tenemos: a + b = k.c
a
B
C
b
c
α
β
Nos piden calcular
Sena + Senb =
a
c
+
b
c
=
a + b
c
Luego:
k.c
Sen Sen k
c
α β
+ = =
Los tres lados de un triángulo
rectángulo se hallan en progresión
aritmética, hallar la tangente del mayor
ángulo agudo de dicho triángulo.
Resolución:
Nótese que dado el enunciado,
los lados del triángulo están en
	
Nota:
“Una razón trigonométrica de un ángulo al
co-razón del ángulo complementario”.
RAZON		 →	 CO-RAZON
Seno		 →	Coseno
Tangente	 →	Cotangente
Secante		 →	Cosecante
Dado:	x + y = 90º, entonces se verifica
	Senx = Cosy
	Tgx = Ctgy	
	Secx = Cscy
Así por ejemplo:
•	 Sen20º = Cos70º (20º + 70º = 90º)
•	 Tg50º = Ctg40º (50º + 40º = 90º)
•	 Sec80º = Csc10º (80º + 10º = 90º)
	
IV.	RAZONES TRIGONOMETRICAS DE
ANGULOS AGUDOS NOTABLES
A.	 Triángulos rectángulos notables exactos
1. 30º y 60º
1k
60°
30°
2k
k 3
2. 45º y 45º
45°
k
k
45°
k 2
B.	
Triángulos Rectángulos Notables
Aproximados
1. 37º y 53º
3k
4k
53°
37°
5k
2. 16º y 74º
7k
24k
74°
16°
25k
Tabla de las r.t. de angulos
notables
Senα
Cosα
Tgα
Ctgα
Secα
Cscα
1/2
1/2
1
1
2
2
3/2
3/2
3
3/3
2/2
2/2
2
2
3
3/3
30°
RT
α
60° 45° 37°
3/5 4/5
3/5
3/4
5/3
5/4
4/3
4/5
5/4
5/3
4/3
3/4
24/25
25/7
25/24
24/7
7/24
7/25
7/25 24/25
24/7
7/24
25/7
25/24
53° 16° 74°
2 3/3
2 3/3
3
Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 1
Razones Trigonometricas de Ángulos Agudos
progresión aritmética, de razón “r”
asumamos entonces:
Cateto Menor = x – r
Cateto Mayor = x
Hipotenusa = x + r
Teorema de Pitágoras
x
α
x + r
x – r
(x – r)2
+ x2
= (x + r)2
x2
– 2xr + r2
+ x2
= x2
+ 2xr + r2
x2
– 2xr = 2xr
x2
= 4xr
x = 4r
Importante
“A mayor cateto, se opone
mayor ángulo agudo”. Luego,
reemplazando en la figura
tenemos:
5r
α
4r
3r
Nos piden calcular
4r 4
Tg
3r 3
= =
Se sabe que “x” e “y” son ángulos
complementarios, además:
Senx = 2t + 3
Cosy = 3t + 4,1	
Hallar Tgx
Resolución:
Dado: x+y = 90º → Senx = Cosy
Reemplazando
2t + 3 = 3t + 4,1
	 –1,1 = t
Conocido “t” calcularemos:
Senx =2(–1,1)+3
Senx =0,8
Senx = ..... (I)
Nota:
Conocida una razón
trigonométrica, luego hallaremos
las restantes; graficando la
condición (I) en un triángulo,
tenemos:
4
5
3
x
4r 4
Tg
3r 3
= =
EJERCICIOS DE CLASE
NIVEL I
1.	 Calcular el valor de Secx, sabiendo que:
	 Tgx = 2Tg45° – Cos2
45°
A)	
13
3
	B)	
13
2
	C)	
13
D)	
3
13
2
	E)	
3
13
4
2.	 Sabiendo que "θ" es agudo y:	 3Senθ =1.
Hallar: M = Cscθ(Cosθ + Ctgθ)
A)	2 2 	 B)	1/3	 C)	3 2 /8
D)	 8 2 	E)	
9
2
8
3.	 Si: x es agudo y Tgx = 	
3
5
.
	Calcular:
M =
Senx + Cosx
Senx – Cosx
A)	1/2	 B)	2	 C)	4	
D)	1/4	 E)	 3
NIVEL II
	
4.	 Hallar x:
	 Cos Sec = 1
J
K
L
N
O
P
10x + 7°
3
J
K
L
N
O
P
7x + 4°
2
A)	2°	 B)	4°	 C)	6°	
D)	 8°	 E)	 10°
	
5.	Evaluar:
	 M = (7Sen22° – 3Cos 68°)2Csc22°
A)	 2	 B)	 4		 C)	 6
D)	 8	 E)	 10
6.	 Si:
Sen = Cos
J
K
L
N
O
P
10 +
x
3
J
K
L
N
O
P
+ 40
x
2 	
Hallar: "x"
A)	 22°	 B)	 28°	 C)	 36°
D)	 42°	 E)	 48°	
7.	 Hallar "x": Tgα = 0,5, Ctgφ = 3	
	
α
φ
x 10
A)	1	 B)	2	 C)	3
D)	4	 E)	 5
4
Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 1
Razones Trigonometricas de Ángulos Agudos
8.	 Hallar Sen "θ"	
A)	 5/13
5(x + 1)
2x – 1
θ
	
B)	12/13	
C)	7/25
D)	24/25	
E)	3/10
9.	 En un triángulo ABC (recto en B) donde se cumple
TgA = 3SecC calcular: E = Sec2
A – 3CscC	
A)	1/4	 B)	1/2	 C)	1
D)	2	 E)	 4	
10.	 Hallar Ctg θ; AB = BC		
A)	 3 B
120°
A θ C
	
B)	2 3 	
C)	3 3
D)	4 3 	
E)	5 3
11.	 De la figura hallar "x"	
A)	 6
x
30°
60°
2 3
	
B)	 8	
C)	10
D)	12	
E)	14
12.	 Hallar "x"	
A)	2 3
x
15°
30°
6
B)	3 2 	
C)	 6
D)	6	
E)	9
13.	 De la figura, hallar "Tgθ"	
A)	0,1
A
53° 45° θ
M
C
B
B)	0,2	
C)	0,3
D)	0.4	
E)	0,5
NIVEL III
14.	Hallar:
x + y
x – y
	
2a
a
y
30°
53°
x°
A)	2	 B)	 2 	 C)	3
D)	 3 	 E)	4
15.	 Hallar Ctgθ.
	
a
q
A)	Tgα + 1	
B)	Tgα – 1	
C)	 Ctgα – 1
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E)	2Tgα – 1

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Trigonometria 1 razones trigonométricas de ángulos agudos

  • 1. 1 Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría Tema 1 1 Trigonometría ITMNIII2T1 TEMA: 1 Razones Trigonometricas de Ángulos Agudos DESARROLLO DEL TEMA 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Las razones trigonométricas son números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo. A. Triangulo rectángulo Hipotenusa Cateto C A T E T O Teorema de Pitágoras “La suma de cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. a2 + b2 = c2 b a C B C A Teorema “Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios”. A + B = 90º II. DEFINICION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA UN ANGULOAGUDO Dado el triángulo ABC, recto en “B”, según la figura, se establecen las sgts definiciones para el ángulo agudo “α”: b a C B C A β α Sena = Cat. op. Hip. = c b = Cosb Ctga = Cat. op. Cat. ady. = c b = Tgb Seca = Hip. Cat. ady. = b a = Cscb Csca = Hip. Cat. op. = b c = Secb III. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS A. Razones Trigonométricas Recíprocas “Al comparar las seis razones trigonométricas de un mismo ángulo agudo, notamos que tres partes de ellas al multiplicarse nos producen la unidad”. Las parejas de las R.T. recíprocas son entonces: Senα • Cscα = 1 Cosα • Secα = 1 Tgα • Ctgα = 1 Ejemplos: Indicar la verdad de las siguientes proposiciones. I. Sen20º.Csc10º =1 ( ) II. Tg35º.Ctg50º =1 ( ) III. Cos40º.Sec40º=1 ( ) B. Razones Trigonométricas de Angulos Complementarios “Al comparar las seis R.T. de ángulos agudos, notamos que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulo sean complementarios”.
  • 2. 2 Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria Tema 1 Razones Trigonometricas de Ángulos Agudos PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), se sabe que la suma de catetos es igual “k” veces la hipotenusa. Calcular la suma de los senos de los ángulos agudos del triángulo. Resolución: Nótese que en el enunciado del problema tenemos: a + b = k.c a B C b c α β Nos piden calcular Sena + Senb = a c + b c = a + b c Luego: k.c Sen Sen k c α β + = = Los tres lados de un triángulo rectángulo se hallan en progresión aritmética, hallar la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. Resolución: Nótese que dado el enunciado, los lados del triángulo están en Nota: “Una razón trigonométrica de un ángulo al co-razón del ángulo complementario”. RAZON → CO-RAZON Seno → Coseno Tangente → Cotangente Secante → Cosecante Dado: x + y = 90º, entonces se verifica Senx = Cosy Tgx = Ctgy Secx = Cscy Así por ejemplo: • Sen20º = Cos70º (20º + 70º = 90º) • Tg50º = Ctg40º (50º + 40º = 90º) • Sec80º = Csc10º (80º + 10º = 90º) IV. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS NOTABLES A. Triángulos rectángulos notables exactos 1. 30º y 60º 1k 60° 30° 2k k 3 2. 45º y 45º 45° k k 45° k 2 B. Triángulos Rectángulos Notables Aproximados 1. 37º y 53º 3k 4k 53° 37° 5k 2. 16º y 74º 7k 24k 74° 16° 25k Tabla de las r.t. de angulos notables Senα Cosα Tgα Ctgα Secα Cscα 1/2 1/2 1 1 2 2 3/2 3/2 3 3/3 2/2 2/2 2 2 3 3/3 30° RT α 60° 45° 37° 3/5 4/5 3/5 3/4 5/3 5/4 4/3 4/5 5/4 5/3 4/3 3/4 24/25 25/7 25/24 24/7 7/24 7/25 7/25 24/25 24/7 7/24 25/7 25/24 53° 16° 74° 2 3/3 2 3/3
  • 3. 3 Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria Tema 1 Razones Trigonometricas de Ángulos Agudos progresión aritmética, de razón “r” asumamos entonces: Cateto Menor = x – r Cateto Mayor = x Hipotenusa = x + r Teorema de Pitágoras x α x + r x – r (x – r)2 + x2 = (x + r)2 x2 – 2xr + r2 + x2 = x2 + 2xr + r2 x2 – 2xr = 2xr x2 = 4xr x = 4r Importante “A mayor cateto, se opone mayor ángulo agudo”. Luego, reemplazando en la figura tenemos: 5r α 4r 3r Nos piden calcular 4r 4 Tg 3r 3 = = Se sabe que “x” e “y” son ángulos complementarios, además: Senx = 2t + 3 Cosy = 3t + 4,1 Hallar Tgx Resolución: Dado: x+y = 90º → Senx = Cosy Reemplazando 2t + 3 = 3t + 4,1 –1,1 = t Conocido “t” calcularemos: Senx =2(–1,1)+3 Senx =0,8 Senx = ..... (I) Nota: Conocida una razón trigonométrica, luego hallaremos las restantes; graficando la condición (I) en un triángulo, tenemos: 4 5 3 x 4r 4 Tg 3r 3 = = EJERCICIOS DE CLASE NIVEL I 1. Calcular el valor de Secx, sabiendo que: Tgx = 2Tg45° – Cos2 45° A) 13 3 B) 13 2 C) 13 D) 3 13 2 E) 3 13 4 2. Sabiendo que "θ" es agudo y: 3Senθ =1. Hallar: M = Cscθ(Cosθ + Ctgθ) A) 2 2 B) 1/3 C) 3 2 /8 D) 8 2 E) 9 2 8 3. Si: x es agudo y Tgx = 3 5 . Calcular: M = Senx + Cosx Senx – Cosx A) 1/2 B) 2 C) 4 D) 1/4 E) 3 NIVEL II 4. Hallar x: Cos Sec = 1 J K L N O P 10x + 7° 3 J K L N O P 7x + 4° 2 A) 2° B) 4° C) 6° D) 8° E) 10° 5. Evaluar: M = (7Sen22° – 3Cos 68°)2Csc22° A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 6. Si: Sen = Cos J K L N O P 10 + x 3 J K L N O P + 40 x 2 Hallar: "x" A) 22° B) 28° C) 36° D) 42° E) 48° 7. Hallar "x": Tgα = 0,5, Ctgφ = 3 α φ x 10 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
  • 4. 4 Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria Tema 1 Razones Trigonometricas de Ángulos Agudos 8. Hallar Sen "θ" A) 5/13 5(x + 1) 2x – 1 θ B) 12/13 C) 7/25 D) 24/25 E) 3/10 9. En un triángulo ABC (recto en B) donde se cumple TgA = 3SecC calcular: E = Sec2 A – 3CscC A) 1/4 B) 1/2 C) 1 D) 2 E) 4 10. Hallar Ctg θ; AB = BC A) 3 B 120° A θ C B) 2 3 C) 3 3 D) 4 3 E) 5 3 11. De la figura hallar "x" A) 6 x 30° 60° 2 3 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 12. Hallar "x" A) 2 3 x 15° 30° 6 B) 3 2 C) 6 D) 6 E) 9 13. De la figura, hallar "Tgθ" A) 0,1 A 53° 45° θ M C B B) 0,2 C) 0,3 D) 0.4 E) 0,5 NIVEL III 14. Hallar: x + y x – y 2a a y 30° 53° x° A) 2 B) 2 C) 3 D) 3 E) 4 15. Hallar Ctgθ. a q A) Tgα + 1 B) Tgα – 1 C) Ctgα – 1 D) Ctgα + 1 E) 2Tgα – 1