1.
166
Operaciones con Expresiones Algebraicas
Multiplicación Algebraica
Productos Notables
Dentro del cálculo algebraico es frecuente la
transformación de una expresión algebraica en otras
equivalentes, cuando estas permiten algunas
reducciones o simplificaciones, estas
transformaciones reciben el nombre de operaciones
algebraicas, Así tenemos:
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Es la operación que consiste en sumar o restar
términos semejantes (Simplificación de términos
semejantes) y se procede de la siguiente manera:
1. Se suman algebraicamente los coeficientes
2. Se escribe la misma parte literal
Ejemplo:
Hallar RQP -+ si:
22
2
2
y9xy2x5R
7y3xy8Q
9xyx5P
+-=
++=
+-=
Concluimos que: 1669 2
+-=-+ yxyRQP
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Es la operación que consiste en hallar una expresión
denominada producto “P(x)”, a partir de otras dos
expresiones llamadas multiplicando “M(x)” y
multiplicador N(x)” ó simplemente factores; de modo
que:
)x(P)x(N)x(M =×
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:
Se Multiplican los signos, luego los coeficientes y por
último las partes literales utilizando la teoría de
exponentes.
Ejemplo: El producto de los monomios
zyx
2
3
A 43
-= y 332
zyx6B -= es:
475
zyx9AB =
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS:
Para multiplicar dos polinomios, tenemos dos
métodos:
a) Método Normal
b) Método de los coeficientes separados; que se
emplea por lo general para multiplicar polinomios de
una sola variable ó polinomios homogéneos con dos
variables.
Ejemplo:
1.- Después de efectuar el producto:
)4x3x2()6x7x4( 223
---+
Dar el menor coeficiente de dicho producto.
a) -37 b) -40 c) 2 d) 8 e) 24
solución:
En primer lugar se completan y se ordenan las
expresiones (de preferencia en forma descendente),
luego se multiplica cada término del multiplicador por
cada uno del multiplicando, así:
2418403728
2402816
1802112
120148
432
6074
2345
23
234
2345
2
23
++--+
++--
++--
-++
--
-++
xxxxx
xxx
xxxx
xxxx
xx
xxx
2.- Al multiplicar los polinomios:
2x5xx2)x(A 24
+-+=
523)( 23
+-= xxxB
se obtiene el polinomio producto con las siguientes
características:
1.- Su mayor coeficiente positivo es 16
2.- La suma de los coeficientes es -8
3.- El polinomio es completo
4.- El término independiente es 5
De las afirmaciones anteriores son verdaderas
solamente:
a) 2 y 4 b) 1 y 3 c) 3 y 4
d) 1, 2 y 3 e) 2, 3 y 4

2.
167
Solución:
Se multiplican los polinomios, usando el método de los
coeficientes separados así tenemos:.
10251167346
10255010
410204
615306
5023
25102
---
-
---
-
-
-
Luego 10x25xx16x7x3x4x6 234567
+-++-+-
Rpta: Alternativa b
Propiedades.-
1. El grado del polinomio producto, es igual a la
suma de los grados de los polinomios factores.
2. El término independiente del polinomio producto
es igual al producto de los términos
independientes de los factores.
Ejemplo 1. Se tienen los polinomios:
5x3x2)x(P 42
--=
7x3x)x(Q 2
+-=
3x2x5)x(R 3
+-=
Luego tenemos que:
Grado[P(x).Q(x).R(x)] = 4 + 2 + 3 = 9
Término independiente del producto es:
(T.I.) = (-5) (7) (3) = -105
Ejemplo 2:. El grado del polinomio:
)1x).....(1x)(1x)(1x()x(P 198996633 ++++= es:
a) 545 b) 330 c) 495 d) 726 e) 693
solución:
Grado de:
693
)6......321(33
198.....996633)x(P
=
+++=
++++=
PRODUCTOS NOTABLES
Son casos especiales que se presentan dentro de la
multiplicación algebraica, en los cuales se puede
obtener el producto en forma directa, sin necesidad
de efectuar la operación.
Principales productos notables:
1. CUADRADO DE UN BINOMIO (Se obtiene un
Trinomio cuadrado perfecto)
1.1) 222
bab2a)ba( ++=+
1.2) 222
bab2a)ba( +-=-
2. SUMA POR SU DIFERENCIA (Se obtiene
Diferencia de cuadrados)
2.1) 22
ba)ba()ba( -=-+
2.2) n2n2nnnn
ba)ba()ba( -=-+
3. CUADRADO DE UN TRINOMIO
3.1) cb2ca2ba2cba)cba( 2222
+++++=++
3.2) cb2ca2ba2cba)cba( 2222
--+++=-+
3.3) 22
)acb()cba( -+=--
4. CUBO DE UN BINOMIO
4.1) 32233
bba3ba3a)ba( +++=+
4.2) 32233
bba3ba3a)ba( -+-=-
Formas de Cauchy
4.3) )ba(ba3ba)ba( 333
+++=+
4.4) )ba(ba3ba)ba( 333
---=-
Casos Particulares:
)b3a(a2)ba()ba( 2233
+=-++
)ba3(b2)ba()ba( 2233
+=--+
6 6 2 2 2 2
( ) ( ) 4 (3 )(3 )a b a b ab a b b a+ - - = + +
Corolario: Identidades de Legendre
Recuerda que:
Todo trinomio de la forma
es cuadrado perfecto
si y sólo si :

3.
168
5. BINOMIO POR UN TRINOMIO (Se obtiene una
suma o diferencia de cubos)
5.1) 3322
ba)bbaa()ba( +=+-+
5.2) 3322
ba)bbaa()ba( -=++-
6. CUBO DE UN TRINOMIO :
6.1) Forma general:
3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
( ) 3 3 3 3 3 3 6a b c a b c a b a c b a b c c a c b abc+ + = + + + + + + + + +
6.2) Según Cauchy
3 3 3 3
( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 6a b c a b c ab a b bc b c ac a c abc+ + = + + + + + + + + +
6.3) Formas usuales:
)cb()ca()ba(3cba)cba( 3333
++++++=++
abc6)cba(2)cba)(cba(3)cba( 3332223
+++-++++=++
abc3)bcacab()cba(3cba)cba( 3333
-+++++++=++
7. PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO
COMÚN
7.1) bax)ba(x)bx()ax( 2
+++=++
7.2)
abcx)bcacab(x)cba(x)cx)(bx)(ax( 23
+++++++=+++
7.3)
3 2(x-a)(x-b)(x-c)=x -(a+b+c)x +(ab+bc+ca)x-abc
8. IDENTIDADES DE LAGRANGE
8.1) 222222
)bxay()byax()yx()ba( -++=++
8.2)Con tres incógnitas:
22
22222222
)()(
)()())((
cybzcxaz
bxayczbyaxzyxcba
-+-+
-+++=++++
9. IDENTIDAD DE ARGAND
n4n2m2m4n2nmm2n2nmm2
yyxx)yyxx()yyxx( ++=+-++
Formas particulares más usuales:
Si: m=1 , n=1
42242222
yyxx)yxyx()yxyx( ++=+-++
Si: m=1, n=0
1xx)1xx()1xx( 2422
++=+-++
10. EQUIVALENCIA DE GAUSS
)bcacbacba()cba(bca3cba 222333
---++++=-++
11. IDENTIDADES CONDICIONALES :
Si , se cumple que:
)cbcaba(2cba 222
++-=++
bca3cba 333
=++
)cba(2)cba( 4442222
++=++
4 4 4 2 2 2 2 2 2a +b +c =2 (a b +b c +c a )
4 4 4 2 2 2 2a + b + c = 1 /2 (a + b + c )
5 5 5a + b + c = -5 a b c (a b + b c + a c )
2 2 2 3 3 3 5 5 5
2 3 5
æ öæ ö+ + + + + +
ç ÷ç ÷=
ç ÷ç ÷
è øè ø
a b c a b c a b c
2 2 2 5 5 5 7 7 7
2 5 7
æ öæ ö+ + + + + +
ç ÷ç ÷=
ç ÷ç ÷
è øè ø
a b c a b c a b c
12. EQUIVALENCIAS:
Ø Si
entonces
Ø Si
entonces
Ø Si:
1
x+ =m
x
entonces se cumple que:
12 2x + =m -2
2x
13 3x + =m -3m
3x
 
214 2x + = m -2 2
4x

1
3 2
Ø Si ⋯ 0
⇒ ⋯ 0
Ø Si √ √ ⋯ √ 0
⟹ ⋯ 0
IDENTIDADES ESPECIALES:
a + b + c = 0
a = b = c
a = b = c o a + b + c =0

4.
169
v
v
v
( )( )( ) ( )( )bcacabcbaabccbcaba ++++=++++
13. FORMAS POTENCIALES DE: n na +b
= + -22 2a + b ( ) 2a b ab
= + - +33 3a + b ( ) 3 ( )a b ab a b
= + - + +4 2 24 4a + b ( ) 4 ( ) 2( )a b ab a b ab
= + - + + +5 3 25 5a + b ( ) 5 ( ) 5( ) ( )a b ab a b ab a b
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar el valor numérico de:
246
x9x6x)x(E +-= para
33
6767x ++-=
a) 28 b) 14 c) 12
d) 18 e) 16
Solución
Elevando al cubo ambos miembros de:
33
6767x ++-= se tiene:
xx 367673
+++-= , entonces
7233
=- xx , luego elevando al cuadrado esta
expresión:
223
)72()x3x( =- , de donde se deduce que:
28x9x6x 246
=+-
Rpta: a) 28
2. Si +
ÂÎ=÷
ø
ö
ç
è
æ
+÷
ø
ö
ç
è
æ
ba
a
b
b
a
nn
,7254 el
valor de 3
nn
nn
ba
b2a
E
+
= es:
a) 2 b) 4 c) 3 d) 1 e) 8
Solución Efectuando en el dato se obtiene:
nnnn
baba 725)2()( 22
=+
Completando cuadrados se tiene:
2
( 2 ) 729n n n n
a b a b+ = , de donde:
( 2 ) 27n n n n
a b a b+ =
Luego:
3
3
2
27 3
n n
n n
a b
a b
+
= =
Respuesta: c) 3
3.-Considerando:
3 3
2 2 3
100 10 1
10 1
ab
a b
= - +
+ = +
Obtener:
4 4
( ) ( )a b a b+ - -
a) 1000 b) 88 c) 64 d) 168 e) 99
Solución Se sabe que:
4 4 2 2
( ) ( ) 8 ( )a b a b ab a b+ - - = + , de donde se
tiene que:
Respuesta: b) 88
4.-Conociendo que:
2 2
8
6
5
ax by
ay bx
a b
+ =
- =
+ =
Calcule:
2 2
x y+
a) 16 b) 18 c) 20 d) 24 e) 25
Solución De la identidad:
2 2 2 2 2 2
( )( ) ( ) ( )a b x y ax by ay bx+ + = + + - , se
tiene que:
2 2
2 2 8 6
5
20
x y
+
+ =
=
Respuesta: c) 20
4 4 3 3 3
( ) ( ) 8( 10 1)( 100 10 1)
8(11)
88
a b a b+ - + = + - +
=
=

5.
170
5.-Si:
6 3
2 1a a= +
Evaluar:
2 2 2
( 2 1)( 1)M a a a a= - + + +
a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -2
Solución Simplificando la expresión M , resulta:
2 2 2
3 2
( 1) ( 1)
( 1)
M a a a
a
= - + +
= -
Del dato se obtiene:
6 3
3 2
2 1 2
( 1) 2
trinomio
M
a a
a
- + =
- =
14243
14243
Luego, 2M =
Respuesta: b) 2
6.-Si:
2 2
( ) 420
( )( ) 888
ab a b
a b a b
+ =
+ + =
Obtener el valor de:
2
( )
a b
N
a b
+
=
-
a) 1 b) 25 c) 36 d) 49 e) 64
Solución
Efectuando en N se tiene:
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
a b ab
N
a b ab
a b
ab
a b
ab
+ +
=
+ -
+
+
=
+
-
Del dato si dividimos la segunda parte entre la
primera resulta:
2 2
888 222
420 105
a b
ab
+
= =
Luego
222
2
105 36
222
2
105
N
+
= =
-
Respuesta: c) 36
7.- Si
3
3a b+ = y
3
2a b- = el valor de
2 2 2 2
4 ( 3 )( 3 )E ab a b b a= + + es.
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
Solución:
2 2 2 2
4 ( 3 )( 3 )E ab a b b a= + +
Observa la propiedad y reemplaza:
6 6 2 2 2 2(a + b) - (a - b) = 4ab(3a + b )(a + 3b )
6 6(a + b) - (a - b)E =
6 633( 3) - ( 2)E =
9 - 4=5E =
Respuesta: a)
8.- La simplificación de
( )( )( )( )( )4 2 6 3 6 3
a+1 a-1 a +a +1 a -a +1 a +a +1
E=
9
a +1
es.
a) a3
-1 b) a6
-1 c) a9
-1
d) a9
+ 1 e) a6
+ 1
Solución:
( )( )( )( )2 4 2 6 3 6 3
a -1 a +a +1 a -a +1 a +a +1
E=
9
a +1
( )( )( )6 6 3 6 3
a -1 a -a +1 a +a +1
E=
9
a +1
( )( )6 12 6
a -1 a +a +1
E=
9
a +1
( )( )9 918 a +1 a -1
-
9a +1
a -1 9
E= a 1
9
a +1
= =