SlideShare una empresa de Scribd logo

Mate 11 u5

es un documento

1 de 48
Descargar para leer sin conexión
55 
MATEMÁTICA 
Unidad 5 
UTILICEMOS LA 
TRIGONOMETRÍA 
Objetivos de la Unidad: 
Propondrás soluciones aplicando las funciones, identidades y 
ecuaciones trigonométricas, haciendo uso de gráficos para representar 
y explicar el comportamiento de fenómenos escolares y sociales.
Funciones trigonométricas 
a partir del utilizando 
utilizando sus 
Características 
son determinando 
Amplitud Desfase 
Descripción del proyecto 
Círculo trigonométrico 
Mediante funciones trigonométricas se determina la altura de la marea sobre su 
nivel medio. 
Ángulos de 
referencia 
Signos de las 
variables 
Ángulos 
cuadrantales 
Números reales 
Gráficos 
Dominio Rango 
Período
Quinta Unidad Lección 1 
El círculo trigonométrico y funciones de 
ángulos Cuadrantales 
Ángulo positivo: rotación en sentido contrario al 
movimiento de las agujas del reloj. 
Deducirás y calcularás con interés las funciones trigonométricas de 
ángulos cuadrantales. 
Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido del 
movimiento de las agujas del reloj. 
Segundo Año - Matemática 57 
Motivación 
Pedro y Juan trotan sobre una pista circular. 
Agarrados de una cuerda que los une al centro de la 
pista. 
Pedro recorre círculo y cuarto, Juan recorre un 
cuarto de círculo. 
¿Puedes decir cuál es en grados el ángulo generado 
por la cuerda de Pedro? 
¿Cuál es en radianes el ángulo generado por la cuerda 
de Juan? 
Indicadores de logro 
Construirás con interés y precisión el círculo unitario. 
Determinarás y explicarás, con seguridad, las funciones trigonométricas 
en el círculo trigonométrico a partir del punto (x, y). 
Signo de los ángulos 
Ángulo positivo: rotación en sentido contrario al 
movimiento de las agujas del reloj. 
Lado inicial 
Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido del 
movimiento de las agujas del reloj. 
En trigonometría, los ángulos pueden ser positivos o negativos. El lado desde el cual 
comienza a medirse un ángulo se llama lado inicial y el lado donde finaliza la medición se 
llama lado terminal del ángulo. 
Si la rotación del lado inicial Lado inicial 
al lado terminal se efectúa en sentido contrario de las agujas del 
reloj, el ángulo es positivo. 
El ángulo es negativo en caso contrario, o sea, cuando la rotación se efectúa en el sentido de 
las agujas del reloj. 
Lado terminal 
Lado terminal 
Lado inicial 
Lado inicial 
Lado terminal 
Lado terminal 
B 
A
UNIDAD 5 
Ángulo de referencia 
Ejemplo 1 
Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia 
de: a) 75º b) 120º c) 210º d) 315º 
Solución 
b) 
58 Matemática - Segundo Año 
d) 
c) 
Ubicación de θ en 
los cuadrantes 
y 
x 
1 =360 −315 
=45 
Ángulo de referencia 
θ’ es igual a 
I θ 
II 1800 – θ 
III θ – 1800 
IV 3600 – θ 
El ángulo de referencia de θ denotado por, θ’ es el menor 
ángulo cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x. 
a) 
El ángulo θ se mide desde la parte positiva del eje x, 
hasta el lado terminal de θ. El ángulo de referencia 
θ’ siempre se define con respecto al eje x, nunca con 
respecto al eje y. 
Ángulos coterminales o equivalentes 
Retomando la pregunta planteada al inicio de la lección: 
¿Puedes decir cuál es el ángulo descrito por la cuerda 
de Pedro? 
Tienes que en ese instante, Pedro ha descrito un ángulo 
de 360° + 90° = 450°. Juan un ángulo de 90°. Observa 
que ambos están en el punto B. Los ángulos 90° y 450° 
son ejemplos de ángulos llamados coterminales. 
En general si θ está 
en el cuadrante I, 
θ = θ’ 
En general si θ está 
en el cuadrante II, 
θ’ = 180º – θ 
Si θ está en el 
cuadrante III, 
θ’ = θ – 180º 
Si θ está en el 
cuadrante IV, 
θ’ = 360º – θ 
y 
x 
 
1 
y 
x 
 = 75 
y 
x 
 =120 
1 =180 −120 
=60 
En general, tienes que si dos ángulos poseen el 
mismo lado inicial y el mismo lado terminal, se 
llaman coterminales. 
Para determinar los ángulos coterminales de un ángulo, 
sumas o restas una o más veces 360º a dicho ángulo. 
Puedes ver que un ángulo posee un infinito número de 
ángulos coterminales o equivalentes: 
θ = θ ± n 360º, n = 0, 1, 2, 3, 4,….. 
Si el lado terminal coincide con uno de los ejes de 
coordenadas, el ángulo se llama cuadrantal: 90º, 180º, 
270º, y 360º son ángulos cuadrantales. 
y 
x 
 =210 
1 = 210 −180 
=30
UNIDAD 5 
d 
P(X;Y) 
x  
x 
y 
1 
135 
45 
2 
Segundo Año - Matemática 59 
Ejemplo 2 
Encuentra cuatro ángulos coterminales de 100º 
Solución: 
a) 100º = 100º+ 360º = 460º 
b) 100º = 100º + 2(360º) = 820º 
c) 100º = 100º – 360º = – 260º 
d) 100º = 100º – 2(360º) = – 620º 
Ejemplo 3 
Simplifica el ángulo θ = 5248º 
Solución: 
Comienzas averiguando cuántas veces contiene el 
ángulo θ a 360º. Para ello divides: 5248 entre 360 y la 
parte entera que es 14 es el nº de veces que contiene 
a 360. 
Luego, como 5248 contiene 14 veces a 360º, al ángulo 
5248 le restas 14 veces 360º. 
5248º – 14 (360º) 
5248º – 5040º = 208º 
Concluyes entonces que las dos formas más simples o 
valores canónicos de θ, son 208º y 208º – 360º = – 152º 
Definición de las funciones 
trigonométricas de cualquier ángulo 
Sea θ un ángulo en posición normal o estándar: 
Su vértice coincide con el origen del sistema de 
coordenadas, y su lado inicial coincide con el eje 
x positivo. 
Si llamamos distancia al valor del segmento OP; abscisa, 
al valor x; ordenada, al valor y, las funciones de θ se 
definen así: 
sen 
y 
d 
ordenada 
distancia 
 = = cos 
 = = x 
abscisa 
distancia 
d 
tan 
 = = y 
ordenada 
abscisa 
x 
cot 
 = = x 
abscisa 
ordenada 
y 
sec 
 = = d 
distancia 
abscisa 
x 
csc 
 = = d 
distancia 
ordenada 
y 
y 
Ejemplo 4 
Determina en forma gráfica las funciones de 
a) 135º b) 210º 
Solución 
a) El ángulo de 135º posee un ángulo de referencia igual 
a 180º – 135º = 45º. Luego, el triángulo de referencia es 
de 45º. 
En la figura de la derecha se representa la situación, 
donde: x = –1, y = 1; d = 2 
x 
(-1,1) 
-1 
b) El ángulo de referencia es 210º – 180º = 30º. 
Luego, el triángulo de referencia es 30º, donde: 
x = − 3 ; y = –1; d = 2 
Con estos valores defines las funciones de 210º 
y 
x 
-1 
210 
30 
2 
P(- 3,-1 )
UNIDAD 5 
1 Actividad 
1. Copia en tu cuaderno y traza el ángulo de referencia θ’ del ángulo θ. 
2. Encuentra dos ángulos positivos y dos negativos que son coterminales o equivalentes a 75º. 
3. Halla los dos ángulos equivalentes de θ = 3500º entre 0º y 360º y represéntalos en el plano cartesiano. 
4. Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia y determina su valor si: 
a) θ = 45º c) θ = 3500º 
b) θ = 150º d) θ = 300º 
5. La rueda delantera de una bicicleta tiene un diámetro de 
40 cm, y la trasera 60 cm ¿Qué ángulo gira la rueda delantera cuando la trasera gira 8 radianes? 
6. Determina gráficamente las funciones de 
a) 150º b) 300º c) 225º 
El círculo trigonométrico es aquel que tiene por radio la 
unidad. 
x2 + y2 = r2, x2 + y2 = 12, x2 + y2 = 1 
60 Matemática - Segundo Año 
En el círculo trigonométrico, las funciones de ángulos 
son más sencillas de manejar y obtener, debido a que el 
valor “d” es el radio de la circunferencia y es igual a 1. Así 
d = r = 1. 
1. sen 
y 
d 
y 
 = = = y 
1 
4. csc  
= 1 = 1 
y sen 
 
2. cos  = x = = 
d 
x 
x 
1 
5. sec 
= 1 = 1 
x 
cos 
 
 
3. tan 
cos 
 
 
 
= y = 
x 
sen 
6. cot 
 cos 
 
 
= x = 
y sen 
Círculo trigonométrico o unitario 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
220º 
 
150º 
y 
x 
(0,-1) 
(1,0) 
(0,1) 
(-1,0) 
P(x,y) 
r=1

Recomendados

Unidad4. funciones trigonometricas gonzalo revelo pabon
Unidad4. funciones  trigonometricas gonzalo revelo pabonUnidad4. funciones  trigonometricas gonzalo revelo pabon
Unidad4. funciones trigonometricas gonzalo revelo pabonGONZALO REVELO PABON . GORETTI
 
Proyecto de Aula Matemática- Ecuaciones Trigonométricas.
Proyecto de Aula Matemática- Ecuaciones Trigonométricas.Proyecto de Aula Matemática- Ecuaciones Trigonométricas.
Proyecto de Aula Matemática- Ecuaciones Trigonométricas.Jesus Monge Loor
 
Trigonometría: Fórmulas (Identidades, Teoremas, Razones y más)
Trigonometría: Fórmulas (Identidades, Teoremas, Razones y más)Trigonometría: Fórmulas (Identidades, Teoremas, Razones y más)
Trigonometría: Fórmulas (Identidades, Teoremas, Razones y más)Great Ayuda
 
Mate finaaal graficas 2
Mate finaaal graficas 2 Mate finaaal graficas 2
Mate finaaal graficas 2 cynthia
 
20142 s matdeber5
20142 s matdeber520142 s matdeber5
20142 s matdeber5kelvin pin
 

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Cap17 geometría plana
Cap17 geometría planaCap17 geometría plana
Cap17 geometría plananivelacion008
 
Funciones trigonometricas
Funciones trigonometricasFunciones trigonometricas
Funciones trigonometricasalicarrizo
 
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion CartesianaUnidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesianabrekaluga4
 
Fórmulas para la PSU de matemática
Fórmulas para la PSU de matemáticaFórmulas para la PSU de matemática
Fórmulas para la PSU de matemáticaGreat Ayuda
 
Ejercicios resueltos-minimos-3c2ba-eso-tema-7-funciones-lineales
Ejercicios resueltos-minimos-3c2ba-eso-tema-7-funciones-linealesEjercicios resueltos-minimos-3c2ba-eso-tema-7-funciones-lineales
Ejercicios resueltos-minimos-3c2ba-eso-tema-7-funciones-linealesangela2908
 
Unidad 9 utilicemos la trigonometria.
Unidad 9 utilicemos la trigonometria.Unidad 9 utilicemos la trigonometria.
Unidad 9 utilicemos la trigonometria.matedivliss
 
Ecuacion de la recta punto-pendiente
Ecuacion de la recta punto-pendienteEcuacion de la recta punto-pendiente
Ecuacion de la recta punto-pendienterubiie
 
Trigonometria funciones y ejercicios
Trigonometria   funciones y ejerciciosTrigonometria   funciones y ejercicios
Trigonometria funciones y ejercicioslicdiegoneira
 
Pendiente y ángulo de inclinación de una recta
Pendiente y ángulo de inclinación de una recta Pendiente y ángulo de inclinación de una recta
Pendiente y ángulo de inclinación de una recta César Iván Nieves Arroyo
 
Ecuaciones de la recta en el plano cartesiano
Ecuaciones de la recta en el plano cartesianoEcuaciones de la recta en el plano cartesiano
Ecuaciones de la recta en el plano cartesianojuan20132012
 

La actualidad más candente (20)

Cap17 geometría plana
Cap17 geometría planaCap17 geometría plana
Cap17 geometría plana
 
Funciones trigonometricas
Funciones trigonometricasFunciones trigonometricas
Funciones trigonometricas
 
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion CartesianaUnidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana
 
Conica
ConicaConica
Conica
 
Fórmulas para la PSU de matemática
Fórmulas para la PSU de matemáticaFórmulas para la PSU de matemática
Fórmulas para la PSU de matemática
 
Examen resuelto trigonometria
Examen resuelto trigonometriaExamen resuelto trigonometria
Examen resuelto trigonometria
 
Ejercicios resueltos-minimos-3c2ba-eso-tema-7-funciones-lineales
Ejercicios resueltos-minimos-3c2ba-eso-tema-7-funciones-linealesEjercicios resueltos-minimos-3c2ba-eso-tema-7-funciones-lineales
Ejercicios resueltos-minimos-3c2ba-eso-tema-7-funciones-lineales
 
Unidad 9 utilicemos la trigonometria.
Unidad 9 utilicemos la trigonometria.Unidad 9 utilicemos la trigonometria.
Unidad 9 utilicemos la trigonometria.
 
Ecuacion de la recta punto-pendiente
Ecuacion de la recta punto-pendienteEcuacion de la recta punto-pendiente
Ecuacion de la recta punto-pendiente
 
Tema Geometria
Tema GeometriaTema Geometria
Tema Geometria
 
Funcion cuadratica gonzalo revelo pabon
Funcion cuadratica  gonzalo revelo pabonFuncion cuadratica  gonzalo revelo pabon
Funcion cuadratica gonzalo revelo pabon
 
Trigonometria funciones y ejercicios
Trigonometria   funciones y ejerciciosTrigonometria   funciones y ejercicios
Trigonometria funciones y ejercicios
 
Pendiente y ángulo de inclinación de una recta
Pendiente y ángulo de inclinación de una recta Pendiente y ángulo de inclinación de una recta
Pendiente y ángulo de inclinación de una recta
 
Ecuacion de la recta
Ecuacion de la rectaEcuacion de la recta
Ecuacion de la recta
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
Ecuaciones de la recta en el plano cartesiano
Ecuaciones de la recta en el plano cartesianoEcuaciones de la recta en el plano cartesiano
Ecuaciones de la recta en el plano cartesiano
 
Progresiones
ProgresionesProgresiones
Progresiones
 
Distancia entre puntos y ecuaciones de la recta
Distancia entre puntos y ecuaciones de la rectaDistancia entre puntos y ecuaciones de la recta
Distancia entre puntos y ecuaciones de la recta
 
Función lineal
Función linealFunción lineal
Función lineal
 
Ecuacion de la recta
Ecuacion de la rectaEcuacion de la recta
Ecuacion de la recta
 

Similar a Mate 11 u5

TrigonometríA (Slide Completa)
TrigonometríA (Slide Completa)TrigonometríA (Slide Completa)
TrigonometríA (Slide Completa)guest63d852c
 
TrigonometríA(Slidecompleta)
TrigonometríA(Slidecompleta)TrigonometríA(Slidecompleta)
TrigonometríA(Slidecompleta)Juanjo Expósito
 
Trigonometrí1
Trigonometrí1Trigonometrí1
Trigonometrí1jbersosa
 
ejercicios_FUNCIONES_MATEMATICAS.pdf
ejercicios_FUNCIONES_MATEMATICAS.pdfejercicios_FUNCIONES_MATEMATICAS.pdf
ejercicios_FUNCIONES_MATEMATICAS.pdfMarielaPerezHernande1
 
Funciones trigonometricas (parte 2)
Funciones trigonometricas (parte 2)Funciones trigonometricas (parte 2)
Funciones trigonometricas (parte 2)Jose Ojeda
 
Apoyo 2 para unidad 9
Apoyo 2 para unidad 9Apoyo 2 para unidad 9
Apoyo 2 para unidad 9matedivliss
 
Razones Trigonometricas - Ciro Pari
Razones Trigonometricas - Ciro PariRazones Trigonometricas - Ciro Pari
Razones Trigonometricas - Ciro Pariciro_apu
 
Taller 1 introducion a la trigonometria 2014
Taller 1 introducion a la trigonometria 2014Taller 1 introducion a la trigonometria 2014
Taller 1 introducion a la trigonometria 2014El profe Noé
 
Conceptos generales trigonometria
Conceptos generales trigonometriaConceptos generales trigonometria
Conceptos generales trigonometriaAltagraciaBelliard1
 

Similar a Mate 11 u5 (20)

UNIDAD 5
UNIDAD 5UNIDAD 5
UNIDAD 5
 
Bloque 1
Bloque 1Bloque 1
Bloque 1
 
TrigonometríA (Slide Completa)
TrigonometríA (Slide Completa)TrigonometríA (Slide Completa)
TrigonometríA (Slide Completa)
 
Funciones trigonometricas
Funciones trigonometricasFunciones trigonometricas
Funciones trigonometricas
 
TrigonometríA(Slidecompleta)
TrigonometríA(Slidecompleta)TrigonometríA(Slidecompleta)
TrigonometríA(Slidecompleta)
 
Trigonometrí1
Trigonometrí1Trigonometrí1
Trigonometrí1
 
FUNCIONES TRIGONMETRICAS.pdf
FUNCIONES TRIGONMETRICAS.pdfFUNCIONES TRIGONMETRICAS.pdf
FUNCIONES TRIGONMETRICAS.pdf
 
ejercicios_FUNCIONES_MATEMATICAS.pdf
ejercicios_FUNCIONES_MATEMATICAS.pdfejercicios_FUNCIONES_MATEMATICAS.pdf
ejercicios_FUNCIONES_MATEMATICAS.pdf
 
Funciones trigonometricas (parte 2)
Funciones trigonometricas (parte 2)Funciones trigonometricas (parte 2)
Funciones trigonometricas (parte 2)
 
Trigonometría resumen
Trigonometría resumenTrigonometría resumen
Trigonometría resumen
 
1 tema de trigonometria 5 to
1 tema de trigonometria 5 to1 tema de trigonometria 5 to
1 tema de trigonometria 5 to
 
2° MATERIAL DE APOYO MODULO 4.pptx
2°  MATERIAL DE APOYO MODULO 4.pptx2°  MATERIAL DE APOYO MODULO 4.pptx
2° MATERIAL DE APOYO MODULO 4.pptx
 
2° MATERIAL DE APOYO MODULO 4.pptx
2°  MATERIAL DE APOYO MODULO 4.pptx2°  MATERIAL DE APOYO MODULO 4.pptx
2° MATERIAL DE APOYO MODULO 4.pptx
 
Funciones trigonometrica
Funciones trigonometricaFunciones trigonometrica
Funciones trigonometrica
 
Apoyo 2 para unidad 9
Apoyo 2 para unidad 9Apoyo 2 para unidad 9
Apoyo 2 para unidad 9
 
Razones Trigonometricas - Ciro Pari
Razones Trigonometricas - Ciro PariRazones Trigonometricas - Ciro Pari
Razones Trigonometricas - Ciro Pari
 
Taller 1 introducion a la trigonometria 2014
Taller 1 introducion a la trigonometria 2014Taller 1 introducion a la trigonometria 2014
Taller 1 introducion a la trigonometria 2014
 
Funciones trigonometricas
Funciones trigonometricasFunciones trigonometricas
Funciones trigonometricas
 
Semana 1 angulo trigonometrico
Semana 1 angulo trigonometricoSemana 1 angulo trigonometrico
Semana 1 angulo trigonometrico
 
Conceptos generales trigonometria
Conceptos generales trigonometriaConceptos generales trigonometria
Conceptos generales trigonometria
 

Más de Roxana Abarca Gonzalez (19)

UNIDAD 1
UNIDAD 1UNIDAD 1
UNIDAD 1
 
UNIDAD 2
UNIDAD 2UNIDAD 2
UNIDAD 2
 
UNIDAD 3
UNIDAD 3UNIDAD 3
UNIDAD 3
 
UNIDAD 3
UNIDAD 3UNIDAD 3
UNIDAD 3
 
UNIDAD 4
UNIDAD 4UNIDAD 4
UNIDAD 4
 
Unidad 6 solución de triángulos oblicuángulos.
Unidad 6 solución de triángulos oblicuángulos.Unidad 6 solución de triángulos oblicuángulos.
Unidad 6 solución de triángulos oblicuángulos.
 
Triangulos oblicuangulos
Triangulos oblicuangulosTriangulos oblicuangulos
Triangulos oblicuangulos
 
Unidad+7+apliquemos+elementos+de+geometria+analitica.
Unidad+7+apliquemos+elementos+de+geometria+analitica.Unidad+7+apliquemos+elementos+de+geometria+analitica.
Unidad+7+apliquemos+elementos+de+geometria+analitica.
 
Geometria analitica
Geometria analiticaGeometria analitica
Geometria analitica
 
Unidad+8+resolvamos+con+geometria+analitica.
Unidad+8+resolvamos+con+geometria+analitica.Unidad+8+resolvamos+con+geometria+analitica.
Unidad+8+resolvamos+con+geometria+analitica.
 
Unidad+9+utilicemos+la+trigonometria.
Unidad+9+utilicemos+la+trigonometria.Unidad+9+utilicemos+la+trigonometria.
Unidad+9+utilicemos+la+trigonometria.
 
Unidad+9+utilicemos+la+trigonometria.
Unidad+9+utilicemos+la+trigonometria.Unidad+9+utilicemos+la+trigonometria.
Unidad+9+utilicemos+la+trigonometria.
 
Mat 11 u4
Mat 11 u4Mat 11 u4
Mat 11 u4
 
Mat 11 u3
Mat 11 u3Mat 11 u3
Mat 11 u3
 
Diapositivas de tecnologia blog
Diapositivas de tecnologia blogDiapositivas de tecnologia blog
Diapositivas de tecnologia blog
 
Mat 11 u2
Mat 11 u2Mat 11 u2
Mat 11 u2
 
Mat 11 u1
Mat 11 u1Mat 11 u1
Mat 11 u1
 
Segundo año de bachillerato
Segundo año de bachilleratoSegundo año de bachillerato
Segundo año de bachillerato
 
Mat 11 u1
Mat 11 u1Mat 11 u1
Mat 11 u1
 

Último

Diapositivas acerca de la Biología celular
Diapositivas acerca de la  Biología celularDiapositivas acerca de la  Biología celular
Diapositivas acerca de la Biología celularchacaguasaydayana284
 
La enseñanza de lenguas en la sociedad de la información y del conocimiento. ...
La enseñanza de lenguas en la sociedad de la información y del conocimiento. ...La enseñanza de lenguas en la sociedad de la información y del conocimiento. ...
La enseñanza de lenguas en la sociedad de la información y del conocimiento. ...JavierGMonzn
 
Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.
Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.
Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.NoelyLopez1
 
LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...
LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...
LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Plan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docx
Plan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docxPlan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docx
Plan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docxEverthRomanGuevara
 
Diapositivas abarcando el tema del citosol
Diapositivas abarcando el tema del citosolDiapositivas abarcando el tema del citosol
Diapositivas abarcando el tema del citosolchacaguasaydayana284
 
Presentación parasitaria: Tricocefalosis
Presentación parasitaria: TricocefalosisPresentación parasitaria: Tricocefalosis
Presentación parasitaria: TricocefalosisRebeca Robles
 
OKUDA, arte para niños de educación infantil
OKUDA, arte  para niños de educación infantilOKUDA, arte  para niños de educación infantil
OKUDA, arte para niños de educación infantilM Victoria Azcona
 
ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.
ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.
ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.SabinaBermeo
 
RÚBRICA PARA CALIFICAR ENSAYO ACADÉMICO
RÚBRICA PARA  CALIFICAR ENSAYO ACADÉMICORÚBRICA PARA  CALIFICAR ENSAYO ACADÉMICO
RÚBRICA PARA CALIFICAR ENSAYO ACADÉMICOSONNIAHEREDIA1
 
PRESENTACION DE CURSO DE ALINEACION EN EL ESTANDAR EC0435
PRESENTACION DE CURSO DE ALINEACION EN EL ESTANDAR EC0435PRESENTACION DE CURSO DE ALINEACION EN EL ESTANDAR EC0435
PRESENTACION DE CURSO DE ALINEACION EN EL ESTANDAR EC0435LICMURO
 
Tema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdf
Tema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdfTema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdf
Tema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdfIES Vicent Andres Estelles
 
Licenciatura en Pedagogia Presentacion.pptx
Licenciatura en Pedagogia Presentacion.pptxLicenciatura en Pedagogia Presentacion.pptx
Licenciatura en Pedagogia Presentacion.pptxgeomaster9
 
01 G. ENGE-05.pdf guia pedagogica enfermeria geriatrica
01 G. ENGE-05.pdf guia pedagogica enfermeria geriatrica01 G. ENGE-05.pdf guia pedagogica enfermeria geriatrica
01 G. ENGE-05.pdf guia pedagogica enfermeria geriatricajaquelinesilver
 
Manejo de Emociones en la Escuela ME2 Ccesa007.pdf
Manejo de Emociones en la Escuela ME2  Ccesa007.pdfManejo de Emociones en la Escuela ME2  Ccesa007.pdf
Manejo de Emociones en la Escuela ME2 Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1DevinsideSolutions
 
UNIDAD 1 EA 2 TICS VIRTUAL 2 SEMESTRE UQ
UNIDAD 1 EA 2 TICS VIRTUAL 2 SEMESTRE UQUNIDAD 1 EA 2 TICS VIRTUAL 2 SEMESTRE UQ
UNIDAD 1 EA 2 TICS VIRTUAL 2 SEMESTRE UQJAVIERMAURICIOCORREA1
 
Letra A a - Máximo Aprende.doc .Actividades para niños de primer grado
Letra A a  -  Máximo Aprende.doc  .Actividades para niños de  primer gradoLetra A a  -  Máximo Aprende.doc  .Actividades para niños de  primer grado
Letra A a - Máximo Aprende.doc .Actividades para niños de primer gradoADELINA GALÁN C.
 
Reinos Y Clasificación Diapositivas.pptx
Reinos Y Clasificación Diapositivas.pptxReinos Y Clasificación Diapositivas.pptx
Reinos Y Clasificación Diapositivas.pptxkarolbustamante2911
 

Último (20)

Diapositivas acerca de la Biología celular
Diapositivas acerca de la  Biología celularDiapositivas acerca de la  Biología celular
Diapositivas acerca de la Biología celular
 
La enseñanza de lenguas en la sociedad de la información y del conocimiento. ...
La enseñanza de lenguas en la sociedad de la información y del conocimiento. ...La enseñanza de lenguas en la sociedad de la información y del conocimiento. ...
La enseñanza de lenguas en la sociedad de la información y del conocimiento. ...
 
Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.
Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.
Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.
 
LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...
LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...
LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...
 
Plan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docx
Plan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docxPlan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docx
Plan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docx
 
Diapositivas abarcando el tema del citosol
Diapositivas abarcando el tema del citosolDiapositivas abarcando el tema del citosol
Diapositivas abarcando el tema del citosol
 
Presentación parasitaria: Tricocefalosis
Presentación parasitaria: TricocefalosisPresentación parasitaria: Tricocefalosis
Presentación parasitaria: Tricocefalosis
 
OKUDA, arte para niños de educación infantil
OKUDA, arte  para niños de educación infantilOKUDA, arte  para niños de educación infantil
OKUDA, arte para niños de educación infantil
 
ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.
ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.
ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.
 
RÚBRICA PARA CALIFICAR ENSAYO ACADÉMICO
RÚBRICA PARA  CALIFICAR ENSAYO ACADÉMICORÚBRICA PARA  CALIFICAR ENSAYO ACADÉMICO
RÚBRICA PARA CALIFICAR ENSAYO ACADÉMICO
 
Dificultad de la escritura alfabética- Estrategia Pukllaspa yachasun - Curo F...
Dificultad de la escritura alfabética- Estrategia Pukllaspa yachasun - Curo F...Dificultad de la escritura alfabética- Estrategia Pukllaspa yachasun - Curo F...
Dificultad de la escritura alfabética- Estrategia Pukllaspa yachasun - Curo F...
 
PRESENTACION DE CURSO DE ALINEACION EN EL ESTANDAR EC0435
PRESENTACION DE CURSO DE ALINEACION EN EL ESTANDAR EC0435PRESENTACION DE CURSO DE ALINEACION EN EL ESTANDAR EC0435
PRESENTACION DE CURSO DE ALINEACION EN EL ESTANDAR EC0435
 
Tema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdf
Tema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdfTema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdf
Tema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdf
 
Licenciatura en Pedagogia Presentacion.pptx
Licenciatura en Pedagogia Presentacion.pptxLicenciatura en Pedagogia Presentacion.pptx
Licenciatura en Pedagogia Presentacion.pptx
 
01 G. ENGE-05.pdf guia pedagogica enfermeria geriatrica
01 G. ENGE-05.pdf guia pedagogica enfermeria geriatrica01 G. ENGE-05.pdf guia pedagogica enfermeria geriatrica
01 G. ENGE-05.pdf guia pedagogica enfermeria geriatrica
 
Manejo de Emociones en la Escuela ME2 Ccesa007.pdf
Manejo de Emociones en la Escuela ME2  Ccesa007.pdfManejo de Emociones en la Escuela ME2  Ccesa007.pdf
Manejo de Emociones en la Escuela ME2 Ccesa007.pdf
 
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
 
UNIDAD 1 EA 2 TICS VIRTUAL 2 SEMESTRE UQ
UNIDAD 1 EA 2 TICS VIRTUAL 2 SEMESTRE UQUNIDAD 1 EA 2 TICS VIRTUAL 2 SEMESTRE UQ
UNIDAD 1 EA 2 TICS VIRTUAL 2 SEMESTRE UQ
 
Letra A a - Máximo Aprende.doc .Actividades para niños de primer grado
Letra A a  -  Máximo Aprende.doc  .Actividades para niños de  primer gradoLetra A a  -  Máximo Aprende.doc  .Actividades para niños de  primer grado
Letra A a - Máximo Aprende.doc .Actividades para niños de primer grado
 
Reinos Y Clasificación Diapositivas.pptx
Reinos Y Clasificación Diapositivas.pptxReinos Y Clasificación Diapositivas.pptx
Reinos Y Clasificación Diapositivas.pptx
 

Mate 11 u5

  • 1. 55 MATEMÁTICA Unidad 5 UTILICEMOS LA TRIGONOMETRÍA Objetivos de la Unidad: Propondrás soluciones aplicando las funciones, identidades y ecuaciones trigonométricas, haciendo uso de gráficos para representar y explicar el comportamiento de fenómenos escolares y sociales.
  • 2. Funciones trigonométricas a partir del utilizando utilizando sus Características son determinando Amplitud Desfase Descripción del proyecto Círculo trigonométrico Mediante funciones trigonométricas se determina la altura de la marea sobre su nivel medio. Ángulos de referencia Signos de las variables Ángulos cuadrantales Números reales Gráficos Dominio Rango Período
  • 3. Quinta Unidad Lección 1 El círculo trigonométrico y funciones de ángulos Cuadrantales Ángulo positivo: rotación en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Deducirás y calcularás con interés las funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales. Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj. Segundo Año - Matemática 57 Motivación Pedro y Juan trotan sobre una pista circular. Agarrados de una cuerda que los une al centro de la pista. Pedro recorre círculo y cuarto, Juan recorre un cuarto de círculo. ¿Puedes decir cuál es en grados el ángulo generado por la cuerda de Pedro? ¿Cuál es en radianes el ángulo generado por la cuerda de Juan? Indicadores de logro Construirás con interés y precisión el círculo unitario. Determinarás y explicarás, con seguridad, las funciones trigonométricas en el círculo trigonométrico a partir del punto (x, y). Signo de los ángulos Ángulo positivo: rotación en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Lado inicial Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj. En trigonometría, los ángulos pueden ser positivos o negativos. El lado desde el cual comienza a medirse un ángulo se llama lado inicial y el lado donde finaliza la medición se llama lado terminal del ángulo. Si la rotación del lado inicial Lado inicial al lado terminal se efectúa en sentido contrario de las agujas del reloj, el ángulo es positivo. El ángulo es negativo en caso contrario, o sea, cuando la rotación se efectúa en el sentido de las agujas del reloj. Lado terminal Lado terminal Lado inicial Lado inicial Lado terminal Lado terminal B A
  • 4. UNIDAD 5 Ángulo de referencia Ejemplo 1 Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia de: a) 75º b) 120º c) 210º d) 315º Solución b) 58 Matemática - Segundo Año d) c) Ubicación de θ en los cuadrantes y x 1 =360 −315 =45 Ángulo de referencia θ’ es igual a I θ II 1800 – θ III θ – 1800 IV 3600 – θ El ángulo de referencia de θ denotado por, θ’ es el menor ángulo cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x. a) El ángulo θ se mide desde la parte positiva del eje x, hasta el lado terminal de θ. El ángulo de referencia θ’ siempre se define con respecto al eje x, nunca con respecto al eje y. Ángulos coterminales o equivalentes Retomando la pregunta planteada al inicio de la lección: ¿Puedes decir cuál es el ángulo descrito por la cuerda de Pedro? Tienes que en ese instante, Pedro ha descrito un ángulo de 360° + 90° = 450°. Juan un ángulo de 90°. Observa que ambos están en el punto B. Los ángulos 90° y 450° son ejemplos de ángulos llamados coterminales. En general si θ está en el cuadrante I, θ = θ’ En general si θ está en el cuadrante II, θ’ = 180º – θ Si θ está en el cuadrante III, θ’ = θ – 180º Si θ está en el cuadrante IV, θ’ = 360º – θ y x 1 y x = 75 y x =120 1 =180 −120 =60 En general, tienes que si dos ángulos poseen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal, se llaman coterminales. Para determinar los ángulos coterminales de un ángulo, sumas o restas una o más veces 360º a dicho ángulo. Puedes ver que un ángulo posee un infinito número de ángulos coterminales o equivalentes: θ = θ ± n 360º, n = 0, 1, 2, 3, 4,….. Si el lado terminal coincide con uno de los ejes de coordenadas, el ángulo se llama cuadrantal: 90º, 180º, 270º, y 360º son ángulos cuadrantales. y x =210 1 = 210 −180 =30
  • 5. UNIDAD 5 d P(X;Y) x x y 1 135 45 2 Segundo Año - Matemática 59 Ejemplo 2 Encuentra cuatro ángulos coterminales de 100º Solución: a) 100º = 100º+ 360º = 460º b) 100º = 100º + 2(360º) = 820º c) 100º = 100º – 360º = – 260º d) 100º = 100º – 2(360º) = – 620º Ejemplo 3 Simplifica el ángulo θ = 5248º Solución: Comienzas averiguando cuántas veces contiene el ángulo θ a 360º. Para ello divides: 5248 entre 360 y la parte entera que es 14 es el nº de veces que contiene a 360. Luego, como 5248 contiene 14 veces a 360º, al ángulo 5248 le restas 14 veces 360º. 5248º – 14 (360º) 5248º – 5040º = 208º Concluyes entonces que las dos formas más simples o valores canónicos de θ, son 208º y 208º – 360º = – 152º Definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo Sea θ un ángulo en posición normal o estándar: Su vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas, y su lado inicial coincide con el eje x positivo. Si llamamos distancia al valor del segmento OP; abscisa, al valor x; ordenada, al valor y, las funciones de θ se definen así: sen y d ordenada distancia = = cos = = x abscisa distancia d tan = = y ordenada abscisa x cot = = x abscisa ordenada y sec = = d distancia abscisa x csc = = d distancia ordenada y y Ejemplo 4 Determina en forma gráfica las funciones de a) 135º b) 210º Solución a) El ángulo de 135º posee un ángulo de referencia igual a 180º – 135º = 45º. Luego, el triángulo de referencia es de 45º. En la figura de la derecha se representa la situación, donde: x = –1, y = 1; d = 2 x (-1,1) -1 b) El ángulo de referencia es 210º – 180º = 30º. Luego, el triángulo de referencia es 30º, donde: x = − 3 ; y = –1; d = 2 Con estos valores defines las funciones de 210º y x -1 210 30 2 P(- 3,-1 )
  • 6. UNIDAD 5 1 Actividad 1. Copia en tu cuaderno y traza el ángulo de referencia θ’ del ángulo θ. 2. Encuentra dos ángulos positivos y dos negativos que son coterminales o equivalentes a 75º. 3. Halla los dos ángulos equivalentes de θ = 3500º entre 0º y 360º y represéntalos en el plano cartesiano. 4. Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia y determina su valor si: a) θ = 45º c) θ = 3500º b) θ = 150º d) θ = 300º 5. La rueda delantera de una bicicleta tiene un diámetro de 40 cm, y la trasera 60 cm ¿Qué ángulo gira la rueda delantera cuando la trasera gira 8 radianes? 6. Determina gráficamente las funciones de a) 150º b) 300º c) 225º El círculo trigonométrico es aquel que tiene por radio la unidad. x2 + y2 = r2, x2 + y2 = 12, x2 + y2 = 1 60 Matemática - Segundo Año En el círculo trigonométrico, las funciones de ángulos son más sencillas de manejar y obtener, debido a que el valor “d” es el radio de la circunferencia y es igual a 1. Así d = r = 1. 1. sen y d y = = = y 1 4. csc = 1 = 1 y sen 2. cos = x = = d x x 1 5. sec = 1 = 1 x cos 3. tan cos = y = x sen 6. cot cos = x = y sen Círculo trigonométrico o unitario y x y x y x 220º 150º y x (0,-1) (1,0) (0,1) (-1,0) P(x,y) r=1
  • 7. UNIDAD 5 = = y (0,1) 90 x Segundo Año - Matemática 61 Mediante él, puedes calcular con buena aproximación las funciones de un ángulo. sen 37º = 0.6 sen 225º = –0.7 cos 37º = 0.8 cos 225º = –0.7 Comprueba los siguientes resultados en tu calculadora. sen 37º = 0.601815 sen 225º = –0.7071068 cos 37º = 0.7986355 cos 225º = –0.7071068 Funciones de ángulos cuadrantales Los ángulos cuadrantales son aquellos cuyos lados coinciden con alguna semirrecta del eje x o del eje y. Éstos son: 90º, 180º, 270º y 360º ó 0º. Nota que, cuando θ aumenta acercándose a 90º, la abscisa x cada vez se hace más pequeña: tiende a cero. Además, cuando θ aumenta acercándose a 90º, la ordenada “y” cada vez se hace más grande: tiende a uno. Cuando θ = 90º tienes que x = 0; y = 1; r = 1 Luego: sen y x sen º º º º 90 1 90 0 90 90 = = = = = cos tan cos cot cos º (infinito) º º 90 1 0 90 90 = = = sen 90 º º º 0 1 0 90 1 90 1 0 sec = = = cos (infinito) º º csc 90 1 90 1 1 = = = 1 sen Si el ángulo continúa aumentando, llegas a 180º, 270º y 360º, ángulos cuyas coordenadas (x, y) representan las funciones trigonométricas (cos θ, sen θ) y x P(x,y) 1 y x (0,1) 225 (-1,0) (1,0) (0,-1) P(0.8, 0.6) Q(-0.7, -0.7) 37 y x (0,1) (-1,0) (1,0) (0,-1) y x (0,1) 180 (-1,0) (1,0)
  • 8. UNIDAD 5 x = –1; y = 0; r = 1. Para 180º Luego sen y = = = = − = 180 º 0 180 º x 1 sen 180 º cos tan º º º = sen º º º 180 180 0 1 0 180 180 cos cot cos = − = 180 = = − sec º − 1 0 180 1 180 1 1 = = − cos = − 1 180 1 0 º = = = º 1 180 csc sen (-1,0) (1,0) x = 0; y = –1; r = 1. Para 270º Luego sen y = = − = = = 270 º 1 270 º x 0 sen 270 º cos tan º º º = sen º º º 270 270 − 1 0 270 270 cos cot cos = = − 270 sec = = = º 0 1 0 270 1 270 = − 1 0 = cos 1 270 1 1 csc 270 º = = = − º − 1 sen En las funciones trigonométricas +∞ ó –∞ te indica que la función es indeterminada. 62 Matemática - Segundo Año x = 1; y = 0; r = 1. Para 360º Luego sen y = = = = = = 360 º 0 360 º x 1 360 º 0 1 cos tan º = = = º º 0 360 1 360 1 0 360 1 360 csc sec cos = sen º º = = = = 1 1 1 360 1 0 cot (-1,0) (1,0) Ejemplo 5 Un cuerpo de 100 kg pende de dos cuerdas, que forman con la horizontal, ángulos de 30 ° y 60° como se muestra en la figura. ¿Puedes calcular la tensión en cada una de las cuerdas? A B 30º 60º ToA ToB 100 kg 0 y x (0,1) 270 (0,-1) y x (0,1) 360 (0,-1)
  • 9. UNIDAD 5 Actividad 2 x 90º (1,0) (0,-1) Resumen A B 30º 60º Punto de apoyo 30º = = y (0,1) 270º (0-1) 180º 360º = 0 . = kg Un ángulo positivo se mide desde su lado inicial hasta su lado terminal, en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Es negativo si se mide en sentido horario. Ángulo de referencia de un ángulo es aquel cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x. Ángulos coterminales o equivalentes son aquellos que tienen el mismo lado inicial y terminal. Círculo trigonométrico es aquel cuyo radio mide uno. Las funciones de 90º, 180º, 270º y 360º están determinadas por sus coordenadas: (0, 1), (–1, 0), (0, –1) y (1, 0) respectivamente. El ángulo de 0º es igual al ángulo de 360º. Segundo Año - Matemática 63 Solución: Prolongando la tensión ToA para formar un triángulo de fuerzas tendremos: Ya sabes que F = 0 , por lo cual éstas forman un triángulo y se aplica la siguiente igualdad ToA Sen ToB Sen P 30º 60º Sen 90º 1. Basándote en las coordenadas del círculo trigonométrico correspondiente a 0º, 90º, 180º, 270º y 360º = 0º, determina por simple inspección el valor de: a) sen 0º i) tan 0º b) sen 90º j) tan 90º c) sen 180º k) tan180º d) sen 270º l) tan 270º e) cos 0º m) cot 0º f) cos 90º n) cot 90º g) cos 180º 0) cot 180º h) cos 270º p) cot 270º 2. Un cuerpo de 200 lb. pende de dos cuerdas que forman ángulos de 50° y 40° con la horizontal. Calcula la tensión a la que está sometida cada cuerda. ToA Sen P Sen ToA P sen Sen Kg 30 90 30 90 100 º º º º = = = × 0 5 1 50 ToB Sen P Sen ToB P sen Sen Kg 60 90 60 90 100 ° = ° = ° ° = × 8 7 = 1 87 . Kg ToA 100 kg 0 ToB P 60º La tensión de la cuerda A es = 50 kg La tensión de la cuerda B es = 87 kg
  • 10. UNIDAD 5 1 El ángulo equivalente a 400º es El valor de tan 150º es 4 a) − 1 3 b) − 3 c) − 3 3 d) a y c son correctos LAS MAREAS Y ÁNGULOS CUADRANTALES 64 Matemática - Segundo Año Autocomprobación ¿Cuál de las siguientes funciones trigonométricas es indeterminada? a) cos 90º b) tan 90º c) cot 90º d) csc 90º Soluciones 1. c. 2. d. 3. b. 4. b. 2 a) – 40º b) 80º c) 40º d) 320º 3 El valor de cos 180º es a) θ b) –1 c) ∞ d) ninguna de las anteriores Las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales (90º, 180º, 270º y 360º ó 0º ) son de gran importancia en el gráfico de funciones y en el análisis de otros fenómenos como las mareas, el sonido, etc. Así una representación gráfica de las mareas es : 0 12 24 tiempo (h)
  • 11. Gráfico de la función seno expresión siguiente: I = 30 sen120t, donde: t es el tiempo en segundos. Podrías calcular ¿Cuál es la amplitud y el periodo? ¿Cuál es la frecuencia de la corriente? Es decir, ¿Cuántos ciclos se completan en 1 segundo? Segundo Año - Matemática 65 Quinta Unidad Motivación Indicadores de logro Construirás, con precisión y seguridad, el gráfico de la función seno. Determinarás, con precisión y seguridad, el dominio y recorrido de la función seno. Para resolver el problema anterior, estudiarás previamente algunos conceptos. El valor de una función trigonométrica de un número real “t” es el valor de un ángulo de “t” radianes. Así, “sen 3” se interpreta como seno del número real 3 o como el seno de un ángulo de 3 radianes. Obviamente, sen 3 ≠ sen 30 Concluyes entonces, que los valores de las funciones trigonométricas de números reales, éstos representan radianes. Determinarás con perseverancia la periodicidad en la función seno. Construirás con precisión el gráfico de funciones de la forma: y = a sen [b(x + c)] + d, y = a cos [b(x + c)] + d determinando su período con seguridad. La naturaleza y todo lo que ella comprende: mareas, clima, estaciones, reproducción de los animales, cosechas, etc., se rigen por ciclos biológicos o ritmos. Estos ciclos han existido desde el principio de la vida en el planeta. Se ha demostrado histórica y estadísticamente que la naturaleza humana sigue una variedad de ritmos que realizan ciclos a diferentes frecuencias. En el caso de los seres vivos estos ritmos se denominan biorritmos, y existen diferentes biorritmos que afectan nuestro comportamiento en distintas maneras. En el caso de los humanos, se ha comprobado estadísticamente que la energía física se comporta cíclicamente en períodos de 23 días (mitades de 11 días y medio), la energía emotiva en períodos 28 días (mitades de 14 días) y la energía intelectual en 33 días (mitades de 16 días y medio). Otro ejemplo de fenómeno cíclico es la corriente alterna. Considera lo siguiente: un generador de corriente alterna, mide la potencia eléctrica por la Lección 2 Definición de las funciones trigonométricas de números reales Para hallar los valores de funciones trigonométricas de números reales mediante calculadora, usas el modo en radianes. O sea que: Para graficar una función trigonométrica, el ángulo debe estar expresado en radianes. Recuerda que en tercer ciclo, estudiaste como convertir grados a radianes y viceversa. Para ello llegaste a las siguientes equivalencias.
  • 12. UNIDAD 5 1 Actividad Grafica la función y = sen x, donde x es un número real. Debes encontrar los pares ordenados de números reales (x, y) que cumplan con la expresión y = sen x. Una manera de hallar dichos pares es mediante la calculadora científica. Así halla los valores del rango asociados con valores del dominio. Por ejemplo, si x = 0 tienes: y = sen 0 = 0. Así, el par (0, 0) pertenece a la función. 66 Matemática - Segundo Año Ejemplo 1 Convierte: a) 2 3 π rad a grados; b) 150º a radianes Solución: a) 1 2 3 360 2 º º 2 3 360 2 rad rad = = ; = 120º 2 360 b) 1 150 150 2 360 º º º º º = = rad rad ; = 5 6 rad En lo posible se expresará el ángulo en radianes en términos de π. 2 π rad = 360º Despejando 1 radián: 1 360 2 º rad = Para convertir radianes a grados, multiplicas por 360º y divides entre 2π Despejando 1 grado: 2πrad = 360º, 1 2 360 º = rad Para convertir grados a radianes, multiplicas por 2π y divides entre 360º. Completa en tu cuaderno por simple inspección los cuadros siguientes: a) b) θ ( rad ) 0 π 4 π 2 3 4 π π 5 4 π 3 2 π 7 4 π 2π θ ( grados ) 0 450 θ ( rad ) 0 π 3 2 3 π π 4 3 π 5 3 π 2π θ ( grados ) 0 450 Gráfico de y = sen x y x (0,1) 1 (-1,0) (1,0) (0,-1) x P(cos x, sen x)
  • 13. UNIDAD 5 1 1.71 -1.71 6 6 6 6 Segundo Año - Matemática 67 Sin embargo el proceso de graficar y = sen x puede simplificarse al observar como varía el punto (cos x, sen x) cuando se mueve alrededor del círculo trigonométrico o unitario. Para graficar y = sen x en el intervalo [0, 2], usa los resultados de la figura de la par, complementándolos con valores de ángulos múltiplos de π 4 tomados de la tabla que completaste. 0 ( rad ) 0 Ejemplo 2 Completa el resultado de las siguientes funciones trigonométricas. Sugerencia: observa el círculo trigonométrico. a) sen − = 4 π 4 π 2 3 4 π π 5 4 π 3 2 π 7 4 π 2π y = sen x 0 1.71 1 1.71 0 –1.71 –1 –1.71 0 b) sen − = 6 -1 1 Sen Sen 4 4 Sen − = − + = 2 7 4 = − 2 2 Observa que: Sen 4 2 2 = , 4 4 luego Sen Sen − = − Sen Sen Sen − = − + = 2 11 6 = − 1 2 Observa que: Sen 6 1 2 = , luego Sen − Sen = − y x 0.5 1.5 2 0 -1 y x 7 4 2 2 , 2 2 − 4 2 2 ,− 2 2 y x 11 4 -1 1 3 2 , 1 2 3 2 ,− 1 2 − 6
  • 14. UNIDAD 5 − = − + c) Sen Sen 3 3 Sen e) Encuentra Sen Sen − y -1 1 x 3 2 (0,1) − Como estudiaste en la lección anterior, para un ángulo dado x, si se le suma un múltiplo entero de 360º ó 2π radianes. Así el nuevo ángulo coincide con el ángulo dado x, para cualquier número real x y para cualquier entero n. Las funciones con este comportamiento repetitivo se llaman funciones periódicas. La parte de la gráfica de la función seno correspondiente a 0 x 2π es un ciclo. A veces nos referimos a un ciclo como una onda senoidal. Como la función es periódica con período 2π, para completar la gráfica de y = sen x sólo necesitamos repetir la gráfica hecha para [0, 2π], hacia la izquierda y hacia la derecha en intervalos de 2π. Puedes ver que la función está definida para cualquier valor de x, por lo tanto, Df = R. Como la función adquiere valores entre –1 y 1, entonces, Rf = [–1, 1] 68 Matemática - Segundo Año = 2 5 3 = Observa que: Sen 3 = d) Sen Sen Sen − = − + = 3 2 3 2 2 2 = Observa que: Sen 3 2 = ¿Qué puedes observar o concluir de los resultados anteriores? 4 3 4 3 y La función y = sen x es una función impar, porque cumple: sen (–x) = –sen x y x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0 1 0 -1 Se tiene: sen (x + 2πn) = sen x, con n = 1, 2, 3,… 1 2 , 3 2 1 2 ,− 3 2 − 3 y -1 1 x (0,-1) 2
  • 15. UNIDAD 5 . Segundo Año - Matemática 69 Amplitud, período y desfase Comencemos con una comparación de los gráficos y = sen x, y = A sen x. A y=A Senx 1 y=Senx Como el máximo valor de sen x es 1, el máximo valor de A sen x es A. ¿Cuál es el rango de esta función? El valor A se llama amplitud de la onda seno: multiplica el valor de sen x por A. En tu cuaderno grafica la función y = 2senx. ¿Cuál es la amplitud? ¿Cuál es la amplitud de y = sen x 1 3 ? ¿Cuál es el rango de cada una de ellas? Como la onda seno, se completa en el intervalo [0, 2π], ese intervalo es el período p de y = sen x. En tu cuaderno grafica la onda y = sen 2x ¿Cuál es el período? En el gráfico de y = sen 2x observas que la onda se repite 2 veces en el intervalo [0, 2π] por lo cual p = = 2 2 Es decir, la onda y = sen 2x se completa en [0, π]. En general, si y = sen Bx, el período está dado por p = 2 B y 0 x 0 0.25 0.5 0.75 1.25 1.50 1.75 2 y x 2 B 2
  • 16. UNIDAD 5 y=3 Sen 4x 3 2 . = 2 = 2 = = . = . ciclos por segundo. 70 Matemática - Segundo Año 1 0.5 0 El gráfico anterior muestra una onda senoidal desplazada a la izquierda del origen una cantidad igual a C = 2 . Si C es negativo, el desplazamiento es a la derecha. ¿Cuál es el valor de B en estos ejemplos? B es el coeficiente de x. Observa que sucede si B ≠ 1. En general, al graficar la función y = A sen (Bx + C), cuando Bx + C = 0, x C B = − y cuando Bx + C = 2π, x = 2 − C B . En este caso el desfase “d” es −C B . En forma gráfica: Ejemplo 3 Grafica, sin tabular, la función y = 3 sen 4x. Compara el gráfico con la función y = sen x. Solución: Puedes ver que la amplitud es A = 3; además, p B 4 2 Esto significa que la curva y = 3 sen 4x se completa en el intervalo 0 2 , . O sea que el intervalo 0 2 , cabe 4 veces en [0, 2π]. Ahora ya puedes resolver la situación planteada al inicio de la lección. Como I= 30 sen120t, entonces la amplitud es 30, y el periodo es 2 120 60 Como la frecuencia es el inverso del período, ésta es 60 igual a 19 11 Desfase de la onda Seno Observa el gráfico de la función y = sen x + 2 ¿De qué valor de x parte la función anterior? Si ésta hubiera sido y sen x = + 4 ¿De qué valor de x partiría? A -0.5 0 0.5 2 Como puedes observar, en la función y = A sen (Bx + C), la amplitud es A, el período 2 π B y el desfase es d C B = − y x 0.5 1.5 2 1 y x -0.5 0.5 1.5 2 -0.5 -1 y=Sen x y =Sen x + 2 y 0 x -A 2 B
  • 17. UNIDAD 5 Resumen 2 Actividad La función seno está dada, en su forma más simple, por la expresión y = sen x. El gráfico que resulta se llama onda seno u onda senoidal. Ésta se repite cada 2 π rad, por lo que su período es 2π. Su dominio son todos los números reales y su rango es el intervalo [–1, 1]. En su forma general, la función seno está dada por la expresión y = A sen (Bx + C), donde A es la amplitud, 2π Segundo Año - Matemática 71 B el período p y −C B el desfase d. y =2sen(2x +) 2 1 0 0 1.5 C = π B = 2 A = 2 2 1 0 0 1.5 C = 2 B = 3 A = 2 2 1 0 0 1.5 C = 4 B = 2 A = 3 1. Grafica sin tabular las siguientes funciones. a) y = sen x b) y = sen 3x c) y = 3 sen 2x d) y sen x = − 3 2 2 2. Dada la función y = 4 sen 2 4 x − determina. a) La amplitud b) El período c) El desfase 3. Un peso de 6 lb., que cuelga de un resorte se estira 1 3 de pie por debajo de la posición de equilibrio y después se suelta. La distancia “y” en que el peso se desplaza de su punto de equilibrio con respecto al tiempo t en segundos, está dada por y = sen t 1 3 8 . Determina la amplitud y el periodo de la función y grafícala para el intervalo 0 ≤ t ≤ π. y x -0.5 0.5 2 -1 -2 y=Sen x y=3 Sen(2x+4) 3 -3 Observa como en cada una de estas gráficas el desfase es −C y el nuevo período es B 2 π B . y x -0.5 0.5 2 -1 -2 y=Sen x y x -0.5 0.5 2 -1 -2 y=Sen x y=2 Sen(3x+2)
  • 18. UNIDAD 5 1 unidad básica de superficie del SI es: La amplitud de la función y = 4 sen 3x es: a) a) El 3 km2 b) b) El – cm2 3 c) c) El 4 m2 d) d) El – hm2 4 π π 4 El desfase de la función y = 2 sen (3x + π) es: a) − 3 b) 2 c) π 2 3 d) 3 Soluciones 1. c. 2. c. 3. d. 4. a. 72 Matemática - Segundo Año Autocomprobación 4 Para convertir cm2 a dam2: a) Multiplicas por 100 b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000 d) Multiplicas por 1 000,000 2 Diez centímetros cuadrados equivalen a: a) 1 m2 b) 0.01 m2 c) 0.10 m2 d) 0.0010 m2 3 10,000 m2 equivalen a a) 1 km2 b) 2 km2 c) 1 dam2 d) 1 hm2 Cuando la actividad cardíaca se traduce a imágenes mediante el electrocardiógrafo, que es el aparato usado para hacer electrocardiogramas, se obtiene un patrón repetitivo como el de la gráfica. Este comportamiento repetitivo es característico de las funciones trigonométricas, y puede analizarse mediante éstas. Este es el principio de los electrocardiógrafos y de los monitores cardíacos. Estos últimos son aparatos que sirven para dar seguimiento a pacientes graves o en procesos de recuperación. 2 El rango de y = 3 sen 2x es: a) [– 1, 1] b) [– 2, 2] c) [– 3, 3] d) [0, 2π] El período de la función y = 2 sen (3x + π) es: a) 3 c) 3 2 b) 2 d) 2 3 ONDA SENO Y ACTIVIDAD CARDÍACA
  • 19. Lección 3 Segundo Año - Matemática 73 Quinta Unidad Motivación Indicadores de logro Construirás, con precisión y seguridad, el gráfico de las seis funciones trigonométricas. Determinarás, con precisión y seguridad, el dominio y recorrido de las seis funciones trigonométricas. Para graficar y = cos x procedes de forma similar a la función seno: sólo observas como varía P(a, b) = (cos x, sen x) en el círculo trigonométrico. Determinarás con perseverancia la periodicidad en las funciones trigonométricas. Construirás con precisión el gráfico de funciones de la forma: y = A cos (Bx +C) determinando su período con seguridad. En una playa del litoral salvadoreño, la marea sube 1.8 m a partir de cierta línea paralela a la costa y luego de 12 horas baja 1.8 m a partir de la misma línea. Con estos datos puedes construir el gráfico que relaciona la altura de la marea y el tiempo. Gráfico de las funciones cos x, tan x, cot x, sec x, y csc x Gráfico de y = cos x x 0 π 2 π 3 2 π 2π y = cos x 1 0 –1 0 1 y x (0,1) (-1,0) (1,0) (0,-1) P(cos x, sen x) y x 1.5 0.5 0 -0.25 0.25 0 2 1 -0.5 -1 -1.5 0.5 0.75 1.25 1.5 2.5
  • 20. UNIDAD 5 1 -5 -4 -3 -2 - 2 3 4 5 y = cos x es una función par, ya que para cualquier valor de x se cumple que: cos (–x) = cos x. Por ejemplo, cos (–π) = cos π Observa que el período es: 2π, que Df = R y Rf = [–1, 1] = 2 = 2 = 4 4 = C − B 74 Matemática - Segundo Año -0.5 0.5 0.75 y tiempo (h) x (0,1) 0.5 0 -0.5 (-a,a) (a,a) (-1,0) (1,0) (-a,-a) (a,-a) (0,-1) Al igual que en la función seno, la parte de la gráfica de la función coseno que corresponde a 0 ≤ x 2 es un ciclo llamado onda cosenoidal. Puedes ver que el trazado de su gráfico es similar al de la onda senoidal. En la gráfica del coseno se observa que la onda cosenoidal es igual a la onda senoidal desplazada π 2 rad a la izquierda, es decir: y = cos x = sen x + 2 La función y = cos x equivale a sen x + 2 . Al igual que la función seno para: y = A cos (Bx + C), A es la amplitud, 2 π B es el período y −C B es el desfase. Ejemplo 1 Grafica la función y = 1 ( x − ) 2 cos 4 Solución Amplitud:A = 1 2 Período: p B 4 2 Desfase: − = − Como el desfase es positivo, significa que el desplazamiento es hacia la derecha. Luego, el gráfico es: Ahora ya puedes graficar la función planteada al inicio de esta lección. Grafícala en tu cuaderno. Compárala con la siguiente: 15 10 5 Gráfico de y = tan x y y = cot x Observa como varía el valor de la tangente para diversos valores de un ángulo ubicado en el círculo trigonométrico. y x 0 0 -1 y=Cos x y x -0.25 0 0.25 1 -1 2 P= 4 d = y 0 x -5 2 4 6 8 10 12 -10 -15
  • 21. UNIDAD 5 = 1 = + = En el cuadro anterior puedes ver que y = tan θ es una función impar, ya que tan (–θ) = –tan θ. Los resultados que dan ∞ nos indican asíntotas representadas en la siguiente figura. 1 a 0 = 1 a = − 5 4 1 0 1 a 0 1 Segundo Año - Matemática 75 Para valores positivos de un ángulo múltiplos de π 4 radianes, tienes Para valores negativos de un ángulo múltiplos de −− 4 radianes, tienes x (rad) tan x x rad tan x 0 0 1 = 0 0 tan 0 0 1 = = 0 π 4 a a = 1 − 4 tan − = − = − 4 1 a a 2 4 2 0 = − 2 tan − = − = − 2 1 0 3 4 π a −a = − 1 − 3 4 tan − − − 3 = 4 a 4 4 = 0 1 0 − = –π tan (− ) = − 1 0 5 4 π − − = a a 1 − 5 4 tan − = − a 6 3 4 2 − = − 1 0 − 3 2 tan − 3 = = 2 7 4 π − = − a a 1 − 7 4 tan − = = 7 4 a 8 2 4 = 0 1 = 0 –2π tan (−2 ) = = 0 y x 1 -1 2 3 2
  • 22. UNIDAD 5 4 3 2 1 1 -1 76 Matemática - Segundo Año 6 4 2 -2.5 -2 -1.5 - 0 1.5 2.5 Como cot Gráfico de y = tan x = 1 tan x x 0 , para graficar y = cot x simplemente se toman los valores recíprocos de los valores de las ordenadas de la gráfica de y = tan x en la figura. Observa la gráfica. En el intervalo [0, π] cuando x se aproxima a cero por la derecha, y tiende al infinito. Al estudiar el comportamiento de tanx b a = en el intervalo − 2 2 , , puedes ver que cuando x se aproxima a π 2 por la izquierda, a se aproxima a cero mediante valores positivos, mientras que b se aproxima a 1. O sea, tan x b a = crece indefinidamente; es decir, tiende a infinito. Por otro lado, cuando x se aproxima − 2 por la derecha, a se aproxima a cero por medio de valores positivos y b se aproxima a – 1. Esto significa que tan x b a = decrece indefinidamente, o sea, tan x tiende a –∞. Esto se muestra en el siguiente gráfico. Si procedes de la misma manera para los intervalos entre otras asíntotas, se ve que la función tangente es periódica con período π. Por lo tanto, para completar la gráfica de y = tan x sólo se necesita repetir la gráfica de la figura, sobre intervalos de longitud π tanto a la izquierda como a la derecha del intervalo inicial para extender la gráfica hasta donde se desee. Graficando en base a los valores anteriores, tendremos: En este gráfico observas las siguientes características: El período es π Dominio: Todos los números reales excepto los múltiplos de 2 + k , k entero. Rango:  . Función impar y simétrica con respecto al origen. Discontinua en 2 + k ; k entero. Función creciente entre las asíntotas. y 0 x 0 -1 -2 -3 -4 Asíntota vertical Asíntota vertical y x -0.5 0.5 2 -2 -4 -6 y=Tan x y 4 2 0 x 0 -2
  • 23. UNIDAD 5 -2.5 -2 -1.5 - -0.5 0 0.5 1.5 2 2.5 y=sec x = 1 2 1.5 1 0.5 2 1.5 1 0.5 0 y=Csc x = 1 Sen x -2.5 -1.5 0 1.5 2.5 Segundo Año - Matemática 77 Cuando x se aproxima a π por la izquierda y tiende a menos infinito. Esta situación se da en todos los intervalos múltiplos de π. Luego al graficar y = cot x desde –2π hasta 2π obtienes: 6 4 2 Características de y = cot x Período: π Dominio: Todos los números reales excepto kπ, con k entero. Rango:  . Función impar y decreciente entre las asíntotas. Discontinua en kπ, k entero De la misma manera que se obtuvo la gráfica de y = cot x al tomar los valores recíprocos de las coordenadas en la gráfica de y = tan x, haces csc = 1 sec = 1 cos x y x sen x x Observa que cos x = 0, si x vale − 2 2 3 2 , , , etc... Luego, la gráfica de sec x debe tener asíntotas verticales en esos puntos. Además, cuando cos x crece o decrece en un intervalo sec x hace exactamente lo contrario. Para obtener las gráficas de y = csc x e y = sec x tomas los recíprocos de las ordenadas de las gráficas de y = sen x e y = cos x, respectivamente. Características de y = sec x Período: 2π Dominio: Todos los números reales excepto + k , k entero 2 Rango: ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[ Función par (simétrica con respecto al eje y) Discontinua: en 2 + k , k entero Características de y = csc x Período: 2π Dominio: Todos los números reales excepto kπ, k entero Rango: ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[ Función impar (simétrica con respecto a π/2) Gráfico de y = cot x Gráfico de y = sec x Gráfico de y = csc x y 0 x -2 -4 -6 y=Cot x -2.5 -2 -1.5 - -0.5 0 0.5 1.5 2 2.5 y y=Cos x x Cos x 0 -0.5 -1 -1.5 -2 y x -0.5 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 y=Sen x -2 - 2
  • 24. UNIDAD 5 La figura siguiente será muy útil en muchos de los problemas de este ejercicio. 1. Completa la siguiente tabla, en tu cuaderno. Función 78 Matemática - Segundo Año Valor en x 0 R=1 π 2 π 3 π 2 2π sen x 0 cos x 0 tan x 0 cot x sec x No esta definida csc x –1 2. Considera P(a, b) = (cos x, sen x) sobre el círculo trigonométrico o unitario (observa la figura anterior) y completa en tu cuaderno la tabla siguiente, ( significa crecimiento y significa decrecimiento): Significa que: y = sen x En 0 2 , es positiva y creciente En 2 , es positiva y decreciente 3 2 En , π es positiva y creciente ¿Cómo es y = sen x en 3 2 , 2 ? Muy bien, negativa y creciente 1 Actividad Función x varia de 0 a π 2 x varia de π a π 2 x varia de π a 3 2 x varia de 3 2 π a 2 π + – + – + – + – y = sen x = b y = cos x = a y = tan x = b/a y = cot x = a/b b a (0,1) (-1,0) (1,0) (0,-1) P(cos x, sen x) cos x sen x x rad a b x unidades
  • 25. UNIDAD 5 Resumen El gráfico de la función coseno se llama onda cosenoidal. Sus elementos principales son: amplitud, período y desfase. Como la función coseno u onda cosenoidal equivale a la función seno adelantada π/2 radianes, sus características son iguales a la onda senoidal. Ambas funciones son continuas y periódicas. Los gráficos de las otras cuatro funciones presentan características especiales, y son discontinuas. Segundo Año - Matemática 79
  • 26. UNIDAD 5 1 La unidad básica de superficie del SI es: La amplitud de la función y = 3 cos (2x + π) es: a) 2 b) π c) – 3 d) 3 a) El km2 b) El cm2 c) El m2 d) El hm2 80 Matemática - Segundo Año Autocomprobación , , 4 Para convertir cm2 a dam2: Para construir el gráfico de y = sec x se parte del inverso de la función. a) sen x b) cos x c) tan x d) csc x a) Multiplicas por 100 b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000 d) Multiplicas por 1 000,000 2 Diez centímetros cuadrados equivalen a: a) 1 m2 b) 0.01 m2 c) 0.10 m2 d) 0.0010 m2 10,000 m2 equivalen a a) 1 km2 b) 2 km2 c) 1 dam2 d) 1 hm2 1. d. 2. b. 3. d. 4. b. Las funciones trigonométricas tienen mucha aplicación en el movimiento vibratorio oscilatorio. Por ejemplo en el movimiento de una partícula en una cuerda de guitarra a la que se ha hecho vibrar o en un resorte que se ha comprimido y luego se pone a oscilar. De acuerdo a la vibración del instrumento musical, así es el sonido emitido por éstos. Además hay que hacer notar que la misma vibración en dos instrumentos musicales diferentes como guitarra y violín pueden producir sonidos diferentes. Soluciones 2 El período de la función anterior es: a) 2 b) π c) π 2 d) 3 3 La función y = tan x es creciente en el intervalo: a) − − 5 2 3 2 b) − − 3 2 2 c) − , 2 2 d) Todas las anteriores VIBRACIONES MUSICALES
  • 27. Lección 4 Identidades trigonométricas = d) csc = h Segundo Año - Matemática 81 Quinta Unidad Motivación Indicadores de logro r r B P A C d d Determinarás, explicarás y aplicarás las identidades trigonométricas recíprocas, con seguridad y confianza. Determinarás, explicarás y aplicarás las identidades trigonométricas de cociente, con seguridad y confianza. Deducirás, explicarás y aplicarás las identidades pitagóricas, con seguridad y confianza. ¿Cómo haces para comprobar que son idénticos? Transformarás una expresión trigonométrica a una que contenga solamente seno y coseno, con precisión. Verificarás las identidades trigonométricas aplicando las recíprocas, las de cociente y las pitagóricas, con interés. Resolverás problemas utilizando identidades trigonométricas, mostrando respeto a la opinión de los demás. Un ingeniero civil está diseñando la curva de una intersección. Las dos autopistas se cruzan formando un ángulo θ. El borde de la autopista debe unirse con dos puntos A y B por medio de un arco de circunferencia tangente a las autopistas en esos dos puntos. El ingeniero necesita determinar la relación entre el radio del arco r, la distancia “d” de A y B desde la intersección y el ángulo BCA. Observa el dibujo en donde se muestra que A y B son los puntos de tangencia de la circunferencia con las autopistas. Identidades trigonométricas fundamentales En matemática el concepto de “identidad” equivale a “igualdad”. Así, la ecuación (x – 5 )(x + 5) = x2 – 25, es una identidad, ya que es cierta para todo valor de x. Esto lo puedes comprobar dándole a x los valores en los números reales que desees. En esta lección estudiarás las principales identidades trigonométricas. Por definición de las razones trigonométricas tienes: a) sen y h y b) cos = x h e) sec = h x c) tan = y x f) cot = x y h y x
  • 28. UNIDAD 5 = 1 = 1 ( ) Además del círculo unitario tienes: sen θ = y, cos θ = x entonces: tan = y = sen ( ) x cos 4 cot cos 2 P(cos , sen ) 1 + cos = 82 Matemática - Segundo Año = x = ( 5 ) y sen Éstas son las funciones de cociente. Recuerda que el círculo trigonométrico está constituido por todos los puntos P(x, y), tales que su distancia al origen es la unidad, esto es x 2 + y 2 = 1. Además se indicó que para todo ángulo θ, existe un único punto en el círculo trigonométrico que le corresponde. Considera un ángulo θ cualquiera y sea P(x, y), el punto del círculo unitario que le corresponde, entonces se tiene que x2+ y2 = 1, pues las expresiones en ambos lados de la igualdad son positivos; como en el círculo trigonométrico sen θ = y, cos θ = x, se tiene: sen 2 + cos2 = 1 (6) De la relación anterior se obtienen otras dos identidades: sen 2 = 1 − cos2 y cos2 = 1 − sen 2 . Si los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre sen2 θ, obtienes: sen sen 2 sen sen 2 2 2 Esta última expresión es equivalente a: 1 + cot 2 = csc2 (7) Si los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre cos2 θ, obtienes: sen 2 1 cos cos cos + = cos Recíprocas De cociente Pitagóricas sec = 1 cos csc = 1 sen cot = 1 tan tan cos = sen cot cos = sen sen 2 + cos2 = 1 1 + cot 2 = csc2 tan2 + 1 = sec2 2 2 2 2 Es decir: tan2 + 1 = sec2 (8) A las relaciones (6), (7) y (8) se les denomina, identidades trigonométricas pitagóricas: sen 2 + cos2 = 1 (6) 1 + cot 2 = csc2 (7) tan2 + 1 = sec2 (8) En tu cuaderno, prueba la identidad sen 2 + cos2 = 1 para θ = 30º O sea, sen 2 30º + cos2 30º = 1 En resumen, hasta aquí tienes ocho relaciones trigonométricas de suma importancia que reciben el nombre de Identidades Trigonométricas Fundamentales: Otras identidades trigonométricas Los procedimientos algebraicos básicos y las relaciones trigonométricas fundamentales son, las herramientas principales para simplificar expresiones trigonométricas, verificar identidades trigonométricas o resolver ecuaciones trigonométricas. Estos tres ejercicios típicos son importantes porque la mayoría de los problemas de aplicación de la trigonometría requieren la resolución de al menos uno de ellos. ¿Cómo son las razones que aparecen a la par? Puedes ver que: sen sen 1 csc csc cos = 1 = 1 ( ) 2 sec sec cos = 1 = 1 tan ( 3 ) cot cot tan Éstas son las funciones recíprocas. y x
  • 29. UNIDAD 5 Ejemplo 1 Simplifica la expresión trigonométrica cos θ sec θ . Solución: Utiliza una identidad trigonométrica de manera que la expresión original se transforme en otra más simple. Recuerda que: sec Segundo Año - Matemática 83 = 1 , sustituyendo esta identidad en la expresión original tienes: cos cos sec cos . cos cos cos = 1 = = 1 De manera que cos θ sec θ = 1 Ejemplo 2 Simplifica la expresión trigonométrica csc sec x x Solución: Sabes que csc x = 1 sen x y sec = 1 cos x x ; sustituyes en la expresión original y obtienes: csc sec 1 1 de manera que es válida la igualdad cos cos cot x x sen x x x sen x = = = x csc sec cot x x = x En el siguiente ejemplo, el procedimiento de simplificación es más extenso, sin embargo las herramientas que se utilizan son las mismas. Ejemplo 3 Simplifica la expresión trigonométrica ( cos ) sen + − − cot sen cos 2 1
  • 30. UNIDAD 5 sen + − − 2 1 2 + + − (sen 2 + 2 ) + 2sen − 1 1 2 1 2 sen sen sen 2 1 2 2 Por tanto, verificas que la expresión 2sen cos cos 2 1 cos = ( ) 2 2 + − − ( cos ) cot cos 84 Matemática - Segundo Año sen sen 2 1 es igual a la expresión 2 tan2 θ. Solución: ( sen cos ) cot sen cos = − sen sen cos cos cos cos cos = sen sen sen − = + − cos cos cos − = ( ) sen sen 2 cos cos − = − sen sen sen 2 2 2 2 cos cos cos cos = ( − ) = 2 1 2 2 2 2 2 sen sen cos cos cos (sen sen sen = + cos ) − − cot cos c os tan Efectúas el producto notable en el numerador y sustituyes en el denominador cot θ por cos θ sen θ . Sustituyes en el numerador a sen2 θ + cos2 θ por 1 y en el denominador efectúas la diferencia. Reduces términos semejantes en el numerador de la fracción compleja y efectúas el producto de los extremos y medios. Multiplicas en el numerador y denominador por sen θ Factorizas en el denominador aplicando factor común. Cancelas el factor cos θ y sustituyes 1– sen2 θ por cos2 θ Simplificas cos θ y sustituyes 1 – sen2 θ Sustituyes sen θ cos θ por tan θ Otra aplicación de las relaciones trigonométricas es la verificación de las identidades. Una identidad es una igualdad que se cumple para todo valor en el dominio de las funciones involucradas. Para verificar las identidades lo más frecuente es iniciar con un lado de la igualdad y, mediante un procedimiento algebraico válido, transformarlo en la expresión del otro lado. Ejemplo 4 Verifica la identidad trigonométrica tan θ cot θ = 1 Solución: Puedes simplificar el lado izquierdo de la igualdad hasta obtener la expresión del lado derecho. tan cot Sustituyes tan = = 1 sen cos cot cos cos cos y = sen sen sen = 1 Cancelas los factores iguales = 1 1 Obtienes que la igualdad se cumple La identidad ha sido verificada.
  • 31. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 85 Ejemplo 5 Verifica la identidad trigonométrica cos A tan A = sen A Solución: cosA tan A = sen A Sustituyes tan A = sen A A A sen A A sen A Can cos cos cos = celas el factor cos A sen A = sen A Se verifica la identidad Ejemplo 6 Verifica la identidad trigonométrica cot x cos x + sen x = csc x. Solución: cot x cos x + sen x = csc x Sustituyescotx x sen x x sen x x sen x = + = cos cos cos csc cos x Multiplicas x sen x sen x 2 + = csc x Efectuas la suma Sustit cos csc 2x sen 2x sen x x + = uyes cos 1 csc 2 2 1 x sen x sen x x + = = Sustituyes 1 sen x x x = = csc csc csc x Se verifica la identidad Ahora observa cómo se resuelve el problema planteado al inicio de esta lección. De la figura BCA + = 180º . Luego BCA = 180º − . Además, PA ⊥AC , ya que el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Luego, PC bisecta a − ∠º BCA , por lo que PCA = BCA = = º − 1 2 180 2 90 2 Como el triángulo PAC es rectángulo, ya que A = PCA = r d 90º tan , de donde d r PCA = tan cot cot 90 = = − d r PCA d r º 2 Y como cot 90º tan 2 2 − = , entonces d = r tan 2 Una aplicación de esta identidad es: Dos autopistas se encuentran a un ángulo de 34°. El bordillo debe unirse a los puntos A y B localizados a 45 pies del comienzo de la intersección.
  • 32. UNIDAD 5 a) Aproxima el radio del arco que une A y B. b) Determina la longitud del arco. Solución: Considera la fórmula que acabas de encontrar: d = r tan 86 Matemática - Segundo Año Q P R M N ( − ) = + ( − ) Ejemplo 7 Calcula el valor exacto de sen 7 12 Solución: Recuerda que, hasta ahora, sólo se conoce el valor exacto de las funciones trigonométricas para π π π π 3 4 6 2 , , , , por lo tanto debe expresarse π en términos de ellos, 7 12 como 7 4 3 12 + = . Utilizando la fórmula del seno para la suma de ángulos obtienes: sen 7 12 sen sen 4 3 4 = + = 3 4 3 + . cos cos sen Fórmulas para la suma y la diferencia de ángulos Además de las relaciones trigonométricas ya mencionadas, existen algunas expresiones que involucran la suma o diferencia de ángulos: sen(α + β), cos(α + β), tan(α + β), sen(α – β), cos(α – β) y tan(α – β). Para ello es necesario conocer las equivalencias de estas expresiones. Considera los ángulos α y β, tales que el ángulo α + β se representa en posición estándar en la figura dada. Se consideran los ángulos, α, β y α + β en el I cuadrante, pero el resultado es válido para cualquier α y β. Para este ángulo (α + β), se puede seleccionar cualquier punto P sobre su lado terminal de B y a Q sobre el lado terminal de α, tales que PQ ⊥ OQ . Además considera PM ⊥ OX , QN ⊥ OX . Sea el punto R en PM tal que QR ⊥ PM . Como en los ángulos NOQ y MPQ son ángulos agudos de lados perpendiculares, de acuerdo con la construcción, se concluye que: mfNOQ = mfMPQ = α. Recuerda que en notación de ángulos, m significa medida y f significa ángulo. Observa la figura y de acuerdo con ella, analiza la siguiente justificación: Como PM = PR + RM y RM = QN sen PM OP PR QN OP PR OP QN OP ( + ) = = + = + = + = PR PQ OP PQ QN OQ OP OQ . . . . PR PQ PQ OP QN OQ OQ OP . . . . + 2 en este ejemplo, d =45 pies y θ = 34º. Debes determinar r, r = d tan 2 r pies º pies se lee aproxi = 45 34 2 147 19 tan  . ( madamente) Es decir sen (α + β) = sen α . cos β + cos α . sen β. Para encontrar la expresión para sen(α – β), se procede de la siguiente forma: sen sen sen = cos . (− ) + sen (− ) = − + sen sen . cos cos . . cos . cos cos . = sen − sen Esto, debido a que sen (–x) = – sen x, cos (–x) = cos x. Entonces: sen(α – β) = sen α . cos β – cos α . sen β En forma análoga se puede obtener la expresión para cos(α + β) y para cos(α – β). cos(α + β) = cos α . cos β – sen α . sen β cos(α – β) = cos α . cos β + sen α . sen β
  • 33. UNIDAD 5 1. Usando identidades trigonométricas determina: Resumen = 1 = 1 se Segundo Año - Matemática 87 a) sen 75º b) cos 2 3 π rad c) tan 5 6 π rad 2. Comprueba para valores de ángulos internos α, β, γ de un triángulo no rectángulo, que , para calcular esos valores, se aplican las identidades. Ahora sustituyes los valores que ya conoces para las diferentes funciones trigonométricas y simplificas la expresión: 2 1 2 3 2 6 2 + . + . = + = 6 2 2 2 2 4 4 4 de donde el valor exacto de sen 7 12 es + 2 6 4 . Ejemplo 8 Calcula el valor exacto de cos 15º Solución: En igual forma, se expresa 15º en términos de ángulos cuyos valores para las funciones trigonométricas se conozcan: 15º = 45º – 30º cos 15º = cos (45º – 30º) = cos45º cos30º + sen45º sen30º Se sustituyen los valores de las diferentes funciones trigonométricas y se simplifica la expresión: 2 1 + 2 3 = 2 + 6 2 + 6 . . = 2 2 2 2 4 4 4 Ejemplo 9 Calcula el valor exacto de tan 5 12 Solución: En la misma forma, se descompone π en términos 5 12 de π π 6 4 y como = + , luego se utiliza la 5 12 6 4 fórmula para la suma de ángulos para la tangente y se obtiene: 5 tan 12 6 4 6 tan tan = + = + tan tan .tan 4 1 6 4 − al sustituir los valores de las funciones trigonométricas y simplificar la expresión obtienes: 3 3 1 1 3 3 1 3 3 3 3 6 3 12 6 2 3 + − = + − = + = + . Actividad 1 Por lo tanto, tan 5 12 2 3 = + Estas son las identidades que has estudiado en esta lección 1. sen sen o = 1 = 1 csc csc 2. cos c sec cos o 3. tan cot cot tan o = 1 = 1 4. sen 2 + cos2 = 1 5. tan2 + 1 = sec2 6. 1 + cot 2 = csc2 7. sen ( + ) = sen . cos + cos .sen 8. sen ( − ) = sen . cos − cos .sen 9. cos( + ) = cos . cos − sen .sen 10. cos( − ) = cos . cos + sen .sen 11. tan tan tan tan tan ( + ) = 1 −
  • 34. UNIDAD 5 Soluciones 1. c. 2. b. 3. a. 4. c. POTENCIA DE UN CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA 88 Matemática - Segundo Año Autocomprobación Al escribir tan x cos x únicamente en términos de sen θ, resulta: a) sen2 x b) 1 sen x c) sen x d) 1 sen 2x 4 El valor de sen 2 2 3 4 3 4 + cos es: a) 0 b) 1 c) 0.71 d) 0.87 2 La expresión cos 75º equivale a: a) cos( 90º – 15º) b) cos(90º + 15º) c) 1 d) 0 Un ejemplo de identidad trigonométrica es: 3 a) cos 60º = 0.5 b) sen 2 = 1 c) tan cos = sen d) cot = 3 5 1 Las aplicaciones de las identidades trigonométricas se dan en muchas áreas del conocimiento. Por ejemplo, en un circuito de corriente alterna con reactancia, la potencia es: P = Vmáx Imáx cos θ t sen θ t Mediante identidades trigonométricas se demuestra que: P V ax = sen t max Im 2 2 Donde: P = potencia V = voltaje I = intensidad de la corriente
  • 35. Ecuaciones trigonométricas ¿Qué es una ecuación trigonométrica? Segundo Año - Matemática 89 Quinta Unidad Motivación Indicadores de logro 1 2 Identificarás, resolverás y explicarás, con seguridad y confianza, ecuaciones trigonométricas de una sola función. Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de ángulos desconocidos. Si la ecuación trigonométrica es verdadera para todo valor posible de los ángulos, se llama identidad trigonométrica. Por ejemplo la ecuación sen2 θ + cos2 θ = 1 es una identidad, ya que, como lo puedes comprobar, es cierta para todo valor del ángulo θ. Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se llama ecuación condicional. Ésta es cierta para algunos valores del ángulo. Por ejemplo, la ecuación sen = 1 2 , es una ecuación condicional: es cierta para los valores = 30º = 6 rad y = 150º = 5 6 rad , en el intervalo [0, 2π] Compruébalo en tu cuaderno. Resolverás problemas, con perseverancia, utilizando ecuaciones trigonométricas. En un taller de mecánica industrial, se desea fabricar una pieza como la que aparece a la derecha. ¿Cuáles deben ser los valores del ángulo θ para que la pieza tenga las medidas que se indican? Este problema sugiere la ecuación sen = 1 2 ¿qué valores de θ cumplen con esta ecuación? En esta lección aprenderás a calcular los valores del ángulo que satisfacen ecuaciones con funciones trigonométricas. Lección 5 Al conjunto de números reales que satisfacen la ecuación se denomina conjunto solución, el cual se denota { por S. Así para el ejemplo anterior, S = 5 , } en [0, 2π]. 6 6 Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad de que la incógnita está relacionada con un ángulo. Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes, sin embargo, las soluciones, como números reales que son, se expresarán en radianes, salvo que en el ejemplo o ejercicio se especifique lo contrario. Los métodos para resolver una ecuación trigonométrica son similares a los utilizados para resolver ecuaciones algebraicas. Igual que en la verificación de identidades trigonométricas, con frecuencia se requerirá el uso de algunas propiedades trigonométricas fundamentales. En la solución de una ecuación de este tipo se debe tomar en cuenta la periodicidad de las funciones trigonométricas.
  • 36. UNIDAD 5 Es muy importante recalcar que al resolver una ecuación trigonométrica, es suficiente encontrar sus soluciones entre 0 y 2π. Luego, de acuerdo con el período de la respectiva función, basta sumar a estas soluciones múltiplos de π ó 2π, según corresponda al período de las funciones que contiene la ecuación, para obtener las demás soluciones. Ejemplo 1 Resuelve la ecuación 2cos θ – 1 = 0 Solución: Al despejar el valor de cos θ de la ecuación, se tiene: cos = 1 2 ¿Para qué valores de θ, el coseno de θ es igual a 90 Matemática - Segundo Año 1 2 ? De los triángulos básicos de las funciones trigonométricas, o por calculadora, obtienes: cos 3 1 2 = , es decir, = 3 es solución de la ecuación dada. Además, como la función cos x es positiva en el primero y en el cuarto cuadrante, y = 3 pertenece al primer cuadrante, la ecuación tiene otra solución en el cuarto cuadrante cuyo ángulo de referencia es π 3 , esta solución sería = 2 − = 3 5 3 Con esto, las únicas soluciones de la ecuación cos = 1 2 en el intervalo [0, 2π], son = 3 y = 5 3 ; es decir, el conjunto solución de la ecuación es: S = { 5 , } 3 3 Ejemplo 2 Resuelve la ecuación tan θ = – 1 en [0, 2π] Solución: Para resolver la ecuación tan θ = – 1, lo primero que debes notar es que las soluciones que se buscan se ubican en el segundo y cuarto cuadrante, pues la tangente es negativa en esos dos cuadrantes. De los triángulos básicos se sabe que tan 4 = 1 y por ello = 4 corresponde al ángulo de referencia para las soluciones. La solución cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante y tiene ángulo de referencia = 4 es − = 3 4 4 . Falta encontrar el ángulo que se encuentra en el cuarto cuadrante cuyo ángulo de referencia es π 4 , este es 2 4 7 4 − = . Así, el conjunto solución de la ecuación tan θ = – 1 en el 3 7 intervalo [0, 2π[ es S = { , } 4 4 1 1 2 1 3 2 y x 5 3 -1 3 1 y 2 0 0 3 4 7 4
  • 37. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 91 Ejemplo 3 Resuelve la ecuación 2sen + 3 = 0 Solución: Al despejar sen θ de la ecuación, se tiene: sen = − 3 2 Para resolver esta ecuación, primero debes notar que las soluciones que se buscan se ubican en el tercer y cuarto cuadrante, pues sen x es negativa en esos cuadrantes. De la tabla de valores para las funciones trigonométricas, sabes que sen 3 3 2 = y por ello = 3 corresponde al ángulo de referencia. La solución cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante con este ángulo de referencia es + = 4 3 3 . Falta encontrar el ángulo que se encuentra en el cuarto cuadrante con ese mismo ángulo de referencia, este es 2 3 5 3 − = . Así, las soluciones de la ecuación 2sen + 3 = 0 , en el intervalo [0, 2π], son = 4 3 y = 5 3 . El conjunto solución de la ecuación dada es: S = { 4 5 , } 3 3 2 Ejemplo 4 Resuelve la ecuación sen θ tan θ = sen θ en el intervalo [0, 2π] Solución: La ecuación dada es equivalente a la ecuación sen θ tan θ – sen θ = 0. Factorizando obtienes: sen θ(tan θ – 1) = 0 Las soluciones de esta ecuación corresponden a las soluciones de las ecuaciones sen θ = 0 y tan θ – 1 = 0. Las soluciones de sen θ = 0, en el intervalo[0, 2π] son θ = 0 y θ = π Para resolver la ecuación tan θ = 1, se obtiene primero la solución = 4 en el primer cuadrante, y como la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante, falta encontrar el ángulo que se encuentra en el tercer cuadrante cuyo ángulo de referencia es π 4 , este es + = 4 5 4 Así, las soluciones de la ecuación tan θ = 1, en el intervalo [0, 2π] son π 5 π y 4 4 y x 5 4 -1 4 1 En conclusión, el conjunto solución de la ecuación dada se obtiene de la unión de las soluciones de las dos ecuaciones {anteriores, es decir, S = 5 0 , , , } 4 4 y 0 0 4 3 5 3 1 − 3 2 2
  • 38. UNIDAD 5 ¿Cómo encuentras una solución sin restricciones? El hecho de poner un intervalo donde deben estar las soluciones es una restricción sobre ellas; el conjunto solución de la ecuación x2 = 4 sin poner restricciones es sin duda, S = {– 2, 2}; sin embargo, el conjunto solución de la ecuación x2 = 4 en el intervalo ]– ∞, 0] es S = {– 2}. Observa que, como la función sen x, tiene período 2π y la función tan x tiene período π, el conjunto solución del ejemplo anterior si no se pide la solución restringida al intervalo [0, 2π], es S = {k + k con k Z } = 0 , cos , cos , Todas las soluciones de la ecuación dada corresponden a los ángulos coterminales a θ = 0 y a θ = π, que se pueden escribir como el conjunto solución S ={kπ, con k ∈ Z}. Ejemplo 6 Resuelve la ecuación 2 sen (4 ) − 1 = 0 , en el intervalo[0, 2π]. Solución: Despejas el valor de sen (4θ) de la ecuación, y tienes: sen 4 92 Matemática - Segundo Año 1 2 ( ) = . ¿Cuál es el ángulo x tal que sen x = 1 2 ? Se cumple para x = + k 4 2 , y x = 3 + k 4 2 . , , 4 . Nota además que en este conjunto solución encuentras incluidas las soluciones particulares 0, π π 5 π , , 4 4 , que se obtienen dando a k los valores de 0 y 1. Ejemplo 5 Halla el conjunto solución de la ecuación cos2 θ = cos2θ Solución: ¿Recuerdas la identidad trigonométrica cos 2 θ = 2 cos2θ – 1? Sustituyes cos 2 θ en la ecuación y tienes: cos cos – cos cos 2 2 2 2 2 1 2 = − + 1 0 1 = Igualas a cero − cos ( cos 2 0 1 = Reduces términos semejantes − ) (1 + cos ) = 0 Descompones en factores 1 0 1 − = = 1 + cos = 0 Igualas a cero cada factor cos = − 1 Despejas cos = Resuelves para
  • 39. UNIDAD 5 = , y Segundo Año - Matemática 93 = + k y 4 2 Sustituyes x = (4θ) y obtienes 4 4 3 4 2 = + k Al dividir por 4 los valores de θ son: = + 16 2 k y k = 3 + 16 2 Si tomas los valores para k = 0, 1, 2, 3, las soluciones son: π 3 π 9 π 11 π 17 π 19 π 25 π 27 π , , , , , , , 16 16 16 16 16 16 16 16 que corresponden a los ángulos en [0, 2π[. Compruébalo en tu cuaderno. Fíjate que en el ejemplo anterior la función sen4θ tiene un período de 2 4 2 así, la función completa 4 períodos en el intervalo [0, 2π]. En cada período se tienen 2 soluciones y como son 4 períodos, se obtienen 8 soluciones en total. Ejemplo 7 Resuelve 3 sen θ = 2 cos2 θ. Expresa la solución en grados y radianes. Solución: Al usar la identidad fundamental cos2 θ = 1 – sen2 θ, la ecuación dada se transforma en la ecuación: 3 sen θ = 2(1 – sen2 θ) = 2 – 2 sen2 θ. Así, 3 sen θ = 2 – 2 sen2 θ. Resuelves esta ecuación y tienes: 2sen 2 + 3sen − 2 = 0 Transponiendo terminos sen = − ± 2 − ( )(− ) 3 3 4 2 2 ( ) 2 2 Fórmula cuadrática para despejarsen − 3 ± 5 = 1 = 4 2 sen luegosen ysen = − 2 Para resolver la ecuación sen = 1 2 buscas el ángulo de referencia, el cual es π 6 ó 30º, y trasladas este ángulo a los cuadrantes donde la función sen x es positiva (I y II). Así, las soluciones en [0º, 360º[ son = = º 6 30 = = º 5 6 150 La ecuación sen θ = – 2 no tiene soluciones pues el sen x sólo toma valores entre – 1 y 1 y por ello, ningún valor θ cumple con la ecuación sen θ = – 2. El conjunto solución es { 5 S = + 2 k + k conk Z } 6 6 ; 2 , que expresado en grados corresponde al conjunto {30º + 360º k; 150º + 360º k, con k ∈ Z}
  • 40. UNIDAD 5 Ejemplo 8 Resuelve la ecuación sen 2θ cos θ+ sen θ cos 2 θ = 0 Solución: Usas las fórmulas del ángulo doble: sen 2 θ = 2 sen θ cos θ y cos 2 θ = cos2 θ – sen2 θ La ecuación dada es equivalente a: (2sen θ cos θ) cos θ + sen θ (cos2 θ – sen2 θ) = 0 Factorizando obtienes la ecuación: sen θ (2 cos2 θ + cos2 θ – sen2 θ) = 0 La cual es equivalente a sen θ (3 cos2 θ – sen2 θ) = 0. Al usar la fórmula sen2 θ = 1 – cos2 θ, la última ecuación se transforma en la ecuación sen θ (4 cos2 θ – 1) = 0. Luego sen θ = 0 ó 4 cos2 θ – 1 = 0 Por último, se procede a resolver las dos ecuaciones. Resuélvelas en tu cuaderno. Ejemplo 9 En una ciudad, el número de horas de claridad D(t) en cierto período del año se aproxima mediante la ecuación D ( t ) = sen ( t − ) , en donde t está 2 365 3 + 79 12 en días y t = 0 corresponde al día 1 de enero. ¿Cuáles días del año tienen exactamente 10.5 horas de claridad? Solución: Para responder a la pregunta planteada necesitas resolver la ecuación: 3 ( ) . − 2 365 + = 79 12 10 5 sen t 3 − 9 1 5 ( ) 2 365 7 sen t = − . Al dividir entre 3, esta ecuación resulta equivalente a la ecuación: sen t ( ) − 2 365 79 1 2 = − 94 Matemática - Segundo Año (t − ) = ó (t − ) = y t 7 6 6 6 11 6 y t 330º 210º 30º 30º Si se llama = 2 − 365 (t 79) la ecuación anterior se escribe como sen = − 1 2 el ángulo de referencia es π 6 y las soluciones buscadas están en el tercer y cuarto cuadrante (pues el seno es negativo es estos cuadrantes) La solución en el tercer cuadrante es = + = 6 7 6 y la solución en el cuarto cuadrante es = 2 − = 6 11 6 , estos dos valores corresponden a las soluciones en [0, 2π[. De esta manera, se deben determinar los valores t tales que: 2 7 2 11 79 79 365 6 365 6
  • 41. UNIDAD 5 El día 292 corresponde al 19 de octubre, el día 414 – 365 = 49 del año, que corresponde al 18 de febrero. ¿Por qué no se considera la segunda de las respuestas? Resumen (t − )= es equivalente a la ( ) ( ) (t − ) = es equivalente a la ( ) ( ) ; al simplificar y luego 1 Actividad despejar el valor de t obtienes: t = + 4015 12 79 414 Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de ángulos desconocidos. Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se llama ecuación condicional. Ésta es cierta para algunos valores del ángulo. Para resolver una ecuación trigonométrica se usan los mismos principios que en una ecuación algebraica. Al conjunto de números reales que satisfacen la ecuación se denomina conjunto solución, el cual se denota por S. Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad de que la incógnita está relacionada con un ángulo. Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes, sin embargo, las soluciones, como números reales que son, se expresan en radianes, salvo que se especifique lo contrario. A veces, es necesario aplicar alguna identidad que permita despejar la variable de interés. Segundo Año - Matemática 95 La ecuación 2 365 79 7 6 ecuación t − 79 = 7 365 6 2 ; si simplificas y luego despejas el valor de t = + 2555 12 79 292 La ecuación 2 365 79 11 6 ecuación t − 79 = 11 365 6 2 1. Determina las soluciones de la ecuación cos x = − 2 2 . 2. Determina las soluciones de las ecuaciones: a) sen x = − 1 2 ; b) tan θ = 1 en el intervalo [–π, π] 3. Encuentra las soluciones de la ecuación csc x = –14.07 en el intervalo [0, 2 π [ 4. Resuelve la ecuación sen2x = sen x en el intervalo [0, 2 π [
  • 42. UNIDAD 5 1 Al resolver 2cos θ = 0, la solución para θ es: 7 6 { , } 7 4 { , } d) {1.31, 2.63} 2 La solución de 2cos x = 3 es 96 Matemática - Segundo Año Autocomprobación 3 2 { , } c) 3 4 { , } 5 3 { , } c) 3 4 { , } 11 6 { , } d) 3 2 { , } 1. c. 2. a. 3. a. 4. b. Al igual que las identidades, las ecuaciones trigonométricas se aplican en casi todas las áreas del conocimiento. Por ejemplo, el desplazamiento de un pistón puede determinarse al sustituir los valores de π y t en la ecuación d = sen π t + cos π t. En dicha ecuación tenemos: d = desplazamiento π = velocidad angular t = tiempo Soluciones Al resolver 3tan x = 3, las soluciones para x son: a) {0.62 , 2.10} c) 6 b) 4 a) 2 2 4 { , } b) { , 0} d) 4 3 Al resolver cos 4 2 2 x = , las soluciones para x son: a) 11.25 , 191.25 {  } b) 180 191 25   { , . } c) 11.25 , 150.8 {  } d) 45 315   { , } a) 3 4 b) 6 2 4 DESPLAZAMIENTO DE UN PISTÓN
  • 43. 4 2 8 Segundo Año - Matemática 97 Solucionario Lección 1 Actividad 1: 2. 75 + 360 = 435º 75 + 2(360) = 795º 75 – 360 = – 285º 75 – 3(360) = –1005º 4. b) 180º – 150º = 30º d) 360º – 300º = 60º Actividad 2: 1. a) sen 0º = 0 b) sen 90º = 1 j) tan 90º = ∞ o) cot 180º = –∞ Lección 2: Actividad 1: π 2 π rad = 135º ; π rad = 180º, etc. rad = 90º; 3 4 Actividad 2: 1. a) d) = c) − 3 1 3 1 2. a) A = 4 b) 2 2 = − C = − B y x -0.25 0 0 2 -1 -2 -3 0.5 1.5 2 y 0 x 0 2 -1 -2 -3 0.25 0.75 1.25 1.75 2.25
  • 44. Lección 4 Actividad 1: b) Desarrollando cos 98 Matemática - Segundo Año π asi: 2 3 cos 2 = cos 3 3 + = cos π 3 cos π 3 Solucionario – sen π 3 sen π 3 c) Desarrollando tan 5 6 π asi: = + 5 6 2 3 tan tan tan tan 2 3 1 = 2 3 − tan tan Lección 5 Actividad 1: 1. cos x = − 2 2 está asociado con un triángulo de referencia de 45º en el 2º y 3º cuadrante. Luego, las soluciones para x son 3 π 5 π , 4 4 = 4 2. b) Como tan θ = 1, este valor corresponde a rad y 7 π rad, pero como este último valor cae fuera del 4 intervalo [–π, π], no forma parte de la solución, − 3 4 también es solución. 4. sen 2x = sen x; pero sen 2x = 2 sen x cos x, por lo que 2 sen x cos x = sen x; por lo que 2 sen x cos x – sen x = 0 y al factorizar: sen x (2 cos x – 1) = 0. Luego, sen x = 0, lo que nos da x = 0, π, y 2 cos x – 1 = 0 nos da cos x = 1 2 lo que implica x = π 5 π 3 3 , , por lo que x = 0, π, π 5 π , 3 3
  • 45. Segundo Año - Matemática 99 Proyecto La cooperativa pesquera de la playa El Cuco, con el apoyo del Servicio Meteorológico, determina que la marea sobre su nivel medio está dada por la expresión y = 2.1 cos 0.45 t, donde y está dado en metros y t en horas, para fines de hacerse a la mar, los pescadores están interesados en averiguar: a) La altura de la marea a las 9:30 a.m y a las 2:50 p.m. b) A qué horas la altura sobre el nivel medio es de 2.5 m c) Trazar dos periodos de la gráfica. Ayúdale a los pescadores a resolver esta situación. Nota: considera t = 0 a las 6:00 a.m por lo que se comienza con 2.1 metros, ya que y = 2.1 cos(0.45)(0) = 2.1 cos 0 = 2.1
  • 46. 100 Matemática - Segundo Año Recursos BARNETT, Raymond, Álgebra y trigonometría. Editorial Mc Graw Hill, tercera edición, Colombia, 1990 FLEMING, Walter y Varberg, Dale. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Editorial Prentice Hall, tercera edición, México, 1991 JURGENSEN, Ray; Donnelly, Alfred y Dolciani, Mary, Geometría moderna. Editorial Publicaciones Cultural, tercera reimpresión, México, 1972 http://www.youtube.com/watch?v=pslHAPjZNv0 http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_sinusoidal
  • 47. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 101 Colofón
  • 48. UNIDAD 5 102 Matemática - Segundo Año