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Conjunto números reales (Construcción de Cantor)

Un intento de explicación (sin formalizar) de qué motiva y en qué consiste la construcción del conjunto de los reales debida a Cantor.

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Construcción del conjunto R de los números reales Motivación de la construcción de Cantor (para algunos alumnos de bachillerato con inquietudes) Construcción de Cantor
Construcción del conjunto R de los números reales La profunda necesidad de expresar medidas de cantidades en términos de lo que nosotros quisiéramos llamar números nos obliga a extender el concepto de número de manera que podamos describir una graduación continua de las medidas.  Esta extensión es llamada el  continuo de los números  o el sistema de  números reales  (un nombre no descriptivo pero aceptado generalmente).
Construcción del conjunto R de los números reales La densidad de los puntos racionales garantiza que un punto arbitrario P en el eje numérico pueda ser localizado con el grado de precisión que deseemos utilizando puntos racionales. P El error  > 0 cometido al aproximar  P  por el racional  puede hacerse tan pequeño como se quiera
Construcción del conjunto R de los números reales En la realidad física las cantidades nunca se conocen con absoluta precisión, sino sólo con un grado de incertidumbre  Pueden ser consideradas como medidas mediante  números racionales .
Construcción del conjunto R de los números reales Sin embargo, desde época tan remota como la de los siglos V o VI a. C., los matemáticos y filósofos griegos hicieron un sorprendente y profundo  descubrimiento : Existen cantidades que no son  conmensurables  con una unidad dada (no pueden ser expresadas como múltiplos enteros de esa unidad).
Construcción del conjunto R de los números reales ¡¡su razón NO es un número racional!!

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Conjunto números reales (Construcción de Cantor)

  • 1. Construcción del conjunto R de los números reales Motivación de la construcción de Cantor (para algunos alumnos de bachillerato con inquietudes) Construcción de Cantor
  • 2. Construcción del conjunto R de los números reales La profunda necesidad de expresar medidas de cantidades en términos de lo que nosotros quisiéramos llamar números nos obliga a extender el concepto de número de manera que podamos describir una graduación continua de las medidas. Esta extensión es llamada el continuo de los números o el sistema de números reales (un nombre no descriptivo pero aceptado generalmente).
  • 3. Construcción del conjunto R de los números reales La densidad de los puntos racionales garantiza que un punto arbitrario P en el eje numérico pueda ser localizado con el grado de precisión que deseemos utilizando puntos racionales. P El error > 0 cometido al aproximar P por el racional puede hacerse tan pequeño como se quiera
  • 4. Construcción del conjunto R de los números reales En la realidad física las cantidades nunca se conocen con absoluta precisión, sino sólo con un grado de incertidumbre Pueden ser consideradas como medidas mediante números racionales .
  • 5. Construcción del conjunto R de los números reales Sin embargo, desde época tan remota como la de los siglos V o VI a. C., los matemáticos y filósofos griegos hicieron un sorprendente y profundo descubrimiento : Existen cantidades que no son conmensurables con una unidad dada (no pueden ser expresadas como múltiplos enteros de esa unidad).
  • 6. Construcción del conjunto R de los números reales ¡¡su razón NO es un número racional!!
  • 7. Construcción del conjunto R de los números reales Estos números se llaman irracionales A pesar de ello, cualquier estudiante ha razonado y operado con números que representan cantidades inconmensurables ( , , sen39º, log7, etc.) sin conocer, por tanto, el valor exacto.
  • 8. Construcción del conjunto R de los números reales Estos cálculos se aproximan de manera razonable a cálculos de un tipo ideal, concebibles pero no efectivamente realizables, debido a que sería necesario utilizar un número infinito de decimales. Esta aproximación garantiza su validez
  • 9. Construcción del conjunto R de los números reales Ilustración del procedimiento de inscribir polígonos regulares de 4, 8, 16, …, ,... lados para aproximar el valor de . Fue utilizado por Antiphon (siglo V a.C.) como intento de medir la longitud de la circunferencia Se trata, por ejemplo, de calcular un número irracional por medio de un algoritmo ( mediante el algoritmo de la raíz cuadrada, mediante el procedimiento de los polígonos regulares de lados, etc).
  • 10. Construcción del conjunto R de los números reales En cada etapa obtendremos un racional x i , con aproximaciones cada vez mejores del número x Los valores obtenidos diferirán cada vez menos entre sí, pudiendo hacer esta diferencia arbitrariamente pequeña a partir de cierta etapa: fijado un número racional se cumple
  • 11. Construcción del conjunto R de los números reales ¡¡Se dice que la sucesión de números racionales así obtenida cumple el criterio de Cauchy !!
  • 12. Construcción del conjunto R de los números reales No deberíamos ligar un número a una única sucesión Pero el mismo número x puede definirse a partir de diferentes algoritmos (por ejemplo, calculado por el sistema duodecimal; a partir del hexágono y de polígonos de lados), lo que conduciría a otras sucesiones
  • 13. Construcción del conjunto R de los números reales ¡¡Se necesita definir una relación de equivalencia entre las sucesiones!!
  • 14. Construcción del conjunto R de los números reales Si representamos en la recta real una sucesión de números racionales que cumple el criterio de Cauchy Es fácil imaginarse cómo van acumulándose los puntos en torno a un punto fijo, no necesariamente racional X P X q P
  • 15. Construcción del conjunto R de los números reales El método de Cantor consiste en definir una equivalencia entre las sucesiones cuyos puntos se acumulan en torno al mismo punto fijo y definir el número real como cada clase de equivalencia