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FUNCIONES  LINEALES
Cuando recibís la factura de tu celular, podés ver que el abono que pagás a fin de mes está formado por un valor fijo y otro variable que depende de la cantidad de minutos que hablaste. Con esta información podemos encontrar la relación entre los minutos que hablamos  y el costo a pagar. C fijos = $18 C variables = $0,20 cada minuto
En primer lugar debemos ponernos de acuerdo sobre cuáles son las variables . t : es la letra con la que identificaremos el tiempo que vamos a hablar, es decir, la cantidad de minutos que usaremos el teléfono. El costo, por supuesto, depende  del tiempo que hablamos. EL COSTO DEPENDE DEL TIEMPO
Es por esto que el costo es la variable dependiente Y el tiempo es la variable independiente. Veamos algunos  casos en particular: Si t = 42 minutos C = $0,20•42 +$18  C =  $8,4+$18  C = $26,40 Si t = 50 minutos  C = $0,20•50+$18  C = $10+$18  C = $28 Si t = 120 minutos  C = $0,20•120+$18  C =$24 +$18  C =  $42
Generalizando: Costo  C= 0,20.t +18 (donde  t  son los minutos hablados) Esto que acabamos de encontrar es la fórmula matemática para relacionar tiempo con costo en nuestra factura telefónica.
La característica particular que tienen las funciones lineales es que a variaciones iguales de  x , corresponde siempre la misma variación en  y . Cada vez que  x  aumenta  1 y  aumenta  2 -2 1 2 -1 0 6 4 2 8 x y
1 2 3 Veamos otros ejemplos: Si  x  aumenta 1,  y  disminuye 1  y x  aumenta de 1 a 2 x  aumenta de 2 a 3 y  disminuye de 4 a 3 y  disminuye de 3 a 2 x 3 4 2 Es función lineal
9 1 4 1 2 3 Δ  y  =  1  = 1  Si x aumenta de 0 a 1 Δ  x   1  y aumenta de 0 a 1 Como puede verse  Δ  y   no es constante Δ  x Δ  y  =  3  = 3  Si x aumenta de 1 a 2 Δ  x   1  y aumenta de 1 a 4 Δ  y  =  5  = 5  Si x aumenta de 2 a 3 Δ  x   1  y aumenta de 4 a 9 x y No es función lineal
Se llama función lineal a la relación entre variables tal que su expresión sea: Dónde  m : pendiente b : ordenada al origen y = m x + b
¿Qué es la pendiente? m =  Δ  y  variación en y  Δ  x  variación en x  A B C D ∆ y Siendo  Δ y = y B  – y A = y  D  – y  C Δ x = x B  – x A = x  D  – x  C ∆ x ∆ y ∆ x x y Es la relación: En la función lineal la relación entre ∆y/∆x es siempre la misma para cada recta
En las funciones lineales existe una relación entre la variación de la variable independiente  x   y la variable dependiente  y , que se mantiene constante. A esa relación se la llama  pendiente
En la forma explícita de la recta, el término independiente, indica el lugar donde la gráfica de la recta corta al eje Y,  b Eje de abscisas Eje de ordenadas ¿Qué es la ordenada al origen? y=mx+ y x b
m: pendiente b: ordenada al origen x y (Forma explícita) y = m x + b b raíz
La pendiente m se asocia a la inclinación  de la recta x y x y m + m -
CASOS ESPECIALES DE RECTAS x = -2 x =1 y =-1 y =1 y =2 y =3 x y y x x = -1 x =2 x =3 Rectas verticales Rectas horizontales x = k (no son funciones) y = k (sí son funciones)
CÓMO GRAFICAR UNA RECTA ,[object Object],[object Object],[object Object],Supongamos que queremos graficar la recta:
A -  Utilización de la tabla de valores En este caso vamos a asignarle valores a la variable  x , reemplazamos en la función, y obtenemos el valor  de la variable  y . Con estos valores formamos puntos  (x;y)  que luego ubicamos sobre el sistema de ejes cartesianos. Veamos como hacerlo: Vamos a graficar la recta  tomo valores de  x  (los que quiera), y los reemplazo en la función: x -3 -1 0 1 3
Los valores obtenidos,  los ubico en un sistema de ejes cartesianos: y x
También se podría graficar usando la  ordenada al origen (b)   que es donde la recta corta al eje  y. Lo ubico sobre el eje  y: x y -1 (b) La  pendiente  me indica la variación en  y (∆y) , desde allí subo 2 unidades:  La  pendiente  también indica la variación en  x (∆x) , desde esta ultima posición me desplazo 3 unidades hacia la derecha.  Y allí encuentro otro punto para trazar la recta. ∆ y=2 ∆ x=3 B-  Utilización de la ordenada al origen y la pendiente
R 1 R 2 Sean  R 1   y = m 1  x + b 1 x y R 2  y = m 2  x + b 2 CONDICIÓN DE PARALELISMO m 1  =  m 2
R 1 R 2 Sean  R 1   y = m 1  x + b 1 R 2   y = m 2  x + b 2 Ó Debe cumplirse: m 1   . m 2  = -1 m 2   =   1 m 1 x y La pendiente de una de las rectas, debe ser opuesta e inversa con la otra pendiente.
Supongamos que conozco dos de los puntos por donde pasa una recta: P1 (2; 4)  P2 (-1; -3) Y quiero conocer la ecuación de la función lineal 4 -1 -3 2 y x Cómo hallar la ecuación de una recta y = m x + b
Sé que la recta debe incluir a los puntos P 1   (2;4) P 2  (-1;-3) reemplazo entonces por ambos puntos en la fórmula de la recta ,  y = m x + b , ubicando el primer valor del par en x y el segundo en y (2;4)  4 = m . 2 + b  4 = 2 m + b  Ecuación I (-1;-3)  -3 = m. (-1) + b  -3 = -m + b  Ecuación II despejo  b de  ecuación   II b = -3 +m  Ecuación  III  Reemplazo en  ecuación   I Método A:
Continuación: 4 = 2 m + (- 3 + m) 4 = 2 m  - 3 + m 4 + 3 = 2 m + m 7  =  3 m 7 : 3 =  m reemplazo en  ecuación   III Si Con lo que queda :
Sé que la recta debe incluir a los puntos: P 1   (2; 4) P 2  (-1;-3) También sabemos que la pendiente “m” es la variación en  y  sobre la variación en  x ó Reemplazo con los valores de los puntos: Con lo que la ecuación quedaría: Todavía falta conocer el valor de  b , para hacerlo puedo usar alguno de los puntos que tenia como dato, reemplazando en el  x  e  y  de la expresión  I , usaré el (2;4): I Con  lo que resulta: Método B:
En cualquier tipo de función (no solo función lineal), se llama raíz, al punto donde la gráfica corta al eje X. (x;0) ¿Qué es la raíz, y como la obtengo? y x raíz Cualquier punto que se encuentre sobre el eje x, tiene coordenada en y=0, por lo tanto la raíz tendrá coordenadas (x;0), veamos como averiguar el valor de x: reemplazo y=0 en la ecuación de la recta  0=mx+b ,  Despejo x:  -b=mx
La forma explicita,  y=mx+b , no es la única forma de expresar una función lineal, otra de ellas es la forma implícita, que tiene la siguiente forma: Donde A,B,C son números enteros. Forma implícita de la recta Ax+By+C=0
Otra forma útil de expresar la ecuación de la recta, es la segmentaria, que tiene la siguiente estructura: Donde p es la intersección con el eje  x  (raíz); y q es la intersección con el eje  y  (ordenada al origen) Forma segmentaria de la recta y x q p

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  • 2. Cuando recibís la factura de tu celular, podés ver que el abono que pagás a fin de mes está formado por un valor fijo y otro variable que depende de la cantidad de minutos que hablaste. Con esta información podemos encontrar la relación entre los minutos que hablamos y el costo a pagar. C fijos = $18 C variables = $0,20 cada minuto
  • 3. En primer lugar debemos ponernos de acuerdo sobre cuáles son las variables . t : es la letra con la que identificaremos el tiempo que vamos a hablar, es decir, la cantidad de minutos que usaremos el teléfono. El costo, por supuesto, depende del tiempo que hablamos. EL COSTO DEPENDE DEL TIEMPO
  • 4. Es por esto que el costo es la variable dependiente Y el tiempo es la variable independiente. Veamos algunos casos en particular: Si t = 42 minutos C = $0,20•42 +$18 C = $8,4+$18 C = $26,40 Si t = 50 minutos C = $0,20•50+$18 C = $10+$18 C = $28 Si t = 120 minutos C = $0,20•120+$18 C =$24 +$18 C = $42
  • 5. Generalizando: Costo C= 0,20.t +18 (donde t son los minutos hablados) Esto que acabamos de encontrar es la fórmula matemática para relacionar tiempo con costo en nuestra factura telefónica.
  • 6. La característica particular que tienen las funciones lineales es que a variaciones iguales de x , corresponde siempre la misma variación en y . Cada vez que x aumenta 1 y aumenta 2 -2 1 2 -1 0 6 4 2 8 x y
  • 7. 1 2 3 Veamos otros ejemplos: Si x aumenta 1, y disminuye 1 y x aumenta de 1 a 2 x aumenta de 2 a 3 y disminuye de 4 a 3 y disminuye de 3 a 2 x 3 4 2 Es función lineal
  • 8. 9 1 4 1 2 3 Δ y = 1 = 1 Si x aumenta de 0 a 1 Δ x 1 y aumenta de 0 a 1 Como puede verse Δ y no es constante Δ x Δ y = 3 = 3 Si x aumenta de 1 a 2 Δ x 1 y aumenta de 1 a 4 Δ y = 5 = 5 Si x aumenta de 2 a 3 Δ x 1 y aumenta de 4 a 9 x y No es función lineal
  • 9. Se llama función lineal a la relación entre variables tal que su expresión sea: Dónde m : pendiente b : ordenada al origen y = m x + b
  • 10. ¿Qué es la pendiente? m = Δ y variación en y Δ x variación en x A B C D ∆ y Siendo Δ y = y B – y A = y D – y C Δ x = x B – x A = x D – x C ∆ x ∆ y ∆ x x y Es la relación: En la función lineal la relación entre ∆y/∆x es siempre la misma para cada recta
  • 11. En las funciones lineales existe una relación entre la variación de la variable independiente x y la variable dependiente y , que se mantiene constante. A esa relación se la llama pendiente
  • 12. En la forma explícita de la recta, el término independiente, indica el lugar donde la gráfica de la recta corta al eje Y, b Eje de abscisas Eje de ordenadas ¿Qué es la ordenada al origen? y=mx+ y x b
  • 13. m: pendiente b: ordenada al origen x y (Forma explícita) y = m x + b b raíz
  • 14. La pendiente m se asocia a la inclinación de la recta x y x y m + m -
  • 15. CASOS ESPECIALES DE RECTAS x = -2 x =1 y =-1 y =1 y =2 y =3 x y y x x = -1 x =2 x =3 Rectas verticales Rectas horizontales x = k (no son funciones) y = k (sí son funciones)
  • 16.
  • 17. A - Utilización de la tabla de valores En este caso vamos a asignarle valores a la variable x , reemplazamos en la función, y obtenemos el valor de la variable y . Con estos valores formamos puntos (x;y) que luego ubicamos sobre el sistema de ejes cartesianos. Veamos como hacerlo: Vamos a graficar la recta tomo valores de x (los que quiera), y los reemplazo en la función: x -3 -1 0 1 3
  • 18. Los valores obtenidos, los ubico en un sistema de ejes cartesianos: y x
  • 19. También se podría graficar usando la ordenada al origen (b) que es donde la recta corta al eje y. Lo ubico sobre el eje y: x y -1 (b) La pendiente me indica la variación en y (∆y) , desde allí subo 2 unidades: La pendiente también indica la variación en x (∆x) , desde esta ultima posición me desplazo 3 unidades hacia la derecha. Y allí encuentro otro punto para trazar la recta. ∆ y=2 ∆ x=3 B- Utilización de la ordenada al origen y la pendiente
  • 20. R 1 R 2 Sean R 1 y = m 1 x + b 1 x y R 2 y = m 2 x + b 2 CONDICIÓN DE PARALELISMO m 1 = m 2
  • 21. R 1 R 2 Sean R 1 y = m 1 x + b 1 R 2 y = m 2 x + b 2 Ó Debe cumplirse: m 1 . m 2 = -1 m 2 = 1 m 1 x y La pendiente de una de las rectas, debe ser opuesta e inversa con la otra pendiente.
  • 22. Supongamos que conozco dos de los puntos por donde pasa una recta: P1 (2; 4) P2 (-1; -3) Y quiero conocer la ecuación de la función lineal 4 -1 -3 2 y x Cómo hallar la ecuación de una recta y = m x + b
  • 23. Sé que la recta debe incluir a los puntos P 1 (2;4) P 2 (-1;-3) reemplazo entonces por ambos puntos en la fórmula de la recta , y = m x + b , ubicando el primer valor del par en x y el segundo en y (2;4) 4 = m . 2 + b 4 = 2 m + b Ecuación I (-1;-3) -3 = m. (-1) + b -3 = -m + b Ecuación II despejo b de ecuación II b = -3 +m Ecuación III Reemplazo en ecuación I Método A:
  • 24. Continuación: 4 = 2 m + (- 3 + m) 4 = 2 m - 3 + m 4 + 3 = 2 m + m 7 = 3 m 7 : 3 = m reemplazo en ecuación III Si Con lo que queda :
  • 25. Sé que la recta debe incluir a los puntos: P 1 (2; 4) P 2 (-1;-3) También sabemos que la pendiente “m” es la variación en y sobre la variación en x ó Reemplazo con los valores de los puntos: Con lo que la ecuación quedaría: Todavía falta conocer el valor de b , para hacerlo puedo usar alguno de los puntos que tenia como dato, reemplazando en el x e y de la expresión I , usaré el (2;4): I Con lo que resulta: Método B:
  • 26. En cualquier tipo de función (no solo función lineal), se llama raíz, al punto donde la gráfica corta al eje X. (x;0) ¿Qué es la raíz, y como la obtengo? y x raíz Cualquier punto que se encuentre sobre el eje x, tiene coordenada en y=0, por lo tanto la raíz tendrá coordenadas (x;0), veamos como averiguar el valor de x: reemplazo y=0 en la ecuación de la recta 0=mx+b , Despejo x: -b=mx
  • 27. La forma explicita, y=mx+b , no es la única forma de expresar una función lineal, otra de ellas es la forma implícita, que tiene la siguiente forma: Donde A,B,C son números enteros. Forma implícita de la recta Ax+By+C=0
  • 28. Otra forma útil de expresar la ecuación de la recta, es la segmentaria, que tiene la siguiente estructura: Donde p es la intersección con el eje x (raíz); y q es la intersección con el eje y (ordenada al origen) Forma segmentaria de la recta y x q p