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Prueba de Hipotesis

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Prueba de Hipotesis

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” DPTO. DE FÍSICA Y MATEMÁTICA CÁTEDRA: ESTADÍSTICA TEMA Nº 7. PRUEBA DE HIPÓTESIS HIPÓTESIS ESTADÍSTICA: Es una proposición sobre los parámetros de una o más poblaciones. La esencia de probar una Hipótesis Estadística es el decidir si la proposición se encuentra apoyada o no por la evidencia experimental que se obtiene a través de una muestra aleatoria. En forma general, la proposición involucra ya sea algún parámetro o alguna forma funcional no conocida de la distribución de interés a partir de la cual se obtiene una muestra aleatoria. La decisión acerca de si los datos muestrales apoyan la evidencia estadísticamente o no la proposición se toma con base en la probabilidad, y si ésta es mínima, entonces será rechazada. Para ilustrar la noción de Hipótesis Estadística, supóngase que se tiene interés en el número de personas que votarán por el candidato político Campins. El número de votantes es una Variable Aleatoria que puede describirse con una Distribución de Probabilidad. Supóngase que el interés se centra sobre la Proporción de personas que votarán por dicho candidato político (que es un parámetro de esta distribución). De manera específica, el interés recae en decidir si la Proporción de votantes es, por ejemplo, 60%. Esto puede expresarse: H0: p 0,60 H1: p 0,60 La proposición H0: p = 0,60 se conoce como Hipótesis Nula. Se le llama Hipótesis Nula porque se supone que no hay diferencia real entre el verdadero valor de p en la población de la cual se ha muestreado y el valor hipotético de p = 0,60. La proposición H1: p 0,60 recibe el nombre de Hipótesis Alternativa. Puesto que la Hipótesis Alternativa especifica valores de p que pueden ser > ó < que 0,60 también se conoce como Hipótesis Alternativa Bilateral. En algunas situaciones, lo que se desea es formular una Hipótesis alternativa Unilateral, como en: H0: p = 0,60 o H0: p = 0,60 H1: p < 0,60 H1: p > 0,60
  2. 2. Hipótesis Nula (H0): Es la Hipótesis que se desea comprobar. Esta Hipótesis siempre será establecida en forma tal que se especifique un valor exacto del parámetro de la población. Hipótesis Alternativa (H1): Es la Hipótesis que se acepta como resultado del rechazo de la Hipótesis Nula. Esta hipótesis admite la probabilidad de varios valores. PRUEBA DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA: Es un procedimiento que conduce a una decisión sobre una Hipótesis en Particular. Los procedimientos de prueba de hipótesis dependen del empleo de la información contenida en la muestra aleatoria de la población de interés. Si esta información es consistente con la Hipótesis, se concluye que ésta es verdadera, si esta información es inconsistente con la hipótesis, se concluye que ésta es falsa. Población μ Muestra σ2 ρ Información Estimar algún Parámetro Cuando se toma una decisión con respecto a una Hipótesis Nula, dos de las posibles consecuencias relativas al verdadero estado de la naturaleza conducen a errores inferenciales. El rechazo de H0 cuando en realidad H0 es cierta constituye lo que se denomina Error Tipo I. Equivocarse al rechazar (aceptas) H0 cuando en realidad H0 es falsa, constituye el Error Tipo II. En términos generales, cuando se prueba una Hipótesis Estadística se pueden dar las siguientes cuatro situaciones: Decisión H0 es Verdadera H0 es Falsa Rechazar H0 Error Tipo I No hay error Aceptar H0 No hay error Error Tipo II Veamos cada uno de los casos gráficamente:
  3. 3. Continuando con el ejemplo anterior, supóngase que se quiere probar la Hipótesis de que la proporción de votantes a favor del candidato político es de 60%, entonces se plantea la siguiente Hipótesis Nula: H0: p = 0,60 1er Caso : Error Tipo I Población Muestra p 0,60 Información H0 : p 0,60 (Se rechaza H0 ) 2do Caso : No hay Error Población Muestra p 0,40 Información H0 : p 0,60 (Se rechaza H0 ) 3er Caso : No hay Error Población Muestra p 0,60 Información H0 : p 0,60 (Se acepta H0 ) 4 to Caso : Error Tipo II Población Muestra p 0,40 Información H0 : p 0,60 (Se acepta H0 )
  4. 4. La Probabilidad de rechazar H0, dado que H0 es cierta, se define como la Probabilidad (o tamaño) del error tipo I y se denota por , 0 α 1. La Probabilidad de aceptar H0, dado que H0 es falsa, se define como la Probabilidad (o tamaño) del error tipo II y se denota por , 0 β 1. Por tanto, las Probabilidades de los errores tipo I y II están dadas por: P(rechazar H0 / H0 es cierta) = y P(aceptar H0 / H0 es falsa) = Algunas veces la Probabilidad de cometer el Error Tipo I, también recibe el nombre de “Nivel o tamaño de Significancia” Si se realiza una Prueba sobre una muestra de 200 votantes y se observa cual es la proporción de ellos que están a favor del candidato político Campins. La ˆ proporción muestral p , es un estimador de la Proporción poblacional p. Un ˆ valor de p cercano al valor hipotético de p = 0,60 es una evidencia de que el valor verdadero de p es 0,60, esot es, apoya H 0. Por otra parte un valor diferente de 0,60 constituye una evidencia que apoyaría a H1. ˆ La proporción muestral p puede tomar muchos valores. Supóngase que si ˆ ˆ ˆ 0,58 p 0,62 entonces se Acepta H0 y que si p 0,58 ó p 0,62 , entonces se Acepta H1. Esto da lugar a lo que se denomina Regiones de Rechazo y Aceptación. Región de Aceptació n Región de Rechazo Región de Rechazo 0,58 p 0,60 0,62 Valor Crítico Valor Crítico ˆ ˆ Entonces en el ejemplo se presenta un Error Tipo I cuando p 0,58 ó p 0,62 y la verdadera proporción de votantes es p = 0,60. Y se presenta un Error Tipo ˆ II cuando 0,58 p 0,62 y la verdadera proporción de votantes es, por ejemplo, p = 0,40.
  5. 5. PROCEDIMIENTO DE PRUEBA DE HIPÓTESIS: Como procedimiento general para la aceptación o rechazo de la Hipótesis Nula se tienen los siguientes pasos: 1. Del contexto del problema, identificar el parámetro θ de interés 2. Establecer la Hipótesis Nula: H0: θ θ 0 3. Seleccionar una Hipótesis Alternativa Apropiada: H1: θ θ 0 H1: θ θ 0 H1: θ θ 0 4. Seleccionar un Nivel de Significancia , P(rechazar H0 / H0 es verdadera) 5. Seleccionar el Estadístico de Prueba apropiado 6. Calcular el valor del Estadístico de Prueba a partir de los datos muestrales 7. Tomar una decisión: Rechazar H0 si el valor del Estadístico no es suficiente con respecto al valor crítico A continuación se presentan métodos para contrastar hipótesis estadística para medias, varianzas y proporciones: PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN CON VARIANZA CONOCIDA: Plantear alguna de las siguientes Hipótesis: 1) H0 : μ μ0 2) H0 : μ μ0 3) H0 : μ μ0 H1 : μ μ0 H1 : μ μ0 H1 : μ μ0 x μ0 Estadístico de Prueba: Z0 σ n Decisión: Rechazar H0 si: z 0 z1-α 2 ó z 0 z α 2 en 1) z0 z1-α en 2) z0 zα en 3) PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA IGUALDAD DE DOS MEDIAS POBLACIONALES CON VARIANZAS CONOCIDAS:
  6. 6. Plantear alguna de las siguientes Hipótesis: 1) H0 : μ1 μ2 2) H0 : μ1 μ2 3) H0 : μ1 μ2 H1 : μ1 μ2 H1 : μ1 μ2 H1 : μ1 μ2 X1 X2 Estadístico de Prueba: Z0 σ1 2 σ2 2 n1 n2 Decisión: Rechazar H0 si: z 0 z1-α 2 ó z 0 z α 2 en 1) z0 z1-α en 2) z0 zα en 3) PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN CON VARIANZA DESCONOCIDA: Plantear alguna de las siguientes Hipótesis: 1) H0 : μ μ0 2) H0 : μ μ0 3) H0 : μ μ0 H1 : μ μ0 H1 : μ μ0 H1 : μ μ0 x μ0 Estadístico de Prueba: T0 S n Decisión: Rechazar H0 si: t 0 t1-α 2,n 1 ó t0 t α 2,n 1 en 1) t0 z1-α,n-1 en 2) t0 t α,n-1 en 3) PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA IGUALDAD DE DOS MEDIAS POBLACIONALES CON VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES: Plantear alguna de las siguientes Hipótesis: 1) H0 : μ1 μ2 2) H0 : μ1 μ2 3) H0 : μ1 μ2 H1 : μ1 μ2 H1 : μ1 μ2 H1 : μ1 μ2
  7. 7. X1 X2 Estadístico de Prueba: T0 1 1 Sp n1 n2 n1 1 s1 n2 1 s2 2 2 Sp n1 n2 2 Decisión: Rechazar H0 si: t 0 t1-α 2,n1 n2 2 ó t0 t α 2,n1 n2 2 en 1) t0 t1-α,n1 n2 2 en 2) t0 t α,n1 n2 2 en 3) PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA IGUALDAD DE DOS MEDIAS POBLACIONALES CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Y DIFERENTES: Plantear alguna de las siguientes Hipótesis: 1) H0 : μ1 μ2 2) H0 : μ1 μ2 3) H0 : μ1 μ2 H1 : μ1 μ2 H1 : μ1 μ2 H1 : μ1 μ2 X1 X 2 Estadístico de Prueba: T0 2 S1 S2 2 n1 n2 Decisión: Rechazar H0 si: t 0 t1-α 2,v ó t 0 t α 2,v en 1) t0 t1-α,v en 2) t0 t α,v en 3) 2 s1 n1 s 2 n2 2 2 v 2 2 2 s1 n1 s 2 n2 2 n1 1 n2 1 PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA VARIANZA DE UNA POBLACIÓN:
  8. 8. Plantear alguna de las siguientes Hipótesis: 1) H0 : σ 2 σ0 2 2) H0 : σ 2 σ0 2 3) H0 : σ 2 σ0 2 H1 : σ 2 σ0 2 H1 : σ 2 σ0 2 H1 : σ 2 σ0 2 2 (n - 1)S2 Estadístico de Prueba: 0 σ0 2 Decisión: Rechazar H0 si: 2 2 2 x0 x1-α 2,n-1 ó x0 x2 2,n-1 en 1) α 2 2 x0 x1-α,n-1 en 2) 2 2 x 0 x α,n-1 en 3) PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA IGUALDAD DE DOS VARIANZAS POBLACIONALES: Plantear alguna de las siguientes Hipótesis: 1) H0 : σ1 2 σ2 2 2) H0 : σ1 2 σ2 2 3) H0 : σ1 2 σ2 2 H1 : σ1 2 σ0 2 H1 : σ1 2 σ0 2 H1 : σ1 2 σ0 2 2 S1 Estadístico de Prueba: F0 S2 2 Decisión: Rechazar H0 si: f0 f1-α 2,n1 -1,n2 -1 ó f0 fα 2,n1 -1,n2 -1 en 1) f0 f1 α,n1 -1,n2 -1 en 2) f0 fα,n1 -1,n2 -1 en 3) PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA PROPORCIÓN DE UNA POBLACIÓN: Plantear alguna de las siguientes Hipótesis:
  9. 9. 1) H0 : p p0 2) H0 : p p0 3) H0 : p p0 H1 : p p0 H1 : p p0 H1 : p p0 x - np0 Estadístico de Prueba: Z0 np0q0 Decisión: Rechazar H0 si: z 0 z1-α 2 ó z 0 z α 2 en 1) z0 z1-α en 2) z0 zα en 3) PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA IGUALDAD DE DOS PROPORCIONES POBLACIONALES: Plantear alguna de las siguientes Hipótesis: 1) H0 : p1 p2 2) H0 : p1 p2 3) H0 : p1 p2 H1 : p1 p2 H1 : p1 p2 H1 : p1 p2 ˆ ˆ p1 p 2 Estadístico de Prueba: Z0 ˆˆ 1 pq 1 n1 n2 ˆ x1 ˆ x2 ˆ x1 x 2 ˆ ˆ p1 p2 p q 1 p n1 n2 n1 n2 Decisión: Rechazar H0 si: z 0 z1-α 2 ó z 0 z α 2 en 1) z0 z1-α en 2) z0 zα en 3)

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