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Proyecto final matemática 2 (INTEGRALES)

TRABAJO REALIZADO POR ALUMNOS DEL III SEMESTRE DE LA ESCUELA DE GESTION EMPRESARIAL

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MATEMATICAS APLICADAS A
 LA ADMINISTRACIÓN II

 ESCUELA DE GESTIÓN EMPRESARIAL
 MODALIDAD DISTANCIA III SEMESTRE


CATEDRATICO: ING. RAFAEL S. SALCEDO


             AUTORES
    ANGEL ARÉVALO GUZMÁN
   CAROLINA VALAREZO MACÍAS
     RICKY VILLANUEVA AVILA


  AÑO LECTIVO          2009 - 2010



                                      1
INDICE

                                                    Pàg.

INTRODUCCIÓN                                        4

JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA                         5

PROBLEMA                                             6

OBJETIVOS                                            6

CAPITULO I: MARCO CONCEPTUAL                         7

1.1 Concepto de Integral                             7

1.2 La integral indefinida                           8

1.2.1 Fórmulas básicas de integración.               9

1.2.2 Ejercicios de aplicación de las fórmulas       10

1.3 Integración con condiciones iniciales            15

1.4 Técnicas de Integración                          18

1.6 Método de sustitución                            19

Capítulo II:

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN PROBLEMAS

DE ECONOMÍA                                         20

2.1 Costo

2.2 Ingreso

2.3 utilidad

2.4 Incremento de la utilidad

2.5 Maximización de la utilidad

2. CAPÍTULO III:

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

3.1 Conclusiones                                     25

                                                           2
3.2 Recomendaciones     26



BIBLIOGRAFÍA            27

ANEXOS                  28

Tablas de Integración   29

Fotos                   35




                             3
INTRODUCCIÓN




   Como parte del proceso de formación como futuros ingenieros en Gestión
Empresarial de la UTSAM, el conocimiento sobre cálculo integral y la aplicación
de los ejercicios matemáticos es de vital importancia para desarrollar habilidades y
destrezas en la solución de creativa de problemas de administración y economía.

   La finalidad de nuestra investigación sobre las integrales indefinidas
Comprender los conceptos básicos del cálculo integral, como también el adquirir
destreza en las técnicas de integración, elementos que son importantes para la
mayor comprensión de la Microeconomía y Macroeconomía.


   En el primer capítulo abordaremos el marco conceptual sobre la integral
indefinida, la integración con condiciones iníciales, las tablas de integrales,
las técnicas de integración y el método de sustitución.

   En un segundo capítulo aplicaremos la integral indefinida en problemas de
economía, donde realizaremos ejercicios prácticos adaptados a determinar el
costo, los ingresos, la utilidad, su incremento y maximización en la
producción y comercialización de banano orgánico de UROCAL.

   En un tercer capítulo, abordaremos las conclusiones a las que hemos
llegado y definiremos algunas recomendaciones sobre el tema de nuestra
investigación.




                                                                                   4
JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA




   La Matemática aplicada II, se constituye en una herramienta básica para
orientar el desarrollo   de los conocimientos, habilidades y destrezas para el
estudio de temas relacionados a la economía, donde deja de ser abstracta e
inaplicable y pasa a ser práctica y aplicable a soluciones de problemas actuales
en el campo de problemas económicos.




   La importancia del estudio de las integrales indefinidas radica en que
contribuyen a tener una mejor comprensión de la micro y macro economía,
materias de gran importancia en el proceso de formación profesional como futuros
ingenieros en Gestión Empresarial.




   El estudio y la Aplicación de las integrales indefinidas son de vital importancia
para la resolución e interpretación de los problemas de costos fijos y variables,
ingresos,   consumo,     demanda,    utilidad,   ahorro,   formación   de   capitales,
maximización de la producción, marginalidad.




   De allí que consideramos que la presente investigación, se constituye en una
herramienta de investigación y consulta para todo estudiante que se encuentra en
proceso de formación profesional.




                                                                                    5
PROBLEMA




   ¿Cómo resolver problemas de administración y economía, mediante la
aplicación de sistemas de conocimientos de cálculo integral con énfasis en la
integral indefinida?




                                      OBJETIVOS




     Comprender los conceptos básicos del cálculo integral , especialmente lo
       relacionado a la integral indefinida.
     Adquirir destreza en las técnicas de integración, elementos que son
       importantes para la mayor comprensión           de la    Microeconomía,
       Macroeconomía y Teorías del Crecimiento.
     Aplicar la integral indefinida en problemas de economía




                                                                             6

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  • 2. INDICE Pàg. INTRODUCCIÓN 4 JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA 5 PROBLEMA 6 OBJETIVOS 6 CAPITULO I: MARCO CONCEPTUAL 7 1.1 Concepto de Integral 7 1.2 La integral indefinida 8 1.2.1 Fórmulas básicas de integración. 9 1.2.2 Ejercicios de aplicación de las fórmulas 10 1.3 Integración con condiciones iniciales 15 1.4 Técnicas de Integración 18 1.6 Método de sustitución 19 Capítulo II: APLICACIÓN DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN PROBLEMAS DE ECONOMÍA 20 2.1 Costo 2.2 Ingreso 2.3 utilidad 2.4 Incremento de la utilidad 2.5 Maximización de la utilidad 2. CAPÍTULO III: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 3.1 Conclusiones 25 2
  • 3. 3.2 Recomendaciones 26 BIBLIOGRAFÍA 27 ANEXOS 28 Tablas de Integración 29 Fotos 35 3
  • 4. INTRODUCCIÓN Como parte del proceso de formación como futuros ingenieros en Gestión Empresarial de la UTSAM, el conocimiento sobre cálculo integral y la aplicación de los ejercicios matemáticos es de vital importancia para desarrollar habilidades y destrezas en la solución de creativa de problemas de administración y economía. La finalidad de nuestra investigación sobre las integrales indefinidas Comprender los conceptos básicos del cálculo integral, como también el adquirir destreza en las técnicas de integración, elementos que son importantes para la mayor comprensión de la Microeconomía y Macroeconomía. En el primer capítulo abordaremos el marco conceptual sobre la integral indefinida, la integración con condiciones iníciales, las tablas de integrales, las técnicas de integración y el método de sustitución. En un segundo capítulo aplicaremos la integral indefinida en problemas de economía, donde realizaremos ejercicios prácticos adaptados a determinar el costo, los ingresos, la utilidad, su incremento y maximización en la producción y comercialización de banano orgánico de UROCAL. En un tercer capítulo, abordaremos las conclusiones a las que hemos llegado y definiremos algunas recomendaciones sobre el tema de nuestra investigación. 4
  • 5. JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA La Matemática aplicada II, se constituye en una herramienta básica para orientar el desarrollo de los conocimientos, habilidades y destrezas para el estudio de temas relacionados a la economía, donde deja de ser abstracta e inaplicable y pasa a ser práctica y aplicable a soluciones de problemas actuales en el campo de problemas económicos. La importancia del estudio de las integrales indefinidas radica en que contribuyen a tener una mejor comprensión de la micro y macro economía, materias de gran importancia en el proceso de formación profesional como futuros ingenieros en Gestión Empresarial. El estudio y la Aplicación de las integrales indefinidas son de vital importancia para la resolución e interpretación de los problemas de costos fijos y variables, ingresos, consumo, demanda, utilidad, ahorro, formación de capitales, maximización de la producción, marginalidad. De allí que consideramos que la presente investigación, se constituye en una herramienta de investigación y consulta para todo estudiante que se encuentra en proceso de formación profesional. 5
  • 6. PROBLEMA ¿Cómo resolver problemas de administración y economía, mediante la aplicación de sistemas de conocimientos de cálculo integral con énfasis en la integral indefinida? OBJETIVOS  Comprender los conceptos básicos del cálculo integral , especialmente lo relacionado a la integral indefinida.  Adquirir destreza en las técnicas de integración, elementos que son importantes para la mayor comprensión de la Microeconomía, Macroeconomía y Teorías del Crecimiento.  Aplicar la integral indefinida en problemas de economía 6
  • 7. CAPÌTULO I MARCO CONCEPTUAL 1.1 CONCEPTO DE INTEGRAL La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo. El cálculo integral es el proceso inverso a la diferenciación. Es decir, es el proceso de determinar la función cuando se conoce su derivada se llama integración, y la función de determinar se denomina la antiderivada o la integral de la función dada, o de otra manera dada la derivada de una función se debe encontrar la función original. Por ejemplo, podemos estar manejando un modelo de costos en que el costo marginal es una función conocida del nivel de producción y necesitamos calcular el costo total de producir X artículos. Principio.- Con el objeto de evaluar la antiderivada de alguna función f(x), debemos encontrar una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x), por ejemplo, supongamos que f(x)= 3x2. Puesto que sabemos que (d/dx)(x3)= 3x2, concluimos que podemos decir F(x) = x3, en consecuencia, una antiderivada de 3x2 es x³. El cálculo integral también involucra un concepto de límite que nos permite determinar el límite de un tipo especial de suma, cuando el número de términos en la suma tiende a infinito. Con él podemos conocer la tasa de producción de un pozo de petróleo como función del tiempo y debemos calcular la producción total durante cierto periodo. ¡Ésta es la verdadera fuerza del cálculo integral! 7
  • 8. 1.2 LA INTEGRAL INDEFINIDA La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675 para indicar la suma, que adaptó el símbolo integral,”∫”, partir de una letra S alargada. OBJETIVO.- Definir la antiderivada y la integral indefinida, y aplicar fórmulas básicas de integración. Del ejemplo enunciado anteriormente podemos decir que esta repuesta no es única, por que las funciones x³ + 4 y x³ - 2 también tienen 3x² como derivada. De hecho, para cualquier constante C, x³ tiene derivada 3x², en consecuencia, x³ + C es una antiderivada de 3x² para cualquier C. La constante C, que puede tener un valor arbitrario, se conoce como constante de integración. El aspecto común a todas las derivadas es la no unicidad; se les puede sumar cualquier constante sin destruir su propiedad de ser la antiderivada de una función dada. Sin embargo, ésta no es la única ambigüedad que existe: si F(x) es cualquier antiderivada de f(x) , entonces cualquier otra antiderivada f(x) difiere de F(x) sólo por una constante. Por tanto, podemos decir que si F’(x)= f(x), entonces la antiderivada general de f(x) está dada por F(x) + C, en donde C es cualquier constante. Ya que la constante de integración es arbitraria (es decir, puede ser cualquier número real), la integral así obtenida recibe el nombre más propio de integral indefinida Dos antiderivadas cualesquiera de una función difieren sólo en una constante. Como x³ + C describe todas las antiderivadas de 3x², podemos referirnos a ella como la antiderivada más general de x³, detonada por ∫x³ dx , que se lee “integral indefinida de x³ con respecto a x”. Escribimos así 8
  • 9. ∫x³ dx = +C El símbolo ∫ se llama símbolo de integración, 2x es el integrando y C la constante de integración. La dx es parte de la notación integral e indica la variable implicada. Aquí, x es la variable de integración. Ejemplo: Determinación de una integral indefinida. Encontrar ∫ 8 dx. Solución: Primero debemos encontrar una función cuya derivada sea 8, luego añadimos la constante de integración Como sabemos que la derivada de 8x es 8, 8x es la antiderivada de 8 (v = 8; dv = dx), por lo tanto, ∫ 8 dx. = 8x + c 1.2.1 Formulas básicas de integración: 1. ∫ dx = x + C 2. ∫ k dx = Kx + C k es una constante 3 ∫ xⁿ dx = +c n ‡-1 4 ∫ ex dx = ex + C 5 ∫ kf (x) = k∫ f(x)dx, k es una constante 6 ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx 9
  • 10. 7 ∫ dx = Ln x + c 1.2.2 EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LAS FORMULAS  Integrales indefinidas de una constante y de una potencia de x • Encontrar ∫ 2 dx. Solución : por la fórmula 2 con k = 2, ∫ k dx = Kx + C ∫ 2 dx = 2x + C Encontrar ∫ x⁴ dx = Solución : por la fórmula 3 con n = 4, ∫ xⁿ dx = +c ∫ x⁴ dx = +c = +c  Integral indefinida de una constante por una función de x La integral del producto de una constante de una función de x es igual a la constante por la integral de la función. Esto es, si C es una constante. Encontrar ∫ 5x dx Solución: por la fórmula 5 con k = 5 y f(x) = x, ∫ kf (x) = k∫ f(x)dx, ∫ 5x dx = 5 ∫ x dx v=x dv = dx Como x es x¹, por la formula 3 tenemos ∫ xⁿ dx = +c 10
  • 11. ∫ x¹ dx = + c, donde c, es la constante de integración, por lo tanto, ∫ 5x dx = 5∫ x dx = 5 +c Con mayor sencillez, escribimos de la siguiente manera ∫ 5x dx = 5∫ x dx = +c  Integral de una constante por una función de x Encontrar ∫ - ex dx. Solución: donde es la constante de integración por lo tanto; = ∫ ex dx. Por la formula 4 ∫ ex dx = ex + C tenemos ∫ - ex dx = ex + c  Integral indefinida de una suma: La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus integrales Encontrar ∫ (x⁴ + 2x) dx Solución: Por la fórmula 6, ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx ∫ (x⁴ + 2x) dx = ∫ x⁴ dx + ∫ 2dx. Este resultado puede extenderse a la diferencia de dos funciones o a cualquier suma algebraica de un número finito de funciones; ahora tenemos, 11
  • 12. ∫ xⁿ dx = +c v =x dv = dx n=4 = ∫ x⁴ dx = +c = +c ∫ 2x dx.= Donde 2 es la constante de integración; 2∫ x dx. +c = +c = x² + c ∫ (x⁴ + 2x) dx = = + x² + C  Integral indefinida de una suma y diferencia Encontrar ∫(2 -7x³ + 10 Por la fórmula 6, ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx Solución: 2∫ x4/5 dx – 7 ∫x³ dx + 10 ∫ ex dx - ∫ 1 dx v=x dv= dx n= Aplicamos la formula ∫ xⁿ dx = +c v = x dv= dx n=3 v = ex dv = exdx = (2) – (7) Aplicamos la formula ∫ ex dx = ex + C ∫(2 -7x³ + 10 = - 12
  • 13. Uso de manipulaciones algebraicas para encontrar una integral indefinida Encontrar ∫ y² (y + ) dy. Solución: El integrado no concuerda con ninguna forma familiar de integración; sin embargo, multiplicando los factores del integrado obtenemos ∫ y² (y + ) dy = Primeramente multiplicamos y nos da: ∫ (y³ + y²) dy Utilizamos la formula ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx Y nos resulta ∫ y³ dy + ∫ y² dy v=y dv= dy n=3 v=y dv = dy n= 2 Aplicamos la formula ∫ xⁿ dx = +c : ∫ (y³ + y²) dy = ∫ y² (y + ) dy = Uso de manipulación algebraicas para encontrar una integral indefinida Encontrar ∫ dx Solución: Al factorizar la constante y multiplicar los binomios, obtenemos : = ∫ (2x² + 5x -3 ) dx Utilizamos la formula ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx Donde es la constante de integración y aplicando la formula tenemos: 13
  • 14. = ∫2x² dx + ∫5x dx - ∫3 dx ∫2x² dx = ∫5x dx = +c ∫3 dx = v = 2x dv = x dx n=2 v = 5x dv = x dx n=1 Tomando factor común = = ó también = ∫ dx = +c Encontrar ∫ dx Solución: Podemos descomponer el integrando en fracciones, dividiendo cada término del numerador entre el denominador. = ∫ =∫ dx = ∫x dx - ∫ dx =∫x dx = +c =-∫ dx = +c v=x dv = dx n=1 v= dv = dx = +c ∫ dx = +c Aplicación de la regla de potencia para integración Encontrar ∫( x + 1)20 dx. Como el integrado es una potencia de la función x + 1, haremos u = x, entonces du = dx, y la ∫( x + 1)20 dx tiene la forma ∫( u)20 du. Por medio de la regla de la potencia para integración, 14
  • 15. ∫( x + 1)20 dx = utilizamos la formula ∫ xⁿ dx = +c Donde v =( x+1) dv = dx n= 20 ∫( u)20 du = +c = Aplicación con ajuste al dv Encontrar ∫x dx Lo podemos escribir también ∫x dx u = x2 + 5 du = 2x dx n= ; nos damos cuenta que el valor de que el factor constante de 2 aparece en el integrado, la misma que no tiene la forma de ∫ ; sin embargo podemos poner la integral dada en esta forma por medio de la multiplicación 2 y dividiendo por , quedando de la siguiente manera = ∫ .(2x dx) = / +c ∫x dx = 1.3 INTEGRACIÓN CON CONDICIONES INICIALES Encontrar una antiderivada particular de una función que satisface ciertas condiciones implica la evaluación de una constante de integración. Si conocemos la razón de cambio, f’, de la función f, entonces la función f misma es una antiderivada de f (ya que la derivada de f es f’). Por supuesto hay 15
  • 16. muchas antiderivadas de f’ y la más general es denotada por la integral indefinida. Ejemplo; f’ (x) = 3x entonces: f (x) = ∫ f’ (x) dx = ∫ 3x dx = +C (1) Esto es, cualquier función de la forma f (x) = + C tiene su derivada igual a 3x, que debido a la constante de integración, no conocemos f (x) específicamente. Sin embargo, si f debe tener cierto valor para un valor particular de x, podemos determinar el valor de C y conocer así específicamente a f (x) . Ejemplo: Si f (1) = 4, de la ecuación (1) obtenemos. f (1) = 1² + C 4 =1+C C =4–1 C=3 Así; f (x) = x² + 3 Esto es, ahora la función particular f(x) para la cual f (x)= 3x y f(1) = = 4. La condición f(1) = 4, que da un valor especifico de x, se llama condición inicial ( o valor en la frontera). Ejemplo: Si y es una función de x tal que y’ = 6x - 3 y y(2)= 5, Solución: aquí, y(2) = 5 es la condición inicial. Como y’ = 6x – 3, y es una antiderivada de 6x - 3: y = ∫(6x – 3) dx = = 3x² - 3x + (2) Podemos determinar el valor de C por medio de la condición inicial. Como = 5 cuando = 2, de la ecuación (2) tenemos 5 = 3(2)² - 3(2) + C, 5 = 12 – 6 + C C = -3 16
  • 17. Al reemplazar C por -3 en la ecuación (2) obtenemos la función que buscamos y = 3x² - 3x - 3 (3) Para encontrar y(4), hacemos x = 4 en la ecuación (3) y(4) = 3(4)² - 3(4) – 3 = 48 -12 – 3 = 33 Ejemplo: Problema con condiciones iníciales que implican Dado que y” = - 12, y’(0) = 2, y y(1) = -1, encontrar y. Solución: para pasar de y” a y son necesarias dos integraciones, la primera nos lleva de y” a y, y la otra de y’ a y. Por lo tanto, se tendrán dos constantes de integración, que denotaremos como Como y” = - 12, y’ es una antiderivada de - 12, por lo que, =∫( - 12) dx = - 12x + Ahora (0) significa que = 2 cuando x = 0; por tanto, de la ecuación anterior, tenemos 2== – 12(0) + De aquí, = 2, de modo que - 12x + Por integración podemos encontrar: y = ∫ = 17
  • 18. Así: y= Ahora, como y = -1 cuando x = 1, de la ecuación anterior tenemos -1 = Así, =- , por lo que y= 1.4 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN El objetivo es analizar las técnicas del manejo de problemas de integración más complejas, a saber, por medio de la manipulación algebraica y por ajuste del integrando a una forma conocida. Cuando se tiene que integrar fracciones, es necesario a veces efectuar una división previa para obtener formas de integración conocidas; Ejemplo. Encontrar ∫ dx Solución: Podemos descomponer el integrando en fracciones, dividiendo cada término del numerador entre el denominador. = ∫ = ∫ ; La descomponemos de la siguiente manera: = ∫x dx - ∫ dx ; aquí aplicamos para el primer integral la 18
  • 19. Formula ∫ xⁿ dx = +c , y en segundo caso la formula ∫ dx = ln x + c . Entonces tenemos que: ∫ dx = - ln x + c Encontrar ∫ dx ; la podemos escribir como ∫ dx u= du = dx ∫ dx = 2∫ dx =2∫ +c =- = c dx 1.5 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN No todas las integrales se pueden evaluar en forma directa usando las integrales estándar. Sin embargo, muchas veces la integral dada puede reducirse a una integral estándar ya conocida mediante un cambio en la variable de integración. Este método se conoce como método de sustitución y corresponde a la regla de la cadena en diferenciación. ∫x dx u = x2 + 5 du = 2x dx n= 4 ∫ .(2x dx) = +c = +c ∫ .(2x dx) = 19
  • 20. Algunas veces la diferencial exacta apropiada no aparece en la integral misma, sino que la función debe multiplicarse o dividirse por cierta constante Ejemplo: ∫ ; la derivada de es . Puesto que la expresión no aparece en el integrado, esto no sugiere hacer u = + 1 , luego, du = y así dx = du. ∫ ; Utilizamos la formula ∫ = + c, y nos da como resultado, ∫ = 20
  • 21. CAPÌTULO II APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN PROBLEMAS DE ECONOMÍA El costo marginal de una finca de 7,00 hectáreas que produce banano orgánico en UROCAL está dada por la ecuación c(x) = 3 + 008x a) Determine la función de costo C (x), si los costos fijos de la finca es de 240 dólares mensuales. C’ (x) = 3 + 0.008x C’ (x) = ∫( + 0.008x ∫ ∫ C (x) = 3x + +c C (x) = 3x b) Cuánto costara producir 500 cajas con banano es un mes? X = 500, procedemos a reemplazar en la ecuación anterior C (x) = 3x ; procedemos a reemplazar x por 500 C (x) = 3(500) + C (x) = 2740 C (x) = 1500 + 1000 + 240 Producir 500 cajas con banano cuesta 2.740,00 dólares mensualmente. c) Si las cajas con banano se venden a 6,50 dólares cada una. Cuál es su utilidad? U=I–C 21
  • 22. I = 500 x 6,50 = $ 3.250,00 U = 3.250 – 2740 = $ 510 La utilidad mensual es de $ 510 d) Si las cajas con banano se venden a 6,50 dólares cada una. Cuántas cajas deben producir para maximizar la utilidad? Px = R (x) – C (x) R (x) = $ 6,50 P(x) = 6,50x – (3x ) procedemos a derivar la función P’(x) = 6,50– (3 ) 0 = 6,50 -3 – 0,004x 0,004x = 0,004x = 3,50 x= X = 875 Para maximizarla producción hay que producir 875 cajas con banano mensualmente e) Determine el incremento de utilidad que hay maximizando la producción a 875 cajas mensualmente. De acuerdo a la pregunta el costo de producir 500 cajas con banano mensualmente es de: 2740/ 500 = $ 5,48; maximizando la producción nos da 875 cajas mensualmente, entonces tenemos lo siguiente: 2740/500 = $ 5,48 Costo de producción por caja 2740/875 = $ 3,13 Costo de producción por caja Variación : 22
  • 23. El incremento de producción en porcentaje por cajas es del 75% (375 Cajas mensuales) 875 * $ 6,50 = $ 5.687,50 Ingreso mensual 500 * $ 6,50 = $ 3.250,00 Ingreso mensual Variación : U=I–C I = 875 x 6,50 = $ 5.687,50 U = 5.687,50 – 2.740 = $ 2.947,50 La utilidad mensual maximizando la producción es de $ 2.947,50 f) Determine el incremento de utilidad si el volumen de venta es incrementado de 500 a 675 cajas mensuales. 2740/500 = $ 5,48 Costo de producción por caja 2740/675 = $ 4,06 Costo de producción por caja Variación : 675 * $ 6,50 = $ 4.387,50 Ingreso mensual 500 * $ 6,50 = $ 3.250,00 Ingreso mensual Variación : 23
  • 24. U=I–C I = 675 x 6,50 = $ 4.385,50 U = 5.687,50 – 2.740 = $ 1.647,50 La utilidad mensual aumentando la producción a 675 cajas es de $ 1.647,50 24
  • 25. CAPÍTULO III CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 3.1 CONCLUSIONES Después de la desarrollar la investigación sobre las integrales indefinidas, hemos llegado a las siguientes conclusiones:  Que para la integración indefinida no existen reglas generales, es la práctica sistemática lo que determina la aplicación del método adecuado de integración, según sea el integrando.  Solo con la práctica sistemática, se podrá llegar a entender y resolver los ejercicios de las integrales indefinidas.  Que el estudio de las integrales indefinidas son importantes en la aplicación y resolución de problemas de la micro y macro economía. 25
  • 26. 3.2 RECOMENDACIONES A nivel general recomendamos la presente investigación como material de estudio o consulta para los estudiantes de la UTSAM u otro centro de estudio, con la finalidad de facilitar y ampliar su conocimiento sobre las integrales indefinidas. Para el proceso de resolución de las integrales indefinidas recomendamos lo siguiente:  Analizar si es una integral directa o indirecta  Valorar la posibilidad de transformarla en una o varias inmediatas aplicando alguna transformación algebraica o simplificación del integrando.  Si el integrando no es racional (directo) o es algebraico irracional (indirecto) hay que valorar la posibilidad de aplicar alguna sustitución o el método de integración por partes y así obtener directamente el resultado o en su defecto por lo menos reducir el integrando a uno que esté en alguna tabla de integrales.  En otros casos hay que hacer la utilización de los artificios algebraicos o logarítmicos para poder transformarla en una integral accesible. 26
  • 27. BIBLIOGRAFÍA  Chiang A, “Métodos Fundamentales de Economía Matemática”, 3ª ed., Ed. McGraw-Hill,México, 1987.  J. Grafe, “Matemáticas para Economistas”. Ed. McGraw-Hill, Madrid, 1991.  E. Costa Reparaz, “Problemas y Cuestiones de Matemáticas para Economistas”, Ed. Pirámide,Madrid, 1991.  Ernest F. Haeussler, Jr y Richard S. Paúl. Matemáticas para Administración y economía. Décima edición. Pearson Educación, México 2003.  JAGDISH, C. ARYA, Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía, Cuarta Edición, Editorial Pearson, México, 2002  Lardner Aaya. Matemáticas Aplicadas a la Administración y economía. México 1,993.  Sheifle Xavier. Apuntes a la teoría económica. Editorial Trillas. México. 1.996.  wikipedia.org/wiki/Integración  www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Definida.pdf  www.scribd.com/doc/.../Integrales-Indefinidas -  www.scribd.com/.../CALCULO-DIFERENCIAL-E-INTEGRAL-II-FAS2-LA- INTEGRAL-INDEFINIDA-  www.upao.edu.pe/new_pregrado/.../12/.../MATEMATICA_II.pdf 27
  • 28. ANEXOS 28
  • 29. TABLA DE INTEGRALES Observación. En toda integral se omite la constante de integración y el lector deberá agregarla. 29
  • 30. 30
  • 31. 31
  • 32. 32
  • 33. 33
  • 34. 34
  • 35. Pequeño productor de banano orgánico de UROCAL 35
  • 37. 37
  • 38. 38