Modelagem sísmica usando equação da onda

Método
Experimentos numéricos

Aspectos da modelagem e imageamento
usando equação da onda

Jessé Costa∗ ,
∗ Universidade Federal do Pará, INCT-GP

Semana de Inverno de Geofísica, 2012

Método

Tópicos

Modelagem Sísmica
Meios Acústicos
Modelagem acústica usando diferenças ﬁnitas
Relações de reciprocidade em meios acústicos
Princípio de Huygens e Reversão Temporal
Migração Reversa no Tempo

Método

Modelagem sísmica

Michael Orisgtaglio, Yale University & SEAM II project Manager

Método

Modelagem Sísmica

Propriedades das Rochas:
Vargila
Porosidade
Saturação de Fluidos, etc..

Método

Modelagem Sísmica

Propriedades das Rochas: Parâmetros geofísicos :
Vargila ρ
Porosidade Vp , Vs , CIJ
Saturação de Fluidos, etc.. Q, σ, etc..

Método

Modelagem Sísmica

SEAM I salt model

Método

Modelagem Sísmica:SEAM model

Dimensão : 35 km× 40 km × 15 km
Malha uniforme: 10 m
Modelo: ρ, Vp 84GB
Vmin = 1490m/s Vmax = 4800 m/s

Método

Modelagem Sísmica: SEAM model

Modelagem por diferenças ﬁnitas:
fmax = 30 Hz
Offset máximo=10 km
62478 tiros, 450.000 traços/tiro
3.5 GB por tiro
220 TB início 2009-término 2011
Modelagem eástica ≈ 100× Modelagem Acústica

Método

Modelagem para imageamento sísmico

Acústica ou pseudo-acústica(TTI)
Densidade Constante

Método

Meios Acústicos

∂v(x, t)
ρ(x) = − p(x, t) + f(x, t)
∂t
∂p(x, t)
= −K (x) · v(x, t) + q(x, t)
∂t

x, t: posição, tempo
p(x, t) campo de pressão
v(x, t) campo de velocidade das partículas do meio

Método

Meios Acústicos

∂v(x, t)
ρ(x) = − p(x, t) + f(x, t)
∂t
∂p(x, t)
= −K (x) · v(x, t) + q(x, t)
∂t

ρ(x): densidade de massa
K (x): módulo de incompressibilidade

Método

Meios Acústicos

∂v(x, t)
ρ(x) = − p(x, t) + f(x, t)
∂t
∂p(x, t)
= −K (x) · v(x, t) + q(x, t)
∂t

f(x, t): densidade de fontes dipolares
q(x, t): taxa de injeção de pressão na fonte

Método

Meios Acústicos: equação densidade variável

∂2p p ∂q f
=K · + −K ·
∂t 2 ρ ∂t ρ

Método

Equação escalar com densidade constante

∂2p ∂q
= c2 2
p+ − c2 ·f
∂t 2 ∂t

K
c(x) = ρ: velocidade de propagação

Método

Equação da onda

∂2p
= c2 2
p + s(t)δ(x − xs )
∂t 2

c(x): velocidade de propagação
s(t): fonte puntual em xs
s(t): pulso fonte

Método

Equação da onda: soluções em meios homogêneos

Ondas esféricas
1 s(t − |x − xs |/c)
p(x, t; xs ) =
4πc 2 |x − xs |

Ondas planas
+∞
n ωn
p(x, t) = p t − ·x = P(ω) exp[ i( · x − ωt)]dω
c −∞ c
ωn
k≡ c : número de onda

Método

Equação da onda: soluções em meios heterogêneos

Soluções analíticas:
meios com simetria: plana, esférica, cilíndica,...

Método


Aproximações Assintóticas:
WKBJ: meios estratiﬁcados plana
Teoria do raio, feixes gaussianos, Maslov, estados
coerentes,...

Método


Aproximações numéricas:
Refletividade: meios estratificados
Diferenças finitas
Elementos finitos
métodos espectrais

Método

Aproximações numéricas: ckeck list

Acurácia
quantos comprimentos de onda a propagar...

Método


Custo computacional
operações de ponto ﬂutuante
armazenamento

Método


Especiﬁcação do modelo
malha regular e uniforme
malha regular não uniforme
malha não estruturada

Método


Condições de fronteira
fronteira livre
fronteiras internas
fronteiras absorventes

Método

Acurácia e Custo Computacional

Elementos Finitos Espectral

Método

Acurácia e Custo Computacional

Diferenças ﬁnitas:
malha regular (fácil de especiﬁcar o modelo)
fácil de programar
emula bem a física
custo aumenta em escala razoável

Método

Diferenças Finitas

1
f (x0 ± h) = f (x0 ) ± f (x0 )h + f (x0 )h2 ± O(h3 )
2

forward
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 ) = + O(h)
h

Método

Diferenças Finitas

1
f (x0 ± h) = f (x0 ) ± f (x0 )h + f (x0 )h2 ± O(h3 )
2

backward:
f (x0 ) − f (x0 − h)
f (x0 ) = + O(h)
h

Método

Diferenças Finitas

1
f (x0 ± h) = f (x0 ) ± f (x0 )h + f (x0 )h2 ± O(h3 )
2

central
f (x0 + h/2) − f (x0 − h/2)
f (x0 ) = + O(h2 )
h

Método

Diferenças Finitas

i) aproximar operadores diferenciais por diferenças em uma
malha
ii) ordem da aproximação depende do ponto de atribuição

Método

Diferenças Finitas: cálculo dos coeﬁcientes

Avaliar as derivadas de x K para K = 1, 3, ..., 2N − 1
N−1
1 1
Kx0 −1 h =
K
dj [(x0 + (j + )h)K − (x0 − (j + )h)K ]
2 2
j=0

dj : coeﬁcientes do operador de diferenças

K −1 N−1
x0 K K x0 2j + 1 K x0 2j + 1 K
K h = h dj [( + ) −( − ) ]
h h 2 h 2
j=1

Método


Em x0 = 0 e h = 1
N−1 K
2j + 1
K δK ,1 = 2 dj K = 1, 3, ..., 2N − 1
2
j=0

A solução deste sistema linear determina os coeﬁcientes dj
para uma aproximação de ordem 2N.

Método


Para aproximação da derivada segunda:
N−1
K (K − 1)δK ,2 = d0 δK ,1 + 2 dj j K K = 0, 2, .., 2N − 1
j=1

A solução deste sistema linear determina os coeﬁcientes dj
para uma aproximação de ordem 2N + 2.

Método

Diferenças Finitas: Equação da onda

p(x, y , t + ∆) = 2p(x, y , t) − p(x, y , t − ∆)
2
c(x, y )∆
+ [2d0 p(x, y , t)
h
N−1
+ dj (p(x + jh, y , t) + p(x − jh, y , t))
j=1

N−1
+ dj (p(x, y + jh, t) + p(x, y − jh, t))
j=1

+ ∆t 2 s(t)δBL (x − xs ) + O(∆t 2 , h2N )

Método

Diferenças Finitas: Equação da onda

p(x, y , t + ∆) = 2p(x, y , t) − p(x, y , t − ∆)
2
c(x, y )∆
+ [2d0 p(x, y , t)
h
N−1
+ dj (p(x + jh, y , t) + p(x − jh, y , t))
j=1

N−1
+ dj (p(x, y + jh, t) + p(x, y − jh, t))
j=1

+ ∆t 2 s(t)δBL (x − xs ) + O(∆t 2 , h2N )

δBL (x − xs ) = exp[−(x − xs ) · (x − xs )/2h2 ]

Método

Teorema de Lax

"Um esquema de diferenças ﬁnitas consistente para um
problema de valor inicial bem posto é convergente se e
somente se ele é estavel."

Método

Análise de estabilidade

ω
p(x, y , t) = exp [i (k n · x − ωt)] k ≡
c
 
N−1
ω∆ µ2
sin2 =− d0 + dj (cos jkh cos φ + cos jkh sin φ)
2 2
j=1

n ≡ (cos φ, sin φ) e µ ≡ c∆/h.

Método


ω
p(x, y , t) = exp [i (k n · x − ωt)] k ≡
c
 
N−1
ω∆ µ2
sin2 =− d0 + dj (cos jkh cos φ + cos jkh sin φ)
2 2
j=1

Para evitar aliasing:
0 ≤ ω∆ ≤ π

Método


ω
p(x, y , t) = exp [i (k n · x − ωt)] k ≡
c
 
N−1
ω∆ µ2 
sin2 =− d0 + dj (cos jkh cos φ + cos jkh sin φ)
2 2
j=1

Para evitar aliasing:
0 ≤ ω∆ ≤ π
0 ≤ kh ≤ π

Método


Condição de estabilidade:

c∆ −2
µ= < N−1
h d0 + 1 dj (−1)j
h
∆ < µ
c

Método

Análise de erro

Velocidade de fase cFD = ω/k :
 
N−1
cFD 2 d0 + j=1 dj (cos jkh cos φ + cos jkh sin φ)
= sin−1 µ − 
c µkh 2

cFD (k , φ) : dispersão e anisotropia numérica

Método

Análise de erro

Velocidade de grupo vg = ∂ω/∂k :
 
N−1
vg µ
=  j dj (cos φ cos jkh cos φ + sin φ cos jkh sin φ)
c sin(µkh)
j=1

vg (k ) : dispersão

Método

Otimização dos coeﬁcientes para reduzir dispersão

Ajuste de da velocidade de fase por quadrados mínimos no
intervalo 0 < kh < απ/2:
 
2 N−1
cFD µ
sin2 µkh = − d0 + dj (cos jkh cos φ + cos jkh sin φ)
C 2
j=1

sujeito a:
N−1
d0 + 2 dj = 0
j=1

e
N−1
d0 + 2 dj j 2 = 2
j=1

Método

Otimização dos coeﬁcientes
Ajuste da velocidade de fase e velocidade de grupo por
quadrados mínimos no intervalo 0 < kh < απ/2:
 
N−1
vg µ
=  j dj (cos φ cos jkh cos φ + sin φ cos jkh sin φ)
c sin(µkh)
j=1

sujeito a:
N−1
d0 + 2 dj = 0
j=1
e
N−1
dj j 2 = 2
j=1
Para tratamentos mais elaborados:
Holberg, O, 1987. Geophysical Prospecting.35,629-655, 1987.

Kosloff et al., 2010. Geophysics.75(6),T167-T174.

Método

Fronteiras Absorventes: PML

Atenuação ao direcional:

iω Γ(x)
P(x, y , ω) = exp nx 1− x + ny y
c iω
x
Γ(x) 1
X =x− =x− σ(ξ)dξ
iω iω 0

∂2P ∂2P
(−iω)2 P(x, ω) = c 2 +
∂X 2 ∂y 2

Método


∂ ∂ ∂X σ ∂
= = x−
∂x ∂X ∂x iω ∂X
∂ 1 ∂ 1 ∂
= ≡
∂X 1 + σ/(−iω) ∂x S ∂x

1 ∂ 1 ∂P ∂2P
(−iω)2 P(x, ω) = c 2 +
S ∂x S ∂x ∂y 2

Método


∂ (−iω) ∂P ∂2P
(−iω)2 SP(x, ω) = c 2 +S
∂x (−iω)S ∂x ∂y 2
campos auxiliares:

1 ∂P 1 ∂2P
φ(x, ω) ≡ ψ(x, ω) ≡
(−iω)S ∂x (−iω) ∂y 2

Método


∂ ∂2P
(−iω)2 P(x, ω) + σ(−iωP) = c 2 ((−iω)φ) + + σψ
∂x ∂y 2

equações para campos auxiliares:

∂P ∂2P
(−iω)φ(x, ω) + σφ = (−iω)ψ =
∂x ∂y 2

Método


Sistema de equações para PML:

∂2p ∂p ∂2p ∂2p ∂
2
+σ = c2 2
+ 2
− (σφ) + σψ
∂t ∂t ∂x ∂y ∂x

equações para campos auxiliares:

∂φ ∂p
= − σφ
∂t ∂x
∂φ ∂2P
=
∂t ∂y 2

Método

Fronteiras Absorventes

σ>0

σ=0

Método


0 no domínio de interesse
σ(x) = 3 1 x 2
2 log R cmax ∆ L nas bordas

R: coef. de reﬂexão desejado para incidência normal ≈ 10−6
c
L: largura da banda de absorção ≈ λ = 2fmax
2 pico
fpico : frequência pico do pulso
Collino & Tsogka, 2001. Geophysics, 66(1),294-307.

Método


a) Muito eﬁcazes para modelagem acústica

Método


b) Campos auxiliares implementados apenas nas regiões de
absorção.

Método


absorção.
c) Várias abordagens na literartura CPML, M-PML, etc...

Método


absorção.
c) Várias abordagens na literartura CPML, M-PML, etc...
d) podem apresentar instabilidade (meios elásticos
anisotrópicos, ondas de superfície)

Método

Fronteiras Absorventes: implementação simples

∂2p ∂p
2
+ σ(x, y ) = c2 2
p
∂t ∂t
σ(x, y ) = γ(x)γ(y )
0 no domínio de interesse
γ(x) = x 2
πfpico ∆ L nas bordas
fpico : frequência pico do pulso
cmax
L: largura da banda de absorção ≈ λ = fpico

Método

Fonteiras absorventes

p(x, y , t + ∆) − 2p(x, y , t) + p(x, y , t − ∆)
∆γ(x)γ(y )
+ [p(x, y , t + ∆) − p(x, y , t − ∆)]
2
c(x, y )∆ 2
= [2d0 p(x, y , t)
h
N−1
+ dj (p(x + jh, y , t) + p(x − jh, y , t))
j=1

N−1
+ dj (p(x, y + jh, t) + p(x, y − jh, t))
j=1

+ ∆t 2 s(t)δBL (x − xs ) + O(∆t 2 , h2N )

Método

Fronteiras Absorventes: região de absorção

σ>0

σ=0

Método

Modelagem FD: escolha de h e ∆

1 Determine a frequência máxima do pulso sísmico fmax

Método


2 Determine o comprimento de onda mínimo:
λmin = cmin /fmax

Método


λmin = cmin /fmax
3 h = λmin /N. N deve ser avaliado a partir das curvas de
dispersão do esquema.

Método


λmin = cmin /fmax
3 h = λmin /N. N deve ser avaliado a partir das curvas de
dispersão do esquema.
4 ∆ = µh/cmax

Método

Modelagem FD: custo

1 Armazenamento :
D
Nfmax
Nx × Ny × Nz = V
cmin

D : dimensão do domínio
V : volume do domínio
T : tempo de simulação
Nd : comprimento do operador de FD

Método

Modelagem FD: custo

1 Armazenamento :
D
Nfmax
Nx × Ny × Nz = V
cmin

2 Número de operações :

Tcmax N D D+1
Nx × Ny × Nz × Nt × Nd = Nd V D
fmax
µcmin
D : dimensão do domínio
V : volume do domínio
T : tempo de simulação
Nd : comprimento do operador de FD

Método

Métodos pseudo-espectrais

Calcula de derivadas espaciais

∂ n p(x, t) −1 n
= FFTx [kx FFTx [p(x, t)]]
∂x n

a) Amostragem no limite de Nyquist (menor custo de
armazenamento)

Método



∂ n p(x, t) −1 n
∂x n

armazenamento)
b) Resposta espectral do operador correta até Nyquist (π/h)

Método



∂ n p(x, t) −1 n
∂x n

armazenamento)
b) Resposta espectral do operador correta até Nyquist (π/h)
c) Condições de contorno periódicas

Método

Métodos pseudo-espectrais:evolução temporal
usando REM

∂ 2 p(x, t)
= c 2 (x) 2
p(x, t) = L2 p(x, t)
∂t 2
Para meios homogêneos:

p(x, t + ∆t) + p(x, t − ∆t) = cos(Lt)p(x, t)

Método

Métodos pseudo-espectrais:evolução temporal
usando REM

∂ 2 p(x, t)
= c 2 (x) 2
p(x, t) = L2 p(x, t)
∂t 2
Para meios homogêneos:

p(x, t + ∆t) + p(x, t − ∆t) = cos(L∆t)p(x, t)

Método

Métodos pseudo-espectrais:evolução temporal REM

M
iL
cos(L∆t) = c2k J2k (∆tR) Q2k
R
k =0

c0 = 1 c2k = 2, k > 1
Qn+2 (x) = (4x + 1)Qn (x) − Qn−2 (x) , Q0 (x) = 1 Q2 = 2x 2 + 1
2

1 2 1
R > πcmax ( ) + ( )2 , M > R∆t
hx hy

J2M (∆tR) ≈ 10−6
Tal-Ezer, H., 1986. SIAM Journal on Numerical Analysis, 23, 11-26
Pestana & Stoffa,2010.Geophysics.V75(4),T121-T131.

Tessmer,2011.Geophysics.V76(4),S177-T185.

Método


a) permite passos no tempo iguais a taxa de amostragem
dos dados sísmicos

Método


a) permite passos no tempo iguais a taxa de amostragem
dos dados sísmicos
b) combinado com FFT para avaliação acurácia limitada a
precisão do sistema de ponto ﬂutuante

Método

Reciprocidade e reversão temporal

Método

Reversão temporal

http://www.ljll.math.upmc.fr/ bardos/pdf/retemp.pdf

Método

Reversão temporal

Grande terremoto de Sumatra 2004:

Larmat, C. et al. 2010. Physics Today, August,p31-35.

Método

Teoremas de reciprocidade: geometria

p(x,t)
A
q(x,t)
A

p(x,t) q(x,t)
B B

pA (x, t): campo de pressão gerado por fontes qA (x, t)
pB (x, t): campo de pressão gerado por fontes qB (x, t)
De Hoop, A. & Stam, H.J. 1988. Wave Motion, 10, 479-489.

Método

Teoremas de reciprocidade: geometria

p(x,t)
A
q(x,t)
A

p(x,t) q(x,t)
B B

Dominínio de propagação comum
Condições de fronteira podem ser diferentes
De Hoop, A. & Stam, H.J. 1988. Wave Motion, 10, 479-489.

Método

Teorema de reciprocidade tipo convolução

t
dτ [pA (x, τ ) pB (x, t − τ ) − pB (x, τ ) pA (x, t − τ )] · n dS =
0 ∂V
t
− dτ [pA (x, τ )qB (x, t − τ ) − pB (x, τ )qA (x, t − τ )] dV
0 V

Método

Teorema de reciprocidade tipo correlação

+∞
dτ [pA (x, τ − t) pB (x, τ ) − pB (x, τ ) pA (x, τ − t)] · n dS =
t ∂V
+∞
− dτ [pA (x, τ − t)qb (x, τ ) − pB (x, τ )qA (x, τ − t)] dV
t V

Método

Consequências dos teoremas de reciprocidade

Problema direto ou modelagem acústica

Método


Inversão da fonte acústica

Método


Retropropagação do campo acústico

Método


Retropropagação do campo acústico
Espalhamento Inverso

Método

Função de Green

1 ∂ 2 g(x, t; x , t ) 2
= g(x, t; x , t ) + δ(t − t )δ(x − x ) .
c 2 (x) ∂t 2

g(x, t; x , t ) = 0 t < t
˙
g(x, t; x , t ) = 0 t < t
Condições de fronteira:

∂g(x, t; x , t )
g(x, t; x , t ) x∈∂V ∂n x∈∂V

Método

Função de Green e teorema de reciprocidade

Fronteiras homogêneas:
a) o domínio é ilimitado. Neste caso observando que

lim g=0,
x →+∞

e pressupondo a condição de radiação

1 ∂g
lim (x − x0 ) · g(x, t; x0 ) + x − x0 =0.
x−x0 →+∞ c ∂t

Esta condição garante que não há radiação de fora para
dentro do domínio.

Método


b) Fronteira livre, ou seja, a pressão se anula sobre a
fronteira g = 0. Esta condição ocorre na interface entre a
terra e o ar.

Método


c) Fronteiras rígidas g = 0, ou seja a aceleração se anula
sobre a fronteira.

Método


Se as condições de fronteiras são homogêneas:
a) Invariância no tempo:

g(x, t − t ; x , 0) = g(x, t; x , t )

Método


b) Reciprocidade espacial:

g(x, t; x , t ) = g(x , t; x, t )

Método


c) Reciprocidade espaço-temporal:

g(x , t ; x, t) = g(x, t; x, t )

g(x, −t; x , 0) = g(x, t; x, 0)

Método

Teoremas de reciprocidade: modelagem

t
p(x, t) = dτ g(x, t − τ ; x , 0)q(x , τ )dV
0 V
t
+ dτ p(x , τ ; x0 ) g(x, t − τ, x , 0)
0 ∂V
− g(x, t − τ, x , 0) p(x , τ ; x0 ) · n dS ,

Método

Teoremas de reciprocidade: princípio de Huygens

Método

Teoremas de reciprocidade: princípio de Huygens

t
p(x, t) = dτ p(x , τ ; x0 ) g(x, t − τ, x , 0)
t0 ∂Vt0

− g(x, t − τ, x , 0) p(x , τ ; x0 ) · n dS

Se x está no interior do domínio.

Método

Teoremas de reciprocidade:princípio de Huygens

t
0 = dτ p(x , τ ; x0 ) g(x, t − τ, x , 0)
t0 ∂Vt0

− g(x, t − τ, x , 0) p(x , τ ; x0 ) · n dS

Se x está fora do domínio.

Método

Teoremas de reciprocidade: reversão no tempo

Método


T −t
p(x, t) = − dξ x g(x, T − ξ − t; x , 0)p(x , T − ξ)
0 ∂V
− g(x, T − ξ − t; x , 0) x p(x , T − ξ) · n dS


Método


Incluindo a região com a fonte:
T −t
p(x, t) = − dτ g(x, T − t − ξ; x , 0)q(x , T − ξ)dV
0 V
T −t
− dξ x g(x, T − ξ − t; x , 0)p(x , T − ξ)
0 ∂V
− g(x, T − ξ − t; x , 0) x p(x , T − ξ) · n dS


Método


T −t
p(x, t) = − dξ x gL (x, T − ξ − t; x , 0)p(x , T − ξ) · n dS
0 ∂V

gL : função de Green com fronteira livre.

Método

Experimentos de reversão temporal

Método

Modelo Marmousi

0

500
Profundidade (m)

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Distancia (m)

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500

Método

Cobertura completa

0

500
Profundidade (m)

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Distancia (m)

Geometria de aquisição dos dados no primeiro experimento.
receptores ao longo do retângulo a cada 12m. A posição da
fonte está indicada pelo asterisco.

Método

Campo de pressão p(xr , t)

0

0.2

0.4

0.6
Tempo (s)

0.8

1

1.2

1.4

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Receptores

Método

Componente Vx (xr , t)

0

0.2

0.4

0.6
Tempo (s)

0.8

1

1.2

1.4

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Receptores

Método

Componente Vz (xr , t)

0

0.2

0.4

0.6
Tempo (s)

0.8

1

1.2

1.4

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Receptores

Método

Reversão no tempo de Vx (xr , t)

0

500
Profundidade (m)

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Distancia (m)

Método

Reversão no tempo de Vz (xr , t)

0

500
Profundidade (m)

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Distancia (m)

Método

Reversão no tempo de p(xr , t)

0

500
Profundidade (m)

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Distancia (m)

Método

Reversão no tempo de V(xr , t)

0

500
Profundidade (m)

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Distancia (m)

Método

Reversão no tempo de P(xr , t) e V(xr , t)

0

500
Profundidade (m)

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Distancia (m)

Método

Aquição na superfíce: grande abertura

Receptores no intervalo 600 m a 8600 m, profundidade 50 m,
∆xr = 12 m.

Método

0

0.2

0.4

0.6
Tempo (s)

0.8

1

1.2

1.4

100 200 300 400 500 600
Receptores

Método

Reversão no tempo de p(xr , t) e V(xr , t)

0

500
Profundidade (m)

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Distancia (m)

Método

Aquição na superfície: pequena abertura

Receptores no intervalo 3000 m a 6000 m, profundidade 50 m,
∆xr = 12 m.

Método


0

0.2

0.4

0.6
Tempo (s)

0.8

1

1.2

1.4

50 100 150 200 250
Receptores

Método

Reversão no tempo de P(xr , t)

0

500
Profundidade (m)

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Distancia (m)

Método

Reversão temporal: modelo suavizado

0

500
Profundidade (m)

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Distancia (m)

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500

Modelo Marmousi suavizado pela aplicação de uma janela de
média móvel de dimensões 3 × 3, recursivamente, 100 vezes.

Método

Reversão no tempo de P(xr , t): cobertura completa

0

500
Profundidade (m)

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Distancia (m)

Método

Reversão no tempo de P(xr , t): grande abertura

0

500
Profundidade (m)

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Distancia (m)

Método

Reversão no tempo de P(xr , t): pequena abertura

0

500
Profundidade (m)

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Distancia (m)

Método

Reversão temporal: modelo suavizado

0

500
Profundidade (m)

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Distancia (m)

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500

Modelo Marmousi suavizado pela aplicação de uma janela de
média móvel de dimensões 3 × 3, recursivamente, 1000 vezes.

Método

Migração por reversão no tempo

Método

Migração RTM: Por que?
Resposta ao Impulso Kirchhoff:

Etgen, J. et al, 2010. Geophysics, 74(6),WCA5-WCA17,

Método

Resposta ao Impulso Feixes Gaussianos:


Método

Resposta ao Impulso WEM:


Método

Resposta ao Impulso RTM:


Método

Migração Kirchhoff:


Método

Migração Feixes Gaussianos:


Método

Migração WEM:


Método

Migração RTM:


Método

RTM: características

Vantagens da RTM:
Equação da onda
completa
Campos de velocidade
com forte contraste
Imageamento de eventos
com mergulho arbitrário e
turning waves

Método

RTM: características

Limitações da RTM:
Vantagens da RTM:
Custo computacional
Equação da onda
menor banda espectral
completa
Ruído devido a
Campos de velocidade
retro-espalhamento
com forte contraste
Ruído devido a múltiplo
Imageamento de eventos
espalhamento
com mergulho arbitrário e
turning waves Preservação de
amplitudes

Método
Impementação da RTM

Tópicos

1 Método

2 Experimentos numéricos

Método

Migração RTM: princípio

t=2
t=3

t=4 t=9

t=8
t=5 t=7
t=6
t=6

Método

Implementação da RTM

1 Usando a equação da onda:
Modelagem direta da propagação do campo da fonte
Modelagem reversa da propagação do campo de onda
registrado nos receptores

Método

Implementação da RTM

1 Usando a equação da onda:
Modelagem direta da propagação do campo da fonte
Modelagem reversa da propagação do campo de onda
registrado nos receptores
2 Aplicação da condição de imagem: correlação cruzada
destes dois campos no ponto imagem

Método

Condição de imagem

T
I(x) = pS (x, t; xS )pR (x, t; xR )dt
S 0 R

x: ponto imagem
xS : positição da fonte
xR : posição do receptor
T : tempo de registro dos dados

Método

RTM: ﬂuxo das propagações

Campo Receptores Campo Fonte
Superficie Superficie
t=T t=0

t=T−t1 t=t1

Método

RTM: implementação

Modelagem direta do campo da fonte produz frames na
ordem 0, ∆, ...., Nt ∆

Método


Modelagem direta do campo da fonte produz frames na
ordem 0, ∆, ...., Nt ∆
Modelagem reversa do campo dos receptores produz
frames na ordem Nt ∆, (Nt − 1)∆, ..., 0

Método


Calcular o campo da fonte a partir de t=0 para intante de
aplicação da condição de imagem t1 : custo ≈ N 2
modelagens

Método


modelagens
armazenar o campo da fonte em disco: alto custo de
armazenamento (3D)

Método


modelagens
armazenar o campo da fonte em disco: alto custo de
armazenamento (3D)
compromisso entre armazenamento e computação:
checkpoints

Método

Alternativas para otimizar custo
P0 P1

Checkpoint
Buffer
Tempo

PK PK+1

PN

Symes, W., 2007. Geophysics, 72(5),SM213-SM221.

Método

Alternativas para otimizar custo
Migração com ondas planas(Delay-shot) ou phase encoding

Zhang, Y. et al. 2005. Geophysics, 70(5), E21-E28.

Romero, L. A. et al. 2000. Geophysics, 62(2), 426-436.

Método

RTM: redução de tempo

Reduz muito o número de modelagens

Método


região de migração mais extensa: memória e
armazenamento

Método


região de migração mais extensa: memória e
armazenamento
ruído por cross-talk

Método

Phase encoding cross-talk

Condição de imagem domínio do tempo:
T
I(x) = pS (x, t; S1 )pR (x, t; S1 )dt
0

Condição de imagem domínio do freqência:
∗
I(x) = PS (x, ω; S1 )PR (x, ω; S1 )
ω

Método


I(x) = [PS (x, ω; S1 ) + eiω∆t PS (x, ω; S2 )]
ω
∗
× [PR (x, ω; S1 ) + e−iω∆t PR (x, ω); S2 )]
∗

Método


∗
I(x) = PS (x, ω; S1 )PR (x, ω; S1 )
ω
∗
+ PS (x, ω; S2 )PR (x, ω; S2 )
∗
+ eiω∆t PS (x, ω; S2 )PR (x, ω; S1 )
+ e−iω∆t PS (x, ω; S1 )PR (x, ω; S2 )
∗

Método

Condição de imagem usando correlação cruzada

Imageamento de eventos em campo de velocidade com
forte variações

Método


forte variações
Não possui limitação de megulho

Método


forte variações
Não preserva amplitude

Método


forte variações
Não preserva amplitude
Ruído por retro-espalhamento

Método

Distance(m)
0 1000 2000
0

500
4000

3500

Depth(m)

m/s
1000

3000

2500
1500

2000

Distance(m)
0 1000 2000
0

500
1.0

0.8
Depth(m)

kg/m3
1000 0.6

0.4

0.2
1500
x10 4

2000

Modelo

Método

Distance(m)
0 1000 2000
0

500
4000

3500

Depth(m)

m/s
1000
Distance(m)
1000 2000 3000
0

2500
1500

500

2000
Depth(m)

1000

Distance(m)
0 1000 2000
1500 0

2000 500
1.0

0.8
Depth(m)

kg/m3
1000 0.6

CI correlação cruzada 0.4

0.2
1500
x10 4

2000

Modelo

Método

Distance(m)
0 1000 2000
0

500
4000

3500

Depth(m)

m/s
1000
Distance(m) Distance(m)
1000 2000 3000
1000 2000
0 0
2500
1500

500 500

2000
Depth(m)

Depth(m)
1000 1000

Distance(m)
0 1000 2000
1500 0
1500

2000 500 2000
1.0

0.8
Depth(m)

kg/m3
1000 0.6

CI correlação cruzada 0.4 CI com ﬁltro
0.2
1500
x10 4

2000

Modelo

Método


Zhang, Y. et al. 2010. Leading Edge,Novembro, p. 1364-1371.

Método


Distance(m)
2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
0
Depth(m)

2000

CI correlação cruzada

Método


Estratégias de mitigação:
Filtro passa alta na imagem: 2, ∂ 2 /∂z, etc...

Método


Estratégias de mitigação:
Filtro passa alta na imagem: 2, ∂ 2 /∂z, etc...
Poderações na condição de imagem: vetor Poynting.

Método

Amplitudes na migração RTM

Análise assintótica da CI por correlação cruzada

Método


Modelo: meio homogêneo em 3D com um único reﬂetor
com mergulho

Método


Modelo: meio homogêneo em 3D com um único reﬂetor
com mergulho
Aquisição: cobertura ilimitada de fontes e receptores na
superfície

Método

Análise da CI por correlação cruzada

Método

Resultados do método de fase estacionária

3 R(x0 , x0 )
I(x) ≈ cP φ(ξ)
cos3 D

Método


sign(ξ) 2 cos D 2 cos D
φ(ξ) = ¨
w ¨
ξ ⊗w ξ
ξ cP cP
ξ(x, z) = x tan D + zd − z = zreﬂector (x) − z

Método


O estiramento do pulso inversamente proporcional a cos D

Método


O pulso é anti-simétrico em relação a posição do reﬂetor

Método


A amplitude do pulso decai com a distancia ao reﬂetor

Método


O espalhamento geométrico é compensado pela CI por
correlação cruzada

Método


O espalhamento geométrico é compensado pela CI por
correlação cruzada
O fator de obliquidade aumenta a amplitude com mergulho
do reﬂetor como ocorre na migração Kirchhoff

Método

CI para RTM com compensação das amplitudes

Correlação cruzada com compensação de iluminação

Método


Vetor Poynting

Método


Vetor Poynting
compensação do fator de obliquidade

Método


T
0 R pS (x, t; xS )pR (x, t; xR )dt
I(x) = T
S 0 pS (x, t; xS )pS (x, t; xS )dt

Método

CI com vetor Poynting

T
0 R W (θ)pS (x, t; xS )pR (x, t; xR )dt
I(x) = T
S 0 pS (x, t; xS )pS (x, t; xS )dt

na qual θ é o ângulo de espalhamento

Método


...
E

SS
θ

SR D

Método


...
E

1 se θ ≤ θmax
SS W (θ) =
θ 0 caso contrário
SR D

Método

CI com vetor Poynting:como estimar θ

1- Usando: v(x, t) ou P(x, t) e P(x, t)

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