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Cours r.d.m btps3

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  1. 1. Cours de: Résistance Des Matériaux (R.D.M) Pr: A. AKEF Université Hassan II Ain Chok Fac. Sciences Casablanca LP : TMBTP 2010-2011
  2. 2. INTRODUCTION GENERALE
  3. 3. La Résistance Des Matériaux (R.D.M.), est la science du dimensionnement des pièces ou éléments qui constituent un ouvrage d’art ou tout objet utilitaire.
  4. 4. Le génie civil, domaine de la création intelligente, s’appuie essentiellement sur la R.D.M. pour la réalisation des ouvrages d’art ou des constructions telles que les gros œuvres des bâtiments, les ponts en béton armé ou métalliques etc...
  5. 5. Le dimensionnement (réalisé par des bureaux d’études) fait appel à des calculs qui prévoient le comportement mécanique de l’objet, vis à vis des contraintes imposées. Toute conception doit réunir les meilleures conditions de sécurité, d’économie et d’esthétique.
  6. 6. Historiquement, les premiers travaux de recherche sur la R.D.M (tension et flexion des poutres) remontent à la fin du XVIe siècle( Etudes expérimentales de Galilée (physicien, mathématicien et astronome italien 1564-1642). En 1678, Robert Hooke énonce les bases de la théorie de l’élasticité linéaire.
  7. 7. Chapitre I PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA STATIQUE
  8. 8. I Rappels mathématiques 1) Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs et (on dit scalaire ) est la quantité algébrique définie par :  A  B  A  B    B A
  9. 9. q  B A              A B B A B A q cos k z j y i x B k z j y i x A ' ' '               ' ' ' z.z y.y x.x B A      
  10. 10. 1 k k j j i i             0 i k k j j i             Produits scalaires élémentaires dans une base orthonormée .          k , j , i
  11. 11. 2) Produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs et (on dit vectoriel ) est le vecteur définie par : B A     A  B  A  B
  12. 12. unitaire vecteur : n π θ 0 ; A B - n θ sin B A B A                q  A B  n n ' ' ' z y x z y x k j i    k c j b i a B A k z j y i x B k z j y i x A ' ' '                        y x xy c ; xz z x b ; z y yz a ' ' ' ' ' '      
  13. 13. Produits vectoriels élémentaires dans une base orthonormée directe .          k , j , i                                  j k i ; i j k ; k i j j i k ; i k j ; k j i
  14. 14. Exercice 1 On considère le système d’axes (O, x, y, z) de base orthonormée directe . Effectuer les calculs suivants :          k , j , i z O 2 A y  j  i  k 3 2 x 2 B C                  OC OB OA BC AB AB OA
  15. 15. Exercice 2 est un repère orthonormée directe. On considère les vecteurs : 1) Calculer le produit scalaire et en déduire l’angle entre les vecteurs et . 2) Calculer les composantes du vecteur . 3) Calculer par deux méthodes la norme de . k i 3 A      k j i 2 B         3 ) k , j , i ; (O    B . A   B  A  B A C      C  C 
  16. 16. II Statique des corps rigides 1) Système matériel Un système matériel est un corps, ou un ensemble de corps, ou une partie d’un corps dont-on se propose d’étudier l’équilibre ou le mouvement. a - Définition
  17. 17. Dans ce cours, on se limitera à l’étude des systèmes matériels en équilibre ou en quasi-équilibre (hypothèses des petites déformations). b - Remarque
  18. 18. 2) Force Une force représente la mesure de ce qui pousse ou tire sur un objet. Elle est définie par un point d’application, une direction (un support), un sens et une valeur (module). a - Définition b - Unité L’unité de la force est le Newton (N) ou le kilogramme-force (kgf). 1kgf = 10N=1daN
  19. 19. c - moment d’une force par rapport à un point. F OM M /O F      Le moment d’une force appliquée en un point M par rapport à un point O est donné par la relation vectorielle : F  
  20. 20. d - moment d’une force par rapport à un axe.   u , F , OB u ). F OB ( u . M M /O F /Δ F             Le moment d’une force appliquée en un point B par rapport à un axe est donné par la relation scalaire : F  Δ est le vecteur unitaire de et O est un point quelconque de . u  Δ Δ
  21. 21. 3) Equilibre d’un corps ou d’un système L'équilibre d'un solide signifie qu'il ne bouge pas (dans un référentiel donné) soit : aucune translation; aucune rotation autour de quelque point (ou pivot) que ce soit. a - Définition
  22. 22. L’équilibre d’un système matériel se réalise uniquement grâce aux forces extérieures directement appliquées à sa surface limite (forces de contact) ou à ses molécules (forces à distance). Les forces intérieures ne sont pas pris en compte. b - Remarque
  23. 23. Lorsqu'un objet S1 exerce une force (appelée « action ») sur un objet S2, l'objet S2 exerce une force opposée (appelée « réaction ») sur l'objet S1. Ce principe est également appelé « troisième loi de Newton ». c - Principe de l’action et de la réaction
  24. 24. Un objet sollicité par deux forces est en équilibre si et seulement si ces deux forces sont de même valeur et directement opposées. d - Equilibre sous l’effet de deux forces
  25. 25. Solide en équilibre sous l’action de deux forces. t
  26. 26. Un objet sollicité par trois forces non parallèles est en équilibre si et seulement si les supports de ces forces sont concourantes et leur somme vectorielle est nulle (polygone des forces est nulle). e - Equilibre sous l’effet de trois forces non parallèle
  27. 27. Solide en équilibre sous l’effet de trois forces.
  28. 28. Les forces sont transmises par l’intermédiaire des surfaces en contact. On détermine ces forces à partir des conditions d’équilibre en utilisant la géométrie du corps non déformé. On néglige les variations d’angle et de longueur qui résultent de l’application des forces. f - Transmission des forces
  29. 29. Représentation de la transmission des forces et des moments externes
  30. 30. Pour qu’un système matériel indéformable, sollicité par plusieurs forces soit en équilibre, il faut et il suffit que le torseur associé au système des forces extérieures (forces de contact et de volume), appliquées au système soit nulle. g - Théorème fondamentale de l’équilibre
  31. 31.   quelconque point un est O 0 M 0 F Τ ext/O F ext O                Après projection sur le système d’axes choisi, on obtient six équations. 
  32. 32. 4) Système isostatique ou hyperstatique Un système est isostatique ou statiquement déterminé si le nombre d’inconnues (forces), est égal au nombres d’équations d’équilibre. Le problème est mathématiquement déterminé. a - Système isostatique
  33. 33. Un système est hyperstatique si le nombre d’inconnues est supérieur au nombre d’équations d’équilibre. Le problème est mathématiquement indéterminé. On lève l’indétermination en prenant en compte la déformation du système ( petites déformations et compatibilité géométrique). b - Système hyperstatique
  34. 34. On ne doit faire aucune hypothèse sur les forces extérieures inconnues. En d’autres termes, on ne connait ni leurs directions, ni leurs sens, ni leurs intensités. La détermination de ces caractéristiques fait l’objet de la résolution du problème. c - Remarque
  35. 35. ) F ) ; (B, F ) ; (A, F (O, ) F ) ; (F, F ) ; (G, F (O, 6 5 4 3 2 1 Exercice3 : On considère le système de vecteurs liés suivant : BE F ; AB F ; OA F FE F ; GF F ; OG F       6 5 4 3 2 1       Avec,
  36. 36. O C F G D A B E y x z Déterminer : 1) la résultante . 2) le moment résultant en O . ext F  O F M /  
  37. 37. Exercice 4 Déterminer la tension du fil T et la réaction R au point O pour que la tige OA, de longueur L et de masse m, soit en équilibre ( voir figure ci- dessous). z y O T   x Articulation mg G A  
  38. 38. Exercice 5 Déterminer la réaction RA du mur lisse et la réaction RB du sol rugueux qui assurent l’équilibre de la tige AB, supposée homogène de longueur 2L et de masse m, dans le plan vertical (Oyz). On donne . z y O  x mg G B   A
  39. 39. Chapitre II NOTIONS DE BASE
  40. 40. I Introduction La résistance mécanique des matériaux (R.D.M.), concerne leurs aptitudes à supporter les efforts extérieures auxquelles ils sont soumis (traction, compression, cisaillement, flexion, etc…) 1) Qu’est-ce que la R.D.M.
  41. 41. Le but de la R.D.M. est d’assurer qu’on utilise, dans une pièce donnée une quantité minimale de matériau, tout en satisfaisant aux exigences suivantes : Résistance - Rigidité - Stabilité Endurance - Résilience 2) But de la R.D.M.
  42. 42. a - Résistance La pièce doit pouvoir supporter et transmettre les charges externes qui lui sont imposées. b - Rigidité Lorsqu’elle est sollicitée, la pièce ne doit pas subir de déformations excessives (E.L.S.).
  43. 43. c - Stabilité La pièce doit conserver son intégrité géométrique afin d’éviter les conditions d’instabilités (flambement). d - Endurance Si elle est soumise à un chargement répété, la pièce doit tolérer sans rupture un certain nombre de cycles de sollicitations variables (fatigue des matériaux).
  44. 44. e - Résilience Dans le cas ou un chargement dynamique est à prévoir (impact), la pièce doit pouvoir absorber une certaine quantité d’énergie sans s’en trouver trop endommagé (résistance au choc).
  45. 45. II Hypothèses de base Ces hypothèses permettent de réduire la complexité des développements mathématiques tout en conservant une certaine généralité. Ces hypothèses de base concernent la continuité, l’homogénéité, l’isotropie, les déformations et les forces internes du matériau étudié.
  46. 46. Le matériau est continue, c’est-à-dire ne comportant ni fissures ni cavités. 1) Continuité 2) Homogénéité En tout point, le matériau possède les mêmes propriétés chimiques. La plupart des matériaux d’ingénierie satisfont à ce critère (à l’échelle macroscopique).
  47. 47. Les propriétés physiques sont les mêmes en tout point et dans toutes les directions. La plupart des matériaux sont isotropes à l’échelle macroscopique. 3) Isotropie
  48. 48. Aucune force interne n’agit dans le matériau avant l’application des charges externes (état initial). 5) Forces internes 4) Déformations Les déformations ont une influence négligeable sur la position des points d’application ou sur la direction des forces extérieures.
  49. 49. Les forces internes, dites résiduelles sont souvent présentes dans les matériaux. Elle résultent en général du processus de fabrication (pliage, soudage, etc…). On tient compte de ces forces résiduelles en diminuant la force trouvée ou en augmentant le section (On prend une certaine sécurité). 6) Remarque
  50. 50. III Méthode de résolution l’étude des forces et des conditions d’équilibre; l’étude des déplacements et de la compatibilité géométrique; l’application des relations forces- déformations (E.L.S.). On résout un problème de R.D.M. selon une démarche systématique qui comporte trois étapes fondamentales :
  51. 51. Possibilité d’obtenir jusqu’à six équations 1) Forces et les conditions d’équilibre   quelconque point un est O 0 M 0 F Τ ext/O F ext O                
  52. 52. Une structure conserve sa continuité et son intégrité après avoir été déformée sous l’action des charges externes ou celle de variations de température. Il est donc nécessaire d’étudier les déformations que subit chacun des composants de la structure et d’examiner les déplacements qui en résultent. 2) Déplacements et compatibilité géométrique
  53. 53. Notions de compatibilité géométrique Exemple
  54. 54. Avec l’application de ces relations (relations constitutives), nous faisons intervenir les propriétés du matériau et nous relions les forces étudiées à la première étape de résolution aux déformations analysées à la seconde étape. 3) Relations forces-déformations
  55. 55. IV Contrainte Les forces internes prise en compte sont celles due aux sollicitations externes et capables de déformer le matériau. 1) Forces internes La R.D.M. consiste à dimensionner le matériau pour qu’il supporte l’action des forces internes sans se détériorer.
  56. 56. 2) Etat des forces internes On étudie dans un système d’axes (xyz), le point interne I d’un corps soumis à des forces externes . n 2 1 F ....... F , F    I
  57. 57. Le plan m est normal à l’axe des x et passe par I. La section est soumise à des forces internes variant en intensités et en direction d’un point à un autre.
  58. 58. Au point I, une force d’intensité moyenne …. agit sur l ’élément de surface . x ΔA F   ΔyΔz ΔAx  z y F F            x F F
  59. 59. L’intensité moyenne de chacune de ces composantes, par unité de surface est : x x x x A ; A ; A F       z y F F 
  60. 60. (∆Fx/∆Ax) : la force interne agit dans la direction normale à la face considérée. (∆Fy/∆Ax et ∆Fz/∆Ax) : la force interne agit parallèlement à la face considérée. Si ∆Ax tend vers 0, ces trois rapports tendent vers des limites qu’on définit comme étant les composantes des contraintes qui agissent sur la surface normale à l’axe des x au point I.
  61. 61. 3) Etat de contrainte Les sollicitations sont quantifiées par la notion de contrainte σ, qui est l'effort surfacique exercé sur une partie de la pièce en un point par le reste de la pièce. σ est homogène à une pression et est exprimé en mégapascal (MPa) ou en Newton par millimètre carré (N/mm²). a - Définition
  62. 62. Les contraintes normales notée σ, sont définie par les relations : b – Contrainte normale x x 0 A F lim       x A x xx   y y 0 A F lim       y A y yy   z z 0 A F lim       z A z zz  
  63. 63. La contrainte de cisaillement ou tangentielle notée , est définie par la relation : c – Contrainte de cisaillement x y 0 A F lim      x A xy  et x z 0 A F lim      x A xz  y x 0 A F lim      x A yx  z x 0 A F lim      z A zx  z y 0 A F lim      z A zy  y z 0 A F lim      y A yz  et et
  64. 64. Une face est positive lorsque sa normale externe est dirigée dans le sens positif d’un axe. Une contrainte est positive lorsqu’elle agit dans le sens positif d’un axe, sur une face positive ou dans le sens négatif d’un axe sur une face négative. d – Convention de signe
  65. 65. Les mêmes composantes de contrainte agissent au point I sur la partie droite du corps sectionné (principe de la coupe: solide en équilibre en deux parties).
  66. 66. e – Etat de contrainte en un point Etat de contrainte au point I montrant toutes les composantes de contraintes sur les faces négatives et leurs contreparties (primées) sur les faces positives. Lorsque les dimensions ∆x, ∆y et ∆z de l’élément tendent vers zéro, la valeur des composantes primées tend vers celle de leurs contrepartie non primées.
  67. 67. Les relations qui régissent les contraintes de cisaillement sont les suivantes : f – Réciprocité zx xz zy yz yx xy          ; ; 
  68. 68. V Déformation 1) Présentation Sous l’action des forces externes et des variations de température, le corps se déforme : le point I se déplace en I’, le point A en A’, le point B en B’ et le point C en C’.
  69. 69. Trois éléments parallèles aux axes de référence avant déformation ; leur position relative et leur longueur après déformation. Les angles entre les segments de référence ne sont plus les mêmes.
  70. 70. 2) Déformation normale La déformation normale notée e est le quotient de la variation de longueur par la longueur initiale, lorsque celle-ci tend vers zéro. IA IA A' I' ε ε lim 0 Δx x xx     Les trois déformations normales : IB IB B' I' ε ε lim 0 Δy y yy     IC IC C' I' ε ε lim 0 Δz z zz    
  71. 71. 3) Déformation de cisaillement La déformation de cisaillement notée g est la tangente de la variation d’un angle originellement droit lorsque les côtés, qui sous-tende l’angle tendent vers zéro. ) B' I' A' 2 π ( tan γ γ lim 0 Δy 0 Δx yx xy       Les trois déformations de cisaillement : ) C' I' B' 2 π ( tan γ γ lim 0 Δz 0 Δy zy       yz ) C' I' A' 2 π ( tan γ γ lim 0 Δz 0 Δx zx       xz
  72. 72. 3) Convention de signe Une déformation normale e est positive lorsqu’il y a allongement. Une déformation de cisaillement g est positive, lorsque l’angle droit, sous-tendu par les côtés dirigés selon le sens positif d’axes de référence, diminue.
  73. 73. VI Relations constitutives Les relations constitutives décrivent le comportement des matériaux et font intervenir les propriétés du matériau utilisé. On distingue les comportements élastique, plastique et visqueux. 1) Notions de base En R.D.M., le comportement élastique des matériaux est le plus désiré.
  74. 74. Elle établit une corrélation entre la déformation suivant une direction et la contrainte dans cette direction. 2) Loi de Hooke E est le module d’élasticité ou module de Young ou module de rigidité. E.ε   
  75. 75. Elle établit une corrélation entre la déformation de cisaillement et la contrainte de cisaillement ou scission. 3) Loi de Coulomb G est le module d’élasticité en cisaillement ou module d’élasticité transversale ou module de Coulomb. g  G.  
  76. 76. C’est le rapport de la déformation latérale à celle de la direction axiale. 4) Coefficient de Poisson L t ε ε - ν  0 ≤ n ≤ 0,5 eL ≥ 0 ; et ≤ 0 
  77. 77. Cas d’un milieu isotrope. C’est la cas de la plupart des matériaux d’ingénierie. 5) Relation entre E et G ν) 2(1 E G   
  78. 78. 6) Forme généralisé de la loi de Hooke   ) σ (σ ν σ E 1 ε z y x x      ) σ (σ ν σ E 1 ε z x y y      ) σ (σ ν σ E 1 ε y x z z   
  79. 79. Chapitre III TRACTION COMPRESSION
  80. 80. I Essai de traction simple C’est à Robert Hooke (Physicien et astronome anglais 1635-1703) que revient les premières études expérimentales sur l’élasticité des matériaux (en 1678). Analysons l’effet d’un essai de traction sur une longue barre (ou un fil ) en métal.
  81. 81. L 0 Charge Comparateur Fil métallique palpeur
  82. 82. II Diagramme contrainte-déformation S et L sont respectivement la section et la longueur initiales du fil métallique. O F Rupture  L L Elasticité Plasticité  limite S   e = Seuil d’élasticité  rupture
  83. 83. Piston huile De la pompe Dispositif coulissant Manomètre Eprouvette Mâchoires de fixation Machine de traction
  84. 84. Coupe longitudinale d’une éprouvette en traction L S F - F
  85. 85. Diagramme contrainte-déformation de l’acier à l’aide d’une machine de traction-compression F   e   L L O  rupture Elasticité Plasticité S  limite
  86. 86. Diagramme contrainte-déformation de la fonte (matériau fragile) F   S e   L L O Elasticité Plasticité  rupture  limite
  87. 87. Diagramme contrainte-déformation du marbre   S F e   L L O Elasticité  limite2  limite1  limite2   limite1
  88. 88. Diagramme contrainte-déformation du béton   S F e   L L O Elasticité  limite1  limite2  limite2   limite1
  89. 89. III Loi de Hooke .ε E σ   1) Expression de la loi Loi de Hooke en élasticité linéaire (1676) ε σ E  et
  90. 90. E est le module d’Young (Thomas Young: Médecin et physicien anglais 1773-1829) ou module d’élasticité longitudinale.  E est exprimé en N/m2 ou Pa. 2) Module d’élasticité
  91. 91. La loi de Hooke est en effet une loi locale. Considérons un tronçon d'éprouvette de longueur infiniment petite b et qui subit un allongement  b. Tronçon d’éprouvette b S 3) Remarque
  92. 92. En tout point M de la section S, la contrainte est définie par : (M) Eε ΔS ΔF lim S F σ(M) 0 ΔS     
  93. 93. Pour un matériau homogène, l’effort normal est répartie dans chaque section de façon uniforme. L ΔL E b Δb E S F ΔS ΔF Cte σ(M)      
  94. 94. 4) Quelques valeurs du module de Young Matériau E en GPa Acier de construction Cuivre 210 124 Bois 3 à 20 Fonte 83 à 170 Aluminium 69 Verre 69 Béton 20 à 50
  95. 95. Exercice 1 Un barreau rectiligne de section constante S = 6 cm2 et de longueur L = 4 m est soumis à une tension axiale F = 126000 N. Trouver son module de Young sachant que son allongement total est L=0,40 cm.
  96. 96. L'expérience montre que lors d’un essai de traction ou de compression d’une barre d’essai, la dimension longitudinale subit une augmentation ou une diminution. IV Dimensions après traction ou compression 1) Dimension longitudinale
  97. 97. S F σ  L ΔL ε  ES FL ΔL  et donne ∆L > 0 pour une traction. ∆L < 0 pour une compression. F : la charge S : la section L : la longueur initiale ∆L : la variation de longueur
  98. 98. La rigidité du barreau notée K est donné par la formule suivante : 2) Rigidité du barreau L ES ΔL F K   
  99. 99. Pour toute variation de charge ou de section, il faut faire intervenir une longueur infinitésimale dL et écrire : 3) Remarque dL ES F ΔL L 0   F est la charge appliquée à l’élément dL dL ES F Δ(dL) 
  100. 100. Exercice 2 Un fil d’aluminium de 30 m de long est soumis à une contrainte de tension de 700 Kg/cm2. Calculer l ’allongement total du fil.
  101. 101. L'expérience montre que lors d’un essai de traction d’une barre d’essai, la dimension transversale subit une diminution. 4) Dimension transversale
  102. 102. n est le module de Poisson (savant français 1781-1840), ou module de compression transversale.  On pose : ε ε ν L t   0 ≤ n ≤ 0,5 eL ≥ 0 ; et ≤ 0
  103. 103. a (1+eL)a a (1+et)a Av.déf Ap.déf 5) Variation du volume
  104. 104. La variation du volume de l’élément cube découpé dans la barre d’essai est: L ΔL ) 2ν (1 V ΔV V L ΔL ) 2ν (1 a ε ) 2ν - (1 a ) ε ν (1 ) ε (1 a a ) ε (1 ) ε (1 a ΔV 3 L 3 2 L L 3 3 2 t L 3             
  105. 105. D’après l’expérience, le volume d’une barre ne peut pas diminuer en traction, alors : 2 1 ν 0   matériau homogène 
  106. 106. 6) Quelques valeurs du coefficient de Poisson Matériau n Acier de construction Cuivre 0,33 0,33 Laiton 0,27 à 0,30 Fontes 0,37 Aluminium 0,21 à 0,26 Verre 0,18 à 0,30 Béton 0,20
  107. 107. En pratique on affecte à la limite élastique des matériaux limite, un coefficient dit de sécurité  compris entre 1 et 10. Condition de résistance : α σ σ limite maxi  V Coefficient de sécurité pour les charges en traction
  108. 108. Exercice 3 Un barreau carré d’acier de côté a = 5 cm et de longueur L=1m est soumis à une tension axiale F=32.104 N. 1) Calculer l’allongement du barreau. 2) Déterminer la diminution de la dimension latérale due à cette charge.
  109. 109. VI Traction d’un barreau suspendu sous l’effet de son poids z O L S z O L S z dz
  110. 110. Le tronçon élémentaire est en état de traction sous l’effet du poids du matériau situé au dessous de ce tronçon. dz N= gS(L-z).k -N Son allongement est: dz ES z) ρgS(L dz ES N(z) Δ(dz)    
  111. 111. L’allongement total du barreau est donné par :         L 0 z L z 0 z z)dz (L E ρg dz ES N(z) ΔL 2E ρgL 2 z Lz E ρg ΔL 2 L z 0 z 2            2ES mgL ΔL  
  112. 112. Exercice 4 Un barreau carré de bronze, de section constante de 49 cm2 et de longueur 6 m, est fixé rigidement au sol. Sa base supérieure est soumise à une charge de compression de 5000 Kg. 1) Calculer la contrainte normale de compression et déduire les nouvelles dimensions du barreau. 2) Que deviennent ses dimensions si on tient compte du poids du barreau ? On donne: bronze= 0,008 Kg/cm3.
  113. 113. Une variation de température entraine généralement un allongement ou un raccourcissement. La déformation due à la dilatation thermique est donné par : ΔT α εT  VII Dilatation thermique  est le coefficient de dilatation thermique. T est l’écart de température. 
  114. 114. L’allongement ∆LT correspondant à la variation de température se calcule par : ΔT αL L ε ΔL T T  
  115. 115. VIII Cylindre à paroi mince sous pression 1) Cylindre ouvert a - Géométrie du cylindre Cylindre supposé infiniment long. L’épaisseur t est beaucoup plus petite que le rayon moyen R ((t/R) < (1/10)). La contrainte est supposé être uniforme dans toute l’épaisseur de la paroi.
  116. 116. L’étude se fait dans le système de coordonnées cylindriques (x, r, q), à cause de la géométrie axisymétrique du système.
  117. 117. b - Contrainte circonférentielle Projection verticale : N est la force par unité de longueur du tirant circulaire. t PR t N σ σ θ c    
  118. 118. c - Remarque Les autres forces sont nulles, donc les contraintes correspondantes sont aussi nulles, d’où : 0 τ τ τ σ σ xr xθ rθ x r      
  119. 119. d - Déformations
  120. 120. L’allongement circonférentielle (∆C) du cylindre de longueur initiale 2πR et de section bt est donné par : tE P R 2π E R) (2π σ ΔC 2 c   tE R) (2π N btE R) (2π F ΔC    
  121. 121. Du point de vue pratique, c’est la variation ∆R du rayon qui nous intéresse. R) (R 2 2 Cf         C R tE PR 2π ΔC ΔR 2   D’où :  
  122. 122. 2) Cylindre fermé a - Géométrie du cylindre Le cylindre est bouché aux deux extrémités. La pression exercée sur les bouchons crée par conséquent une tension longitudinale dans la paroi du cylindre, laquelle se superpose à la contrainte circonférentielle.
  123. 123. πR2 2πRt Une coupe transversale à l’axe du cylindre permet de calculer la contrainte x agissant sur la section annulaire (2Rt).
  124. 124. b - Contrainte longitudinale x génère une force Fx = 2Rtx. La pression exercée sur la surface du bouchon se traduit par une force Fp = PR2. Equilibre, d’où : 2t PR x   2 c x     et
  125. 125. c - Remarque La conduite se rompra en premier lieu le long du cylindre. Les autres forces sont nulles, donc les contraintes correspondantes sont aussi nulles, d’où : 0 τ τ τ σ xr xθ rθ r     
  126. 126. d - Déformations L’allongement ∆x qui en résulte pour la longueur caractéristique b est : tE PRb E b x 2 . x     
  127. 127. Chapitre III CISAILLEMENT
  128. 128. Toute force agissant le long d’un plan en travers d’un matériau est appelée force de cisaillement ou effort tranchant notée généralement T. L’effort tranchant divisé par la surface sur la quelle il agit est appelée contrainte de cisaillement notée généralement  (contrainte moyenne). I Définitions
  129. 129. Dans le cas d’une section circulaire, la contrainte moyenne ne vaut que les trois quarts de la contrainte au centre de la section, calculée par une théorie plus élaborée. On admet que la contrainte de cisaillement est constante dans la section subissant la force de cisaillement. II Hypothèses
  130. 130. Considérons une pièce en forme d’un cube, d ’arrête a, dont les quatre faces sont soumises à des efforts tranchants comme l’indique la figure ci-après : F1 F2 F4 F3 F1 = 1.S F2 = 2.S F3 = 3.S F4 = 4.S III Réciprocité
  131. 131. 1 2 4 3 j k  i O L’équilibre du cube est assuré par les relations : 1 = 2 = 3 = 4 =  
  132. 132. Les angles droits aux sommet du carré, subissent une distorsion. La diminution de l’angle au sommet du carré, représentée ici par l’angle g définit la déformation de cisaillement (exprimé en radians). III Distorsion
  133. 133.     g/2 g/2
  134. 134. Les expériences montrent que le diagramme de cisaillement a généralement la même allure que celui de traction ou de compression.
  135. 135. Dans la zone d’élasticité, la contrainte et la déformation de cisaillement sont liées par une relation linéaire. III Module de cisaillement G γ τ  G est le module de cisaillement (ou module d’élasticité transversale ou encore module de Coulomb) ayant la dimension de N/m2 (ou Pa). 
  136. 136. Comme dans le cas de la traction et de la compression, on considère en pratique la limite élastique (en cisaillement) admissible maxi. Nous avons :  α τ τ limite max  Condition de résistance IV Condition de résistance
  137. 137. Exercice 1 L’assemblage de la figure ci-après est utilisé pour déterminer la résistance au cisaillement d’un joint collé. Pour une charge de 1200 Kg à la rupture, quelle est la contrainte moyenne de cisaillement dans le joint ? Quelle sera la charge qu’il ne faut pas dépasser si le coefficient de sécurité vaut 6 ?
  138. 138. 36 mm 12 mm Joint collé P
  139. 139. Exercice 2 Un poinçon circulaire 2 cm de diamètre utilisé pour poinçonner un trou dans une plaque d’acier de 12 mm d épaisseur. Si la force nécessaire pour faire pénétrer le poinçon dans la plaque est 3.105 N, calculer la contrainte de cisaillement maximale développée dans le matériau.
  140. 140. P
  141. 141. Exercice 3 On veut étudier le cisaillement d’un bloc parallélépipédique en élastomère collé entre une plaque rigide et un support fixe comme le montre la figure. Calculer l’angle de glissement g et le déplacement a sachant que: L=10cm, b=5cm, h=2.5cm G=800 KPa et T=100 daN.
  142. 142. T Plaque rigide Bloc en élastomère Support fixe h L b
  143. 143. Avant déformation h Après déformation a g T h
  144. 144. Chapitre IV TORSION
  145. 145. Etudions l’effet d’un essai de torsion sur un rouleau en caoutchouc en appliquant à ses extrémités deux couples égaux et opposés. I Expérience
  146. 146. Etat non déformé Pour illustrer la déformation de ce matériau, on réalise sur sa surface un tracé sous forme d’un treillis de lignes orthogonales comme le montre la figure ci-contre.
  147. 147. Mt - Mt Etat déformé z Après déformation, les lignes circulaires conservent leur forme, tandis que les lignes parallèles à l’axe du rouleau deviennent hélicoïdales.
  148. 148. II Torsion-cisaillement La torsion du rouleau induit un cisaillement. En effet, dans le cas des petites déformations, les sections voisines glissent l’une par rapport à l’autre. Les contraintes sont donc tangentielles sur chaque section transversale (contraintes de cisaillement).
  149. 149. d dz d r d : angle de cisaillement (d  g). d : angle de torsion. Considérons deux sections voisines séparées distantes de dz. O
  150. 150. Remarque : D’après la relation précédente, les angles d et d doivent être exprimés en radians. dz d r d ) (d tan  g      
  151. 151. III Contrainte de cisaillement Le déplacement tangentiel de la face supérieure du disque mince par rapport à la face inférieure et à une distance r donnée, est : rd.
  152. 152. Considérons, dans ce disque mince (car dz <<1), un petit cube comme le montre la figure ci-dessous. dz d d r.dq dr
  153. 153. dz d Gr dα G G γ τ     La surface supérieure du cube élémentaire est : dS = rdrdq. La contrainte de cisaillement s’écrit : 
  154. 154. Pour un matériau homogène l’angle de torsion varie linéairement en fonction de z. L (0) (L) cte dz d       
  155. 155. Dans ce cas, la contrainte de cisaillement varie linéairement en fonction de r et atteint sa valeur maximale sur le contour du rouleau. Cr τ  L (0) (L) G dz d G C       avec 
  156. 156.   k max Oz
  157. 157. IV Moment de torsion La force élémentaire de cisaillement est donnée par : drdθ .r dz d G dS τ dT 2    rdrdθ dS et dz d Gr τ    car 
  158. 158. r dT  k  Oz
  159. 159. Le moment de torsion total qui s'exerce sur la section transversale est :     S 2 S t dS r dz d G dS rτ M  
  160. 160. La quantité positive définie par :   S 2 Oz dS r I est Le moment quadratique de la section par rapport à son axe Oz. 
  161. 161. 32 D π 2 R π dθ dr r I 4 4 2π 0 θ R 0 r 3 Oz        R et D sont respectivement le rayon et le diamètre du rouleau d’essai.
  162. 162. Comme le moment de torsion est uniforme le long du rouleau alors nous avons : (L) M L (0) (L) GI dS r τ M ext Oz S t        L (0) (L) G r τ I M Oz t       
  163. 163. On considère en pratique la limite élastique admissible maxi. La condition est donnée par :  α τ τ limite maxi  V Condition de résistance Oz maxi t maxi I r M τ  avec
  164. 164. Exercice 1 Une éprouvette cylindrique en cuivre, de 2,5 cm de diamètre et de 1 m de longueur, est soumise à un couple de torsion de 210 Nm comme le montre la figure. Calculer le module d’élasticité transversale du cuivre testé sachant que l ’angle de torsion à l’extrémité chargée est de 4,9 degrés.
  165. 165. Mt Section encastrée z=0 z=L Mt z=0 z=L
  166. 166. Exercice 2 En reprenant les données de l’exercice précédent, calculer la contrainte de cisaillement maximale.
  167. 167. Exercice 3 Un tournevis est soumis à un moment de torsion Mext = 210 Nm comme le montre la figure. Le tronçon métallique AB à une longueur L=200 mm et un diamètre d=7 mm. Sachant que l’angle de torsion est (B)=14,9° (avec (A)=0°) 1) Calculer le module de cisaillement G de la tige métallique. 2) Déduire la contrainte de cisaillement maximale.
  168. 168. Vis L A B A B Mext= MB=- MA
  169. 169. V Concentration des contraintes Si la pièce cylindrique (arbre de transmission, outil ou autres) présente une brusque variation de section (gorge, rainure, épaulement etc.) ou bien que la pièce n’est plus cylindrique, alors la relation donnant l’expression de la contrainte maximale n’est plus valable à cause de la concentration des contraintes.
  170. 170. 2 d r ; I r M dz d . r G τ max Oz max t max max     L expérience montre, dans ce cas, que la contrainte maximale est donnée par la formule : I r M où τ ; k.τ τ Oz max t max max ' max   k est le coefficient de concentration de contrainte.
  171. 171. Chapitre V FLEXION
  172. 172. I Généralités 1) Présentation du problème Une poutre horizontale suspendue en ses extrémités par deux câbles verticaux ou placée sur deux appuis fixes, subit une flexion qui se traduit par un changement de courbure.
  173. 173. 2) Hypothèses a - Le solide étudié La poutre possède un plan de symétrie vertical. b - Les forces appliquées Toutes les forces sont verticales et leurs lignes d’action sont dans le plan vertical de symétrie de la poutre.
  174. 174. c - Théorie des poutres En théorie des poutres, on considère des fibres, c'est-à-dire des petits cylindres de matières générés par une portion dS et une courbe parallèle à la courbe moyenne (la « direction de la poutre ») ; la courbe moyenne passe par les centres de gravité des sections droites (sections perpendiculaires à la courbe moyenne).
  175. 175. Poutre quelconque
  176. 176. d - Navier et Bernoulli Lors de la déformation, les sections droites restent perpendiculaires à la courbe moyenne. La fibre neutre a un allongement nul ; Les fibres à l'extérieur de la courbure sont étirées. Les fibres à l'intérieur de la courbure sont comprimées. La déformation longitudinale ε varie de manière linéaire en fonction de y.
  177. 177. Élément d'une poutre fléchie : les fibres forment des arcs de cercle concentriques, les fibres du haut sont donc comprimées et les fibres du bas étirées. Fibre neutre
  178. 178. II Définitions 1) Poutre Grosse pièce de charpente horizontale en bois, en béton ou en métal soutenant une construction. 2) Fibre neutre La fibre générée par la courbe moyenne est appelée « fibre neutre ». Elle garde sa longueur lors de la flexion.
  179. 179. 3) Flèche La flèche est le déplacement vertical uy(x) du point de la courbe moyenne situé à l'abscisse x. Le déplacement uy(x) donne la forme finale de la fibre neutre, et est relié au rayon de courbure local .
  180. 180. 4) Déformé de la poutre La déformée de la poutre est le graphique de la fonction uy(x) qui donne la forme de la courbe moyenne. 5) Rayon de courbure C’est le rayon du cercle formé par la courbe moyenne. 2 y 2 dx u d ρ 1  Pour les faibles déformations :
  181. 181. III Etude expérimentale des déformations Dispositif de mesure de la flèche
  182. 182. Test de flexion trois-points sur un échantillon de béton.
  183. 183. 1) Variation de la flèche Pour une charge appliquée au même point, on constate que la flèche est d’autant plus importante que la charge est plus grande. a - Intensité de la charge
  184. 184. La flèche est d’autant plus importante que la charge est appliquée loin des appuis. b - Position de la charge c - Dimension de la section Une poutre fléchit d’autant plus que sa section se trouve située dans sa position de moindre inertie.
  185. 185. L’expérience fait apparaître : un plan de fibres neutre qui conservent une longueur constante; les fibres situées au-dessus du plan neutre sont comprimées; les fibres situées au-dessous du plan neutre sont tendues. 2) Déformations longitudinales
  186. 186. 3) Déformations transversales locales Dans certaines zones de la poutre (surtout au voisinage des appuis), on voit apparaître un phénomène de glissement transversal. Ces déformations sont négligeables devant les déformations longitudinales.
  187. 187. La flexion est une sollicitation complexe pour laquelle nous retrouvons des notions telles que : la traction; la compression; le glissement longitudinal; le glissement transversal. 4) Conclusions
  188. 188. Les résultats expérimentaux obtenus ont été énoncés sous forme d’hypothèses par les physiciens Navier et Bernoulli. 5) Remarque
  189. 189. IV Contraintes et déformations 1) Illustration Pour illustrer ce type de déformation, on considère l’expérience schématisée par la figure ci-après.
  190. 190. Mâchoires d’un étau fixe Charge
  191. 191. Ligne moyenne Etat non déformé de la surface latérale Etat déformé de la surface latérale
  192. 192. Après déformation, les couches supérieures s’allongent tandis que celles du bas se resserrent. La couche moyenne conserve pratiquement sa longueur. Découpons, par imagination, dans la barre, un tronçon de longueur suffisamment petite dL.
  193. 193. Le segment infinitésimal sur la ligne moyenne conserve sa longueur dL. d 2d dL d
  194. 194. La section transversale reste plane. Par conséquent le raccourcissement et l’allongement des couches sont proportionnelles à la distance transversale de ces couches mesurée à partir de la ligne moyenne.
  195. 195. La contrainte normale dans chaque couche est proportionnelle à son allongement ou à son raccourcis-sement. y m ε  m coefficient de proportionnalité. │y│distance par rapport à la fibre neutre. y m E ε E σ  
  196. 196. a y 2 σ σ max   max est la contrainte normale au niveau de la couche la plus éloignée de la ligne moyenne. max y (y) a  z x dx +
  197. 197. Remarque: l’effort normal exercé sur la section transversale droite du tronçon élémentaire est nul. 0 dy a 2y σ dz F a/2 a/2 max b/2 b/2       b désigne la largeur de la section transversale. 
  198. 198. V Moment de flexion 1) Calcul du moment Calculons le moment de flexion exercé sur la section transversale. F d y - M a/2 a/2 f    
  199. 199.  Ce moment est compté négatif d’après le sens conventionnel de la figure. 6 a σ b - dz dy a 2y σ - M 2 max a/2 a/2 b/2 b/2 2 max f      
  200. 200. IGz est le moment quadratique de la section transversale par rapport à son axe de rotation Gz.  12 ba dz dy y I 3 a/2 a/2 b/2 b/2 2 Gz       (a/2) I σ M Gz max f  avec
  201. 201. 2) Moment de résistance Le moment de résistance de la section transversale est donné par : maxi Gz Gz Gz y I (a/2) I W   D’où : Gz max f W σ M  
  202. 202. 3) Moment admissible Les moments de flexion admissibles dans le domaine de l’élasticité linéaire sont donnés par l’inégalité suivante : limite Gz limite f M W σ M   
  203. 203. 4) Remarques Dans le cas de la déformation de flexion pure, le moment de flexion est proportionnelle à la contrainte normale maximale. Dans le cas de l’exemple étudié, le moment de flexion est le même dans toutes les sections transversales de la barre (ou poutre).
  204. 204. Le moment de flexion est le même dans toutes les sections transversales de la barre (ou poutre), puisque son poids est négligé et que la barre n’est sollicitée qu’en ses extrémités par un couple. Dans ce cas on dit qu’il s ’agit d ’une flexion pure.
  205. 205. Principe de la flexion simple d’une poutre
  206. 206. Si la barre (ou la poutre), supporte des charges localisées ou des charge réparties ou que son poids n’est plus négligé, alors chaque section transversale droite subit à la fois un moment fléchissant Mf et un effort tranchant noté T. On dit qu’il s’agit d ’une flexion simple.
  207. 207. Fonctionnement du béton armé en flexion
  208. 208. VI Equation de la déformée Tangente(G) Tangente(G’) G G’
  209. 209. α dx dy tgα   dx y d dx dα 2 2   2d dα  en plus
  210. 210. Loi de Hooke appliquée à la couche supérieure, donne : 2 2 max dx y d 2 a E dx dα 2 a E dx d 2 2 a E σ     (a/2) I σ - M Gz max f  sachant que : nous obtenons : 2 2 zz f dy z d EI M  
  211. 211. L’équation différentielle de la déformée est : zz f EI M ρ 1  zz f 2 2 EI M dx y d   L’expression du rayon de courbure de la déformée est donné par :  
  212. 212. VII Calcul de la flèche F -F Admettons que l'extrémité (x = 0) est encastrée et que la section est constante.
  213. 213. Gz f 2 2 EI M dx y d   x EI M dx dy Gz ext y      d’où : 2 Gz ext x EI M 2 1 y(x)   La flèche ‘maximale’ correspond dans ce cas la position x = L, soit : 2 Gz ext max L EI M 2 1 y 
  214. 214. VIII Charges 1) Charges concentrées Les charges sont appliquées en des points précis. En dehors de ces points les charges sont nulles. 2) Charges réparties Les charges sont distribuées sur une certaine longueur de façon uniforme ou non.
  215. 215. 3) Intensité de charges L’intensité de charge notée q (force par unité de longueur), est donnée par l’équation différentielle : dx dF Δx ΔF lim q 0 Δx    
  216. 216. 4) Remarque Il est utile, lorsque nous utilisons les équations d’équilibre, de remplacer la charge répartie par sa résultante qui lui est par définition statiquement équivalente.         L 0 L 0 _ L 0 L 0 qxdx xdF x R qdx dF R L est la longueur de la poutre. est le point d’application de la résultante équivalente. _ x
  217. 217. La position est donnée par :    L 0 L 0 _ qdx qxdx x _ y _ x 
  218. 218. IX Relations différentielles d’équilibre 1) Effort tranchant T q - dx dT  x qd T T 2 1 x x 1 2     En intégrant entre deux sections de la poutre définies par les coordonnées x1 et x2, pour lesquelles les efforts tranchants sont respectivement égaux à T1 et T2, nous avons : 
  219. 219. 2) Moment fléchissant Mf T - dx dMf  x Td M M 2 1 1 2 x x f f     En intégrant entre deux sections de la poutre définies par les coordonnées x1 et x2, pour lesquelles les moments fléchissant sont respectivement égaux à Mf1 et Tf2, nous avons : 
  220. 220. 3) Remarques L’effort tranchant T est égal à la somme algébrique des forces extérieures située d’un même côté de la section (par convention à gauche). A la section précise ou T = 0, le moment fléchissant atteint une valeur maximale ou minimale. Le moment de flexion Mf est égal à la somme algébrique des moments de toutes les forces extérieures située d’un même côté de la section (par convention à gauche).
  221. 221. X Etat des contraintes 1) Contrainte normale  et a y 2 σ σ max  Gz f max I 2 a M σ  par conséquent : Gz f I M y σ  a - Expression de 
  222. 222. W M I M y σ Gz maxi f Gz maxi f maxi maxi   b - Contrainte normale maximum La contrainte  est maximum dans la section pour laquelle Mf est maximum. En plus dans cette section, la contrainte maximale est obtenue lorsque la variable y est maximale. 
  223. 223. c – Condition de résistance La condition de résistance à l’extension du matériau constituant la poutre est : α σ σ limite maxi  
  224. 224. 2) Contrainte de glissement  a - Présentation La flexion simple introduit des contraintes de cisaillement longitudinale égalent aux contraintes de cisaillement transversales d’après la règle de réciprocité des contraintes.
  225. 225. b – Expression de  Isolons la portion de poutre située au- dessous du plan d’ordonnée Y et soit une fibre tendue de section ds et d’ordonnée y. b a/2 G y z Y y ds dx S1 S2 x G1 G2 y ds 1 σ ds 2 σ 1 ds  ds 2  ds 1 
  226. 226. Le tronçon isolé est en équilibre donc le torseur associé au système de forces extérieures se réduit en G1 à :               0 M 0 F Τ 1 1 ext/G F ext G   
  227. 227. 0 Fext     entraine : 0 τds ds τ ds τ ds σ ds σ 1 2 1 2 1                 soit en projection sur l’axe Gx : 0 ds τ ds σ ds σ 1 2 1       
  228. 228. sachant que : , dx b τ ds τ 1   Gz f2 2 I M y σ  et I M y σ Gz f1 1  Gz a/2 Y f1 f2 I yds ) M (M dx b τ    nous avons : Gz 2 / f I yds dM dx b τ   a Y
  229. 229. Gz 2 / f I yds dM dx b τ   a Y d’où : et : Gz 2 / f I yds dx dM b τ   a Y
  230. 230. Par définition, W = ∫yds est le moment statique de la portion de section (S) d’ordonnée comprise entre Y et a/2. Elle est positif et son unité est le mm3. et T - dx dMf    a/2 Y ds y W finalement : Gz I b TW τ  
  231. 231. Exercice 1 Une poutre de longueur L, posée sur deux appuis O et A supporte une charge uniformément répartie q. 1) Déterminer les réactions aux appuis O et A. Donner les expressions de l’effort tranchant et du moment fléchissant le long de la poutre. Retrouver les équations différentielles d’équilibre. 2) Tracer les diagrammes T(x) et Mf(x). 3) Application numérique : q = 40 daNm-1et L = 4m.
  232. 232. y x O A  Oz q q est une force par unité de longueur (q= constante). La poutre repose sur un appui fixe au point x = 0 et sur un appuis mobile au point x = L.
  233. 233. Etudions l’équilibre global de la poutre.               0 dx xq L.R(A) 0 q.dx R(A) R(O) L 0 L 0 y x R(O) A  Oz q R(A) +
  234. 234. 2 qL R(A) R(O)    1) Calcul des réactions, T(x) et Mf(x)
  235. 235. Etudions maintenant l’équilibre d’un tronçon de poutre de longueur x. y x  z x q T(x) R(O)
  236. 236. qx R(O) T(x)    2 qL qx T(x)    Calcul de l’effort tranchant T(x)
  237. 237.  Calcul du moment fléchissant Mf(x) qx 2 x xR(O) (x) Mf    x 2 qL x 2 q (x) M 2 f  
  238. 238.            T dx (x) dM q dx dT f Les équations d'équilibres vérifiées par les efforts intérieurs appliquée sur une section droite sont : Remarque: Ces équations sont indépendantes des conditions aux limites ( conditions d’appuis ). 
  239. 239. 2) Diagrammes Tx 2 L L x -qL/2 qL/2 O Diagramme de l’effort tranchant
  240. 240. Diagramme du moment fléchissant Mf(x) 2 L L - qL2/8 O x │Mf maxi │= qL2/8
  241. 241. Remarques : La section correspondant à la valeur maximale du moment de flexion est appelée section dangereuse. L’effort tranchant T subit une discontinuité au niveau des appuis (lieu des forces concentrées).
  242. 242. 3) Application numérique q = 40 daNm-1 ; L = 4 m R(O)= R(A) T(x) Tmaxi Mf(x) Mfmaxi 800 en N - 400(x-2) en N 800 N 200 x(x-4) en Nm 800 Nm
  243. 243. Exercice 2 Une poutre de longueur L, posée sur deux appuis O et A supporte une charge localisée en son centre C. 1) Déterminer les réactions aux appuis O et A. Donner les expressions de l’effort tranchant et du moment fléchissant le long de la poutre. 2) Tracer les diagrammes T(x) et Mf(x). 3) Déterminer l’expression de la flèche maximale fc.
  244. 244. F O A i j  x k OA=L C T(x) O A i j  x k C R(O) R(A) x
  245. 245. 2 F R(A) R(O)    1) Calcul des réactions, T(x) et Mf(x) En tenant compte de la symétrie, on peut écrire : T(x) O A i j  x k C R(O) R(A) x
  246. 246. R(O) T(x)  2 F T(x)  Calcul de l’effort tranchant T(x) Soit M un point d’abscisse x : Zone OC (0 < x < L/2) Zone OC (0 < x < L/2) F - R(O) T(x)  2 F T(x)  
  247. 247. Calcul du moment fléchissant Mf(x) Soit M un point d’abscisse x : Zone OC (0 < x < L/2) Zone OC (0 < x < L/2) xR(O) (x) Mf   x 2 F (x) Mf   )F 2 L ( 2 F x (x) Mf     x 2 FL x 2 F (x) Mf  
  248. 248. 2) Diagrammes Diagramme de l’effort tranchant T(x) 2 L L x - F/2 F/2 O
  249. 249. Diagramme du moment fléchissant Mf(x) 2 L L - FL/4 O x │Mmaxi│= FL/4
  250. 250. 3) Calcul de la flèche maximale On sait qu’on un point M d’abscisse x situé dans la zone OC, le moment de flexion est donné par : x 2 F (x) Mf   L’équation différentielle de la déformée entre O et C est la suivante : f 2 2 Gz M dx y d EI   x 2 F dx y d EI 2 2 Gz  ou
  251. 251. L’équation différentielle devient : x dx y d F 2EI 2 2 Gz  Intégrons une première fois : 1 2 Gz 2 x dx dy F 2EI C  
  252. 252. En C milieu de la déformé, celle-ci possède une tangente horizontale x = 1/2 ; y’ = 0 entraine : 2 L C 2 1   donc : 2 L 2 x dx dy F 2EI 2 2 Gz  
  253. 253. Intégrons une deuxième fois : On peut calculer C2 car en O (x=0 ; y=0), ce qui entraine C2 = 0. 2 2 3 Gz C x 2 L 6 x y F 2EI    x) 2 L 6 x ( 2EI F y 2 3 Gz  
  254. 254. La flèche en C est donné pour x = L/2. Gz 3 48EI FL   C f fc en mm; F en N; L en mm; E en Nmm2 I en mm2.
  255. 255. Pr A. AKEF

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