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Congruencia de triángulos

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Criterios de congruencia
de triángulos
 Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus lados
miden lo mismo y sus ángulos miden lo mismo. Sin
embargo, como los ángulos interiores de un triángulo
suman un ángulo extendido (180°), en realidad nos
basta que tengan los tres lados de iguales medidas y
dos ángulo de iguales medidas, pues el tercero está
obligado a medir la diferencia entre 180° y la suma
de los otros dos.
 Es decir, si dos triángulos tienen dos ángulos de
iguales medidas, el tercero también coincide.
 Entonces, hemos quitado una información
redundante, ¿podremos quitar otra? ¿Bastará tres
lados iguales y un ángulo igual para que dos
triángulos sean congruentes?
 Investiguemos.
 Consideremos dos triángulos ΔABC y ΔA'B'C', tales que AB ≅ A'B', AC ≅ A'C', y
BC ≅ B'C', y además ∠ABC mide lo mismo que ∠A'B'C'.
 Como AB ≅ A'B', existe una isometría que lleva A en A' y B en B'. Tracemos
ahora el segmento CC', Por la congruencia de los lados, se tiene que los
triángulos. ΔCBC' y ΔCAC' son isósceles, entonces los ángulos ∠CC'A y ∠C'CA
miden lo mismo. Del mismo modo los ángulos ∠CC'B y ∠C'CB miden lo mismo.
 Por lo tanto, el ángulo ∠ACB mide lo mismo que el ángulo ∠A'C'B' , entonces
los triángulos ΔABC y ΔA'B'C', tienen lados que miden lo mismo, y dos ángulos
que miden lo mismo. Por lo tanto los triángulos son congruentes. Resumiendo,
tenemos:
 Si la medida de los lados de dos triángulos y la medida de uno de sus
ángulos son iguales, entonces los triángulos son congruentes.
BC
A
 Nuestra intuición nos dice que todavía hay información redundante, de
hecho si construimos triángulos con palitos de maquetas o con palitos de
helados de medidas fijas, los ángulos, los tres, quedan totalmente
determinados.
 Entonces, nuestra conjetura es que si dos triángulos tienen los tres lados
de igual medida entonces los triángulos son congruentes. Investiguemos
este caso. Consideremos dos triángulos de iguales medidas, ΔABC y
ΔA'B'C' , tales que AB ≅ A'B', AC ≅ A'C', y BC ≅ B'C'. Por lo que vimos la
página anterior, basta mostrar que tienen al menos un ángulo de igual
medida para demostrar que son congruentes.
A
C
B
A’
B’
C’
A
C
B
A
C
B
a
b
b
a
 Mediante una isometría haremos coincidir los vértices A
con A' y B con B', igual que en el caso anterior, trazando el
segmento CC', formamos dos triángulos isósceles, a saber
son, ΔCC'A y CC'B . Por lo tanto los ángulos ∠CC'A mide lo
mismo que el ángulo ∠C'CA y por la misma razón los
ángulos ∠C'CB y ∠CC'B miden lo mismo. Por lo tanto los
ángulos ∠ACB y ∠A'C'B' miden lo mismo, por lo tanto los
triángulos ΔABC y ΔA'B'C', son congruentes.
 Resumiendo, hemos demostrado:
 Teorema (Criterio LLL) Si las medidas de los lados
correspondientes de dos triángulos son las mismas,
entonces los triángulos son congruentes.
 Existen otros criterios que permiten asegurar, la
congruencia de triángulos; sin embargo, no haremos
estas demostraciones, pero un estudiante interesado
debiera investigar y encontrarlas. Uno de esos
criterios es el siguiente:
 Teorema (Criterio LAL):Si dos triángulos tienen dos
lados correspondientes congruentes y el ángulo que
forman los lados congruentes mide lo mismo,
entonces los triángulos son congruentes.
 Este criterio se conoce como “lado-ángulo-lado” y
lo que postula es que si tú tienes dos palitos y los
unes por uno de sus extremos, y los abres o lo
cierras de manera de formar un ángulo dado,
entonces existe una sola forma de cerrar el triángulo.
Es decir, la distancia entre los extremos no unidos,
está totalmente determinada.
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Congruencia de triángulos

  • 2.  Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus lados miden lo mismo y sus ángulos miden lo mismo. Sin embargo, como los ángulos interiores de un triángulo suman un ángulo extendido (180°), en realidad nos basta que tengan los tres lados de iguales medidas y dos ángulo de iguales medidas, pues el tercero está obligado a medir la diferencia entre 180° y la suma de los otros dos.  Es decir, si dos triángulos tienen dos ángulos de iguales medidas, el tercero también coincide.  Entonces, hemos quitado una información redundante, ¿podremos quitar otra? ¿Bastará tres lados iguales y un ángulo igual para que dos triángulos sean congruentes?  Investiguemos.
  • 3.  Consideremos dos triángulos ΔABC y ΔA'B'C', tales que AB ≅ A'B', AC ≅ A'C', y BC ≅ B'C', y además ∠ABC mide lo mismo que ∠A'B'C'.  Como AB ≅ A'B', existe una isometría que lleva A en A' y B en B'. Tracemos ahora el segmento CC', Por la congruencia de los lados, se tiene que los triángulos. ΔCBC' y ΔCAC' son isósceles, entonces los ángulos ∠CC'A y ∠C'CA miden lo mismo. Del mismo modo los ángulos ∠CC'B y ∠C'CB miden lo mismo.  Por lo tanto, el ángulo ∠ACB mide lo mismo que el ángulo ∠A'C'B' , entonces los triángulos ΔABC y ΔA'B'C', tienen lados que miden lo mismo, y dos ángulos que miden lo mismo. Por lo tanto los triángulos son congruentes. Resumiendo, tenemos:  Si la medida de los lados de dos triángulos y la medida de uno de sus ángulos son iguales, entonces los triángulos son congruentes. BC A
  • 4.  Nuestra intuición nos dice que todavía hay información redundante, de hecho si construimos triángulos con palitos de maquetas o con palitos de helados de medidas fijas, los ángulos, los tres, quedan totalmente determinados.  Entonces, nuestra conjetura es que si dos triángulos tienen los tres lados de igual medida entonces los triángulos son congruentes. Investiguemos este caso. Consideremos dos triángulos de iguales medidas, ΔABC y ΔA'B'C' , tales que AB ≅ A'B', AC ≅ A'C', y BC ≅ B'C'. Por lo que vimos la página anterior, basta mostrar que tienen al menos un ángulo de igual medida para demostrar que son congruentes. A C B A’ B’ C’ A C B A C B a b b a
  • 5.  Mediante una isometría haremos coincidir los vértices A con A' y B con B', igual que en el caso anterior, trazando el segmento CC', formamos dos triángulos isósceles, a saber son, ΔCC'A y CC'B . Por lo tanto los ángulos ∠CC'A mide lo mismo que el ángulo ∠C'CA y por la misma razón los ángulos ∠C'CB y ∠CC'B miden lo mismo. Por lo tanto los ángulos ∠ACB y ∠A'C'B' miden lo mismo, por lo tanto los triángulos ΔABC y ΔA'B'C', son congruentes.  Resumiendo, hemos demostrado:  Teorema (Criterio LLL) Si las medidas de los lados correspondientes de dos triángulos son las mismas, entonces los triángulos son congruentes.
  • 6.  Existen otros criterios que permiten asegurar, la congruencia de triángulos; sin embargo, no haremos estas demostraciones, pero un estudiante interesado debiera investigar y encontrarlas. Uno de esos criterios es el siguiente:  Teorema (Criterio LAL):Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes congruentes y el ángulo que forman los lados congruentes mide lo mismo, entonces los triángulos son congruentes.  Este criterio se conoce como “lado-ángulo-lado” y lo que postula es que si tú tienes dos palitos y los unes por uno de sus extremos, y los abres o lo cierras de manera de formar un ángulo dado, entonces existe una sola forma de cerrar el triángulo. Es decir, la distancia entre los extremos no unidos, está totalmente determinada.
  • 7.  Si AB ≅ FD , BC ≅ DE y los ángulos ∠ABC y ∠FDE miden lo mismo, entonces los triángulos ΔABC y ΔFDE son congruentes. a a B A C F ED
  • 8.  Otro criterio es el siguiente:  Teorema (Criterio ALA): Si dos ángulos de un triángulo miden lo mismo que dos ángulos de otro triángulo, y los lados comprendidos entre los ángulos son congruentes, entonces los triángulos son congruentes.  Este criterio se conoce como “ángulo-lado- ángulo” y lo que postula, es que si tienes un palito y en cada extremo del palito pones dos palos de manera tal de formar ángulos determinados con el primero. Entonces la intersección de los palitos está únicamente determinada.
  • 9.  Si EF ≅ BC , los ángulos ∠DEF y ∠BCA miden lo mismo, y los ángulos ∠ABC y ∠EFD miden lo mismo, entonces los triángulos ΔABC y ΔFDE son congruentes. a b b a A F E D B C
  • 10. Ahora debes aplicar lo aprendido, éxito!!!