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UTILICEMOS LA
TRIGONOMETRÍA
	 Objetivos de la Unidad:
	 Propondrás soluciones aplicando las funciones, identidades y
ecuaciones trigonométricas, haciendo uso de gráficos para representar
y explicar el comportamiento de fenómenos escolares y sociales.
MATEMÁTICA
Unidad 5
Descripción del proyecto
Mediante funciones trigonométricas se determina la altura de la marea sobre su
nivel medio.
Funciones trigonométricas
Círculo trigonométrico
Ángulos de
referencia
Signos de las
variables
Ángulos
cuadrantales
Números reales
Gráficos
RangoDominio
Período
Características
Amplitud Desfase
a partir del utilizando
utilizando sus
son determinando
Segundo Año - Matemática 57
Quinta Unidad Lección 1
El círculo trigonométrico y funciones de
ángulos Cuadrantales
Motivación
Indicadores de logro
En trigonometría, los ángulos pueden ser positivos o negativos. El lado desde el cual
comienza a medirse un ángulo se llama lado inicial y el lado donde finaliza la medición se
llama lado terminal del ángulo.
Si la rotación del lado inicial al lado terminal se efectúa en sentido contrario de las agujas del
reloj, el ángulo es positivo.
El ángulo es negativo en caso contrario, o sea, cuando la rotación se efectúa en el sentido de
las agujas del reloj.
	 Construirásconinterésyprecisiónelcírculounitario.
	 Determinarásyexplicarás,conseguridad,lasfuncionestrigonométricas
enelcírculotrigonométricoapartirdelpunto(x,y).
	 Deducirásycalcularásconinteréslasfuncionestrigonométricasde
ánguloscuadrantales.
Pedro y Juan trotan sobre una pista circular.
Agarrados de una cuerda que los une al centro de la
pista.
Pedro recorre círculo y cuarto, Juan recorre un
cuarto de círculo.
¿Puedes decir cuál es en grados el ángulo generado
por la cuerda de Pedro?
¿Cuál es en radianes el ángulo generado por la cuerda
de Juan?
Signo de los ángulos
Lado inicial
Lado inicial
Ladoterminal
Ladoterminal
Ángulo positivo: rotación en sentido contrario al
movimiento de las agujas del reloj.
Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido del
movimiento de las agujas del reloj.
Lado inicial
Lado inicial
Ladoterminal
Ladoterminal
Ángulo positivo: rotación en sentido contrario al
movimiento de las agujas del reloj.
Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido del
movimiento de las agujas del reloj.
B
A
58 Matemática - Segundo Año
UNIDAD 5
Ejemplo 1
Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia
de: a) 75º b) 120º c) 210º d) 315º
Solución
d)
c)
b)
Ubicación de θ en
los cuadrantes
Ángulo de referencia
θ’ es igual a
I θ
II 1800
– θ
III θ – 1800
IV 3600
– θ
El ángulo de referencia de θ denotado por, θ’ es el menor
ángulo cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x.
a)
El ángulo θ se mide desde la parte positiva del eje x,
hasta el lado terminal de θ. El ángulo de referencia
θ’ siempre se define con respecto al eje x, nunca con
respecto al eje y.
Ángulos coterminales o equivalentes
Retomando la pregunta planteada al inicio de la lección:
¿Puedes decir cuál es el ángulo descrito por la cuerda
de Pedro?
Tienes que en ese instante, Pedro ha descrito un ángulo
de 360° + 90° = 450°. Juan un ángulo de 90°. Observa
que ambos están en el punto B. Los ángulos 90° y 450°
son ejemplos de ángulos llamados coterminales.
Ángulo de referencia
En general si θ está
en el cuadrante I,
θ = θ’
En general si θ está
en el cuadrante II,
θ’ = 180º – θ
Si θ está en el
cuadrante III,
θ’ = θ – 180º
Si θ está en el
cuadrante IV,
θ’ = 360º – θ
y
x
θ
θ1
y
x
θ =75
y
x
θ =120
θ1
=180 −120
=60
En general, tienes que si dos ángulos poseen el
mismo lado inicial y el mismo lado terminal, se
llaman coterminales.
Para determinar los ángulos coterminales de un ángulo,
sumas o restas una o más veces 360º a dicho ángulo.
Puedes ver que un ángulo posee un infinito número de
ángulos coterminales o equivalentes:
θ = θ ± n 360º, n = 0, 1, 2, 3, 4,…..
Si el lado terminal coincide con uno de los ejes de
coordenadas, el ángulo se llama cuadrantal: 90º, 180º,
270º, y 360º son ángulos cuadrantales.
y
x
=45
θ1
=360 −315
y
x
θ =210
θ1
=210 −180
=30
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 59
Ejemplo 2
Encuentra cuatro ángulos coterminales de 100º
Solución:
a) 100º = 100º+ 360º = 460º
b) 100º = 100º + 2(360º) = 820º
c) 100º = 100º – 360º = – 260º
d) 100º = 100º – 2(360º) = – 620º
Ejemplo 3
Simplifica el ángulo θ = 5248º
Solución:
Comienzas averiguando cuántas veces contiene el
ángulo θ a 360º. Para ello divides: 5248 entre 360 y la
parte entera que es 14 es el nº de veces que contiene
a 360.
Luego, como 5248 contiene 14 veces a 360º, al ángulo
5248 le restas 14 veces 360º.
5248º – 14 (360º)
5248º – 5040º = 208º
Concluyes entonces que las dos formas más simples o
valores canónicos de θ, son 208º y 208º – 360º = – 152º
Definición de las funciones
trigonométricas de cualquier ángulo
Sea θ un ángulo en posición normal o estándar:
Su vértice coincide con el origen del sistema de
coordenadas, y su lado inicial coincide con el eje
x positivo.
Si llamamos distancia al valor del segmento OP; abscisa,
al valor x; ordenada, al valor y, las funciones de θ se
definen así:
sen
y
d
ordenada
distancia
θ = = 	 cos
abscisa
distancia
θ = =
x
d
tan
ordenada
abscisa
θ = =
y
x
	
cot
abscisa
ordenada
θ = =
x
y
sec
distancia
abscisa
θ = =
d
x
	
csc
distancia
ordenada
θ = =
d
y
Ejemplo 4
Determina en forma gráfica las funciones de
	 a) 135º		 b) 210º
Solución
a) El ángulo de 135º posee un ángulo de referencia igual
a 180º – 135º = 45º. Luego, el triángulo de referencia es
de 45º.
En la figura de la derecha se representa la situación,
donde: x = –1, y = 1; d = 2
b) El ángulo de referencia es 210º – 180º = 30º.
Luego, el triángulo de referencia es 30º, donde:
x = − 3 ; y = –1; d = 2
Con estos valores defines las funciones de 210º
y
x
θ
d
x
P(X;Y)
y
x
-1
1
(-1,1)
13545
2
y
x
-1
210
30
2
P(- 3,-1 )
UNIDAD 5
60 Matemática - Segundo Año
El círculo trigonométrico es aquel que tiene por radio la
unidad.
1.	Copiaentucuadernoytrazaelángulodereferenciaθ’delánguloθ.
Actividad1
2.	Encuentradosángulospositivosydosnegativosquesoncoterminalesoequivalentesa75º.
3.	Hallalosdosángulosequivalentesdeθ=3500ºentre0ºy360ºyrepreséntalosenelplanocartesiano.
4.	Representaenelplanocartesianoelángulodereferenciaydeterminasuvalorsi:
a)	 θ=45º		 c) θ=3500º
b)	 θ=150º		 d) θ=300º
5.	Laruedadelanteradeunabicicletatieneundiámetrode
40cm,ylatrasera60cm¿Quéángulogiralaruedadelanteracuandolatraseragira8radianes?
6.	Determinagráficamentelasfuncionesde
a)	 150º b) 300º c) 225º
x2
+ y2
= r2
, x2
+ y2
= 12
, x2
+ y2
= 1
En el círculo trigonométrico, las funciones de ángulos
son más sencillas de manejar y obtener, debido a que el
valor “d” es el radio de la circunferencia y es igual a 1. Así
d = r = 1.
1. sen
y
d
y
yθ = = =
1
	 4. csc θ
θ
= =
1 1
y sen
2. cos θ = = =
x
d
x
x
1
	 5. sec
cos
θ
θ
= =
1 1
x
3. tan
cos
θ
θ
θ
= =
y
x
sen
	 6. cot
cos
θ
θ
θ
= =
x
y sen
Círculo trigonométrico o unitario
y
x
y
x
y
x
220º
θ
150º
y
x
(0,-1)
(1,0)
(0,1)
(-1,0)
P(x,y)
r=1
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 61
Mediante él, puedes calcular con buena aproximación
las funciones de un ángulo.
sen 37º = 0.6	 sen 225º = –0.7
cos 37º = 0.8	 cos 225º = –0.7
Comprueba los siguientes resultados en tu calculadora.
sen 37º = 0.601815	 sen 225º = –0.7071068
cos 37º = 0.7986355	 cos 225º = –0.7071068
Funciones de ángulos cuadrantales
Los ángulos cuadrantales son aquellos cuyos lados
coinciden con alguna semirrecta del eje x o del eje y.
Éstos son: 90º, 180º, 270º y 360º ó 0º.
Nota que, cuando θ aumenta acercándose a 90º, la
abscisa x cada vez se hace más pequeña: tiende a cero.
Además, cuando θ aumenta acercándose a 90º, la
ordenada “y” cada vez se hace más grande: tiende a uno.
Cuando θ = 90º tienes que x = 0; y = 1; r = 1
Luego:
sen y
x
sen
º
º
º
º
90 1
90 0
90
90
= =
= =
=
cos
tan
ccos
cot
cos
º
(infinito)
º
º
90
1
0
90
90
= = ∞
=
ssen º
º
º
90
0
1
0
90
1
90
1
0
= =
= = = ∞sec
cos
((infinito)
º
º
csc 90
1
90
1
1
1= = =
sen
Si el ángulo continúa aumentando, llegas a 180º, 270º y
360º, ángulos cuyas coordenadas (x, y) representan las
funciones trigonométricas (cos θ, sen θ)
y
x
90
(0,1)
y
x
P(x,y)
1
θ
y
x
(0,1)
225
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
P(0.8, 0.6)
Q(-0.7, -0.7)
37
y
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
θ
y
x
(0,1)
180
(-1,0) (1,0)
UNIDAD 5
62 Matemática - Segundo Año
x = –1; y = 0; r = 1. Para 180º
Luego
sen y
x
sen
º
º
º
180 0
180 1
180
= =
= = −
=
cos
tan
º
º
º
º
180
180
0
1
0
180
180
cos
cot
cos
=
−
=
=
sen º
º
º
180
1
0
180
1
180
1
1
=
−
= −∞
= =
−
sec
cos
== −
= = = ∞º
º
1
180
1
180
1
0
csc
sen
x = 0; y = –1; r = 1. Para 270º
Luego
sen y
x
sen
º
º
º
270 1
270 0
270
= = −
= =
=
cos
tan
º
º
º
º
270
270
1
0
270
270
cos
cot
cos
=
−
= −∞
=
senn º
º
º
270
0
1
0
270
1
270
1
0
=
−
=
= = =sec
cos
º
º
∞
= =
−
= −csc 270
1
270
1
1
1
sen
En las funciones trigonométricas +∞ ó –∞ te indica que
la función es indeterminada.
x = 1; y = 0; r = 1. Para 360º
Luego
sen y
x
º
º
º
360 0
360 1
360
0
1
= =
= =
= =
cos
tan
º
º
º
0
360
1
360
1
0
360
1
360
csc
sec
cos
= = = ∞
=
sen
ºº
º
= =
= = ∞
1
1
1
360
1
0
cot
Ejemplo 5
Un cuerpo de 100 kg pende de dos cuerdas, que forman
con la horizontal, ángulos de 30 ° y 60° como se muestra
en la figura. ¿Puedes calcular la tensión en cada una de
las cuerdas?
ToA ToB
A B
100 kg
0
30º 60º
y
x
(0,1)
270
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
y
x
(0,1)
360
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 63
Resumen
Un ángulo positivo se mide desde su lado inicial hasta su lado terminal, en sentido contrario al movimiento de
las agujas del reloj. Es negativo si se mide en sentido horario.
Ángulo de referencia de un ángulo es aquel cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x.
Ángulos coterminales o equivalentes son aquellos que tienen el mismo lado inicial y terminal.
Círculo trigonométrico es aquel cuyo radio mide uno.
Las funciones de 90º, 180º, 270º y 360º están determinadas por sus coordenadas: (0, 1), (–1, 0), (0, –1) y (1, 0)
respectivamente. El ángulo de 0º es igual al ángulo de 360º.
Solución:
Prolongando la tensión ToA para formar un triángulo de
fuerzas tendremos:
Ya sabes que F
→
∑ = 0 , por lo cual éstas forman
un triángulo y se aplica la siguiente igualdad		
	 ToA
Sen
ToB
Sen
P
Sen30 60 90º º º
= =
Punto de apoyo
1.	Basándoteenlascoordenadasdelcírculotrigonométrico
correspondientea0º,90º,180º,270ºy360º=0º,determina
porsimpleinspecciónelvalorde:
a)	 sen0º		 i) tan0º
b)	 sen90º		 j) tan90º
c)	 sen180º		 k) tan180º
d)	 sen270º		 l) tan270º
e)	 cos0º		 m) cot0º
f)	 cos90º		 n) cot90º
g)	 cos180º		 0) cot180º
h)	 cos270º		 p) cot270º
2.	Uncuerpode200lb.pendededoscuerdasqueforman
ángulosde50°y40°conlahorizontal.Calculalatensiónala
queestásometidacadacuerda.
Actividad 2
y
x
(0,1)
(1,0) (0,-1)
(0-1)
90º
180º
270º
360º = 0
ToA
Sen
P
Sen
ToA
P sen
Sen
Kg
30 90
30
90
100
º º
º
º
=
= =
× 05
1
50
.
= kg
ToB
Sen
P
Sen
ToB
P sen
Sen
Kg
60 90
60
90
100
°
=
°
=
°
°
=
×
=
87
1
87
.
Kg
ToA
A B
100 kg
0
30º 60º
PToB
60º
30º
La tensión de la cuerda A es = 50 kg
La tensión de la cuerda B es = 87 kg
UNIDAD 5
64 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
Soluciones1.c.			2.d.			3.b.			4.b.
	
	 ¿Cuáldelassiguientesfuncionestrigonométricases
indeterminada?
a)	 cos90º
b)	 tan90º
c)	 cot90º
d)	 csc90º
4	 Elvalordetan150ºes
a)	 −
1
3
b)	 − 3
c)	 −
3
3
d) aycsoncorrectos
2
1	 Elánguloequivalentea400ºes
a)	 –40º
b)	 80º
c)	 40º
d)	 320º
3	 Elvalordecos180ºes
a)	 θ
b)	 –1
c)	 ∞
d)	 ningunadelasanteriores
Las funciones trigonométricas de los ángulos
cuadrantales (90º, 180º, 270º y 360º ó 0º ) son
de gran importancia en el gráfico de funciones
y en el análisis de otros fenómenos como las
mareas, el sonido, etc.
Así una representación gráfica de las
mareas es :
LAS MAREAS Y ÁNGULOS CUADRANTALES
120 24
tiempo (h)
Segundo Año - Matemática 65
Quinta Unidad
Motivación
Indicadores de logro
Para resolver el problema anterior, estudiarás
previamente algunos conceptos. El valor de una función
trigonométrica de un número real “t” es el valor de un
ángulo de “t” radianes.
Así, “sen 3” se interpreta como seno del número real 3 o
como el seno de un ángulo de 3 radianes. Obviamente,
sen 3 ≠ sen 30
Concluyes entonces, que los valores de las funciones
trigonométricas de números reales, éstos representan
radianes.
	 Construirás,conprecisiónyseguridad,elgráficodelafunciónseno.
	 Determinarás,conprecisiónyseguridad,eldominioyrecorridodela
funciónseno.
	 Determinarásconperseverancialaperiodicidadenlafunciónseno.
	 Construirásconprecisiónelgráficodefuncionesdelaforma:
y=asen[b(x+c)]+d,y=acos[b(x+c)]+ddeterminandosuperíodo
conseguridad.
La naturaleza y todo lo que ella comprende: mareas,
clima, estaciones, reproducción de los animales,
cosechas, etc., se rigen por ciclos biológicos o ritmos.
Estos ciclos han existido desde el principio de la
vida en el planeta. Se ha demostrado histórica y
estadísticamente que la naturaleza humana sigue una
variedad de ritmos que realizan ciclos a diferentes
frecuencias. En el caso de los seres vivos estos ritmos
se denominan biorritmos, y existen diferentes
biorritmos que afectan nuestro comportamiento en
distintas maneras. En el caso de los humanos, se ha
comprobado estadísticamente que la energía física
se comporta cíclicamente en períodos de 23 días
(mitades de 11 días y medio), la energía emotiva en
períodos 28 días (mitades de 14 días) y la energía
intelectual en 33 días (mitades de 16 días y medio).
Otro ejemplo de fenómeno cíclico es la corriente
alterna. Considera lo siguiente: un generador de
corriente alterna, mide la potencia eléctrica por la
Gráfico de la función seno
Lección 2
Definición de las funciones trigonométricas de números reales
Para hallar los valores de funciones trigonométricas de
números reales mediante calculadora, usas el modo en
radianes. O sea que:
Para graficar una función trigonométrica, el ángulo debe
estar expresado en radianes.
Recuerda que en tercer ciclo, estudiaste como convertir
grados a radianes y viceversa. Para ello llegaste a las
siguientes equivalencias.
expresión siguiente: I = 30 sen120t, donde: t es el
tiempo en segundos.
Podrías calcular ¿Cuál es la amplitud y el
periodo? ¿Cuál es la frecuencia de la corriente?
Es decir, ¿Cuántos ciclos se completan en 1
segundo?
UNIDAD 5
66 Matemática - Segundo Año
Grafica la función y = sen x, donde x es un número real.
Debes encontrar los pares ordenados de números
reales (x, y) que cumplan con la expresión y = sen x.
Una manera de hallar dichos pares es mediante la
calculadora científica. Así halla los valores del rango
asociados con valores del dominio. Por ejemplo, si x = 0
tienes: y = sen 0 = 0.
Así, el par (0, 0) pertenece a la función.
Ejemplo 1
Convierte: a)
2
3
π rad a grados; b) 150º a radianes
Solución:
a) 1
2
3
360
2
2
3
360
2
º º
rad rad= =



 =
π
π
π
π; º120
b) 1 150 150
2
360
2
360
º
º
º º
º
= =




π πrad rad
;  =
5
6
π rad
En lo posible se expresará el ángulo en radianes en
términos de π.
2 π rad = 360º
Despejando 1 radián: 1
360
2
º
rad =
π
Para convertir radianes a grados,
multiplicas por 360º y divides
entre 2π
Despejando 1 grado: 2πrad = 360º, 1
2
360
º =
π rad
Para convertir grados a radianes,
multiplicas por 2π y divides entre
360º.
	 Completaentucuadernoporsimpleinspecciónloscuadrossiguientes:
a)
b)
Actividad1
θ ( rad ) 0
π
4
π
2
3
4
π π
5
4
π
3
2
π
7
4
π 2π
θ ( grados ) 0 450
θ ( rad ) 0
π
3
2
3
π π
4
3
π
5
3
π 2π
θ ( grados ) 0 450
Gráfico de y = sen x
y
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
1
x
P(cos x, sen x)
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 67
Sin embargo el proceso de graficar y = sen x puede
simplificarse al observar como varía el punto
(cos x, sen x) cuando se mueve alrededor del círculo
trigonométrico o unitario.
Para graficar y = sen x en el intervalo [0, 2], usa los
resultados de la figura de la par, complementándolos con
valores de ángulos múltiplos de
π
4
tomados de la tabla
que completaste.
Ejemplo 2
Completa el resultado de las siguientes funciones trigonométricas. Sugerencia: observa el círculo trigonométrico.
a) sen −



 =
π
4
0 ( rad ) 0
π
4
π
2
3
4
π π
5
4
π
3
2
π
7
4
π 2π
y = sen x 0 1.71 1 1.71 0 –1.71 –1 –1.71 0
b) sen −



 =
π
6
Sen Sen
Sen
−



 = − +




=




π π
π
π
4 4
2
7
4
= −
2
2
Observa que: Sen
π
4
2
2



 = ,
luego Sen Sen−



 = −




π π
4 4
Sen Sen
Sen
−



 = − +




=



π π
π
π
6 6
2
11
6 
= −
1
2
Observa que: Sen
π
6
1
2



 = ,
luego Sen Sen−



 = −




π π
6 6
y
x
2ππ0.5π 1.5π
0
1.71
1
-1
-1.71
y
x7
4
π
-1 1
2
2
,
2
2






−
π
4
2
2
,−
2
2






y
x
11
4
π
-1 1
3
2
,
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
2
,−
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
π
6
UNIDAD 5
68 Matemática - Segundo Año
Como estudiaste en la lección anterior, para un ángulo dado x, si se le suma un múltiplo entero de 360º ó 2π radianes.
Así el nuevo ángulo coincide con el ángulo dado x, para cualquier número real x y para cualquier entero n.
Las funciones con este comportamiento repetitivo se llaman funciones periódicas.
La parte de la gráfica de la función seno correspondiente
a 0 < x < 2π es un ciclo. A veces nos referimos a un ciclo
como una onda senoidal.
Como la función es periódica con período 2π, para
completar la gráfica de y = sen x sólo necesitamos repetir
la gráfica hecha para [0, 2π], hacia la izquierda y hacia la
derecha en intervalos de 2π.
Puedes ver que la función está definida para cualquier valor de x, por lo tanto, Df = R. Como la función adquiere valores entre –1
y 1, entonces, Rf = [–1, 1]
c) Sen Sen
Sen
−



 = − +




=



π π
π
π
3 3
2
5
3 
=
Observa que: Sen
π
3



 =
d) Sen Sen
Sen
−



 = − +




=


3
2
3
2
2
2
π π π
π 

=
Observa que: Sen
3
2
π


 =
¿Qué puedes observar o concluir de los resultados
anteriores?
e) Encuentra Sen Sen−








4
3
4
3
yπ π La función y = sen x es una función
impar, porque cumple:
	 sen (–x) = –sen x
y
x
0
0
1
-1
-1π-2π-3π-4π 1π 2π 3π 4π
Se tiene: sen (x + 2πn) = sen x, con n = 1, 2, 3,…
y
x-1 1
1
2
,
3
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
,−
3
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
π
3
y
x-1 1
3
2
π
(0,1)
(0,-1)
−
π
2
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 69
Amplitud, período y desfase
Comencemos con una comparación de los gráficos y = sen x, y = A sen x.
Como el máximo valor de sen x es 1, el máximo valor de A sen x es A. ¿Cuál es el rango de esta
función?El valor A se llama amplitud de la onda seno: multiplica el valor de sen x por A.
En tu cuaderno grafica la función y = 2senx. ¿Cuál es la amplitud? ¿Cuál es la amplitud de
y sen x=
1
3
? ¿Cuál es el rango de cada una de ellas?
Como la onda seno, se completa en el intervalo [0, 2π], ese intervalo es el período p de y = sen x.
En tu cuaderno grafica la onda y = sen 2x ¿Cuál es el período?En el gráfico de y = sen 2x
observas que la onda se repite 2 veces en el intervalo [0, 2π] por lo cual p = =
2
2
π
π .
Es decir, la onda y = sen 2x se
completa en [0, π].
En general, si y = sen Bx,
el período está dado por
p
B
=
2 π
y
x0
1
A y=A Senx
y=Senx
0 0.25π 0.5π 0.75π π 1.25π 1.50π 1.75π 2π
y
x
2π
B
2ππ
UNIDAD 5
70 Matemática - Segundo Año
El gráfico anterior muestra una onda senoidal
desplazada a la izquierda del origen una cantidad igual
a C =
π
2
. Si C es negativo, el desplazamiento es a la
derecha. ¿Cuál es el valor de B en estos ejemplos?
B es el coeficiente de x.
Observa que sucede si B ≠ 1.
En general, al graficar la función y = A sen (Bx + C),
cuando Bx + C = 0, x
C
B
= − y cuando Bx + C = 2π,
x
C
B
=
−2 π
. En este caso el desfase “d” es −
C
B
.
En forma gráfica:
Ejemplo 3
Grafica, sin tabular, la función y = 3 sen 4x. Compara el
gráfico con la función y = sen x.
Solución:
Puedes ver que la amplitud es A = 3; además,
p
B
= = =
2 2
4 2
π π π .
Esto significa que la curva y = 3 sen 4x se completa en
el intervalo 0
2
,
π


. O sea que el intervalo 0
2
,
π



cabe 4 veces en [0, 2π].
Ahora ya puedes resolver la situación planteada al inicio
de la lección. Como I= 30 sen120t, entonces la amplitud
es 30, y el periodo es
2
120 60
π π
= .
Como la frecuencia es el inverso del período, ésta es
igual a
60
1911
π
= . ciclos por segundo.
Desfase de la onda Seno
Observa el gráfico de la función y sen x= +




π
2
¿De qué valor de x parte la función anterior?
Si ésta hubiera sido y sen x= +




π
4
¿De qué valor de x partiría?
Como puedes observar, en la función y = A sen (Bx + C),
la amplitud es A, el período
2 π
B
y el desfase es
d
C
B
= −
y
x
0.5π π 1.5π 2π
y=3 Sen 4x
1
2
3
y
x
2ππ0.5π 1.5π-0.5π
0
0.5
1
-0.5
-1
y=Sen x
y =Sen x +
π
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
y
x0
A
-A 2π
B
2ππ0.5π-0.5π 0
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 71
Resumen
La función seno está dada, en su forma más
simple, por la expresión y = sen x.
El gráfico que resulta se llama onda seno u onda
senoidal. Ésta se repite cada 2 π rad, por lo que su
período es 2π. Su dominio son todos los números
reales y su rango es el intervalo [–1, 1].
En su forma general, la función seno está dada por
la expresión y = A sen (Bx + C), donde A es la
amplitud,
2π
B
el período p y −
C
B
el desfase d.
C = π	 B = 2	 A = 2
C = 2	 B = 3	 A = 2
C = 4	 B = 2	 A = 3
1.	Graficasintabularlassiguientesfunciones.
a)	 y=senx
b)	 y=sen3x
c)	 y=3sen2x
d)	 y sen x= −



3 2
2
π
2.	Dadalafuncióny=4sen 2
4
x −




π
determina.
a)	 Laamplitud
b)	 Elperíodo
c)	 Eldesfase
3.	Unpesode6lb.,quecuelgadeunresorteseestira
1
3
depie
	 pordebajodelaposicióndeequilibrioydespuéssesuelta.
Ladistancia“y”enqueelpesosedesplazadesupuntode
equilibrioconrespectoaltiempotensegundos,estádada
	 por y sen t=
1
3
8 .
	 Determinalaamplitudyelperiododelafunciónygrafícala
paraelintervalo0≤t≤π.
Actividad2
y
x
2ππ0.5π-0.5π
0
1
0 1.5π
2
-1
-2
y=Sen x
y=3 Sen(2x+4)
3
-3
Observa como en cada una de estas gráficas el desfase es
−
C
B
y el nuevo período es
2 π
B
.
y
x
2ππ0.5π-0.5π
0
1
0 1.5π
2
-1
-2
y =2sen(2x +π)
y=Sen x
y
x
2ππ0.5π-0.5π
0
1
0 1.5π
2
-1
-2
y=Sen x
y=2 Sen(3x+2)
UNIDAD 5
72 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
4	 Paraconvertircm2
adam2
:
a) Multiplicas por 100
b) Divides entre 100
c) Divides entre 1 000,000
d) Multiplicas por 1 000,000
2	 Diezcentímetroscuadradosequivalena:
a) 1 m2
b) 0.01 m2
c) 0.10 m2
d) 0.0010 m2
1	 LaunidadbásicadesuperficiedelSIes:
a) El km2
b) El cm2
c) El m2
d) El hm2
3	 10,000m2
equivalena
a) 1 km2
b) 2 km2
c) 1 dam2
d) 1 hm2
	
Cuando la actividad cardíaca se traduce a
imágenes mediante el electrocardiógrafo,
que es el aparato usado para hacer
electrocardiogramas, se obtiene un patrón
repetitivo como el de la gráfica. Este
comportamiento repetitivo es característico
de las funciones trigonométricas, y puede
analizarse mediante éstas.
Este es el principio de los electrocardiógrafos y
de los monitores cardíacos. Estos últimos son
aparatos que sirven para dar seguimiento a
pacientes graves o en procesos de recuperación.
1.c.			2.c.			3.d.			4.a. Soluciones
4	 Eldesfasedelafuncióny=2sen(3x+π)es:
a)	 −
π
3
b)	 2
c)	
2
3
π
d)	 3
2	 Elrangodey=3sen2xes:
a)	 [–1,1]
b)	 [–2,2]
c)	 [–3,3]
d)	 [0,2π]
1	 Laamplituddelafuncióny=4sen3xes:
a)	 3
b)	 –3
c)	 4
d)	 –4
3	 Elperíododelafuncióny=2sen(3x+π)es:
a)	 3	 c)	
3
2
π
b)	 2	 d)	
2
3
π
ONDA SENO Y ACTIVIDAD CARDÍACA
Segundo Año - Matemática 73
Quinta Unidad
Motivación
Indicadores de logro
Para graficar y = cos x procedes de forma similar a la
función seno: sólo observas como varía
P(a, b) = (cos x, sen x) en el círculo trigonométrico.
	 Construirás,conprecisiónyseguridad,elgráficodelasseisfunciones
trigonométricas.
	 Determinarás,conprecisiónyseguridad,eldominioyrecorridodelasseis
funcionestrigonométricas.
	 Determinarásconperseverancialaperiodicidadenlasfunciones
trigonométricas.
	 Construirásconprecisiónelgráficodefuncionesdelaforma:
y=Acos(Bx+C)determinandosuperíodoconseguridad.
En una playa del litoral salvadoreño, la marea sube
1.8 m a partir de cierta línea paralela a la costa y luego
de 12 horas baja 1.8 m a partir de la misma línea.
Con estos datos puedes construir el gráfico que
relaciona la altura de la marea y el tiempo.
Gráfico de las funciones
cos x, tan x, cot x, sec x, y csc x
Lección 3
Gráfico de y = cos x
x 0
π
2
π
3
2
π 2π
y = cos x 1 0 –1 0 1
y
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
P(cos x, sen x)
y
x
π0.25π-0.25π
0
0.5
0 2π
1
-0.5
-1
1.5
-1.5
0.5π 0.75π 1.25π 1.5π 2.5π
UNIDAD 5
74 Matemática - Segundo Año
y
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
(a,a)(-a,a)
(-a,-a) (a,-a)
Al igual que en la función seno, la parte de la gráfica de la
función coseno que corresponde a 0 ≤ x < 2 es un ciclo
llamado onda cosenoidal.
Puedes ver que el trazado de su gráfico es similar al de la
onda senoidal.
En la gráfica del coseno se observa que la onda
cosenoidal es igual a la onda senoidal desplazada
π
2
rad
a la izquierda, es decir: y = cos x = sen x +




π
2
La función y = cos x equivale a sen x +




π
2
.
Al igual que la función seno para: y = A cos (Bx + C), A es
la amplitud,
2 π
B
es el período y −
C
B
es el desfase.
Ejemplo 1
Grafica la función y x= −( )
1
2
4cos π
Solución
Amplitud:A =
1
2
Período: p
B
= = =
2 2
4 2
π π π
Desfase: − = −



 =
−C
B
π π
4 4
y = cos x es una función par, ya que para cualquier valor
de x se cumple que: cos (–x) = cos x. Por ejemplo,
cos (–π) = cos π
Observa que el período es: 2π, que Df = R y Rf = [–1, 1]
Como el desfase es positivo, significa que el
desplazamiento es hacia la derecha. Luego, el gráfico es:
Ahora ya puedes graficar la función planteada al inicio
de esta lección. Grafícala en tu cuaderno. Compárala
con la siguiente:
Gráfico de y = tan x y y = cot x
Observa como varía el valor de la tangente para
diversos valores de un ángulo ubicado en el círculo
trigonométrico.
y
x
0
0
1
-1
-3π-4π 5π2π 3π 4ππ-π-2π-5π
y=Cos x
y
x
0.25π-0.25π
0
0.5
0
1
-1
0.5π 0.75π-0.5π
-0.5
π
2
P=
π
4
d =
y
x0
-5 2 4 6 8 10 12
-10
-15
5
10
15
tiempo (h)
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 75
En el cuadro anterior puedes ver que y = tan θ es una función impar, ya que
tan (–θ) = –tan θ. Los resultados que dan ∞ nos indican asíntotas representadas en la
siguiente figura.
Para valores positivos de un ángulo múltiplos
de
π
4
radianes, tienes
Para valores negativos de un ángulo múltiplos
de −−
π
4
radianes, tienes
x (rad) tan x x rad tan x
0
0
1
0= 0 tan 0
0
1
0= =
π
4
a
a
= 1 −
π
4
tan −



 =
−
= −
π
4
1
a
a
2
24
π π


 =
1
0
= ∞ −
π
2
tan
−


 =
−
= −∞
π
2
1
0
3
4
π
a
a−
= − 1 −
3
4
π tan
− −
−
= +



 =
3
4
1π
a
a
4
4
π
π


 =
0
1
0
−
= –π tan −( ) =
−
=π
0
1
0
5
4
π
−
−
=
a
a
1 −
5
4
π tan
−


 =
−
= −
5
4
1π
a
a
6
3
24
π
π


 =
−
= − ∞
1
0
−
3
2
π tan
−


 = = ∞
3
2
1
0
π
7
4
π
−
= −
a
a
1 −
7
4
π tan
−


 = =
7
4
1π
a
a
8 2
4
π
π


 =
0
1
0= –2π tan −( ) = =2
0
1
0π
y
x
1
-1
π
2
3π
2
UNIDAD 5
76 Matemática - Segundo Año
Como cot
tan
x
x
=
1
, para graficar y = cot x
simplemente se toman los valores recíprocos de los
valores de las ordenadas de la gráfica de y = tan x en la
figura. Observa la gráfica. En el intervalo [0, π] cuando x
se aproxima a cero por la derecha, y tiende al infinito.
Al estudiar el comportamiento de tan x
b
a
= en el
intervalo −



π π
2 2
, , puedes ver que cuando x se
aproxima a
π
2
por la izquierda, a se aproxima a cero
mediante valores positivos, mientras que b se aproxima
a 1. O sea, tan x
b
a
= crece indefinidamente; es decir,
tiende a infinito. Por otro lado, cuando x se aproxima
−
π
2
por la derecha, a se aproxima a cero por medio de
valores positivos y b se aproxima a – 1. Esto significa
que tan x
b
a
= decrece indefinidamente, o sea, tan x
tiende a –∞. Esto se muestra en el siguiente gráfico.
Si procedes de la misma manera para los intervalos entre
otras asíntotas, se ve que la función tangente es periódica
con período π. Por lo tanto, para completar la gráfica de
y = tan x sólo se necesita repetir la gráfica de la figura,
sobre intervalos de longitud π tanto a la izquierda como
a la derecha del intervalo inicial para extender la gráfica
hasta donde se desee. Graficando en base a los valores
anteriores, tendremos:
En este gráfico observas las siguientes características:
	El período es π
	Dominio: Todos los números reales excepto los
	 múltiplos de
π
π
2
+ k , k entero.
	Rango:  .
	Función impar y simétrica con respecto al origen.
	Discontinua en
π
π
2
+ k ; k entero.
	Función creciente entre las asíntotas.
Gráfico de y = tan x
y
x0
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-11
Asíntota
vertical
Asíntota
vertical
y
x
2ππ0.5π-0.5π
0
0 1.5π 2.5π-π-1.5π-2.5π -2π
2
4
6
-2
-4
-6
y=Tan x
y
x0
0
2
4
-2
π
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 77
Cuando x se aproxima a π por la izquierda y tiende
a menos infinito. Esta situación se da en todos los
intervalos múltiplos de π. Luego al graficar y = cot x
desde –2π hasta 2π obtienes:
De la misma manera que se obtuvo la gráfica de y = cot x
al tomar los valores recíprocos de las coordenadas en la
gráfica de y = tan x, haces
csc sec
cos
yx x
xsen x
= =
1 1
Observa que cos x = 0, si x vale −
π π
π
2 2
3
2
, , , .etc..
Luego, la gráfica de sec x debe tener asíntotas verticales
en esos puntos. Además, cuando cos x crece o decrece en
un intervalo sec x hace exactamente lo contrario.
Para obtener las gráficas de y = csc x e y = sec x tomas los
recíprocos de las ordenadas de las gráficas de y = sen x e
y = cos x, respectivamente.
Características de y = cot x
	Período: π
	Dominio: Todos los números reales excepto kπ, con
k entero.
	Rango:  .
	Función impar y decreciente entre las asíntotas.
	Discontinua en kπ, k entero
Características de y = sec x
	Período: 2π
	Dominio: Todos los números reales excepto
	
π
π
2
+ k , k entero
	Rango: ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[
	Función par (simétrica con respecto al eje y)
	Discontinua: en
π
π
2
+ k , k entero
Características de y = csc x
	Período: 2π
	Dominio: Todos los números reales excepto kπ,
k entero
	Rango: ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[
	Función impar (simétrica con respecto a π/2)
Gráfico de y = cot x
Gráfico de y = sec x
Gráfico de y = csc x
y
x0
2
4
6
-2
-4
-6
y=Cot x
2ππ0.5π-0.5π 0 1.5π 2.5π-π-1.5π-2.5π -2π
y
xy=Cos x
Cos x
1y=sec x =
0
0.5
1
1.5
-0.5
-1
-1.5
-2
2
2ππ0.5π-0.5π 0 1.5π 2.5π-π-1.5π-2.5π -2π
y
x
0.5π-0.5π
0
0 1.5π 2.5π-1.5π-2.5π
0.5
1
1.5
-0.5
-1
-1.5
-2
2
y=Sen x
y=Csc x =
Sen x
1
2ππ-π-2π
UNIDAD 5
78 Matemática - Segundo Año
Lafigurasiguienteserámuyútilenmuchosdelosproblemasdeesteejercicio.
1.	Completalasiguientetabla,entucuaderno.
Función
Valor en x
0
π
2
π
3
2
π
2π
sen x 0
cos x 0
tan x 0
cot x
sec x No esta definida
csc x –1
2.	ConsideraP(a,b)=(cosx,senx)sobreelcírculotrigonométricoounitario(observalafiguraanterior)y
completaentucuadernolatablasiguiente,( significacrecimientoy significadecrecimiento):
Significaque:y=senx	 En 0
2
,
π



espositivaycreciente
				 En
π
π
2
,



espositivaydecreciente
En π π,
3
2



 espositivaycreciente
¿Cómoesy=senxen
3
2
2π π,



?Muybien,negativaycreciente
Actividad1
Función
x varia de
0 a
π
2
x varia de
π
2
a π
x varia de
π a
3
2
π
x varia de
3
2
π
a 2 π
+ – + – + – + –
y = sen x = b
y = cos x = a
y = tan x = b/a
y = cot x = a/b
b
a
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
P(cos x, sen x)
cos x
sen x
x rad
R=1
a b
x unidades
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 79
Resumen
El gráfico de la función coseno se llama onda cosenoidal. Sus elementos
principales son: amplitud, período y desfase. Como la función coseno u
onda cosenoidal equivale a la función seno adelantada π/2 radianes, sus
características son iguales a la onda senoidal. Ambas funciones son continuas y
periódicas.
Los gráficos de las otras cuatro funciones presentan características especiales, y
son discontinuas.
UNIDAD 5
80 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
4	 Paraconvertircm2
adam2
:
a) Multiplicas por 100
b) Divides entre 100
c) Divides entre 1 000,000
d) Multiplicas por 1 000,000
2	 Diezcentímetroscuadradosequivalena:
a) 1 m2
b) 0.01 m2
c) 0.10 m2
d) 0.0010 m2
1	 LaunidadbásicadesuperficiedelSIes:
a) El km2
b) El cm2
c) El m2
d) El hm2
3	 10,000m2
equivalena
a) 1 km2
b) 2 km2
c) 1 dam2
d) 1 hm2
	
1.d.			2.b.			3.d.			4.b.
Las funciones trigonométricas tienen mucha
aplicación en el movimiento vibratorio oscilatorio.
Por ejemplo en el movimiento de una partícula
en una cuerda de guitarra a la que se ha hecho
vibrar o en un resorte que se ha comprimido y
luego se pone a oscilar.
De acuerdo a la vibración del instrumento
musical, así es el sonido emitido por éstos.
Además hay que hacer notar que la misma
vibración en dos instrumentos musicales
diferentes como guitarra y violín pueden producir
sonidos diferentes.
Soluciones
4	 Paraconstruirelgráficodey=secxsepartedel
inversodelafunción.
a)	 senx
b)	 cosx
c)	 tanx
d)	 cscx
2	 Elperíododelafunciónanteriores:
a)	 2
b)	 π
c)	
π
2
d)	 3
1	 Laamplituddelafuncióny=3cos(2x+π)es:
a)	 2
b)	 π
c)	 –3
d)	 3
3	 Lafuncióny=tanxescrecienteenelintervalo:
a)	 − −



5
2
3
2
π π
,
b)	 − −



3
2 2
π π
,
c)	 −



π π
2 2
,
d)	 Todaslasanteriores
VIBRACIONES MUSICALES
Segundo Año - Matemática 81
Quinta Unidad
Motivación
Indicadores de logro
r
r
B
P
A C
θ
d
d
Lección 4
¿Cómo haces para comprobar que son idénticos?
	 Determinarás,explicarásyaplicaráslasidentidadestrigonométricas
recíprocas,conseguridadyconfianza.
	 Determinarás,explicarásyaplicaráslasidentidadestrigonométricasde
cociente,conseguridadyconfianza.
	 Deducirás,explicarásyaplicaráslasidentidadespitagóricas,conseguridad
yconfianza.
	 Transformarásunaexpresióntrigonométricaaunaquecontenga
solamentesenoycoseno,conprecisión.
	 Verificaráslasidentidadestrigonométricasaplicandolasrecíprocas,lasde
cocienteylaspitagóricas,coninterés.
	 Resolverásproblemasutilizandoidentidadestrigonométricas,mostrando
respetoalaopinióndelosdemás.
Un ingeniero civil está diseñando la curva de una
intersección. Las dos autopistas se cruzan formando
un ángulo θ. El borde de la autopista debe unirse
con dos puntos A y B por medio de un arco de
circunferencia tangente a las autopistas en esos dos
puntos. El ingeniero necesita determinar la relación
entre el radio del arco r, la distancia “d” de A y B desde
la intersección y el ángulo BCA. Observa el dibujo
en donde se muestra que A y B son los puntos de
tangencia de la circunferencia con las autopistas.
Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricas fundamentales
En matemática el concepto de “identidad” equivale a
“igualdad”. Así, la ecuación (x – 5 )(x + 5) = x2
– 25,
es una identidad, ya que es cierta para todo valor de x.
Esto lo puedes comprobar dándole a x los valores en los
números reales que desees. En esta lección estudiarás las
principales identidades trigonométricas.
Por definición de las razones trigonométricas tienes:
a)	sen
y
h
θ = 	 d) csc θ =
h
y
b)	cos θ =
x
h
	 e) sec θ =
h
x
c)	tan θ =
y
x
	 f) cot θ =
x
y
h y
x
θ
UNIDAD 5
82 Matemática - Segundo Año
Además del círculo unitario tienes: sen θ = y, cos θ = x
entonces:
tan
cos
θ
θ
θ
= = ( )
y
x
sen
4 cot
cos
θ
θ
θ
= = ( )
x
y sen
5
Éstas son las funciones de cociente.
Recuerda que el círculo trigonométrico está constituido
por todos los puntos P(x, y), tales que su distancia al
origen es la unidad, esto es x y2 2
1+ = . Además se
indicó que para todo ángulo θ, existe un único punto en
el círculo trigonométrico que le corresponde.
Considera un ángulo θ cualquiera y sea P(x, y), el punto
del círculo unitario que le corresponde, entonces se
tiene que x2
+ y2
= 1, pues las expresiones en ambos
lados de la igualdad son positivos; como en el círculo
trigonométrico sen θ = y, cos θ = x, se tiene:
sen2 2
1 6θ θ+ = ( )cos
De la relación anterior se obtienen otras dos identidades:
sen sen2 2 2 2
1 1yθ θ θ θ= − = −cos cos .
Si los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre
sen2
θ, obtienes:
sen
sen sen sen
2
2
2
2 2
1θ
θ
θ
θ θ
+ =
cos
Recíprocas De cociente Pitagóricas
sec
cos
θ
θ
=
1
csc θ
θ
=
1
sen
cot θ
θ
=
1
tan
tan
cos
θ
θ
θ
=
sen
cot
cos
θ
θ
θ
=
sen
sen2 2
1θ θ+ =cos
1 2 2
+ =cot cscθ θ
tan sec2 2
1θ θ+ =
Esta última expresión es equivalente a:
1 72 2
+ = ( )cot cscθ θ
Si los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre
cos2
θ, obtienes:
sen2
2
2
2 2
1θ
θ
θ
θ θcos
cos
cos cos
+ =
Es decir: tan sec2 2
1 8θ θ+ = ( )
A las relaciones (6), (7) y (8) se les denomina,
identidades trigonométricas pitagóricas:
sen2 2
1 6θ θ+ = ( )cos
1 72 2
+ = ( )cot cscθ θ
tan sec2 2
1 8θ θ+ = ( )
En tu cuaderno, prueba la identidad
sen2 2
1θ θ+ =cos para θ = 30º
O sea, sen2 2
30 30 1º cos º+ =
En resumen, hasta aquí tienes ocho relaciones
trigonométricas de suma importancia que reciben
el nombre de Identidades Trigonométricas
Fundamentales:
Otras identidades trigonométricas
Los procedimientos algebraicos básicos y las relaciones
trigonométricas fundamentales son, las herramientas
principales para simplificar expresiones trigonométricas,
verificar identidades trigonométricas o resolver
ecuaciones trigonométricas. Estos tres ejercicios típicos
son importantes porque la mayoría de los problemas de
aplicación de la trigonometría requieren la resolución de
al menos uno de ellos.
¿Cómo son las razones que aparecen a la par?
Puedes ver que:
sen
sen
θ
θ
θ
θ
= = ( )
1 1
1
csc
csc
cos θ
θ
θ
θ
θ
= = ( )
1 1
2
sec
sec
cos
tan = = ( )
1 1
3
cot
cot
tanθ
θ
θ
Éstas son las funciones recíprocas.
y
x
θ
P(cos θ, sen θ)
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 83
Ejemplo 1
Simplifica la expresión trigonométrica cos θ sec θ .
Solución:
Utiliza una identidad trigonométrica de manera que la expresión original se transforme
en otra más simple. Recuerda que:
sec
cos
θ
θ
=
1
, sustituyendo esta identidad en la expresión original tienes:
cos sec cos .
cos
cos
cos
θ θ θ
θ
θ
θ
= = =
1
1 De manera que cos θ sec θ = 1
Ejemplo 2
Simplifica la expresión trigonométrica
csc
sec
x
x
Solución:
Sabes que csc x
sen x
=
1
y sec
cos
x
x
=
1
; sustituyes en la expresión original y
obtienes:
csc
sec
cos
cos
cot
x
x
sen x
x
x
sen x
x= = =
1
1
de manera que es válida la igualdad
csc
sec
cot
x
x
x=
En el siguiente ejemplo, el procedimiento de simplificación es más extenso, sin
embargo las herramientas que se utilizan son las mismas.
Ejemplo 3
Simplifica la expresión trigonométrica ( cos )
cot cos
sen
sen
θ θ
θ θ θ
+ −
−
2
1
UNIDAD 5
84 Matemática - Segundo Año
Por tanto, verificas que la expresión
( cos )
cot cos
sen
sen
θ θ
θ θ θ
+ −
−
2
1
es igual a la expresión 2 tan2
θ.
Solución:
( cos )
cot cos
sen
sen
senθ θ
θ θ θ
θ+ −
−
=
2 2
1 + + −
−
2 12
sen
sen
sen
θ θ θ
θ
θ
θ
cos cos
cos
cos
cos cos
cos
θ
θ θ θ θ
θ
=
+( ) + −sen sen2 2
2 1
ssen
sen
sen
θ
θ θ
θ θ
θ
−
=
+ −
cos
cos
cos
1 2 1
−
=
( )
sen
sen
sen sen
2
2
θ θ
θ
θ θ θ
θ
cos
cos
cos −
=
−
sen
sen
sen
2
2
2
2
θ θ
θ θ
θ θ
cos
cos
cos cos θθ
θ θ
θ θ
θ
θ
=
−( )
=
2
1
2
2
2
2
2
sen
sen
sen
cos
cos
cos
(ssen
sen
sen
=
θ θ
θ θ θ
θ+ −
−
cos )
cot cos c
2
1
2
oos
tan
θ
θ


 = ( )
2
2
2
Efectúas el producto notable en el numerador y
sustituyes en el denominador cot θ por
cos θ
θsen
.
Sustituyes en el numerador a sen2
θ + cos2
θ por 1 y
en el denominador efectúas la diferencia.
Reduces términos semejantes en el numerador de
la fracción compleja y efectúas el producto de los
extremos y medios.
Multiplicas en el numerador y denominador
por sen θ
Factorizas en el denominador aplicando
factor común.
Cancelas el factor cos θ y sustituyes 1– sen2
θ por
cos2
θ
Simplificas cos θ y sustituyes 1 – sen2
θ
Sustituyes
sen θ
θcos
por tan θ
Otra aplicación de las relaciones trigonométricas es la verificación de las identidades. Una
identidad es una igualdad que se cumple para todo valor en el dominio de las funciones
involucradas. Para verificar las identidades lo más frecuente es iniciar con un lado de la
igualdad y, mediante un procedimiento algebraico válido, transformarlo en la expresión del
otro lado.
Ejemplo 4
Verifica la identidad trigonométrica tan θ cot θ = 1
Solución:
Puedes simplificar el lado izquierdo de la igualdad hasta obtener la expresión del lado
derecho.
tan cot tanSustituyes =θ θ θ
θ
= 1
sen
ccos
cot
cos
cos
cos
y =
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
sen
sen
sen
⋅
θθ
Cancelaslosfactoresiguales=
=
1
1 1 Obtienesquelaigualdadsecumple
La identidad ha sido verificada.
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 85
Ejemplo 5
Verifica la identidad trigonométrica cos A tan A = sen A
Solución:
cos tan tanA A sen A ASustituyes= =
ssen A
A
A
sen A
A
sen A Can
cos
cos
cos
= ccelaselfactor cos A
sen A sen A= SSeverificalaidentidad
Ejemplo 6
Verifica la identidad trigonométrica cot x cos x + sen x = csc x.
Solución:
cot cos csc cotSustituyesx x sen x x+ = xx
x
sen x
x
sen x
x sen x
=
⋅ + =
cos
cos
cos cscc
cos
Multiplicasx
x
sen x
sen x
2
+ = Efectuaslasumacsc x
Sustit
cos
csc
2 2
x sen x
sen x
x
+
= uuyes 1cos
csc
2 2
1
x sen x
sen x
x
+ =
= SSustituyes
1
sen x
x
x
=
=
csc
csc csc xx Severificalaidentidad
Ahora observa cómo se resuelve el problema planteado al inicio de esta lección.
De la figura ∠ + =BCA ºθ 180 . Luego ∠ = −BCA º180 θ . Además, PA AC⊥ , ya que
el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Luego, PC bisecta a
∠BCA , por lo que ∠ = ∠ =
−
= −PCA BCA
º
º
1
2
180
2
90
2
θ θ
Como el triángulo PAC es rectángulo, ya que ∠ = ∠ =A PCA
r
d
º90 tan , de donde
d
r
PCA
d r PCA
d r º
=
∠
= ∠
= −


tan
cot
cot 90
2
θ



Y como cot tanº90
2 2
−



 =
θ θ
, entonces d r= tan
θ
2
Una aplicación de esta identidad es:
Dos autopistas se encuentran a un ángulo de 34°. El bordillo debe unirse a los puntos A y B
localizados a 45 pies del comienzo de la intersección.
UNIDAD 5
86 Matemática - Segundo Año
Ejemplo 7
Calcula el valor exacto de sen
7
12
π



Solución:
Recuerda que, hasta ahora, sólo se conoce el valor exacto
de las funciones trigonométricas para
π π π π
3 4 6 2
, , , ,
por lo tanto debe expresarse
7
12
π
en términos de ellos,
como
π π π
4 3
7
12
+ = . Utilizando la fórmula del seno
para la suma de ángulos obtienes:
sen
sen
sen
7
12
4 3
4
π
π π
π




= +




=



 .. cos cos
π π π
3 4 3



 +







sen
Fórmulas para la suma y la diferencia
de ángulos
Además de las relaciones trigonométricas ya
mencionadas, existen algunas expresiones que involucran
la suma o diferencia de ángulos: sen(α + β), cos(α + β),
tan(α + β), sen(α – β), cos(α – β) y tan(α – β). Para ello es
necesario conocer las equivalencias de estas expresiones.
Considera los ángulos α y β, tales que el ángulo α + β
se representa en posición estándar en la figura dada. Se
consideran los ángulos, α, β y α + β en el I cuadrante,
pero el resultado es válido para cualquier α y β. Para este
ángulo (α + β), se puede seleccionar cualquier punto P
sobre su lado terminal de B y a Q sobre el lado terminal de
α, tales que PQ OQ⊥ . Además considera PM OX⊥ ,
QN OX⊥ . Sea el punto R en PM tal que QR PM⊥ .
Como en los ángulos NOQ y MPQ son ángulos agudos
de lados perpendiculares, de acuerdo con la construcción,
se concluye que: mfNOQ = mfMPQ = α. Recuerda que
en notación de ángulos, m significa medida y f significa
ángulo.
Observa la figura y de acuerdo con ella, analiza la
siguiente justificación:
Como PM = PR + RM y RM = QN
sen
PM
OP
PR QN
OP
PR
OP
QN
OP
( )α β+ = =
+
= +
= +
=
PR PQ
OP PQ
QN OQ
OP OQ
.
.
.
.
PPR PQ
PQ OP
QN OQ
OQ OP
.
.
.
.
+
a) Aproxima el radio del arco que une A y B.
b) Determina la longitud del arco.
Solución:
Considera la fórmula que acabas de encontrar:
d r= tan
θ
2
en este ejemplo, d =45 pies y θ = 34º.
Debes determinar r, r
d
=
tan
θ
2
r
pies
º
pies seleeaproxi=
45
34
2
14719
tan
.  mmadamente( )
Es decir sen (α + β) = sen α . cos β + cos α . sen β.
Para encontrar la expresión para sen(α – β), se procede de
la siguiente forma:
sen sen
sen
α β α β
α β
−( ) = + −( ) 
= −( )cos . + −( )
= − +
sen
sen sen
α β
α β α
. cos
cos . . cos
. cos cos .
β
α β α β= −sen sen
Esto, debido a que sen (–x) = – sen x, cos (–x) = cos x.
Entonces: sen(α – β) = sen α . cos β – cos α . sen β
En forma análoga se puede obtener la expresión para
cos(α + β) y para cos(α – β).
cos(α + β) = cos α . cos β – sen α . sen β
cos(α – β) = cos α . cos β + sen α . sen β
Q
P
R
M N
α
β
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 87
Resumen
1.	Usandoidentidadestrigonométricasdetermina:
a)	 sen75º
b)	 cos
2
3
π rad
c)	 tan
5
6
π rad
2.	Compruebaparavaloresdeángulosinternosα,β,γdeun
triángulonorectángulo,que ,
paracalcularesosvalores,seaplicanlasidentidades.
Ahora sustituyes los valores que ya conoces para las
diferentes funciones trigonométricas y simplificas la
expresión:
2
2
1
2
2
2
3
2
2
4
6
4
2 6
4
. .+ = + =
+
de
donde el valor exacto de sen
7
12
π


 es
2 6
4
+
.
Ejemplo 8
Calcula el valor exacto de cos 15º
Solución:
En igual forma, se expresa 15º en términos de ángulos
cuyos valores para las funciones trigonométricas se
conozcan: 15º = 45º – 30º
cos 15º = cos (45º – 30º) = cos45º cos30º + sen45º sen30º
Se sustituyen los valores de las diferentes funciones
trigonométricas y se simplifica la expresión:
2
2
1
2
2
2
3
2
2
4
6
4
2 6
4
. .+ = + =
+
Ejemplo 9
Calcula el valor exacto de tan
5
12
π



Solución:
En la misma forma, se descompone
5
12
π
en términos
de
π π
6 4
y como
5
12 6 4
π π π
= + , luego se utiliza la
fórmula para la suma de ángulos para la tangente y se
obtiene:
tan tan
tan
5
12 6 4
6π π π
π



 = +



 =




+ ttan
tan .tan
π
π π
4
1
6 4




− 







al sustituir los valores de las funciones trigonométricas y
simplificar la expresión obtienes:
3
3
1
1
3
3
1
3 3
3 3
6 3 12
6
2 3
+
−
=
+
−
=
+
= +
.
Actividad 1
Por lo tanto, tan
5
12
2 3
π


 = +
Estas son las identidades que has estudiado en esta
lección
1. sen
sen
oθ
θ
θ
θ
= =
1 1
csc
csc
2. cos
c
sec
cos
oθ
θ
θ
θ
= =
1 1
se
3. tan
cot
cot
tan
oθ
θ
θ
θ
= =
1 1
4. sen2 2
1θ θ+ =cos
5. tan sec2 2
1θ θ+ =
6. 1 2 2
+ =cot cscθ θ
7. sen sen senα β α β α β+( ) = +. cos cos .
8. sen sen senα β α β α β−( ) = −. cos cos .
9. cos cos . cos .α β α β α β+( ) = − sen sen
10. cos cos . cos .α β α β α β−( ) = + sen sen
11. tan
tan tan
tan tan
α β
α β
α β
+( ) =
−1
UNIDAD 5
88 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
	
	 Alescribirtanxcosxúnicamenteentérminosde
senθ,resulta:
a)	 sen2
x
b)	
1
sen x
c)	 senx
d)	
1
2
sen x
4
	 Elvalorde sen2 23
4
3
4
π π+ cos es:
a)	 0
b)	 1
c)	 0.71
d)	 0.87
2
	 Laexpresióncos75ºequivalea:
a)	 cos(90º–15º)
b)	 cos(90º+15º)
c)	 1
d)	 0
3	 Unejemplodeidentidadtrigonométricaes:
a)	 cos60º=0.5
b)	 sen
π
2
1=
c)	 tan
cos
θ
θ
θ
=
sen
d)	 cot θ =
3
5
1
Las aplicaciones de las identidades
trigonométricas se dan en muchas áreas del
conocimiento. Por ejemplo, en un circuito de
corriente alterna con reactancia, la potencia es:
P = Vmáx
Imáx
cos θ t sen θ t
Mediante identidades trigonométricas se
demuestra que: P
V ax
sen t=
max Im
2
2ω
Donde:
P = potencia
V = voltaje
I = intensidad de la corriente
1.c.			2.b.			3.a.			4.c. Soluciones
POTENCIA DE UN CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA
Segundo Año - Matemática 89
Quinta Unidad
Motivación
Indicadores de logro
1
2
θ
Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene
funciones trigonométricas de ángulos desconocidos.
Si la ecuación trigonométrica es verdadera para
todo valor posible de los ángulos, se llama identidad
trigonométrica.
Por ejemplo la ecuación sen2
θ + cos2
θ = 1 es una
identidad, ya que, como lo puedes comprobar, es cierta
para todo valor del ángulo θ.
Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se
llama ecuación condicional. Ésta es cierta para algunos
valores del ángulo.
Por ejemplo, la ecuación sen θ =
1
2
, es una ecuación
condicional: es cierta para los valores
θ
π
º= =30
6
rad y θ
π
º= =150
5
6
rad ,
en el intervalo [0, 2π]
Compruébalo en tu cuaderno.
	 Identificarás,resolverásyexplicarás,conseguridadyconfianza,ecuaciones
trigonométricasdeunasolafunción.
	 Resolverásproblemas,conperseverancia,utilizandoecuaciones
trigonométricas.
En un taller de mecánica industrial, se desea fabricar
una pieza como la que aparece a la derecha.
¿Cuáles deben ser los valores del ángulo θ para que la
pieza tenga las medidas que se indican?
Este problema sugiere la ecuación sen θ =
1
2
¿qué valores de θ cumplen con esta ecuación?
En esta lección aprenderás a calcular los valores del
ángulo que satisfacen ecuaciones con funciones
trigonométricas.
Ecuaciones trigonométricas
Lección 5
Al conjunto de números reales que satisfacen la
ecuación se denomina conjunto solución, el cual se
denota por S. Así para el ejemplo anterior,
S = { }π
π
6
5
6
, en [0, 2π].
Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad
de que la incógnita está relacionada con un ángulo.
Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes,
sin embargo, las soluciones, como números reales que
son, se expresarán en radianes, salvo que en el ejemplo o
ejercicio se especifique lo contrario.
Los métodos para resolver una ecuación trigonométrica
son similares a los utilizados para resolver ecuaciones
algebraicas. Igual que en la verificación de identidades
trigonométricas, con frecuencia se requerirá el uso de
algunas propiedades trigonométricas fundamentales.
En la solución de una ecuación de este tipo se debe
tomar en cuenta la periodicidad de las funciones
trigonométricas.
¿Qué es una ecuación trigonométrica?
UNIDAD 5
90 Matemática - Segundo Año
Es muy importante recalcar que al resolver una ecuación
trigonométrica, es suficiente encontrar sus soluciones entre
0 y 2π. Luego, de acuerdo con el período de la respectiva
función, basta sumar a estas soluciones múltiplos de π ó 2π,
según corresponda al período de las funciones que contiene
la ecuación, para obtener las demás soluciones.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación 2cos θ – 1 = 0
Solución:
Al despejar el valor de cos θ de la ecuación, se tiene:
cos θ =
1
2
¿Para qué valores de θ, el coseno de θ es igual a
1
2
?De
los triángulos básicos de las funciones trigonométricas, o por
calculadora, obtienes: cos
π
3
1
2
= , es decir, θ
π
=
3
es
solución de la ecuación dada. Además, como la función cos x
es positiva en el primero y en el cuarto cuadrante, y
θ
π
=
3
pertenece al primer cuadrante, la ecuación
tiene otra solución en el cuarto cuadrante cuyo ángulo de
referencia es
π
3
, esta solución sería
θ π
π π
= − =2
3
5
3
Con esto, las únicas soluciones de la ecuación cos θ =
1
2
en el intervalo [0, 2π], son θ
π
=
3
y θ
π
=
5
3
; es decir, el
conjunto solución de la ecuación es: S = { }π π
3
5
3
,
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación tan θ = – 1 en [0, 2π]
Solución:
Para resolver la ecuación tan θ = – 1, lo primero que debes
notar es que las soluciones que se buscan se ubican en el
segundo y cuarto cuadrante, pues la tangente es negativa en
esos dos cuadrantes. De los triángulos básicos se sabe que
tan
π
4
1= y por ello θ
π
=
4
corresponde al ángulo de
referencia para las soluciones.
La solución cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante
y tiene ángulo de referencia
θ
π
=
4
es π
π π
− =
4
3
4
. Falta encontrar el ángulo
que se encuentra en el cuarto cuadrante cuyo ángulo de
referencia es
π
4
, este es 2
4
7
4
π
π π
− = .
Así, el conjunto solución de la ecuación tan θ = – 1 en el
intervalo [0, 2π[ es S = { }3
4
7
4
π π
,
1
1
2
1
θ θ
3
2
y
x
5
3
π π
3-1 1
θ
y
0
0
2
3
4
π
7
4
π
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 91
Ejemplo 3
Resuelve la ecuación 2 3 0sen θ + =
Solución:
Al despejar sen θ de la ecuación, se tiene: senθ = −
3
2
Para resolver esta ecuación, primero debes notar que las
soluciones que se buscan se ubican en el tercer y cuarto
cuadrante, pues sen x es negativa en esos cuadrantes. De
la tabla de valores para las funciones trigonométricas,
sabes que sen
π
3
3
2
= y por ello θ
π
=
3
corresponde
al ángulo de referencia. La solución cuyo lado terminal
está en el tercer cuadrante con este ángulo de referencia
es π
π π
+ =
3
4
3
. Falta encontrar el ángulo que se
encuentra en el cuarto cuadrante con ese mismo
ángulo de referencia, este es 2
3
5
3
π
π π
− = .
Así, las soluciones de la ecuación 2 3 0sen θ + = , en
el intervalo [0, 2π], son θ
π
=
4
3
y θ
π
=
5
3
.
El conjunto solución de la ecuación dada es:
S = { }4
3
5
3
π π
,
Ejemplo 4
Resuelve la ecuación sen θ tan θ = sen θ en el intervalo
[0, 2π]
Solución:
La ecuación dada es equivalente a la ecuación
sen θ tan θ – sen θ = 0. Factorizando obtienes:
sen θ(tan θ – 1) = 0
Las soluciones de esta ecuación corresponden a las
soluciones de las ecuaciones
sen θ = 0 y tan θ – 1 = 0.
	Las soluciones de sen θ = 0, en el intervalo[0, 2π] son
θ = 0 y θ = π
	Para resolver la ecuación tan θ = 1, se obtiene primero
	 la solución θ
π
=
4
en el
	 primer cuadrante, y como la tangente es positiva en
el primer y tercer cuadrante, falta encontrar el ángulo
que se encuentra en el tercer cuadrante cuyo ángulo
	 de referencia es
π
4
, este es π
π π
+ =
4
5
4
Así, las soluciones de la ecuación tan θ = 1, en el intervalo
[0, 2π] son
π π
4
5
4
y
y
x
5
4
π
π
4-1 1
En conclusión, el conjunto solución de la ecuación
dada se obtiene de la unión de las soluciones de las dos
ecuaciones anteriores, es decir,
S = { }0
4
5
4
, , ,π
π π
y
0
0
2
4
3
π
5
3
π
θ
1
−
3
2
π 2π
UNIDAD 5
92 Matemática - Segundo Año
Todas las soluciones de la ecuación dada corresponden a los ángulos coterminales a
θ = 0 y a θ = π, que se pueden escribir como el conjunto solución S ={kπ, con k ∈ Z}.
Ejemplo 6
Resuelve la ecuación 2 4 1 0sen θ( ) − = , en el intervalo[0, 2π].
Solución:
Despejas el valor de sen (4θ) de la ecuación, y tienes: sen 4
1
2
θ( ) = .
¿Cuál es el ángulo x tal que sen x =
1
2
?
Se cumple para x k= +
π
π
4
2 , y x k= +
3
4
2
π
π .
¿Cómo encuentras una solución sin restricciones?
El hecho de poner un intervalo donde deben estar las soluciones es una restricción
sobre ellas; el conjunto solución de la ecuación x2
= 4 sin poner restricciones es
sin duda, S = {– 2, 2}; sin embargo, el conjunto solución de la ecuación x2
= 4 en el
intervalo ]– ∞, 0] es S = {– 2}.
Observa que, como la función sen x, tiene período 2π y la función tan x tiene período π,
el conjunto solución del ejemplo anterior si no se pide la solución restringida al
intervalo [0, 2π], es S k k k Zcon= + ∈{ }π
π
π, ,
4
.
Nota además que en este conjunto solución encuentras incluidas las soluciones
particulares 0, π
π π
, ,
4
5
4
, que se obtienen dando a k los valores de 0 y 1.
Ejemplo 5
Halla el conjunto solución de la ecuación cos2
θ = cos2θ
Solución:
¿Recuerdas la identidad trigonométrica cos 2 θ = 2 cos2
θ – 1?
Sustituyes cos 2 θ en la ecuación y tienes:
cos cos –
cos cos
2 2
2 2
2 1
2
θ θ
θ θ
=
− + 11 0
1
Igualasacero=
− coss
( cos
2
0
1
Reducestérminossemejantesθ =
− θθ θ Descomponesenfacto) ( cos )1 0+ = rres
1 0
1
− =
=
cos ,
cos ,
θ
θ
θ = 0 ,
1 0 Igualasacero+ =cos θ ccadafactor
Despecos θ = − 1 jjas cos θ
θ π= Resuelvespara θ
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 93
Sustituyes x = (4θ) y obtienes 4
4
2θ
π
π= + k y 4
3
4
2θ
π
π= + k
Al dividir por 4 los valores de θ son: θ
π π
= +
16 2
k
y θ
π π
= +
3
16 2
k
Si tomas los valores para k = 0, 1, 2, 3, las soluciones son:
π π π π π π π
16
3
16
9
16
11
16
17
16
19
16
25
16
27
, , , , , , ,
ππ
16
que corresponden a los ángulos en
[0, 2π[. Compruébalo en tu cuaderno.
Fíjate que en el ejemplo anterior la función sen4θ tiene un período de
2
4 2
π π
= , y
así, la función completa 4 períodos en el intervalo [0, 2π]. En cada período se tienen 2
soluciones y como son 4 períodos, se obtienen 8 soluciones en total.
Ejemplo 7
Resuelve 3 sen θ = 2 cos2
θ. Expresa la solución en grados y radianes.
Solución:
Al usar la identidad fundamental cos2
θ = 1 – sen2
θ, la ecuación dada se transforma en la
ecuación: 3 sen θ = 2(1 – sen2
θ) = 2 – 2 sen2
θ. Así, 3 sen θ = 2 – 2 sen2
θ.
Resuelves esta ecuación y tienes:
2 3 2 02
sen senθ θ+ − = Transpponiendoterminos
sen θ =
− ± − ( ) −( )
( )
3 3 4 2 2
2 2
2
Fórmulacuadráticaparadespejarseen
sen sen senluego y
θ
θ θ θ=
− ±
= =
3 5
4
1
2
−2
Para resolver la ecuación sen θ =
1
2
buscas el ángulo
de referencia, el cual es
π
6
ó 30º, y trasladas este
ángulo a los cuadrantes donde la función sen x es positiva (I y II).
Así, las soluciones en [0º, 360º[ son θ
π
º= =
6
30 θ
π
º= =
5
6
150
La ecuación sen θ = – 2 no tiene soluciones pues el
sen x sólo toma valores entre – 1 y 1 y por ello, ningún valor θ cumple con la ecuación
sen θ = – 2.
El conjunto solución es S k k k Zcon= + + ∈{ }π
π
π
π
6
2
5
6
2; , que expresado
en grados corresponde al conjunto {30º + 360º k; 150º + 360º k, con k ∈ Z}
UNIDAD 5
94 Matemática - Segundo Año
Ejemplo 8
Resuelve la ecuación sen 2θ cos θ+ sen θ cos 2 θ = 0
Solución:
Usas las fórmulas del ángulo doble:
sen 2 θ = 2 sen θ cos θ y cos 2 θ = cos2
θ – sen2
θ
La ecuación dada es equivalente a:
(2sen θ cos θ) cos θ + sen θ (cos2
θ – sen2
θ) = 0
Factorizando obtienes la ecuación:
sen θ (2 cos2
θ + cos2
θ – sen2
θ) = 0
La cual es equivalente a sen θ (3 cos2
θ – sen2
θ) = 0.
Al usar la fórmula sen2
θ = 1 – cos2
θ, la última ecuación se
transforma en la ecuación sen θ (4 cos2
θ – 1) = 0. Luego
sen θ = 0 ó 4 cos2
θ – 1 = 0
Por último, se procede a resolver las dos ecuaciones.
Resuélvelas en tu cuaderno.
Ejemplo 9
En una ciudad, el número de horas de claridad D(t) en
cierto período del año se aproxima mediante la ecuación
D t sen t( ) = −



 +3
2
365
79 12
π
( ) , en donde t está
en días y t = 0 corresponde al día 1 de enero. ¿Cuáles días
del año tienen exactamente 10.5 horas de claridad?
Solución:
Para responder a la pregunta planteada necesitas resolver
la ecuación:
3
2
365
79 12 105
3
2
365
7
sen t
sen t
π
π
( ) .−



 + =
− 99 15( )


 =− .
Al dividir entre 3, esta ecuación resulta equivalente a la
ecuación:
sen t
2
365
79
1
2
π
( )−



 = −
y
t
7
6
π
π
6
π
6
11
6
π
y
t
330º
210º
30º30º
Si se llama θ
π
= −
2
365
79( )t la ecuación anterior se
escribe como sen θ = −
1
2
el ángulo de referencia
es
π
6
y las soluciones buscadas están en el tercer y
cuarto cuadrante (pues el seno es negativo es estos
cuadrantes)
La solución en el tercer cuadrante es
θ π
π π
= + =
6
7
6
y la solución en el cuarto
cuadrante es θ π
π π
2= − =
6
11
6
, estos dos valores
corresponden a las soluciones en [0, 2π[. De esta manera,
se deben determinar los valores t tales que:
2
365
79
7
6
2
365
79
11
6
π π π π
t t−( ) = −( )ó =
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 95
Resumen
Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de ángulos desconocidos.
Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se llama ecuación condicional. Ésta es cierta para
algunos valores del ángulo.
Para resolver una ecuación trigonométrica se usan los mismos principios que en una ecuación algebraica. Al
conjunto de números reales que satisfacen la ecuación se denomina conjunto solución, el cual se denota por S.
Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad de que la incógnita está relacionada con un ángulo.
Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes, sin embargo, las soluciones, como números reales
que son, se expresan en radianes, salvo que se especifique lo contrario. A veces, es necesario aplicar alguna
identidad que permita despejar la variable de interés.
	La ecuación
2
365
79
7
6
π π
t −( )= es equivalente a la
	 ecuación t − =79
7 365
6 2
π
π
( )
( )
; si simplificas y luego
	 despejas el valor de t = + ≈
2555
12
79 292
	La ecuación
2
365
79
11
6
π π
( )t − = es equivalente a la
	 ecuación t − =79
11 365
6 2
π
π
( )
( )
; al simplificar y luego
1.	Determinalassolucionesdelaecuacióncos x = −
2
2
.
2.	Determinalassolucionesdelasecuaciones:
a)	 sen x = −
1
2
;b) tanθ=1enelintervalo[–π,π]
3.	Encuentralassolucionesdelaecuacióncscx=–14.07enelintervalo[0,2π [
4.	Resuelvelaecuaciónsen2x=senxenelintervalo[0,2π [
Actividad1
	 despejar el valor de t obtienes:
	
t = + ≈
4015
12
79 414
El día 292 corresponde al 19 de octubre, el día
414 – 365 = 49 del año, que corresponde al 18 de febrero.
¿Por qué no se considera la segunda de las respuestas?
UNIDAD 5
96 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
	
1.c.			2.a.			3.a.			4.b.
Al igual que las identidades, las ecuaciones
trigonométricas se aplican en casi todas
las áreas del conocimiento. Por ejemplo,
el desplazamiento de un pistón puede
determinarse al sustituir los valores de π y t en
la ecuación d = sen π t + cos π t.
En dicha ecuación tenemos:
d = desplazamiento
π = velocidad angular
t = tiempo
Soluciones
	 Alresolver3tanx= 3,lassolucionesparaxson:
a)	 062 210. , .{ }	 c)
π π
6
7
6
,{ }
b)	
π
π
4
7
4
,{ }	 d) 131 263. , .{ }
1 	 Alresolver2cosθ=0,lasoluciónparaθes:
a)	
π
π
2
3
2
,{ }	 c)
π π
2 4
,{ }
b)	 π , 0{ }		 d) π
π
4
3
4
,{ }
3
	 Alresolvercos 4
2
2
x = ,lassolucionesparax
son:
a)	 1125 19125. , . 
{ }
b)	 180 19125 
, .{ }
c)	 1125 1508. , . 
{ }
d)	 45 315 
,{ }
2 	 Lasoluciónde2cosx= 3es
a)	
π
π
3
5
3
,{ }	 c)
π
π
4
3
4
,{ }
b)	
π
π
6
11
6
,{ }	 d)
π
π
2
3
2
,{ }
4
DESPLAZAMIENTO DE UN PISTÓN
Segundo Año - Matemática 97
Lección 1
Actividad 1:	 2.	75 + 360 = 435º		 75 + 2(360) = 795º
		 75 – 360 = – 285º	 75 – 3(360) = –1005º
		 4.	b) 180º – 150º = 30º	 d) 360º – 300º = 60º
		
Actividad 2:	 1. a) sen 0º = 0	 b) sen 90º = 1
			 j) tan 90º = ∞	 o) cot 180º = –∞
Lección 2:
Actividad 1:	
π
2
rad = 90º;
3
4
π
rad = 135º ; π rad = 180º, etc.
Actividad 2: 	 1.	 a)
Solucionario
			 d)
		 2.	 a) A = 4		 b)
2
2
π
π= 	 c) −
=
−
= −
C
B
π
π4
2 8
y
x
-0.25π
0
1
0
2
3
-1
-2
-3
0.5π π 1.5π 2π
y
x0
1
0
2
3
-1
-2
-3
0.25π 1.25π 1.75π0.75π 2.25π
98 Matemática - Segundo Año
Lección 4
Actividad 1:	 b) Desarrollando cos
2
3
π
asi:
			 cos 2 = cos
π π
3 3
+



 = cos
π
3
cos
π
3
– sen
π
3
sen
π
3
		 c) Desarrollando tan
5
6
π asi:
			
tan tan
tan tan
5
6 2 3
2 3
1
π π π
π π
= +




=








− ttan tan
π π
2 3








Lección 5
Actividad 1:	 1.	 cos x = −
2
2
está asociado con un triángulo de referencia de
			 45º en el 2º y 3º cuadrante. Luego, las soluciones para x son
			
3
4
5
4
π π
,
		 2.	 b) Como tan θ = 1, este valor corresponde a θ
π
=
4
rad y
			
7
4
π
rad, pero como este último valor cae fuera del
			 intervalo [–π, π], no forma parte de la solución, −
3
4
π 		
		 también es solución.
		 4.	sen 2x = sen x; pero sen 2x = 2 sen x cos x, por lo que
		 2 sen x cos x = sen x; por lo que 2 sen x cos x – sen x = 0
		 y al factorizar: sen x (2 cos x – 1) = 0. Luego, sen x = 0,
			 lo que nos da x = 0, π, y 2 cos x – 1 = 0 nos da cos x =
1
2
			 lo que implica x =
π π
3
5
3
, , por lo que x = 0, π,
π π
3
5
3
,
Solucionario
Segundo Año - Matemática 99
Proyecto
La cooperativa pesquera de la playa El Cuco, con el apoyo del Servicio
Meteorológico, determina que la marea sobre su nivel medio está dada por la
expresión y = 2.1 cos 0.45 t, donde y está dado en metros y t en horas, para fines de
hacerse a la mar, los pescadores están interesados en averiguar:
a)	La altura de la marea a las 9:30 a.m y a las 2:50 p.m.
b)	A qué horas la altura sobre el nivel medio es de 2.5 m
c)	Trazar dos periodos de la gráfica.
Ayúdale a los pescadores a resolver esta situación.
Nota: considera t = 0 a las 6:00 a.m por lo que se comienza con 2.1 metros, ya que
y = 2.1 cos(0.45)(0) = 2.1 cos 0 = 2.1
100 Matemática - Segundo Año
Recursos
BARNETT, Raymond, Álgebra y trigonometría. Editorial Mc Graw Hill,
tercera edición, Colombia, 1990
FLEMING, Walter y Varberg, Dale. Álgebra y trigonometría con geometría
analítica. Editorial Prentice Hall, tercera edición, México, 1991
JURGENSEN, Ray; Donnelly, Alfred y Dolciani, Mary, Geometría moderna.
Editorial Publicaciones Cultural, tercera reimpresión, México, 1972
http://www.youtube.com/watch?v=pslHAPjZNv0
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_sinusoidal
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 101
Colofón
UNIDAD 5
102 Matemática - Segundo Año

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UNIDAD 5

  • 1. 55 UTILICEMOS LA TRIGONOMETRÍA Objetivos de la Unidad: Propondrás soluciones aplicando las funciones, identidades y ecuaciones trigonométricas, haciendo uso de gráficos para representar y explicar el comportamiento de fenómenos escolares y sociales. MATEMÁTICA Unidad 5
  • 2. Descripción del proyecto Mediante funciones trigonométricas se determina la altura de la marea sobre su nivel medio. Funciones trigonométricas Círculo trigonométrico Ángulos de referencia Signos de las variables Ángulos cuadrantales Números reales Gráficos RangoDominio Período Características Amplitud Desfase a partir del utilizando utilizando sus son determinando
  • 3. Segundo Año - Matemática 57 Quinta Unidad Lección 1 El círculo trigonométrico y funciones de ángulos Cuadrantales Motivación Indicadores de logro En trigonometría, los ángulos pueden ser positivos o negativos. El lado desde el cual comienza a medirse un ángulo se llama lado inicial y el lado donde finaliza la medición se llama lado terminal del ángulo. Si la rotación del lado inicial al lado terminal se efectúa en sentido contrario de las agujas del reloj, el ángulo es positivo. El ángulo es negativo en caso contrario, o sea, cuando la rotación se efectúa en el sentido de las agujas del reloj. Construirásconinterésyprecisiónelcírculounitario. Determinarásyexplicarás,conseguridad,lasfuncionestrigonométricas enelcírculotrigonométricoapartirdelpunto(x,y). Deducirásycalcularásconinteréslasfuncionestrigonométricasde ánguloscuadrantales. Pedro y Juan trotan sobre una pista circular. Agarrados de una cuerda que los une al centro de la pista. Pedro recorre círculo y cuarto, Juan recorre un cuarto de círculo. ¿Puedes decir cuál es en grados el ángulo generado por la cuerda de Pedro? ¿Cuál es en radianes el ángulo generado por la cuerda de Juan? Signo de los ángulos Lado inicial Lado inicial Ladoterminal Ladoterminal Ángulo positivo: rotación en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj. Lado inicial Lado inicial Ladoterminal Ladoterminal Ángulo positivo: rotación en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj. B A
  • 4. 58 Matemática - Segundo Año UNIDAD 5 Ejemplo 1 Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia de: a) 75º b) 120º c) 210º d) 315º Solución d) c) b) Ubicación de θ en los cuadrantes Ángulo de referencia θ’ es igual a I θ II 1800 – θ III θ – 1800 IV 3600 – θ El ángulo de referencia de θ denotado por, θ’ es el menor ángulo cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x. a) El ángulo θ se mide desde la parte positiva del eje x, hasta el lado terminal de θ. El ángulo de referencia θ’ siempre se define con respecto al eje x, nunca con respecto al eje y. Ángulos coterminales o equivalentes Retomando la pregunta planteada al inicio de la lección: ¿Puedes decir cuál es el ángulo descrito por la cuerda de Pedro? Tienes que en ese instante, Pedro ha descrito un ángulo de 360° + 90° = 450°. Juan un ángulo de 90°. Observa que ambos están en el punto B. Los ángulos 90° y 450° son ejemplos de ángulos llamados coterminales. Ángulo de referencia En general si θ está en el cuadrante I, θ = θ’ En general si θ está en el cuadrante II, θ’ = 180º – θ Si θ está en el cuadrante III, θ’ = θ – 180º Si θ está en el cuadrante IV, θ’ = 360º – θ y x θ θ1 y x θ =75 y x θ =120 θ1 =180 −120 =60 En general, tienes que si dos ángulos poseen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal, se llaman coterminales. Para determinar los ángulos coterminales de un ángulo, sumas o restas una o más veces 360º a dicho ángulo. Puedes ver que un ángulo posee un infinito número de ángulos coterminales o equivalentes: θ = θ ± n 360º, n = 0, 1, 2, 3, 4,….. Si el lado terminal coincide con uno de los ejes de coordenadas, el ángulo se llama cuadrantal: 90º, 180º, 270º, y 360º son ángulos cuadrantales. y x =45 θ1 =360 −315 y x θ =210 θ1 =210 −180 =30
  • 5. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 59 Ejemplo 2 Encuentra cuatro ángulos coterminales de 100º Solución: a) 100º = 100º+ 360º = 460º b) 100º = 100º + 2(360º) = 820º c) 100º = 100º – 360º = – 260º d) 100º = 100º – 2(360º) = – 620º Ejemplo 3 Simplifica el ángulo θ = 5248º Solución: Comienzas averiguando cuántas veces contiene el ángulo θ a 360º. Para ello divides: 5248 entre 360 y la parte entera que es 14 es el nº de veces que contiene a 360. Luego, como 5248 contiene 14 veces a 360º, al ángulo 5248 le restas 14 veces 360º. 5248º – 14 (360º) 5248º – 5040º = 208º Concluyes entonces que las dos formas más simples o valores canónicos de θ, son 208º y 208º – 360º = – 152º Definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo Sea θ un ángulo en posición normal o estándar: Su vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas, y su lado inicial coincide con el eje x positivo. Si llamamos distancia al valor del segmento OP; abscisa, al valor x; ordenada, al valor y, las funciones de θ se definen así: sen y d ordenada distancia θ = = cos abscisa distancia θ = = x d tan ordenada abscisa θ = = y x cot abscisa ordenada θ = = x y sec distancia abscisa θ = = d x csc distancia ordenada θ = = d y Ejemplo 4 Determina en forma gráfica las funciones de a) 135º b) 210º Solución a) El ángulo de 135º posee un ángulo de referencia igual a 180º – 135º = 45º. Luego, el triángulo de referencia es de 45º. En la figura de la derecha se representa la situación, donde: x = –1, y = 1; d = 2 b) El ángulo de referencia es 210º – 180º = 30º. Luego, el triángulo de referencia es 30º, donde: x = − 3 ; y = –1; d = 2 Con estos valores defines las funciones de 210º y x θ d x P(X;Y) y x -1 1 (-1,1) 13545 2 y x -1 210 30 2 P(- 3,-1 )
  • 6. UNIDAD 5 60 Matemática - Segundo Año El círculo trigonométrico es aquel que tiene por radio la unidad. 1. Copiaentucuadernoytrazaelángulodereferenciaθ’delánguloθ. Actividad1 2. Encuentradosángulospositivosydosnegativosquesoncoterminalesoequivalentesa75º. 3. Hallalosdosángulosequivalentesdeθ=3500ºentre0ºy360ºyrepreséntalosenelplanocartesiano. 4. Representaenelplanocartesianoelángulodereferenciaydeterminasuvalorsi: a) θ=45º c) θ=3500º b) θ=150º d) θ=300º 5. Laruedadelanteradeunabicicletatieneundiámetrode 40cm,ylatrasera60cm¿Quéángulogiralaruedadelanteracuandolatraseragira8radianes? 6. Determinagráficamentelasfuncionesde a) 150º b) 300º c) 225º x2 + y2 = r2 , x2 + y2 = 12 , x2 + y2 = 1 En el círculo trigonométrico, las funciones de ángulos son más sencillas de manejar y obtener, debido a que el valor “d” es el radio de la circunferencia y es igual a 1. Así d = r = 1. 1. sen y d y yθ = = = 1 4. csc θ θ = = 1 1 y sen 2. cos θ = = = x d x x 1 5. sec cos θ θ = = 1 1 x 3. tan cos θ θ θ = = y x sen 6. cot cos θ θ θ = = x y sen Círculo trigonométrico o unitario y x y x y x 220º θ 150º y x (0,-1) (1,0) (0,1) (-1,0) P(x,y) r=1
  • 7. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 61 Mediante él, puedes calcular con buena aproximación las funciones de un ángulo. sen 37º = 0.6 sen 225º = –0.7 cos 37º = 0.8 cos 225º = –0.7 Comprueba los siguientes resultados en tu calculadora. sen 37º = 0.601815 sen 225º = –0.7071068 cos 37º = 0.7986355 cos 225º = –0.7071068 Funciones de ángulos cuadrantales Los ángulos cuadrantales son aquellos cuyos lados coinciden con alguna semirrecta del eje x o del eje y. Éstos son: 90º, 180º, 270º y 360º ó 0º. Nota que, cuando θ aumenta acercándose a 90º, la abscisa x cada vez se hace más pequeña: tiende a cero. Además, cuando θ aumenta acercándose a 90º, la ordenada “y” cada vez se hace más grande: tiende a uno. Cuando θ = 90º tienes que x = 0; y = 1; r = 1 Luego: sen y x sen º º º º 90 1 90 0 90 90 = = = = = cos tan ccos cot cos º (infinito) º º 90 1 0 90 90 = = ∞ = ssen º º º 90 0 1 0 90 1 90 1 0 = = = = = ∞sec cos ((infinito) º º csc 90 1 90 1 1 1= = = sen Si el ángulo continúa aumentando, llegas a 180º, 270º y 360º, ángulos cuyas coordenadas (x, y) representan las funciones trigonométricas (cos θ, sen θ) y x 90 (0,1) y x P(x,y) 1 θ y x (0,1) 225 (-1,0) (1,0) (0,-1) P(0.8, 0.6) Q(-0.7, -0.7) 37 y x (0,1) (-1,0) (1,0) (0,-1) θ y x (0,1) 180 (-1,0) (1,0)
  • 8. UNIDAD 5 62 Matemática - Segundo Año x = –1; y = 0; r = 1. Para 180º Luego sen y x sen º º º 180 0 180 1 180 = = = = − = cos tan º º º º 180 180 0 1 0 180 180 cos cot cos = − = = sen º º º 180 1 0 180 1 180 1 1 = − = −∞ = = − sec cos == − = = = ∞º º 1 180 1 180 1 0 csc sen x = 0; y = –1; r = 1. Para 270º Luego sen y x sen º º º 270 1 270 0 270 = = − = = = cos tan º º º º 270 270 1 0 270 270 cos cot cos = − = −∞ = senn º º º 270 0 1 0 270 1 270 1 0 = − = = = =sec cos º º ∞ = = − = −csc 270 1 270 1 1 1 sen En las funciones trigonométricas +∞ ó –∞ te indica que la función es indeterminada. x = 1; y = 0; r = 1. Para 360º Luego sen y x º º º 360 0 360 1 360 0 1 = = = = = = cos tan º º º 0 360 1 360 1 0 360 1 360 csc sec cos = = = ∞ = sen ºº º = = = = ∞ 1 1 1 360 1 0 cot Ejemplo 5 Un cuerpo de 100 kg pende de dos cuerdas, que forman con la horizontal, ángulos de 30 ° y 60° como se muestra en la figura. ¿Puedes calcular la tensión en cada una de las cuerdas? ToA ToB A B 100 kg 0 30º 60º y x (0,1) 270 (-1,0) (1,0) (0,-1) y x (0,1) 360 (-1,0) (1,0) (0,-1)
  • 9. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 63 Resumen Un ángulo positivo se mide desde su lado inicial hasta su lado terminal, en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Es negativo si se mide en sentido horario. Ángulo de referencia de un ángulo es aquel cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x. Ángulos coterminales o equivalentes son aquellos que tienen el mismo lado inicial y terminal. Círculo trigonométrico es aquel cuyo radio mide uno. Las funciones de 90º, 180º, 270º y 360º están determinadas por sus coordenadas: (0, 1), (–1, 0), (0, –1) y (1, 0) respectivamente. El ángulo de 0º es igual al ángulo de 360º. Solución: Prolongando la tensión ToA para formar un triángulo de fuerzas tendremos: Ya sabes que F → ∑ = 0 , por lo cual éstas forman un triángulo y se aplica la siguiente igualdad ToA Sen ToB Sen P Sen30 60 90º º º = = Punto de apoyo 1. Basándoteenlascoordenadasdelcírculotrigonométrico correspondientea0º,90º,180º,270ºy360º=0º,determina porsimpleinspecciónelvalorde: a) sen0º i) tan0º b) sen90º j) tan90º c) sen180º k) tan180º d) sen270º l) tan270º e) cos0º m) cot0º f) cos90º n) cot90º g) cos180º 0) cot180º h) cos270º p) cot270º 2. Uncuerpode200lb.pendededoscuerdasqueforman ángulosde50°y40°conlahorizontal.Calculalatensiónala queestásometidacadacuerda. Actividad 2 y x (0,1) (1,0) (0,-1) (0-1) 90º 180º 270º 360º = 0 ToA Sen P Sen ToA P sen Sen Kg 30 90 30 90 100 º º º º = = = × 05 1 50 . = kg ToB Sen P Sen ToB P sen Sen Kg 60 90 60 90 100 ° = ° = ° ° = × = 87 1 87 . Kg ToA A B 100 kg 0 30º 60º PToB 60º 30º La tensión de la cuerda A es = 50 kg La tensión de la cuerda B es = 87 kg
  • 10. UNIDAD 5 64 Matemática - Segundo Año Autocomprobación Soluciones1.c. 2.d. 3.b. 4.b. ¿Cuáldelassiguientesfuncionestrigonométricases indeterminada? a) cos90º b) tan90º c) cot90º d) csc90º 4 Elvalordetan150ºes a) − 1 3 b) − 3 c) − 3 3 d) aycsoncorrectos 2 1 Elánguloequivalentea400ºes a) –40º b) 80º c) 40º d) 320º 3 Elvalordecos180ºes a) θ b) –1 c) ∞ d) ningunadelasanteriores Las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales (90º, 180º, 270º y 360º ó 0º ) son de gran importancia en el gráfico de funciones y en el análisis de otros fenómenos como las mareas, el sonido, etc. Así una representación gráfica de las mareas es : LAS MAREAS Y ÁNGULOS CUADRANTALES 120 24 tiempo (h)
  • 11. Segundo Año - Matemática 65 Quinta Unidad Motivación Indicadores de logro Para resolver el problema anterior, estudiarás previamente algunos conceptos. El valor de una función trigonométrica de un número real “t” es el valor de un ángulo de “t” radianes. Así, “sen 3” se interpreta como seno del número real 3 o como el seno de un ángulo de 3 radianes. Obviamente, sen 3 ≠ sen 30 Concluyes entonces, que los valores de las funciones trigonométricas de números reales, éstos representan radianes. Construirás,conprecisiónyseguridad,elgráficodelafunciónseno. Determinarás,conprecisiónyseguridad,eldominioyrecorridodela funciónseno. Determinarásconperseverancialaperiodicidadenlafunciónseno. Construirásconprecisiónelgráficodefuncionesdelaforma: y=asen[b(x+c)]+d,y=acos[b(x+c)]+ddeterminandosuperíodo conseguridad. La naturaleza y todo lo que ella comprende: mareas, clima, estaciones, reproducción de los animales, cosechas, etc., se rigen por ciclos biológicos o ritmos. Estos ciclos han existido desde el principio de la vida en el planeta. Se ha demostrado histórica y estadísticamente que la naturaleza humana sigue una variedad de ritmos que realizan ciclos a diferentes frecuencias. En el caso de los seres vivos estos ritmos se denominan biorritmos, y existen diferentes biorritmos que afectan nuestro comportamiento en distintas maneras. En el caso de los humanos, se ha comprobado estadísticamente que la energía física se comporta cíclicamente en períodos de 23 días (mitades de 11 días y medio), la energía emotiva en períodos 28 días (mitades de 14 días) y la energía intelectual en 33 días (mitades de 16 días y medio). Otro ejemplo de fenómeno cíclico es la corriente alterna. Considera lo siguiente: un generador de corriente alterna, mide la potencia eléctrica por la Gráfico de la función seno Lección 2 Definición de las funciones trigonométricas de números reales Para hallar los valores de funciones trigonométricas de números reales mediante calculadora, usas el modo en radianes. O sea que: Para graficar una función trigonométrica, el ángulo debe estar expresado en radianes. Recuerda que en tercer ciclo, estudiaste como convertir grados a radianes y viceversa. Para ello llegaste a las siguientes equivalencias. expresión siguiente: I = 30 sen120t, donde: t es el tiempo en segundos. Podrías calcular ¿Cuál es la amplitud y el periodo? ¿Cuál es la frecuencia de la corriente? Es decir, ¿Cuántos ciclos se completan en 1 segundo?
  • 12. UNIDAD 5 66 Matemática - Segundo Año Grafica la función y = sen x, donde x es un número real. Debes encontrar los pares ordenados de números reales (x, y) que cumplan con la expresión y = sen x. Una manera de hallar dichos pares es mediante la calculadora científica. Así halla los valores del rango asociados con valores del dominio. Por ejemplo, si x = 0 tienes: y = sen 0 = 0. Así, el par (0, 0) pertenece a la función. Ejemplo 1 Convierte: a) 2 3 π rad a grados; b) 150º a radianes Solución: a) 1 2 3 360 2 2 3 360 2 º º rad rad= =     = π π π π; º120 b) 1 150 150 2 360 2 360 º º º º º = =     π πrad rad ;  = 5 6 π rad En lo posible se expresará el ángulo en radianes en términos de π. 2 π rad = 360º Despejando 1 radián: 1 360 2 º rad = π Para convertir radianes a grados, multiplicas por 360º y divides entre 2π Despejando 1 grado: 2πrad = 360º, 1 2 360 º = π rad Para convertir grados a radianes, multiplicas por 2π y divides entre 360º. Completaentucuadernoporsimpleinspecciónloscuadrossiguientes: a) b) Actividad1 θ ( rad ) 0 π 4 π 2 3 4 π π 5 4 π 3 2 π 7 4 π 2π θ ( grados ) 0 450 θ ( rad ) 0 π 3 2 3 π π 4 3 π 5 3 π 2π θ ( grados ) 0 450 Gráfico de y = sen x y x (0,1) (-1,0) (1,0) (0,-1) 1 x P(cos x, sen x)
  • 13. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 67 Sin embargo el proceso de graficar y = sen x puede simplificarse al observar como varía el punto (cos x, sen x) cuando se mueve alrededor del círculo trigonométrico o unitario. Para graficar y = sen x en el intervalo [0, 2], usa los resultados de la figura de la par, complementándolos con valores de ángulos múltiplos de π 4 tomados de la tabla que completaste. Ejemplo 2 Completa el resultado de las siguientes funciones trigonométricas. Sugerencia: observa el círculo trigonométrico. a) sen −     = π 4 0 ( rad ) 0 π 4 π 2 3 4 π π 5 4 π 3 2 π 7 4 π 2π y = sen x 0 1.71 1 1.71 0 –1.71 –1 –1.71 0 b) sen −     = π 6 Sen Sen Sen −     = − +     =     π π π π 4 4 2 7 4 = − 2 2 Observa que: Sen π 4 2 2     = , luego Sen Sen−     = −     π π 4 4 Sen Sen Sen −     = − +     =    π π π π 6 6 2 11 6  = − 1 2 Observa que: Sen π 6 1 2     = , luego Sen Sen−     = −     π π 6 6 y x 2ππ0.5π 1.5π 0 1.71 1 -1 -1.71 y x7 4 π -1 1 2 2 , 2 2       − π 4 2 2 ,− 2 2       y x 11 4 π -1 1 3 2 , 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 3 2 ,− 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − π 6
  • 14. UNIDAD 5 68 Matemática - Segundo Año Como estudiaste en la lección anterior, para un ángulo dado x, si se le suma un múltiplo entero de 360º ó 2π radianes. Así el nuevo ángulo coincide con el ángulo dado x, para cualquier número real x y para cualquier entero n. Las funciones con este comportamiento repetitivo se llaman funciones periódicas. La parte de la gráfica de la función seno correspondiente a 0 < x < 2π es un ciclo. A veces nos referimos a un ciclo como una onda senoidal. Como la función es periódica con período 2π, para completar la gráfica de y = sen x sólo necesitamos repetir la gráfica hecha para [0, 2π], hacia la izquierda y hacia la derecha en intervalos de 2π. Puedes ver que la función está definida para cualquier valor de x, por lo tanto, Df = R. Como la función adquiere valores entre –1 y 1, entonces, Rf = [–1, 1] c) Sen Sen Sen −     = − +     =    π π π π 3 3 2 5 3  = Observa que: Sen π 3     = d) Sen Sen Sen −     = − +     =   3 2 3 2 2 2 π π π π   = Observa que: Sen 3 2 π    = ¿Qué puedes observar o concluir de los resultados anteriores? e) Encuentra Sen Sen−         4 3 4 3 yπ π La función y = sen x es una función impar, porque cumple: sen (–x) = –sen x y x 0 0 1 -1 -1π-2π-3π-4π 1π 2π 3π 4π Se tiene: sen (x + 2πn) = sen x, con n = 1, 2, 3,… y x-1 1 1 2 , 3 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 2 ,− 3 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − π 3 y x-1 1 3 2 π (0,1) (0,-1) − π 2
  • 15. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 69 Amplitud, período y desfase Comencemos con una comparación de los gráficos y = sen x, y = A sen x. Como el máximo valor de sen x es 1, el máximo valor de A sen x es A. ¿Cuál es el rango de esta función?El valor A se llama amplitud de la onda seno: multiplica el valor de sen x por A. En tu cuaderno grafica la función y = 2senx. ¿Cuál es la amplitud? ¿Cuál es la amplitud de y sen x= 1 3 ? ¿Cuál es el rango de cada una de ellas? Como la onda seno, se completa en el intervalo [0, 2π], ese intervalo es el período p de y = sen x. En tu cuaderno grafica la onda y = sen 2x ¿Cuál es el período?En el gráfico de y = sen 2x observas que la onda se repite 2 veces en el intervalo [0, 2π] por lo cual p = = 2 2 π π . Es decir, la onda y = sen 2x se completa en [0, π]. En general, si y = sen Bx, el período está dado por p B = 2 π y x0 1 A y=A Senx y=Senx 0 0.25π 0.5π 0.75π π 1.25π 1.50π 1.75π 2π y x 2π B 2ππ
  • 16. UNIDAD 5 70 Matemática - Segundo Año El gráfico anterior muestra una onda senoidal desplazada a la izquierda del origen una cantidad igual a C = π 2 . Si C es negativo, el desplazamiento es a la derecha. ¿Cuál es el valor de B en estos ejemplos? B es el coeficiente de x. Observa que sucede si B ≠ 1. En general, al graficar la función y = A sen (Bx + C), cuando Bx + C = 0, x C B = − y cuando Bx + C = 2π, x C B = −2 π . En este caso el desfase “d” es − C B . En forma gráfica: Ejemplo 3 Grafica, sin tabular, la función y = 3 sen 4x. Compara el gráfico con la función y = sen x. Solución: Puedes ver que la amplitud es A = 3; además, p B = = = 2 2 4 2 π π π . Esto significa que la curva y = 3 sen 4x se completa en el intervalo 0 2 , π   . O sea que el intervalo 0 2 , π    cabe 4 veces en [0, 2π]. Ahora ya puedes resolver la situación planteada al inicio de la lección. Como I= 30 sen120t, entonces la amplitud es 30, y el periodo es 2 120 60 π π = . Como la frecuencia es el inverso del período, ésta es igual a 60 1911 π = . ciclos por segundo. Desfase de la onda Seno Observa el gráfico de la función y sen x= +     π 2 ¿De qué valor de x parte la función anterior? Si ésta hubiera sido y sen x= +     π 4 ¿De qué valor de x partiría? Como puedes observar, en la función y = A sen (Bx + C), la amplitud es A, el período 2 π B y el desfase es d C B = − y x 0.5π π 1.5π 2π y=3 Sen 4x 1 2 3 y x 2ππ0.5π 1.5π-0.5π 0 0.5 1 -0.5 -1 y=Sen x y =Sen x + π 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ y x0 A -A 2π B 2ππ0.5π-0.5π 0
  • 17. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 71 Resumen La función seno está dada, en su forma más simple, por la expresión y = sen x. El gráfico que resulta se llama onda seno u onda senoidal. Ésta se repite cada 2 π rad, por lo que su período es 2π. Su dominio son todos los números reales y su rango es el intervalo [–1, 1]. En su forma general, la función seno está dada por la expresión y = A sen (Bx + C), donde A es la amplitud, 2π B el período p y − C B el desfase d. C = π B = 2 A = 2 C = 2 B = 3 A = 2 C = 4 B = 2 A = 3 1. Graficasintabularlassiguientesfunciones. a) y=senx b) y=sen3x c) y=3sen2x d) y sen x= −    3 2 2 π 2. Dadalafuncióny=4sen 2 4 x −     π determina. a) Laamplitud b) Elperíodo c) Eldesfase 3. Unpesode6lb.,quecuelgadeunresorteseestira 1 3 depie pordebajodelaposicióndeequilibrioydespuéssesuelta. Ladistancia“y”enqueelpesosedesplazadesupuntode equilibrioconrespectoaltiempotensegundos,estádada por y sen t= 1 3 8 . Determinalaamplitudyelperiododelafunciónygrafícala paraelintervalo0≤t≤π. Actividad2 y x 2ππ0.5π-0.5π 0 1 0 1.5π 2 -1 -2 y=Sen x y=3 Sen(2x+4) 3 -3 Observa como en cada una de estas gráficas el desfase es − C B y el nuevo período es 2 π B . y x 2ππ0.5π-0.5π 0 1 0 1.5π 2 -1 -2 y =2sen(2x +π) y=Sen x y x 2ππ0.5π-0.5π 0 1 0 1.5π 2 -1 -2 y=Sen x y=2 Sen(3x+2)
  • 18. UNIDAD 5 72 Matemática - Segundo Año Autocomprobación 4 Paraconvertircm2 adam2 : a) Multiplicas por 100 b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000 d) Multiplicas por 1 000,000 2 Diezcentímetroscuadradosequivalena: a) 1 m2 b) 0.01 m2 c) 0.10 m2 d) 0.0010 m2 1 LaunidadbásicadesuperficiedelSIes: a) El km2 b) El cm2 c) El m2 d) El hm2 3 10,000m2 equivalena a) 1 km2 b) 2 km2 c) 1 dam2 d) 1 hm2 Cuando la actividad cardíaca se traduce a imágenes mediante el electrocardiógrafo, que es el aparato usado para hacer electrocardiogramas, se obtiene un patrón repetitivo como el de la gráfica. Este comportamiento repetitivo es característico de las funciones trigonométricas, y puede analizarse mediante éstas. Este es el principio de los electrocardiógrafos y de los monitores cardíacos. Estos últimos son aparatos que sirven para dar seguimiento a pacientes graves o en procesos de recuperación. 1.c. 2.c. 3.d. 4.a. Soluciones 4 Eldesfasedelafuncióny=2sen(3x+π)es: a) − π 3 b) 2 c) 2 3 π d) 3 2 Elrangodey=3sen2xes: a) [–1,1] b) [–2,2] c) [–3,3] d) [0,2π] 1 Laamplituddelafuncióny=4sen3xes: a) 3 b) –3 c) 4 d) –4 3 Elperíododelafuncióny=2sen(3x+π)es: a) 3 c) 3 2 π b) 2 d) 2 3 π ONDA SENO Y ACTIVIDAD CARDÍACA
  • 19. Segundo Año - Matemática 73 Quinta Unidad Motivación Indicadores de logro Para graficar y = cos x procedes de forma similar a la función seno: sólo observas como varía P(a, b) = (cos x, sen x) en el círculo trigonométrico. Construirás,conprecisiónyseguridad,elgráficodelasseisfunciones trigonométricas. Determinarás,conprecisiónyseguridad,eldominioyrecorridodelasseis funcionestrigonométricas. Determinarásconperseverancialaperiodicidadenlasfunciones trigonométricas. Construirásconprecisiónelgráficodefuncionesdelaforma: y=Acos(Bx+C)determinandosuperíodoconseguridad. En una playa del litoral salvadoreño, la marea sube 1.8 m a partir de cierta línea paralela a la costa y luego de 12 horas baja 1.8 m a partir de la misma línea. Con estos datos puedes construir el gráfico que relaciona la altura de la marea y el tiempo. Gráfico de las funciones cos x, tan x, cot x, sec x, y csc x Lección 3 Gráfico de y = cos x x 0 π 2 π 3 2 π 2π y = cos x 1 0 –1 0 1 y x (0,1) (-1,0) (1,0) (0,-1) P(cos x, sen x) y x π0.25π-0.25π 0 0.5 0 2π 1 -0.5 -1 1.5 -1.5 0.5π 0.75π 1.25π 1.5π 2.5π
  • 20. UNIDAD 5 74 Matemática - Segundo Año y x (0,1) (-1,0) (1,0) (0,-1) (a,a)(-a,a) (-a,-a) (a,-a) Al igual que en la función seno, la parte de la gráfica de la función coseno que corresponde a 0 ≤ x < 2 es un ciclo llamado onda cosenoidal. Puedes ver que el trazado de su gráfico es similar al de la onda senoidal. En la gráfica del coseno se observa que la onda cosenoidal es igual a la onda senoidal desplazada π 2 rad a la izquierda, es decir: y = cos x = sen x +     π 2 La función y = cos x equivale a sen x +     π 2 . Al igual que la función seno para: y = A cos (Bx + C), A es la amplitud, 2 π B es el período y − C B es el desfase. Ejemplo 1 Grafica la función y x= −( ) 1 2 4cos π Solución Amplitud:A = 1 2 Período: p B = = = 2 2 4 2 π π π Desfase: − = −     = −C B π π 4 4 y = cos x es una función par, ya que para cualquier valor de x se cumple que: cos (–x) = cos x. Por ejemplo, cos (–π) = cos π Observa que el período es: 2π, que Df = R y Rf = [–1, 1] Como el desfase es positivo, significa que el desplazamiento es hacia la derecha. Luego, el gráfico es: Ahora ya puedes graficar la función planteada al inicio de esta lección. Grafícala en tu cuaderno. Compárala con la siguiente: Gráfico de y = tan x y y = cot x Observa como varía el valor de la tangente para diversos valores de un ángulo ubicado en el círculo trigonométrico. y x 0 0 1 -1 -3π-4π 5π2π 3π 4ππ-π-2π-5π y=Cos x y x 0.25π-0.25π 0 0.5 0 1 -1 0.5π 0.75π-0.5π -0.5 π 2 P= π 4 d = y x0 -5 2 4 6 8 10 12 -10 -15 5 10 15 tiempo (h)
  • 21. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 75 En el cuadro anterior puedes ver que y = tan θ es una función impar, ya que tan (–θ) = –tan θ. Los resultados que dan ∞ nos indican asíntotas representadas en la siguiente figura. Para valores positivos de un ángulo múltiplos de π 4 radianes, tienes Para valores negativos de un ángulo múltiplos de −− π 4 radianes, tienes x (rad) tan x x rad tan x 0 0 1 0= 0 tan 0 0 1 0= = π 4 a a = 1 − π 4 tan −     = − = − π 4 1 a a 2 24 π π    = 1 0 = ∞ − π 2 tan −    = − = −∞ π 2 1 0 3 4 π a a− = − 1 − 3 4 π tan − − − = +     = 3 4 1π a a 4 4 π π    = 0 1 0 − = –π tan −( ) = − =π 0 1 0 5 4 π − − = a a 1 − 5 4 π tan −    = − = − 5 4 1π a a 6 3 24 π π    = − = − ∞ 1 0 − 3 2 π tan −    = = ∞ 3 2 1 0 π 7 4 π − = − a a 1 − 7 4 π tan −    = = 7 4 1π a a 8 2 4 π π    = 0 1 0= –2π tan −( ) = =2 0 1 0π y x 1 -1 π 2 3π 2
  • 22. UNIDAD 5 76 Matemática - Segundo Año Como cot tan x x = 1 , para graficar y = cot x simplemente se toman los valores recíprocos de los valores de las ordenadas de la gráfica de y = tan x en la figura. Observa la gráfica. En el intervalo [0, π] cuando x se aproxima a cero por la derecha, y tiende al infinito. Al estudiar el comportamiento de tan x b a = en el intervalo −    π π 2 2 , , puedes ver que cuando x se aproxima a π 2 por la izquierda, a se aproxima a cero mediante valores positivos, mientras que b se aproxima a 1. O sea, tan x b a = crece indefinidamente; es decir, tiende a infinito. Por otro lado, cuando x se aproxima − π 2 por la derecha, a se aproxima a cero por medio de valores positivos y b se aproxima a – 1. Esto significa que tan x b a = decrece indefinidamente, o sea, tan x tiende a –∞. Esto se muestra en el siguiente gráfico. Si procedes de la misma manera para los intervalos entre otras asíntotas, se ve que la función tangente es periódica con período π. Por lo tanto, para completar la gráfica de y = tan x sólo se necesita repetir la gráfica de la figura, sobre intervalos de longitud π tanto a la izquierda como a la derecha del intervalo inicial para extender la gráfica hasta donde se desee. Graficando en base a los valores anteriores, tendremos: En este gráfico observas las siguientes características: El período es π Dominio: Todos los números reales excepto los múltiplos de π π 2 + k , k entero. Rango:  . Función impar y simétrica con respecto al origen. Discontinua en π π 2 + k ; k entero. Función creciente entre las asíntotas. Gráfico de y = tan x y x0 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -11 Asíntota vertical Asíntota vertical y x 2ππ0.5π-0.5π 0 0 1.5π 2.5π-π-1.5π-2.5π -2π 2 4 6 -2 -4 -6 y=Tan x y x0 0 2 4 -2 π
  • 23. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 77 Cuando x se aproxima a π por la izquierda y tiende a menos infinito. Esta situación se da en todos los intervalos múltiplos de π. Luego al graficar y = cot x desde –2π hasta 2π obtienes: De la misma manera que se obtuvo la gráfica de y = cot x al tomar los valores recíprocos de las coordenadas en la gráfica de y = tan x, haces csc sec cos yx x xsen x = = 1 1 Observa que cos x = 0, si x vale − π π π 2 2 3 2 , , , .etc.. Luego, la gráfica de sec x debe tener asíntotas verticales en esos puntos. Además, cuando cos x crece o decrece en un intervalo sec x hace exactamente lo contrario. Para obtener las gráficas de y = csc x e y = sec x tomas los recíprocos de las ordenadas de las gráficas de y = sen x e y = cos x, respectivamente. Características de y = cot x Período: π Dominio: Todos los números reales excepto kπ, con k entero. Rango:  . Función impar y decreciente entre las asíntotas. Discontinua en kπ, k entero Características de y = sec x Período: 2π Dominio: Todos los números reales excepto π π 2 + k , k entero Rango: ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[ Función par (simétrica con respecto al eje y) Discontinua: en π π 2 + k , k entero Características de y = csc x Período: 2π Dominio: Todos los números reales excepto kπ, k entero Rango: ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[ Función impar (simétrica con respecto a π/2) Gráfico de y = cot x Gráfico de y = sec x Gráfico de y = csc x y x0 2 4 6 -2 -4 -6 y=Cot x 2ππ0.5π-0.5π 0 1.5π 2.5π-π-1.5π-2.5π -2π y xy=Cos x Cos x 1y=sec x = 0 0.5 1 1.5 -0.5 -1 -1.5 -2 2 2ππ0.5π-0.5π 0 1.5π 2.5π-π-1.5π-2.5π -2π y x 0.5π-0.5π 0 0 1.5π 2.5π-1.5π-2.5π 0.5 1 1.5 -0.5 -1 -1.5 -2 2 y=Sen x y=Csc x = Sen x 1 2ππ-π-2π
  • 24. UNIDAD 5 78 Matemática - Segundo Año Lafigurasiguienteserámuyútilenmuchosdelosproblemasdeesteejercicio. 1. Completalasiguientetabla,entucuaderno. Función Valor en x 0 π 2 π 3 2 π 2π sen x 0 cos x 0 tan x 0 cot x sec x No esta definida csc x –1 2. ConsideraP(a,b)=(cosx,senx)sobreelcírculotrigonométricoounitario(observalafiguraanterior)y completaentucuadernolatablasiguiente,( significacrecimientoy significadecrecimiento): Significaque:y=senx En 0 2 , π    espositivaycreciente En π π 2 ,    espositivaydecreciente En π π, 3 2     espositivaycreciente ¿Cómoesy=senxen 3 2 2π π,    ?Muybien,negativaycreciente Actividad1 Función x varia de 0 a π 2 x varia de π 2 a π x varia de π a 3 2 π x varia de 3 2 π a 2 π + – + – + – + – y = sen x = b y = cos x = a y = tan x = b/a y = cot x = a/b b a (0,1) (-1,0) (1,0) (0,-1) P(cos x, sen x) cos x sen x x rad R=1 a b x unidades
  • 25. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 79 Resumen El gráfico de la función coseno se llama onda cosenoidal. Sus elementos principales son: amplitud, período y desfase. Como la función coseno u onda cosenoidal equivale a la función seno adelantada π/2 radianes, sus características son iguales a la onda senoidal. Ambas funciones son continuas y periódicas. Los gráficos de las otras cuatro funciones presentan características especiales, y son discontinuas.
  • 26. UNIDAD 5 80 Matemática - Segundo Año Autocomprobación 4 Paraconvertircm2 adam2 : a) Multiplicas por 100 b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000 d) Multiplicas por 1 000,000 2 Diezcentímetroscuadradosequivalena: a) 1 m2 b) 0.01 m2 c) 0.10 m2 d) 0.0010 m2 1 LaunidadbásicadesuperficiedelSIes: a) El km2 b) El cm2 c) El m2 d) El hm2 3 10,000m2 equivalena a) 1 km2 b) 2 km2 c) 1 dam2 d) 1 hm2 1.d. 2.b. 3.d. 4.b. Las funciones trigonométricas tienen mucha aplicación en el movimiento vibratorio oscilatorio. Por ejemplo en el movimiento de una partícula en una cuerda de guitarra a la que se ha hecho vibrar o en un resorte que se ha comprimido y luego se pone a oscilar. De acuerdo a la vibración del instrumento musical, así es el sonido emitido por éstos. Además hay que hacer notar que la misma vibración en dos instrumentos musicales diferentes como guitarra y violín pueden producir sonidos diferentes. Soluciones 4 Paraconstruirelgráficodey=secxsepartedel inversodelafunción. a) senx b) cosx c) tanx d) cscx 2 Elperíododelafunciónanteriores: a) 2 b) π c) π 2 d) 3 1 Laamplituddelafuncióny=3cos(2x+π)es: a) 2 b) π c) –3 d) 3 3 Lafuncióny=tanxescrecienteenelintervalo: a) − −    5 2 3 2 π π , b) − −    3 2 2 π π , c) −    π π 2 2 , d) Todaslasanteriores VIBRACIONES MUSICALES
  • 27. Segundo Año - Matemática 81 Quinta Unidad Motivación Indicadores de logro r r B P A C θ d d Lección 4 ¿Cómo haces para comprobar que son idénticos? Determinarás,explicarásyaplicaráslasidentidadestrigonométricas recíprocas,conseguridadyconfianza. Determinarás,explicarásyaplicaráslasidentidadestrigonométricasde cociente,conseguridadyconfianza. Deducirás,explicarásyaplicaráslasidentidadespitagóricas,conseguridad yconfianza. Transformarásunaexpresióntrigonométricaaunaquecontenga solamentesenoycoseno,conprecisión. Verificaráslasidentidadestrigonométricasaplicandolasrecíprocas,lasde cocienteylaspitagóricas,coninterés. Resolverásproblemasutilizandoidentidadestrigonométricas,mostrando respetoalaopinióndelosdemás. Un ingeniero civil está diseñando la curva de una intersección. Las dos autopistas se cruzan formando un ángulo θ. El borde de la autopista debe unirse con dos puntos A y B por medio de un arco de circunferencia tangente a las autopistas en esos dos puntos. El ingeniero necesita determinar la relación entre el radio del arco r, la distancia “d” de A y B desde la intersección y el ángulo BCA. Observa el dibujo en donde se muestra que A y B son los puntos de tangencia de la circunferencia con las autopistas. Identidades trigonométricas Identidades trigonométricas fundamentales En matemática el concepto de “identidad” equivale a “igualdad”. Así, la ecuación (x – 5 )(x + 5) = x2 – 25, es una identidad, ya que es cierta para todo valor de x. Esto lo puedes comprobar dándole a x los valores en los números reales que desees. En esta lección estudiarás las principales identidades trigonométricas. Por definición de las razones trigonométricas tienes: a) sen y h θ = d) csc θ = h y b) cos θ = x h e) sec θ = h x c) tan θ = y x f) cot θ = x y h y x θ
  • 28. UNIDAD 5 82 Matemática - Segundo Año Además del círculo unitario tienes: sen θ = y, cos θ = x entonces: tan cos θ θ θ = = ( ) y x sen 4 cot cos θ θ θ = = ( ) x y sen 5 Éstas son las funciones de cociente. Recuerda que el círculo trigonométrico está constituido por todos los puntos P(x, y), tales que su distancia al origen es la unidad, esto es x y2 2 1+ = . Además se indicó que para todo ángulo θ, existe un único punto en el círculo trigonométrico que le corresponde. Considera un ángulo θ cualquiera y sea P(x, y), el punto del círculo unitario que le corresponde, entonces se tiene que x2 + y2 = 1, pues las expresiones en ambos lados de la igualdad son positivos; como en el círculo trigonométrico sen θ = y, cos θ = x, se tiene: sen2 2 1 6θ θ+ = ( )cos De la relación anterior se obtienen otras dos identidades: sen sen2 2 2 2 1 1yθ θ θ θ= − = −cos cos . Si los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre sen2 θ, obtienes: sen sen sen sen 2 2 2 2 2 1θ θ θ θ θ + = cos Recíprocas De cociente Pitagóricas sec cos θ θ = 1 csc θ θ = 1 sen cot θ θ = 1 tan tan cos θ θ θ = sen cot cos θ θ θ = sen sen2 2 1θ θ+ =cos 1 2 2 + =cot cscθ θ tan sec2 2 1θ θ+ = Esta última expresión es equivalente a: 1 72 2 + = ( )cot cscθ θ Si los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre cos2 θ, obtienes: sen2 2 2 2 2 1θ θ θ θ θcos cos cos cos + = Es decir: tan sec2 2 1 8θ θ+ = ( ) A las relaciones (6), (7) y (8) se les denomina, identidades trigonométricas pitagóricas: sen2 2 1 6θ θ+ = ( )cos 1 72 2 + = ( )cot cscθ θ tan sec2 2 1 8θ θ+ = ( ) En tu cuaderno, prueba la identidad sen2 2 1θ θ+ =cos para θ = 30º O sea, sen2 2 30 30 1º cos º+ = En resumen, hasta aquí tienes ocho relaciones trigonométricas de suma importancia que reciben el nombre de Identidades Trigonométricas Fundamentales: Otras identidades trigonométricas Los procedimientos algebraicos básicos y las relaciones trigonométricas fundamentales son, las herramientas principales para simplificar expresiones trigonométricas, verificar identidades trigonométricas o resolver ecuaciones trigonométricas. Estos tres ejercicios típicos son importantes porque la mayoría de los problemas de aplicación de la trigonometría requieren la resolución de al menos uno de ellos. ¿Cómo son las razones que aparecen a la par? Puedes ver que: sen sen θ θ θ θ = = ( ) 1 1 1 csc csc cos θ θ θ θ θ = = ( ) 1 1 2 sec sec cos tan = = ( ) 1 1 3 cot cot tanθ θ θ Éstas son las funciones recíprocas. y x θ P(cos θ, sen θ)
  • 29. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 83 Ejemplo 1 Simplifica la expresión trigonométrica cos θ sec θ . Solución: Utiliza una identidad trigonométrica de manera que la expresión original se transforme en otra más simple. Recuerda que: sec cos θ θ = 1 , sustituyendo esta identidad en la expresión original tienes: cos sec cos . cos cos cos θ θ θ θ θ θ = = = 1 1 De manera que cos θ sec θ = 1 Ejemplo 2 Simplifica la expresión trigonométrica csc sec x x Solución: Sabes que csc x sen x = 1 y sec cos x x = 1 ; sustituyes en la expresión original y obtienes: csc sec cos cos cot x x sen x x x sen x x= = = 1 1 de manera que es válida la igualdad csc sec cot x x x= En el siguiente ejemplo, el procedimiento de simplificación es más extenso, sin embargo las herramientas que se utilizan son las mismas. Ejemplo 3 Simplifica la expresión trigonométrica ( cos ) cot cos sen sen θ θ θ θ θ + − − 2 1
  • 30. UNIDAD 5 84 Matemática - Segundo Año Por tanto, verificas que la expresión ( cos ) cot cos sen sen θ θ θ θ θ + − − 2 1 es igual a la expresión 2 tan2 θ. Solución: ( cos ) cot cos sen sen senθ θ θ θ θ θ+ − − = 2 2 1 + + − − 2 12 sen sen sen θ θ θ θ θ θ cos cos cos cos cos cos cos θ θ θ θ θ θ = +( ) + −sen sen2 2 2 1 ssen sen sen θ θ θ θ θ θ − = + − cos cos cos 1 2 1 − = ( ) sen sen sen sen 2 2 θ θ θ θ θ θ θ cos cos cos − = − sen sen sen 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ cos cos cos cos θθ θ θ θ θ θ θ = −( ) = 2 1 2 2 2 2 2 sen sen sen cos cos cos (ssen sen sen = θ θ θ θ θ θ+ − − cos ) cot cos c 2 1 2 oos tan θ θ    = ( ) 2 2 2 Efectúas el producto notable en el numerador y sustituyes en el denominador cot θ por cos θ θsen . Sustituyes en el numerador a sen2 θ + cos2 θ por 1 y en el denominador efectúas la diferencia. Reduces términos semejantes en el numerador de la fracción compleja y efectúas el producto de los extremos y medios. Multiplicas en el numerador y denominador por sen θ Factorizas en el denominador aplicando factor común. Cancelas el factor cos θ y sustituyes 1– sen2 θ por cos2 θ Simplificas cos θ y sustituyes 1 – sen2 θ Sustituyes sen θ θcos por tan θ Otra aplicación de las relaciones trigonométricas es la verificación de las identidades. Una identidad es una igualdad que se cumple para todo valor en el dominio de las funciones involucradas. Para verificar las identidades lo más frecuente es iniciar con un lado de la igualdad y, mediante un procedimiento algebraico válido, transformarlo en la expresión del otro lado. Ejemplo 4 Verifica la identidad trigonométrica tan θ cot θ = 1 Solución: Puedes simplificar el lado izquierdo de la igualdad hasta obtener la expresión del lado derecho. tan cot tanSustituyes =θ θ θ θ = 1 sen ccos cot cos cos cos y = θ θ θ θ θ θ θ sen sen sen ⋅ θθ Cancelaslosfactoresiguales= = 1 1 1 Obtienesquelaigualdadsecumple La identidad ha sido verificada.
  • 31. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 85 Ejemplo 5 Verifica la identidad trigonométrica cos A tan A = sen A Solución: cos tan tanA A sen A ASustituyes= = ssen A A A sen A A sen A Can cos cos cos = ccelaselfactor cos A sen A sen A= SSeverificalaidentidad Ejemplo 6 Verifica la identidad trigonométrica cot x cos x + sen x = csc x. Solución: cot cos csc cotSustituyesx x sen x x+ = xx x sen x x sen x x sen x = ⋅ + = cos cos cos cscc cos Multiplicasx x sen x sen x 2 + = Efectuaslasumacsc x Sustit cos csc 2 2 x sen x sen x x + = uuyes 1cos csc 2 2 1 x sen x sen x x + = = SSustituyes 1 sen x x x = = csc csc csc xx Severificalaidentidad Ahora observa cómo se resuelve el problema planteado al inicio de esta lección. De la figura ∠ + =BCA ºθ 180 . Luego ∠ = −BCA º180 θ . Además, PA AC⊥ , ya que el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Luego, PC bisecta a ∠BCA , por lo que ∠ = ∠ = − = −PCA BCA º º 1 2 180 2 90 2 θ θ Como el triángulo PAC es rectángulo, ya que ∠ = ∠ =A PCA r d º90 tan , de donde d r PCA d r PCA d r º = ∠ = ∠ = −   tan cot cot 90 2 θ    Y como cot tanº90 2 2 −     = θ θ , entonces d r= tan θ 2 Una aplicación de esta identidad es: Dos autopistas se encuentran a un ángulo de 34°. El bordillo debe unirse a los puntos A y B localizados a 45 pies del comienzo de la intersección.
  • 32. UNIDAD 5 86 Matemática - Segundo Año Ejemplo 7 Calcula el valor exacto de sen 7 12 π    Solución: Recuerda que, hasta ahora, sólo se conoce el valor exacto de las funciones trigonométricas para π π π π 3 4 6 2 , , , , por lo tanto debe expresarse 7 12 π en términos de ellos, como π π π 4 3 7 12 + = . Utilizando la fórmula del seno para la suma de ángulos obtienes: sen sen sen 7 12 4 3 4 π π π π     = +     =     .. cos cos π π π 3 4 3     +        sen Fórmulas para la suma y la diferencia de ángulos Además de las relaciones trigonométricas ya mencionadas, existen algunas expresiones que involucran la suma o diferencia de ángulos: sen(α + β), cos(α + β), tan(α + β), sen(α – β), cos(α – β) y tan(α – β). Para ello es necesario conocer las equivalencias de estas expresiones. Considera los ángulos α y β, tales que el ángulo α + β se representa en posición estándar en la figura dada. Se consideran los ángulos, α, β y α + β en el I cuadrante, pero el resultado es válido para cualquier α y β. Para este ángulo (α + β), se puede seleccionar cualquier punto P sobre su lado terminal de B y a Q sobre el lado terminal de α, tales que PQ OQ⊥ . Además considera PM OX⊥ , QN OX⊥ . Sea el punto R en PM tal que QR PM⊥ . Como en los ángulos NOQ y MPQ son ángulos agudos de lados perpendiculares, de acuerdo con la construcción, se concluye que: mfNOQ = mfMPQ = α. Recuerda que en notación de ángulos, m significa medida y f significa ángulo. Observa la figura y de acuerdo con ella, analiza la siguiente justificación: Como PM = PR + RM y RM = QN sen PM OP PR QN OP PR OP QN OP ( )α β+ = = + = + = + = PR PQ OP PQ QN OQ OP OQ . . . . PPR PQ PQ OP QN OQ OQ OP . . . . + a) Aproxima el radio del arco que une A y B. b) Determina la longitud del arco. Solución: Considera la fórmula que acabas de encontrar: d r= tan θ 2 en este ejemplo, d =45 pies y θ = 34º. Debes determinar r, r d = tan θ 2 r pies º pies seleeaproxi= 45 34 2 14719 tan .  mmadamente( ) Es decir sen (α + β) = sen α . cos β + cos α . sen β. Para encontrar la expresión para sen(α – β), se procede de la siguiente forma: sen sen sen α β α β α β −( ) = + −( )  = −( )cos . + −( ) = − + sen sen sen α β α β α . cos cos . . cos . cos cos . β α β α β= −sen sen Esto, debido a que sen (–x) = – sen x, cos (–x) = cos x. Entonces: sen(α – β) = sen α . cos β – cos α . sen β En forma análoga se puede obtener la expresión para cos(α + β) y para cos(α – β). cos(α + β) = cos α . cos β – sen α . sen β cos(α – β) = cos α . cos β + sen α . sen β Q P R M N α β
  • 33. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 87 Resumen 1. Usandoidentidadestrigonométricasdetermina: a) sen75º b) cos 2 3 π rad c) tan 5 6 π rad 2. Compruebaparavaloresdeángulosinternosα,β,γdeun triángulonorectángulo,que , paracalcularesosvalores,seaplicanlasidentidades. Ahora sustituyes los valores que ya conoces para las diferentes funciones trigonométricas y simplificas la expresión: 2 2 1 2 2 2 3 2 2 4 6 4 2 6 4 . .+ = + = + de donde el valor exacto de sen 7 12 π    es 2 6 4 + . Ejemplo 8 Calcula el valor exacto de cos 15º Solución: En igual forma, se expresa 15º en términos de ángulos cuyos valores para las funciones trigonométricas se conozcan: 15º = 45º – 30º cos 15º = cos (45º – 30º) = cos45º cos30º + sen45º sen30º Se sustituyen los valores de las diferentes funciones trigonométricas y se simplifica la expresión: 2 2 1 2 2 2 3 2 2 4 6 4 2 6 4 . .+ = + = + Ejemplo 9 Calcula el valor exacto de tan 5 12 π    Solución: En la misma forma, se descompone 5 12 π en términos de π π 6 4 y como 5 12 6 4 π π π = + , luego se utiliza la fórmula para la suma de ángulos para la tangente y se obtiene: tan tan tan 5 12 6 4 6π π π π     = +     =     + ttan tan .tan π π π 4 1 6 4     −         al sustituir los valores de las funciones trigonométricas y simplificar la expresión obtienes: 3 3 1 1 3 3 1 3 3 3 3 6 3 12 6 2 3 + − = + − = + = + . Actividad 1 Por lo tanto, tan 5 12 2 3 π    = + Estas son las identidades que has estudiado en esta lección 1. sen sen oθ θ θ θ = = 1 1 csc csc 2. cos c sec cos oθ θ θ θ = = 1 1 se 3. tan cot cot tan oθ θ θ θ = = 1 1 4. sen2 2 1θ θ+ =cos 5. tan sec2 2 1θ θ+ = 6. 1 2 2 + =cot cscθ θ 7. sen sen senα β α β α β+( ) = +. cos cos . 8. sen sen senα β α β α β−( ) = −. cos cos . 9. cos cos . cos .α β α β α β+( ) = − sen sen 10. cos cos . cos .α β α β α β−( ) = + sen sen 11. tan tan tan tan tan α β α β α β +( ) = −1
  • 34. UNIDAD 5 88 Matemática - Segundo Año Autocomprobación Alescribirtanxcosxúnicamenteentérminosde senθ,resulta: a) sen2 x b) 1 sen x c) senx d) 1 2 sen x 4 Elvalorde sen2 23 4 3 4 π π+ cos es: a) 0 b) 1 c) 0.71 d) 0.87 2 Laexpresióncos75ºequivalea: a) cos(90º–15º) b) cos(90º+15º) c) 1 d) 0 3 Unejemplodeidentidadtrigonométricaes: a) cos60º=0.5 b) sen π 2 1= c) tan cos θ θ θ = sen d) cot θ = 3 5 1 Las aplicaciones de las identidades trigonométricas se dan en muchas áreas del conocimiento. Por ejemplo, en un circuito de corriente alterna con reactancia, la potencia es: P = Vmáx Imáx cos θ t sen θ t Mediante identidades trigonométricas se demuestra que: P V ax sen t= max Im 2 2ω Donde: P = potencia V = voltaje I = intensidad de la corriente 1.c. 2.b. 3.a. 4.c. Soluciones POTENCIA DE UN CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA
  • 35. Segundo Año - Matemática 89 Quinta Unidad Motivación Indicadores de logro 1 2 θ Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de ángulos desconocidos. Si la ecuación trigonométrica es verdadera para todo valor posible de los ángulos, se llama identidad trigonométrica. Por ejemplo la ecuación sen2 θ + cos2 θ = 1 es una identidad, ya que, como lo puedes comprobar, es cierta para todo valor del ángulo θ. Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se llama ecuación condicional. Ésta es cierta para algunos valores del ángulo. Por ejemplo, la ecuación sen θ = 1 2 , es una ecuación condicional: es cierta para los valores θ π º= =30 6 rad y θ π º= =150 5 6 rad , en el intervalo [0, 2π] Compruébalo en tu cuaderno. Identificarás,resolverásyexplicarás,conseguridadyconfianza,ecuaciones trigonométricasdeunasolafunción. Resolverásproblemas,conperseverancia,utilizandoecuaciones trigonométricas. En un taller de mecánica industrial, se desea fabricar una pieza como la que aparece a la derecha. ¿Cuáles deben ser los valores del ángulo θ para que la pieza tenga las medidas que se indican? Este problema sugiere la ecuación sen θ = 1 2 ¿qué valores de θ cumplen con esta ecuación? En esta lección aprenderás a calcular los valores del ángulo que satisfacen ecuaciones con funciones trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas Lección 5 Al conjunto de números reales que satisfacen la ecuación se denomina conjunto solución, el cual se denota por S. Así para el ejemplo anterior, S = { }π π 6 5 6 , en [0, 2π]. Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad de que la incógnita está relacionada con un ángulo. Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes, sin embargo, las soluciones, como números reales que son, se expresarán en radianes, salvo que en el ejemplo o ejercicio se especifique lo contrario. Los métodos para resolver una ecuación trigonométrica son similares a los utilizados para resolver ecuaciones algebraicas. Igual que en la verificación de identidades trigonométricas, con frecuencia se requerirá el uso de algunas propiedades trigonométricas fundamentales. En la solución de una ecuación de este tipo se debe tomar en cuenta la periodicidad de las funciones trigonométricas. ¿Qué es una ecuación trigonométrica?
  • 36. UNIDAD 5 90 Matemática - Segundo Año Es muy importante recalcar que al resolver una ecuación trigonométrica, es suficiente encontrar sus soluciones entre 0 y 2π. Luego, de acuerdo con el período de la respectiva función, basta sumar a estas soluciones múltiplos de π ó 2π, según corresponda al período de las funciones que contiene la ecuación, para obtener las demás soluciones. Ejemplo 1 Resuelve la ecuación 2cos θ – 1 = 0 Solución: Al despejar el valor de cos θ de la ecuación, se tiene: cos θ = 1 2 ¿Para qué valores de θ, el coseno de θ es igual a 1 2 ?De los triángulos básicos de las funciones trigonométricas, o por calculadora, obtienes: cos π 3 1 2 = , es decir, θ π = 3 es solución de la ecuación dada. Además, como la función cos x es positiva en el primero y en el cuarto cuadrante, y θ π = 3 pertenece al primer cuadrante, la ecuación tiene otra solución en el cuarto cuadrante cuyo ángulo de referencia es π 3 , esta solución sería θ π π π = − =2 3 5 3 Con esto, las únicas soluciones de la ecuación cos θ = 1 2 en el intervalo [0, 2π], son θ π = 3 y θ π = 5 3 ; es decir, el conjunto solución de la ecuación es: S = { }π π 3 5 3 , Ejemplo 2 Resuelve la ecuación tan θ = – 1 en [0, 2π] Solución: Para resolver la ecuación tan θ = – 1, lo primero que debes notar es que las soluciones que se buscan se ubican en el segundo y cuarto cuadrante, pues la tangente es negativa en esos dos cuadrantes. De los triángulos básicos se sabe que tan π 4 1= y por ello θ π = 4 corresponde al ángulo de referencia para las soluciones. La solución cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante y tiene ángulo de referencia θ π = 4 es π π π − = 4 3 4 . Falta encontrar el ángulo que se encuentra en el cuarto cuadrante cuyo ángulo de referencia es π 4 , este es 2 4 7 4 π π π − = . Así, el conjunto solución de la ecuación tan θ = – 1 en el intervalo [0, 2π[ es S = { }3 4 7 4 π π , 1 1 2 1 θ θ 3 2 y x 5 3 π π 3-1 1 θ y 0 0 2 3 4 π 7 4 π
  • 37. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 91 Ejemplo 3 Resuelve la ecuación 2 3 0sen θ + = Solución: Al despejar sen θ de la ecuación, se tiene: senθ = − 3 2 Para resolver esta ecuación, primero debes notar que las soluciones que se buscan se ubican en el tercer y cuarto cuadrante, pues sen x es negativa en esos cuadrantes. De la tabla de valores para las funciones trigonométricas, sabes que sen π 3 3 2 = y por ello θ π = 3 corresponde al ángulo de referencia. La solución cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante con este ángulo de referencia es π π π + = 3 4 3 . Falta encontrar el ángulo que se encuentra en el cuarto cuadrante con ese mismo ángulo de referencia, este es 2 3 5 3 π π π − = . Así, las soluciones de la ecuación 2 3 0sen θ + = , en el intervalo [0, 2π], son θ π = 4 3 y θ π = 5 3 . El conjunto solución de la ecuación dada es: S = { }4 3 5 3 π π , Ejemplo 4 Resuelve la ecuación sen θ tan θ = sen θ en el intervalo [0, 2π] Solución: La ecuación dada es equivalente a la ecuación sen θ tan θ – sen θ = 0. Factorizando obtienes: sen θ(tan θ – 1) = 0 Las soluciones de esta ecuación corresponden a las soluciones de las ecuaciones sen θ = 0 y tan θ – 1 = 0. Las soluciones de sen θ = 0, en el intervalo[0, 2π] son θ = 0 y θ = π Para resolver la ecuación tan θ = 1, se obtiene primero la solución θ π = 4 en el primer cuadrante, y como la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante, falta encontrar el ángulo que se encuentra en el tercer cuadrante cuyo ángulo de referencia es π 4 , este es π π π + = 4 5 4 Así, las soluciones de la ecuación tan θ = 1, en el intervalo [0, 2π] son π π 4 5 4 y y x 5 4 π π 4-1 1 En conclusión, el conjunto solución de la ecuación dada se obtiene de la unión de las soluciones de las dos ecuaciones anteriores, es decir, S = { }0 4 5 4 , , ,π π π y 0 0 2 4 3 π 5 3 π θ 1 − 3 2 π 2π
  • 38. UNIDAD 5 92 Matemática - Segundo Año Todas las soluciones de la ecuación dada corresponden a los ángulos coterminales a θ = 0 y a θ = π, que se pueden escribir como el conjunto solución S ={kπ, con k ∈ Z}. Ejemplo 6 Resuelve la ecuación 2 4 1 0sen θ( ) − = , en el intervalo[0, 2π]. Solución: Despejas el valor de sen (4θ) de la ecuación, y tienes: sen 4 1 2 θ( ) = . ¿Cuál es el ángulo x tal que sen x = 1 2 ? Se cumple para x k= + π π 4 2 , y x k= + 3 4 2 π π . ¿Cómo encuentras una solución sin restricciones? El hecho de poner un intervalo donde deben estar las soluciones es una restricción sobre ellas; el conjunto solución de la ecuación x2 = 4 sin poner restricciones es sin duda, S = {– 2, 2}; sin embargo, el conjunto solución de la ecuación x2 = 4 en el intervalo ]– ∞, 0] es S = {– 2}. Observa que, como la función sen x, tiene período 2π y la función tan x tiene período π, el conjunto solución del ejemplo anterior si no se pide la solución restringida al intervalo [0, 2π], es S k k k Zcon= + ∈{ }π π π, , 4 . Nota además que en este conjunto solución encuentras incluidas las soluciones particulares 0, π π π , , 4 5 4 , que se obtienen dando a k los valores de 0 y 1. Ejemplo 5 Halla el conjunto solución de la ecuación cos2 θ = cos2θ Solución: ¿Recuerdas la identidad trigonométrica cos 2 θ = 2 cos2 θ – 1? Sustituyes cos 2 θ en la ecuación y tienes: cos cos – cos cos 2 2 2 2 2 1 2 θ θ θ θ = − + 11 0 1 Igualasacero= − coss ( cos 2 0 1 Reducestérminossemejantesθ = − θθ θ Descomponesenfacto) ( cos )1 0+ = rres 1 0 1 − = = cos , cos , θ θ θ = 0 , 1 0 Igualasacero+ =cos θ ccadafactor Despecos θ = − 1 jjas cos θ θ π= Resuelvespara θ
  • 39. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 93 Sustituyes x = (4θ) y obtienes 4 4 2θ π π= + k y 4 3 4 2θ π π= + k Al dividir por 4 los valores de θ son: θ π π = + 16 2 k y θ π π = + 3 16 2 k Si tomas los valores para k = 0, 1, 2, 3, las soluciones son: π π π π π π π 16 3 16 9 16 11 16 17 16 19 16 25 16 27 , , , , , , , ππ 16 que corresponden a los ángulos en [0, 2π[. Compruébalo en tu cuaderno. Fíjate que en el ejemplo anterior la función sen4θ tiene un período de 2 4 2 π π = , y así, la función completa 4 períodos en el intervalo [0, 2π]. En cada período se tienen 2 soluciones y como son 4 períodos, se obtienen 8 soluciones en total. Ejemplo 7 Resuelve 3 sen θ = 2 cos2 θ. Expresa la solución en grados y radianes. Solución: Al usar la identidad fundamental cos2 θ = 1 – sen2 θ, la ecuación dada se transforma en la ecuación: 3 sen θ = 2(1 – sen2 θ) = 2 – 2 sen2 θ. Así, 3 sen θ = 2 – 2 sen2 θ. Resuelves esta ecuación y tienes: 2 3 2 02 sen senθ θ+ − = Transpponiendoterminos sen θ = − ± − ( ) −( ) ( ) 3 3 4 2 2 2 2 2 Fórmulacuadráticaparadespejarseen sen sen senluego y θ θ θ θ= − ± = = 3 5 4 1 2 −2 Para resolver la ecuación sen θ = 1 2 buscas el ángulo de referencia, el cual es π 6 ó 30º, y trasladas este ángulo a los cuadrantes donde la función sen x es positiva (I y II). Así, las soluciones en [0º, 360º[ son θ π º= = 6 30 θ π º= = 5 6 150 La ecuación sen θ = – 2 no tiene soluciones pues el sen x sólo toma valores entre – 1 y 1 y por ello, ningún valor θ cumple con la ecuación sen θ = – 2. El conjunto solución es S k k k Zcon= + + ∈{ }π π π π 6 2 5 6 2; , que expresado en grados corresponde al conjunto {30º + 360º k; 150º + 360º k, con k ∈ Z}
  • 40. UNIDAD 5 94 Matemática - Segundo Año Ejemplo 8 Resuelve la ecuación sen 2θ cos θ+ sen θ cos 2 θ = 0 Solución: Usas las fórmulas del ángulo doble: sen 2 θ = 2 sen θ cos θ y cos 2 θ = cos2 θ – sen2 θ La ecuación dada es equivalente a: (2sen θ cos θ) cos θ + sen θ (cos2 θ – sen2 θ) = 0 Factorizando obtienes la ecuación: sen θ (2 cos2 θ + cos2 θ – sen2 θ) = 0 La cual es equivalente a sen θ (3 cos2 θ – sen2 θ) = 0. Al usar la fórmula sen2 θ = 1 – cos2 θ, la última ecuación se transforma en la ecuación sen θ (4 cos2 θ – 1) = 0. Luego sen θ = 0 ó 4 cos2 θ – 1 = 0 Por último, se procede a resolver las dos ecuaciones. Resuélvelas en tu cuaderno. Ejemplo 9 En una ciudad, el número de horas de claridad D(t) en cierto período del año se aproxima mediante la ecuación D t sen t( ) = −     +3 2 365 79 12 π ( ) , en donde t está en días y t = 0 corresponde al día 1 de enero. ¿Cuáles días del año tienen exactamente 10.5 horas de claridad? Solución: Para responder a la pregunta planteada necesitas resolver la ecuación: 3 2 365 79 12 105 3 2 365 7 sen t sen t π π ( ) .−     + = − 99 15( )    =− . Al dividir entre 3, esta ecuación resulta equivalente a la ecuación: sen t 2 365 79 1 2 π ( )−     = − y t 7 6 π π 6 π 6 11 6 π y t 330º 210º 30º30º Si se llama θ π = − 2 365 79( )t la ecuación anterior se escribe como sen θ = − 1 2 el ángulo de referencia es π 6 y las soluciones buscadas están en el tercer y cuarto cuadrante (pues el seno es negativo es estos cuadrantes) La solución en el tercer cuadrante es θ π π π = + = 6 7 6 y la solución en el cuarto cuadrante es θ π π π 2= − = 6 11 6 , estos dos valores corresponden a las soluciones en [0, 2π[. De esta manera, se deben determinar los valores t tales que: 2 365 79 7 6 2 365 79 11 6 π π π π t t−( ) = −( )ó =
  • 41. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 95 Resumen Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de ángulos desconocidos. Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se llama ecuación condicional. Ésta es cierta para algunos valores del ángulo. Para resolver una ecuación trigonométrica se usan los mismos principios que en una ecuación algebraica. Al conjunto de números reales que satisfacen la ecuación se denomina conjunto solución, el cual se denota por S. Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad de que la incógnita está relacionada con un ángulo. Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes, sin embargo, las soluciones, como números reales que son, se expresan en radianes, salvo que se especifique lo contrario. A veces, es necesario aplicar alguna identidad que permita despejar la variable de interés. La ecuación 2 365 79 7 6 π π t −( )= es equivalente a la ecuación t − =79 7 365 6 2 π π ( ) ( ) ; si simplificas y luego despejas el valor de t = + ≈ 2555 12 79 292 La ecuación 2 365 79 11 6 π π ( )t − = es equivalente a la ecuación t − =79 11 365 6 2 π π ( ) ( ) ; al simplificar y luego 1. Determinalassolucionesdelaecuacióncos x = − 2 2 . 2. Determinalassolucionesdelasecuaciones: a) sen x = − 1 2 ;b) tanθ=1enelintervalo[–π,π] 3. Encuentralassolucionesdelaecuacióncscx=–14.07enelintervalo[0,2π [ 4. Resuelvelaecuaciónsen2x=senxenelintervalo[0,2π [ Actividad1 despejar el valor de t obtienes: t = + ≈ 4015 12 79 414 El día 292 corresponde al 19 de octubre, el día 414 – 365 = 49 del año, que corresponde al 18 de febrero. ¿Por qué no se considera la segunda de las respuestas?
  • 42. UNIDAD 5 96 Matemática - Segundo Año Autocomprobación 1.c. 2.a. 3.a. 4.b. Al igual que las identidades, las ecuaciones trigonométricas se aplican en casi todas las áreas del conocimiento. Por ejemplo, el desplazamiento de un pistón puede determinarse al sustituir los valores de π y t en la ecuación d = sen π t + cos π t. En dicha ecuación tenemos: d = desplazamiento π = velocidad angular t = tiempo Soluciones Alresolver3tanx= 3,lassolucionesparaxson: a) 062 210. , .{ } c) π π 6 7 6 ,{ } b) π π 4 7 4 ,{ } d) 131 263. , .{ } 1 Alresolver2cosθ=0,lasoluciónparaθes: a) π π 2 3 2 ,{ } c) π π 2 4 ,{ } b) π , 0{ } d) π π 4 3 4 ,{ } 3 Alresolvercos 4 2 2 x = ,lassolucionesparax son: a) 1125 19125. , .  { } b) 180 19125  , .{ } c) 1125 1508. , .  { } d) 45 315  ,{ } 2 Lasoluciónde2cosx= 3es a) π π 3 5 3 ,{ } c) π π 4 3 4 ,{ } b) π π 6 11 6 ,{ } d) π π 2 3 2 ,{ } 4 DESPLAZAMIENTO DE UN PISTÓN
  • 43. Segundo Año - Matemática 97 Lección 1 Actividad 1: 2. 75 + 360 = 435º 75 + 2(360) = 795º 75 – 360 = – 285º 75 – 3(360) = –1005º 4. b) 180º – 150º = 30º d) 360º – 300º = 60º Actividad 2: 1. a) sen 0º = 0 b) sen 90º = 1 j) tan 90º = ∞ o) cot 180º = –∞ Lección 2: Actividad 1: π 2 rad = 90º; 3 4 π rad = 135º ; π rad = 180º, etc. Actividad 2: 1. a) Solucionario d) 2. a) A = 4 b) 2 2 π π= c) − = − = − C B π π4 2 8 y x -0.25π 0 1 0 2 3 -1 -2 -3 0.5π π 1.5π 2π y x0 1 0 2 3 -1 -2 -3 0.25π 1.25π 1.75π0.75π 2.25π
  • 44. 98 Matemática - Segundo Año Lección 4 Actividad 1: b) Desarrollando cos 2 3 π asi: cos 2 = cos π π 3 3 +     = cos π 3 cos π 3 – sen π 3 sen π 3 c) Desarrollando tan 5 6 π asi: tan tan tan tan 5 6 2 3 2 3 1 π π π π π = +     =         − ttan tan π π 2 3         Lección 5 Actividad 1: 1. cos x = − 2 2 está asociado con un triángulo de referencia de 45º en el 2º y 3º cuadrante. Luego, las soluciones para x son 3 4 5 4 π π , 2. b) Como tan θ = 1, este valor corresponde a θ π = 4 rad y 7 4 π rad, pero como este último valor cae fuera del intervalo [–π, π], no forma parte de la solución, − 3 4 π también es solución. 4. sen 2x = sen x; pero sen 2x = 2 sen x cos x, por lo que 2 sen x cos x = sen x; por lo que 2 sen x cos x – sen x = 0 y al factorizar: sen x (2 cos x – 1) = 0. Luego, sen x = 0, lo que nos da x = 0, π, y 2 cos x – 1 = 0 nos da cos x = 1 2 lo que implica x = π π 3 5 3 , , por lo que x = 0, π, π π 3 5 3 , Solucionario
  • 45. Segundo Año - Matemática 99 Proyecto La cooperativa pesquera de la playa El Cuco, con el apoyo del Servicio Meteorológico, determina que la marea sobre su nivel medio está dada por la expresión y = 2.1 cos 0.45 t, donde y está dado en metros y t en horas, para fines de hacerse a la mar, los pescadores están interesados en averiguar: a) La altura de la marea a las 9:30 a.m y a las 2:50 p.m. b) A qué horas la altura sobre el nivel medio es de 2.5 m c) Trazar dos periodos de la gráfica. Ayúdale a los pescadores a resolver esta situación. Nota: considera t = 0 a las 6:00 a.m por lo que se comienza con 2.1 metros, ya que y = 2.1 cos(0.45)(0) = 2.1 cos 0 = 2.1
  • 46. 100 Matemática - Segundo Año Recursos BARNETT, Raymond, Álgebra y trigonometría. Editorial Mc Graw Hill, tercera edición, Colombia, 1990 FLEMING, Walter y Varberg, Dale. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Editorial Prentice Hall, tercera edición, México, 1991 JURGENSEN, Ray; Donnelly, Alfred y Dolciani, Mary, Geometría moderna. Editorial Publicaciones Cultural, tercera reimpresión, México, 1972 http://www.youtube.com/watch?v=pslHAPjZNv0 http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_sinusoidal
  • 47. UNIDAD 5 Segundo Año - Matemática 101 Colofón
  • 48. UNIDAD 5 102 Matemática - Segundo Año