ESCOLA DE COMUNICAÇÃO, ARTES E TECNOLOGIAS
DE INFORMAÇÃO
Licenciatura em Engenharia Informática
Processamento de Sinal e Sinais e Sistemas
Colectânea de Exercícios Resolvidos
Prof. Doutor João Canto(
1)
Prof. Doutor Marko Beko(
1)
Janeiro de 2012

3
Prefácio
1
Este documento destina-se a alunos do curso de Engenharia Informática da Escola de
Comunicação, Arquitectura, Artes e Tecnologias de Informação, da ULHT, mais
concretamente, àqueles que frequentam as disciplinas de Processamento de Sinal e de
Sinais e Sistemas, respectivamente leccionadas no segundo semestre do primeiro ano e
no primeiro semestre do segundo ano. Os exercícios que constam desta colectânea, são
retirados dos livros que constituem a bibliografia da cadeira, e serão doravante referidos
como: (i) I. M. G. Lourtie, Sinais e Sistemas, 2ed, Escolar Editora, Lisboa, 2007: IML;
(ii) H. P. Hsu, Signals and Systems, McGraw-Hill, 1995: Hsu. Pontualmente, serão
também aqui recordados alguns exemplos, previamente apresentados nos acetatos das
aulas teóricas (doravante definidos como AT).
Este texto representa a primeira edição, da componente de exercícios resolvidos,
da sebenta que engloba a matéria das cadeiras de sinais. Sendo assim pedimos desculpa
por eventuais incorrecções e agradecemos o vosso feedback. Doravante, a designação
 x n representa um sinal definido em instantes de tempo discretos (onde n pertence ao
conjunto dos números inteiros), e  x t um sinal definido no tempo contínuo (onde t
pertence ao conjunto dos números reais).
Não obstante, este documento representa apenas um conjunto de alguns
exercícios resolvidos, sobre tópicos considerados fundamentais. Não poderá nunca
substituir a frequência das aulas teórico-práticas e prático-laboratoriais, bem
como o estudo dos livros referenciados na bibliografia.
1
Os autores são doutorados em Engenharia Electrotécnica e de Computadores pelo Instituto Superior
Técnico

4

5
Índice
Prefácio .......................................................................................................................... 3
Índice............................................................................................................................... 5
Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Discretos............................. 11
(IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintes sinais discretos.Problema 1.1.
.................................................................................................................................... 11
(HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dos seguintesProblema 1.2.
sinais........................................................................................................................... 14
(IML 1.16) Considere dois sinais discretos,  x n e  y n , tais que... 17Problema 1.3.
(HSU 1.23) O sinal discreto  x n está desenhado na Figura 1.5.Problema 1.4.
Represente cada um dos seguintes sinais. .................................................................. 21
(HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos.Problema 1.5.
Caso sejam calcule o período. .................................................................................... 24
(HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos.Problema 1.6.
Caso sejam calcule o período. .................................................................................... 25
(IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes são periódicos.Problema 1.7.
Para os sinais periódicos indique o período fundamental. ......................................... 26
(IML 1.23a,d,h,i) Um sistema discreto pode ser classificado segundoProblema 1.8.
as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4)
Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade......................................................... 29
Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Caso sejamProblema 1.9.
calcule o seu período. ................................................................................................. 34
(IML 1.23b,k) Um sistema discreto pode ser classificado segundo asProblema 1.10.
seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4)
Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade......................................................... 36
Capítulo 2. Representação no Domínio do Tempo para Sistemas LIT Discretos... 39
(HSU 2.30) Avalie      y n h n x n  , onde  x n e  h n estãoProblema 2.1.
representados na Figura 2., usando: a) Uma soma ponderada de impulsos unitários; b)
A expressão para a soma de convolução. ................................................................... 39
(HSU 2.28) Considere o SLIT com resposta impulsionalProblema 2.2.
   n
h n u n para 0 1  e o sinal de entrada    x n u n . Determine a
resposta do sistema através de: (a)      y n x n h n  ; (b)      y n h n x n  ..... 45
(HSU 2.32) A resposta ao escalão unitário, de um determinado sistemaProblema 2.3.
LIT é dada por:    n
uy n u n para 0 1  . Determine a resposta impulsional do
sistema. ....................................................................................................................... 50
(HSU 2.38) Considere um sistema LIT com a seguinte respostaProblema 2.4.
impulsional:    n
h n u n . Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b)
Estabilidade. ............................................................................................................... 51

6
(HSU 2.56) A resposta impulsional de um sistema LIT é dada por:Problema 2.5.
     1 2
n
h n u n . Calcule  1y e  4y para o sinal de entrada
     2 3x n n n    ............................................................................................ 53
(IML 2.25) Considere um sistema LIT com a seguinte respostaProblema 2.6.
impulsional:    2 4n
h n u n  . Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b)
Estabilidade; c) Determine ainda a saída para o sinal de entrada
     2 4 1x n n n    . ......................................................................................... 54
(IML 2.26) Considere um sistema LIT cuja resposta ao escalão unitárioProblema 2.7.
é dada por: .................................................................................................................. 56
Capítulo 3. Transformada Z........................................................................................ 59
(HSU 4.10) Calcule a transformada do Z dos sinais: a)    x n u n  ;Problema 3.1.
b)    x n n . ......................................................................................................... 59
(AT Ex. 4, Cap. 3) Calcule a transformada do Z do sinalProblema 3.2.
   0j n
x n e u n
 . Encontre também os pólos, zeros e a região de convergência...... 63
(AT Ex. 5, Cap. 3) Discuta a existência da transformada Z do seguinteProblema 3.3.
sinal   n
x n  ........................................................................................................... 65
(AT Ex. 7, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de........................ 66Problema 3.4.
(AT Ex. 8, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de........................ 71Problema 3.5.
(HSU 4.19a) Calcule a transformada inversa de................................. 75Problema 3.6.
(HSU 4.32) Um sistema LIT causal é descrito por ............................. 77Problema 3.7.
(HSU 4.38a) Considerando o sistema LIT causal descrito por........... 81Problema 3.8.
(HSU 4.38b) Considerando o sistema LIT causal descrito por........... 84Problema 3.9.
(HSU 4.58) Considerando o sistema LIT causal descrito por........... 86Problema 3.10.
(HSU 4.59a) Considerando o sistema LIT causal descrito por......... 88Problema 3.11.
(HSU 4.59b) Considerando o sistema LIT causal descrito por......... 90Problema 3.12.
(HSU 4.60) Determine o valor final e o valor inicial de  x n paraProblema 3.13.
cada uma das funções de transferência e o ganho estático do sistema:...................... 93
(AT Ex. 15) Encontre a resposta completa quando a equação àsProblema 3.14.
diferenças.................................................................................................................... 95
Capítulo 4. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Contínuos........................... 97
Seja...................................................................................................... 97Problema 4.1.
Seja...................................................................................................... 98Problema 4.2.
Seja...................................................................................................... 99Problema 4.3.
Sejam................................................................................................. 100Problema 4.4.
Sabe-se que........................................................................................ 103Problema 4.5.
(IML 1.2d) Considere o sinal representado na Figura 4.5. ............... 104Problema 4.6.

7
(IML 1.3a) Considere os sinais contínuos representados na Figura 4.7.Problema 4.7.
Escreva a expressão que os relaciona....................................................................... 105
(IML 1.6a) Esboce graficamente as componentes par e ímpar do sinalProblema 4.8.
representado na Figura 4.8. ...................................................................................... 106
(IML 1.7) Sejam dois sinais contínuos relacionados por.................. 108Problema 4.9.
(IML 1.9) Seja  x t um sinal contínuo considere-se..................... 109Problema 4.10.
(IML 1.11a,f) Determine quais dos seguintes sinais são periódicos.Problema 4.11.
Para os sinais periódicos determine o período fundamental. ................................... 111
(IML 1.12) Determine o período fundamental de........................... 112Problema 4.12.
(IML 1.13) Seja............................................................................... 113Problema 4.13.
(IML 1.14) Considere os sinais contínuos: ..................................... 114Problema 4.14.
(IML 1.18) Esboce graficamente os seguintes sinais contínuos: .... 117Problema 4.15.
(IML 1.20a,b,g) Exprima analiticamente os sinais representados .. 120Problema 4.16.
(IML 1.22c,k) Um sistema contínuo pode classificar-se como: ..... 123Problema 4.17.
Capítulo 5. Representação no Domínio do Tempo de Sistemas LIT Contínuos... 127
(IML 2.4) Considere um sistema LIT, cuja resposta impulsional é dadaProblema 5.1.
por............................................................................................................................. 127
(AT Ex. 1, Cap. 2) Considere o seguinte circuito RLC .................... 130Problema 5.2.
(HSU 2.5) Considere um sistema LIT, cuja resposta impulsional é dadaProblema 5.3.
por............................................................................................................................. 133
(IML 2.13) Considere o seguinte sistema ......................................... 136Problema 5.4.
(IML 2.19) Seja................................................................................. 139Problema 5.5.
Capítulo 6. Transformada de Laplace...................................................................... 141
(AT Ex. 2, Cap. 3) Determinar a transformada de Laplace do sinal:Problema 6.1.
   eat
x t u t   ....................................................................................................... 141
Determine a transformada de Laplace do sinal ................................. 147Problema 6.2.
(AT Ex. 2, Cap. 3) Determine a transformada de Laplace do sinal:Problema 6.3.
   0j t
x t e u t
 ......................................................................................................... 148
(HSU 3.5c) Determine a transformada de Laplace do sinal:Problema 6.4.
     2 3t t
x t e u t e u t
   ......................................................................................... 149
(IML 3.2a,b,d) Determine a função no tempo,  x t , cuja transformadaProblema 6.5.
de Laplace é:............................................................................................................. 150
(IML 3.3a,d) Seja .............................................................................. 154Problema 6.6.
(IML 3.7a,b) A Figura 6.4 representa o mapa pólos/ zeros da função deProblema 6.7.
transferência de um SLIT. ........................................................................................ 155
(IML 3.14) Considere o SLIT causal cujo mapa pólos/zeros seProblema 6.8.
representa na Figura 6.5 . ......................................................................................... 158

8
(IML 3.8) Classifique quanto à estabilidade e à causalidade os SLITsProblema 6.9.
cujo mapa palas/zeros se representam na Figura 6.6. Justifique a resposta............. 162
(HSU 3.38) Resolva a seguinte equação diferencial de segunda ordemProblema 6.10.
.................................................................................................................................. 164
(IML 3.10) Seja............................................................................... 166Problema 6.11.
(IML 3.18) Considere o sistema causal descrito pela equaçãoProblema 6.12.
diferencial de coeficientes constantes....................................................................... 170
Capítulo 7. Transformada de Fourier ...................................................................... 177
(IML 3.26) Determine a transformada de Fourier de cada uma dasProblema 7.1.
seguintes funções no tempo:..................................................................................... 177
Encontre  x t , sabendo que.............................................................. 183Problema 7.2.
Determine uma representação em séries de Fourier para os seguintesProblema 7.3.
sinais......................................................................................................................... 185
Calcular  x t sabendo que ............................................................... 189Problema 7.4.
(IML 3.31) Considere o sinal  x t cujo espectro de frequência estáProblema 7.5.
representado na Figura 7.3 ....................................................................................... 191
(IML 3.32) Sejam  x t e  y t , respectivamente, os sinais de entradaProblema 7.6.
e de saída de um sistema contínuo, cujas transformadas de Fourier se relacionam pela
seguinte equação:...................................................................................................... 193
(IML 3.33) Considere o sistema cuja resposta de frequência é ........ 194Problema 7.7.
(IML 3.34) Seja................................................................................. 195Problema 7.8.
Anexo A. Fundamentos Matemáticos....................................................................... 197
A.1. (IML Anexo A) Noções de trigonometria ........................................................ 197
A.2. (IML Anexo A) Definição de número complexo. ............................................ 199
A.3. (IML Anexo A) Prova de relações trigonométricas ......................................... 202
A.4. (IML Anexo A) Séries Geométricas................................................................. 203
A.5. Expresse os seguintes números complexos na forma cartesiana e determine o seu
módulo, inverso e conjugado.................................................................................... 205
A.6. Expresse os seguintes números complexos na forma polar, determine o seu
módulo, inverso e conjugado, e represente-o no plano complexo............................ 208
A.7. Expresse os seguintes números complexos na forma cartesiana...................... 211
A.8. Determine as soluções das seguintes equações. ............................................... 213
A.9. Calcule as seguintes expressões........................................................................ 215
A.10. Mostre que as seguintes expressões são verdadeiras...................................... 218
Anexo B. Fundamentos Matemáticos: Parte 2......................................................... 219
B.1. Integrais. Mostre que as seguintes expressões são verdadeiras. ....................... 219
B.2. Expanda em fracções simples as seguintes funções racionais.......................... 223
Anexo C. Testes Resolvidos ....................................................................................... 227

9
C.1. Processamento de Sinal: Teste 1....................................................................... 227
C.2. Processamento de Sinal: Teste 2....................................................................... 237
C.3. Sinais e Sistemas: Teste 1................................................................................. 243
C.4. Sinais e Sistemas: Teste 2................................................................................. 250
Anexo D. Formulários................................................................................................ 259
D.1. Formulário para processamento de sinal. ......................................................... 259
D.2. Formulário para sinais e sistemas..................................................................... 263

10

11
Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais
Discretos
(IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintesProblema 1.1.
sinais discretos.
Para avaliar a paridade de um determinado sinal, é necessário considerar as definições
respectivas dos sinais pares e ímpares
   x n x n  , (1.1)
   x n x n   . (1.2)
a)  
1
; 0
0 ; 0
n
x n n
n


 
 
Para avaliar a paridade de a), é necessário verificar se respeita as definições (1.1) – (1.2)
, ou seja, é necessário calcular  x n e verificar se este se relaciona com  x n , através
de uma relação de paridade. Directamente da definição de  x n e (1.2) obtém-se
   
1
; 0
0 ; 0
n
x n x nn
n

 
   
 
. (1.3)
O sinal é ímpar porque respeita a condição (1.2), como pode ser observado pela Figura
1.1a.
b)  
2
1 ; 02
3
; 0
0
n
n
x n
n
         

Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se

12
 
 
 
2 2
11 ; 0 ; 022
33
; 0 ; 0
00
nn
n n
x n x n
n n
                    

. (1.4)
O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1b.
c)  
 3 1 ; 0
; 00
n n
x n
n
 
 

Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se
 
 3 1 ; 0
; 00
n n
x n
n
  
  

. (1.5)
O sinal não é par nem ímpar porque não verifica nenhuma das condições de paridade,
como pode ser observado pela Figura 1.1c.
d)  
  ; 04 1
; 00
n
n
x n
n
 
 

Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se
 
     
 
1
4; 0 ; 0 ; 04 1 4 1
1
; 0 ; 0 ; 00 0
0
n n
nn n n
x n x n
n n n
 
      
      
    

. (1.6)
O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1d.

13
Figura 1.1. Representação de  x n .
 a  b
 c  d

14
(HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dosProblema 1.2.
seguintes sinais.
Para obter as componentes par e ímpar de um determinado sinal, é necessário
considerar as seguintes definições
     
1
2
px n x n x n     , (1.7)
     
1
2
ix n x n x n     , (1.8)
que correspondem respectivamente às componentes par e ímpar de um sinal. Estas
relações podem ser facilmente demonstradas através dos seguintes passos
           
1 1
2 2
p px n x n x n x n x n x n              , (1.9)
               
1 1 1
2 2 2
i ix n x n x n x n x n x n x n x n                        . (1.10)
c)    0 2j n
x n e  

O primeiro passo na resolução é a aplicação da fórmula de Euler, que resulta em
   0 2
0 0cos sin
2 2
j n
x n e n j n
       
         
   
. (1.11)
Através do círculo trigonométrico é possível identificar
 cos sin
2
x x
 
   
 
,  sin cos
2
x x
 
  
 
, (1.12)
que aplicado em (A.67) permite obter
     0 0sin cosx n n j n     . (1.13)
A partir deste ponto, é possível resolver o problema de duas formas distintas:
i) Por inspecção: Sabendo que a função seno é ímpar, e a função co-seno é par, é
possível afirmar que (1.13) já se encontra escrita na forma

15
     i px n x n x n  , (1.14)
onde
   0sinix n n   , (1.15)
   0cospx n j n  , (1.16)
são respectivamente as componentes ímpar e par do sinal.
ii) Pela definição (1.7) podemos então obter
       0 0 0 0
1
sin cos sin cos
2
px n j n n j n             . (1.17)
Finalmente, considerando o resultado sobre a paridade das funções seno e co-seno
   cos cosx x  ,    sin sinx x   , (1.18)
facilmente se chega a
         0 0 0 0 0
1
sin cos sin cos cos
2
px n j n n j n j n             . (1.19)
Analogamente, para a componente ímpar, utilizando as definições (1.8) e (1.18) chega-
se a
       
         
0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
sin cos sin cos
2
1
sin cos sin cos sin
2
ix n j n n j n
n j n n j n n
             
             
. (1.20)
A representação gráfica dos sinais pode ser observada na Figura 1.2

16
Figura 1.2. Representação de  x n .

17
(IML 1.16) Considere dois sinais discretos,  x n e  y n ,Problema 1.3.
tais que
   2 3y n x n  . (1.21)
Um sinal discreto diz-se periódico, quando existe um inteiro 0N  , tal que respeita a
condição
   x n x n N  , n  . (1.22)
O período fundamental 0N define-se como o menor inteiro positivo que verifica (1.22).
Qualquer inteiro positivo e múltiplo de 0N é também um período de  x n .
Pode ainda ser demonstrado que, para um sinal do tipo  0sin n ,  0cos n
ou  0j n
e

, onde 0 é a frequência fundamental, e 2M  , seja periódico, é
necessário que se verifique
0
M

 , (1.23)
onde é o conjunto dos números racionais.
a) Se  x n é par logo  y n é par?
Para averiguar a veracidade de a), é necessário verificar se (1.21) cumpre (1.7). Uma
vez que
     2 3y n x n y n     , (1.24)
e sendo que  x n é par vem ainda
       2 3 2 3 2 3x n x n y n x n       , (1.25)
pelo que a) é falso. Note-se que, um deslocamento, tipicamente, altera a paridade do
sinal. No entanto, se  x n for periódico, de período 0 1,2,3,6N  , tem-se que

18
     2 3 2 3x n x n y n    , ou seja, a paridade do sinal seria mantida e  y n seria
par.
b) Se  x n é periódico logo  y n também o é? Se sim calcule o período de  y n .
(i) Resolução intuitiva
Por observação de (1.21) verifica-se que estão patentes duas operações: (a) Uma
mudança de escala temporal, correspondente ao termo 2n ; (b) Um deslocamento
temporal, correspondente ao termo 3 . Note-se que, uma mudança de escala altera o
período de um sinal, enquanto que, um deslocamento não. Represente-se o sinal
periódico  x n , de período 0N , na forma
  0 0 0 0 0
0 1 2 0 1 0
0 1 2 ... 1 1 ... 2 1 2
... ...k k
n N N N N N
x n
x x x x x x x x
   
 . (1.26)
Torna-se então necessário separar os casos em que 0N é par ou ímpar. Quando 0N é
par tem-se que
         
0
0
0 2 4 0
0 1 2 ... 2
2 0 2 4 ...
...
n N
x n x x x x N
x x x x

 , (1.27)
logo o período de  2x n é dado por 0 2N N . Uma vez que a próxima operação, o
deslocamento, não altera a periodicidade, o período de  y n é 0 2yN N . Para o caso
em que 0N é ímpar, 0 2N N não é inteiro, pelo que não pode ser um período de
 y n . Para este caso, tem-se que
               
0 0 0
0
0 0 0 0
0 2 4 1 3 0
1 1 3
0 1 2 ... ...
2 2 2
2 0 2 4 ... 1 1 3 ... 2
... ...k
N N N
n N
x n x x x x N x N x N x N
x x x x x x x
  

    ,(1.28)

19
logo o período de  2x n é dado por 0N N . Novamente, o deslocamento não altera a
periodicidade, e o período de  y n é 0yN N . Ambas as componentes e a sua
periodicidade podem ser observadas na Figura 1.3 e Figura 1.4.
(ii) Resolução pela definição
Aplicando (1.22) à definição do sinal, resulta imediatamente que
n  ,    yy n N y n  . (1.29)
Desenvolvendo (1.29), esta ainda pode ser reescrita como
n  ,       2 3 2 2 3 2 3y yx n N x n N x n       . (1.30)
Para que esta tenha solução, é necessário que
0
02
2
y y
N
N mN N m   , m  , (1.31)
onde 0N é o período fundamental de  x n . O período fundamental de  y n é então o
menor inteiro positivo que cumpre (1.31), o que corresponde a
0
0
0 0
1 , par
2
2 , ímpar
y
N
m N
N
m N N

 
 
  
. (1.32)
Note-se que, uma vez que o período tem de ser um inteiro positivo, apenas no caso em
que 0N é par é que 0 2yN N é inteiro. Para o caso em que 0N é ímpar apenas se
poderá ter 0yN N .

20
Figura 1.3. Representação do caso 0N par.
Figura 1.4. Representação do caso 0N ímpar.

21
(HSU 1.23) O sinal discreto  x n está desenhado naProblema 1.4.
Figura 1.5. Represente cada um dos seguintes sinais.
A representação de  x n e  u n pode ser observada na Figura 1.5.
Figura 1.5. Representação de  x n .
a)    1x n u n
Para calcular este resultado, comece-se por identificar que ao sinal escalão unitário, se
aplicaram duas operações: (i) Inversão; (ii) Deslocamento. Pelo que, partindo da
definição analítica do escalão unitário, e aplicando sucessivamente as operações
referidas, é possível chegar a
     ( ) ( )
1 ; 0 1 ; 0 1 ; 1
1
0 ; 0 0 ; 0 0 ; 1i ii
n n n
u n u n u n
n n n
    
        
    
. (1.33)
Este sinal está representado na Figura 1.6. Efectuando finalmente a multiplicação, ponto
por ponto, dos dois sinais chega-se ao resultado também apresentado na Figura 1.6.
Figura 1.6. Representação de    1x n u n .

22
b)      2x n u n u n   
Para o primeiro membro da soma, pode então identificar-se uma operação de
deslocamento, pelo que, se obtém a partir da definição de escalão unitário que
   
1 ; 0 1 ; 2
2
0 ; 0 0 ; 2
n n
u n u n
n n
   
    
   
. (1.34)
Efectuando a operação de subtracção vem que
   
1 ; 2 1
2
0 ; outros
n
u n u n
   
   

. (1.35)
Multiplicando os sinais ponto por ponto chega-se ao resultado da Figura 1.7.
Figura 1.7. Representação de    1x n u n .
c)    1x n n 
Para este caso, pode também identificar-se uma operação de deslocamento, pelo que, se
obtém a partir da definição de impulso unitário que
   
1 ; 0 1 ; 1
1
0 ; 0 0 ; 1
n n
n n
n n
 
  
    
  
. (1.36)
Multiplicando os sinais ponto por ponto chega-se ao resultado da Figura 1.8.

23
Figura 1.8. Representação de    1x n u n .

24
(HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou nãoProblema 1.5.
periódicos. Caso sejam calcule o período.
a)    4j n
x n e 

Para que  x n seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). Substituindo
substituir n por n N em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação
 
4 4
j n N j n
e e
    
   
   
 . (1.37)
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.37) chega-se a
4 4 4
j n N j n
e e
     
   
   
 . (1.38)
Para que  x n seja periódico, (1.38) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a
seguinte condição:
2 8
4
N m N m

   , m  . (1.39)
Atribuindo valores a m , obtém-se o menor inteiro positivo que verifica (1.39),
01 8m N   . (1.40)
onde 0 8N  é o período fundamental. Uma vez que (1.39) tem solução, e  x n é uma
função exponencial complexa, a condição (1.23) é verificada
0 14
2 8 8
1
M


 

    . (1.41)

25
(HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ouProblema 1.6.
não periódicos. Caso sejam calcule o período.
a)   4
n
j
x n e
 
 
 

Novamente, para que  x n seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22).
Substituindo substituir n por n N em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação
4 4
n N n
j j
e e
 
   
    
   
 (1.42)
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.42), chega-se a
4 4 4
n N n
j j
e e
    
     
   
 (1.43)
Para que  x n seja periódico, (1.43) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a
condição:
2 8
4
N
m N m    , m  . (1.44)
Uma vez que  é irracional, qualquer múltiplo deste também será irracional, sendo
impossível obter um período inteiro. Note-se ainda que, como (1.44) não tem solução, e
 x n é uma função exponencial complexa, a condição (1.23) não é verificada
0
1
14
2 8
1
M  

   . (1.45)

26
(IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes sãoProblema 1.7.
periódicos. Para os sinais periódicos indique o período fundamental.
b)   sin 5 2
4
x n n
 
  
 
Note-se que, uma translação no tempo não afecta o período de um sinal, mas, uma
mudança de escala sim. Uma vez que, o período fundamental da função seno é 2M 
, verifique-se se após a mudança de escala, o sinal continua a ser periódico. Para
calcular o período fundamental, substitua-se n por n N em b), e aplique-se (1.22) à
definição do sinal obtendo a equação
 sin 5 2 sin 5 2
4 4
n N n
    
      
   
. (1.46)
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.46), chega-se a
sin 5 2 5 sin 5 2
4 4 4
n N n
     
      
   
. (1.47)
Para que  x n seja periódico, (1.47) tem de ter solução. Então, os argumentos das
funções seno têm de estar relacionados, através de um múltiplo do período fundamental
da função seno ( 2M  ):
8
5 5 2
4 4 5
N mM N m N m
 
     , m  . (1.48)
O menor número inteiro que verifique (1.48) é então o período fundamental, que neste
caso, corresponde a 5m  que resulta em 0 8N  . Novamente, uma vez que (1.39) tem
solução, e  x n é uma função seno, a condição (1.23) é verificada
0
5 5 54
2 8 8
1
M


 

    . (1.49)
c)  
1
cos
2
x n n
 
  
 

27
Para calcular o período fundamental, substitua-se n por n N em c), e aplique-se
(1.22) à definição do sinal, obtendo a equação
 
1 1
cos cos
2 2
n N n
   
    
   
. (1.50)
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.50), chega-se a
1 1 1
cos cos
2 2 2
n N n
   
    
   
. (1.51)
Para que  x n seja periódico, (1.51) tem de ter solução. Então, os argumentos das
funções co-seno têm de estar relacionados através de um múltiplo do período
fundamental da função co-seno ( 2M  ):
1
2 4
2
N m N m    , m  . (1.52)
Uma vez que  é irracional, qualquer múltiplo deste também será irracional,