(1) Penyelesaian masalah pangkat melibatkan mencari semua pasangan bilangan bulat yang memenuhi persamaan. Dengan mencatat semua kemungkinan diperoleh empat pasangan solusi (0,2), (0,-2), (4,23) dan (4,-23). (2) Masalah pemadam kebakaran menghitung waktu pemadaman api dengan asumsi tabrakan tidak mempengaruhi waktu evakuasi karena kecepatan sama. Didapat waktu evaku

1. Memecahkan Masalah yang Berkaitan dengan Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
Oleh:
Sigit Tri Guntoro
1. Dua orang berselisih mengenai banyaknya pasangan bilangan bulat ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ yang memenuhi
persamaan ૚ ൅ ૛࢞
൅ ૛૛࢞ା૚
ൌ ࢟૛
. Orang pertama mengatakan penyelesaiannya tak hingga dan
orang kedua mengatakan berhingga. Buktikan mana yang benar?
Penyelesaian:
Soal di atas bentuknya menemukan sehingga dapat dilakukan metode trial and check, seperti
pada umumnya. Tetapi karena yang diperlukan “semua pasangan berurutan” maka dengan trial
saja tidak cukup. Oleh karena itu diperlukan cara lain yaitu mendaftar semua kemungkinan.
Cara ini memerlukan kejelian, ketelitian dan analisis yang mendalam.
Perhatikan dan cermati pembahasan berikut.
Menentukan semua pasangan bilangan bulat ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ yang memenuhi
૚ ൅ ૛࢞
൅ ૛૛࢞ା૚
ൌ ࢟૛
(1)
Untuk ‫ݔ‬ bulat negatif jelas tidak mungkin karena tidak menghasilkan ‫ݕ‬2
bulat
Untuk ‫ݔ‬ = 0 maka 212
221 yxx
=++ +
⇔ 210
221 y=++ ⇔ 4 ൌ ‫ݕ‬ଶ
. Jadi ‫ݕ‬ ൌ 2 atau
‫ݕ‬ ൌ െ2. Sehingga diperoleh (0,2) dan (0,-2) merupakan salah satu penyelesaiannya.
Untuk ‫ݔ‬ ൌ 1 maka 212
221 yxx
=++ +
⇔ 231
221 y=++ ⇔ 11 ൌ ‫ݕ‬ଶ
. Tidak ada bilangan
bulat ‫ݕ‬ yang memenuhi.
Observasi untuk ‫ݔ‬ ൒ 2
Misalkan pasangan bilangan bulat ሺܽ, ܾሻ memenuhi (1) maka
ܽ ൒ 2 dan jelas ܾ ് 0 (2)
Dengan demikian ሺܽ, ܾሻ dan ሺܽ, െܾሻ merupakan solusinya.
Dengan tidak mengurangi keumuman, ambil b yang positif. Karena (a,b) memenuhi (1) maka
212
221 baa
=++ +
⇔ 122 212
−=+ +
baa
⇔ 1)21(2 21
−=+ +
baa
= )1)(1( +− bb (3)
Dari hasil ini nampak bahwa )1)(1( +− bb genap karena kelipatan 2. Jelas bahwa keduanya baik
)1( −b maupun )1( +b genap, khususnya salah satu factor pasti habis dibagi 4 (ingat: dua
bilangan genap berurutan pasti salah satu merupakan kelipatan 4). Mengingat (1), (2) dan (3)
maka ܾ ൒ 3.
Selanjutnya,

2. )1)(1()21(2 1
+−=+ +
bbaa
⇔ a
a bb
2
)1)(1(
21 1 +−
=+ +
.
Karena 1
21 +
+ a
ganjil maka )1( −b dan )1( +b keduanya tidak habis dibagi 2a
. Disamping itu,
untuk )1( +b habis dibagi 4 maka
11
1
2
)1(
.2.2
)1)(1(
2
)1)(1(
21 −−
+ +
=
+−
=
+−
=+ aaa
a bAbbbb
,untuk A ganjil. Berarti A tidak habis dibagi
1
2 −a
. Akibatnya )1( +b habis dibagi 1
2 −a
. Dengan cara yang sama, untuk )1( −b habis dibagi 4
maka )1( −b habis dibagi 1
2 −a
(i) Kasus 1: )1( −b habis dibagi 4
Maka mb a 1
2)1( −
=− dan m ganjil karena )1( −b tidak habis dibagi a
2 . Atau ditulis
12 1
+= −
mb a
Substitusi ke (1), sehingga diperoleh
12
221 +
++ aa
= 21
)12( +−
ma
⇔ 12
22 +
+ aa
= 1)12( 21
−+−
ma
⇔ )21(2 1+
+ aa
= mm aa
22 222
+−
= mm aaa
22.2 22
+−
⇔ 1
21 +
+ a
= mma
+− 22
2 ⇔ 1 –m = 22
2 ma−
– 1
2 +a
….. (4)
⇔ 1 – m = 22
2 ma−
– 1
2 +a
= )8(2 22
−−
ma
2 )8( 2
−m
Dari sini diperoleh ⇔ , dengan penyelesaian
. Mengingat bilangan ganjil positip maka diperoleh .
Kemudian disubstitusike (4), sehingga diperoleh
= 22
12 −a
– 1
2 +a
⇔ 12
22 +−
= aa
. Tidak ada nilai yang memenuhi persamaan ini. Jadi
untuk tidak berlaku.
(ii) Kasus 2: habis dibagi 4
Maka mb a 1
2)1( −
=+ dan m ganjil karena )1( +b tidak habis dibagi a
2 . Atau ditulis
12 1
−= −
mb a

3. Substitusike (1), sehingga diperoleh
12
221 +
++ aa
= 21
)12( −−
ma
⇔
12
22 +
+ aa
= 1)12( 21
−−−
ma
⇔ )21(2 1+
+ aa
= mm aa
22 222
−−
= mm aaa
22.2 22
−−
⇔ 1
21 +
+ a
= mma
−− 22
2 ⇔ 1 +m = 22
2 ma−
– 1
2 +a
…. (5)
⇔ 1 +m = 22
2 ma−
– 1
2 +a
= )8(2 22
−−
ma
≥ 2 )8( 2
−m
Dari sini diperoleh dengan penyelesaian
. Mengingat m bilangan ganjil positip maka diperoleh atau
. Untuk , jika disubstitusi ke (5) menghasilkan yang tidak bulat. Berarti
m=1 tidak berlaku (sama seperti kasus 1). Untuk maka dengan menggunakan (5)
diperoleh . Selanjutnya dengan menggunakan (1) diperoleh . Karena
juga merupakan penyelesaian maka didapatkan penyelesaian
dan .
Dengan demikiandi peroleh kesimpulanbahwa solusi da ri (1) adalah (0,2), (0,-2), (4,23) dan
(4,-23).Jadi orang kedua yang benar.
2. Suatu tim pemadam kebakaran sedang mengadakan latihan.
Di area latihan ada gang sempit yang berada di antara Gedung 1 dan Gedung 2 seperti tampak
pada gambar.
Gang tersebut tidak dapat digunakan untuk berpapasan, sehingga dibuat aturan: masuk dari A
dan keluar melalui B. Pada suatu saat, ketika ada 30 orang petugas berada di dalam gang, tiba-

4. tiba terjadi kebakaran di sekeliling gedung. Mereka panik, sehingga tidak memperhatikan arah,
banyak sekali terjadi tabrakan diantara petugas, yang penting dapat keluar menuju pintu A atau
B untuk menyelamat kandiri sekaligus memadamkan api. Setiap terjadi tabrakan, mereka akan
berbalik arah karena gang tidak bisa untuk berpapasan. Biasanya waktu yang diperlukan untuk
melewati gang (dari A ke B atau sebaliknya) adalah 2 menit. Sementara itu waktu yang
diperlukan untuk memadamkan api diperkirakan mengikuti rumus menit, dengan
adalah waktu (dalam menit) yang digunakan untuk semua petugas keluar dari gang. Berapa
lama api dapat dipadamkan? (diasumsikan: setiap petugas mempunyai kemampuan sama
dalam segala hal)
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan masalah ini, sederhanakan dahulu permasalahannya.
Misalkan seorang petugas masuk gang melalui A. Kemudian bertemu dengan petugas lain yang
masuk melalui B di C dan mereka berbalik arah. Keduanya berkecepatan sama. Perhatikan ilustrasi di
bawah.
BA
C
vv
BA
C
BA
C
vv
Perhatikan bahwa karena kecepatan kedua orang sama maka sebenarnya tidak ada perbedaan
waktu (yang diperlukan untuk mereka keluar dari gang) antara berpapasan dan balik arah.
Kembali pada masalah awal, karena waktu yang diperlukanuntuk melewati gang adalah 2 menit dan
tidak ada perbedaan waktu (yang diperlukan untuk mereka keluar dari gang) antara berpapasan dan
balik arah, maka waktu yang diperlukan untuk 30 petugas keluar dari gang adalah 2 menit. Jadi
waktu yang diperlukan untuk memadamkan api adalah e2
menit.