SlideShare a Scribd company logo
1 of 25
Download to read offline
การคาดคะเนทางคณิตศาสตร์
กฎสำคัญในกำรคำดคะเนทำงคณิตศำสตร์
ค่ำคำดหมำย (Expected Value) คือ ค่ำเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม สัญลักษณ์คือ ใช้แทน
ซึ่งสูตรทั่วไปของค่ำคำดคะเน จำแนกตำมประเภทตัวแปรสุ่ม ดังนี้
กฎทั่วไป ถ้า เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม X
เช่น เป็นต้น
1) ถ้ำ X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง และมีฟังก์ชันกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นคือ f(x)=P(X=x)
2) ถ้ำ X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง และมีฟังก์ชันกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นคือ f(x)

E )
( 
 

)
(x
W
=
 )
sin(
,
2
x
X =

=



=

=

x
x
X
P
E )
(
*



=

x
dx
x
f
E )
(
*
สรุปกฎสำคัญในกำรคำดคะเนทำงคณิตศำสตร์
กฎข้อที่ 1
ค่ำคำดหมำยของตัวแปรสุ่มใดๆ คือ ค่ำเฉลี่ย (Mean) ของตัวแปรนั้นๆ (µ)
ค่ำเฉลี่ย
E[x] = µ = X : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
E[x] = µ = X : เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง


=
x
x
X
P
x )
(
*



−
dx
x
xf )
(
Example 1.
ถ้ำตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (X) คือขนำดเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของชิ้นงำน(นิ้ว) มีฟังก์ชันกำรแจกแจงควำม
น่ำจะเป็นคือ
จงหำค่ำเฉลี่ยของ X
ค่ำเฉลี่ย = E[x] = µ
1
0
;
)
1
(
12
)
( 2


−
= x
x
x
x
f
dx
x
x
x
dx
x
f
x )
)
1
(
12
(
)
( 2
1
0
−
=
= 



− 1
0
5
4
3
1
0
4
3
2
5
4
2
2
12
)
2
(
12 






+
−
=
+
−
= 
x
x
x
dx
x
x
x

4
.
0
5
1
2
1
3
1
12 =






+
−
=
Example 2.
บริษัทผลิตเบำะนั่ง ผลิตรุ่นละ 20 ตัว ถ้ำทรำบว่ำแต่ละรุ่นมีชำรุด 3 ตัว บริษัทสุ่มตรวจ5 ตัวต่อรุ่น
กำหนดให้ X คือจำนวนเบำะที่ชำรุดในกำรสุ่มตัวอย่ำง จงหำว่ำโดยเฉลี่ยในกำรตรวจสอบจะพบเบำะ
ชำรุดในกำรสุ่มตัวอย่ำงจำนวนเท่ำไร
เมื่อ X คือจำนวนเบำะที่ชำรุด (X=0,1,2,3) และกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น X เป็นดังตำรำง
ดังนั้น โดยเฉลี่ยในกำรตรวจสอบจะพบเบำะชำรุดในกำรสุ่มตัวอย่ำง
E[x] = µ = X : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
= 0(0.3991)+1(0.4605)+2(0.1316)+3(0.0088)
= 0.7501 ตัว
X 0 1 2 3
P(X=x) 0.3991 0.4605 0.1316 0.0088


=
x
x
X
P
x )
(
*
กฎสำคัญในกำรคำดคะเนทำงคณิตศำสตร์
กฎข้อที่ 2 ถ้ำ g(x) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม x ใดๆ จะได้
E[g(x)] = X : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
E[g(x)] = X : เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
กฎข้อที่ 3 E[u(x) ± Ev(x)] = E[u(x)] ± E[v(x)] กฎกำรกระจำย
กฎข้อที่ 4 E[aX±b] = aE[X] ± b ; a, b เป็นค่ำคงที่

x
x
f
x
g )
(
)
(



−
dx
x
f
x
g )
(
)
(
Example 3.
จำกโจทย์ตัวอย่ำง 3.3 กำหนดให้ X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ซึ่งมีกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นตำม
ตำรำง
จงหำ ค่ำเฉลี่ยของ X2 และ X3-1
E[g(x)] = X : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
E[X2] = = 02(1/4)+12(1/8)+22(1/2)+32(1/8) = 3.25
E[X3-1] = = (03-1)(1/4)+(13-1)(1/8)+(23-1)(1/2)+(33-1)(1/8)
= -1/4+0+7/2+26/8 = 52/8 = 6.5
X 0 1 2 3
P(X=x) 1/4 1/8 1/2 1/8


=
x
x
X
P
x )
(
*
2

x
x
f
x
g )
(
)
(


=
−
x
x
X
P
x )
(
*
)
1
( 3
Example 4.
ในกำรเจำะชิ้นงำนโลหะ ใช้ในกำรประกอบบำนตู้เย็น พบว่ำ ขนำดเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของรูเจำะ(X)
มีฟังก์ชันกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นสะสมดังนี้
X : เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
จงหำ ค่ำเฉลี่ยของ X2
E[g(x)] = X : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
E[X2] =










−

=
1
1
1
0
)
5
(
5
.
12
0
0
)
(
5
x
x
x
x
x
x
F
1
0
;
)
1
(
25
.
1
)
(
)
( 4


−
=
= x
x
dx
x
dF
x
f



−
dx
x
f
x
g )
(
)
(
2381
.
0
7
3
25
.
1
)]
1
(
25
.
1
[
1
0
7
3
1
0
4
2
=







−
=
−

x
x
dx
x
x
Example 5.
จำกตัวอย่ำงที่ 4 และค่ำเฉลี่ยของ 2X-X2+5 และค่ำเฉลี่ยของเส้นรอบวงรูที่เจำะ
ค่ำเฉลี่ยของ 2X-X2+5 = E[2X-X2+5]
= E[2X]-E[X2-5] ; กฎข้อที่ 3
= 2E[X]-E[X2]+5 ; กฎข้อที่ 4
ค่ำเฉลี่ยของเส้นรอบวงของรูที่เจำะ =
4167
.
0
6
2
25
.
1
)]
1
(
25
.
1
[
)
(
1
0
6
2
1
0
4
=







−
=
−
= 
x
x
dx
x
x
X
E
2381
.
0
)
( 2
=
X
E
5963
.
5
5
2381
.
0
)
4167
.
0
(
2
5
]
[
]
[
2
]
5
2
[ 2
2
=
+
−
=
+
−
=
+
−
 X
E
X
E
X
X
E
]
[
]
2
2
[ X
E
X
E 
 =
3096
.
1
)
7
22
(
4167
.
0
]
[ =
=
= X
E

กฎสำคัญในกำรคำดคะเนทำงคณิตศำสตร์
กฎข้อที่ 5 ให้ g(x,y) เป็นฟังก์ชันร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y
E[g(x,y)] = X, Y : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
E[g(x,y)] = X, Y : เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
กฎข้อที่ 6 ถ้ำตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นอิสระต่อกัน จะได้ E[XY] = E[X].E[Y]
เนื่องจำก f(x,y) = g(x).h(y)
ดังนั้น
กฎข้อที่ 7 E[g(x,y) ± h(x,y)] = E[g(x,y)] ± E[h(x,y)]

 
x y
y
x
f
y
x
g )
,
(
).
,
(
dy
dx
y
x
f
y
x
g
x
y



)
,
(
)
,
(
    


 
=
=
=
x y
Y
E
X
E
dy
y
h
y
dx
x
g
x
y
h
y
x
g
x
XY
E ]
[
].
[
)
(
.
)
(
.
)
(
.
)
(
.
]
[
Example 6.
จำกบทควำม Performance Comparison … อธิบำยแบบกำรเคลื่อนไหวของ Notebook โดยสมมุติ
ให้ Notebook เคลื่อนที่ตำมแนวแกน X ภำยในเส้นตรง x=1 และเส้นตรง x=y กำหนดให้ (X,Y) แทน
ตำแหน่ง Notebook มีฟังก์ชันกำรแจกแจงวำมน่ำจะเป็นร่วมของ X และ Y คือ
ก) หำค่ำเฉลี่ย XY
ค่าเฉลี่ย XY = E[XY] = E[g(x,y)] ;X,Y ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
....
;
1
0
;
0
8
)
(
Other
y
xy
x
f





=



=
x
y
dxdy
y
x
f
y
x
g )
,
(
)
,
(
9
4
3
8
3
8
)
)
8
(
(
)
8
(
)
,
(
1
0
5
0
1
0
3
2
1
0 0
2
2
1
0 0
1
0 0
=







=







=
=
=
=


 


dx
x
dx
y
x
dx
dy
y
x
dxdy
xy
xy
dxdy
y
x
f
xy
x
x
x
x
Example 6.(ต่อ)
ข) สรุปได้หรือไม่ว่ำ X และ Y เป็นอิสระต่อกัน
ดังนั้นจะเห็นว่า E[XY] ≠ E[X].E[Y]
สรุปว่า ตัวแปรสุ่ม X และ Y ไม่เป็นอิสระต่อกัน
 

=
=
x
x x
x
xydy
x
f
0
3
1
0
;
4
8
)
(

5
4
5
4
)
4
(
]
[
1
0
5
1
0
3
=







=
= 
x
dx
x
x
X
E
 

−
=
=
1
3
1
0
;
4
4
8
)
(
y
y y
y
y
xydx
y
f

15
8
5
4
3
4
)
4
4
(
]
[
1
0
5
3
1
0
3
=







−
=
−
= 
y
y
dy
y
y
y
Y
E
15
8
.
5
4
9
4


Example 7.
บริษัทรับเหมำก่อสร้ำง มีโครงกำรลงทุนที่วิศวกรเสนอมำ 10 โครงกำร ดังนี้
บริษัทมีค่ำใช้จ่ำยปีละ 7 ล้ำนบำท ถ้ำบริษัทลงทุนโดยสุ่มเลือก 2
โครงกำรในแต่ละปี ถ้ำแต่ละโครงกำรเป็นอิสระต่อกัน และกำรแจก
แจงควำมน่ำจะเป็นร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y ได้ดังตำรำง
เมื่อ X คือ จำนวนโครงกำรบ้ำนจัดสรรที่เลือกลงทุน
Y คือ จำนวนโครงกำรเขื่อนที่เลือกลงทุน
จงหำค่ำคำดหมำยของกำไรสุทธิและค่ำเฉลี่ยของ XY
โครงการ โครงการ
ที่เสนอ
กาไรที่จะได้
(ล้าน/โครง)
บ้านจัดสรร (X) 2 5
เขื่อน (Y) 4 9
สะพาน (Z) 4 1
0 6/45 8/45 1/45
1 16/45 8/45 -
2 6/45 - -
Example 7.(ต่อ)
ค่ำคำดหมำยของกำไรสุทธิ = E[5X+9Y+Z-7] = E[5X+9Y+(2-X-Y)-7]
= E[4X+8Y-5] = 4E[X]+8E[Y]-5
เพรำะว่ำ
ค่ำคำดหมำยของกำไรสุทธิ = 4E[X]+8E[Y]-5 = 4(2/5)+8(4/5)-5 = 3 ล้าน
และ
x 0 1 2
P(X=x) 28/45 16/45 1/45
y 0 1 2
P(Y=y) 15/45 24/45 6/45
5
2
45
18
)
(
]
[ =
=
=
= 
x
x
X
xP
X
E
5
4
45
36
)
(
]
[ =
=
=
= 
y
y
Y
yP
Y
E

 
=
=
=
=
=
y x
Y
E
X
E
y
Y
x
X
xyP
XY
E
25
8
]
[
]
[
)
,
(
]
[
กฎสำคัญเกี่ยวกับควำมแปรปรวนของประชำกร
กฎข้อที่ 8 ควำมแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X =
กฎข้อที่ 9
กฎข้อที่ 10 1) ควำมแปรปรวนของค่ำคงที่มีค่ำ = 0 เช่น V(5) = 0
2) ควำมแปรปรวนของค่ำคงที่คูณตัวแปรสุ่ม
ดังนั้น เมื่อ a, b เป็นค่ำคงที่
(เพรำะ V(b)=0)
2
x

2
2
2
2
2
2
]
[
}
]
[
{
]
[
]
)
[(
)
( 

 −
=
−
=
−
=
= X
E
X
E
X
E
X
E
X
V
x
2
)
(
2
2
)
(
2
)
( ]
)
(
[
)]
)
(
[(
))
(
( x
g
x
g
x
g x
g
E
x
g
E
x
g
V 

 −
=
−
=
=
2
2
2
2
)
(
)
( x
ax a
X
V
a
aX
V 
 =
=
=
)
(
2
b
aX
V
b
ax 
=


2
2
2
)
( x
a
X
V
a 
=
=
Example 8.
จำกตัวอย่ำง 4.4 จงหำควำมแปรปรวนของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X และของพท.ของรูที่เจำะ (mm.)
ควำมแปรปรวนของพื้นที่ของรูที่เจำะ กฎข้อที่ 9
4167
.
0
6
2
25
.
1
]
)
1
(
25
.
1
[
)
(
1
0
6
2
1
0
4
=







−
=
−
= 
x
x
dx
x
x
X
E

2381
.
0
7
3
25
.
1
)]
1
(
25
.
1
[
)
(
1
0
7
3
1
0
4
2
2
=







−
=
−
= 
x
x
dx
x
x
X
E
and
2
2
2
2
2
2
]
[
}
]
[
{
]
[
]
)
[(
)
( 

 −
=
−
=
−
=
=
 X
E
X
E
X
E
X
E
X
V
x
2
2
0645
.
0
)
4167
.
0
(
2381
.
0 mm
=
−
=
}
]
[
]
[
{
16
1
]
[
16
1
]
4
[ 2
2
4
2
2
2
2
X
E
X
E
X
V
X
V −
=
=
= 


2
2
2
1
0
2
4
4
2
0034
.
0
)
05442
.
0
(
16
1
}
)
2381
.
0
(
)]
1
(
25
.
1
[
{
16
1
mm
dx
x
x



=
=
−
−
= 
กฎสำคัญเกี่ยวกับควำมแปรปรวนของประชำกร
กฎข้อที่ 11 ควำมแปรปรวนร่วม ของตัวแปรสุ่ม X และ Y คือ
- ถ้ำ ค่ำควำมแปรปรวนร่วม > 0 X และ Y เปลี่ยนแปลงในทิศทำงเดียวกัน
- ถ้ำ ค่ำควำมแปรปรวนร่วม < 0 X และ Y เปลี่ยนแปลงในทิศทำงตรงข้ำม
- ถ้ำ ค่ำควำมแปรปรวนร่วม = 0 X และ Y เป็นอิสระต่อกัน
กฎข้อที่ 12 ค่ำส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำน
xy

]
[
*
]
[
]
[
)]
)(
[(
)
,
( Y
E
X
E
XY
E
Y
X
E
Y
X
Cov y
x
xy −
=
−
−
=
= 



2
2
2
]
[
.
. 

 −
=
=
= X
E
D
S
กฎสำคัญเกี่ยวกับควำมแปรปรวนของประชำกร
กฎข้อที่ 13 ควำมแปรปรวนของผลบวกหรือผลต่ำง ของส่วนประกอบเชิงเส้นของตัวแปรสุ่ม X
และ Y คือ V(aX ± bY)
ถ้ำ X และ Y เป็นอิสระต่อกัน จะได้ว่ำ
เนื่องจำก
ถ้ำ X, Y เป็นอิสระต่อกัน
)
,
(
2
)
(
)
(
)
( 2
2
2
Y
X
abCov
Y
V
b
X
V
a
bY
aX
V bY
aX 

=
=
 

)
(
)
(
)
( 2
2
2
Y
V
b
X
V
a
bY
aX
V
bY
aX 
=

=


0
]
[
]
[
]
[
)
,
( =
−
= Y
E
X
E
XY
E
y
x
Cov
Example 9.
จำกตัวอย่ำงที่ 4.6 จงหำค่ำควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y
ค่ำเฉลี่ย XY = E[XY] = 4/9
ค่ำควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y
จะเห็นว่า ค่ำควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y มีค่ำมำกกว่ำ 0
แสดงว่ำ X และ Y เปลี่ยนแปลงไปในทำงเดียวกัน (X เพิ่ม Y เพิ่ม)
5
4
5
4
)
4
(
]
[
1
0
5
1
0
3
=







=
= 
x
dx
x
x
X
E
15
8
5
4
3
4
)
4
4
(
]
[
1
0
5
3
1
0
3
=







−
=
−
= 
y
y
dy
y
y
y
Y
E
]
[
*
]
[
]
[
)
,
( Y
E
X
E
XY
E
Y
X
Cov −
=
01778
.
0
225
4
225
96
100
)
15
8
(
5
4
9
4
=
=
−
=
−
=
Example 10.
จำกตัวอย่ำงที่ 4.7 จงหำควำมแปรปรวนของกำไรสุทธิในแต่ละปี ควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม
X และ Y เมื่อ X คือจำนวนโครงกำรบ้ำนจัดสรรที่เลือกลงทุน Y คือจำนวนโครงกำรเขื่อนที่เลือกลงทุน
และจงหำส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำนของจำนวนโครงกำรบ้ำนจัดสรรที่สุ่มได้
จำกตัวอย่ำง 4.7 ค่ำคำดหมำยของกำไรสุทธิ = 4E[X]+8E[Y]-5 = 3 ล้านบาท
ดังนั้น ควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y =
ควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y < 0 แสดงว่ำ จำนวนโครงกำรบ้ำนจัดสรรที่เลือกลงทุนมีจำนวนเพิ่มขึ้น
ส่วนจำนวนโครงกำรเขื่อนที่เลือกลงทุนจะลดลง (X เพิ่ม Y ลดลง)
5
2
45
18
)
(
]
[ =
=
=
= 
x
x
X
xP
X
E
5
4
45
36
)
(
]
[ =
=
=
= 
y
y
Y
yP
Y
E

 
=
=
=
=
y x
y
Y
x
X
xyP
XY
E
45
8
)
,
(
]
[
]
[
*
]
[
]
[
)
,
( Y
E
X
E
XY
E
y
x
Cov −
=
)
0
(
225
32
225
72
40
)
5
4
(
5
2
45
8

−
=
−
=
−
=
Example 10.(ต่อ)
ควำมแปรปรวนของกำไรสุทธิแต่ละปี = V[4X+8Y-5] = V[4X+8Y]
= 16V[X]+64V[Y]+2(4)(8)Cov(X,Y)
เพรำะว่ำ
ควำมแปรปรวนของกำไรสุทธิแต่ละปี = 16V[X]+64V[Y]+2(4)(8)Cov(X,Y)
ส่วน SD.ของจำนวนโครงกำรบ้ำนจัดสรร
x 0 1 2
P(X=x) 28/45 16/45 1/45
y 0 1 2
P(Y=y) 15/45 24/45 6/45
45
20
45
4
16
)
(
]
[ 2
2
=
+
=
=
= 
x
x
X
P
x
X
E
45
48
45
24
24
)
(
]
[ 2
2
=
+
=
=
= 
y
y
Y
P
y
Y
E
53
.
0
15
8
225
64
]
[ 2
2
2
=
=
=
−
=
= 

 X
E
225
64
]}
[
{
]
[
]
[ 2
2
=
−
= X
E
X
E
X
V
75
32
]}
[
{
]
[
]
[ 2
2
=
−
= Y
E
Y
E
Y
V
96
.
40
25
024
,
1
)
225
32
(
64
)
75
32
(
64
)
225
64
(
16 =
=
−
+
+
=
กำรหำมัธยฐำน
ค่ำมัธยฐำน (Median) =
เมื่อ ; X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
; X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
X
~

−
=
X
dx
x
f
~
5
.
0
)
(
5
.
0
)
(
~
=
=


−
X
x
X
P
Example 11.
ถ้ำเวลำที่ใช้ในกำรปล่อยอนุภำคแอลฟำ (X มีหน่วยเป็นวินำที) ของสำรกัมมันตรังสีชนิดหนึ่ง มีฟังก์ชัน
กำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นคือ
หำค่ำมัธยฐำน
;X,Y ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
0
;
1
.
0
)
( 1
.
0

= −
x
e
x
f x
5
.
0
)
(
~
=

−
dx
x
f
X
5
.
0
1
10
1 ~
1
.
0
~
0
10
=
−
=
= −
−

X
X x
e
dx
e
5
.
0
ln
~
1
.
0 =
− X
.
931
.
6
~
S
X =
Chebyshev’s Theorem
ถ้ำ X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง และมีกำรแจกแจงสมมำตร ซึ่งรู้ค่ำเฉลี่ย และควำมแปรปรวน
แต่ไม่ทรำบฟังก์ชันกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น สำหรับเลขบวก k ใดๆ จะสำมำรถประมำณ
ค่ำควำมน่ำจะเป็นได้จำก
นั่นคือ
2
1
1
]
|
[|
k
k
x
P −


− 

2
1
1
]
[
k
k
x
k
P −

+


− 



Example 12.
ค่ำใช้จ่ำยต่อวันในกำรใช้เครื่องมือชนิดหนึ่ง เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องและมีกำรแจกแจงแบบสมมำตร
โดยมีค่ำเฉลี่ย = 18 ดอลลำร์ และมีควำมแปรปรวน = 25 อยำกทรำบว่ำบ่อยแค่ไหนที่จะพบว่ำ
ค่ำใช้จ่ำยมีค่ำมำกกว่ำ 28 ดอลลำร์
นั่นคือ
เนื่องจำก X มีกำรแจกแจงสมมำตร
ดังนั้น โอกำสที่จะพบว่ำค่ำใช้จ่ำยต่อวันมำกกว่ำ 28 ดอลลำร์ มีค่ำไม่เกิน 12.5%
2
1
1
]
|
[|
k
k
x
P −


− 



 2
10
18
)
5
(
2
18
28 +
=
+
=
+
= 2
=
 k
4
1
1
]
2
2
[ −

+


− 


 x
P

25
.
0
]
2
[
]
2
[ 
+

+
−
 


 x
P
x
P
25
.
0
]
2
[
2 
+
 

x
P
125
.
0
]
28
[ 

 x
P

More Related Content

What's hot

คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน
คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียนคู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน
คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียนkroojaja
 
ข่าไล่แมลงวัน
ข่าไล่แมลงวันข่าไล่แมลงวัน
ข่าไล่แมลงวันDnavaroj Dnaka
 
ความน่าจะเป็น(Probability)
ความน่าจะเป็น(Probability)ความน่าจะเป็น(Probability)
ความน่าจะเป็น(Probability)Aommii Honestly
 
Chapter 3 อนุกรม
Chapter 3 อนุกรมChapter 3 อนุกรม
Chapter 3 อนุกรมPumPui Oranuch
 
การหาเลขฐานต่างๆ
การหาเลขฐานต่างๆการหาเลขฐานต่างๆ
การหาเลขฐานต่างๆNoii Kittiya
 
SPSF04 - Euler and Runge-Kutta Methods
SPSF04 - Euler and Runge-Kutta MethodsSPSF04 - Euler and Runge-Kutta Methods
SPSF04 - Euler and Runge-Kutta MethodsSyeilendra Pramuditya
 
1 ลำดับเลขคณิต
1 ลำดับเลขคณิต1 ลำดับเลขคณิต
1 ลำดับเลขคณิตToongneung SP
 
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)Thanuphong Ngoapm
 
สูตรการหาพื้นที่
สูตรการหาพื้นที่สูตรการหาพื้นที่
สูตรการหาพื้นที่guest63819e
 
เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน
เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน
เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนkroojaja
 
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง             ชื่อแบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง             ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อChantana Wonghirun
 
ฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function)
ฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function)ฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function)
ฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function)CC Nakhon Pathom Rajabhat University
 
ใบงานที่ 1 เซต
ใบงานที่ 1 เซต ใบงานที่ 1 เซต
ใบงานที่ 1 เซต pairtean
 
ตัวอย่างเค้าโครงข้อเสนอโครงงานคอมพิวเตอร์
ตัวอย่างเค้าโครงข้อเสนอโครงงานคอมพิวเตอร์ตัวอย่างเค้าโครงข้อเสนอโครงงานคอมพิวเตอร์
ตัวอย่างเค้าโครงข้อเสนอโครงงานคอมพิวเตอร์Earnzy Clash
 
ประวัติพ่อขุนรามคำแหงมหาราช
ประวัติพ่อขุนรามคำแหงมหาราชประวัติพ่อขุนรามคำแหงมหาราช
ประวัติพ่อขุนรามคำแหงมหาราชAmmie Sweetty
 
รายงานออกแบบ
รายงานออกแบบรายงานออกแบบ
รายงานออกแบบparwaritfast
 
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบแบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบMike Polsit
 

What's hot (20)

คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน
คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียนคู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน
คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน
 
ข่าไล่แมลงวัน
ข่าไล่แมลงวันข่าไล่แมลงวัน
ข่าไล่แมลงวัน
 
ความน่าจะเป็น(Probability)
ความน่าจะเป็น(Probability)ความน่าจะเป็น(Probability)
ความน่าจะเป็น(Probability)
 
Chapter 3 อนุกรม
Chapter 3 อนุกรมChapter 3 อนุกรม
Chapter 3 อนุกรม
 
การหาเลขฐานต่างๆ
การหาเลขฐานต่างๆการหาเลขฐานต่างๆ
การหาเลขฐานต่างๆ
 
แผ่นพับ
แผ่นพับแผ่นพับ
แผ่นพับ
 
SPSF04 - Euler and Runge-Kutta Methods
SPSF04 - Euler and Runge-Kutta MethodsSPSF04 - Euler and Runge-Kutta Methods
SPSF04 - Euler and Runge-Kutta Methods
 
ผลต่าง
ผลต่างผลต่าง
ผลต่าง
 
1 ลำดับเลขคณิต
1 ลำดับเลขคณิต1 ลำดับเลขคณิต
1 ลำดับเลขคณิต
 
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)
 
สูตรการหาพื้นที่
สูตรการหาพื้นที่สูตรการหาพื้นที่
สูตรการหาพื้นที่
 
เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน
เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน
เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน
 
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง             ชื่อแบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง             ชื่อ
แบบทดสอบเรื่อง เลขยกกำลัง ชื่อ
 
ฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function)
ฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function)ฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function)
ฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function)
 
ใบงานที่ 1 เซต
ใบงานที่ 1 เซต ใบงานที่ 1 เซต
ใบงานที่ 1 เซต
 
ตัวอย่างเค้าโครงข้อเสนอโครงงานคอมพิวเตอร์
ตัวอย่างเค้าโครงข้อเสนอโครงงานคอมพิวเตอร์ตัวอย่างเค้าโครงข้อเสนอโครงงานคอมพิวเตอร์
ตัวอย่างเค้าโครงข้อเสนอโครงงานคอมพิวเตอร์
 
ประวัติพ่อขุนรามคำแหงมหาราช
ประวัติพ่อขุนรามคำแหงมหาราชประวัติพ่อขุนรามคำแหงมหาราช
ประวัติพ่อขุนรามคำแหงมหาราช
 
รายงานออกแบบ
รายงานออกแบบรายงานออกแบบ
รายงานออกแบบ
 
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบแบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
 
การบวกจำนวนเต็ม (2)
การบวกจำนวนเต็ม (2)การบวกจำนวนเต็ม (2)
การบวกจำนวนเต็ม (2)
 

Similar to บทที่4.pdf

อนุพันธ์
อนุพันธ์อนุพันธ์
อนุพันธ์krurutsamee
 
แบบฝึกทักษะแคลคูลัสเบื้องต้น สว.กจ
แบบฝึกทักษะแคลคูลัสเบื้องต้น สว.กจแบบฝึกทักษะแคลคูลัสเบื้องต้น สว.กจ
แบบฝึกทักษะแคลคูลัสเบื้องต้น สว.กจชัชชญา ช่างเจริญ
 
การแก้อสมการ
การแก้อสมการการแก้อสมการ
การแก้อสมการAon Narinchoti
 
Exponential and logarithm function
Exponential and logarithm functionExponential and logarithm function
Exponential and logarithm functionThanuphong Ngoapm
 
Ch3 high order_od_es
Ch3 high order_od_esCh3 high order_od_es
Ch3 high order_od_esWk Kal
 
Expor&log1 (1)
Expor&log1 (1)Expor&log1 (1)
Expor&log1 (1)Chay Nyx
 
Expor&log1 (1)
Expor&log1 (1)Expor&log1 (1)
Expor&log1 (1)Chay Nyx
 
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
สรุปสูตรคณิตศาสตร์สรุปสูตรคณิตศาสตร์
สรุปสูตรคณิตศาสตร์wisita42
 
ประวัติ แคลคูลัส
ประวัติ แคลคูลัสประวัติ แคลคูลัส
ประวัติ แคลคูลัสPloy Purr
 
Chapter 4 ลิมิตของฟังก์ชัน
Chapter 4 ลิมิตของฟังก์ชันChapter 4 ลิมิตของฟังก์ชัน
Chapter 4 ลิมิตของฟังก์ชันPumPui Oranuch
 
สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6 สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6 sensehaza
 
กฎของเลขยกกำลัง
กฎของเลขยกกำลังกฎของเลขยกกำลัง
กฎของเลขยกกำลังNiwat Namisa
 
กฎของเลขยกกำลัง
กฎของเลขยกกำลังกฎของเลขยกกำลัง
กฎของเลขยกกำลังNiwat Namisa
 
แบบฝึกทักษะเมทริกซ์ เล่ม 1 ระบบสมการเชิงเส้น เผยแพร่
แบบฝึกทักษะเมทริกซ์ เล่ม 1 ระบบสมการเชิงเส้น เผยแพร่แบบฝึกทักษะเมทริกซ์ เล่ม 1 ระบบสมการเชิงเส้น เผยแพร่
แบบฝึกทักษะเมทริกซ์ เล่ม 1 ระบบสมการเชิงเส้น เผยแพร่Chon Chom
 

Similar to บทที่4.pdf (20)

อนุพันธ์
อนุพันธ์อนุพันธ์
อนุพันธ์
 
แบบฝึกทักษะแคลคูลัสเบื้องต้น สว.กจ
แบบฝึกทักษะแคลคูลัสเบื้องต้น สว.กจแบบฝึกทักษะแคลคูลัสเบื้องต้น สว.กจ
แบบฝึกทักษะแคลคูลัสเบื้องต้น สว.กจ
 
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
 
การแก้อสมการ
การแก้อสมการการแก้อสมการ
การแก้อสมการ
 
Exponential and logarithm function
Exponential and logarithm functionExponential and logarithm function
Exponential and logarithm function
 
Ch3 high order_od_es
Ch3 high order_od_esCh3 high order_od_es
Ch3 high order_od_es
 
ลิมิต
ลิมิตลิมิต
ลิมิต
 
Expor&log1 (1)
Expor&log1 (1)Expor&log1 (1)
Expor&log1 (1)
 
Expor&log1 (1)
Expor&log1 (1)Expor&log1 (1)
Expor&log1 (1)
 
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
สรุปสูตรคณิตศาสตร์สรุปสูตรคณิตศาสตร์
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
 
ประวัติ แคลคูลัส
ประวัติ แคลคูลัสประวัติ แคลคูลัส
ประวัติ แคลคูลัส
 
Chapter 4 ลิมิตของฟังก์ชัน
Chapter 4 ลิมิตของฟังก์ชันChapter 4 ลิมิตของฟังก์ชัน
Chapter 4 ลิมิตของฟังก์ชัน
 
linear function
linear functionlinear function
linear function
 
สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6 สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6
 
Calculus
CalculusCalculus
Calculus
 
Relation and function
Relation and functionRelation and function
Relation and function
 
กฎของเลขยกกำลัง
กฎของเลขยกกำลังกฎของเลขยกกำลัง
กฎของเลขยกกำลัง
 
กฎของเลขยกกำลัง
กฎของเลขยกกำลังกฎของเลขยกกำลัง
กฎของเลขยกกำลัง
 
แบบฝึกทักษะเมทริกซ์ เล่ม 1 ระบบสมการเชิงเส้น เผยแพร่
แบบฝึกทักษะเมทริกซ์ เล่ม 1 ระบบสมการเชิงเส้น เผยแพร่แบบฝึกทักษะเมทริกซ์ เล่ม 1 ระบบสมการเชิงเส้น เผยแพร่
แบบฝึกทักษะเมทริกซ์ เล่ม 1 ระบบสมการเชิงเส้น เผยแพร่
 
Pat1;61
Pat1;61Pat1;61
Pat1;61
 

More from sewahec743

บทที่10.pdf
บทที่10.pdfบทที่10.pdf
บทที่10.pdfsewahec743
 
บทที่9.pdf
บทที่9.pdfบทที่9.pdf
บทที่9.pdfsewahec743
 
บทที่8.pdf
บทที่8.pdfบทที่8.pdf
บทที่8.pdfsewahec743
 
บทที่7.pdf
บทที่7.pdfบทที่7.pdf
บทที่7.pdfsewahec743
 
บทที่6.pdf
บทที่6.pdfบทที่6.pdf
บทที่6.pdfsewahec743
 
บทที่3.pdf
บทที่3.pdfบทที่3.pdf
บทที่3.pdfsewahec743
 
บทที่2.pdf
บทที่2.pdfบทที่2.pdf
บทที่2.pdfsewahec743
 
บทที่1.pdf
บทที่1.pdfบทที่1.pdf
บทที่1.pdfsewahec743
 

More from sewahec743 (8)

บทที่10.pdf
บทที่10.pdfบทที่10.pdf
บทที่10.pdf
 
บทที่9.pdf
บทที่9.pdfบทที่9.pdf
บทที่9.pdf
 
บทที่8.pdf
บทที่8.pdfบทที่8.pdf
บทที่8.pdf
 
บทที่7.pdf
บทที่7.pdfบทที่7.pdf
บทที่7.pdf
 
บทที่6.pdf
บทที่6.pdfบทที่6.pdf
บทที่6.pdf
 
บทที่3.pdf
บทที่3.pdfบทที่3.pdf
บทที่3.pdf
 
บทที่2.pdf
บทที่2.pdfบทที่2.pdf
บทที่2.pdf
 
บทที่1.pdf
บทที่1.pdfบทที่1.pdf
บทที่1.pdf
 

บทที่4.pdf

  • 2. กฎสำคัญในกำรคำดคะเนทำงคณิตศำสตร์ ค่ำคำดหมำย (Expected Value) คือ ค่ำเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม สัญลักษณ์คือ ใช้แทน ซึ่งสูตรทั่วไปของค่ำคำดคะเน จำแนกตำมประเภทตัวแปรสุ่ม ดังนี้ กฎทั่วไป ถ้า เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม X เช่น เป็นต้น 1) ถ้ำ X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง และมีฟังก์ชันกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นคือ f(x)=P(X=x) 2) ถ้ำ X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง และมีฟังก์ชันกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นคือ f(x)  E ) (     ) (x W =  ) sin( , 2 x X =  =    =  =  x x X P E ) ( *    =  x dx x f E ) ( *
  • 3. สรุปกฎสำคัญในกำรคำดคะเนทำงคณิตศำสตร์ กฎข้อที่ 1 ค่ำคำดหมำยของตัวแปรสุ่มใดๆ คือ ค่ำเฉลี่ย (Mean) ของตัวแปรนั้นๆ (µ) ค่ำเฉลี่ย E[x] = µ = X : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง E[x] = µ = X : เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง   = x x X P x ) ( *    − dx x xf ) (
  • 4. Example 1. ถ้ำตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (X) คือขนำดเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของชิ้นงำน(นิ้ว) มีฟังก์ชันกำรแจกแจงควำม น่ำจะเป็นคือ จงหำค่ำเฉลี่ยของ X ค่ำเฉลี่ย = E[x] = µ 1 0 ; ) 1 ( 12 ) ( 2   − = x x x x f dx x x x dx x f x ) ) 1 ( 12 ( ) ( 2 1 0 − = =     − 1 0 5 4 3 1 0 4 3 2 5 4 2 2 12 ) 2 ( 12        + − = + − =  x x x dx x x x  4 . 0 5 1 2 1 3 1 12 =       + − =
  • 5. Example 2. บริษัทผลิตเบำะนั่ง ผลิตรุ่นละ 20 ตัว ถ้ำทรำบว่ำแต่ละรุ่นมีชำรุด 3 ตัว บริษัทสุ่มตรวจ5 ตัวต่อรุ่น กำหนดให้ X คือจำนวนเบำะที่ชำรุดในกำรสุ่มตัวอย่ำง จงหำว่ำโดยเฉลี่ยในกำรตรวจสอบจะพบเบำะ ชำรุดในกำรสุ่มตัวอย่ำงจำนวนเท่ำไร เมื่อ X คือจำนวนเบำะที่ชำรุด (X=0,1,2,3) และกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น X เป็นดังตำรำง ดังนั้น โดยเฉลี่ยในกำรตรวจสอบจะพบเบำะชำรุดในกำรสุ่มตัวอย่ำง E[x] = µ = X : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง = 0(0.3991)+1(0.4605)+2(0.1316)+3(0.0088) = 0.7501 ตัว X 0 1 2 3 P(X=x) 0.3991 0.4605 0.1316 0.0088   = x x X P x ) ( *
  • 6. กฎสำคัญในกำรคำดคะเนทำงคณิตศำสตร์ กฎข้อที่ 2 ถ้ำ g(x) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม x ใดๆ จะได้ E[g(x)] = X : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง E[g(x)] = X : เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง กฎข้อที่ 3 E[u(x) ± Ev(x)] = E[u(x)] ± E[v(x)] กฎกำรกระจำย กฎข้อที่ 4 E[aX±b] = aE[X] ± b ; a, b เป็นค่ำคงที่  x x f x g ) ( ) (    − dx x f x g ) ( ) (
  • 7. Example 3. จำกโจทย์ตัวอย่ำง 3.3 กำหนดให้ X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ซึ่งมีกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นตำม ตำรำง จงหำ ค่ำเฉลี่ยของ X2 และ X3-1 E[g(x)] = X : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง E[X2] = = 02(1/4)+12(1/8)+22(1/2)+32(1/8) = 3.25 E[X3-1] = = (03-1)(1/4)+(13-1)(1/8)+(23-1)(1/2)+(33-1)(1/8) = -1/4+0+7/2+26/8 = 52/8 = 6.5 X 0 1 2 3 P(X=x) 1/4 1/8 1/2 1/8   = x x X P x ) ( * 2  x x f x g ) ( ) (   = − x x X P x ) ( * ) 1 ( 3
  • 8. Example 4. ในกำรเจำะชิ้นงำนโลหะ ใช้ในกำรประกอบบำนตู้เย็น พบว่ำ ขนำดเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของรูเจำะ(X) มีฟังก์ชันกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นสะสมดังนี้ X : เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง จงหำ ค่ำเฉลี่ยของ X2 E[g(x)] = X : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง E[X2] =           −  = 1 1 1 0 ) 5 ( 5 . 12 0 0 ) ( 5 x x x x x x F 1 0 ; ) 1 ( 25 . 1 ) ( ) ( 4   − = = x x dx x dF x f    − dx x f x g ) ( ) ( 2381 . 0 7 3 25 . 1 )] 1 ( 25 . 1 [ 1 0 7 3 1 0 4 2 =        − = −  x x dx x x
  • 9. Example 5. จำกตัวอย่ำงที่ 4 และค่ำเฉลี่ยของ 2X-X2+5 และค่ำเฉลี่ยของเส้นรอบวงรูที่เจำะ ค่ำเฉลี่ยของ 2X-X2+5 = E[2X-X2+5] = E[2X]-E[X2-5] ; กฎข้อที่ 3 = 2E[X]-E[X2]+5 ; กฎข้อที่ 4 ค่ำเฉลี่ยของเส้นรอบวงของรูที่เจำะ = 4167 . 0 6 2 25 . 1 )] 1 ( 25 . 1 [ ) ( 1 0 6 2 1 0 4 =        − = − =  x x dx x x X E 2381 . 0 ) ( 2 = X E 5963 . 5 5 2381 . 0 ) 4167 . 0 ( 2 5 ] [ ] [ 2 ] 5 2 [ 2 2 = + − = + − = + −  X E X E X X E ] [ ] 2 2 [ X E X E   = 3096 . 1 ) 7 22 ( 4167 . 0 ] [ = = = X E 
  • 10. กฎสำคัญในกำรคำดคะเนทำงคณิตศำสตร์ กฎข้อที่ 5 ให้ g(x,y) เป็นฟังก์ชันร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y E[g(x,y)] = X, Y : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง E[g(x,y)] = X, Y : เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง กฎข้อที่ 6 ถ้ำตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นอิสระต่อกัน จะได้ E[XY] = E[X].E[Y] เนื่องจำก f(x,y) = g(x).h(y) ดังนั้น กฎข้อที่ 7 E[g(x,y) ± h(x,y)] = E[g(x,y)] ± E[h(x,y)]    x y y x f y x g ) , ( ). , ( dy dx y x f y x g x y    ) , ( ) , (          = = = x y Y E X E dy y h y dx x g x y h y x g x XY E ] [ ]. [ ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ] [
  • 11. Example 6. จำกบทควำม Performance Comparison … อธิบำยแบบกำรเคลื่อนไหวของ Notebook โดยสมมุติ ให้ Notebook เคลื่อนที่ตำมแนวแกน X ภำยในเส้นตรง x=1 และเส้นตรง x=y กำหนดให้ (X,Y) แทน ตำแหน่ง Notebook มีฟังก์ชันกำรแจกแจงวำมน่ำจะเป็นร่วมของ X และ Y คือ ก) หำค่ำเฉลี่ย XY ค่าเฉลี่ย XY = E[XY] = E[g(x,y)] ;X,Y ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง .... ; 1 0 ; 0 8 ) ( Other y xy x f      =    = x y dxdy y x f y x g ) , ( ) , ( 9 4 3 8 3 8 ) ) 8 ( ( ) 8 ( ) , ( 1 0 5 0 1 0 3 2 1 0 0 2 2 1 0 0 1 0 0 =        =        = = = =       dx x dx y x dx dy y x dxdy xy xy dxdy y x f xy x x x x
  • 12. Example 6.(ต่อ) ข) สรุปได้หรือไม่ว่ำ X และ Y เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นจะเห็นว่า E[XY] ≠ E[X].E[Y] สรุปว่า ตัวแปรสุ่ม X และ Y ไม่เป็นอิสระต่อกัน    = = x x x x xydy x f 0 3 1 0 ; 4 8 ) (  5 4 5 4 ) 4 ( ] [ 1 0 5 1 0 3 =        = =  x dx x x X E    − = = 1 3 1 0 ; 4 4 8 ) ( y y y y y xydx y f  15 8 5 4 3 4 ) 4 4 ( ] [ 1 0 5 3 1 0 3 =        − = − =  y y dy y y y Y E 15 8 . 5 4 9 4  
  • 13. Example 7. บริษัทรับเหมำก่อสร้ำง มีโครงกำรลงทุนที่วิศวกรเสนอมำ 10 โครงกำร ดังนี้ บริษัทมีค่ำใช้จ่ำยปีละ 7 ล้ำนบำท ถ้ำบริษัทลงทุนโดยสุ่มเลือก 2 โครงกำรในแต่ละปี ถ้ำแต่ละโครงกำรเป็นอิสระต่อกัน และกำรแจก แจงควำมน่ำจะเป็นร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y ได้ดังตำรำง เมื่อ X คือ จำนวนโครงกำรบ้ำนจัดสรรที่เลือกลงทุน Y คือ จำนวนโครงกำรเขื่อนที่เลือกลงทุน จงหำค่ำคำดหมำยของกำไรสุทธิและค่ำเฉลี่ยของ XY โครงการ โครงการ ที่เสนอ กาไรที่จะได้ (ล้าน/โครง) บ้านจัดสรร (X) 2 5 เขื่อน (Y) 4 9 สะพาน (Z) 4 1 0 6/45 8/45 1/45 1 16/45 8/45 - 2 6/45 - -
  • 14. Example 7.(ต่อ) ค่ำคำดหมำยของกำไรสุทธิ = E[5X+9Y+Z-7] = E[5X+9Y+(2-X-Y)-7] = E[4X+8Y-5] = 4E[X]+8E[Y]-5 เพรำะว่ำ ค่ำคำดหมำยของกำไรสุทธิ = 4E[X]+8E[Y]-5 = 4(2/5)+8(4/5)-5 = 3 ล้าน และ x 0 1 2 P(X=x) 28/45 16/45 1/45 y 0 1 2 P(Y=y) 15/45 24/45 6/45 5 2 45 18 ) ( ] [ = = = =  x x X xP X E 5 4 45 36 ) ( ] [ = = = =  y y Y yP Y E    = = = = = y x Y E X E y Y x X xyP XY E 25 8 ] [ ] [ ) , ( ] [
  • 15. กฎสำคัญเกี่ยวกับควำมแปรปรวนของประชำกร กฎข้อที่ 8 ควำมแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X = กฎข้อที่ 9 กฎข้อที่ 10 1) ควำมแปรปรวนของค่ำคงที่มีค่ำ = 0 เช่น V(5) = 0 2) ควำมแปรปรวนของค่ำคงที่คูณตัวแปรสุ่ม ดังนั้น เมื่อ a, b เป็นค่ำคงที่ (เพรำะ V(b)=0) 2 x  2 2 2 2 2 2 ] [ } ] [ { ] [ ] ) [( ) (    − = − = − = = X E X E X E X E X V x 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( ] ) ( [ )] ) ( [( )) ( ( x g x g x g x g E x g E x g V    − = − = = 2 2 2 2 ) ( ) ( x ax a X V a aX V   = = = ) ( 2 b aX V b ax  =   2 2 2 ) ( x a X V a  = =
  • 16. Example 8. จำกตัวอย่ำง 4.4 จงหำควำมแปรปรวนของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X และของพท.ของรูที่เจำะ (mm.) ควำมแปรปรวนของพื้นที่ของรูที่เจำะ กฎข้อที่ 9 4167 . 0 6 2 25 . 1 ] ) 1 ( 25 . 1 [ ) ( 1 0 6 2 1 0 4 =        − = − =  x x dx x x X E  2381 . 0 7 3 25 . 1 )] 1 ( 25 . 1 [ ) ( 1 0 7 3 1 0 4 2 2 =        − = − =  x x dx x x X E and 2 2 2 2 2 2 ] [ } ] [ { ] [ ] ) [( ) (    − = − = − = =  X E X E X E X E X V x 2 2 0645 . 0 ) 4167 . 0 ( 2381 . 0 mm = − = } ] [ ] [ { 16 1 ] [ 16 1 ] 4 [ 2 2 4 2 2 2 2 X E X E X V X V − = = =    2 2 2 1 0 2 4 4 2 0034 . 0 ) 05442 . 0 ( 16 1 } ) 2381 . 0 ( )] 1 ( 25 . 1 [ { 16 1 mm dx x x    = = − − = 
  • 17. กฎสำคัญเกี่ยวกับควำมแปรปรวนของประชำกร กฎข้อที่ 11 ควำมแปรปรวนร่วม ของตัวแปรสุ่ม X และ Y คือ - ถ้ำ ค่ำควำมแปรปรวนร่วม > 0 X และ Y เปลี่ยนแปลงในทิศทำงเดียวกัน - ถ้ำ ค่ำควำมแปรปรวนร่วม < 0 X และ Y เปลี่ยนแปลงในทิศทำงตรงข้ำม - ถ้ำ ค่ำควำมแปรปรวนร่วม = 0 X และ Y เป็นอิสระต่อกัน กฎข้อที่ 12 ค่ำส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำน xy  ] [ * ] [ ] [ )] )( [( ) , ( Y E X E XY E Y X E Y X Cov y x xy − = − − = =     2 2 2 ] [ . .    − = = = X E D S
  • 18. กฎสำคัญเกี่ยวกับควำมแปรปรวนของประชำกร กฎข้อที่ 13 ควำมแปรปรวนของผลบวกหรือผลต่ำง ของส่วนประกอบเชิงเส้นของตัวแปรสุ่ม X และ Y คือ V(aX ± bY) ถ้ำ X และ Y เป็นอิสระต่อกัน จะได้ว่ำ เนื่องจำก ถ้ำ X, Y เป็นอิสระต่อกัน ) , ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 Y X abCov Y V b X V a bY aX V bY aX   = =    ) ( ) ( ) ( 2 2 2 Y V b X V a bY aX V bY aX  =  =   0 ] [ ] [ ] [ ) , ( = − = Y E X E XY E y x Cov
  • 19. Example 9. จำกตัวอย่ำงที่ 4.6 จงหำค่ำควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y ค่ำเฉลี่ย XY = E[XY] = 4/9 ค่ำควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y จะเห็นว่า ค่ำควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y มีค่ำมำกกว่ำ 0 แสดงว่ำ X และ Y เปลี่ยนแปลงไปในทำงเดียวกัน (X เพิ่ม Y เพิ่ม) 5 4 5 4 ) 4 ( ] [ 1 0 5 1 0 3 =        = =  x dx x x X E 15 8 5 4 3 4 ) 4 4 ( ] [ 1 0 5 3 1 0 3 =        − = − =  y y dy y y y Y E ] [ * ] [ ] [ ) , ( Y E X E XY E Y X Cov − = 01778 . 0 225 4 225 96 100 ) 15 8 ( 5 4 9 4 = = − = − =
  • 20. Example 10. จำกตัวอย่ำงที่ 4.7 จงหำควำมแปรปรวนของกำไรสุทธิในแต่ละปี ควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y เมื่อ X คือจำนวนโครงกำรบ้ำนจัดสรรที่เลือกลงทุน Y คือจำนวนโครงกำรเขื่อนที่เลือกลงทุน และจงหำส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำนของจำนวนโครงกำรบ้ำนจัดสรรที่สุ่มได้ จำกตัวอย่ำง 4.7 ค่ำคำดหมำยของกำไรสุทธิ = 4E[X]+8E[Y]-5 = 3 ล้านบาท ดังนั้น ควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y = ควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y < 0 แสดงว่ำ จำนวนโครงกำรบ้ำนจัดสรรที่เลือกลงทุนมีจำนวนเพิ่มขึ้น ส่วนจำนวนโครงกำรเขื่อนที่เลือกลงทุนจะลดลง (X เพิ่ม Y ลดลง) 5 2 45 18 ) ( ] [ = = = =  x x X xP X E 5 4 45 36 ) ( ] [ = = = =  y y Y yP Y E    = = = = y x y Y x X xyP XY E 45 8 ) , ( ] [ ] [ * ] [ ] [ ) , ( Y E X E XY E y x Cov − = ) 0 ( 225 32 225 72 40 ) 5 4 ( 5 2 45 8  − = − = − =
  • 21. Example 10.(ต่อ) ควำมแปรปรวนของกำไรสุทธิแต่ละปี = V[4X+8Y-5] = V[4X+8Y] = 16V[X]+64V[Y]+2(4)(8)Cov(X,Y) เพรำะว่ำ ควำมแปรปรวนของกำไรสุทธิแต่ละปี = 16V[X]+64V[Y]+2(4)(8)Cov(X,Y) ส่วน SD.ของจำนวนโครงกำรบ้ำนจัดสรร x 0 1 2 P(X=x) 28/45 16/45 1/45 y 0 1 2 P(Y=y) 15/45 24/45 6/45 45 20 45 4 16 ) ( ] [ 2 2 = + = = =  x x X P x X E 45 48 45 24 24 ) ( ] [ 2 2 = + = = =  y y Y P y Y E 53 . 0 15 8 225 64 ] [ 2 2 2 = = = − = =    X E 225 64 ]} [ { ] [ ] [ 2 2 = − = X E X E X V 75 32 ]} [ { ] [ ] [ 2 2 = − = Y E Y E Y V 96 . 40 25 024 , 1 ) 225 32 ( 64 ) 75 32 ( 64 ) 225 64 ( 16 = = − + + =
  • 22. กำรหำมัธยฐำน ค่ำมัธยฐำน (Median) = เมื่อ ; X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ; X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ~  − = X dx x f ~ 5 . 0 ) ( 5 . 0 ) ( ~ = =   − X x X P
  • 23. Example 11. ถ้ำเวลำที่ใช้ในกำรปล่อยอนุภำคแอลฟำ (X มีหน่วยเป็นวินำที) ของสำรกัมมันตรังสีชนิดหนึ่ง มีฟังก์ชัน กำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นคือ หำค่ำมัธยฐำน ;X,Y ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง 0 ; 1 . 0 ) ( 1 . 0  = − x e x f x 5 . 0 ) ( ~ =  − dx x f X 5 . 0 1 10 1 ~ 1 . 0 ~ 0 10 = − = = − −  X X x e dx e 5 . 0 ln ~ 1 . 0 = − X . 931 . 6 ~ S X =
  • 24. Chebyshev’s Theorem ถ้ำ X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง และมีกำรแจกแจงสมมำตร ซึ่งรู้ค่ำเฉลี่ย และควำมแปรปรวน แต่ไม่ทรำบฟังก์ชันกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น สำหรับเลขบวก k ใดๆ จะสำมำรถประมำณ ค่ำควำมน่ำจะเป็นได้จำก นั่นคือ 2 1 1 ] | [| k k x P −   −   2 1 1 ] [ k k x k P −  +   −    
  • 25. Example 12. ค่ำใช้จ่ำยต่อวันในกำรใช้เครื่องมือชนิดหนึ่ง เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องและมีกำรแจกแจงแบบสมมำตร โดยมีค่ำเฉลี่ย = 18 ดอลลำร์ และมีควำมแปรปรวน = 25 อยำกทรำบว่ำบ่อยแค่ไหนที่จะพบว่ำ ค่ำใช้จ่ำยมีค่ำมำกกว่ำ 28 ดอลลำร์ นั่นคือ เนื่องจำก X มีกำรแจกแจงสมมำตร ดังนั้น โอกำสที่จะพบว่ำค่ำใช้จ่ำยต่อวันมำกกว่ำ 28 ดอลลำร์ มีค่ำไม่เกิน 12.5% 2 1 1 ] | [| k k x P −   −      2 10 18 ) 5 ( 2 18 28 + = + = + = 2 =  k 4 1 1 ] 2 2 [ −  +   −     x P  25 . 0 ] 2 [ ] 2 [  +  + −      x P x P 25 . 0 ] 2 [ 2  +    x P 125 . 0 ] 28 [    x P