...

1. Projecte catapulta
Fonaments matemàtics
Institut-Escola Les Vinyes
1r ESO
Reconeixement – No Comercial – Compartir Igual (by-nc-sa): No es permet un ús comercial de l’obra original ni de les possibles obres
derivades, la distribució de les quals s’ha de fer amb una llicència igual a la que regula l’obra original.

2. Recordem el repte…
Construir una catapulta i ser capaços de
controlar i predir el seu comportament. La
catapulta ha de disparar i encertar a la primera
a objectius situats a un abast màxim de 13
metres.
En la rúbrica, resumint, una bona catapulta ha de ser robusta, precisa i regulable.

3. Robusta. És resistent.
Precisa. Mateix llançament, mateix resultat.
Regulable. Diferents longituds.
Sense fonaments matemàtics és impossible construir una
catapulta que doni resposta al repte!

5. Simplificació del problema
Institut-Escola Les Vinyes
1r ESO - Curs 2018-19

6. Per analitzar el problema necessitem
traduir-lo a llenguatge matemàtic!

7. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
A
B
C
La catapulta és capaç de disparar a diferents distàncies, suposem que fem 10
llançaments amb un angle determinat. Quina catapulta és millor? Per què?
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
D
Com podem mesurar la precisió? Com podem saber, sense dubte, si una
catapulta és més precisa que una altra?

8. Abans, però...
Imagineu que hem fet aquests 10 llançaments.
Si llancem un projectil més, a on anirà?
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

9. Abans, però...
Imagineu que hem fet aquests 10 llançaments.
Si llancem un projectil més, a on anirà?
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
2 2.7 3.43.33.12.8 3.6 4.53.93.8

10. Abans, però...
Imagineu que hem fet aquests 10 llançaments.
Si llancem un projectil més, a on anirà?
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
2 2.7 3.43.33.12.8 3.6 4.53.93.8
El més probable és que vagi a la mitjana.

11. Abans, però...
Imagineu que hem fet aquests 10 llançaments.
Si llancem un projectil més, a on anirà?
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
2 2.7 3.43.33.12.8 3.6 4.53.93.8
El més probable és que vagi a la mitjana.
2 + 2.7 + 2.8 + 3.1 + 3.3 + 3.4 + 3.6 + 3.8 + 3.9 + 4.5
mitjana =
10
= 3.31

12. Abans, però...
Imagineu que hem fet aquests 10 llançaments.
Si llancem un projectil més, a on anirà?
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
2 2.7 3.43.33.12.8 3.6 4.53.93.8
El més probable és que vagi a la mitjana.
2 + 2.7 + 2.8 + 3.1 + 3.3 + 3.4 + 3.6 + 3.8 + 3.9 + 4.5
mitjana =
10
= 3.31

13. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
A
Tornant a la precisió...
Podem mesurar, per exemple, la distància entre el llançament més curt i el més
llarg, a aquesta distància li diem rang.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
B

14. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
A
Tornant a la precisió...
Podem mesurar, per exemple, la distància entre el llançament més curt i el més
llarg, a aquesta distància li diem rang.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
B

15. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
A
Tornant a la precisió...
Podem mesurar, per exemple, la distància entre el llançament més curt i el més
llarg, a aquesta distància li diem rang.
rang = ?
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
B
rang = ?

16. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
A
Tornant a la precisió...
Podem mesurar, per exemple, la distància entre el llançament més curt i el més
llarg, a aquesta distància li diem rang.
6.5 - 1 =rang = 5.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
B

17. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
A
Tornant a la precisió...
Podem mesurar, per exemple, la distància entre el llançament més curt i el més
llarg, a aquesta distància li diem rang.
6.5 - 1 =rang = 5.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
B
rang = ?

18. Tornant a la precisió...
Podem mesurar, per exemple, la distància entre el llançament més curt i el més
llarg, a aquesta distància li diem rang.
Podem dir, doncs, que la catapulta amb menor rang és més precisa.
Així doncs, quina catapulta és millor?
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
A
B
La B és més precisa que la A.
El rang ens permet prendre una decisió.
5.5
2.5
rang

19. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
A
B
C
I doncs, quina és la millor catapulta?
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
D
5.5
2.5
rang

20. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
A
B
C
I doncs, quina és la millor catapulta?
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
D
El rang no és suficient. Necessitem més matemàtiques.
5.5
2.5
rang
2.5
2.5

21. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
B
C
Ens podem fixar en com de “dispersos” estan els llançaments en relació a la
mitjana, a aquesta distància li diem desviació.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
D
El rang no és suficient. Necessitem més matemàtiques.
2.5
2.5
2.5
rang

22. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
B
C
Ens podem fixar en com de “dispersos” estan els llançaments en relació a la
mitjana, a aquesta distància li diem desviació.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
D
El rang no és suficient. Necessitem més matemàtiques.
2.5
2.5
2.5
rang

23. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
2 2.7 3.43.33.12.8 3.6 4.53.93.8
Ens podem fixar en com de “dispersos” estan els llançaments en relació a la
mitjana, a aquesta distància li diem desviació.
3.31
(2 - 3.31)2
= (-1.31)2
= 1.7161
(2.7 - 3.31)2
= (-0.61)2
= 0.3721
(2.8 - 3.31)2
= (-0.51)2
= 0.2601
(3.1 - 3.31)2
= (-0.21)2
= 0.0441
(3.3 - 3.31)2
= (-0.01)2
= 0.0001
1.7161 + 0.3721 + 0.2601 + 0.0441 + 0.0001 + 0.0081 + 0.0841 + 0.2401 + 0.3481 + 1.4161
10
(3.4 - 3.31)2
= 0.092
= 0.0081
(3.6 - 3.31)2
= 0.292
= 0.0841
(3.8 - 3.31)2
= 0.492
= 0.2401
(3.9 - 3.31)2
= 0.592
= 0.3481
(4.5 - 3.31)2
= 1.192
= 1.4161
desviació = = 0.67

24. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
B
C
Ens podem fixar en com de “dispersos” estan els llançaments en relació a la
mitjana, a aquesta distància li diem desviació.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
D
La desviació ens ajudar a decidir quina catapulta és més precisa, :).
2.5
2.5
2.5
rang
1.03
0.67
0.56
desv