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MATEMATICAS II
Página1
2009
DEDICATORIA
Todo el empeño que hemos puesto en este proyecto se lo dedicamos ante
todo a DIOS a nuestros padres, familiares,y compañeros quienes de una u
otra manera nos han apoyado para la satisfactoria culminación de este
proyecto.
De igual manera a nuestros maestros, en especial al catedrático de la ciencia
de Matemáticas el Ing. Civil Rafael Salcedo por proporcionarnos la guía
necesaria que nos ha estimulado para alcanzar el objetivo deseado.
MATEMATICAS II
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2009
AGRADECIMIENTO
Agradecemos de todo corazón primordialmente a nuestros familiares que
contribuyeron a la realización de este proyecto.
A nuestro maestro guía por compartir e impartirnos sus conocimientos y
llevarnos por senderos de sabiduría, prosperidad y poder lograr que
nuestro esfuerzo obtenga el objetivo deseado.
A la Universidad Técnica de Máchala, por la oportunidad que brinda a los
jóvenes paraqué puedan convertirse en profesionales que contribuyan con
el desarrollo de la misma.
MATEMATICAS II
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2009
INTEGRANTES:
1.- AGUIRRE CHUCHUCA KELVIN 2.- ALCIVAR ROMERO ANYELO
3.- BALCAZAR CALERO JUAN 4.- CAJAMARCA COYAGO JUAN
5.-GANAN BLACIO KAREN 6.- HERNANDEZ TORRES TATIANA
7.- JADAN ORTEGA GEOVANNA 8.- JARAMILLO GRANDA ROSA
9.- MOSCOSO OLLAGUE WALTER 10.- NARANJO CARPIO JUAN
11.- QUEVEDO MENDOZA ALEXANDER 12.- PUTAN PUTAN MARCOS
13.- RAMIREZ SANCHEZ FLAVIO 14.- RIOFRIO JIMENEZ YURY
15.-ROMERO GRANDA ANDRES 16.- ROMERO ZAVALA HERMEL
17.- RUILOVA CUMBICOS FAUSTO 18.- SALAZAR NARVAEZ JOHANNA
19.- TORRES RAMIREZ YULIANA 20.- VARGAS SURIAGA VANESSA
MATEMATICAS II
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2009
DERIVADA DE PRODUCTO DE DOS FUNCIONES:
La derivada de producto de dos funciones es la primera función multiplicada por la derivada
de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒖. 𝒗
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒖.
𝒅𝒗
𝒅𝒙
+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
MATEMATICAS II
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DERIVADA DE UN COCIENTE:
La derivada de un cociente es el denominador multiplicado por la derivada del numerador,
menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, y todo ello dividido por el
cuadrado del denominador.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
− 𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒗 𝟐
MATEMATICAS II
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2009
DERIVADA EXPONENCIAL:
Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la
función
f:R  R
x  f(x) = ax
Esta función se escribe también como f(x) = exp a x y se lee «exponencial en base a de x».
Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de
las potencias:
1. a° = 1
2. a-n = 1/an
MATEMATICAS II
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DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL:
La derivada con logaritmo es igual a uno (1) sobre la variable (v) que se multiplica por la
derivada de la variable.
En análisis matemático se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de la
función:
que toma el valor 1 cuando la variable x es igual a 1,
La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial:
Si y= ln v
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
𝒗
.
𝒅𝒗
𝒅𝒙
MATEMATICAS II
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2009
DERIVADA DE LOGARITMO VULGAR:
Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ≠ 0; a ≠ 1), y un número N
positivo y no nulo (N > 0; N ≠ 0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay
que elevar dicha base para obtener el número.
Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:
loga N = x
y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».
Por lo tanto, loga N = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N
(notación exponencial).
Notación
logarítmica
Notación
exponencial
MATEMATICAS II
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log 2 8 = 3
log 1/2 4 = -2
log 7 7³ = 3
2³ = 8
(1/2)-2 = 2 ² = 4
7³ = 7³
Consecuencias de la definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a° = 1
2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a¹ = a
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al
exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am
4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.
5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es
negativo si la base a del logaritmo es a>1.
Así, por ejemplo, log 3 1/9 = -2, ya que 3-2 = 1/9
6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es
positivo si la base a del logaritmo es a<1.
MATEMATICAS II
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Por ejemplo, log 1/3 1/9 = 2, ya que (1/3) ² = 1/9
7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es a>1.
Así, log3 9 = 2; ya que 3 ² = 9
8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es a<1.
Así, log 1/5 25 = -2, ya que (1/5)-2 = 25
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EJEMPLOS:
1. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒖. 𝒗
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒖.
𝒅𝒗
𝒅𝒙
+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
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1) 𝒀 = (𝟑 + 𝟐𝑿) 𝟒
(𝟑 − 𝟓𝑿) 𝟓
PASOS A SEGUIR
 Identificamos la función U (3 + 2𝑋)4
y luego la función V (3 − 5𝑋)5
 Empezamos a derivar la función U
𝑼 = (𝟑 + 𝟐𝑿) 𝟑
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4(3 + 2𝑋)3
. (2)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 8(3 + 2𝑋)3
MATEMATICAS II
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 Luego derivamos la función V
𝑽 = (𝟑 − 𝟓𝑿) 𝟓
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 5(3 − 5𝑋)5
. (−5)
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −25(3− 5𝑋)4
 Se procede a remplazar las funciones y sus derivadas en la formula antes dada.
𝒀 = (𝟑 + 𝟐𝑿) 𝟒
(𝟑 − 𝟓𝑿) 𝟓
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (3 + 2𝑥)4
. [−25(3− 5𝑥4] + (3 − 5𝑥)5
. 8(3 + 2𝑥)3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −25(3 + 2𝑥)4
(3+ 2𝑥)4
+ 8(3 + 2𝑥)3
(3 − 5𝑥)5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (3 − 5𝑥)4
(3 + 2𝑥)3[−25(3+ 2𝑥) + 8(3 − 5𝑥)]
MATEMATICAS II
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𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (3 − 5𝑥)4(3 + 2𝑥)3
(−75 − 50𝑥 + 24 − 40𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (3 − 5𝑥)4(3 + 2𝑥)3(−90𝑥 − 51)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3(3 − 5𝑥)4(3 + 2𝑥)3(−30𝑥 − 17)
2) Y=(𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟕) 𝟑
(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒
(𝟏 − 𝟑𝒙) 𝟓
(𝟏 + 𝟕𝒙) 𝟒
U= (𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟕) 𝟑
(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (𝑥2
+ 2𝑥 − 7)3
∙ 4(2𝑥 − 3)3
(2)+(2𝑥 − 3)4
∙ 3( 𝑥2
+ 2𝑥 − 7)2
(2𝑥 − 2)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (𝑥2
+ 2𝑥 − 7)3
∙ 8(2𝑥 − 3)3
+ (2𝑥 − 3)4
∙ 3( 𝑥2
+ 2𝑥 − 7)2
(𝑥 + 1)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2(𝑥2
+ 2𝑥 − 7)2
(2𝑥 − 3)3[4(𝑥2
+ 2𝑥 − 7) + 3(2𝑥 − 3)(𝑥 + 1)]
MATEMATICAS II
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𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2( 𝑥2
+ 2𝑥 − 7)2(2𝑥 − 4)3
(4𝑥2
+ 8𝑥 − 28 + 6𝑥2
+ 6𝑥 − 9𝑥 − 9)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2( 𝑥2
+ 2𝑥 − 7)2(2𝑥 − 3)3
(10𝑥2
+ 5𝑥 − 37).
𝑽 = (𝟏 − 𝟑𝒙) 𝟓
(𝟏 + 𝟕𝒙) 𝟒
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= (1 − 3𝑥)5
∙ 4(1 + 7𝑥)3(7)+ (1 + 7𝑥)4
∙ 5(1 − 3𝑥)4
∙ (−3)
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= (1 − 3𝑥)4
(1 + 7𝑥)3[(1 − 3𝑥)4 ∙ 7 + 5(1 − 7𝑥)(−3)]
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= (1 − 3𝑥)4
(1 + 7𝑥)3
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= (1 − 3𝑥)4(1 + 7𝑥)3
(13 − 21𝑥)
Y=(𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟕) 𝟑
(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒
(𝟏 − 𝟑𝒙) 𝟓
(𝟏 + 𝟕𝒙) 𝟒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=(x2+2x-7)3(2x-3)4(1-3x)4(1+7x)3(13-21x)+ (1-3x)5 (1+7x)4.2 (x2+2x-7)2
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(2x- 3)3(10x2+5x-37)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3[(x2+2x-7)(2x-3)(13-21x)+2
(1-3x)(1+7x)(10x2+5x-37)]
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3(42x4+5x3+141x2-78x-340x3-150x2+1268x-74)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3 (42x4-335x3-9x2-74).
3) Y= (
𝟑
𝟓
𝑿 𝟐
− 𝟏)2 (
𝟐
𝟑
𝑿 + 𝟏)3 (
𝟑
𝟒
𝑿 − 𝟑)4
U= (
𝟑
𝟓
𝑿 𝟐
− 𝟏)2 (
𝟐
𝟑
𝑿 + 𝟏)3
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1)2.3(
2
3
𝑥 + 1)2(
2
3
) + 2(
3
5
𝑥2
− 1)(
6
5
𝑥) (
2
3
𝑥 + 1)3
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1) (
2
3
𝑥 + 1)2 [3(
3
5
𝑥2
− 1)(
2
3
) + .2(
2
3
𝑥 + 1) (
6
5
𝑥)]
MATEMATICAS II
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2009
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1) (
2
3
𝑥 + 1)2[2 (
3
5
𝑥2
− 1) +
12
5
(
2
3
𝑋 − 1)]
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1) (
2
3
𝑥 + 1)2[(
6𝑥2
5
− 2) + (
24𝑥2
18
−
12
5
𝑥)]
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1) (
2
3
𝑥 + 1)2[(
6𝑥2
−10
5
) + (
24𝑥2
+36𝑥
15
)]
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1) (
2
3
𝑥 + 1)2[
18𝑥2
−30+24𝑥2
+36𝑥
15
]
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1) (
2
3
𝑥 + 1)2[
42𝑥2
+36𝑥−30
15
]
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1) (
2
3
𝑥 + 1)2(
14𝑥2
+12𝑥−10
15
)
V= (
𝟑
𝟒
𝑿 − 𝟑)4
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=4(
3
4
𝑥 − 3)3(
3
4
)
MATEMATICAS II
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2009
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 3. (
3
4
𝑥 − 3)3
Y= (
𝟑
𝟓
𝑿 𝟐
− 𝟏)2 (
𝟐
𝟑
𝑿 + 𝟏)3 (
𝟑
𝟒
𝑿 − 𝟑)4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑋2
− 1)2 (
2
3
𝑋 + 1)3 3. (
3
4
𝑥 − 3)3 +(
3
4
𝑋 − 3)4(
3
5
𝑥2
− 1)(
2
3
𝑥 + 1)2[
42𝑥2
+36𝑥−30
15
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2 − 1)(
2
3
𝑥 + 1)
2
(
3
4
𝑥 − 3)
3
[(
3
5
𝑋2 − 1)(
2
3
𝑥 + 1) .3 + (
3
4
𝑥 − 3) . 2(
42𝑥2+36𝑥−30
15
)]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2 − 1)(
2
3
𝑥 + 1)
2
(
3
4
𝑥 − 3)
3
[(
3
5
𝑋2 − 1)(
1
3
𝑥 + 1) + (
3
2
𝑥 − 3) (
42𝑥2+36𝑥−30
15
)]
DERIVADA DE UN COCIENTE:
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1.-) y=
(
𝟑
𝟓
𝑿
𝟐
𝟑 +
𝟕
𝟖
𝑿
𝟏
𝟒−𝟏𝟎)
𝟑
𝟒
(
𝟑
𝟕
𝑿
𝟕
𝟖 −
𝟓
𝟖
𝑿
𝟖
𝟑 +
𝟑
𝟒
)
𝟏𝟏
𝟏𝟓
PASOS A SEGUIR:
 Identificamos cual es la función U (
3
5
𝑋
2
3 +
7
8
𝑋
1
4 − 10)
3
4
y
Luego la función V (
3
7
𝑋
7
8 −
5
8
𝑋
8
3 +
3
4
)
11
15
 Empezamos a derivar la función U
u=(
3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)
3
4
MATEMATICAS II
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2009
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
3
4
(
3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)
−1
4
(
2
3
𝑥
−1
3 +
7
32
𝑥
−3
4 )
 Empezamos a derivar la función V
v=(
𝟑
𝟕
𝒙
𝟕
𝟖 −
𝟓
𝟖
𝒙
𝟖
𝟑 +
𝟑
𝟒
)
𝟏𝟏
𝟏𝟓
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
11
15
(
3
7
𝑥
7
8 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)
−4
15
(
3
8
𝑥
−1
8 −
5
9
𝑥
−1
9 )
 Se procede a remplazar las funciones y sus derivadas en la formula antes dada.
MATEMATICAS II
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21
2009
y=
(
𝟑
𝟓
𝑿
𝟐
𝟑 +
𝟕
𝟖
𝑿
𝟏
𝟒−𝟏𝟎)
𝟑
𝟒
(
𝟑
𝟕
𝑿
𝟕
𝟖 −
𝟓
𝟖
𝑿
𝟖
𝟑 +
𝟑
𝟒
)
𝟏𝟏
𝟏𝟓
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(3
7
𝑥
8
9 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)
11
15 3
4
(3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)
−1
4
(2
5
𝑥
−1
3 +
7
32
𝑥
−3
4 ) − (3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)
3
4 11
15
(3
7
𝑥
7
8 −
5
8
𝑥
8
3 +
3
4
)
−4
15
(3
8
𝑥
−1
8 −
5
9
𝑥
−1
9 )
[(3
7
𝑥
7
8 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)
11
15
]
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(3
7
𝑥
8
9 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)
−4
15
(3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)
−1
4
[3
4
(3
7
𝑥
8
9 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)(2
5
𝑥
−1
3 +
7
32
𝑥
−3
4 ) −
11
15
(3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)(3
8
𝑥
−1
8 −
5
9
𝑥
−1
9 )]
[(3
7
𝑥
7
8 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)
11
15
]
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(
3
7
𝑥
8
9 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)
−4
15
(
3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)
−1
4
[
9
70
𝑥
13
24 +
9
28
𝑥
1
8 −
3
6
𝑥
5
9 −
105
1024
𝑥
5
36 +
9
40
𝑥
−1
3 +
63
512
𝑥
−3
4 −
33
200
𝑥
13
24 +
33
155
𝑥
5
9 −
77
320
𝑥
1
8 +
77
216
𝑥
5
36 +
33
12
𝑥
−1
8 −
110
27
𝑥
−1
9 ]
(
3
7
𝑥
7
8 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4)
22
15
MATEMATICAS II
Página
22
2009
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−
51
1400
𝑥
13
24 −
109
640
𝑥
1
8 +
41
720
𝑥
5
9 +
7021
27648
𝑥
5
36 +
9
40𝑥
1
3
+
63
512𝑥
3
4
+
33
12𝑥
1
8
−
110
27𝑥
1
9
(3
7
𝑥
8
9 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)
26
15
(3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)
1
4
2.-) y=
𝒙 𝟐−𝒙+𝟏
𝒙 𝟐+𝒙+𝟏
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
( 𝑥2
+ 𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) − ( 𝑥2
− 𝑥 + 1)(2𝑥 + 1)
( 𝑥2 + 𝑥 + 1)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
( 𝑥2
+ 𝑥 + 1)[(2𝑥 − 1) − (2𝑥 + 1)]
( 𝑥2 + 𝑥 + 1)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥 − 1 − 2𝑥 − 1
( 𝑥2 + 𝑥 + 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2
( 𝑥2 + 𝑥 + 1)
MATEMATICAS II
Página
23
2009
3.-) 𝒚 =
√𝐮+𝟏
√𝐮−𝟏
u= √ 𝐮 + 𝟏
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
2
𝑢−
1
2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
2√ 𝑢
V= √ 𝐮 − 𝟏
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
1
2
𝑢
−
1
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
1
2√ 𝑢
MATEMATICAS II
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24
2009
𝒚 =
√ 𝐮 + 𝟏
√ 𝐮 − 𝟏
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(√ 𝑢 − 1) (
1
2√𝑢
) − (√ 𝑢 + 1) (
1
2√𝑢
)
(√𝑢 − 1)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
√𝑢 – 1 − √𝑢 − 1
2√𝑢
(√𝑢 − 1)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2
2√𝑢( 𝑢 − 1)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2
2√𝑢( 𝑢 − 1)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
√𝑢( 𝑢 − 1)2
MATEMATICAS II
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2009
DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL
1) Y = 𝒆 𝒗
PASOS A SEGUIR:
 Identificamos las funciones la variable (V)
 Derivamos la variable ( V )
𝑣 = 4𝑥2
− 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8𝑥
 Derivamos la función Y
Y = 𝒆 𝒗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8𝑥𝑒4𝑥2
−5
MATEMATICAS II
Página
26
2009
2) Y=
𝒆 𝟐𝒙+𝟑
𝒆 𝟕𝒙−𝟐
𝒖 = 𝒆 𝟐𝒙+𝟑
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑒2𝑥+3
.2
𝒗 = 𝒆 𝟕𝒙−𝟐
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑒7𝑥−2
. 7
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2( 𝑒7𝑥−2).( 𝑒2𝑥+5) − ( 𝑒2𝑥+3)( 𝑒7𝑥−2). 7
( 𝑒7𝑥−2)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
( 𝑒2𝑥+3)(5)
𝑒7𝑥−2
MATEMATICAS II
Página
27
2009
3) 𝒚 =
𝒆 𝒙 𝟐
𝒆 𝒙
𝒖 = 𝒆 𝒙 𝟐
u= 𝒆 𝒗′
𝑣′ = 𝑥2
𝑑𝑣′ = 2𝑥
𝒗 = 𝒆 𝒙
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑒 𝑥
.1
𝒚 =
𝒆 𝒙 𝟐
𝒆 𝒙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑒 𝑥2
. 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥.2𝑥𝑒 𝑥2
𝑒2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑒 𝑥 𝑒 𝑥2
[1 − 2𝑥]
𝑒2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑒 𝑥2
[1 − 2𝑥]
𝑒 𝑥
MATEMATICAS II
Página
28
2009
DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL
𝒚 = 𝒂 𝒗
PASOS A SEGUIR
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒂 𝒗
. 𝒍𝒏 𝒂 .
𝒅𝒗
𝒅𝒙
1) 𝒚 = 𝟑
−
𝒙+𝟏
𝒙−𝟏
𝑎 = 3
𝑣 =
𝑥 + 1
𝑥 − 1
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
2
( 𝑥 − 1)2
MATEMATICAS II
Página
29
2009
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3
𝑥+1
𝑥−1 ln 2
2
( 𝑥 − 1)2
2.-) 𝒚 = −𝟑−𝒙 𝟐
𝑎 = 2
𝑣 = 𝑥2
− 5𝑥 + 1
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 𝑥2
−5+5
. 𝑙𝑛 3 .(2𝑥 − 5)
MATEMATICAS II
Página
30
2009
3.-) 𝒚 = −𝟕 𝒆 𝟓𝒙 𝟐−𝟑𝒙+𝟏
𝑎 = 7
𝑣 = 𝑒5𝑥2−3𝑥+1(10𝑥 − 3)
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −7 𝑒5 𝑥2−3𝑥+1
ln 7 (10𝑥 − 3)𝑒5𝑥2
−3𝑥+1
4.-) 𝟔 𝟑𝒙+𝒆 𝒙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3 + 𝑒 𝑥 (1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 63𝑥+𝑒 𝑥
. ln 6. 3+ 𝑒 𝑥
MATEMATICAS II
Página
31
2009
DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL
1.-) 𝒚 = 𝒍𝒏
(𝒙+𝟐) 𝟑 (𝒙−𝟑) 𝟒
(𝒙−𝟏) 𝟐 (𝒙+𝟏) 𝟓
𝑦 = 3ln( 𝑥 + 2) + 4ln( 𝑥 − 3) − 2ln( 𝑥 − 1) − 5ln(𝑥 + 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3
(𝑥 + 2)
.1 +
4
(𝑥 − 3)
.1 −
2
(𝑥 − 1)
.1 −
5
( 𝑥 + 1)
.1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3( 𝑥 − 3)( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 1) + 4( 𝑥+ 2)( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 1) − 2( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1) − 5(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 1)
( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑥3
− 9𝑥2
− 3𝑥 + 9 + 4𝑥3
+ 8𝑥2
− 4𝑥 − 8 − 𝑥2
+ 7𝑥 + 6 − 𝑥3
+ 2𝑥2
+ 5𝑥 − 6
( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
6𝑥3
+ 5𝑥 + 1
( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑅.
MATEMATICAS II
Página
32
2009
2.-) 𝒚 =
( 𝒙−𝟐)(𝒙+𝟒)
( 𝒙−𝟓)(𝒙+𝟑)
𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛
( 𝑥 − 2)(𝑥 + 4)
( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
𝑙𝑛𝑦 = ln( 𝑥 − 2) + ln( 𝑥 + 4) − ln( 𝑥 − 5) − ln(𝑥 + 3)
1
𝑦
∗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
(𝑥 − 2)
+
1
( 𝑥 + 4)
−
1
(𝑥 − 5)
−
1
(𝑥 + 3)
1
𝑦
∗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)( 𝑥 + 3) + ( 𝑥 − 2)( 𝑥 − 5)( 𝑥 + 3) − ( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 + 3) − ( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)(𝑥 − 5)
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
1
𝑦
∗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥3
+ 2𝑥2
− 23𝑥 − 60 + 𝑥3
− 4𝑥2
− 11𝑥 + 30 − 𝑥3
− 5𝑥2
+ 2𝑥 + 24 − 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 18𝑥 − 40
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
1
𝑦
∗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−4𝑥2 − 14𝑥 − 46
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2(2𝑥2 + 7𝑥 + 23)
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
∗ 𝑦
MATEMATICAS II
Página
33
2009
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2(2𝑥2 + 7𝑥 + 23)
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)( 𝑥 + 3)
∗
( 𝑥 − 2)(𝑥 + 4)
( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2(2𝑥2 + 7𝑥 + 23)
(𝑥 − 5)2(𝑥 + 3)2 𝑅.
4.-)𝒚 = (𝒙 + 𝟏) 𝟐
(𝟐𝒙 + 𝟑) 𝟑
𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥 + 1)2
(2𝑥 + 3)3
1
𝑦
×
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 ln( 𝑥 + 1) + 3ln(2𝑥 + 3)
1
𝑦
×
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 ×
1
(𝑥 + 1)
+ 3 ×
1
(2𝑥 + 3)
× 2
1
𝑦
×
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2
(𝑥 + 1)
+
6
(2𝑥 + 3)
MATEMATICAS II
Página
34
2009
1
𝑦
×
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2(2𝑥 + 3) + 6(𝑥 + 1)
( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)
1
𝑦
×
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4𝑥 + 6 + 6𝑥 + 6
( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)
1
𝑦
×
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
10𝑥 + 12
( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2(5𝑥 + 6)
(𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)
∗ 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2(5𝑥 + 6)
( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)
∗ (𝑥 + 1)2
(2𝑥 + 3)3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2(5𝑥 + 6)( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)2
𝑹.
MATEMATICAS II
Página
35
2009
DERIVADA DEL LOGARITMO VULGAR
Si y= log v
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
log 𝑒
𝑣
∗
𝑑𝑣
𝑑𝑥
EJERCICIOS
𝒀 = 𝒍𝒐𝒈(𝒙 𝟐
− 𝟓) 𝟓
𝑣 = (𝑥2
− 5)5 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑙𝑜𝑔𝑒
𝑣
∗
𝑑𝑣
𝑑𝑥
MATEMATICAS II
Página
36
2009
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 5(𝑥2
− 5)4
∗ (2𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑙𝑜𝑔𝑒
(𝑥2−5)5
∗ 10𝑥(𝑥2
− 5)4
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 10𝑥(𝑥2
− 5)4 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
10𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑒
(𝑥2−5)
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠( 𝒆 𝒙)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
log 𝑒 𝑥
( 𝑒 𝑥)
𝑒 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= log 𝑒
MATEMATICAS II
Página
37
2009
𝒚 =
𝐥𝐨𝐠( 𝒆 𝒙)
𝒙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= log 𝑒 𝑥( 𝑥)−1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= log( 𝑒 𝑥)− 1( 𝑥)−2
+ ( 𝑥)−1
log 𝑒 𝑥
𝑒 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −log
( 𝑒 𝑥)
( 𝑥)2
+
log 𝑒
𝑥
MATEMATICAS II
Página
38
2009
1.- DERIVADA DE PRODUCTO DE DOS FUINCIONES:
𝐘 = 𝐮. 𝐯
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑢.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
MATEMATICAS II
Página
39
2009
2.- DERIVADA DE UN COCIENTE:
𝒚 =
𝒖
𝒗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
− 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣2
3.- DERIVADA EXPONENCIAL:
𝒚 = 𝒆 𝒗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒 𝑣.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
MATEMATICAS II
Página
40
2009
4.-DERIVADA CON EXPONENTE:
𝒚 = 𝒂 𝒗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑎 𝑣 𝑙𝑛𝑎
𝑑𝑣
𝑑𝑥
5.-DERIVADA CON LOGARITMO NATURAL:
𝒚 = 𝒍𝒏 𝒗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑣
.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
MATEMATICAS II
Página
41
2009
6.-DERIVADA CON LOGARITMO VULGAR:
𝒚 = 𝒍𝒐𝒈. 𝒗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
log 𝑒
𝑣
.
𝑑𝑣
𝑑𝑥

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CALCULO DIFERENCIAL

  • 1. MATEMATICAS II Página1 2009 DEDICATORIA Todo el empeño que hemos puesto en este proyecto se lo dedicamos ante todo a DIOS a nuestros padres, familiares,y compañeros quienes de una u otra manera nos han apoyado para la satisfactoria culminación de este proyecto. De igual manera a nuestros maestros, en especial al catedrático de la ciencia de Matemáticas el Ing. Civil Rafael Salcedo por proporcionarnos la guía necesaria que nos ha estimulado para alcanzar el objetivo deseado.
  • 2. MATEMATICAS II Página2 2009 AGRADECIMIENTO Agradecemos de todo corazón primordialmente a nuestros familiares que contribuyeron a la realización de este proyecto. A nuestro maestro guía por compartir e impartirnos sus conocimientos y llevarnos por senderos de sabiduría, prosperidad y poder lograr que nuestro esfuerzo obtenga el objetivo deseado. A la Universidad Técnica de Máchala, por la oportunidad que brinda a los jóvenes paraqué puedan convertirse en profesionales que contribuyan con el desarrollo de la misma.
  • 3. MATEMATICAS II Página3 2009 INTEGRANTES: 1.- AGUIRRE CHUCHUCA KELVIN 2.- ALCIVAR ROMERO ANYELO 3.- BALCAZAR CALERO JUAN 4.- CAJAMARCA COYAGO JUAN 5.-GANAN BLACIO KAREN 6.- HERNANDEZ TORRES TATIANA 7.- JADAN ORTEGA GEOVANNA 8.- JARAMILLO GRANDA ROSA 9.- MOSCOSO OLLAGUE WALTER 10.- NARANJO CARPIO JUAN 11.- QUEVEDO MENDOZA ALEXANDER 12.- PUTAN PUTAN MARCOS 13.- RAMIREZ SANCHEZ FLAVIO 14.- RIOFRIO JIMENEZ YURY 15.-ROMERO GRANDA ANDRES 16.- ROMERO ZAVALA HERMEL 17.- RUILOVA CUMBICOS FAUSTO 18.- SALAZAR NARVAEZ JOHANNA 19.- TORRES RAMIREZ YULIANA 20.- VARGAS SURIAGA VANESSA
  • 4. MATEMATICAS II Página4 2009 DERIVADA DE PRODUCTO DE DOS FUNCIONES: La derivada de producto de dos funciones es la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera. 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒖. 𝒗 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒖. 𝒅𝒗 𝒅𝒙 + 𝒗 𝒅𝒖 𝒅𝒙
  • 5. MATEMATICAS II Página5 2009 DERIVADA DE UN COCIENTE: La derivada de un cociente es el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, y todo ello dividido por el cuadrado del denominador. 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒗 𝒅𝒖 𝒅𝒙 − 𝒖 𝒅𝒗 𝒅𝒙 𝒗 𝟐
  • 6. MATEMATICAS II Página6 2009 DERIVADA EXPONENCIAL: Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función f:R  R x  f(x) = ax Esta función se escribe también como f(x) = exp a x y se lee «exponencial en base a de x». Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias: 1. a° = 1 2. a-n = 1/an
  • 7. MATEMATICAS II Página7 2009 DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL: La derivada con logaritmo es igual a uno (1) sobre la variable (v) que se multiplica por la derivada de la variable. En análisis matemático se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de la función: que toma el valor 1 cuando la variable x es igual a 1, La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial: Si y= ln v 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒗 . 𝒅𝒗 𝒅𝒙
  • 8. MATEMATICAS II Página8 2009 DERIVADA DE LOGARITMO VULGAR: Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ≠ 0; a ≠ 1), y un número N positivo y no nulo (N > 0; N ≠ 0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número. Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe: loga N = x y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x». Por lo tanto, loga N = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N (notación exponencial). Notación logarítmica Notación exponencial
  • 9. MATEMATICAS II Página9 2009 log 2 8 = 3 log 1/2 4 = -2 log 7 7³ = 3 2³ = 8 (1/2)-2 = 2 ² = 4 7³ = 7³ Consecuencias de la definición de logaritmo 1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a° = 1 2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a¹ = a 3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am 4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero. 5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es negativo si la base a del logaritmo es a>1. Así, por ejemplo, log 3 1/9 = -2, ya que 3-2 = 1/9 6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es positivo si la base a del logaritmo es a<1.
  • 10. MATEMATICAS II Página 10 2009 Por ejemplo, log 1/3 1/9 = 2, ya que (1/3) ² = 1/9 7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es a>1. Así, log3 9 = 2; ya que 3 ² = 9 8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es a<1. Así, log 1/5 25 = -2, ya que (1/5)-2 = 25
  • 11. MATEMATICAS II Página 11 2009 EJEMPLOS: 1. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES. 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒖. 𝒗 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒖. 𝒅𝒗 𝒅𝒙 + 𝒗 𝒅𝒖 𝒅𝒙
  • 12. MATEMATICAS II Página 12 2009 1) 𝒀 = (𝟑 + 𝟐𝑿) 𝟒 (𝟑 − 𝟓𝑿) 𝟓 PASOS A SEGUIR  Identificamos la función U (3 + 2𝑋)4 y luego la función V (3 − 5𝑋)5  Empezamos a derivar la función U 𝑼 = (𝟑 + 𝟐𝑿) 𝟑 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 4(3 + 2𝑋)3 . (2) 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 8(3 + 2𝑋)3
  • 13. MATEMATICAS II Página 13 2009  Luego derivamos la función V 𝑽 = (𝟑 − 𝟓𝑿) 𝟓 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 5(3 − 5𝑋)5 . (−5) 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = −25(3− 5𝑋)4  Se procede a remplazar las funciones y sus derivadas en la formula antes dada. 𝒀 = (𝟑 + 𝟐𝑿) 𝟒 (𝟑 − 𝟓𝑿) 𝟓 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (3 + 2𝑥)4 . [−25(3− 5𝑥4] + (3 − 5𝑥)5 . 8(3 + 2𝑥)3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −25(3 + 2𝑥)4 (3+ 2𝑥)4 + 8(3 + 2𝑥)3 (3 − 5𝑥)5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (3 − 5𝑥)4 (3 + 2𝑥)3[−25(3+ 2𝑥) + 8(3 − 5𝑥)]
  • 14. MATEMATICAS II Página 14 2009 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (3 − 5𝑥)4(3 + 2𝑥)3 (−75 − 50𝑥 + 24 − 40𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (3 − 5𝑥)4(3 + 2𝑥)3(−90𝑥 − 51) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3(3 − 5𝑥)4(3 + 2𝑥)3(−30𝑥 − 17) 2) Y=(𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟕) 𝟑 (𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 (𝟏 − 𝟑𝒙) 𝟓 (𝟏 + 𝟕𝒙) 𝟒 U= (𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟕) 𝟑 (𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = (𝑥2 + 2𝑥 − 7)3 ∙ 4(2𝑥 − 3)3 (2)+(2𝑥 − 3)4 ∙ 3( 𝑥2 + 2𝑥 − 7)2 (2𝑥 − 2) 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = (𝑥2 + 2𝑥 − 7)3 ∙ 8(2𝑥 − 3)3 + (2𝑥 − 3)4 ∙ 3( 𝑥2 + 2𝑥 − 7)2 (𝑥 + 1) 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2(𝑥2 + 2𝑥 − 7)2 (2𝑥 − 3)3[4(𝑥2 + 2𝑥 − 7) + 3(2𝑥 − 3)(𝑥 + 1)]
  • 15. MATEMATICAS II Página 15 2009 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2( 𝑥2 + 2𝑥 − 7)2(2𝑥 − 4)3 (4𝑥2 + 8𝑥 − 28 + 6𝑥2 + 6𝑥 − 9𝑥 − 9) 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2( 𝑥2 + 2𝑥 − 7)2(2𝑥 − 3)3 (10𝑥2 + 5𝑥 − 37). 𝑽 = (𝟏 − 𝟑𝒙) 𝟓 (𝟏 + 𝟕𝒙) 𝟒 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = (1 − 3𝑥)5 ∙ 4(1 + 7𝑥)3(7)+ (1 + 7𝑥)4 ∙ 5(1 − 3𝑥)4 ∙ (−3) 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = (1 − 3𝑥)4 (1 + 7𝑥)3[(1 − 3𝑥)4 ∙ 7 + 5(1 − 7𝑥)(−3)] 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = (1 − 3𝑥)4 (1 + 7𝑥)3 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = (1 − 3𝑥)4(1 + 7𝑥)3 (13 − 21𝑥) Y=(𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟕) 𝟑 (𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 (𝟏 − 𝟑𝒙) 𝟓 (𝟏 + 𝟕𝒙) 𝟒 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =(x2+2x-7)3(2x-3)4(1-3x)4(1+7x)3(13-21x)+ (1-3x)5 (1+7x)4.2 (x2+2x-7)2
  • 16. MATEMATICAS II Página 16 2009 (2x- 3)3(10x2+5x-37) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3[(x2+2x-7)(2x-3)(13-21x)+2 (1-3x)(1+7x)(10x2+5x-37)] 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3(42x4+5x3+141x2-78x-340x3-150x2+1268x-74) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3 (42x4-335x3-9x2-74). 3) Y= ( 𝟑 𝟓 𝑿 𝟐 − 𝟏)2 ( 𝟐 𝟑 𝑿 + 𝟏)3 ( 𝟑 𝟒 𝑿 − 𝟑)4 U= ( 𝟑 𝟓 𝑿 𝟐 − 𝟏)2 ( 𝟐 𝟑 𝑿 + 𝟏)3 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = ( 3 5 𝑥2 − 1)2.3( 2 3 𝑥 + 1)2( 2 3 ) + 2( 3 5 𝑥2 − 1)( 6 5 𝑥) ( 2 3 𝑥 + 1)3 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = ( 3 5 𝑥2 − 1) ( 2 3 𝑥 + 1)2 [3( 3 5 𝑥2 − 1)( 2 3 ) + .2( 2 3 𝑥 + 1) ( 6 5 𝑥)]
  • 17. MATEMATICAS II Página 17 2009 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = ( 3 5 𝑥2 − 1) ( 2 3 𝑥 + 1)2[2 ( 3 5 𝑥2 − 1) + 12 5 ( 2 3 𝑋 − 1)] 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = ( 3 5 𝑥2 − 1) ( 2 3 𝑥 + 1)2[( 6𝑥2 5 − 2) + ( 24𝑥2 18 − 12 5 𝑥)] 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = ( 3 5 𝑥2 − 1) ( 2 3 𝑥 + 1)2[( 6𝑥2 −10 5 ) + ( 24𝑥2 +36𝑥 15 )] 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = ( 3 5 𝑥2 − 1) ( 2 3 𝑥 + 1)2[ 18𝑥2 −30+24𝑥2 +36𝑥 15 ] 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = ( 3 5 𝑥2 − 1) ( 2 3 𝑥 + 1)2[ 42𝑥2 +36𝑥−30 15 ] 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = ( 3 5 𝑥2 − 1) ( 2 3 𝑥 + 1)2( 14𝑥2 +12𝑥−10 15 ) V= ( 𝟑 𝟒 𝑿 − 𝟑)4 𝑑𝑣 𝑑𝑥 =4( 3 4 𝑥 − 3)3( 3 4 )
  • 18. MATEMATICAS II Página 18 2009 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 3. ( 3 4 𝑥 − 3)3 Y= ( 𝟑 𝟓 𝑿 𝟐 − 𝟏)2 ( 𝟐 𝟑 𝑿 + 𝟏)3 ( 𝟑 𝟒 𝑿 − 𝟑)4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ( 3 5 𝑋2 − 1)2 ( 2 3 𝑋 + 1)3 3. ( 3 4 𝑥 − 3)3 +( 3 4 𝑋 − 3)4( 3 5 𝑥2 − 1)( 2 3 𝑥 + 1)2[ 42𝑥2 +36𝑥−30 15 ] 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ( 3 5 𝑥2 − 1)( 2 3 𝑥 + 1) 2 ( 3 4 𝑥 − 3) 3 [( 3 5 𝑋2 − 1)( 2 3 𝑥 + 1) .3 + ( 3 4 𝑥 − 3) . 2( 42𝑥2+36𝑥−30 15 )] 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ( 3 5 𝑥2 − 1)( 2 3 𝑥 + 1) 2 ( 3 4 𝑥 − 3) 3 [( 3 5 𝑋2 − 1)( 1 3 𝑥 + 1) + ( 3 2 𝑥 − 3) ( 42𝑥2+36𝑥−30 15 )] DERIVADA DE UN COCIENTE:
  • 19. MATEMATICAS II Página 19 2009 1.-) y= ( 𝟑 𝟓 𝑿 𝟐 𝟑 + 𝟕 𝟖 𝑿 𝟏 𝟒−𝟏𝟎) 𝟑 𝟒 ( 𝟑 𝟕 𝑿 𝟕 𝟖 − 𝟓 𝟖 𝑿 𝟖 𝟑 + 𝟑 𝟒 ) 𝟏𝟏 𝟏𝟓 PASOS A SEGUIR:  Identificamos cual es la función U ( 3 5 𝑋 2 3 + 7 8 𝑋 1 4 − 10) 3 4 y Luego la función V ( 3 7 𝑋 7 8 − 5 8 𝑋 8 3 + 3 4 ) 11 15  Empezamos a derivar la función U u=( 3 5 𝑥 2 3 + 7 8 𝑥 1 4 − 10) 3 4
  • 20. MATEMATICAS II Página 20 2009 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 3 4 ( 3 5 𝑥 2 3 + 7 8 𝑥 1 4 − 10) −1 4 ( 2 3 𝑥 −1 3 + 7 32 𝑥 −3 4 )  Empezamos a derivar la función V v=( 𝟑 𝟕 𝒙 𝟕 𝟖 − 𝟓 𝟖 𝒙 𝟖 𝟑 + 𝟑 𝟒 ) 𝟏𝟏 𝟏𝟓 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 11 15 ( 3 7 𝑥 7 8 − 5 8 𝑥 8 9 + 3 4 ) −4 15 ( 3 8 𝑥 −1 8 − 5 9 𝑥 −1 9 )  Se procede a remplazar las funciones y sus derivadas en la formula antes dada.
  • 21. MATEMATICAS II Página 21 2009 y= ( 𝟑 𝟓 𝑿 𝟐 𝟑 + 𝟕 𝟖 𝑿 𝟏 𝟒−𝟏𝟎) 𝟑 𝟒 ( 𝟑 𝟕 𝑿 𝟕 𝟖 − 𝟓 𝟖 𝑿 𝟖 𝟑 + 𝟑 𝟒 ) 𝟏𝟏 𝟏𝟓 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (3 7 𝑥 8 9 − 5 8 𝑥 8 9 + 3 4 ) 11 15 3 4 (3 5 𝑥 2 3 + 7 8 𝑥 1 4 − 10) −1 4 (2 5 𝑥 −1 3 + 7 32 𝑥 −3 4 ) − (3 5 𝑥 2 3 + 7 8 𝑥 1 4 − 10) 3 4 11 15 (3 7 𝑥 7 8 − 5 8 𝑥 8 3 + 3 4 ) −4 15 (3 8 𝑥 −1 8 − 5 9 𝑥 −1 9 ) [(3 7 𝑥 7 8 − 5 8 𝑥 8 9 + 3 4 ) 11 15 ] 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (3 7 𝑥 8 9 − 5 8 𝑥 8 9 + 3 4 ) −4 15 (3 5 𝑥 2 3 + 7 8 𝑥 1 4 − 10) −1 4 [3 4 (3 7 𝑥 8 9 − 5 8 𝑥 8 9 + 3 4 )(2 5 𝑥 −1 3 + 7 32 𝑥 −3 4 ) − 11 15 (3 5 𝑥 2 3 + 7 8 𝑥 1 4 − 10)(3 8 𝑥 −1 8 − 5 9 𝑥 −1 9 )] [(3 7 𝑥 7 8 − 5 8 𝑥 8 9 + 3 4 ) 11 15 ] 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ( 3 7 𝑥 8 9 − 5 8 𝑥 8 9 + 3 4 ) −4 15 ( 3 5 𝑥 2 3 + 7 8 𝑥 1 4 − 10) −1 4 [ 9 70 𝑥 13 24 + 9 28 𝑥 1 8 − 3 6 𝑥 5 9 − 105 1024 𝑥 5 36 + 9 40 𝑥 −1 3 + 63 512 𝑥 −3 4 − 33 200 𝑥 13 24 + 33 155 𝑥 5 9 − 77 320 𝑥 1 8 + 77 216 𝑥 5 36 + 33 12 𝑥 −1 8 − 110 27 𝑥 −1 9 ] ( 3 7 𝑥 7 8 − 5 8 𝑥 8 9 + 3 4) 22 15
  • 22. MATEMATICAS II Página 22 2009 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 51 1400 𝑥 13 24 − 109 640 𝑥 1 8 + 41 720 𝑥 5 9 + 7021 27648 𝑥 5 36 + 9 40𝑥 1 3 + 63 512𝑥 3 4 + 33 12𝑥 1 8 − 110 27𝑥 1 9 (3 7 𝑥 8 9 − 5 8 𝑥 8 9 + 3 4 ) 26 15 (3 5 𝑥 2 3 + 7 8 𝑥 1 4 − 10) 1 4 2.-) y= 𝒙 𝟐−𝒙+𝟏 𝒙 𝟐+𝒙+𝟏 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ( 𝑥2 + 𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) − ( 𝑥2 − 𝑥 + 1)(2𝑥 + 1) ( 𝑥2 + 𝑥 + 1)2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ( 𝑥2 + 𝑥 + 1)[(2𝑥 − 1) − (2𝑥 + 1)] ( 𝑥2 + 𝑥 + 1)2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 − 1 − 2𝑥 − 1 ( 𝑥2 + 𝑥 + 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 2 ( 𝑥2 + 𝑥 + 1)
  • 23. MATEMATICAS II Página 23 2009 3.-) 𝒚 = √𝐮+𝟏 √𝐮−𝟏 u= √ 𝐮 + 𝟏 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 2 𝑢− 1 2 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 2√ 𝑢 V= √ 𝐮 − 𝟏 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 1 2 𝑢 − 1 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 1 2√ 𝑢
  • 24. MATEMATICAS II Página 24 2009 𝒚 = √ 𝐮 + 𝟏 √ 𝐮 − 𝟏 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (√ 𝑢 − 1) ( 1 2√𝑢 ) − (√ 𝑢 + 1) ( 1 2√𝑢 ) (√𝑢 − 1)2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = √𝑢 – 1 − √𝑢 − 1 2√𝑢 (√𝑢 − 1)2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 2 2√𝑢( 𝑢 − 1)2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 2 2√𝑢( 𝑢 − 1)2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 1 √𝑢( 𝑢 − 1)2
  • 25. MATEMATICAS II Página 25 2009 DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL 1) Y = 𝒆 𝒗 PASOS A SEGUIR:  Identificamos las funciones la variable (V)  Derivamos la variable ( V ) 𝑣 = 4𝑥2 − 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 8𝑥  Derivamos la función Y Y = 𝒆 𝒗 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 8𝑥𝑒4𝑥2 −5
  • 26. MATEMATICAS II Página 26 2009 2) Y= 𝒆 𝟐𝒙+𝟑 𝒆 𝟕𝒙−𝟐 𝒖 = 𝒆 𝟐𝒙+𝟑 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑒2𝑥+3 .2 𝒗 = 𝒆 𝟕𝒙−𝟐 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑒7𝑥−2 . 7 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2( 𝑒7𝑥−2).( 𝑒2𝑥+5) − ( 𝑒2𝑥+3)( 𝑒7𝑥−2). 7 ( 𝑒7𝑥−2)2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − ( 𝑒2𝑥+3)(5) 𝑒7𝑥−2
  • 27. MATEMATICAS II Página 27 2009 3) 𝒚 = 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒖 = 𝒆 𝒙 𝟐 u= 𝒆 𝒗′ 𝑣′ = 𝑥2 𝑑𝑣′ = 2𝑥 𝒗 = 𝒆 𝒙 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 .1 𝒚 = 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥2 . 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥.2𝑥𝑒 𝑥2 𝑒2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥2 [1 − 2𝑥] 𝑒2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥2 [1 − 2𝑥] 𝑒 𝑥
  • 28. MATEMATICAS II Página 28 2009 DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL 𝒚 = 𝒂 𝒗 PASOS A SEGUIR 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒂 𝒗 . 𝒍𝒏 𝒂 . 𝒅𝒗 𝒅𝒙 1) 𝒚 = 𝟑 − 𝒙+𝟏 𝒙−𝟏 𝑎 = 3 𝑣 = 𝑥 + 1 𝑥 − 1 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 2 ( 𝑥 − 1)2
  • 29. MATEMATICAS II Página 29 2009 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3 𝑥+1 𝑥−1 ln 2 2 ( 𝑥 − 1)2 2.-) 𝒚 = −𝟑−𝒙 𝟐 𝑎 = 2 𝑣 = 𝑥2 − 5𝑥 + 1 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 2𝑥 − 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 𝑥2 −5+5 . 𝑙𝑛 3 .(2𝑥 − 5)
  • 30. MATEMATICAS II Página 30 2009 3.-) 𝒚 = −𝟕 𝒆 𝟓𝒙 𝟐−𝟑𝒙+𝟏 𝑎 = 7 𝑣 = 𝑒5𝑥2−3𝑥+1(10𝑥 − 3) 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = −7 𝑒5 𝑥2−3𝑥+1 ln 7 (10𝑥 − 3)𝑒5𝑥2 −3𝑥+1 4.-) 𝟔 𝟑𝒙+𝒆 𝒙 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3 + 𝑒 𝑥 (1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 63𝑥+𝑒 𝑥 . ln 6. 3+ 𝑒 𝑥
  • 31. MATEMATICAS II Página 31 2009 DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL 1.-) 𝒚 = 𝒍𝒏 (𝒙+𝟐) 𝟑 (𝒙−𝟑) 𝟒 (𝒙−𝟏) 𝟐 (𝒙+𝟏) 𝟓 𝑦 = 3ln( 𝑥 + 2) + 4ln( 𝑥 − 3) − 2ln( 𝑥 − 1) − 5ln(𝑥 + 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3 (𝑥 + 2) .1 + 4 (𝑥 − 3) .1 − 2 (𝑥 − 1) .1 − 5 ( 𝑥 + 1) .1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3( 𝑥 − 3)( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 1) + 4( 𝑥+ 2)( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 1) − 2( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1) − 5(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) ( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑥3 − 9𝑥2 − 3𝑥 + 9 + 4𝑥3 + 8𝑥2 − 4𝑥 − 8 − 𝑥2 + 7𝑥 + 6 − 𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 6 ( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 6𝑥3 + 5𝑥 + 1 ( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 𝑅.
  • 32. MATEMATICAS II Página 32 2009 2.-) 𝒚 = ( 𝒙−𝟐)(𝒙+𝟒) ( 𝒙−𝟓)(𝒙+𝟑) 𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛 ( 𝑥 − 2)(𝑥 + 4) ( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3) 𝑙𝑛𝑦 = ln( 𝑥 − 2) + ln( 𝑥 + 4) − ln( 𝑥 − 5) − ln(𝑥 + 3) 1 𝑦 ∗ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 (𝑥 − 2) + 1 ( 𝑥 + 4) − 1 (𝑥 − 5) − 1 (𝑥 + 3) 1 𝑦 ∗ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)( 𝑥 + 3) + ( 𝑥 − 2)( 𝑥 − 5)( 𝑥 + 3) − ( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 + 3) − ( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)(𝑥 − 5) ( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3) 1 𝑦 ∗ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 23𝑥 − 60 + 𝑥3 − 4𝑥2 − 11𝑥 + 30 − 𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥 + 24 − 𝑥3 + 3𝑥2 + 18𝑥 − 40 ( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3) 1 𝑦 ∗ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −4𝑥2 − 14𝑥 − 46 ( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2(2𝑥2 + 7𝑥 + 23) ( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3) ∗ 𝑦
  • 33. MATEMATICAS II Página 33 2009 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2(2𝑥2 + 7𝑥 + 23) ( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)( 𝑥 + 3) ∗ ( 𝑥 − 2)(𝑥 + 4) ( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2(2𝑥2 + 7𝑥 + 23) (𝑥 − 5)2(𝑥 + 3)2 𝑅. 4.-)𝒚 = (𝒙 + 𝟏) 𝟐 (𝟐𝒙 + 𝟑) 𝟑 𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥 + 1)2 (2𝑥 + 3)3 1 𝑦 × 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 ln( 𝑥 + 1) + 3ln(2𝑥 + 3) 1 𝑦 × 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 × 1 (𝑥 + 1) + 3 × 1 (2𝑥 + 3) × 2 1 𝑦 × 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 (𝑥 + 1) + 6 (2𝑥 + 3)
  • 34. MATEMATICAS II Página 34 2009 1 𝑦 × 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2(2𝑥 + 3) + 6(𝑥 + 1) ( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) 1 𝑦 × 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4𝑥 + 6 + 6𝑥 + 6 ( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) 1 𝑦 × 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 10𝑥 + 12 ( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2(5𝑥 + 6) (𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) ∗ 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2(5𝑥 + 6) ( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) ∗ (𝑥 + 1)2 (2𝑥 + 3)3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2(5𝑥 + 6)( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)2 𝑹.
  • 35. MATEMATICAS II Página 35 2009 DERIVADA DEL LOGARITMO VULGAR Si y= log v 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = log 𝑒 𝑣 ∗ 𝑑𝑣 𝑑𝑥 EJERCICIOS 𝒀 = 𝒍𝒐𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓) 𝟓 𝑣 = (𝑥2 − 5)5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑣 ∗ 𝑑𝑣 𝑑𝑥
  • 36. MATEMATICAS II Página 36 2009 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 5(𝑥2 − 5)4 ∗ (2𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑒 (𝑥2−5)5 ∗ 10𝑥(𝑥2 − 5)4 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 10𝑥(𝑥2 − 5)4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 10𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑒 (𝑥2−5) 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠( 𝒆 𝒙) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = log 𝑒 𝑥 ( 𝑒 𝑥) 𝑒 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = log 𝑒
  • 37. MATEMATICAS II Página 37 2009 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠( 𝒆 𝒙) 𝒙 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = log 𝑒 𝑥( 𝑥)−1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = log( 𝑒 𝑥)− 1( 𝑥)−2 + ( 𝑥)−1 log 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −log ( 𝑒 𝑥) ( 𝑥)2 + log 𝑒 𝑥
  • 38. MATEMATICAS II Página 38 2009 1.- DERIVADA DE PRODUCTO DE DOS FUINCIONES: 𝐘 = 𝐮. 𝐯 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑢. 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 𝑣. 𝑑𝑢 𝑑𝑥
  • 39. MATEMATICAS II Página 39 2009 2.- DERIVADA DE UN COCIENTE: 𝒚 = 𝒖 𝒗 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 − 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑣2 3.- DERIVADA EXPONENCIAL: 𝒚 = 𝒆 𝒗 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑣. 𝑑𝑣 𝑑𝑥
  • 40. MATEMATICAS II Página 40 2009 4.-DERIVADA CON EXPONENTE: 𝒚 = 𝒂 𝒗 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑣 𝑙𝑛𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑥 5.-DERIVADA CON LOGARITMO NATURAL: 𝒚 = 𝒍𝒏 𝒗 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑣 . 𝑑𝑣 𝑑𝑥
  • 41. MATEMATICAS II Página 41 2009 6.-DERIVADA CON LOGARITMO VULGAR: 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈. 𝒗 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = log 𝑒 𝑣 . 𝑑𝑣 𝑑𝑥