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UNIVERSIDAD TECNICA DE MACHALA
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
ESCUELA DE CONTABILIDAD y auditoria
PORTAFOLIO DE ESTADISTICA I
GRUPO N°3
INTEGRANTES:
MÓNICA FLORES
EVELIN SIGUENZA
MERCEDES MALDONADO
LISSETH GONZALES
CURSO:
1RO. “B” DiuRna
Profesor:
ING. Rafael salcedo muñoz
AÑO LECTIVO:
2012 – 2013
ESTADISTICA
La "estadística es el estudio de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar,
resumir y analizar datos y para hacer inferencias científicas partiendo de tales datos".
IMPORTANCIA
La estadística es muy importante en casi cualquier área profesional, esto incluye las
áreas de Informática, matemáticas y economía.
Esta te permite:
1) Determinar los futuros problemas antes que ocurran, al establecer límites
tolerables en los procesos productivos.
2) Determinar si un lote de producción cumples los requisitos mínimos de calidad con
solo tomar una muestra significativa.
3) Conocer el estado actual de la producción al hacer cambios comparándolo con los
procesos sin cambios.
4) Evaluar probables nuevos procedimientos, y su impacto en la producción
y muchas otras cosas más dependiendo de tu imaginación y en lo que lo vas a aplicar.
CLASIFICACIÓN
Se agrupa en 2 grandes áreas: estadística descriptiva y estadística inferencial, que
desempeñan funciones distintivas, pero complementarias en el análisis.
Es importante que todo profesional que utilice la estadística como herramienta
auxiliar de trabajo, posea un mínimo de conocimientos y habilidades prácticas en
aquellas técnicas que le facilitarán el buen desarrollo de esta actividad.
Estadística descriptiva.
La estadística descriptiva comprende las técnicas que se emplean para resumir y
describir datos numéricos. Son sencillas desde el punto de vista matemático y su
análisis se limita a los datos coleccionados sin inferir en un grupo mayor. El estudio de
los datos se realiza con representaciones gráficas, tablas, medidas de posición y
dispersión.
Estadística inferencial.
El problema crucial de la estadística inferencial es llegar a proposición es acerca de la
población a partir de la observación efectuada en muestras bajo condiciones de
incertidumbre. Ésta comprende las técnicas que aplicadas en una muestra sometida a
observación, permiten la toman de decisiones sobre una población o proceso
estadístico. En otras palabras, es el proceso de hacer predicciones acerca de un todo
basado en la información de una muestra.
La inferencia se preocupa de la precisión de los estadígrafos descriptivos ya que estos
se vinculan inductivamente con el valor poblacional.
USOS MÁS FRECUENTES
 Conocer el porcentaje de la población que necesita agua.
 Conocer el porcentaje de población que tiene diabetes
 Conocer el porcentaje de personas que utilizan tomate para preparar sus
comidas
 Conocer el porcentaje de personas mexicanas que consumen tortilla.
 Conocer el porcentaje de protección social que se asigna en áfrico.
 Conocer e interpretar el porcentaje de personas que tienen microempresas en
el ecuador.
 Conocer el porcentaje de niños desnutridos en el país.
 Conocer el porcentaje de estudiantes que tienen conocimiento de ingles en la
u.
VARIABLES
Una variable es una característica que al ser medida en diferentes individuos es
susceptible de adoptar diferentes individuos es susceptible de adoptar diferentes
valores.
TIPOS DE VARIABLES
Variables cualitativas
Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada
modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en
una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser
dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre y
mujer o son politómicas cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas
podemos distinguir:
Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa: La variable puede tomar
distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario
que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve, moderado, grave.
Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos a
un criterio de orden como por ejemplo los colores.
Variables cuantitativas
Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables
cuantitativas además pueden ser:
Variable discreta : Es la variable que presenta separaciones o interrupciones
en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones
indican la ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la
variable pueda asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5).
Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de
un intervalo especificado de valores. Por ejemplo la masa (2,3 kg, 2,4 kg,
2,5 kg,...) o la altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,...), o el salario. Solamente se está
limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría permiten que siempre
exista un valor entre dos variables.
MUESTRA
La mayoría de los estudios estadísticos, se realizan no sobre la población, sino sobre
un subconjunto o una parte de ella, llamado muestra, partiendo del supuesto de que
este subconjunto presenta el mismo comportamiento y características que la
población. En general el tamaño de la muestra es mucho menor al tamaño de la
población. Los valores o índices que se concluyen de una muestra se llaman
estadígrafos y estos mediante métodos inferenciales o probabilísticos, se aproximan a
los parámetros poblacionales.
POBLACION
Es el conjunto de todos los elementos que presentan una característica común
determinada, observable y medible. Por ejemplo, si el elemento es una persona, se
puede estudiar las características edad, peso, nacionalidad, sexo, etc. Los elementos
que integran una población pueden corresponder a personas, objetos o grupos (por
ejemplo, familias, fábricas, empresas, etc). Las características de la población se
resumen en valores llamados parámetros
NIVELES DE MEDICIÓN
Nivel Nominal: Es el nivel más bajo de medición en cuanto a suministro de
ecuaciones, las observaciones solo se pueden contar o clasificar (no hay un
orden lógico de las categorías). Las categorías son mutuamente excluyentes y
exhaustivas.
Nivel Ordinal: Las observaciones mantienen un orden, las categorías de datos
están ordenadas de acuerdo a las características.
Nivel de Intervalo: Tiene todas las características del nivel ordinal, pero
además la diferencial entre dos valores tienen un tamaño constante, el cero es
solo un número en escala, es decir, no representa la ausencia de la condición.
Nivel de Proporción o Razón: Es el nivel más alto, tiene todas las
características del nivel de intervalo, pero además el cero tiene significado y la
relación entre dos números tiene sentido.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Una distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en
forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada datosufrecuencia
correspondiente.
Tipos de frecuencia
Frecuencia absoluta
La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valoren
un estudio estadístico.
Se representa por fi.
La suma de las frecuencias absolutases igual al número total de datos, que se
representa por N.
Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula)
que se lee suma o sumatoria.
Frecuencia relativa
La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un
determinado valor y el número total de datos.
Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.
La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
Frecuencia acumulada
La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los
valores inferiores o igualesalvalor considerado.
Se representa por Fi.
Frecuencia relativa acumulada
La frecuencia relativa acumuladaes el cociente entre la frecuencia acumulada de un
determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.
DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS
El diagrama "tallo y hojas" permite obtener simultáneamente una distribución de
frecuencias de la variable y su representación gráfica. Para construirlo basta separar
en cada dato el último dígito de la derecha (que constituye la hoja) del bloque de cifras
restantes (que formará el tallo).
TALLO HOJA
1 3,6,7,4,4,3,9,1,8,6,8,3,9,4,7
0 8,9
2 5,2,6,5,4,7,1,8
3 1,0,2,0
TALLO HOJA
0 8,9
1 1,3,3,3,4,4,4,6,6,6,7,7,8,8,9,0
2 1,2,4,5,5,6,7,8
3 0,0,1,2
POLÍGONO DE FRECUENCIAS
Es un gráfico de líneas que se usa para presentar las frecuencias absolutas de los
valores de una distribución en el cual la altura del punto asociado a un valor de las
variables es proporcional a la frecuencia de dicho valor.
POLÍGONO DE FRECUENCIASACUMULADA U OJIVA.
Es un gráfico acumulativo, el cual es muy útil cuando se quiere representar el rango
porcentual de cada valor en una distribución de frecuencias.
En los gráficos las barras se encuentran juntas y en la tabla los números poseen en el
primer miembro un corchete y en el segundo un paréntesis
HISTOGRAMA
es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie
de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje
vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las
variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo
en el que están agrupados los datos.
Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de
la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores
continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como
sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores.
Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que
en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un
proceso.
Diagrama de barras
Un diagrama de barras, también conocido como diagrama de columnas, es una forma
de representar gráficamente un conjunto de datos o valores y está conformado por
barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores representados. Los
gráficos de barras son usados para comparar dos o más valores. Las barras pueden
orientarse vertical u horizontalmente.
Gráfico circular
Los gráficos circulares, también llamados gráficos de pastel o gráficas de 360 grados,
son recursos estadísticosque se utilizan para representar porcentajes y proporciones.
El número de elementos comparados dentro de un gráfico circular puede ser de más
de 5, y los segmentos se ordenan de mayor a menor, iniciando con el más amplio a
partir de las 12, como en un reloj.
Una manera fácil de identificar los segmentos es sombreando de claro a oscuro, donde
el de mayor tamaño es el más claro y el de menor tamaño, el más oscuro.
MEDIA ARITMÉTICA
Es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número
total de datos X es el símbolo de la media aritmética.
Mientras que la media aritmética a menudo se utiliza para informar de tendencias
centrales , no es una estadística robusta , lo que significa que está muy influido por los
valores atípicos . Cabe destacar que para distribuciones asimétricas , la media
aritmética no puede concordar con la propia noción de "medio", y las estadísticas
robustas, tales como la mediana puede ser una mejor descripción de la tendencia
central.
Ejemplo:
Los pesos de 6 niños son: 84,91,72,68,87 y 78 kg
Hallar el peso medio
X: 84+91+72+68+87+78 = 80 kg
6
MEDIANA
La mediana, representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de
datos ordenados.
En teoría de la probabilidad y estadísticas , una mediana de un conjunto de valores
( borrador , población , distribución de probabilidad ) es un valor tal que el número m
de los valores del conjunto mayor que o igual que m es el número de valores m o
menos. Intuitivamente, podemos decir que la mediana es el punto medio de la serie ,
se divide en dos mitades. Esta es una característica posiciónde la serie.
Ejemplo:
Encontrar la mediana para los siguientes datos
3-4-1-2-3-4-3-3-1-5-5
Ordenar los datos
1-1-2-2-2-3-3-4-4-5-5
Localizar el valor que divide en 2 partes iguales el número de datos.
1-1-2-2-2-3-3-4-4-5-5
La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado.
MODA
La moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.
Hablaremos de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna
cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia
tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay
moda.
Ejemplo:
0-2-5-7-15-0-2-5-7-15
4-6-8-15-1-4-6-12-19-3
Calcular la moda:
Moda: 15 por ser el número más frecuente de errores.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA ARITMETICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Medida de tendencia central usualmente llamada promedio, se define como la división
de la suma de todos los valores entre el número de datos. Su fórmula es:
Propiedades
Las principales propiedades de la media aritmética son:3
Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.
Su valor es único para una serie de datos dada.
Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado
acompañarla de una medida de dispersión.
La media aritmética( muestral)Esencialmente, la media muestra es el mismo
parámetro que el anterior, aunque el adjetivo "muestral" se aplica a aquellas
situaciones en las que la media aritmética se calcula para un subconjunto de la
población objeto de estudio.
X= simboliza la media aritmética calculada para una muestra.
n= es el número de valores que toma la variable, en estudio, en la muestra.
∑= Sumatoria
Xi= es cada uno de los valores que toma la variable en la muestra o en la población.Z
Niño nota
1 6,0 ·Primero, se suman las notas:
2 5,4 6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 = 27,6
3 3,1 ·Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos:
4 7,0 27,6/5=5,52
5 6,1
MEDIA POBLACIONAL
Media Poblacional = µ = X
N
= sumatoria
µ = media
N = número de elementos
X = valores o datos
MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su
relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media
ponderada. Si es un conjunto de datos o media muestral
y son números reales positivos, llamados "pesos" o factores de
ponderación, se define la media ponderada relativa a esos pesos como:
Es un caso especial de la media aritmética.
Se presenta cuando hay varias observaciones del mismo valor que pueden
ocurrir si los datos se han agrupado en una distribución de frecuencias.
Consiste en multiplicar cada observación por el número de veces que aparece
MEDIA GEOMETRICA (datos no agrupados)
La media geométrica siempre va a ser menor o igual que la media aritmética, jamás la
media geométrica es mayor que la media aritmética.
No se consideran valores negativos.
Sirve para encontrar el promedio de porcentajes, la razón,índices,o tasas de
crecimiento.
Ejemplo:
 Las ganancias obtenidas por una constructora en 4 proyectos recientes fueron :
3% ; 4%; 2%; 6%. ¿Cuál es la media geométrica de la ganacia?
MG =
MG= 3.46%
AUMENTO PORCENTUAL PROMEDIO EN UN PERIODO DETERNADO
Esta fórmula sirve para ver el aumento porcentual en un determinado período.
MG= _ 1
 Suponga que una población de Alaska en 1990, era de 2 personas y en el 2010
de 56 personas. ¿cuál fue la tasa de interés de incremento porcentual anual
promedio para el periodo.
MG= 1 = MG= 1
1,18-1=0,18×100= 18%
Valor al inicio del período
2
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS
AGRUPADOS
MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS Al calcular la media para datos agrupados, se
supone que las observaciones en cada clase son iguales al punto medio de la clase.
MEDIANA
La extensión para el cálculo de la mediana en el caso de datos agrupados es realiza a
continuación:
L= límite inferior de la clase donde está ubicada la mediana.
n=numero de términos.
FA= frecuencia absoluta acumulada ( del intervalo anterior a la clase donde está la
mediana)
f= frecuencia absoluta del intervalo donde se ubica la mediana.
i= amplitud del intervalo.
 Una muestra de la producción diaria de transmisores del receptor de
comunicación marca Scott electronics se organizó en la distribución que sigue.
Calcule la mediana de la producción diaria.
Producción
diaria
f Xm f.x f.A
80-90 2 85 425 5
90-100 9 95 855 14
100-110 20 105 2100 34
110-120 8 115 920 42
120-130 6 125 750 48
130-140 2 135 270 50
50 660 5320
Me= 100+
20
Me= 100+25-14 . 10
20
Me= 100+11 . 10
20
Me= 100+5,5= 105,5
LA MODA es la observación que ocurre con mayor frecuencia, por lo que es
necesario identificar la clase modal, esta se localiza encontrando la clase que
tenga más frecuencia.
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la
variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes
puntuaciones de una variable están muy alejadas de la mediana media. Cuanto mayor
sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la
mediana media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre
ellos.
Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se
calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media
aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos
clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en
valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado
(Varianza).1
AMPLITUD DE LA VARIANZA
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una
distribución estadística.
AV= VM-Vm
DESVIACIÓN MEDIA POBLACIONAL
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la
variable estadística y la media aritmética.
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de
las desviaciones respecto a la media.
VARIANZA POBLACIONAL
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones
respecto a la media de una distribución estadística.
La varianza se representa por .
PROPIEDADES DE LA VARIANZA
1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las
puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza
no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por
un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de
dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus
respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
DESVIACIÓN ESTÁNDAR POBLACIONAL
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviación.
La desviación típica se representa por σ.
PROPIEDADES DE DESVIACIÓN ESTÁNDAR
1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que
las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación
típica no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por
un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus
respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.
LA VARIANZA MUESTRAL
Se puede definir como el "casi promedio" de los cuadrados de las desviaciones de los
datos con respecto a la media muestral. Su fórmula matemática para el caso de datos
referentes a una muestra es:
 El almacén JML de la ciudad de Machala contrato s pasantes de contabilidad el
año pasado, sus sueldos mensuales fueron $253,60; $244,80; $252,60;$219,70
y $274,30.
a) Calcule la media de la población.
b) Determine la varianza.
c) Obtenga la desviación estándar poblacional.
d) La oficina de JML en piñas contrato 6 pasantes. Su sueldo mensual
promedio fue de $262,30 y la desviación estándar $25 compare ambos
grupos.
Sueldos mensuales x-u (x-u) (x-u)2
253,60 8,60 8,60 73,96
224,80 -20,20 20,20 408,04
252,60 7,60 7,60 57,76
219,70 -25,30 25,30 640,09
274,30 29,30 29,30 858,49
0 91 2038,34
Av= VM- Vm= 274,30 – 219,70= 54,6
a)U= £x= 1225 = 245
N 5
B)G2
=£(X-U)2= 2038,3
N 5
G= 407,67
C)
G= 20,19
DESVIACION ESTANDAR MUESTRAL
FORMULA DIRECTA
S2
=
DESVIACION ESTANDAR PARA DATOS AGRUPADOS
S=
AMPLITUD DE LA VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS
Av= Ls – Li
Limite Límite
Superior Inferior
 Los tiempos de uso de una muestra de roca de un cuarto de pulgada por
alquiler disponible en CollRental, INC.
e) Calcule la amplitud de varianza
f) Evalue la desviación estándar muestral
g) Determine
Tiempo frecuencia Xm Fx X2 Fx2
2-4 2 3 6 9 18
4-6 5 5 25 29 125
6-8 10 7 70 49 490
8-10 4 9 36 81 324
10-12 2 11 22 121 242
35 159 285 1199
Av=Ls-Li
Av= 12 – 2
Av= 10
S=
1199_ (159)2
S= 23
23-1
1199-1099,17
S= 22
S=
S=2,13
S2= 4,54
NIVEL DE MEDICION
Los datos que hemos tomado de la gasolinera EL AGUADOR son de nivel nominal, porque
solo clasifica los datos.
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
1623 1569 1655 1641 1770 1629 1619 1563 1563 1694 1568 1477
1578 1553 1734 1639 1621 1590 1670 1464 1664 1589 1646 1528
1603 1594 1681 1574 1640 1533 1570 1490 1545 1735 1640 1495
1510 1610 1805 1795 1630 1640 1680 1795 1830 1665 1715 1635
1728 1750 1725 1737 1793 1857 1955 1887 1895 1750 1630 1821
CALCULO DEL NÚMERO DE INTERVALOS
2k
≥ #
26
= 60
64 > 60
K=6
AMPLITUD DEL INTERVALO
i≥
i≥
i≥
i≥71.83
i = 72
CUADRO DE FRECUENCIAS
DETALLE Xm f F f% F% fr Fr
1464 1536 1500 7 7 11.67 11.66 0.16 0.16
1536 1608 1572 13 20 21.66 33.33 0.22 0.33
1608 1680 1644 18 38 30 63.33 0.30 0.63
1680 1752 1716 11 49 18.33 81.66 0.18 0.81
1752 1824 1788 6 55 10 91.66 0.10 0.91
1824 1896 1860 5 60 8.34 100 0.08 1.00
60 100 1.00
DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA
TALLO HOJA
162 3 9 1
156 9 3 3 8
165 5
164 1 6 0 0 0
177 0
161 9 0
169 4
147 7
157 0 8 4
155 3
173 4 5 7
163 9 0 5 0
159 0 4
167 0
146 4
166 4 5
158 9
152 8
160 3
168 1 0
153 3
149 0 5
154 5
151 0
180 5
179 5 5 3
183 0
171 5
172 8 5
175 0 0
185 7
195 5
188 7
189 5
182 1
FORMA ORDENADA DEL DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA
TALLO HOJA
146 4
147 7
149 0 5
151 0
152 8
153 3
154 5
155 3
156 3 3 8 9
157 0 4 8
158 9
159 0 4
160 3
161 0 9
162 1 3 9
163 0 0 5 9
164 0 0 0 1 6
165 5
166 4 5
167 0
168 0 1
169 4
171 5
172 5 8
173 4 5 7
175 0 0
177 0
179 3 5 5
180 5
182 1
183 0
185 7
188 7
189 5
195 5
POLÍGONO DE FRECUENCIA
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1500 1572 1644 1716 1788 1860
FRECUENCIA
POLIGONO DE FRECUENCIA
HISTOGRAMA
POLÍGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA U OJIVA
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
FRECUENCIAS
CLASES
HISTOGRAMA
0
10
20
30
40
50
60
70
1464 1536 1608 1680 1752 1824
POLIGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA U
OJIVA
DIAGRAMA DE BARRAS
DIAGRAMA CIRCULAR
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1464 1536 1608 1680 1752 1824
DIAGRAMA DE BARRAS
7
13
18
11
6
5
Ventas de Gasolina Extra
MEDIA ARITMETICA
=
=
=
= 1659.75
LA MEDIANA
1464 1477 1490 1495 1510 1528 1533 1545 1553 1563 1563 1568
1569 1570 1574 1578 1589 1590 1594 1603 1610 1619 1621 1623
1629 1630 1630 1635 1639 1640 1640 1640 1641 1646 1655 1664
1665 1670 1680 1681 1694 1715 1725 1728 1734 1735 1737 1750
1750 1770 1793 1795 1795 1805 1821 1830 1857 1887 1895 1955
Mediana =
Mediana = 1640
LA MODA
La moda es 1640
MEDIA GEOMETRICA
MG=
MG=
MG=
MG=161.53
PARA DATOS AGRUPADOS
DATOS f Xm fx FA
1464 1536 7 1500 10500 7
1536 1608 13 1572 20436 20
1608 1680 18 1644 29592 38
1680 1752 11 1716 18876 49
1752 1834 6 1788 10728 55
1834 1896 5 1860 9300 60
60 99.432
MEDIA ARITMATICAPARA DATOS AGRUPADOS
X
X
X= 1.657,2
MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
MODA
Moda=
Moda = 1644
DESVIACION ESTANDAR POBLACIONAL
CLIENTES x-u l x-u l l x- u l 2
1464 -195,75 195,75 38318,06
1477 -182,75 182,75 33397,56
1490 -169,75 169,75 28815,06
1495 -164,75 164,75 27142,56
1510 -149,75 149,75 22425,06
1528 -131,75 131,75 17358,06
1533 -126,75 126,75 16065,56
1545 -114,75 114,75 13167,56
1553 -106,75 106,75 11395,56
1563 -96,75 96,75 9360,56
1563 -96,75 96,75 9360,56
1568 -91,75 91,75 8418,06
1569 -90,75 90,75 8235,56
1570 -89,75 89,75 8055,06
1574 -85,75 85,75 7353,06
1578 -81,75 81,75 6683,06
1589 -70,75 70,75 5005,56
1590 -69,75 69,75 4865,06
1594 -65,75 65,75 4323,06
1603 -56,75 56,75 3220,56
1610 -49,75 49,75 2475,06
1619 -40,75 40,75 1660,56
1621 -38,75 38,75 1501,56
1623 -36,75 36,75 1350,56
1629 -30,75 30,75 945,56
1630 -29,75 29,75 885,06
1630 -29,75 29,75 885,06
1635 -24,75 24,75 612,56
1639 -20,75 20,75 430,56
1640 -19,75 19,75 390,06
1640 -19,75 19,75 390,06
1640 -19,75 19,75 390,06
1641 -18,75 18,75 351,56
1646 -13,75 13,75 189,06
1655 -4,75 4,75 22,56
1664 4,25 4,25 18,06
1665 5,25 5,25 27,56
1670 10,25 10,25 105,06
1680 20,25 20,25 410,06
1681 21,25 21,25 451,56
1694 34,25 34,25 1173,06
1715 55,25 55,25 3052,56
1725 65,25 65,25 4257,56
1728 68,25 68,25 4658,06
1734 74,25 74,25 5513,06
1735 75,25 75,25 5662,56
1737 77,25 77,25 5967,56
1750 90,25 90,25 8145,06
1750 90,25 90,25 8145,06
1770 110,25 110,25 12155,06
1793 133,25 133,25 17755,56
1795 135,25 135,25 18292,56
1795 135,25 135,25 18292,56
1805 145,25 145,25 21097,56
1821 161,25 161,25 26001,56
1830 170,25 170,25 28985,06
1857 197,25 197,25 38907,56
1887 227,25 227,25 51642,56
1895 235,25 235,25 55342,56
1955 295,25 295,25 87172,56
99585 0,00 5274,5 718677,25
AMPLITUD DE VARIACION: MEDIA POBLACIONAL:
Av= VM-Vm u=
AV =1955-1464 u=99585/60
AV= 491 u= 1659,75
VARIANZA POBLACIONAL
σ2
=
σ2
=
σ2
= 11977,95
σ=
σ= 109,44
DESVIACION ESTANDAR POBLACIONAL
σ=
σ=
σ=
σ= 109,44
CUADRO PARA SACAR LAS VARIANZA MUESTRAL
CLIENTES X- (X- )2
X2
1464 -195,75 38318,06 2143296
1477 -182,75 33397,56 2181529
1490 -169,75 28815,06 2220100
1495 -164,75 27142,56 2235025
1510 -149,75 22425,06 2280100
1528 -131,75 17358,06 2334784
1533 -126,75 16065,56 2350089
1545 -114,75 13167,56 2387025
1553 -106,75 11395,56 2411809
1563 -96,75 9360,56 2442969
1563 -96,75 9360,56 2442969
1568 -91,75 8418,06 2458624
1569 -90,75 8235,56 2461761
1570 -89,75 8055,06 2464900
1574 -85,75 7353,06 2477476
1578 -81,75 6683,06 2490084
1589 -70,75 5005,56 2524921
1590 -69,75 4865,06 2528100
1594 -65,75 4323,06 2540836
1603 -56,75 3220,56 2569609
1610 -49,75 2475,06 2592100
1619 -40,75 1660,56 2621161
1621 -38,75 1501,56 2627641
1623 -36,75 1350,56 2634129
1629 -30,75 945,56 2653641
1630 -29,75 885,06 2656900
1630 -29,75 885,06 2656900
1635 -24,75 612,56 2673225
1639 -20,75 430,56 2686321
1640 -19,75 390,06 2689600
1640 -19,75 390,06 2689600
1640 -19,75 390,06 2689600
1641 -18,75 351,56 2692881
1646 -13,75 189,06 2709316
1655 -4,75 22,56 2739025
1664 4,25 18,06 2768896
1665 5,25 27,56 2772225
1670 10,25 105,06 2788900
1680 20,25 410,06 2822400
1681 21,25 451,56 2825761
1694 34,25 1173,06 2869636
1715 55,25 3052,56 2941225
1725 65,25 4257,56 2975625
1728 68,25 4658,06 2985984
1734 74,25 5513,06 3006756
1735 75,25 5662,56 3010225
1737 77,25 5967,56 3017169
1750 90,25 8145,06 3062500
1750 90,25 8145,06 3062500
1770 110,25 12155,06 3132900
1793 133,25 17755,56 3214849
1795 135,25 18292,56 3222025
1795 135,25 18292,56 3222025
1805 145,25 21097,56 3258025
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1857 197,25 38907,56 3448449
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1895 235,25 55342,56 3591025
1955 295,25 87172,56 3822025
99585 0,00 718677,25 166004881,00
VALOR DE LA MEDIA ARITMETICA:
= 1659,75
VARIANZA MUESTRAL (DESVIACIONES)
S2
=
S2
=
S2
= 12180,97
DESVIACION ESTANDAR MUESTRAL
S=
S=
S=
S=
S= 110,37
FÓRMULA DIRECTA
S2
=
S2
=
S2
=
S2
=
S2
= 12180.97
DESVIACION ESTANDAR PARA DATOS AGRUPADOS
DETALLE Xm f X2
fx F.x2
1464 1536 1500 7 2250.000 10.500 15.750
1536 1608 1572 13 2471.184 20.436 32125.392
1608 1680 1644 18 2702.736 29.592 48649.248
1680 1752 1716 11 2944.656 18.876 32391.216
1752 1824 1788 6 3196.944 10.728 19181.664
1824 1896 1860 5 3459.600 9.300 17.298
10.080 60 17.025,12 99.432 132.380,568
AMPLITUD DE VARIACION
AV= ls – li
AV = 1896 - 1464
AV = 432
FORMULA DE DESVIACION ESTÁNDAR
(∑fx)2
S=∑fx2
- n
n -1
(99.432)2
S= 132.380,568 - 60
60-1
9886.722624
S= 132.380,568 - 60
59
S= 132.380,568 - 164.7787104
59
S= 132.215,7893
59
S= 2,240.945581
S= 47.33862674
S2
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Estadistica I

  • 1. UNIVERSIDAD TECNICA DE MACHALA FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ESCUELA DE CONTABILIDAD y auditoria PORTAFOLIO DE ESTADISTICA I GRUPO N°3 INTEGRANTES: MÓNICA FLORES EVELIN SIGUENZA MERCEDES MALDONADO LISSETH GONZALES CURSO: 1RO. “B” DiuRna Profesor: ING. Rafael salcedo muñoz AÑO LECTIVO: 2012 – 2013
  • 2. ESTADISTICA La "estadística es el estudio de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir y analizar datos y para hacer inferencias científicas partiendo de tales datos". IMPORTANCIA La estadística es muy importante en casi cualquier área profesional, esto incluye las áreas de Informática, matemáticas y economía. Esta te permite: 1) Determinar los futuros problemas antes que ocurran, al establecer límites tolerables en los procesos productivos. 2) Determinar si un lote de producción cumples los requisitos mínimos de calidad con solo tomar una muestra significativa. 3) Conocer el estado actual de la producción al hacer cambios comparándolo con los procesos sin cambios. 4) Evaluar probables nuevos procedimientos, y su impacto en la producción y muchas otras cosas más dependiendo de tu imaginación y en lo que lo vas a aplicar. CLASIFICACIÓN Se agrupa en 2 grandes áreas: estadística descriptiva y estadística inferencial, que desempeñan funciones distintivas, pero complementarias en el análisis. Es importante que todo profesional que utilice la estadística como herramienta auxiliar de trabajo, posea un mínimo de conocimientos y habilidades prácticas en aquellas técnicas que le facilitarán el buen desarrollo de esta actividad. Estadística descriptiva. La estadística descriptiva comprende las técnicas que se emplean para resumir y describir datos numéricos. Son sencillas desde el punto de vista matemático y su análisis se limita a los datos coleccionados sin inferir en un grupo mayor. El estudio de los datos se realiza con representaciones gráficas, tablas, medidas de posición y dispersión. Estadística inferencial. El problema crucial de la estadística inferencial es llegar a proposición es acerca de la población a partir de la observación efectuada en muestras bajo condiciones de incertidumbre. Ésta comprende las técnicas que aplicadas en una muestra sometida a observación, permiten la toman de decisiones sobre una población o proceso estadístico. En otras palabras, es el proceso de hacer predicciones acerca de un todo basado en la información de una muestra. La inferencia se preocupa de la precisión de los estadígrafos descriptivos ya que estos se vinculan inductivamente con el valor poblacional.
  • 3. USOS MÁS FRECUENTES  Conocer el porcentaje de la población que necesita agua.  Conocer el porcentaje de población que tiene diabetes  Conocer el porcentaje de personas que utilizan tomate para preparar sus comidas  Conocer el porcentaje de personas mexicanas que consumen tortilla.  Conocer el porcentaje de protección social que se asigna en áfrico.  Conocer e interpretar el porcentaje de personas que tienen microempresas en el ecuador.  Conocer el porcentaje de niños desnutridos en el país.  Conocer el porcentaje de estudiantes que tienen conocimiento de ingles en la u. VARIABLES Una variable es una característica que al ser medida en diferentes individuos es susceptible de adoptar diferentes individuos es susceptible de adoptar diferentes valores. TIPOS DE VARIABLES Variables cualitativas Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre y mujer o son politómicas cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir: Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa: La variable puede tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve, moderado, grave. Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos a un criterio de orden como por ejemplo los colores. Variables cuantitativas Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables cuantitativas además pueden ser:
  • 4. Variable discreta : Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la variable pueda asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5). Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo la masa (2,3 kg, 2,4 kg, 2,5 kg,...) o la altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,...), o el salario. Solamente se está limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría permiten que siempre exista un valor entre dos variables. MUESTRA La mayoría de los estudios estadísticos, se realizan no sobre la población, sino sobre un subconjunto o una parte de ella, llamado muestra, partiendo del supuesto de que este subconjunto presenta el mismo comportamiento y características que la población. En general el tamaño de la muestra es mucho menor al tamaño de la población. Los valores o índices que se concluyen de una muestra se llaman estadígrafos y estos mediante métodos inferenciales o probabilísticos, se aproximan a los parámetros poblacionales. POBLACION Es el conjunto de todos los elementos que presentan una característica común determinada, observable y medible. Por ejemplo, si el elemento es una persona, se puede estudiar las características edad, peso, nacionalidad, sexo, etc. Los elementos que integran una población pueden corresponder a personas, objetos o grupos (por ejemplo, familias, fábricas, empresas, etc). Las características de la población se resumen en valores llamados parámetros NIVELES DE MEDICIÓN Nivel Nominal: Es el nivel más bajo de medición en cuanto a suministro de ecuaciones, las observaciones solo se pueden contar o clasificar (no hay un orden lógico de las categorías). Las categorías son mutuamente excluyentes y exhaustivas. Nivel Ordinal: Las observaciones mantienen un orden, las categorías de datos están ordenadas de acuerdo a las características. Nivel de Intervalo: Tiene todas las características del nivel ordinal, pero además la diferencial entre dos valores tienen un tamaño constante, el cero es solo un número en escala, es decir, no representa la ausencia de la condición. Nivel de Proporción o Razón: Es el nivel más alto, tiene todas las características del nivel de intervalo, pero además el cero tiene significado y la relación entre dos números tiene sentido.
  • 5. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Una distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada datosufrecuencia correspondiente. Tipos de frecuencia Frecuencia absoluta La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valoren un estudio estadístico. Se representa por fi. La suma de las frecuencias absolutases igual al número total de datos, que se representa por N. Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria. Frecuencia relativa La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni. La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. Frecuencia acumulada La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o igualesalvalor considerado. Se representa por Fi.
  • 6. Frecuencia relativa acumulada La frecuencia relativa acumuladaes el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento. DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS El diagrama "tallo y hojas" permite obtener simultáneamente una distribución de frecuencias de la variable y su representación gráfica. Para construirlo basta separar en cada dato el último dígito de la derecha (que constituye la hoja) del bloque de cifras restantes (que formará el tallo). TALLO HOJA 1 3,6,7,4,4,3,9,1,8,6,8,3,9,4,7 0 8,9 2 5,2,6,5,4,7,1,8 3 1,0,2,0 TALLO HOJA 0 8,9 1 1,3,3,3,4,4,4,6,6,6,7,7,8,8,9,0 2 1,2,4,5,5,6,7,8 3 0,0,1,2 POLÍGONO DE FRECUENCIAS Es un gráfico de líneas que se usa para presentar las frecuencias absolutas de los valores de una distribución en el cual la altura del punto asociado a un valor de las variables es proporcional a la frecuencia de dicho valor. POLÍGONO DE FRECUENCIASACUMULADA U OJIVA. Es un gráfico acumulativo, el cual es muy útil cuando se quiere representar el rango porcentual de cada valor en una distribución de frecuencias. En los gráficos las barras se encuentran juntas y en la tabla los números poseen en el primer miembro un corchete y en el segundo un paréntesis
  • 7. HISTOGRAMA es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos. Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores. Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso. Diagrama de barras Un diagrama de barras, también conocido como diagrama de columnas, es una forma de representar gráficamente un conjunto de datos o valores y está conformado por
  • 8. barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores representados. Los gráficos de barras son usados para comparar dos o más valores. Las barras pueden orientarse vertical u horizontalmente. Gráfico circular Los gráficos circulares, también llamados gráficos de pastel o gráficas de 360 grados, son recursos estadísticosque se utilizan para representar porcentajes y proporciones. El número de elementos comparados dentro de un gráfico circular puede ser de más de 5, y los segmentos se ordenan de mayor a menor, iniciando con el más amplio a partir de las 12, como en un reloj. Una manera fácil de identificar los segmentos es sombreando de claro a oscuro, donde el de mayor tamaño es el más claro y el de menor tamaño, el más oscuro.
  • 9. MEDIA ARITMÉTICA Es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos X es el símbolo de la media aritmética. Mientras que la media aritmética a menudo se utiliza para informar de tendencias centrales , no es una estadística robusta , lo que significa que está muy influido por los valores atípicos . Cabe destacar que para distribuciones asimétricas , la media aritmética no puede concordar con la propia noción de "medio", y las estadísticas robustas, tales como la mediana puede ser una mejor descripción de la tendencia central. Ejemplo: Los pesos de 6 niños son: 84,91,72,68,87 y 78 kg Hallar el peso medio X: 84+91+72+68+87+78 = 80 kg 6 MEDIANA La mediana, representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados. En teoría de la probabilidad y estadísticas , una mediana de un conjunto de valores ( borrador , población , distribución de probabilidad ) es un valor tal que el número m de los valores del conjunto mayor que o igual que m es el número de valores m o menos. Intuitivamente, podemos decir que la mediana es el punto medio de la serie , se divide en dos mitades. Esta es una característica posiciónde la serie. Ejemplo: Encontrar la mediana para los siguientes datos 3-4-1-2-3-4-3-3-1-5-5 Ordenar los datos 1-1-2-2-2-3-3-4-4-5-5 Localizar el valor que divide en 2 partes iguales el número de datos. 1-1-2-2-2-3-3-4-4-5-5 La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado.
  • 10. MODA La moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos. Hablaremos de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda. Ejemplo: 0-2-5-7-15-0-2-5-7-15 4-6-8-15-1-4-6-12-19-3 Calcular la moda: Moda: 15 por ser el número más frecuente de errores. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIA ARITMETICA PARA DATOS NO AGRUPADOS Medida de tendencia central usualmente llamada promedio, se define como la división de la suma de todos los valores entre el número de datos. Su fórmula es: Propiedades Las principales propiedades de la media aritmética son:3 Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos. Su valor es único para una serie de datos dada. Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión. La media aritmética( muestral)Esencialmente, la media muestra es el mismo parámetro que el anterior, aunque el adjetivo "muestral" se aplica a aquellas situaciones en las que la media aritmética se calcula para un subconjunto de la población objeto de estudio. X= simboliza la media aritmética calculada para una muestra.
  • 11. n= es el número de valores que toma la variable, en estudio, en la muestra. ∑= Sumatoria Xi= es cada uno de los valores que toma la variable en la muestra o en la población.Z Niño nota 1 6,0 ·Primero, se suman las notas: 2 5,4 6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 = 27,6 3 3,1 ·Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos: 4 7,0 27,6/5=5,52 5 6,1 MEDIA POBLACIONAL Media Poblacional = µ = X N = sumatoria µ = media N = número de elementos X = valores o datos MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada. Si es un conjunto de datos o media muestral y son números reales positivos, llamados "pesos" o factores de ponderación, se define la media ponderada relativa a esos pesos como: Es un caso especial de la media aritmética. Se presenta cuando hay varias observaciones del mismo valor que pueden ocurrir si los datos se han agrupado en una distribución de frecuencias.
  • 12. Consiste en multiplicar cada observación por el número de veces que aparece MEDIA GEOMETRICA (datos no agrupados) La media geométrica siempre va a ser menor o igual que la media aritmética, jamás la media geométrica es mayor que la media aritmética. No se consideran valores negativos. Sirve para encontrar el promedio de porcentajes, la razón,índices,o tasas de crecimiento. Ejemplo:  Las ganancias obtenidas por una constructora en 4 proyectos recientes fueron : 3% ; 4%; 2%; 6%. ¿Cuál es la media geométrica de la ganacia? MG = MG= 3.46% AUMENTO PORCENTUAL PROMEDIO EN UN PERIODO DETERNADO Esta fórmula sirve para ver el aumento porcentual en un determinado período. MG= _ 1  Suponga que una población de Alaska en 1990, era de 2 personas y en el 2010 de 56 personas. ¿cuál fue la tasa de interés de incremento porcentual anual promedio para el periodo. MG= 1 = MG= 1 1,18-1=0,18×100= 18% Valor al inicio del período 2
  • 13. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS Al calcular la media para datos agrupados, se supone que las observaciones en cada clase son iguales al punto medio de la clase. MEDIANA La extensión para el cálculo de la mediana en el caso de datos agrupados es realiza a continuación: L= límite inferior de la clase donde está ubicada la mediana. n=numero de términos. FA= frecuencia absoluta acumulada ( del intervalo anterior a la clase donde está la mediana) f= frecuencia absoluta del intervalo donde se ubica la mediana. i= amplitud del intervalo.  Una muestra de la producción diaria de transmisores del receptor de comunicación marca Scott electronics se organizó en la distribución que sigue. Calcule la mediana de la producción diaria. Producción diaria f Xm f.x f.A 80-90 2 85 425 5 90-100 9 95 855 14 100-110 20 105 2100 34 110-120 8 115 920 42 120-130 6 125 750 48 130-140 2 135 270 50 50 660 5320
  • 14. Me= 100+ 20 Me= 100+25-14 . 10 20 Me= 100+11 . 10 20 Me= 100+5,5= 105,5 LA MODA es la observación que ocurre con mayor frecuencia, por lo que es necesario identificar la clase modal, esta se localiza encontrando la clase que tenga más frecuencia. Medidas de dispersión Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la mediana media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la mediana media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos. Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (Varianza).1
  • 15. AMPLITUD DE LA VARIANZA El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística. AV= VM-Vm DESVIACIÓN MEDIA POBLACIONAL La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética. La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. VARIANZA POBLACIONAL La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. La varianza se representa por . PROPIEDADES DE LA VARIANZA 1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. 2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía. 3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número. 4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.
  • 16. Si todas las muestras tienen el mismo tamaño: Si las muestras tienen distinto tamaño: DESVIACIÓN ESTÁNDAR POBLACIONAL La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación. La desviación típica se representa por σ. PROPIEDADES DE DESVIACIÓN ESTÁNDAR 1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. 2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía. 3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número. 4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total. LA VARIANZA MUESTRAL Se puede definir como el "casi promedio" de los cuadrados de las desviaciones de los datos con respecto a la media muestral. Su fórmula matemática para el caso de datos referentes a una muestra es:
  • 17.  El almacén JML de la ciudad de Machala contrato s pasantes de contabilidad el año pasado, sus sueldos mensuales fueron $253,60; $244,80; $252,60;$219,70 y $274,30. a) Calcule la media de la población. b) Determine la varianza. c) Obtenga la desviación estándar poblacional. d) La oficina de JML en piñas contrato 6 pasantes. Su sueldo mensual promedio fue de $262,30 y la desviación estándar $25 compare ambos grupos. Sueldos mensuales x-u (x-u) (x-u)2 253,60 8,60 8,60 73,96 224,80 -20,20 20,20 408,04 252,60 7,60 7,60 57,76 219,70 -25,30 25,30 640,09 274,30 29,30 29,30 858,49 0 91 2038,34 Av= VM- Vm= 274,30 – 219,70= 54,6 a)U= £x= 1225 = 245 N 5 B)G2 =£(X-U)2= 2038,3 N 5 G= 407,67 C) G= 20,19
  • 18. DESVIACION ESTANDAR MUESTRAL FORMULA DIRECTA S2 = DESVIACION ESTANDAR PARA DATOS AGRUPADOS S= AMPLITUD DE LA VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS Av= Ls – Li Limite Límite Superior Inferior  Los tiempos de uso de una muestra de roca de un cuarto de pulgada por alquiler disponible en CollRental, INC. e) Calcule la amplitud de varianza f) Evalue la desviación estándar muestral g) Determine Tiempo frecuencia Xm Fx X2 Fx2 2-4 2 3 6 9 18 4-6 5 5 25 29 125 6-8 10 7 70 49 490 8-10 4 9 36 81 324 10-12 2 11 22 121 242 35 159 285 1199
  • 19. Av=Ls-Li Av= 12 – 2 Av= 10 S= 1199_ (159)2 S= 23 23-1 1199-1099,17 S= 22 S= S=2,13 S2= 4,54
  • 20.
  • 21. NIVEL DE MEDICION Los datos que hemos tomado de la gasolinera EL AGUADOR son de nivel nominal, porque solo clasifica los datos. DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS 1623 1569 1655 1641 1770 1629 1619 1563 1563 1694 1568 1477 1578 1553 1734 1639 1621 1590 1670 1464 1664 1589 1646 1528 1603 1594 1681 1574 1640 1533 1570 1490 1545 1735 1640 1495 1510 1610 1805 1795 1630 1640 1680 1795 1830 1665 1715 1635 1728 1750 1725 1737 1793 1857 1955 1887 1895 1750 1630 1821 CALCULO DEL NÚMERO DE INTERVALOS 2k ≥ # 26 = 60 64 > 60 K=6 AMPLITUD DEL INTERVALO i≥ i≥ i≥ i≥71.83 i = 72
  • 22. CUADRO DE FRECUENCIAS DETALLE Xm f F f% F% fr Fr 1464 1536 1500 7 7 11.67 11.66 0.16 0.16 1536 1608 1572 13 20 21.66 33.33 0.22 0.33 1608 1680 1644 18 38 30 63.33 0.30 0.63 1680 1752 1716 11 49 18.33 81.66 0.18 0.81 1752 1824 1788 6 55 10 91.66 0.10 0.91 1824 1896 1860 5 60 8.34 100 0.08 1.00 60 100 1.00 DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA TALLO HOJA 162 3 9 1 156 9 3 3 8 165 5 164 1 6 0 0 0 177 0 161 9 0 169 4 147 7 157 0 8 4 155 3 173 4 5 7 163 9 0 5 0 159 0 4 167 0 146 4 166 4 5 158 9 152 8 160 3 168 1 0 153 3 149 0 5 154 5 151 0
  • 23. 180 5 179 5 5 3 183 0 171 5 172 8 5 175 0 0 185 7 195 5 188 7 189 5 182 1 FORMA ORDENADA DEL DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA TALLO HOJA 146 4 147 7 149 0 5 151 0 152 8 153 3 154 5 155 3 156 3 3 8 9 157 0 4 8 158 9 159 0 4 160 3 161 0 9 162 1 3 9 163 0 0 5 9 164 0 0 0 1 6 165 5 166 4 5 167 0
  • 24. 168 0 1 169 4 171 5 172 5 8 173 4 5 7 175 0 0 177 0 179 3 5 5 180 5 182 1 183 0 185 7 188 7 189 5 195 5 POLÍGONO DE FRECUENCIA 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1500 1572 1644 1716 1788 1860 FRECUENCIA POLIGONO DE FRECUENCIA
  • 25. HISTOGRAMA POLÍGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA U OJIVA 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 FRECUENCIAS CLASES HISTOGRAMA 0 10 20 30 40 50 60 70 1464 1536 1608 1680 1752 1824 POLIGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA U OJIVA
  • 26. DIAGRAMA DE BARRAS DIAGRAMA CIRCULAR 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1464 1536 1608 1680 1752 1824 DIAGRAMA DE BARRAS 7 13 18 11 6 5 Ventas de Gasolina Extra
  • 27. MEDIA ARITMETICA = = = = 1659.75 LA MEDIANA 1464 1477 1490 1495 1510 1528 1533 1545 1553 1563 1563 1568 1569 1570 1574 1578 1589 1590 1594 1603 1610 1619 1621 1623 1629 1630 1630 1635 1639 1640 1640 1640 1641 1646 1655 1664 1665 1670 1680 1681 1694 1715 1725 1728 1734 1735 1737 1750 1750 1770 1793 1795 1795 1805 1821 1830 1857 1887 1895 1955 Mediana = Mediana = 1640 LA MODA La moda es 1640
  • 28. MEDIA GEOMETRICA MG= MG= MG= MG=161.53 PARA DATOS AGRUPADOS DATOS f Xm fx FA 1464 1536 7 1500 10500 7 1536 1608 13 1572 20436 20 1608 1680 18 1644 29592 38 1680 1752 11 1716 18876 49 1752 1834 6 1788 10728 55 1834 1896 5 1860 9300 60 60 99.432 MEDIA ARITMATICAPARA DATOS AGRUPADOS X X X= 1.657,2
  • 29. MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS MODA Moda= Moda = 1644
  • 30. DESVIACION ESTANDAR POBLACIONAL CLIENTES x-u l x-u l l x- u l 2 1464 -195,75 195,75 38318,06 1477 -182,75 182,75 33397,56 1490 -169,75 169,75 28815,06 1495 -164,75 164,75 27142,56 1510 -149,75 149,75 22425,06 1528 -131,75 131,75 17358,06 1533 -126,75 126,75 16065,56 1545 -114,75 114,75 13167,56 1553 -106,75 106,75 11395,56 1563 -96,75 96,75 9360,56 1563 -96,75 96,75 9360,56 1568 -91,75 91,75 8418,06 1569 -90,75 90,75 8235,56 1570 -89,75 89,75 8055,06 1574 -85,75 85,75 7353,06 1578 -81,75 81,75 6683,06 1589 -70,75 70,75 5005,56 1590 -69,75 69,75 4865,06 1594 -65,75 65,75 4323,06 1603 -56,75 56,75 3220,56 1610 -49,75 49,75 2475,06 1619 -40,75 40,75 1660,56 1621 -38,75 38,75 1501,56 1623 -36,75 36,75 1350,56 1629 -30,75 30,75 945,56 1630 -29,75 29,75 885,06 1630 -29,75 29,75 885,06 1635 -24,75 24,75 612,56 1639 -20,75 20,75 430,56 1640 -19,75 19,75 390,06 1640 -19,75 19,75 390,06 1640 -19,75 19,75 390,06 1641 -18,75 18,75 351,56 1646 -13,75 13,75 189,06 1655 -4,75 4,75 22,56 1664 4,25 4,25 18,06 1665 5,25 5,25 27,56
  • 31. 1670 10,25 10,25 105,06 1680 20,25 20,25 410,06 1681 21,25 21,25 451,56 1694 34,25 34,25 1173,06 1715 55,25 55,25 3052,56 1725 65,25 65,25 4257,56 1728 68,25 68,25 4658,06 1734 74,25 74,25 5513,06 1735 75,25 75,25 5662,56 1737 77,25 77,25 5967,56 1750 90,25 90,25 8145,06 1750 90,25 90,25 8145,06 1770 110,25 110,25 12155,06 1793 133,25 133,25 17755,56 1795 135,25 135,25 18292,56 1795 135,25 135,25 18292,56 1805 145,25 145,25 21097,56 1821 161,25 161,25 26001,56 1830 170,25 170,25 28985,06 1857 197,25 197,25 38907,56 1887 227,25 227,25 51642,56 1895 235,25 235,25 55342,56 1955 295,25 295,25 87172,56 99585 0,00 5274,5 718677,25 AMPLITUD DE VARIACION: MEDIA POBLACIONAL: Av= VM-Vm u= AV =1955-1464 u=99585/60 AV= 491 u= 1659,75
  • 32. VARIANZA POBLACIONAL σ2 = σ2 = σ2 = 11977,95 σ= σ= 109,44 DESVIACION ESTANDAR POBLACIONAL σ= σ= σ= σ= 109,44
  • 33. CUADRO PARA SACAR LAS VARIANZA MUESTRAL CLIENTES X- (X- )2 X2 1464 -195,75 38318,06 2143296 1477 -182,75 33397,56 2181529 1490 -169,75 28815,06 2220100 1495 -164,75 27142,56 2235025 1510 -149,75 22425,06 2280100 1528 -131,75 17358,06 2334784 1533 -126,75 16065,56 2350089 1545 -114,75 13167,56 2387025 1553 -106,75 11395,56 2411809 1563 -96,75 9360,56 2442969 1563 -96,75 9360,56 2442969 1568 -91,75 8418,06 2458624 1569 -90,75 8235,56 2461761 1570 -89,75 8055,06 2464900 1574 -85,75 7353,06 2477476 1578 -81,75 6683,06 2490084 1589 -70,75 5005,56 2524921 1590 -69,75 4865,06 2528100 1594 -65,75 4323,06 2540836 1603 -56,75 3220,56 2569609 1610 -49,75 2475,06 2592100 1619 -40,75 1660,56 2621161 1621 -38,75 1501,56 2627641 1623 -36,75 1350,56 2634129 1629 -30,75 945,56 2653641 1630 -29,75 885,06 2656900 1630 -29,75 885,06 2656900 1635 -24,75 612,56 2673225 1639 -20,75 430,56 2686321 1640 -19,75 390,06 2689600 1640 -19,75 390,06 2689600 1640 -19,75 390,06 2689600 1641 -18,75 351,56 2692881 1646 -13,75 189,06 2709316 1655 -4,75 22,56 2739025 1664 4,25 18,06 2768896 1665 5,25 27,56 2772225
  • 34. 1670 10,25 105,06 2788900 1680 20,25 410,06 2822400 1681 21,25 451,56 2825761 1694 34,25 1173,06 2869636 1715 55,25 3052,56 2941225 1725 65,25 4257,56 2975625 1728 68,25 4658,06 2985984 1734 74,25 5513,06 3006756 1735 75,25 5662,56 3010225 1737 77,25 5967,56 3017169 1750 90,25 8145,06 3062500 1750 90,25 8145,06 3062500 1770 110,25 12155,06 3132900 1793 133,25 17755,56 3214849 1795 135,25 18292,56 3222025 1795 135,25 18292,56 3222025 1805 145,25 21097,56 3258025 1821 161,25 26001,56 3316041 1830 170,25 28985,06 3348900 1857 197,25 38907,56 3448449 1887 227,25 51642,56 3560769 1895 235,25 55342,56 3591025 1955 295,25 87172,56 3822025 99585 0,00 718677,25 166004881,00 VALOR DE LA MEDIA ARITMETICA: = 1659,75 VARIANZA MUESTRAL (DESVIACIONES) S2 = S2 = S2 = 12180,97
  • 35. DESVIACION ESTANDAR MUESTRAL S= S= S= S= S= 110,37 FÓRMULA DIRECTA S2 = S2 = S2 = S2 = S2 = 12180.97
  • 36. DESVIACION ESTANDAR PARA DATOS AGRUPADOS DETALLE Xm f X2 fx F.x2 1464 1536 1500 7 2250.000 10.500 15.750 1536 1608 1572 13 2471.184 20.436 32125.392 1608 1680 1644 18 2702.736 29.592 48649.248 1680 1752 1716 11 2944.656 18.876 32391.216 1752 1824 1788 6 3196.944 10.728 19181.664 1824 1896 1860 5 3459.600 9.300 17.298 10.080 60 17.025,12 99.432 132.380,568 AMPLITUD DE VARIACION AV= ls – li AV = 1896 - 1464 AV = 432 FORMULA DE DESVIACION ESTÁNDAR (∑fx)2 S=∑fx2 - n n -1 (99.432)2 S= 132.380,568 - 60 60-1 9886.722624 S= 132.380,568 - 60 59 S= 132.380,568 - 164.7787104 59 S= 132.215,7893 59
  • 37. S= 2,240.945581 S= 47.33862674 S2 = (47.33862674)2 S2 = 2.240945582 Varianza muestral
  • 38.
  • 39. UBICACION DE LA GASOLINERA EL AGUADOR