Gelombang

Catatan Kuliah Gelombang
Sri Soejati, M.Eng.Sc, Dede Djuhana, M.Si dan Iwan Sugihartono, M.Si
Departemen Fisika-QUE Project
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia
Depok 2004
Copyright© 2004 Que Project Departemen Fisika

Kata pengantar
Rasa syukur yang mendalam kami panjatkan kepada Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya
sehingga kami dapat menyelesaikan Buku catatan kuliah gelombang. Buku ini merupakan
catatan kuliah yang diajarkan dalam kuliah gelombang di Departemen Fisika pada semester
tiga. Pembuatan buku ini didanai dari kegiatan Teaching Grant–QUE Project Departemen
Fisika Agustus 2003 sampai Maret 2004. Materi buku ini hampir sebagian besar diambil dari
buku The physics of vibrations and Waves karangan H.J. Pain.
Buku catatan ini seluruhnya dikerjakan dengan menggunakan LATEX 2ε yaitu program pen-
golah kata(typesetting program) yang banyak digunakan dalam penulisan ilmiah. Dan pada
kesempatan ini kami ingin mengucapkan terima kasih kepada saudara Dede Djuhana dan
Iwan Sugihartono yang membantu dalam penyelesaian buku ini.
Tidak ada gading yang tak retak demikianlah ungkapan untuk buku ini yang jauh dari sem-
purna. Akhir kata kami berharap semoga buku ini dapat memberikan manfaat bagi mahasiswa
dalam mengikuti kuliah gelombang.
Depok, Agustus 2004
Sri Soejati, M.Eng.Sc
i

Daftar Isi
Kata Pengantar i
Daftar Isi ii
Daftar Tabel v
Daftar Gambar vi
1 Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 1
1.1 Persamaan gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Energi dari GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Superposisi 2 GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Satu dimensi,frekuensi sama dan amplitudo dan fase berbeda . . . . . . 4
1.3.2 Satu dimensi, beda frekuensi, amplitudo dan fase sama . . . . . . . . . . 4
1.4 Superposisi dari 2 GHS yang saling tegak lurus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 Frekuensi sama, amplitudo dan fase berbeda . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.2 Amplitudo dan fase berbeda dan periode perbandingan 1:2 . . . . . . . . 6
1.5 Superposisi sejumlah n GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.1 Superposisi sejumlah n GHS yang sama amplitudo dan berbeda fase tetap 7
1.5.2 Superposisi n GHS denga amplitudo sama dan fase sembarang . . . . . 8
1.6 Gerak Harmonik Teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.1 Energi dissipasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) 13
2.1 Osilator Listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Osilator Mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Daya dari gaya memaksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ii

iii DAFTAR ISI
3 Osilasi Terkopel 21
3.1 Osilator terkopel dengan kopling pegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan derajat kebebasan . . . 23
3.3 Metode umum penentuan frekuensi modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Kopling massa atau induktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Osilator terkopel pada dawai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Gelombang Transversal 32
4.1 Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Persamaan Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Persamaan gelombang dalam tali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Impedansi karakteristik suatu dawai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan . . . . . . . . . . . 36
4.5 Refleksi dan Transmisi Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.6 Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7 Energi dawai bervibrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.8 Grup gelombang dan kecepatan grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.9 Gelombang grup dan teorema lebar band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.10 Gelombang transversal dalam struktur periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.11 Rangkaian linier dari 2 macam atom dalam kristal ionik . . . . . . . . . . . . . . 47
4.12 Absorpsi radiasi IR oleh kristal ionik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.13 Efek Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 Gelombang Longitudinal 50
5.1 Gelombang bunyi dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Energi distribusi pada gelombang bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Intensitas gelombang bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Impedansi akustik spesifik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.5 Gelombang longitudinal dalam pegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.6 Gelombang longitudinal kawat elastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.7 Gelombang longitudinal dalam zat padat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.8 Aplikasi gelombang longitudinal pada gempa bumi . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.9 Gelombang longitudinal dalam struktur periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.10 Refleksi dan transmisi gelombang pada bidang batas . . . . . . . . . . . . . . . 57
6 Gelombang dimensi lebih dari satu 59
6.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 Persamaan gelombang dua dimensi(2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Refleksi gelombang 2D pada batas tegar(waveguide)) . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4 Modus normal pada membran segiempat 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.5 Gelombang tiga dimensi(3D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Teaching Grant QUE–Project

DAFTAR ISI iv
6.6 Modus Normal dalam 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.7 Distribusi frekuensi dari radiasi energi benda panas . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.8 Teori Debye kalor spesiﬁk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7 Gelombang pada jalur transmisi 69
7.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.2 Jalur transmisi tanpa hambatan(ideal lossless) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3 Karakteristik Impedansi Jalur Transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.4 Reﬂeksi dari ujung jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.5 Efek Hambatan dalam Jalur Transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Daftar Pustaka 74
Daftar Indek 75

Daftar Tabel
1.1 Sistem persamaan gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
v

Daftar Gambar
1.1 (a)Bandul matematik, (b)Piringan datar yang tergantung pada tali/kawat tegar,
(c)Sistem pegas, (d)Dawai dengan tegangan tali T tetap, (e)Pipa U berisi cairan
tidak viskos dan (f) Resonator akustik Helmholtz dimana gas berosilasi pada
leher botol dan mengalami proses adiabatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Grafik x vs t dengan titik awal pada siklus dalam sudut fase φ = 0. . . . . . . . . 3
1.3 Grafik energi potensial dan energi kinetik gerak harmonik sederhana terhadap
jarak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Penjumlahan vektor dari gerak harmonik sederhana sepanjang sumbu x pada
kecepatan sudut ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Superposisi dua gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Lintasan yang dibentuk dari sistem bergerak simultan yang saling tegak lurus . . 5
1.7 Vektor superposisi dari n gerak harmonik sederhana dengan amplitudo masing-
masing a dan beda fase δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8 Gerak harmonik teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9 Teredam berat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.10 Teredam kritis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.11 Perbandingan logaritma dari dua amplitudo satu periode disebut penurunan log-
aritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 (a) Osilator listrik dan (b)Osilator mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Penjumlah vektor dari hambatan dan reaktansi menghasilkan impedansi listrik
Ze = R + i(ωL − 1/ωC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Grafik variasi φ versus ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Grafik variasi fase total antara pergeseran x dan ω . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Kecepatan gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Grafik variasi pergeseran gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa . . . . . . . . 17
vi

vii DAFTAR GAMBAR
2.7 Keadaan steady state, OB=panjang vektor tunak tetap=BAo,BAi=vektor tran-
sien yang panjangnya berubah-ubah berupa vektor yang memutar berlawanan
arah jarum jam dan OAi=Amplitudo total pada waktu tertentu. . . . . . . . . . . . 18
2.8 Grafik Prerata terhadap ω sebagai kurva disipasi. Lebar pita ω2 − ω1 adalah
interval frekuensi pada saat Prerata = 1
2 Prerata msk. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.9 Kurva(a) menyatakan kurva disipatif anomali dan kurva (b) menyatakan kurva
absorpsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Dua pendulum sama yang tergantung, panjang l dan massa m terkopel oleh
sebuah kawat tak bermassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 (a)Gerakan sefase (b) Gerakan tidak sefase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Pergeseran dari saru bandul sejarak 2a merupakan kombinasi dari 2 koordinat
normal X dan Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Gerakan sistem merupakan kombinasi X − Y yaitu gerakan sefase X dan tidak
sefase Y dan X dan Y berbeda fase π radian (tanda minus). . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Simpangan banduk kanan x dan simpangan bandul kiri y secara terpisah. Ter-
lihat pada gambar pada gerakan x menurun dari 2a ke nol, y gerakan naik dari
nol ke 2a dan terjadi pergantian energi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Modus normal vibrasi triatomik molekul CO2 dan H2O. . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7 Rangkaian LC yang terkopel induktif dan induktansi mutual M. . . . . . . . . . . 27
3.8 Grafik amplitudo arus terhadap ω pada kondisi(a) Kopling kuat (b) Kopling sedang
dan (c) kopling lemah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.9 (a),(b) Massa ke-r bergerak keatas dibawah pengaruh gaya tegang T . . . . . . 29
4.1 Elemen kecil dari permukaan bola dimana tiap gradien ditentukan dengan se-
buah variabel tetap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Elemen pergeseran dari kawat dengan tegangan T . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Osilasi pergeseran dalam medium kontinu pada arah x-positif . . . . . . . . . . . 34
4.4 Besar dan arah dari kecepatan partikel pada arah x . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Kawat sebagai sebuah osilator gaya vertikal F0eiωt . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.6 Gelombang refleksi dan transmisi dengan impedansi ρ1c1 pada batas x=0 di-
mana kawat mengalami perubahan impedansi ρ2c2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.7 Impedansi dari Z1 dan Z3 dari dua kawat yang disesuaikan oleh panjang kawat
dengan impedansi Z2. Gelombang datang dan refleksi ditunjukkan pada bidang
batas x=0 dan x=l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.8 Empat harmonik dari gelombang berdiri pada kawat yang ujungnya dijepit tetap . 40
4.9 Superposisi dari dua buah gelombang yang mempunyai beda frekuensi ω1 dan
ω2 yang kecil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.10 Kurva dispersif;(a)garis lurus menyatakan medium non-dispersi(b)hubungan dis-
persi normal (c) anomali dari hubungan dispersi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

DAFTAR GAMBAR viii
4.11 Anomali dispersi dari sifat indek refraksi n =
√
terhadap ω dan λ, dimana ωo
frekuensi atom, absorpsi dinyatakan dengan garis putus-putus . . . . . . . . . . 44
4.12 Gelombang kotak dengan lebar pita ∆ω dengan n frekuensi, a amplitudo dan
beda frekuensi umum δω (b) Menyatakan pita frekuensi terhadap waktu sebagai
kurva kosinus pada frekuensi rata-rata ¯ω amplitude modulasi sin α/α. . . . . . . 45
4.13 Hubungan dispersi ω(k) terhadap k untuk gelombang menjalar garis lurus yang
menggambarkan struktur periodik dalam atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.14 Hubungan dispersi untuk dua mode osilasi transversal dalam struktur kristal . . . 48
4.15 Pergeseran dari perbedaan jenis atom dalam dua mode dari osilasi transversal
dalam kristal (a) Mode optik (b) Mode akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1 Gelombang longitudinal dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Persamaan gelombang dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Daerah yang diarsir menunjukkan energi potensial pmvm/2 dikuatkan oleh gas
dalam kompresi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.4 Energi distribusi dalam ruang gelombang bunyi dalam gas. Baik energi potensial
dan kinetik adalah maksimum saat kecepatan partikel ˙η adalah maksimum dan
nol pada ˙η = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5 Gelombang longitudinal dalam kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.6 Refleksi dan transmisi gelombang bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1 Gelombang bidang menjalar searah k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 Membran dengan ukuran δx × δy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Perambatan gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan impedansi tak
terhingga saat y = 0 dan y = b memberikan nilai k2 tiap refleksi . . . . . . . . . . 62
6.4 Variasi amplitudo gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan n = 1, 2, 3 . 63
6.5 Mode normal membran persegi dalam arah k sesuai kondisi batas dari perge-
seran nol pada ujungnya a = n1λ/2 cos α dan b = n2λ/2 cos β . . . . . . . . . . . 64
6.6 Beberapa mode normal pada sebuah membran persegi dimana yang diarsir
menyatakan gerakan sinusiodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.7 Kisi persegi dalam ruang frekuensi. Panjang vektor pada titik pusat adalah nilai
frekuensi yang dibolehkan dan arah vektor menyatakan arah perambatan . . . . 66
6.8 Grafik radiasi benda hitam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.9 grafik Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.1 Suatu elemen dari jalur transmisi ideal dengan induktansi Lo(H/m) dan kapa-
sitansi Co(F/m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2 Refleksi di ujung jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.3 Efek hambatan dalam jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.4 Tegangan dan arus pada ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

BAB 1
Gerak Harmonik Sederhana & Teredam
Gerak harmonik sederhana adalah gerakan di sekitar titik kesetimbangan bergerak bolak balik
dengan simpangan berbentuk garis lurus. Beberapa contoh gerak harmonik sederhana ditun-
jukkan pada Gambar.1.1 dan sistem persamaan geraknya dirumuskan seperti pada Tabel.1.1
Tabel 1.1: Sistem persamaan gerak harmonik sederhana
Sistem Persamaan gerak
Bandul matematik m¨x + mg x
l = 0; ω2 = g
l
Piringan datar I ¨θ + Cθ = 0; ω2 = C
I
Pegas m¨x + sx = 0; ω2 = s
m
Dawai m¨y + 2T y
l = 0; ω2 = 2T
ml
Pipa-U ¨x + 2g
l x = 0; ω2 = 2g
l
Resonator Helmholtz ¨x + γP A
lρV x = 0
Hidrometer ¨x + Aρg
m x = 0
1.1 Persamaan gerak harmonik sederhana
Persamaan gerak harmonik tanpa peredaman
¨x + ωx = 0 (Mekanik) (1.1)
¨q + ωq = 0 (Listrik) (1.2)
1

Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 2
l
x
mg
θ
(a)
θ
(b)
x
s
m
(c)
m
TT
y
θ
(d)
x
x
2x
(e)
V ρ
l
x
(f)
Gambar 1.1: (a)Bandul matematik, (b)Piringan datar yang tergantung pada tali/kawat tegar, (c)Sistem
pegas, (d)Dawai dengan tegangan tali T tetap, (e)Pipa U berisi cairan tidak viskos dan (f) Resonator
akustik Helmholtz dimana gas berosilasi pada leher botol dan mengalami proses adiabatik
Penyelesaian persaaan gerak
x = A cos ωt + B sin ωt (1.3)
= a sin(ωt + φ) (1.4)
1.2 Energi dari GHS
(a) Energi kinetik GHS dari bandul dengan massa m adalah
EK =
1
2
m ˙x2
=
1
2
ma2
ω2
cos2
(ωt + φ) (1.5)
(b) Energi potensial dari bandul adalah
EP =
1
2
s ˙x2
=
1
2
sa2
sin2
(ωt + φ) ; ω =
s
m
(1.6)

3 Energi dari GHS
Gambar 1.2: Graﬁk x vs t dengan titik awal pada siklus dalam sudut fase φ = 0.
(c) Energi total dari bandul
E = EK + EP =
1
2
ma2
ω2
=
1
2
sa2
(1.7)
Gambar 1.3: Graﬁk energi potensial dan energi kinetik gerak harmonik sederhana terhadap jarak
Analog untuk GHS dari muatan pada rangkaian listrik LC yaitu
E =
1
2
L ˙q2
+
1
2
q2
C
; q = qo sin(ωt + φ) = muatan (1.8)
=
ω2L
2
q2
o cos2
(ωt + φ) +
1
2C
q2
o sin2
(ωt + φ) (1.9)

1.3 Superposisi 2 GHS
1.3.1 Satu dimensi,frekuensi sama dan amplitudo dan fase berbeda
Pandang suatu GHS berikut: x1 = a1 cos(ωt + φ1) dan x2 = a2 cos(ωt + φ2) dengan beda fase
φ2 − φ1 = δ. Resultan dari GHS adalah
x1 + x2 = R cos(ωt + θ) (1.10)
R2
= (a1 + a2 cos δ)2
+ (a2 sin δ)2
= a2
1 + a2
2 + 2a1a2 cos δ
θ = arctan
a1 sin φ1 + a2 sin φ2
a1 cos φ1 + a2 cos φ2
Gambar 1.4: Penjumlahan vektor dari gerak harmonik sederhana sepanjang sumbu x pada kecepatan
sudut ω
1.3.2 Satu dimensi, beda frekuensi, amplitudo dan fase sama
Pandang suatu GHS berikut: x1 = a sin(ω1t) dan x2 = a sin(ω2t) dengan ω2 > ω1 dan ω2 −ω1 >
0 merupakan frekuensi pelayangan. Resultan dari GHS
x = x1 + x2 = a(sin ω1t + sin ω2t) = 2a sin
ω1 + ω2
2
cos
ω2 − ω1
2
t (1.11)
1.4 Superposisi dari 2 GHS yang saling tegak lurus
1.4.1 Frekuensi sama, amplitudo dan fase berbeda
Perbedaan fase (φ2 − φ1 = δ), kedua GHS itu adalah
x = a1 sin(ωt) + φ1) (1.12)
y = a2 sin(ωt + φ2) (1.13)

5 Superposisi dari 2 GHS yang saling tegak lurus
Gambar 1.5: Superposisi dua gerak harmonik sederhana
Vibrasi partikel akibat menerima kedua getaran dalam bentuk x , y , φ2 , φ1 adalah dengan cara:
x
a1
= sin ωt cos φ1 + cos ωt sin φ1 (1.14)
y
a2
= sin ωt cos φ2 + cos ωt sin φ2
dan
x
a1
sin φ2 − y
a2
sin φ1
2
+ y
a2
cos φ1 − x
aa
cos φ1
2
=
x2
a2
1
sin2
φ2 + y2
a2
2
sin2
φ1 − 2 xy
a1a2
sin φ1 sin φ2 + x2
a2
1
cos2 φ2 + y2
a2
2
cos2 φ1−
2 xy
a1a2
cos φ1 cos φ2 = x2
a2
1
+ y2
a2
2
− 2xy
a1a2
cos(φ2 − φ1) = sin2
(φ2 − φ1)
Persamaan (1.15) merupakan persamaan elips yang merupakan lintasan gerakan partikel.
Gambar 1.6: Lintasan yang dibentuk dari sistem bergerak simultan yang saling tegak lurus

1.4.2 Amplitudo dan fase berbeda dan periode perbandingan 1:2
Kedua GHs dinyatakn sebagai: x
a1
= sin(2ωt + φ1) dan y
x2
= sin(ωt + φ2)
x
a1
= sin(2ωt + φ1) = sin 2ωt cos φ1 + sin φ1 cos 2ωt (1.15)
= 2 sin ωt cos ωt cos φ1 + (1 − 2 sin2
ωt) sin φ1
y
a2
= sin(ωt + φ2) = sin ωt cos φ2 + sin φ2 cos ωt (1.16)
Untuk memudahkan penjabaran diadaikan φ = φ1 − φ2 = φ1 karena φ2 = 0 sehingga :
x
a1
= 2 sin ωt cos φ1(1 − sin2
ωt)1/2
+ (1 − 2 sin2
ωt) sin φ1 dan
y
a2
= sin ωt (1.17)
Eliminasi nilai t menjadi:
x
a1
= 2
y
a2
cos φ 1 −
y2
a2
2
1/2
+ 1 − 2
y2
a2
2
sin φ (1.18)
dan
x
a1
− (1 − 2y2
a2
2
sin φ
2
= 4y2
a2
2
1 − y2
a2
2
cos2 φ
x
a1
− sin φ + 2y2
a2
2
sin φ
2
= 4y2
a2
2
cos2 φ − 4y4
a4
2
cos2 φ
x
a1
− sin φ
2
+ 4y4
a4
2
sin2
φ + 4y2
a2
2
sin φ x
a1
− sin φ =
x
a1
− sin φ
2
+
4y4
a4
2
sin2
φ +4y2x
a2
2a1
sin φ −
4y2
a2
2
sin2
φ =
4y2
a2
2
cos2
φ −
4y4
a4
2
cos2
φ
x
a1
− sin φ
2
+ 4y2x
a2
2a1
sin φ = −4y4
a4
2
+ 4y2
a2
2
x
a1
− sin φ
2
+ 4y2
a2
2
y2
a2
2
+ x
a1
sin φ − 1 = 0
(1.19)
Kemudian bila bentuk φ dituliskan kembali dalam φ1 − φ2 maka persamaan (1.19) dapat dit-
uliskan:
x
a1
− sin(φ1 − φ2)
2
+
4y2
a2
2
y2
a2
2
+
x
a1
sin(φ1 − φ2) − 1 = 0 (1.20)
Persamaan(1.20) adalah persamaa dengan dua loop yang berbeda fase φ1 −φ2 dan amplitudo
a1 dan a2
(a) Jika φ1 − φ2 = 0 dan φ1 − φ2 = π maka x
a1
2
+ 4y2
a2
2
y2
a2
2
− 1 = 0
(b) Jika φ1 − φ2 = π
4 maka x
a1 − 1
2
√
2
2
+ 4y2
a2
2
y2
a2
2
+ x
a1
1
2
√
2 − 1 = 0
(c) Jika φ1 − φ2 = π
2 maka
x
a1
− 1
2
+ 4y2
a2
2
y2
a2
2
+ x
a1
− 1 = 0
x
a1
− 1
2
+ 4y2
a2
2
x
a1
− 1 + 2y2
a2
2
2
= 0
x
a1
− 1 + 2y2
a2
2
2
= 0 → x
a1
− 1 + 2y2
a2
2
= 0
2y2
a2
2
= − x
a1
− 1 → y2 = −
a2
2
2
x
a1
− 1 = −
a2
2
2a1
(x − a1)
(1.21)
Suatu persamaan parabola cekung(concave) ke arah x

7 Superposisi sejumlah n GHS
1.5 Superposisi sejumlah n GHS
1.5.1 Superposisi sejumlah n GHS yang sama amplitudo dan berbeda fase tetap
Gambar 1.7: Vektor superposisi dari n gerak harmonik sederhana dengan amplitudo masing-masing a
dan beda fase δ
Gambar.1.7 menyatakan α adalah sudut fase resultan R=∠CAB ∠ABO = 180o−δ
2 = 90o −
δ
2 = ∠OAB; ∠OAC = 180o−nδ
2 = 90o − nδ
2 sehingga α = ∠OAB − ∠OAC = (n − 1)δ/2. R
menyatakan alas AOC dengan sudut puncak nδ → R = 2rsin nδ
2 . Ditinjau pada Gambar.1.5,
R menyatakan amplitudo, fungsi getaran resultan diandaikan berbentuk R cos(ωt + α) dapat
juga berbentuk R sin(ωt + α).
R cos(ωt + α) = a cos ωt + a cos(ωt + δ) + a cos(ωt + 2δ) + a cos(ωt + 3δ) + · · · (1.22)
dan
R = 2r sin
nδ
2
dengan a = 2r sin
δ
2
atau r =
a
2 sin δ/2
(1.23)
= a
sin nδ/2
sin δ/2
= disebut juga besar resultan
∴ R cos(ωt + α) = a
sin nδ/2
sin δ/2
cos(ωt + (n − 1)δ/2)) = fungsi getaran
R =
a sin α
sin δ/2
; bila n → ∞ → α = (n − 1)
δ
2
≈
nδ
2
→
α
2
=
δ
2
; sin
δ
2
≈
δ
2
=
α
2
(1.24)
R = a
sin α
α/n
= na
sin α
α
= na sinc(α)
Analog diatas fungsi getaran
R sin(ωt + α) = a sin ωt + a sin(ωt + δ) + a sin(ωt + 2δ) + a sin(ωt + 3δ) + · · · (1.25)
R sin(ωt + α) = a
sin nδ/2
sin δ/2
sin(ωt + (n − 1)
δ
2
)

Secara matematis superposisi n GHS dalam bentuk komplek
R ei(ωt+α)
= a eiωt
+ a ei(ωt+δ)
+ a ei(ωt+2δ)
+ a ei(ω+3δ)
+ · · ·
= aeiωt
(1 + eiδ
+ ei2δ
+ ei3α
+ · · · )
= a eiωt 1 − einδ
1 − eiδ
= a eiωt einδ/2(e−inδ/2 − einδ/2)
eiδ/2(e−iδ/2 − eiδ/2)
= aei(ωt+(n−1) δ
2
) −2i sin nδ
2
−2i sin δ
2
= a
sin nδ
2
sin δ
2
cos(ωt + (n − 1)δ/2) + i sin(ωt + (n − 1)δ/2)
= R cos(ωt + α) + i sin(ωt + (n − 1)δ/2) (1.26)
atau dapat dituliskan
R cos(ωt + α) = a
sin nδ
2
sin δ
2
cos(ωt + (n − 1)δ/2) (1.27)
R sin(ωt + α) = a
sin nδ
2
sin δ
2
sin(ωt + (n − 1)δ/2)
1.5.2 Superposisi n GHS denga amplitudo sama dan fase sembarang
Jika R adalah resultan dengan komponen pada sumbu x (Rx) dan sumbu y (Ry) maka dapat
dituliskan :
R = (R2
x + R2
y)1/2
Rx = a cos φ1 + a cos φ2 + a cos φ3 + · · · = a
n
i=1
cos φi
Ry = a sin φ1 + a sin φ2 + a sin φ3 + · · · = a
n
i=1
sin φi
R2
x = a2
n
i=1
cos2
φi = a2
cos2
φi + cos φi cos φj
R2
x = 1
2 na2 ; R2
y = 1
2 na2 → R2 = na2 → R =
√
na
(1.28)
Dikatakan ada n acak fasenya, amplitudo resultan adalah R =
√
na dan intensitas getaran na2,
sedangkan getaran/vibrasi hasil n GHS sefase mempunyai intensitas n2a2.
1.6 Gerak Harmonik Teredam
Dalam keadaan sehari-hari adanya redaman, karena sistem resistif, viscous, friksi dll. Gaya
redaman tergantung pada kecepatan atau r ˙x, dengan r=konstanta redaman=konstanta pro-
porsional. Sehingga persamaan gerak harmonik teredam menjadi

9 Gerak Harmonik Teredam
Gambar 1.8: Gerak harmonik teredam
m¨x = −sx − r ˙x (1.29)
= gaya pulih+gaya redaman
Dengan redaman, amplitudo gerakan tidak tetap, menurun menurut fungsi waktu, selain itu
energi ada yang hilang. Secara terinci akan dilihat pergeseran (x) merupakan fungsi waktu (t).
m¨x = −sx − r ˙x
m¨x + sx + r ˙x = 0 (1.30)
Andaikan penyelesaian
x = Ceαt
→ ˙x = Cαeαt
→ ¨x = Cα2
eαt
mCα2
eαt
+ rCαeαt
+ sCeαt
= 0 (1.31)
mα2
+ rα + s = 0
α = −
r
2m
±
r2
4m2
−
s
m
∴ x = Ce(r/2m)t
Amplitudo
exp
r2
4m2
−
s
m
1
2
t
(1.32)
Macam-macam gerak harmonik teredam yaitu:
(a) Bila r2
4m2 − s
m > 0 atau r2
4m2 > s
m yaitu keadaan teredam berat sehingga dapat dituliskan
x = e(r/2m)t
(F cosh qt + G sinh qt) q =
r2
4m2
−
s
m
1/2
(1.33)
x = Ge(r/2m)t
sinh qt t = 0, x = 0 → F = 0
(b) Bila r2
4m2 − s
m = 0 atau r2
4m2 = s
m yaitu keadaan teredam kritis
x = e(r/2m)t
(A + Bt) (1.34)

Gambar 1.9: Teredam berat
Contoh GHS terdeam kritis pada galvanometer balistik. Pada galvanometer dengan kondisi
pada t = 0 → x = 0 dan ˙x = V → x = e(r/2m)t(A + Bt) dan berarti
˙x = −
r
2m
(A + Bt)e−(r/2m)t
+ Be−(r/2m)t
V = −
r
2m
A + B (1.35)
x = 0 = A → A = 0 → V = B
x = V t e−(r/2m)t
→ t =
2m
r
→ x = V
2m
r
e−1
Nilai t = 2m
r disebut waktu minimum osilasi dicapai sebelum pergeseran menurun menjadi
nol.
Gambar 1.10: Teredam kritis

11 Gerak Harmonik Teredam
(c) Bila r2
4m2 − s
m < 0 atau r2
4m2 < s
m → ± r2
4m2 − s
m
1/2
= ±i s
m − r2
4m2
1/2
= ±iω (teredam ringan)
x = Ce−(r/2m)t
e±ω t
= e−(r/2m)t
C1eiω t
+ C2e−iω t
diandaikan C1 =
A
2i
eiφ
C2 = −
A
2i
eiφ
= Ae−(r/2m)t A
2i
ei(ω t+φ)
− e−i(ω t+φ)
= Ae−(r/2m)t
sin(ω t + φ)
Beberapa besaran yang menyatakan adanya redaman pada osilator
(a) Logaritmic decrement (δ)
δ = ln
An
An+1
An= amplitudo pada t = nτ ,τ = 2π
ω =periode, An+1=amplitudo pada t = (n + 1)τ
δ = ln
An
An+1
= ln
Ae−(r/2m)nτ sin(ω t1 + φ)
Ae−(r/2m)(n+1)τ sin(ω t2 + φ
= ln e(r/2m)τ
dengan ω t1 = 2nπ; ω t2 = (n + 1)2π → φ =
π
2
Kalau r → δ artinya nisbah/ratio amplitudo mendekati satu atau penurunan amplitudo
kecil.
(b) Waktu relaksasi modulus=tr ialah saat amplitudo menjadi Aoe−1 (Ao=amplitudo pada saat
t=0)
Atr = Aoe−1
= Aoe−(r/2m)tr
→ tr =
2m
r
Waktu relaksasi perlu ditentukan karena pada osilasi ini sampai t → ∞(secara teori)
(c) Q = Faktor kualitas =
energi tersimpan dalam sistem
energi yang hilang per siklus
Jika amplitudo A = Aoe−rt/2m → E = A2
oe(−rt/2m)2
= Eoe−rt/m maka
dE = −Eo
r
m
e−rt/m
dt =
−r
m
Edt
−dE =
r
m
Eτ =
r
m
E
1
ν
(energi yang hilang dalam satu siklus)
Q
2π
=
E
−dE
=
E
r/mEτ
=
m
rτ
=
mν
r
=
mω /2π
r
→ Q =
mω
r
Jika r kecil → ω = s
m
1/2
= ωo → Q = mωo
r dan r → Q . Alat dengan r
mempunyai Q , seperti atom yang meradiasi elektron sama dengan osilator teredam
mempunyai Q ≈ 108

Gambar 1.11: Perbandingan logaritma dari dua amplitudo satu periode disebut penurunan logaritma
1.6.1 Energi dissipasi
Energi dissipasi ialah energi yang hilang pada redaman/hamburan dan dinyatakan besarnya
dE dengan E = 1
2 m ˙x2 + 1
2 sx2
dE =
d
dt
1
2
m ˙x2
+
1
2
sx2
= m¨x ˙x + sx ˙x
= ˙x(−r ˙x) → m ˙x + r ˙x + sx = 0 Energi yang hilang/dissipasi
dE
dt = −r ˙x2 menyatakan energi yang hilang persatuan waktu atau laju kerja melawan gaya
friksi/gaya hambat.

BAB 2
Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation)
Pada bagian ini kita akan membahas mengenai osilator dengan gaya yang memaksa F =
Fo cos ωt dan potensial V = Vo cos ωt pada masing-masig osilator mekanik dan listrik. Menurut
hukum Kirchoff beda potensial pada rangkaian Gambar.2.1(a) adalah
L
dI
dt
+ IR +
q
C
= V (2.1)
L
d2q
d2t
+ R
dq
dt
+
q
C
= Vo cos ωt
Dalam bentuk osilator mekanik menjadi
m¨x + r ˙x + sx = Fo cos ωt (2.2)
(a) (b)
Gambar 2.1: (a) Osilator listrik dan (b)Osilator mekanik
13

Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) 14
2.1 Osilator Listrik
Osilator listrik dalam bentuk komplek dapat dituliskan
L
d2 ¯q
d2t
+ R
d¯q
dt
+
¯q
C
= Voeiωt
(2.3)
Bentuk penyelesaiannya adalah
¯q = ¯qoeiωt
(2.4a)
˙¯q = ¯qo(iω)eiωt
(2.4b)
¨¯q = ¯qo(−ω2
)eiωt
(−¯qoω2
L + iω¯qoR +
¯qo
C
)eiωt
= Voeiωt
(2.4c)
¯qo =
Vo
iωR + ( 1
C − ω2L)
= −
iVo
ω ¯Ze
(2.4d)
¯Ze = (R + i(ωL − 1
ωC ))=Impedansi. | ¯Ze| = Ze=harga mutlak ¯Ze. ¯Ze = Zeeiφ = (R2 + (ωL −
1
ωC )2)1/2. Maka solusi untuk ¯q adalah
¯q =
−iVo
ω ¯Ze
=
−iVoeiωt
ωZee(iφ)
=
−iVo
ωZe
ei(ωt−φ)
¯q =
−iVo
ωZe
cos(ωt − φ) + i sin(ωt − φ) (2.5)
Gambar 2.2: Penjumlah vektor dari hambatan dan reaktansi menghasilkan impedansi listrik Ze = R +
i(ωL − 1/ωC)
2.2 Osilator Mekanik
Osilator mekanik(Gambar.2.1(b)) dalam bentuk komplek dituliskan
m¨¯x + r ˙¯x + s¯x = Foeiωt
(2.6)
Penyelesaian untuk osilator mekanik
¯x = ¯Aeiωt
(2.7a)
˙¯x = i ¯Aωeiωt
(2.7b)
¨¯x = −ω2 ¯Ae(iωt)
(2.7c)
¯A =
Fo
iωr + (s − ω2m)
=
−iFo
ω ¯Zm
(2.7d)

15 Osilator Mekanik
¯Zm = (r + i(mω − s
ω ))=Impedansi. | ¯Zm| = Zm=harga mutlak ¯Zm. ¯Zm = Zmeiφ = (r2 + (ωm −
s
ω )2)1/2eiφ. Maka solusi untuk ¯x adalah
¯x =
−iFo
ωZm
ei(ωt−φ)
¯x =
−iFo
ωZm
cos(ωt − φ) + i sin(ωt − φ)
¯x =
Fo
ωZm
sin(ωt − φ) − i cos(ωt − φ) (2.8)
Dari osilator listrik dan mekanik bila dinyatakan F = Fo(cos ωt) dan V = Vo(cos ωt) maka jika
gaya dan potensial yang diberikan pada sistem berbentuk Fo cos ωt dan Vo cos ωt nilai x dan q
adalah
x =
Fo
ωZm
sin(ωt − φ) dan q =
Vo
ωZe
sin(ωt − φ) (2.9)
Dan jika gaya yang diberikan sistem berbentuk Fo sin ωt dan Vo sin ωt nilai x dan q adalah
x =
−Fo
ωZm
cos(ωt − φ) dan q =
−Vo
ωZe
cos(ωt − φ) (2.10)
Secara umum kecepatan beban m pada osilator mekanik adalah
Gambar 2.3: Graﬁk variasi φ versus ω
˙x = v =
Fo
Zm
ei(ωt−φ)
(2.11)
atau
F = Fo cos ωt → v =
Fo
Zm
cos(ωt − φ) dan x =
Fo
ωZm
sin(ωt − φ) (2.12)
Dari graﬁk pada Gambar 2.4 terlihat v selalu ketinggalan φ terhadap gaya yang memaksa
dan x ketinggalan (90o + φ) terhadap gaya Fo cos ωt. Kecepatan v = Fo
Zm
cos(ωt − φ) dan
amplitudo v = Fo
Zm
= Fo
(r2+(ωm− s
ω
)2)1/2 menunjukkan :

Gambar 2.4: Graﬁk variasi fase total antara pergeseran x dan ω
(a) Pada ω → 0 maka v ∼= 0
(b) Pada ω = ωo maka amplitudo kecepatan maksimum Ar = Fo
r dan terjadi resonansi ke-
cepatan.
(c) Pada ω maka vA = Fo
ωm ≈ 0.
Gambar 2.5: Kecepatan gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa
Pergeseran x dan amplitudo Ax = Fo
ω(r2+(ωm− s
ω
)2)1/2 menunjukkan :
(a) Pada ω → 0 maka x = Fo
s
(b) Pada ω = ωo → Ax = Fo
ωor .
(c) Pada ω → Ax = Fo
ω2m
≈ 0.
Ditinjau secara lengkap pergeseran x berbentuk
1. Pergeseran Transient
(a) Transient yaitu fungsi pergeseran dari persamaan m¨x + r ˙x + sx = 0
x = Ce(−rt/2m)
e(i( s
m
− r2
4m2 ))

17 Daya dari gaya memaksa
Gambar 2.6: Graﬁk variasi pergeseran gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa
(b) Steady state yaitu berbentuk pergeseran berjalan terus walaupun bentuk/keadaan
transient sudah mati.Bila digambarkan x terhadap waktu t, keadaan steady (tu-
nak) yang dimodulasi oleh transien yang meluruh eksponesial e(−rt/2m) terhadap
waktu(Gambar.2.7).
2. Steady state dengan yang khusus, mempunyai pergeseran
x =
Fo
ωZm
sin(ωt − φ)
=
Fo
ωZm
(sin ωt cos φ − cos ωt sin φ)
=
Fo
ωZm
sin ωt
r
Zm
bagian resistif
− cos ωt
Xm
Zm
bagian reaktif
2.3 Daya dari gaya memaksa
Suatu keadaan tunak tercapai bila energi yang hilang sebesar usaha yang dilakukan oleh gaya
yang memaksa. Sehingga daya P sesaat sebesar hasil kali gaya yang memaksa sesaat den-
gan kecepatan sesaat, atau
P = Fv = Fo cos ωt
Fo
Zm
cos(ωt − φ)
=
F2
o
Zm
cos ωt(cos ωt cos φ + sin ωt sin φ)
Prerata = P =
T
0
F2
o
Zm
cos ωt(cos ωt cos φ + sin ωt sin φ)dt
=
F2
o
2Zm
cos φ (T=periode) (2.13)

Gambar 2.7: Keadaan steady state, OB=panjang vektor tunak tetap=BAo,BAi=vektor transien yang
panjangnya berubah-ubah berupa vektor yang memutar berlawanan arah jarum jam dan OAi=Amplitudo
total pada waktu tertentu.
Sedangkan kerja oleh gaya friksi sesaat adalah r ˙x2 = r F 2
o
Z2
m
cos2(ωt − φ) dan rerata kerja oleh
gaya friksi adalah
W =
1
2
rF2
o
Z2
m
=
1
2
rF2
o
Zm
cos φ →
r
Zm
= cos φ (2.14)
Hubungan faktor kualitas Q dengan lebar pita dideﬁnisikan Q = ωo
ω2−ω1
. Makin sempit lebar
pita maka nilai Q makin besar.
1. Kurva (a)
FoXm
ωZ2
m
= −
Fo
ω
ωm − s/ω
r2 + (ωm − s/ω)2
= −
Fom(ω − s/ωm)(1/ω)
r2 + (m2)(ω − s/m))2
=
Fom(1/ω)(ω2
o − ω2)(1/ω)
m2
ω2 (ω2
o − ω2)2 + r2
=
Fom(ω2
o − ω2)
m2(ω2
o − ω2)2 + ω2r2
Fraksi reaktif impedansi Xm
Z2
m
merupakan komponen energi yang tersimpan dalam medium,
merupakan faktor yang mengatur kecepatan dalam medium dan selanjutya menentukan
indeks bias.

19 Daya dari gaya memaksa
Gambar 2.8: Graﬁk Prerata terhadap ω sebagai kurva disipasi. Lebar pita ω2 − ω1 adalah interval
frekuensi pada saat Prerata = 1
2 Prerata msk.
Gambar 2.9: Kurva(a) menyatakan kurva disipatif anomali dan kurva (b) menyatakan kurva absorpsi.
2. Kurva (b)
For
ωZ2
m
=
For
ω(r2 + (ωm − s/ω)2)
=
For
ω(r2 + m2(ω − s/mω)2)
=
For
ωm2 ω2−ω2
o
ω
2
+ ωr2
=
Foωr
m2(ω2
o − ω2) + ωr2
Fraksi resistif impedansi r
Z2
m
adalah fraksi yang terdisipasi atau terabsorpsi dan energi
yang hilang (loss) sebanding −r ˙x2. Dengan ˙x menyatakan kecepatan pada arah bagian
ini yaitu arah xnya ketinggalan 90o terhadap gaya dan kecepatan searah dengan gaya.
Energi yang hilang sebanding dengan r.

Menjadi pertanyaan berapakah lebar pita? diketahui ω2 − ω1 adalah lebar frekuensi pada saat
Prerata sebesar 1
2 Prerata mak
Prerata =
rF2
o
2Z2
m
=
1
2
F2
o
2r
→ Z2
m = 2r2
r2
+ X2
m = 2r2
Xm = ωm − s/ω = ±r
Dengan ω2 > ω1 sehingga ω2m − s/ω = +r dan ω1m − s/ω = −r
mω2
ω1
−
s
ω2ω1
=
r
ω1
mω2
ω1
−
s
ω2ω1
= −
r
ω2
dan
mω1
ω2
−
s
ω1ω2
= −
r
ω2
m
ω2
ω1
−
ω1
ω2
= r(1/ω1 + 1/ω2) = r
ω1 + ω2
ω1ω2
= m
ω2
2 − ω2
1
ω1ω2
ω2 − ω1 =
r
m
Faktor kualitas Q = ωom
r = ωo
ω2−ω1
dan ω1 = ωo − r/2m serta ω2 = ωo + r/2m. ω1 dan ω2
merupakan 2 frekuensi yang penting, merupakan 2 puncak kurva reaktif dan mempunyai daya
serap yang sama.

BAB 3
Osilasi Terkopel
Pada bagian ini yang akan dibicarakan adalah menyangkut dua atau lebih osilator terkopel,
dengan komponen yang mengkopel, kapasitor atau pegas, induktor atau massa atau resistor.
Energi terkirim melewati kopling, tetapi bila melalui resistor, energi hilang (loss) atau berupa en-
ergi terdisipasi dan osilasi/vibrasi menjadi berhenti. Osilator terkopel menjadi dasar terjadinya
gelombang dan akan dibahas adalah osilator kopling pegas atau kapasitor dan osilator terkopel
massa atau induktor.
3.1 Osilator terkopel dengan kopling pegas
Dua osilator yaitu bandul identik dengan massa m tergantung pada kawat ringan panjangnya
l. Kedua massa dihubungkan atau dikopling dengan pegas (kekakuan,s). Panjang pegas
sedemikian terentang diantara kedua massa yang berasa dalam kesetimbangan dan perge-
seran nol. Osilasi kecil terjadi pada bidang kertas dan kedua massa bergerak dengan per-
samaan gerak.
m¨x = −mg
x
l
− s(x − y) (3.1)
m¨y = −mg
y
l
− s(y − x) (3.2)
Dari persamaan (3.1) dan (3.2) bentuk GHS dengan bentuk gaya yang mengkopel dari pegas
s(x − y) pada bandul 1 dan (s(y − x) pada bandul 2. Bila ω2
o = g
l , persamaan (3.1) dan (3.2
dapat dituliskan
¨x + ω2
ox = −
s
m
(x − y) (3.3)
¨y + ω2
oy = −
s
m
− s(y − x) (3.4)
Bagaimana penyelesaian persamaan (3.3) dan (3.4 ?
21

Bab3. Osilasi Terkopel 22
Gambar 3.1: Dua pendulum sama yang tergantung, panjang l dan massa m terkopel oleh sebuah kawat
tak bermassa
Jika persamaan (3.3) ditambah dengan (3.4) menjadi
¨x + ÿ + ω2
o(x + y) = −
s
m
(x − y) −
s
m
(y − x)
¨x + ÿ + ω2
o(x + y) = 0 (3.5)
Jika persamaan (3.3) dikurang dengan (3.4) menjadi
(¨x − ÿ) + ω2
o(x − y) = −
s
m
(x − y) +
s
m
(y − x) = −
2s
m
(x − y)
(¨x − ÿ) + ω2
o +
2s
m
(x + y) = 0 (3.6)
Diandaikan kemudian x + y = X dan x − y = Y maka persamaan (3.5) dan persamaan (3.6)
menjadi
¨X + ω2
oX = 0 (3.7)
Ÿ + ω2
o +
2s
m
Y = 0 (3.8)
Dari kedua persamaan(3.7) dan persamaan(3.8) diperoleh penyelesaian dan pergeseran
x dan y dapat diperoleh yang merupakan fungsi waktu. Kedua persamaan itu adalah GHS
dengan kordinat X dan Y yang menggambarkan osilator terkopel. Jika Y = 0 = x − y → x = y
pada setiap saat maka gerakan ditunjukkan oleh gerakan dengan ¨X + ω2
oX = 0. Frekuensi
ωo = ω1. Kedua pendulum sama, gerakan keduanya sefase, pegas tidak berfungsi sebagai
kopling, panjang tetap natural(alamiah) yang ditunjukkan pada Gambar 3.1.
1. Jika X = 0 = x + y → x = −y terjadi setiap saat dan gerakan sistem digambarkan
oleh gerakan dengan persamaan (3.8). Kedua bandul bergerak tidak sefase (Gam-
bar 3.2) dengan kopling terentang, terkompresi, kopling bekerja efektif dengan frekuensi
ω2
o + 2s
m
1/2
= ω2.
2. Gerakan tidak sefase (out of phase) dengan frekuensi ω2 ω1.

23 Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan derajat kebebasan
Gambar 3.2: (a)Gerakan sefase (b) Gerakan tidak sefase
3.2 Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan dera-
jat kebebasan
Pada pembahasan gerakan sistem diatas telah dipilih koordinat X dan Y , yaitu suatu perameter
yang menggambarkan gerakan sistem dan disebut koordinat normal. Beberapa parameter
koordinat normal :
(a) Koordinat normal, X dan Y yaitu koordinat yang menggambarkan gerkana sistem. Masing-
masing berupa perubah persamaan gerak GHS yang persamaan tersebut berupa persaa-
maan gerak orde-2.
(b) ω1 dan ω2 disebut frekuensi normal atau modus normal.
(c) Masing-masing GHS disebut modus atau mode.
(d) energi untuk tiap modus dapat dinyatakan sebagai
Ex = a ˙X2
+ bX2
Ey = c ˙Y 2
+ dY 2
a, b, c, d suatu tetapan.Ex dan Ey tidak dapat saling tukar, hanya saja bila modus satu
bergerak/bervibrasi, modus dua diam.
(e) Pada dua osilator terkopel, berarati ada dua energi total (energi kinetik dan energi poten-
sial) dari dua GHS dengan 2 × 2 derajat kebebasan. Derajat kebebasan adalah bilan-
gan/jumlah cara menyatakan energinya. Sistem osilator ini mempunyai 4 derajat kebe-
basan.
Selanjutnya bagaimana pergeseran masing-masing bandul atau x dan y. Ditinjau kembali
koordinat-koordinat
X = Xo cos(ω1t + φ1) = x + y
Y = Yo cos(ω1t + φ1) = x − y

Xo, Yo=amplitudo modus normal.Kemudian untuk menyederhanakan, diandaikan Xo = Yo = 2a
dan φ1 = φ2 = 0
x =
1
2
(X + Y ) = a cos ω1t + a cos ω2t (3.9)
y =
1
2
(X − Y ) = a cos ω1t − a cos ω2t (3.10)
Kecepatan
˙x = −aω1 sin ω1t − aω2 sin ω2t (3.11)
˙y = −aω1 sin ω1t − aω2 sin ω2 (3.12)
Andaikan pada t = 0 → ˙x = 0; ˙y = 0; ˙x = ˙y = 0,x = 2a dan y = 0. Benda 1 ditarik sepan-
jang 2a, kemudian dilepas maka sistem bervibrasi yang merupakan superposisi dari modus X
dan Y . Gambar 3.3 menunjukkan pergeseran awal pada t=0,x=2a dan y=0 berupa kombinasi
Gambar 3.3: Pergeseran dari saru bandul sejarak 2a merupakan kombinasi dari 2 koordinat normal X
dan Y
modus sefase (x = y = a, Xo = (x + y)o = 2a) dan modus tidak sefase (x = −y = a, Yo = 2a).
Bandul kanan ditarik sepanjang x = 2a, kemudian dilepas, gerakan yang terjadi dengan sim-
pangan
x = a cos ω1t + a cos ω2t = 2a cos
(ω2 − ω1)t
2
cos
(ω1 + ω2)t
2
(3.13)
dan bandul kiri dengan simpangan
y = a cos ω1t − a cos ω2t = −2a sin
(ω1 − ω2)t
2
sin
(ω2 + ω1)t
2
= 2a sin
(ω2 − ω1)t
2
sin
(ω2 + ω1)t
2
(3.14)
Simpangan x berupa fungsi cosinus dengan frekuensi rerata, amplitudo bervariasi berupa
fungsi cosinus dengan frekuensi ω2−ω1
2 dan amplitudo fungsi y bervariasi dengan fungsi si-
nus dan frekuensi ω2−ω1
2 . Pergantian energi antara kedua bandul terjadi secara komplit hanya
mungkin bila nisbah ω2+ω1
ω2−ω1
=bilangan bulat. Pada variasi perubahan amplitudo sangat lambat
yaitu terjadi pada ω1 ≈ ω2 atau yang disebut ω2 − ω1=pelayangan (“beat”).

25 Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan derajat kebebasan
Gambar 3.4: Gerakan sistem merupakan kombinasi X − Y yaitu gerakan sefase X dan tidak sefase Y
dan X dan Y berbeda fase π radian (tanda minus).
Gambar 3.5: Simpangan banduk kanan x dan simpangan bandul kiri y secara terpisah. Terlihat pada
gambar pada gerakan x menurun dari 2a ke nol, y gerakan naik dari nol ke 2a dan terjadi pergantian
energi.
Pada kasus lain yaitu pada awalnya (t=0) bandul kiri diberi simpangan 2a dan x=0, kemudian
bandul dilepas, maka yang terjadi gerakan merupakan kombinasi X−Y , agar y = 2a dan x = 0.
Ditegaskan lagi disini pada bandul terjadi pergantian energi (exchange energy) tetapi tidak
terjadi pada modus normal. Contohnya adalah atom-atom dalam molekul seperti CO2 (molekul
non-polar) dan H2O (molekul polar) merupakan osilator terkopel dalam molekul. Berturut-turut
molekul mempunyai 3,3,3 frekuensi modus( Gambar 3.6). Molekul non-polar susunan atom
linier dan molekul polar susunan atom tidak linier, momen dipole tidak nol seperti H2O, momen
dipole H2O=1.85 Debye,PCO2 = 0 artinya bila P = 0 titik berat muatan positif tidak berhimpit

Gambar 3.6: Modus normal vibrasi triatomik molekul CO2 dan H2O.
dengan titik berat muatan negatif.
3.3 Metode umum penentuan frekuensi modus
Masalah dua osilator terkopel dengan pegas ditunjukkan pada Gambar 3.1. Kedua bandul
mempunyai persamaan gerak
m¨x + mg
x
g
+ s(x − y) = 0 (3.15)
m¨y + mg
y
g
+ s(y − x) = 0 (3.16)
Diandaikan penyelesaian persamaan diatas adalah
x = A cos ωt (3.17)
y = B cos ωt (3.18)
dengan A dan B adalah amplitudo. Pergeseran x dan y pada frekuensi ω, kedua bandul dari
keadaan diam. Untuk memperoleh ω,x dan y dimasukan kembali pada persamaan gerak,
sehingga menjadi
−mω2
A +
mg
l
A + s(A − B) cos ωt = 0 (3.19)
−mω2
B +
mg
l
B + s(B − A) cos ωt = 0 (3.20)
Kedua persamaan gerak ini dijumlahkan diperoleh
(A + B) −mω2
+
mg
l
= 0 → ω2
=
g
l
= ω2
1 (3.21)

27 Kopling massa atau induktor
dengan ω1 adalah frekuensi normal modus pertama. Jika kedua persamaan dikurangkan diper-
oleh
(A + B) −mω2
+
mg
l
+ 2s = 0 → ω2
=
g
l
+
2s
m
= ω2
2 (3.22)
dengan ω2 adalah frekuensi normal modus kedua. Dapat dikatakan
1. ω2 = g
l dimasukan ke persamaan awal → A = B berarti bandul bergerak sefase
2. ω2 = g
l + 2s
m → A = −B artinya kedua bandul bergerak berlawanan fase.
Kedua frekuensi normal akan diperoleh dengan cara sama bila x = A cos(ωt + α) dan y =
B cos(ωt + α), yang artinya bila pada awal bandul mempunyai kecepatan awal.
3.4 Kopling massa atau induktor
Kalau pada kopling pegas, faktor yang mengkopling kekakuan pegasnya, maka kalau kopling
induktor, faktor koplingnya dari induktansi mutualnya. Berikut ini ditunjukkan dua osilator dari
rangkaian LC terkopel (Gambar 3.7). Jika np banyaknya lilitan primer dan ns banyaknya lilitan
Gambar 3.7: Rangkaian LC yang terkopel induktif dan induktansi mutual M.
sekunder, kedua lilitan berarus satu satuan arus, maka total fluks oleh semua lilitan np ialahnp×
(npφ). Induktansi diri dari koil pertama Lp = n2
pφ, jika pada kondisi yang sama pada koil
kedua, induktansi diri sekunder Ls = n2
sφ, φ adalah fluks yang diinduktasikan oleh koil satu
dan diterima oleh koil kedua maka induktansi mutualnya M = ns(npφ) = Ls
φ
Lp
φ φ =
LsLp. Pada kenyataan praktis
M < LpLs →
M
LpLs
= k; (k=koefisien kopling) (3.23)
Bila M LpLs → k dan kopling lemah, sebaliknya jika M ∼= LpLs → k dissebut
kopling kuat.

Kemudian bagaimana penentuan frekuensi modus osilasi ini? Pada koil pertama berarus
Ip = Io exp(iωt), voltase induksi pada Lp ialah
−Lp
dIp
dt
= −Lp(iω)Ioeiωt
dan voltase (tgl) induksi pada koil dua adalah
−M
dIp
dt
= −iωMIp
Voltase(tgl) induksi oleh koil dua pada koil satu
−M
dIs
dt
= −iωMIs
Kemudian notasi s diganti 2 dan p dengan 1, hukum Kirchoff pada koil satu dan koil dua diper-
oleh
−iωL1I1 −
q
C1
− iωMI2 = 0
−iωL1I1 −
Io exp(iωt)dt
C1
− iωMI2 = 0
−iωL1I1 −
I1
iωC1
− iωMI2 = 0 (3.24)
atau
iωL1I1 −
iI1
ωC1
+ iωMI2 = 0 (3.25)
iωL2I2 −
iI2
ωC2
+ iωMI1 = 0 (3.26)
Persamaan (3.25) dikalikan dengan ω
iL1
dan persamaan (3.26) dikalikan dengan ω
iL2
, ω2
1 =
1
L1C1
ω2
2 = 1
L2C2
, ω1 dan ω2 menyatakan frekuensi natural, kedua persamaan diatas berubah
menjadi
(ω2
1 − ω2
)I1 =
M
L1
ω2
I2 (3.27)
(ω2
2 − ω2
)I2 =
M
L2
ω2
I1 (3.28)
Persamaan (3.27) dikalikan dengan (3.28) didapatkan
(ω2
1 − ω2
)(ω2
2 − ω2
) =
M2
L1L2
ω2
= k2
ω4
(3.29)
Jika kedua koil mempunyai frekuensi natural sama ω1 = ω2 = ωo maka persamaan (3.29)
menjadi
(ω2
o − ω2
)2
= k2
ω4
(ω2
o − ω2
) = ±kω2
→ ω2
=
ω2
o
1±
→ ω = ±
ωo
(1 ± k)1/2
∴ ω =
ωo
(1 + k)1/2
ω =
ωo
(1 − k)1/2
(3.30)
Pada sistem dengan M kecil dan k lemah terjadi ω = ω = ωo. Jika kopling kuat ω − ω ,
amplitudo arus dengan puncak terpisah lebar

29 Osilator terkopel pada dawai
Gambar 3.8: Graﬁk amplitudo arus terhadap ω pada kondisi(a) Kopling kuat (b) Kopling sedang dan (c)
kopling lemah
3.5 Osilator terkopel pada dawai
Pada osilator ini diperlihatkan massa manik-manik ke-r dan 2 di tetangganya(Gambar 3.9).
Pergeseran manik-manik ke-r − 1, r, r + 1 berturut-turut yr−1, yr dan yr+1. Jika sudut θ1 dan θ2,
Gambar 3.9: (a),(b) Massa ke-r bergerak keatas dibawah pengaruh gaya tegang T
sudut dibuat oleh dawai dengan horisontal maka
sin θ1 =
yr − yr−1
a
sin θ2 =
yr − yr+1
a
(3.31)
Persamaan gerak osilator ke-r adalah
m
d2yr
dt2
= Jumlah gaya bekerja pada mr
= Gaya dari tegangan kiriT sin θ1dari kananT sin θ2

atau
m
d2yr
dt2
= −T sin θ1 − T sin θ2
= −T
yr − yr−1
a
+
yr − yr+1
a
=
T
ma
(yr−1 − 2yr + yr+1)
Jika gerakan dipandang berupa kombinasi dari modus normal dengan frekuensi ω maka y
merupakan fungsi waktu dari getaran harmonik sederhana berosilasi terhadap sumbu kesetim-
bangannya. Dapat dituliskan pergeseran :
yr = Ar exp(iωt)
yr+1 = Ar+1 exp(iωt) (3.32)
yr−1 = Ar−1 exp(iωt)
Dengan memakai persamaan (3.32) pada persamaan gerak, diperoleh
−ω2
Ar exp(iωt) =
T
ma
(Ar−1 − 2Ar + Ar+1) exp(iωt) (3.33)
Persamaan(3.33) ini merupakan persamaan fundamental untuk menentukan ω. Dari per-
samaan fundamental, jika ada satu manik-manik, maksudnya satu osilator, hanya ada satu
ω1. Ada dua osilator berarti ada dua ω frekuensi modus dan bila ada n osilator berarti ada
n frekuensi modus dengan n persamaan. Secara formal penyelesaian n persamaan, dengan
teori matrik dapat menyelesaikan yaitu determinan besarnya nol dari matrik. Ke-n persamaan
tersebut (dengan syarat yo = Ao = 0 dan yn+1 = An+1 = 0) adalah
r = 1 → 0 + 2 −
maω2
T
A1 − A2 = 0 (3.34)
r = 2 → −A1 + 2 −
maω2
T
A2 − A3 = 0
r = 3 → −A2 + 2 −
maω2
T
A3 − A4 = 0
...
r = n → −An−1 + 2 −
maω2
T
An − An+1 = 0 (An+1 = 0)
n persamaan disebut juga persamaan non trivial , yaitu persamaan mempunyai penyelesaian
tidak nol semuanya dengan syarat determinannya nol (∆ = determinan = 0),di mana 2 −
maω2
T = C
C −1 0 · · · 0
−1 C −1 · · · 0
· · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · −1 C
= 0 (3.35)

31 Osilator terkopel pada dawai
Contoh 2 osilator terkopel, maka bentuk determinan matriknya
C −1
−1 C
= 0 → C2
− 1 → 2 −
maω2
T
2
− 1 = 0 → 2 −
maω2
T
= ±1 (3.36)
Penyelesaian persamaan(3.36) adalah
maω2
T
= 1 → ω2
1 =
T
ma
(3.37)
maω2
T
= 3 → ω2
2 =
3T
ma

BAB 4
Gelombang Transversal
Pada bab yang lalu telah dibahas gerakan suatu benda seperti bandul pada getaran harmonik
sederhana, teredam, ada gaya yang memaksa dengan simpangan (pergeseran) merupakan
fungsi waktu saja. Lain halnya kalau bandul atau massa tadi bergerak merupakan bagian dari
medium maka gerakan massa menyebabkan gerakan bagian medium lainnya. Misalnya tali
(string) ujung satu dipegang dan ujung lain dilepas, kemudian ujung yang dipegang dinaikkan
sesaat terjadi gerakan tali, maka asumsikan titik massa m bergerak menyimpang y , benda
m1 menyimpang y1 dan benda m2 menyimpang y2, jadi y merupakan fungsi x digerakkan
pada t = t → y = t(x; t), y adalah simpangan merupakan fungsi x dan t(tempat dan waktu).
Perubahan dari x atau t menyebabkan perubahan y, secara matematik dinyatakan
dy =
∂y
∂x t
dx +
∂y
∂t x
dt = diferensial total (4.1)
Kalau diuaraikan dalam ruang y → z, x → y, t → y, yang dimaksud diferensial parsial yaitu
dz = dz1 + dz2 =
∂z
∂x y
dx +
∂z
∂y x
dy (4.2)
Secara ﬁsis dikatakan bahwa besaran z ditentukan oleh x dan y.
4.1 Gelombang
Gerakan massa-massa tali (medium) berupa gelombang (waves). Gerakan air dari tengah laut
ke pantai karena pada tengah laut tadi air mendapat gaya berupa ombak tidak lain adalah
gelombang air. Juga getaran dari tali sehingga terdengar bunyi ( yang didengar orang lain),
juga pada udara terkirim gelombang bunyi. Gelombang yang berjalan pada medium panjang
32

33 Gelombang
Gambar 4.1: Elemen kecil dari permukaan bola dimana tiap gradien ditentukan dengan sebuah variabel
tetap
disebut progressive waves. Jadi gejala gerak medium disebut gelombang, jika medium ter-
batas, seperti pada tali gitar ujung tali terikat), getaran/vibrasi tali bergerak maju mundur dan
terpantul sehingga berupa gelombang berdiri.
Gelombang pada tali berupa gelombang transversal dengan pergeseran atau osilasi medium
transversal terhadap propagasi gelombang. Jika osilasi paralel, arah propagasi gelombang
disebut gelombang longitudinal. Pada medium gas hanya mungkin terjadi gelombang longi-
tudinal. Pada medium padat dapat meneruskan gelombang longitudinal maupun gelombang
transversal. Dalam medium cair seperti halnya pada padatan dapat meneruskan gelombang
transversal dan longitudinal. Macam lain gelombang bidang datar dan gelombang bola. Ada
tiga macam kecepatan dalam gerak gelombang yaitu
1. Kecepatan partikel, tidak lain kecepatan gerakan partikel harmonik sederhana pada po-
sisi kesetimbangan.
2. Kecepatan fase merupakan kecepatan bidang sefase, puncak dan lembah menjalar men-
embus medium, sama dengan kecepatan gelombang.
3. Kecepatan grup yaitu sejumlah gelombang berbeda frekuensi, panjang gelombang dan
kecepatan kemungkinan bersuperosisi membentuk grup seperti cahaya putih terdiri dari
sejumlah cahaya dengan berbeda frekuensi dan panjang gelombang. Cahaya putih
mungkin dapat berdispersi menjadi komponen-komponennya. Kecepatan grup adalah
merupakan juga kecepatan energi yang ditransmisikan.

Bab4. Gelombang Transversal 34
4.2 Persamaan Gelombang
4.2.1 Persamaan gelombang dalam tali
Segmen tali sepanjang dx ditarik keatas sehingga panjang tersebut ds = dx dengan gaya
tegang T pada ujung-ujungnya. T bekerja di x pada sudut θ dan di x + dx pada sudut θ + dθ.
Gerakan sepotong tali ini vertikal dengan harmonik sederhana. Gaya pada elemen tali
Gambar 4.2: Elemen pergeseran dari kawat dengan tegangan T
T sin θ → T
∂y
∂x x+d
−
∂y
∂x x
(4.3)
T
∂2y
∂x2
dx = ρdx
∂2y
∂t2
(4.4)
∂2y
∂x2
=
ρ
T
∂2y
∂t2
→
1
c2
=
ρ
T
Jika ξ adalah simpangan, pada nilai t tertentu maka ξ = f(x). Pada jarak a = ct maka
ξ = f(x − a) ke kanan (4.5)
ξ = f(x + a) ke kiri
Penyelesaian umum persamaan gelombang adalah
Gambar 4.3: Osilasi pergeseran dalam medium kontinu pada arah x-positif

35 Persamaan Gelombang
ξ = f(x ± ct) (4.6)
= f1(ct − x) + f2(ct + x)
∂2ξ
∂x2
=
1
c2
∂2ξ
∂t2
(4.7)
Bentuk penyelesaian dari persamaan yang sering dipakai dalam bidang
ξ(x, t) = a sin
2π
λ
(ct − x) → ξ = ξ(x, t) (4.8)
Tempat kedudukan pergeseran osilator dalam medium kontinu sebagai lintasan gelombang
menjalar sepanjang sumbu x dengan λ adalah jarak terpisah antara 2 osilator yang berbeda
fase 2π radian
y = a sin 2π vt −
x
λ
(4.9)
= a sin(ωt − kx); → k =
2π
λ
=
ωt
c
= a exp i(ωt − kx)
Gerak gelombang tidak lain ialah perubahan pergeseran osilaotor-osilator dinyatakan dalam
pergeseran ∂x
∂t adalah kecepatan fase, ∂y
∂x adalah kecepatan partikel=ωa cos(ωt − kx) dan ∂y
∂x =
−k cos(ωt − kx) adalah gradien dari proﬁle gelombang. Maka nilai ∂y
∂t = −ω
k
∂y
∂x = −c∂y
∂x =
−∂y
∂x
∂x
∂t . Arah panah menunjukkan arah gerakan partikel/osilator dan besarnya pada tiap x.Arah
gerakan partikel searah gaya transversal pada gelombang yaitu T ∂y
∂x dimana T=tension.
Gambar 4.4: Besar dan arah dari kecepatan partikel pada arah x

4.3 Impedansi karakteristik suatu dawai
Dawai sebagai medium tempat gelombang menjalar mempunyai atau ditandai berapa besar
impedansinya. Medium hanya berisi parameter inersia dan elastisitas(energi storing) atau tidak
ada resistivitas atau tidak ada dissipasi. Jika ada energi terdissipasi berbentuk komplek, dawai
mendapat gaya transversal F, impedansi karakteristik dinyatakan
Z =
tranverse force
transverse velocity
=
F
v
(4.10)
Pada ujung dawai gaya Fo exp(iωt) bekerja vertikal ke atas. Dawai dan gaya terletak pada
bidang kertas, T=gaya atau tension pada dawai. Pada ujung dawai tercapai keseimbangan
Fo exp(iωt) = −T sin θ ≈ −T tan θ = −T
∂y
∂x
; θ ≈ 0 (4.11)
Pergeseran gelombang y = Aei(ωt−kx) pada x = 0 terpenuhi
Fo exp iωt = −T
∂y
∂c x=0
= ikTA exp i(ωt − kx) → A =
Fo
ikT
=
Fo
iω
c
T
(4.12)
y =
Fo
iω
c
T
exp i(ωt − kx) (4.13)
v = y =
Fo
iω
c
T
exp i(ωt − kx); v =
Fo
Z
; Z =
T
c
= ρc (4.14)
dengan Z=impedansi, nilai c besarnya ditentukan oleh inersia (Z, s) dan elastik (L, m) juga
nilai Z.
Gambar 4.5: Kawat sebagai sebuah osilator gaya vertikal F0eiωt
4.4 Reﬂeksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan
Gelombang menjalar pada dawai yang dihubungkan secara halus pada x = 0 dan disini terjadi
ρ1c1 = Z1 dawai kiri dan ρ2C2 = Z2 pada dawai disebelah kanan.
yi = A1 exp i(ωt − k1x) = gelombang datang (4.15)
yr = B1 exp i(ωt + k1x) = gelombang reﬂeksi (4.16)
yt = A2 exp i(ωt − k2x) = gelombang transmisi (4.17)

37 Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan
Gambar 4.6: Gelombang refleksi dan transmisi dengan impedansi ρ1c1 pada batas x=0 dimana kawat
mengalami perubahan impedansi ρ2c2
Syarat batas :
1. Pada batas di x = 0 pergeseran tidak mengalami diskontinuitas, kondisi geometri yi+yr =
yt
2. Kondisi dinamis yaitu terjadi kontinuitas gaya transversal T ∂y
∂x x=0
sedemikian T ∂
∂x(yi +
yr) = T ∂
∂x (yt)
Dari syarat batas(1) diperoleh
yi + yr = yt (4.18)
A1 exp i(ωt − k1x) + B1 exp i(ωt + k1x) = A2 exp i(ωt − k2x)
A1 + B1 = A2; (x = 0)
syarat batas(2) diperoleh
T
∂
∂x
(yi + yr) = T
∂
∂x
(yt) (4.19)
T(−ik1A1 + ik1B1) = iTA2k2
−
ω
c1
TA1 +
ω
c1
TB1 = −
ω
c2
TA2
Z1(−A1 + B1) = −Z2A2
substitusi persamaan(4.18) dan (4.19) dihasilkan
B1
A1
=
Z1 − Z2
Z1 + Z2
= koefisien refleksi (4.20)
A2
A1
=
2Z1
Z1 + Z2
= koefisien transmisi (4.21)
Kedua koefisien tersebut tidak tergantung pada ω dan f dan merupakan bilangan riil, jika berni-
lai negatif berarti berbeda fase π. Jika Z1 = ∞ artinya ujung tetap dan tidak ada transmisi yaitu
B1
A1
= −1 artinya refleksi total dan berbeda fase π antara gelombang datang dan refleksi. Pada
Z = 0 adalah ujung bebas yaitu B1
A1
= 1 dan A2
A1
= 2.

4.5 Refleksi dan Transmisi Energi
Berapa energi yang ditransmisikan dan direfleksi bila gelombang melewati bidang batas? En-
ergi total E = 1
2 ρ2A2cω2 dengan k atau c kecepatan gelombang maka energi yang terbawa
sepanjang dawai adalah energi x kecepatan=1
2ρ2A2cω2. energi yang sampai pada batas x = 0
dan energi yang meninggalkan batas, yaitu :
1
2
ρ2
1c1ω2
A2
1 dan
1
2
ρ2
1c1ω2
B2
1 +
1
2
ρ2c2ω2
A2
2 (4.22)
1
2
Z1ω2
A2
1 dan
1
2
Z1ω2
B2
1 +
1
2
Z2ω2
A2
2 (4.23)
A2
1 × Energi
A2
1
=
1
2 Z1ω2B2
1 + 1
2 Z2ω2A2
2
A2
1
A2
1 (4.24)
=
1
2
ω2
Z1
Z1 − Z2
Z1 + Z2
2
+
1
2
ω2
Z2
2Z1
Z1 + Z2
2
A2
1
=
1
2
ω2
A2
1
(Z1 + Z2)
(Z1 + Z2)
2
Z1 =
1
2
Z1ω2
A2
1
jumlah energi refleksi + energi transmisi=energi datang. Maka koefisien refleksi dan transmisi
adalah
R =
Z1B2
1
Z1A2
1
=
B1
A1
2
=
Z1 − Z2
Z1 + Z − 2
2
(4.25)
T =
Z2A2
2
Z1A2
1
=
4Z1Z2
(Z1 + Z2)2
(4.26)
kondisi Z1 = Z2 disebut impedansi match
4.6 Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap
Suatu dawai dengan panjang l akan direfleksikan total di Z = ∞ dengan beda fase π, sedan-
gkan dawai dengan panjang tertentu, kedua ujungnya diklem akan terjadi gelombang berdiri.
Diasumsikan adanya gelombang monokromatik dengan frekuensi ω dan amplitudo a menjalar
sepanjang x positif dan amplitudo b pada arah negatif sehingga pergeseran dawai pada sem-
barang titik dapat dinyatakan
y = aei(ωt−kx)
+ bei(ωt+kx)
(4.27)
syarat batas di y = 0; x = 0 dan x = l sepanjang waktu. Pada kondisi x = 0
0 = aei(ωt−kx)
+ bei(ωt+kx)
= eiωt
(a + b) → a = −b (4.28)
arti fisisnya gelombang pada suatu arah tertentu dengan ujung impedansi tak hingga, secara
lengkap akan direfleksikan dengan beda fase π (amplitudonya negatif). Dalam bentuk umum
untuk gelombang dan frekuensinya menjadi
y = aeiωt
e−ikx
− eikx
) = (−2i)aeiωt
sin kx (4.29)

39 Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap
Gambar 4.7: Impedansi dari Z1 dan Z3 dari dua kawat yang disesuaikan oleh panjang kawat dengan
impedansi Z2. Gelombang datang dan reﬂeksi ditunjukkan pada bidang batas x=0 dan x=l
Pernyataan ini adalah suatu gelombang berdiri yang terjadi kapan saja (tidak tergantung waktu)
dan memenuhi persamaan
∂2y
∂x2
+ k2
y = 0 (4.30)
Harga ∂2y
∂t2 = −2i(i2ω2)eiωta sin kx = −ω2y dan 1
c2
∂2y
∂x2 = −ω2
c2 y = −k2y = 1
c2
∂2y
∂x2 merupakan
persamaan gelombang. Jika kondisi y = 0; x = l
0 = −2ieiωt
a sin kl; k =
2π
λ
(4.31)
kl = ω
c l → sin kl = 0 → sin ω
c l = 0. Bila ωl
c = nπ n = 0, 1, 2, 3, · · · . ωn = nπc
l → 2πνn =
nπc
l → νn = nc
2l . νn=frekuensi dan l = nc
2νn
= nλ
2 . Maka sin kx = sin ωnx
c = sin nπ
l x. ωn=normal
frekuensi (mode vibration atau eigen frequency).
n = 1 → ν = 1 = Frekuensi harmonik 1
↓
n = N → ν = N = Frekuensi harmonik N
Pada suatu gerakan dawai semua mode normal ini ada dan pregeseran ialah superposisi
dari pergeseran pada tiap frekuensi. Sehingga pernyataan pergeseran yang mencakup n har-
monik adalah
yn = 2a(−i)(cos ωnt + i sin ωnt) sin
ωnx
c
= An cos ωnt + Bn sin ωnt sin
ωnx
c
(4.32)

Gambar 4.8: Empat harmonik dari gelombang berdiri pada kawat yang ujungnya dijepit tetap
Amplitudo modus yang ke–n=(A2
n + B2
n)1/2 = 2a
Dalam gelombang berdiri, titik-titik simpul(node) adalah titik-titik diam pada dawai, yaitu titik
pada
nπ
l
x = rπ (r = 0, 1, 2, 3, · · · , n) (4.33)
r = 0 → x = 0 dan r = n → x = l, maksudnya bila n = 1; r = 0, 1 → nπ
l = rπ → x = rl,
pada x = 0 dan x = l terjadi simpul. Bila n = 2 → r = 0, 1, 2 → x = rl
n = 0, l, l/2 dan
seterusnya. Terjadi titik-titik simpul bila amplitudo gelombang datang dan direfleksikan sama,
tetapi bila tidak sama akan menghasilkan B1
A1
< 1. Amplitudo total maksimum A1 + B1 dan
minimum A1 − B1, maka dapat didefinisikan
SWR(Standing Wave Ratio) =
A1 + B1
A1 − B1
=
1 + R
1 − R
; R =
B1
A1
(4.34)
bila R = 1 → SWR = ∞ artinya terjadi simpul dan R=koefisien refleksi amplitudo.
4.7 Energi dawai bervibrasi
Energi kinetik dari elemen dawai dx dengan rapat massa ρ ialah sebesar 1
2 ρ ˙y2dx. Energi kinetik
total adalah 1
2
l
0 ρ ˙y2dx. Energi potensial adalah kerja yang dilakukan oleh gaya tegang T dalam
elemen dx menjadi ds ialah
Ep = T(ds − dx) = T (dx2
− dy2
)1/2
− dx = T 1 +
dy
dx
1/2
− 1 dx (4.35)
1
2
T
t
0
dy
dx
2
dx (4.36)

41 Grup gelombang dan kecepatan grup
artinya untuk elemen dx, panjangnya berubah menjadi 1
2
dy
dx
2
dx. Selanjutnya untuk dawai
bervibrasi dipandang dari gerak harmoniknya
En(kinetik) =
1
2
l
0
ρ ˙y2
dx (4.37)
En(potensial) =
1
2
T
dy
dx
2
dx (4.38)
Untuk gelombang berdiri dengan parameter
yn = An cos ωnt + Bn sin ωnt sin
ωnx
c
(4.39)
˙yn = − Anωn sin ωnt + Bnωn cos ωnt sin
ωnx
c
(4.40)
dyn
dx
=
ωn
c
An cos ωnt + Bn sin ωt cos
ωnx
c
(4.41)
Maka persamaan (4.37) dan (4.38) menjadi
En(kinetik) =
1
2
ρω2
n(−An sin ωnt + Bn cos ωnt)2
l
0
sin2 ωnx
c
dx (4.42)
En(potensial) =
1
2
Tω2
n
c
(An cos ωnt + Bn sin ωnt)
l
0
cos2 ωnx
c
dx (4.43)
=
1
2
ρω2
n(An cos ωnt + Bn sin ωnt)
l
0
cos2 ωnx
c
dx
dengan T = ρc2 dan
l
0 sin2 ωnx
c dx =
l
0 cos2 ωnx
c dx = 1
2 l. Maka jumlah energi kinetik dengan
energi potensial adalah
En(kinetik+potensial) =
1
4
ρω2
nl(A2
n + B2
n) =
1
4
mω2
n(A2
n + B2
n); m = ρl (4.44)
dengan A2
n + B2
nadalah jumlah kuadrat amplitudo. Energi total pada dawai ialah
En(total) = E1 + E2 + E3, · · · , En (4.45)
4.8 Grup gelombang dan kecepatan grup
Pada umumnya di alam, gelombang terjadi dari campuran banyak gelombang dengan kom-
ponen frekuensi masing-masing. Seperti cahaya putih merupakan komposisi cahaya, dengan
panjang gelombang 3000
◦
A − 7000
◦
A yaitu dari warna biru sampai warna merah. Gelombang
menjalar dengan kecepatan grup. Pada bagian ini akan dibahas mengenai kecepatan grup
hasil superposisi dua buah gelombang yang berbeda sedikit frekuensi dan bilangan gelom-
bang k−nya dengan amplitudo sama yaitu
y1 = a cos(ω1t − k1x) dan y2 = a cos(ω2t − k2x) (4.46)

hasil superposisi y = y1 + y2 adalah
y = y1 + y2 = 2a cos
ω1 − ω2
2
t −
k1 − k2
2
x cos
ω1 + ω2
2
t −
k1 + k2
2
x (4.47)
gelombang superposisi ini berupa gelombang dengan amplitudo 2a frekuensi ω1+ω2
2 ≈ ω1 ≈
ω2 dan termodulasi dalam ruang dan waktu dengan “envelope” yang amat lambat dengan
frekuensi k1−k2
2 . Sistem ini seperti osilator terkopel dengan kecepatan c = ω1
k1
= ω2
k2
atau
ω1−ω2
k1−k2
= c.
Gambar 4.9: Superposisi dari dua buah gelombang yang mempunyai beda frekuensi ω1 dan ω2 yang
kecil
Kecepatan grup, komponen-komponen frekuensi menjalar dengan kecepatan sama dengan
c dan profile dari kedua kombinasi tetap konstan selama penjalarannya. Amplitudo maksimum
2a terjadi dua kali setiap perioda, frekuensi yang termodulasi (ν1 − ν2) intensitas maksimum
bila maplitudo 2a. “Beat” atau pelayangan dengan frekuensi (ν1 − ν2) menyatakan berapa kali
fluktuasi intensitas maksimum terjadi. Kalau gelombang grup adalah gelombang bunyi, maka
pada amplitudo kecil (amplitudo bervariasi 0 → 2a), suara lemah dan bila gelombang yang
termodulasi amplitudo, gelombang y = A cos(ωt − kt), A=amplitudo termodulasi berbentuk
A = a + b cos ω t yaitu
y = a cos(ωt − kx) +
b
2
cos((ω + ω )t − kx) + cos((ω − ω )t − kx) (4.48)
frekuensi ω ± ω adalah frekuensi sideband atau tones. Amplitudo modulasi terjadi pada trans-
misi radio dengan sideband terdengar pada dua frekuensi yang berdekatan yaitu ω ± ω .
Kemudian bila kedua gelombang yang bersuperposisi berbeda kecepatan fasenya ω1
k1
= ω2
k2
,
kecepatan grup yaitu kecepatan gelombang atau kecepatan pada puncak maksimum bergerak
vg = ω1−ω2
k1−k2
= ∆ω
∆k dan vg berbeda dengan kecepatan masing-masing yaitu ω1
k1
dan ω2
k2
, profilenya
berubah-ubah terhadap waktu. Medium yang kecepatan fasenya tergantung frekuensi (atau

43 Gelombang grup dan teorema lebar band
nilai ω
k tidak tetap) disebut medium dispersif. Hubungan antara ω dan k disebut hubungan
dispersif. Bila grup berbentuk banyak komponen dengan frekuensi berdekatan ∆ω
∆k = dω
dk dan
kecepatan grup
vg =
dω
dk
=
d(kv)
dk
= v + k
dv
dk
= v − λ
dv
dλ
; k =
2π
λ
(4.49)
Sekali lagi disebutkan kecepatan grup merupakan kecepatan energi terkirim dalam medium,
merupakan juga kecepatan amplitudo masksimum dari grup gelombang menjalar. Dari hubun-
gan diatas vg = v − λdv
dk , bila dv
dk = 0 → vg = v disebut medium non-dispersif. Bila dv
dk < 0 →
vg > v disebut dispersif anomali dan bila dv
dk > 0 → vg < v disebut medium dispersif nor-
mal. Bahan konduktor bersifat anomali terhadap gelombang elektromagnet. Bahan dielektrik
bersifat normal terhadap gelombang elektromagnet pada frekuensi lebih kecil dari frekuensi
normal(ωo).
Gambar 4.10: Kurva dispersif;(a)garis lurus menyatakan medium non-dispersi(b)hubungan dispersi
normal (c) anomali dari hubungan dispersi
4.9 Gelombang grup dan teorema lebar band
Suatu grup gelombang terdiri banyak frekuensi yang terletak pada daerah (range) frekuensi
yang sempit ∆ω dan tiap komponen dengan amplitudo sama dengan a. Telah dibahas pada
sbelumnya yaitu tentang superposisi n-SHM yang amplitudonya sama a dan mempunyai beda
fase(δ) tetap diperoleh amplitudo resultan.
R =
a sin nδ/2
sin δ/2
(4.50)
dan getaran resultan
R cos(ωt + α) = a
a sin nδ/2
sin δ/2
cos(ωt + (n − 1)
δ
2
; α = (n − 1)
δ
2
(4.51)

Gambar 4.11: Anomali dispersi dari sifat indek refraksi n =
√
terhadap ω dan λ, dimana ωo frekuensi
atom, absorpsi dinyatakan dengan garis putus-putus
Analog diatas, bila tiap gelombang mempunyai amplitudo a dan δ adalah beda fase antar tiap
komponen, maka
R = a cos ω1t + a cos(ω1 + δω)t + a cos(ω1 + 2δω)t + · · · (4.52)
+ a cos(ω1 + (n − 1)δω)t
Batasan-batasannya
R cos(ωt + α) = a
sin n(δω)t/2
sin(δωt/2)
cos(ω1 + (n − 1)
δω
2
)t, (4.53)
= a
sin n(δω)t/2
sin(δωt/2)
cos ¯ωt
dengan ¯ω = ω1 + 1
2 (n − 1)δω dan nδω = ∆ω. Resultan
R = a
sin ∆ωt/2
sin ∆ωt/2n
cos ¯ωt (4.54)
= na
sin ∆ωt/2
sin ∆ω/2
cos ¯ωt
n → R(t) = A
sin α
α
cos ¯ωt; A = na, α =
∆ω
2
(4.55)
Pada R(t) = A = na yaitu di t = 0 karena sin α
α = 1. Seusudah ∆t menjadi α = ∆ω∆t
2 = π →
∆t = 2π
∆ω dan R(t) = Asin π
π cos ¯ω∆t = 0. Nilai 2∆t ini adalah ukuran lebar pulsa sentral.
Bentuk ∆t∆ω = 2π → ∆t(2π)∆ν = 2π → ∆t∆ν = 1 adalah Teorema Bandwidth, artinya
lebih besar ∆ω akan lebih cepat ∆t sehingga bila ∆ω = 0 → ∆t = ∞
Dari nilai ∆ω → ∆k, ∆t → ∆x maka ∆k∆x = 2π → ∆x∆(1/λ) = 1, juga berarti ∆k = 0
(gelombang monokromatik)→ ∆x → ∞ (inﬁnitely long wavetrain). Dalam persoalan gelom-
bang grup disederhanakan dengan berbagai frekuensi tetapi amplitudo sama dengan a. Bila
a(ω), persoalan menjadi sulit dan metode Fast Fourier dan teorema Bandwidth menjadi asas
ketidakpastian Heisenberg

45 Gelombang transversal dalam struktur periodik
Gambar 4.12: Gelombang kotak dengan lebar pita ∆ω dengan n frekuensi, a amplitudo dan beda
frekuensi umum δω (b) Menyatakan pita frekuensi terhadap waktu sebagai kurva kosinus pada frekuensi
rata-rata ¯ω amplitude modulasi sin α/α.
4.10 Gelombang transversal dalam struktur periodik
Suatu dawai ringan merupakan suatu struktur periodik dari n massa sama sebesar m. Per-
samaan gerak partukel ke-r adalah
m¨yr =
T
a
yr+1 + yr−1 − 2yr (4.56)
dengan frekuensi normal
ωs =
2T
ma
= 1 − cos
sπ
n + 1
s = 1, 2, , 3, · · · , n (4.57)
Bila a → dx maka
=
1
a
yr+1 + yr−1 − 2yr →
1
dx
yr+1 − yr − yr − yr−1 (4.58)
=
∂y
∂x r+1/2
−
∂y
∂x r−1/2
=
∂2y
∂x2 r
dx
∴ m
∂2yr
∂t2
= T
∂2yr
∂x2
dx →
∂2yr
∂t2
=
T
ρ
∂2yr
∂x2
ρ =
m
dx
→ y = exp i(ωt − kx)
y merupakan propagasi gelombang transversal sepanjang array linear atom-atom dengan massa
m, gaya elastik Tx dan T/a sebagai stiffnes, dimana a=jarak antar atom(a ≈ 10−11m).

Gambar 4.13: Hubungan dispersi ω(k) terhadap k untuk gelombang menjalar garis lurus yang
menggambarkan struktur periodik dalam atom
Bila yang diklem diganti ujung berupa kristal, persamaan gelombang
yr = Ar exp i(ωt − kx) = Ar exp i(ωt − kra) (4.59)
Persamaan gerak menjadi
−ω2
m =
T
a
(exp(ika) + exp(−ika) − 2) (4.60)
=
T
a
exp(ika/2) − exp(−ika/2)
2
= −4
T
a
sin2 ka
2
ω2
= 4
T
ma
sin2 ka
2
ω2
s =
2T
ma
1 − cos
sπ
n + 1
= 4
T
ma
sin2 sπ
2(n + 1)
(4.61)
ka
2
=
sπ
2(n + 1)
a
a
→ (n + 1)a = l =
pλ
2
(4.62)
=
sπa
2l
=
sπa
2pλ/2
=
sπa
pλ
Bila λ = 2a → ka
2 = s
p
π
2 → ω2 = 4T
ma sin2 π
2 = 4T
ma yang berarti atom tetangga mempunyai beda
fase π atau
yr
yr+1
∼ exp(ika) = exp(iπ) = −1 (4.63)
Frekuensi besar menandakan kopling maksimum untuk λ → k = 2π
λ dan sin ka
2 → ka
2 dari
ω2
=
4T
ma
ka
2
2
(4.64)
ω
k
2
= c2
=
4T
ma
×
a2
4
=
T
m
a =
T
ρ
→ c = kecepatan gelombang (4.65)
Dan secara umum pada sistem dengan partikel terstruktur diperoleh
v =
ω
k
= c
sin ka/2
ka/2
(4.66)

47 Rangkaian linier dari 2 macam atom dalam kristal ionik
Persamaan diatas merupakan relasi dispersi antara ω vs k.a berpengaruh pada λ pendek dan
km = 2π
λ = 2π
ra = π
a ≈ 1010m−1. Gaya elastik T/a kristal ≈ 15 N/m, m = 60 × 10−27 kg,ω2 =
1027(rad/s)2 → ν = 5×1012 Hz atau daerah infra merah. Eo ialah amplitudo maksimum medan
listrik E = Eoe1ωt. Atom–atom ion dengan frekuensi osilasi ω akan menyerap energi maksimum
pada frekuensi resonansi.
4.11 Rangkaian linier dari 2 macam atom dalam kristal ionik
Kristal berbentuk rantai satu dimensi terdiri dari dua atom berbeda dengan massa M dan m
yang dinyatakan sebagai berikut:
m¨y2r =
T
a
(y2r+1 + y2r−1 − 2y2r) (4.67)
M ¨y2r+1 =
T
a
(y2r+2 + y2r − 2y2r+1) (4.68)
y2r = Amei(ωt−2kra)
(4.69)
y2r+1 = AM ei(ωt−ka(2r+1))
substitusi persamaan(4.69) pada persamaan(4.67) dan (4.68)
−mω2
Am =
T
a
AM (e−ika
+ eika
) −
2TAm
a
(4.70)
−Mω2
AM =
T
a
Am(e−ika
+ eika
) −
2TAM
a
(4.71)
Dari persamaan(4.70) dan (4.71) diperoleh
ω2
=
T
a
1
m
+
1
M
±
1
m
+
1
M
2
−
4 sin2
ka
mM
1/2
(4.72)
(a) Keadaan m > M diambil yang positif ⊕ dari persamaan(4.72) maka diperoleh
k = 0 → ω2 = T
a
1
m + 1
M
k = km = π
2a → ω2 = 2T
aM
→ Optical branch (4.73)
(b) Keadaan m > M diambil negatif dari persamaan(4.72) maka diperoleh
k = 0 → ω2 = 2T k2a2
a(M+m)
k = km = π
2a → ω2 = 2T
am
→ Acoustical branch (4.74)

Gambar 4.14: Hubungan dispersi untuk dua mode osilasi transversal dalam struktur kristal
Gambar 4.15: Pergeseran dari perbedaan jenis atom dalam dua mode dari osilasi transversal dalam
kristal (a) Mode optik (b) Mode akustik
4.12 Absorpsi radiasi IR oleh kristal ionik
Suatu kristal dengan km = 1010 m−1, radiasi IR dengan frekuensi 3 × 1012Hz, λ = 100µm
dan k = 2π
λ = 6 × 104 m−1 sehingga kIR km maka kIR dapat diabaikan.Suatu sepasang
ion dengan muatan ±e dipengaruhi medan listrik gelombang radiasi EM, medan listrik total
E = Eoeiωt maka di[eroleh persamaan
−ω2
mAm =
2T
a
(AM − Am) − eEo; m bermuatan − e (4.75)
−ω2
MAM = −
2T
a
(AM − Am) + eEo; M bermuatan + e (4.76)
Persamaan (4.75) ditambah dengan persamaan (4.76)
−ω2
(Amm + AM M) = 0 →
Am
AM
= −
M
m
(4.77)

49 Efek Doppler
maka persaman (4.75)
−ω2
mAm =
2T
a
−
m
M
Am − Am − eEo
Am −ω2
m +
2T
a
m + M
M
= −eEo
Am = −
e
m
Eo
−ω2 + 2T
a
m+M
mM
= −
e
m
Eo
ω2
o − ω2
(4.78)
ω2
o =
2T
a
1
M
+
1
m
, AM = −
m
M
Am = −
m
M
−
e
m
Eo
ω2
o − ω2
=
e
M
Eo
ω2 − ω2
Misalkan hitung λ dari NaCl bila MNa+ = 23 amu dan mCl− = 35 amu dengan ω2 = ω2
o =
2T
a
1
M + 1
m . Hasil perhitungan λ = 61 µm; KCl = 71µm, T = 15N/m; a = π
1010 dan T
a =
15×1010
π .
4.13 Efek Doppler
Efek Doppler ialah efek terjadinya perubahan frekuensi yang terdengar pengamat terhadap
frekuensi gelombang sumber, akibat sumber bergerak pengamat bergerak atau medium berg-
erak (angin misalnya).
ν = ν
c
c − u
ν = ν
c − v
c
(4.79)
Sumber bergerak dengan kecepatan u mendekati pengamat, c kecepatan gelombang maka
frekuensi yang terdengar pengamat lebih besar ν > ν. Kemudian sumber tetap, pengamat
menjauhi sumber dengan kecepatan v maka frekuensi yang terdengar pengamat lebih kecil
ν < ν.

BAB 5
Gelombang Longitudinal
Gelombang longitudinal ialah gelombang yang menjalar dalam medium searah dengan arah
gerakan partikel-partikelnya atau osilator-osilatornya. Gelombang menjalar dalam plasma,
gas, zat cair maupun zat padat.Dalam gas dan zat padat dilakukan pembatasan-pembatasan,
dalam zat padat penjalarannya tergantung pada dimensi medium. Zat cair dan gas dapat
meneruskan gelombang longitudinal.
5.1 Gelombang bunyi dalam gas
Asumsikan gas dengan massa tetap m, menempati ruangan Vo dengan tekanan Po dan kerap-
atan ρo. Harga-harga tersebut menunjukkan keadaan kesetimbangan. Bila gas diganggu atau
mengalami deformasi karena kompresi dan peregangan besaran–besaran akan mengalami
perubahan yaitu:
Po → P = Po + p
Vo → V = Vo + v (5.1)
ρo → ρ = ρo + ρd
Tekanan p (excess pressure) ialah amplitudo tekanan maksimum dari gelombang bunyi dan
merupakan komponen yang berubah-ubah superimposed disekitar atau menambah tekanan
gas dalam kesetimbangan Po, sedangkan fraksi perubahan volume adalah v
Vo
= δ dan fraksi
perubahan kerapatan ρd
ρ = s keduanya berurutan disebut sebagai dilatasi dan kondensasi.
Harga δ ≈ s = 10−3, p = 2 × 10−5N/m2 dan ν = 1000Hz. Untuk gas dengan massa tetap
ρoVo = ρV = ρoVo(1 + δ)(1 + s) → (1 + δ)(1 + s) = 1 → s = −δ (5.2)
50

51 Gelombang bunyi dalam gas
Harga δ dan s menunjukkan sifat keelastisitan gas sedang ukuran kompresibilitas dideﬁnisikan
sebagai:
B = −
dP
dV/V
= −V
dP
dV
(5.3)
B berharga positif, ∆V > 0 dan dP < 0 serta B tergantung pada gerakan gelombang. Apa
sebab adiabatik atau isotermik?. Adanya gelombang bunyi (sound wave) pada gas akan terjadi
perubahan tekanan yaitu ∆p, kalau ∆p besar akan ada ∆T dan adanya faktor konduktivitas
akan memindahkan energi dari sistem gas. Dengan asumsi P = Po + p dan Badb tetap, p
besar menunjukkan gelombang yang mengganggu yaitu gelombang kejut(shock waves). Bila
gas tersebut mengalami proses adiabatik maka akan terpenuhi
PV γ
= tetap → V γ
dP + PγV γ−1
dV = 0
V
dP
dV
= γP = Ba dan dP = p
P = Po + p → Ba = −
p
v/Vo
→ p = −Baδ = Bas (5.4)
Dalam gelombang bunyi ini pergeseran partikel sepanjang sumbu x dan dipilih kordinat η seba-
gai pergeseran. Bagaimana persamaan geraknya?. Pandang lapisan gas x dipindah sejauh η
dan lapisan gas setebal x+dx bergeser sejauh η +dη dan perubahan tebal gas dx dari elemen
persatuan luas adalah dη. Medium di deformasi karena tekanan sepanjang sumbu x sehingga
Gambar 5.1: Gelombang longitudinal dalam gas
sisi elemen tidak seimbang. Gaya netto yang bekerja pada elemen ialah
Px − Px+dx = Px − Px +
∂Px
∂x
dx (5.5)
= −
∂Px
∂x
dx = −
∂
∂x
(Po + p)dx = −
∂p
∂x
dx

Bab5. Gelombang Longitudinal 52
Massa elemen sebelum ρodx, sehingga berdasarkan hukum Newton
ρodx
∂2η
∂t2
= −
∂p
∂x
dx (5.6)
dη =
∂η
∂x
dx; δ =
v
Vo
=
dη
dx
=
∂η
∂x dx
dx
=
∂η
∂x
= −s (5.7)
p = −Baδ = −Ba
∂η
∂x
(5.8)
−
∂p
∂x
= Ba
∂2η
∂x2
= ρo
∂2η
∂x2
(5.9)
∂2η
∂x2
=
ρo
Ba
∂2η
∂t2
→
1
c2
=
ρo
Ba
(5.10)
Persamaan(5.10) adalah persamaan diferensial dan penyelesaian dalam arah x positif ialah
η = ηm exp i(ωt − kx); ˙η = iωη; δ =
∂η
∂x
= −ikη = −s (5.11)
p = Bas = iBakη
Penyelesaian dalam arah x negatif
η = ηm exp i(ωt + kx); ˙η = iωη; δ =
∂η
∂x
= ikη = −s (5.12)
p = Bas = −iBakη
Dari Gambar.5.2 dapat disimpulkan yaitu
Gambar 5.2: Persamaan gelombang dalam gas
(a) Untuk gelombang pada arah x(+) di η = 0 maka ˙η maksimum pada arah x(+), p posi-
tif(kompresi), s maksimum dan v minimum.
(b) Untuk gelombang pada arah x(−) di η = 0 maka ˙η maksimum pada arah x(+), p maksimu
negatif, s minimum dan v maksimum.

53 Energi distribusi pada gelombang bunyi
5.2 Energi distribusi pada gelombang bunyi
Energi kinetik dalam gelombang bunyi diperoleh pada elemen gas setebal dx
Ekin =
1
2
ρodx ˙η2
(5.13)
dengan
η = ηmak cos
2π
λ
(ct − x) (5.14)
˙η = −ηmak
2π
λ
sin
2π
λ
(ct − x)
= ˙ηmak sin
2π
λ
(ct − x) (5.15)
∆Ekin = Ekinrerata =
1
2
ρodx ˙η2
˙η2
= rerata kecepatan pada nλ (5.16)
=
˙η2
m
nλ
0 sin2 2π
λ (ct − x)dx
nλ
=
1
2
˙η2
m
Ek = rapat energi kinetik rerata (5.17)
=
1
4
ρo ˙η2
m =
1
4
ρoω2
η2
m
Kemudian rapat energi potensial adalah ∆Ep sebesar kerja p dV yang dilakukan pada massa
gas bervolume Vo selama perubahan adiabatik karena gelombang bunyi sebesar
Ep = − pdV (5.18)
Tanda minus karena p positif, dV negatif yaitu pada kompresi dan pada penarikan ( rarefaction)
p negatif dan dV positif. Dalam graﬁk PV (Gambar.5.3) kerja yang dilakukan dalam kompresi
(1) dan pada penarikan (2) besarnya sama yaitu 1
2 pv, pada kompresi tekanan membesar dan
pada penarikan tekanan mengecil.
Gambar 5.3: Daerah yang diarsir menunjukkan energi potensial pmvm/2 dikuatkan oleh gas dalam
kompresi.

Selanjutnya bila s=kondensasi=
dV
Vo
= − v
Vo
dan secara incremental dV = −Vods dan p =
Bas
∴ Ep = − Bas(−Vods)
= BasVods =
1
2
BaVos2
=
1
2
BaVos2
dx
=
1
2
Baδ2
dx (5.19)
Jika η = ηm exp i(ωt ± kx) dan δ = ∂η
∂x = ±ikη = ±iω
c η = ±1
c
∂η
∂x = ±1
c ˙η maka
∆Ep =
1
2
Ba
˙η2
c2
dx =
1
2
ρo ˙η2
dx (5.20)
∆Ep =
1
4
ρo ˙η2
m
Energi total
∆E = ∆Ek = ∆Ep =
1
2
ρo ˙η2
m (5.21)
∆E maksimum bila ˙η2
m maksimum dan minimum bila ˙η2
m = 0 Rapat energi kinetik dan energi
Gambar 5.4: Energi distribusi dalam ruang gelombang bunyi dalam gas. Baik energi potensial dan
kinetik adalah maksimum saat kecepatan partikel ˙η adalah maksimum dan nol pada ˙η = 0
potensial sama yaitu 1
2 ρo ˙η2
m dan rapat energinya rerata adalah 1
4 ρo ˙η2
m berarti energi kinetik dan
energi potensial berharga maksimum dan minimum pada waktu yang sama dengan kata lain ˙η
menyatakan besar energinya.
5.3 Intensitas gelombang bunyi
Intensitas ialah ukuran ﬂuks energi diukur dalam J/s.m2 = watt/m2=rapat energi. Intensitas
dituliskan
I =
1
2
ρo ˙η2
mc =
1
2
ρoω2
η2
mc = ρoc ˙η2
rms (5.22)
=
p2
rms
ρoc
=
prms
˙yrms

55 Impedansi akustik spesifik
Intensitas bunyi standar Io = 1 × 10−2watt/m2. Gelombang bunyi normal dengan intensitas
antara 10−12 → 1 watt/m2. Tingkat Intensitas
TI = log
I
Io
(5.23)
= log
10−1
10−2
= 1 bel 1bel = 10dB
5.4 Impedansi akustik spesifik
Impedansi akustik spesifik dapat didefinisikan sebagai:
Impedansi akustik =
tekanan excess
kecepatan partikel
=
p
˙η
Bila gelombang bergerak ke kanan x+ maka
x+
→
p
˙η
=
Bak
ω
;
iBakη
iωη
=
Ba
c
= ρoc (5.24)
x−
→
p
˙η
= −ρoc (terjadi perubahan fase)
5.5 Gelombang longitudinal dalam pegas
Suatu pegas panjang L ditarik perlahan-lahan, hingga panjangnya bertambah l, maka gaya F
akan sama ditiap-tiap titik pada pegas dalam keadaan setimbang (F=gaya yang bekerja). Gaya
yang bekerja F ini sebesar K l
L , K disebut modulus elastisitas. Menurut hukum Hooke F = kl,
maka hubungan antara k dan K ialah k = K
L , k disini konstanta pegas atau stiffnes. Kemudian
akan ditinjau bila pertambahan panjang pegas karena ada gangguan, akibatnya pegas tegang
dan terjadi perubahan panjang η. Maka gaya pada bagian segmen dx sebesar F = K ∂η
∂x. Jika
massa persatuan panjang adalah µ, maka menurut Newton, gaya yang bekerja pada sepotong
segmen dx sebesar
µdx
∂2η
∂t2
=
∂F
∂x
dx = K
∂2η
∂x2
(5.25)
∂2η
∂t2
=
K
µ
∂2η
∂x2
Sehingga kecepatan rambat gelombang longitudinal dalam pegas
v =
K
µ
=
kL
µ
=
KL
m
=
kL2
m
(5.26)
5.6 Gelombang longitudinal kawat elastik
Kawat setebal dx dalam keadaan diam terletak antara x dan x + dx. Karena gangguan posisi
berubah dan kawat pada kedudukan antara x + η dan x + η + δx + δη atau dikatakan terjadi
regangan δx + δη

Gaya per luas di x sebesar Y ∂η
∂x, dengan ∂η
∂x=regangan, sedang gaya per luas di x + dx
sebesar Y ∂η
∂x + ∂2η
∂x2 , sehingga gaya total sebesar Y A ∂2η
∂x2δx
.
Menurut hukum Newton II :
Y A
∂2η
∂x2
δx = Y Aρδx
∂2η
∂t2
(5.27)
∂2η
∂x2
=
ρ
Y
∂2η
∂t2
∂2η
∂x2
=
1
c2
∂2η
∂t2
→ c =
Y
ρ
c=kecepatan gelombang longitudinal pada kawat.
5.7 Gelombang longitudinal dalam zat padat
Kecepatan gelombang longitudinal dalam zat padat sangat tergantung pada spesimen dimana
gelombang menjalar. Dalat zat padat, kecepatan rambat adalah
c =
Ba
ρ
(5.28)
Pada bulk selain ada regangan ∂η
∂x ada regangan ∂ρ
∂y (arah ⊥ x), β ialah pergeseran pada arah
y, merupakan fungsi x dan y adalah
−
∂ρ
∂y
∂η
∂x
= σ = Poisson’s ratio (5.29)
σ adalah hubungan dengan konstanta elastik Lame λ dan µ ialah
σ =
λ
2(λ + µ)
; λ =
σY
(1 + σ)(1 − 2σ)
; Y = (λ + 2µ − 2λσ) (5.30)
µ disebut koefisien rigiditas transversal=mobil stress transversal terhadap regangan transver-
sal. σ umumnya < 1
2 dan biasa σ = 1
3 , dalam bulk solid → µ adalah menunjukkan keelastisan,
dan pada zat padat tipis adalah Y(modulus Young) menunjukkan keelastisan.
Geser(shear) dalam zat padat bulk akan menghasilkan gelombang transversal, ∂β
∂x =regangan
geser transversal dan µ∂β
∂x =stress geser transversal=Tx.
Persamaan gerak transversal pada elemen tipis dx ialah
Tx+dx − Tx = ρdxÿ (5.31)
∂
∂x
µ
∂β
∂x
dx = ρdxÿ
µ
∂2β
∂x2
= ρ
∂2β
∂t2
∂2β
∂x2
=
ρ
µ
∂2β
∂t2
c2
=
µ
ρ
→ c =
µ
ρ

57 Aplikasi gelombang longitudinal pada gempa bumi
Dari hubungan berikut
Y
ρ
=
λ + 2µ
ρ
−
2λσ
ρ
(5.32)
Y
ρ
=
λ + 2µ
ρ
bila
2λσ
ρ
≈ 0 (5.33)
Gelombang longitudinal mempunyai kecepatan lebih besar pada bulk solid. Pada medium bulk
solid isotrop
B = λ +
2
3
µ = Y (3(1 − 2σ))−1
(5.34)
dan kecepatan longitudinal pada bulk solid adalah cL =
B+ 4
3
µ
ρ
1/2
dan cT = µ
ρ
1/2
5.8 Aplikasi gelombang longitudinal pada gempa bumi
Gempa bumi ialah gelombang seismik dan diperhatikan gelombang pada permukaan. Didekat
permukaan bumi ada gelombang longitudinal dengan c = 8 km/s dan gelombang transversal
c = 4, 45 km/s. Nilai c sampai pada kedalaman 1800 mil, selanjutnya pada bidang diskon-
tinyu cl ≈ 0 . Pada permukaan ada gelombang Rayleigh yaitu crayleigh = f(σ) µ
ρ
1/2
bila
σ = 0, 25 → f(σ) = 0, 9194 dan σ = 0, 5 → f(σ) = 0, 9553.
5.9 Gelombang longitudinal dalam struktur periodik
Jarak antar atom dalam kristal a(Gambar 5.5), pergeseran atom dari kedudukan kesetimban-
gan η dan jarak antar atom a menjadi a + η, regangan = η
a dan normal stress per a2 adalah
sη
a2 = s
a . Kemudian modulus Young Y = s
sa = s
a → s = Y a dan ν = ω
2π = 1
2π
s
m = 1
2πa
Y
ρ =
co
2πa . co=kecepatan bunyi dalam zat padat=5 × 103 m/s, a = 2 × 10−10 m, ν = 3 × 1012 Hz.
Kemudian analog dengan gelombang transversal, persamaan gerak partikel ke-r adalah
m¨ηr = s(ηr+1 + ηr−1 − 2ηr)
ηr = ηmaks exp i(ωt − kra) (5.35)
Karena
Y > B
Y > µ
→ cL > cT (5.36)
5.10 Reﬂeksi dan transmisi gelombang pada bidang batas
Bila gelombang bunyi menjalar, kemudian mengenai batas yang memisahkan dua media(Gambar 5.6)
yang berbeda impedansinya yaitu ρ1c1 dan ρ2c2, maka berapakan gelombang yang direﬂek-
sikan dan ditransmisikan ? Bila kecepatan partikel ˙η dan tekanan akustik p, bidang batas
tersebut dengan kondisi luas tak terbatas dan kondisi pada kontak adalah

Gambar 5.5: Gelombang longitudinal dalam
kristal
Gambar 5.6: Refleksi dan transmisi gelombang
bunyi
˙ηi + ˙ηr = ˙ηt (5.37)
pi + pr = pt dan p = ρc ˙η (5.38)
ρ1c1 ˙ηi − ρ1c1 ˙ηr = ρ2c2 ˙ηt (5.39)
Z1 ˙ηi − Z1 ˙ηr = Z2 ˙ηt (5.40)
Dari persamaan(5.37) dan (5.40) diperoleh
Z1 ˙ηi − Z1 ˙ηr = Z2( ˙ηi + ˙ηr)
˙ηi(Z1 − Z2) = ˙ηr(Z1 + Z2)
˙ηr
˙ηi
=
Z1 − Z2
Z1 + Z2
=
ωηr
ωηi
=
ηr
ηi
(5.41)
Z1 ˙ηi − Z1 ˙ηi
Z1 − Z2
Z1 + Z2
= Z2 ˙ηt
Z1(Z1 + Z2) − Z1(Z1 − Z2)
(Z1 + Z2)Z2
=
˙ηt
˙ηi
=
2Z1Z2
Z2(Z1 + Z2)
=
2Z1
Z1 + Z2
(5.42)
Sedangkan
pr
pi
= −
Z1 ˙ηr
Z1 ˙ηi
=
Z2 − Z1
Z1 + Z2
= −
˙ηr
˙ηi
(5.43)
pt
pi
=
Z2 ˙ηt
Z1 ˙ηi
=
Z2
Z1
2Z1
Z1 + Z2
=
2Z2
Z1 + Z2
(5.44)
bila Z2 > Z1 kecepatan partikel yang direfleksikan sefase dengan ˙ηi, tekanan akustik yang
direfleksikan berbeda fase π dengan pi, ˙ηt selalu sefase dengan ˙ηi, pt selalu sefase dengan pi,
dan Z2 = ∞ → ˙ηt = 0 = ˙ηi + ˙ηr.
Refleksi dan transmisi intensitas bunyi adalah
Ir
Ii
=
Z1( ˙η2
r )maks
Z1( ˙η2
i )maks
=
Z1 − Z2
Z1 + Z2
2
(5.45)
It
Ii
=
Z2( ˙η2
t )maks
Z1( ˙η2
i )maks
=
Z2
Z1
2Z1
Z1 + Z2
2
=
4Z1Z2
(Z1 + Z2)2
;
Ir
Ii
+
It
Ii
= 1 (5.46)

BAB 6
Gelombang dimensi lebih dari satu
6.1 Pendahuluan
Kecepatan fase c dari gelombang menyatakan kecepatan garis yang berfase sama(2 dimensi)
atau bidang yang berfase sama(3 dimensi) bergerak dan ditunjukkan arahnya ⊥ garis atau
bidang dengan vektor k(k menyatakan vektor bilangan gelombang juga, k = 2π
λ ) Dalam bidang
(2 dimensi) gelombang menjalar searah k
cos α =
k1
k
= l → cosinus arah (6.1)
cos β =
k2
k
= m → cosinus arah (6.2)
k2
= k2
1 + k2
2
p = ct = lx + m = jarak dari 0 ke garis dengan fase sama,lembah dan puncak (trough and
crest) menjalar searah k Bila gelombang searah menempuh jarak p, pergeseran/lintasannya
Gambar 6.1: Gelombang bidang menjalar searah k.
59

Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu 60
pada kedudukan r maka beda fase gelombang ketika berada di 0 dan pada garis fase sebesar
φ, maka φ = 2π
λ p = k.r
= (k1
î + k2
ˆj) · (xî + yˆj) = k1x + k2y = kp (6.3)
Dan fungsi gelombang yang sering dinyatakan
y = yo exp i(ωt − kx) atau η = ηo exp i(ωt − kx) (6.4)
dalam dimensi 2 menjadi (secara umum)
φ = φo exp i(ωt − kr) (6.5)
Dalam ruang(3 dimensi), fungsi gelombang
φ = φo exp i(ωt − k · r) (6.6)
k = k1
î + k2
ˆj + k3
ˆk
r = xî + yˆj + zˆk
dengan cos α = l = k1
k ; cos β = m = k2
k ; cos γ = n = k3
k
p = jarak O ke bidang dengan fase sama(wave front)
= ct = lx + my + nz
kp = k · r = k1x + k2y + k3z
6.2 Persamaan gelombang dua dimensi(2D)
Perhatikan suatu membran dengan ukuran δxδy bergerak/bervibrasi sepanjang z, rapat massa(ρ)
dan teregang oleh gaya/tegang T yang uniform. Gaya Tδy bekerja pada elemen δx meng-
Gambar 6.2: Membran dengan ukuran δx × δy
hasilkan gaya
Tδyδx
∂2z
∂x2
(6.7)

61 Persamaan gelombang dua dimensi(2D)
(analog pada dawai T ∂2y
∂x2 dx= gaya tegak lurus x) dan gaya Tδx bekerja pada elemen δy meng-
hasilkan gaya
Tδyδx
∂2z
∂y2
(6.8)
Gaya pada persamaan(6.7) dan (6.8) bekerja pada membran sebesar gaya Newton sepanjang
z
Tδyδy
∂2z
∂x2
+ Tδxδy
∂2z
∂y2
= ρδxδy
∂2z
∂t2
(6.9)
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
=
ρ
T
∂2z
∂t2
=
1
c2
∂2z
∂t2
→ c2
=
ρ
T
dan penyelesaiannya
z = A exp i(ωt − k · r) = A exp i(ωt − (k1x + k2y)) (6.10)
Penyelesaian bentuk lain dari gelombang 2 dimensi, bentuk umum
δ2φ
δx2
+
δ2φ
δy2
=
1
c2
δ2φ
δt2
(6.11)
dengan φ = X(n)Y (y)T(t)
∂2φ
∂x2
= XxxY (y)T(t);
∂2φ
∂y2
= XTYyy;
∂2φ
∂t2
= XY Ttt
Xxx =
∂2X
∂x2
; Yyy =
∂2Y
∂y2
; Ttt =
∂2T
∂t2
maka persamaan (6.11) menjadi
Xxx
X
+
Yyy
Y
=
1
c2
Ttt
T
(6.12)
Kemudian diandaikan
Xxx
X
= −k2
1;
Xxx
X
= −k2
2;
1
c2
Ttt
T
= −(k2
1 + k2
2) = −k2
(6.13)
maka
Xxx + k2
1X = 0 → X = A cos(k1x) + B sin(k1z) (6.14)
Yyy + k2
1Y = 0 → Y = A1 cos(k2y) + B1 sin(k2y) (6.15)
Ttt + k2
c2
T = 0 → T = A2 cos(kct) + B2 sin(kct) (6.16)
φ = XY T (6.17)
= c
sin
cos
k1x
sin
cos
k2y
sin
cos
kct
= ce±ik1x
e±ik2y
e±ikct
(6.18)
Kapan φ merupakan fungsi sin atau cos tergantung syarat awal.

6.3 Reﬂeksi gelombang 2D pada batas tegar(waveguide))
Gelombang 2D menjalar dengan arah k dalam bidang xy sepanjang membran dengan lebar
b di bawah pengaruh gaya tegang T antara 2 batang tegar mempunyai impedansi tak hingga.
Gelombang menjalar sepanjang sumbu x, maka tiap kali setelah dipantulkan k2 berbalik arah,
sehingga membran bergerak sepanjang sumbu z yang merupakan superposisi gelombang
datang dan yang dipantulkan.
Gambar 6.3: Perambatan gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan impedansi tak terhingga
saat y = 0 dan y = b memberikan nilai k2 tiap reﬂeksi
z = A1sin(ωt − (k1x + k2y)) + A2sin(ωt − (k1x − k2y)) (6.19)
Syarat batas pada y = 0 dan y = b → z = 0 sehingga
y = 0 → z = 0 = A1 sin(ωt − k1x) + A2 sin(ωt − k1x) → A1 = A2 (6.20)
y = b → z = 0 = A1 sin(ωt − (k1x + k2b)) + A2 sin(ωt − (k1x − k2b))
Pada t = 0, x = 0, dan z = 0
0 = A1 sin(−k2b) + A2 sin(k2b) (6.21)
A1 sin(−k2b) = −A2 sin(k2b) = A1 sin(k2b)
pada persamaan (6.21) ruas kiri sama dengan ruas kanan, hanya mungkin bila nilai sin(k2b) =
0 → k2b = nπ → k2 = nπ
b ; n = 0, 1, 2, · · · . Dengan hasil di atas
z = A1 sin(ωt − (k1x + k2y)) − A1 sin(ωt − (k1x − k2y) (6.22)
= 2A1 cos
2ωt
2
+
−k1x − k2y − k1x + k2y
2
sin
−k1x − k2y + k1x − k2y
2
= 2A1 cos(ωt − k1x) sin(−k2y)
= −2A1 sin k2y cos(ωt − k1x)

63 Modus normal pada membran segiempat 2D
Gelombang menjalar sepanjang sumbu x dengan kecepatan fase
vp =
ω
k1
=
kv
k1
(6.23)
v kecepatan membran < vp, dan k2
1 = k2 − k2
2 = k2 − n2π2
b2 = ω2
v2 − n2π2
b2 dan bila ω2
v2 = k2
1 + n2π2
b2
maka 2ωdω = v22k1dk1 atau dω
dk1
= v2k1
ω , sehingga
k1 = (k2
−
n2π2
b2
)
1
2 (6.24)
dan vg pada arah x adalah dω
dk1
= 1
ω k1v2 = k1
k v, dipenuhi
vpvg =
kv
k1
k1v
k
= v2
(6.25)
Dan kembali ke k2
1 = k2 − n2π2
b2 dimana k1 merupakan suatu bilangan ≥ 0, maka
k2
≥
n2π2
b2
→
ω2
ν2
≥
n2π2
b2
(6.26)
ω2
≥
n2π2v2
b2
→ 2πν ≥
nπv
b
→ ν ≥
nv
2b
dengan ν = nv
2b =frekuensi cutt off; n = 1, 2, 3, · · · frekuensi yang lebih besar atau sama yang
diijinkan lewat, bukan sembarang gelombang. Bila cahaya v = c → vgvp = c2 dan vg < c.
Gambar 6.4: Variasi amplitudo gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan n = 1, 2, 3
6.4 Modus normal pada membran segiempat 2D
Suatu membran ukuran a × b gelombang bergerak pada membran dengan arah k(k arah sem-
barang). Pada batas membran gelombang direﬂeksi sehingga pada membran terjadi gelom-
bang berdiri (standing wave). Dan dipenuhi bila a = n1AA dan b = n2BB , dimana n1, n2
adalah bilangan bulat,dengan
AA =
λ
2cosα
=
λk
2k1
=
λ2π
2λk1
=
π
k1
(6.27)
BB =
λ
2cosβ
=
λk
2k2
=
λ2π
2λk2
=
π
k2
(6.28)
a =
n1π
k1
dan b =
n2π
k2
(6.29)

Gambar 6.5: Mode normal membran persegi dalam arah k sesuai kondisi batas dari pergeseran nol
pada ujungnya a = n1λ/2 cosα dan b = n2λ/2 cos β
maka
k2
= k2
1 + k2
2 = (
n1π
a
)2
+ (
n2π
b
)2
= (
2π
λ
)2
(6.30)
2
λ
=
n2
1
a2
+
n2
2
b2
1/2
→
2
c/ν
=
n2
1
a2
+
n2
2
b2
1/2
→ ν =
c
2
n2
1
a2
+
n2
2
b2
1/2
(6.31)
Pada n1 = n2 = 1 adalah frekuensi fundamental
ν =
c
2
n2
1
a2
+
n2
2
b2
1/2
; c =
T
ρ
(6.32)
ν =
T
4ρ
1
a2
+
2
b2
1/2
→ z = A
sin
cos
k1x
sin
cos
k2y
sin
cos
kct
Garis lembah terjadi pada
x = 0 →
a
n1
,
2a
n1
,
3a
n1
, · · · , a (6.33)
y = 0 →
b
n1
,
2b
n1
,
3b
n1
, · · · , b
dengan z = A sin n1πx
a sin n2πy
b sin(kct) dimana z = 0 di x = y = 0,x = a dan y = b.
Modus ditentukan oleh n1 dan n2. Modus yang sama dikatakan tergenerasi pada membran,
sedangkan modus(4, 7) dengan (7, 4) sama frekuensinya juga (8, 1) dan (1, 8). Pada membran
a=3b, modus (3, 3) = (9, 1).
6.5 Gelombang tiga dimensi(3D)
Persamaan umum gelombang tiga dimensi adalah
∂2φ
∂x2
+
∂2φ
∂y2
+
∂2φ
∂z2
= 2
φ =
1
c2
∂2φ
∂t2
(6.34)

65 Modus Normal dalam 3D
Gambar 6.6: Beberapa mode normal pada sebuah membran persegi dimana yang diarsir menyatakan
gerakan sinusiodal
Gelombang bidang
φ = A
sin
cos
k1x
sin
cos
k2y
sin
cos
k3z
sin
cos
kct (6.35)
= A exp i(ωt − k · r); k · r = k1x + k2y + k3z
Gelombang sferis
2
φ =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂φ
∂r
+
1
r2
∂
∂θ
sin θ
∂φ
∂θ
+
1
r2 sin θ
∂2φ
∂ϕ2
(6.36)
=
A
r
exp i(ωt − k · r)
Gelombang silindris
2
φ =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂φ
∂r
+
1
r2
∂2φ
∂θ2
+
∂2φ
∂z2
(6.37)
=
A
√
r
exp i(ωt − k · r)
6.6 Modus Normal dalam 3D
Dalam tiga dimensi gelombang mempunyai frekuensi
ν =
c
2
(
n2
1
l1
+
n2
2
l2
+
n2
3
l3
)
1
2 (6.38)

dimana l1, l2, l3 merupakan panjang sisi-sisi rectangular enclosure. Sel mempunyai sisi c
2l1
, c
2l2
, c
2l3
.
Garis dari titik 0 ke titik (n1c
2l1
, n2c
2l2
, n3c
2l3
) menunjukkan frekuensi. Volume cell
c3
8l1l2l3
(6.39)
Berapa banyak cell dalam range frekuensi ν dan ν + dν? jawaban untuk pertanyaan ini adalah
semua bilangan bulat positif n1, n2,dan n3.
ν2
<
c2
4
(
n2
1
l1
+
n2
2
l2
+
n2
3
l3
) = (ν + dν)2
(6.40)
dan banyaknya cell atau titik (=banyaknya modus normal), yaitu
=
volume sel bola
8 volume bola
(6.41)
=
1
8
×
4πν2dν
1
8 c3/l1l2l3
= 4πl1l2l3
ν2dν
c3
→
1
8
Oktan
jadi jumlah modus normal yang mungkin dalam range ν dan ν + dν per satuan volume dari
permukaan tertutup adalah 4π ν2dν
c3
Gambar 6.7: Kisi persegi dalam ruang frekuensi. Panjang vektor pada titik pusat adalah nilai frekuensi
yang dibolehkan dan arah vektor menyatakan arah perambatan
6.7 Distribusi frekuensi dari radiasi energi benda panas
Suatu benda panas pada suhu T memancarkan energi panas dalam interval frekuensi ν dan
ν + dν dapat dituliskan Eνdν. Menurut Rayleigh-Jeans :
Eνdν =
4πν2dν
c3
(2kT) =
8πν2kTdν
c3
(6.42)
(2 derajat kebebasan, 2 bidang polarisasi transversal) × 1
2 = 2kT. Ternyata Rayleigh-Jeans
ini tidak cocok untuk ν ultraviolet catastrophy diganti oleh Planck, energi bukan kT tetapi

67 Teori Debye kalor spesifik
hν
exp(hν/kT )−1 maka energi yang dipancarkan dengan frekuensi antara ν dan ν + dν adalah
Eνdν =
8πν2
c3
hν
exp(hν/kT) − 1
dν (6.43)
Gambar 6.8: Grafik radiasi benda hitam
6.8 Teori Debye kalor spesifik
Menurut Debye banyaknya modus per volume (dn) adalah
dn = 4πν2
dν
2
c3
T
+
1
c3
L
(6.44)
T=transversal dan L=longitudinal. Tiap modus mempunyai energi rerata E = hν
exp(hν/kT )−1
(Planck), maka pada volume VA, interval frekuensi ν → ν + dν untuk rerata energi adalah
VA
¯Edn = 4πVA
2
c3
T
+
1
c3
L
hν3
exp(hν/kT) − 1
dν (6.45)
Energi total per gram atom EA adalah
EA = VA
¯Edn = 4πVA
2
c3
T
+
1
c3
L
νm
0
hν3
exp(hν/kT) − 1
dν (6.46)
e3dx
ex − 1
≈
π4
15
dan bila N=bilangan Avogadro maka
dn = 3N = 4πVA
2
c3
T
+
1
c3
L
νm
0
ν2
dν (6.47)
=
4πVA
3
2
c3
T
+
1
c3
L
ν3
m

EA=Energi total per gram atom meliputi seluruh frekuensi yang ada yaitu
4πVA
3
2
c3
T
+
1
c3
L
=
3N
ν3
m
(6.48)
∴ EA =
4πVA
3
2
c3
T
+
1
c3
L
νm
0
ν2
dν
=
9N
ν3
m
νm
0
ν2
dν = 9RT
T
Θo
3 Θo
0
x3
ex − 1
dx +
9
8
RΘo
Cv =
dEA
dT
= 9R
T
Θo
3 Θo/T
0
e4x4
ex − 1
dx (6.49)
x =
hν
kT
; Θo =
hνm
kT
= suhu Debye; k =
R
N
Kondisi dari temperatur Debye yaitu
Gambar 6.9: graﬁk Debye
1. T Θo
Cv = 9R
T
Θo
3 Θo/T
0
x2
dx = 9R
T
Θo
3
×
1
3
Θo
T
3
= 3R (6.50)
2. T Θo
EA = 9R
T
Θo
3 ∞
0
x3
ex − 1
dx
π4/15
+RΘo
= 9RT
T
Θo
3 π4
15
+ RΘo
Cv =
dEA
dT
=
9Rπ4
15
×
4T3
Θ3
o
=
12
5
π4
R
T
Θo
3
(6.51)
= Kalor jenis

BAB 7
Gelombang pada jalur transmisi
7.1 Pendahuluan
Medium dapat mengirim gelombang. Medium yang sengaja dibuat dari kabel/kawat/kawat
koaksial, awat/kabel sejajar dapat mengirim gelombang, gelombang arus listrik dan gelombang
potensial dari generator AC ke terminal.
Pada kabel mengalir muatan yang berarti ada arus. Suatu generator AC, arus yang dikirim
maksimum dan minimum berganti-ganti menurut waktu dan ruang. Berhubungan dengan arus
ada gelombang tegangan, dalam generator arus dan tegangan sefase dan daya terkirim dalam
jalur. Arus yang mengalir pada kabel akan membentuk medan magnet dan medan listrik se-
hingga pada antara kedua kabel terbentuk induktor dengan indukstansi diri Lo(H/m) dan kapa-
sitor dengan kapasitansi Co(F/m) . Bila pada kawat tidak ada R maka kawat disebut loss less
7.2 Jalur transmisi tanpa hambatan(ideal lossless)
Gambar 7.1 adalah elemen panjang dx(dx <<< λ yaitu panjang gelombang tegangan dan
gelombang arus). Pada waktu tertentu laju perubahan tegangan persatuan panjang sebesar
tegangan turun dalam induktor,
∂V
∂x
dx = −Lodx
∂I
∂t
→
∂V
∂x
= −Lo
∂I
∂t
(7.1)
69

Gelombang

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Gelombang

Similar a Gelombang (20)

Más de Safran Nasoha

Más de Safran Nasoha (20)

Último

Último (20)

Gelombang