Cálculo del saldo insoluto en amortizaciones

2009
2010
2200
Amortización y fondos
9
de amortización

Grupo 7
Matemáticas Financiera

Amortización y fondos de amortización

2


AMORTIZACION Y FONDOS
DE AMORTIZACION

Dedicatoria………………………………………………………….5

Agradecimiento…………………………………………………..6

Presentación………………………………………………………..7

Objetivo general………………………………………………….8

Objetivo especifico………………………………………………9

Amortización……………………………………………………..10

Cálculo de cuota o deuda…………………………………..12

Cálculo insoluto y tabla de amortización gradual..14

Cálculo del saldo insoluto……………………………………17

Reconstrucción de la tabla de amortización…….… 19

Periodo de gracia………………………………………………..20

Derechos del acreedor y del deudor……………………23

Amortizaciones con reajustes de tasas de interés.25

Cálculo de la renta cuando no coincide el periodo
de pago con el periodo de capitalización……………. 28

Fondos de amortización o de valor futuro………….30
3


El saldo insoluto en fondos de amortización………..33

La unidad del valor constante (UVC)……………………34

Recomendaciones……………………………………………….38

Conclusiones……………………………………………………….39

Anexos…………………………………………………………..

Bibliografía…………………………………………………..

4


Dedicatoria

Este trabajo investigativo lo
dedicamos de manera especial a Dios
por darnos el entendimiento y a
nuestros padres, por brindarnos su
apoyo moral y económico.

5


Agradecimiento

Nuestro mas sincero agradecimiento
al Ing. Civil Rafael Salcedo Muñoz
profesor guía que nos supo impartir
sus conocimientos para poder realizar
nuestro trabajo investigativo de la
mejor manera.

6


PRESENTACION
En el área financiera amortización significa saldar
gradualmente una deuda por medio de una serie
de pagos que, generalmente son iguales y que se
realizan en intervalos de tiempo iguales, aunque
también se llevan a cabo operaciones con algunas
variantes, este sistema es utilizado por bancos,
cooperativas, mutualistas, financieras, etc. en lo
que representa al crédito a mediano y largo plazo,
ya sea para la compra de bienes inmuebles, como:
terrenos, casas o departamentos, etc.

7


OBJETIVO GENERAL
Conocer y manejar el proceso de amortización
gradual, así como el proceso deformación de
fondos de valor futuro

8


OBJETIVOS ESPECIFICOS
 Explicar que es amortización y fondo de
amortización, así como sus semejanzas y
diferencias
 Construir tablas de amortización y de fondo
de amortización
 Determinar el saldo acreedor y el deudor
en cualquier tiempo
 Calcular el monto de los pagos o la tasa de
interés o el plazo en operaciones de
amortización
 Elaborar las tablas de valor futuro

9


AMORTIZACION
Amortizar es extinguir una deuda actual mediante
pagos periódicos, es muy común la utilización del
termino amortizar como el proceso de extinción
de una deuda, con su interés compuesto con el
objeto de extinguir una deuda futura. Los valores
de amortizaciones y delos fondos de amortización
se calculan con la formula de anualidades
adecuada según la situación. Las tablas de
amortización y de fondos de amortización
muestran la forma como se van modificándolas
condiciones de un periodo a otro.

10


Formula de la renta
A
R n
1 1 i
i

Formula del valor actual
k
1 (1 i)
A=R
i

Formula de la renta en función del monto

S
R=
(1 i) 1
i

Formula del monto
m
(1 i) 1
S=R
i

11


CALCULO DE LA CUOTA O
RENTA
En amortización cada pago sirve para cubrir los
intereses y reducir el capital; es decir, cada pago
esta compuesto por capital e interés. El pago
constante en su cantidad, varía según el número
de periodos de pago: mientras aumenta el
número, disminuirá el interés y se incrementará el
capital por cuota.

R R R R R R

Interés Capital

12


ES DECIR: Cuando el numero de cuotas es grande, en las primeras
cuotas se paga más interés y en las últimas más capital. Para el
cálculo de la cuota o renta se utiliza la formula de la renta en
función del valor actual de una anualidad vencida.
A
R n
1 1 i
i

EJEMPLO
Un colegio consigue un préstamo de $3.000.000
con un intereses a 15% anual capitalizable
semestralmente, el cual será amortizado mediante
pagos iguales, cada semestre, durante 3 años y 6
meses. Calcular el valor del pago semestral.

Solución:

R =?

A = 3.000.000

i = 0.14/2 =0.07

n = [(3) (12) + 6]/6 = 7

A 3000000 3000000
R n 7
556659 . 66
1 1 i 1 1 0 . 07 5 . 389289
i 0 . 07

13


El pago semestral será $ 556.659.66. En la cuota esta incluidos el
interés y el capital, este ultimo se lo utiliza para reducir la deuda. Con
el transcurso de cuotas pagadas, disminuye el interés y aumenta el
capital

CAPITAL INSOLUTO Y TABLA
DE AMORTIZACION
La parte de la deuda no cubierta en una fecha
dada se conoce como saldo insoluto o capital
insoluto en la fecha.
Los pagos que se hacen para amortizar una deuda
se aplican a cubrir los intereses a reducir y a
reducir el importe deuda. Para visualizar mejor
este proceso conviene elaborar una tabla de
amortización que muestre lo que sucede con los
pagos, los intereses, la deuda, la amortización y el
saldo

14


Fecha Pago Interés Amortización Saldo
semestral vencido
3000000
Fin de 556.659,66 210.000,00 346.659,66 2.653.340,34
semestre1
Fin de 556.659,66 185.733,82 370.925,84 2.282.414,20
semestre2
Fin de 556.659,66 159.769,01 396.890,65 1.885.523,90
semestre3
Fin de 556.659,66 131.986,67 424.672,95 1.460.850,90
semestre4
Fin de 556.659,66 102.259,56 454.400,10 1.006.450,90
semestre5
Fin de 556.659,66 70.451,56 486.208,10 520.242,70
semestre6
Fin de 556.659,66 36.146,99 520.242,70 0,00
semestre7

Lo que se puede observar en la tabla:

El interés vencido al final del primer periodo es

I = Cit; I = 3.000.000 (0.07) (1) = $210.00

El Capital pagado al final del primer periodo es

Cuota – interés = 556.659,66 – 210.000 = $
346.659.66

El capital insoluto para el segundo periodo es

= 3.000.000 – 346.659.66 = $2.653.340.34

15


La amortización es igual al pago menos los
intereses. En cada periodo subsecuente,
cada vez va siendo mayor la parte del pago
que se aplica a la amortización, ya que al
mismo tiempo también van disminuyendo
tanto el saldo como los intereses
correspondientes.
Se puede ver claramente cuanto es lo que
se resta por pagar al final de cada
semestre: el saldo.
En la tabla se puede apreciar:
Los Pagos: la cantidad que se debe pagar
en cada periodo y en que parte sirve para
pagar los intereses correspondientes y en
parte para amortizar el saldo dela deuda.
Las amortizaciones: la parte de cada pago
(Pago menos intereses) que se aplica a la
reducción del saldo deudor

16


CÁLCULO DEL SALDO
INSOLUTO
El calculo insoluto puede calcularse para cualquier
periodo utilizando la formula del valor actual de
una anualidad, con ligeras variaciones.
EJEMPLO:

R R R R R R R

0 1 2 3 4 5 6

RENTA $ 5556.659,66
El capital insoluto después del quinto pago es el
valor actual de los periodos que faltan por
cubrirse:
Sea P el saldo insoluto, m el numero de cuotas, n
el numero total de cuotas y k el numero de cuotas
que quedan por pagar.
Entonces:
k=n–m
k=7–5=2

17


En consecuencia, se tiene la siguiente formula del
saldo insoluto:
k
1 (1 i)
Pm = R
i

2
1 (1 0 . 07 )
P5 = 556.659,66
0 . 07

P5 = $ 1.006.450,78

Valor que se halla en la tabla de amortización
como capital insoluto al principio de sexto periodo
o, lo que es igual, el capital insoluto del quinto
periodo.

18


RECONSTRUCCIÓN DE LA
TABLA DE AMORTIZACIÓN
La tabla de amortización puede rehacerse en
cualquier periodo; para ello es necesario calcular
primero el saldo insoluto en ele periodo que
queremos rehacer la tabla, y luego el interés y el
capital que correspondan a la determinada cuota.
EJEMPLO:
Una deuda de $ 4.500.000 se va a cancelar en 3
años mediante el sistema de amortización, con
pagos al final de cada semestre a una tasa de
intereses de 12% capitalizable semestre. Calcular
la cuota semestral y elaborar la tabla de
amortización con interés sobre saldos deudores.

n = (3) (12) /6 = 6; i = 0.12/2 = 0.06

A 4 . 500 . 000
R= n 6
1 (1 i) 1 (1 0 . 06 )
i 0 . 06

4 . 500 . 000
R= = $ 915.131,83
4 , 917324

19


TABLA DE
AMORTIZACIÓN
Periodo Saldo insoluto Interés Renta Capital pagado Saldo deuda
*inicio *final
periodo* periodo*
1 $ 4.500.000 $ 270.000.00 $ 915.131,83 $ 645.131,83 $ 3. 854.868,17
2 3.854.868,17 231.292,09 915.131,83 683.839,74 3.171.028,43
3 3.171.028,43 190.261,71 915.131,83 724.870,12 2.446.158,31
4 2.446.158,31 146.769,50 915.131,83 768.362,33 1.677.795,98
5 1.677.795,98 100.667,76 915.131,83 814.464,06 863.331,92
6 863.331.91 51.799,92 915.131,83 863.331,92 0

Total $ 990.790,98 $5.490.790,98 $4.500.000,00

PERIODO DE GRACIA
Con frecuencia se realizan prestamos a largo plazo
con la modalidad de amortización gradual, en que
se incluye un periodo sin que se paguen cuotas
(generalmente sólo se paga el interés), el cual se
denomina periodo de gracia, con el depósito de
permitir a las empresas o instituciones operar
libremente durante un tiempo y luego cubrir las
cuotas respectivas.

EJEMPLO:
Una empresa consigue un préstamo por un valor
de $ 20.000.000 a 10 años plazo, incluidos 2 de
gracia, con una tasa de interés de 9 ½ % anual
capitalizable semestral, para ser pagado mediante

20


cuotas semestrales por el sistema de amortización
gradual; la primera cuota deberá pagarse un
semestre después de un periodo de gracia.
Calcular la cuota semestral y el saldo insoluto
inmediatamente después de haber pagado la
cuota 5 y la distribución de la cuota 6, en lo que
respecta al capital e intereses.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 años

Periodo de gracia

Periodo de pago: (8) (2) = 16 cuotas

En seguida se presenta la grafica para el saldo
insoluto
k = 16 – 5 = 11

11 cuotas

21


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
16 Semestres

20 . 000 . 000
R= 16
= $ 1.812.706,18
1 (1 0 . 0475 )
0 . 0475

11
1 (1 0 . 0475 )
P= 1.812.706,18
0 . 0475

P= 15.256.752, 17 saldo insoluto por pagar
(de capital, excluido interés)

La composición de la cuota 6 será, tanto el interés
como de capital;
l = (15.256.752) (0.0475) = $ 724.695,73 de
interés
Cuota – Interés = Capital pagado por cuota

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 años

1.812.706,18 – 7240695,73 = $1.088.010,45

22


DERECHOS DEL ACREADOR Y
EL DEUDOR
Se adquiere un bien a largo plazo, o se está
pagando una deuda por el sistema de amortización
gradual, es común querer conocer qué parte de la
deuda está ya pagada en determinado tiempo o
también cuales son los derechos del acreedor
(parte por pagar) o los derechos del deudor (parte
pagada).
La relación acreedor deudor se pude representar
mediante la siguiente ecuación:
Derechos del acreedor + Derechos del deudor =
Deuda
DA + DD = DO

O también;
Saldo insoluto + Parte amortizada = Deuda
original.

EJEMPLO:
Una persona adquiere una propiedad mediante un
préstamo hipotecario de $1.200.000 a 15 años de
plazo. Si debe pagar la deuda en cuotas mensuales

23


iguales y se considera una tasa de interés de 1.5%
mensual, calcular los derechos del acreedor y el
deudor inmediatamente después de haber pagado
la cuota120.

Se calcula el valor de la cuota mensual.
i = 0.015 n = (15) (12) = 180 cuotas

1 . 200 . 000
R= 180
= $ 19.325,05
1 (1 0 . 015 )
0 . 015

Se expresa el problema gráficamente:
120 cuotas 60 cuotas
180 cuotas

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 años

Saldo insoluto + Parte amortizada = Deuda original
60
1 (1 0 . 015 )
19.325,05 + Parte amortizada
0 . 015
= $1.200.000
761.025,67 + Parte amortizada = $ 1.200.000

24


1.200.000 – 761.025,67 = Parte amortizada
$ 438.974,33 = Parte
amortizada.
La parte amortizada constituye los derechos del
deudor, que son $ 438.974,33.
Por tanto, luego de la cuota 120, se tiene que:

Derechos de acreedor + Derechos de deudor =
Deuda original
761.025,67 + 438.974,33 = 1.200.000

Es decir que, inmediatamente después que el
deudor pague la cuota 120, sus derechos sobre la
propiedad que adquiere son 4 438.974,33 y el
saldo de la deuda o saldo insoluto es $ 761.025,67
(derechos de acreedor).

AMORTIZACIONES CON
REAJUSTE DE LA TASA DE
INTERÉS
En el medio financiero es frecuente realizar
contrataciones de préstamos con el sistema de
amortización gradual, en cuyas clausulas se

25


establece que la tasa de interés puede reajustarse
cada cierto tiempo, de acuerdo con las
fluctuaciones del mercado.
Existen tipos de problemas que se necesita
calcular el saldo insoluto luego de haber pagado la
última cuota y calcular el valor de la cuota con la
nueva tasa de interés y rehacer la tabla de
amortización.
EJEMPLO:
Una empresa obtiene un préstamo de $
500.000.000 a 5 años plazo con una tasa de interés
de 30 % anual capitalizable trimestralmente, que
debe ser pagado en cuotas trimestrales por el
sistema de amortización gradual.
a) Calcular el valor de la cuota trimestral
b) Construir la tabla de amortización en los
periodos 1 y 2.
c) Si la tasa de interés se reajusta a 24% anual
capitalizable trimestralmente luego del
pago 16, calcular la nueva cuota trimestral
y reconstruir la tabla en los periodos 17, 18,
19 y 20.

a) Se calcula la renta

26


500 . 000 . 000
R= 20
= $ 49.046.095,82
1 (1 0 . 075 )
0 . 075

b) Se construye la tabla para los periodos
1 y 2.

Periodo Saldo Insoluto Interés Renta Capital pagado
por cuota

1 $500,000,000,00 $37,500,000,00 $49,046,095,82 $11,546,095,82
2 $488,453,904,18 $36,634,042,81 $49,046,095,82 $12,412,053,01

c) La tasa de interés se reajusta a 24%
anual capitalizable trimestralmente
luego del pago 16. Por consiguiente, se
calcula el saldo insoluto luego del pago
16.

4
1 (1 0 . 075 )
P 16= 49.046.095.82 =
0 . 075
$164.271.37.15

Calculemos la nueva renta:

27


164 . 271 . 377 ,15
R= 4
= $47.407.321.87
1 (1 0 . 069
0 . 06
Reconstruimos la tabla con la nueva renta y la tasa
de interés de 24% anual capitalizable
trimestralmente.

Periodo Saldo Insoluto Interés Renta Capital pagado por
cuota

17 $164,271,377,15 $9,856,2828,62 $47,407,321,87 $37,551,039,25
18 $126,720,337,85 $7,603,220,27 $47,407,321,87 $39,804,101,60
19 $86,916,236,20 5,214,974,17 $47,407,321,87 $42,192,347,69
20 $44,723,888,50 $2,683,433,31 $47,407,321,87 $44,723,888,60

CÁLCULO DE LA RENTA
CUANDO NO COINCIDE EL
PERIODO DE PAGO CON EL
PERIODO DE CAPITALIZACIÓN
Cuando se debe calcular la renta y el periodo de
pago no coincide con el periodo de capitalización,
o viceversa, es necesario transformar la tasa de
interés o la capitalización utilizando la ecuación de
equivalencia estudiada en el capitulo quinto, de

28


manera que coincidan tanto la capitalización como
el periodo de pago.
EJEMPLO:
Una empresa obtiene un préstamo hipotecario de
amortización gradual por un valor de $90.000.000
a 5 años de plazo, a una tasa de interés de 30%
anual capitalizable semestralmente, que debe
pagarse en cuotas trimestrales. Calcular el valor de
la cuota trimestral.
¿A que tasas anual capitalizable trimestralmente
es equivalente una tasa de 30% anual capitalizable
semestralmente?

A partir de la ecuación de equivalencia.
(1 + 0.30/2) 2 = (1 + j / 4)4
j = 28.9522 % anual capitalizable trimestralmente.
Luego se calcula la renta:
i = 0.289522 / 4 = 0.072381; n = (5) (12) / 3 = 20

90 . 000 . 000
R= 20
= $ 8.653.213.19
1 (1 0 . 072381 )
0 . 072381

29


FONDOS DE AMORTIZACIÓN
O DE VALOR FUTURO.

** Un fondo de amortización es una cantidad que
se va acumulando mediante depósitos periódicos
que devengan cierto interés, de modo que en un
numero determinado de periodos se obtenga un
monto prefijado**

Los fondos de amortización son depósitos
periódicos que ganan interés con la finalidad de
acumular un determinado capital; este sistema se
utiliza para reposición de activos fijos, crear fondos
de reserva, pagar presentaciones futuras, seguros,
etc.
Se puede calcularse mediante la formula del
monto de una anualidad, puesto que la fecha focal
como referencia es el termino de la anualidad,
fecha en la que se debe completar el capital o
cantidad prefijada.

30


EJEMPLO:
Una empresa debe acumular un capital de
$6.000.000 en tres años mediante depósitos
semestrales es una institución financiera que le
reconoce una tasa de interés de 14% capitalizable
semestralmente. Calcular la cuota semestral y
elaborar la tabla de amortización
correspondiente.
Se calcula la cuota:

S = $6.000.000; n = (3) (2) = 6; i =
0.14/2 = 0.07

S
R=
(1 i) 1
i

R=
6 . 000 . 000 6 . 000 . 000
6
$ 838 . 774 , 77
(1 0 . 07 ) 1 7 ,153291
0 . 07

31


Luego se elabora la tabla.

TABLA DE FONDO DE AMORTIZACION O DE
VALOR FUTURO
Periodo Depósito o Aumento de Total añadido Fondo
renta interés al fondo acumulado
1 $838,774,77 $838,774,77 $838,774,77
2 $838,774,77 $58,714,23 $897,498,00 $1,736,263,77
3 $838,774,77 $121,538,46 $960,313,23 2,696,577,00
4 $838,774,77 $188,760,38 $1,027,535,15 $3,724,112,15
5 $838,774,77 $260,687,85 $1,099,462,61 $4,823,574,76
6 $838,774,77 $337,650,47 $1,176,425,24 $6,000,000,00
Total $5,032,648,62 $967,351,39 $6,000,000,00

Forma de cálculo
En el primer periodo solamente se registra el valor
dela renta. En el segundo periodo se consideran
los intereses generados por la primera renta:
l = (838.774.80) (0.07) = $ 58.714.23
Se suman los intereses más la renta y se tiene,
Total añadido al fondo = 58.714.23 + 838.774.77 =
$ 897.489
El fondo acumulado al final del periodo se obtiene
sumando el total añadido al fondo más el fondo
acumulado del periodo anterior:
Fondo acumulado al final del periodo = 897.489
+838.774.77 = $1.736.263.77.

32


Y así sucesivamente hasta el último depósito o
renta con el cual se acumula el monto de
$6.000.000.

EL SALDO INSOLUTO EN
FONDOS DE AMORTIZACION.
En los fondos de valor futuro también se puede
calcular el denominado saldo insoluto, que en este
caso es lo que queda por acumular para conseguir
el monto prefijado, sin tener que elaborar toda la
tabla. Para el afecto se utiliza la siguiente
ecuación:
Saldo insoluto = Monto – valor acumulado
m
(1 i) 1
Saldo insoluto = M – R
i

Donde m es el número de depósito o renta.
EJEMPLO:
Una empresa requiere construir un fondo de
amortización de $500.000.000 mediante depósitos
trimestrales durante 4 años, con el propósito de
remplazar cierta maquinaria. Si se considera una
tasa de interés de 15% anual capitalizable
trimestralmente, ¿Cuál será el valor acumulado

33


inmediatamente después de haber hecho el
deposito 12?

Primero se calcula la renta o depósito trimestral,
n= (4) (12) / 3 = 16 i = 0.15 /4 =0.0375
500 . 000 . 000
R= 16
$ 23 . 372 . 413 , 48
(1 0 . 3759 ) 1
0 . 0375
Luego, el valor acumulado en el periodo 12.
12
(1 0 . 0375 ) 1
S= 23.372.413.48 =
0 . 0375
$346.194.883.03

Por ultimo, el saldo insoluto inmediatamente
después del periodo 12.
S.I = 500.000.000 – 346.194.888 = $
153.805.111.97

LA UNIDAD DEL VALOR
CONSTANTE (UVC)
Es un instrumento financiero que sirve como
referencia para mantener el valor del dinero. Las
obligaciones de dinero activas y pasivas
expresadas en UVC deben tener u plazo mínimo de

34


365 días; es decir, es un instrumento financiero a
largo plazo. La UVC tiene un valor inicial que se
pude ajustar diariamente, de acuerdo con la
inflación (generalmente con la variación mensual
del índice de precios al consumidor).
Si tenemos una UVC de $10.000 y la inflación
mensual es de 2%, el valor de la UVC será:
UVC = 10.000 (1 + 0.02) = $ 10.200
La UVC protege el ahorro y facilita el
endeudamiento a largo plazo pues la persona que
se endeuda en UVC, por una determinada
cantidad, paga su deuda en UVC al valor que esté
en el día de pago.

Cálculo del ajuste de la UVC.
El valor de la UVC puede calcularse a la fecha que
se desee, de acuerdo con el sistema de cálculo que
se utilice. Al utilizar la formula siguiente, aprobada
por la autoridad financiera y monetaria
competente, que en este caso es la Junta
Monetaria, se tiene:

Vf = Vu (IPC n- I / IPC n – 2) df/dm
En donde:

35


Vf = valor de la UVC de la fecha actual
Vu = valor de la UVC del ultimo día del
mes anterior
IPC n – l = índice de precios al consumidor
correspondiente al mes inmediatamente
anterior.
IPC n – 2 = índice de los precios
correspondientes al mes previo al anterior.
df = día del mes para el que se calcula
el valor de la UVC.
dm = numero de días calendario del
mes.
EJEMPLO:
Calcular el valor de una UVC el día 26 de mayo de
1997, si se conocen los siguientes datos:
a) Valor de la UVC el 30 de abril: $
20.000
b) Índice de precios al consumidor en
el mes de abril: 15.25
c) Índice de precios al consumidor en
el mes de marzo: 15.00
d) Numero de días del mes de mayo:
31

36


Vf =
26 / 31
15 . 15
20 . 000 $ 20 . 279 , 20
15 . 00

37


Anexos

Yasmani González, Lorena Villalta, Mauricio
Cabrera, guido Córdova

38


Recomendaciones
Al finalizar el presente trabajo investigativo
considero muy importante realizar las siguientes
recomendaciones:

 Seguir utilizando las técnicas y métodos
que emplea la matemática financiera.

 Que los estudiantes se motiven
preparándose en el campo profesional.

 Obtener conocimientos mediante
investigaciones que permitan sustentar las
clases

39


Conclusiones
Luego de haber realizado el presente trabajo
investigativo considero conveniente y necesario
destacar las siguientes conclusiones:

 La matemática financiera es una ciencia
muy importante en el convivir diario.

 Conocer la importancia de la amortización
en el ámbito de los negocios

 El conocimiento absoluto de la
amortización y fondos de amortización
como base fundamental del estudio de la
matemática financiera.

40


BIBLIOGRAFIA
 MORA ZAMBRANO, Armando (2007),
MATEMATICAS FINANCIERAS, Segunda
Edición.

 DIAZ MATA, Alfredo, (1997),
MATEMATICAS FINANCIERAS, Segunda
Editorial

 AGUILERA GOMEZ, Victor
MATEMATICAS FINANCIERAS,

 AYRES JR, Frank MATEMATICAS
FINANCIERAS,

41

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