[2021CAPE公開セミナー] 論理学上級 Ⅱ-1「ラッセルのパラドックスと3つの対策」
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ラッセルのパラドックスが発見されてから120年がたち、一般向けの概説書では「数学の基礎の危機に、三つの立場『論理主義』『直観主義』『形式主義』が現れて危機を克服しようとしたが、集合論が生き残った」との一言で済まされることが多いようです。実際、ラッセルの論理主義に基づいた型理論は、ゲーデルによって「無意味に複雑である」と評されたように、歴史的な遺物と思われかねない書きっぷりのようにも思えます。 本講演では、現代的な立場から、「三つ」の立場による、ラッセルのパラドックスへの対策をまとめて説明します。 https://youtu.be/3gyOTmBUrE0
![ラッセルのパ
ラドックスと
3 つの対策
矢田部 俊介
数学のキモ：
帰納的定義
素朴集合論
順序数とブラリ・フォ
ルティのパラドックス
ラッセルのパラドッ
クス
ラッセルのパ
ラドックスの
解決法
包括原理を制限する：
公理的集合論による
解決
文法的解決：型理論に
よる解決
型の定義
型理論の問題点と評価
ラッセルのパラドックスと 3 つの対策
[2021CAPE 公開セミナー] 論理学上級 Ⅱ-1
矢田部 俊介
Center for Applied Philosophy and Ethics,
Graduate School of Letters,
Kyoto University
2022 年 3 月 26 日（土）1000-1200
1 / 47](https://image.slidesharecdn.com/22032521kyoto1russellparadoxslide00-220325073041/85/2021CAPE-1-3-1-320.jpg)
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- 1. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 ラッセルのパラドックスと 3 つの対策 [2021CAPE 公開セミナー] 論理学上級 Ⅱ-1 矢田部 俊介 Center for Applied Philosophy and Ethics, Graduate School of Letters, Kyoto University 2022 年 3 月 26 日（土）1000-1200 1 / 47
- 2. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 あらすじ • ラッセルのパラドックスが発見されてから 120 年！ • 一般向けの概説書では「数学の基礎の危機に、三つの立 場『論理主義』 『直観主義』 『形式主義』が現れて危機を克 服しようとしたが、集合論が生き残った」との一言で済 まされることが多い。 • 実際、ラッセルの論理主義に基づいた型理論は、ゲーデ ルによって「無意味に複雑である」と評されたように、 歴史的な遺物と思われかねない書きっぷり。 • 本講演では、 現代的な立場から、 「三つ」の立場による、 ラッセルのパラドックスへの対策をまとめて説明する。 2 / 47
- 3. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 おことわり 本講演における「3 つの立場」とは「論理主義」 「直観主義」 「形式主義」ではありません。3 つの立場とは • 古典論理を保持するが文法に制限を加える：今回注目 • 古典論理を保持するが集合の存在保証原理を弱める • 古典論理を諦める 3 / 47
- 5. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 計算における構成の満たすべき条件 (i) 原理的には無限個の数項が、その定義に従って構成可能 でなければならない。 (ii) 一方で、具体的な数項（有限の長さの文字列）を与えら れたとき、それが本当に数項であるための条件を満たし ているかどうかを有限ステップでチェックできなければ ならない。 5 / 47
- 6. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 帰納的構成の例 自然数の帰納的構成 (I) 0 は自然数である (II) もしも n が自然数であるならば、n の次の数（後者） （n + 1 もしきは S(n)）も自然数である。 (III) こうやって構成されたものの全体が自然数であり、それ 以外のものは自然数ではない。 ある対象が与えられた時、それが自然数であるかどうかは、そ の対象の前者、されにその前者、· · · と っていって 0 に到達 すれば自然数、そうでなければ自然数ではないと判定できる。 6 / 47
- 7. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 帰納的構成の特徴 こうして帰納的に定義された自然数の集合は以下の性質を満 たす • ボトムアップな構成である。つまり帰納的定義において S(n) を構成する際には、他の集合を一切参照せず、すで に構成された自然数（この構成では n）のみを参照すれば 良い。 • 最小性（ 「こうやって構成されたものの全体が自然数であ り、それ以外のものは自然数ではない」 ） 7 / 47
- 8. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 構成と解体 帰納的定義は以下のように行われる。 • 最初のステップ（initial step/ base case） ：構成を始める にあたっての出発点 • 後続ステップ（successor step/ induction step） ：それまで のステップで構成されたものを処理して、新しいものを 作るステップ 用語の導入 • 「最初のステップ」から始め、 「後続ステップ」を有限回 繰り返す作業を（帰納的）構成（construction）と呼ぶ。 有限ステップで帰納的に構成されたものが「帰納的に構 成された対象」である。 • 構成を逆向きに り、帰納的に構成された対象から、後 続ステップの行われる前の対象を再現することを解体 （deconstruction）と呼ぶ 8 / 47
- 9. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 構成の例：実数（19 世紀） 実数は以下のように定義される • 自然数 0, 1, 2, · · · は実数である • 有理数 n m（ただし n, m は自然数）は実数である • 有理数の無限列 p0, p1, · · · が収束する（任意の n に対しあ る m が存在し |pm+1 − pm| < 1 2n ）時、この収束列（の同値 類）も実数である 帰納的に定義された自然数を使って有理数を帰納的に定義し、 有理数を使って帰納的に有理数の無限列を定義し、無限列の 同値類を実数と見なす 9 / 47
- 10. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 構成の例：ボレル集合族（19 世紀末） 開集合・閉集合とそれから生成される集合の族 B を以下のよ うに帰納的に構成する • （最初のステップ） • 開区間 (p, q) = {x : p < x < q} は B の要素である （(p, q) ∈ B） • X ∈ B に対し、その補集合 X̄ = {y : y < x} は B の要素で ある • （後続ステップ） • X0, X1, · · · ∈ B に対し、これらの集合より構成される以下 の集合も B の要素となる ∪ i∈ω Xi ∈ B • X0, X1, · · · ∈ B に対し、これらの集合より構成される以下 の集合も B の要素となる ∩ i∈ω Xi ∈ B 結果的に大変複雑な集合（たとえば ∩ j∈ω ∪ i∈ω(pi j, qij) で Gδ 集合）が構成されていく 10 / 47
- 11. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 超限帰納法 • ボレル集合族 B の定義では、帰納的に定義された集合の 極限 ∪ i∈ω Xi ∈ B に対し、またそれについて帰納的に極 限 ∩ i∈ω ∪ i∈ω Xi ∈ B を定義し、それを · · · と帰納的定義 の極限の帰納的定義の極限の帰納的定義の · · · を行った。 • こういう、帰納的定義自身を無限に繰り返す、特殊な帰 納法を「超限帰納法」と呼ぶ。 11 / 47
- 13. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 超限帰納法のための枠組み：集合論 • 帰納的定義は数学を行う上で重要であるが、 ∩ j0∈ω ∪ i0∈ω ∩ j1∈ω ∪ i1∈ω · · · (pi0 j0i1 j1···, qi0 j0i1 j1···) みたいな複雑な集合がいくらでも作れてしまうので、 ちょっと心配になる • 超限帰納法は数学で不可欠だが、さすがに何でもありと いうわけではないだろう • 帰納的定義（とくに超限帰納的定義）そのものも、数学 の対象として、数学的に厳密に分析するべきである • 帰納的定義（とくに超限帰納的定義）を行う数学的理論 として、もっとも有名なのが集合論である 13 / 47
- 14. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 カントールの素朴集合論（19 世紀末） カントールの素朴集合論のアイディアは、以下のカントール の台詞に端的に表れている。 「集合（Menge） 」という術語によって、われわれは、 何であれ、われわれの思惟または直観の対象であり、 十分に確定され、かつたがいに区別される対象 m （こ れらの対象はこの集合 M の「要素」 と名づけられる） を一つの全体へと総括したもの M を理解する つまり、無限個あろうがなかろうが、とにかく、自然数のよう な十分に確定的に定まった対象の全体の集まりも、また一つ の確定的に定まった数学的対象として考えて良いよね、とい うことである。 14 / 47
- 15. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 素朴集合論 集合論の言語 L∈ を以下のように定義する • 変数 x, y, · · · を持つ。 • P[x] が論理式（少なくとも x は自由変数である）のとき、 項 {x : P[x]} が存在する。 • 等号 = を持つ 素朴集合論とは、以下の二つの原理からなる理論である。 • 包括原理： 任意の φ[x] にたいし 項 {x : φ[x]} は以下を満 たす： ⊢ (∀y)[φ[y] ↔ y ∈ {x : φ[x]}] （なお φ[x] は x の他に自由変数を持って良いという意味） • 外延性公理： 任意の集合 a, b にたいし、a と b が同じメ ンバーを持つ（∀x[x ∈ a ≡ x ∈ b]）なら、a = b が成立 する。 15 / 47
- 16. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 カントール：濃度と序数 自然数には二種類の役割がある、と言われる： • 濃度 (cardinarity)： 大きさを表す。 通常 1-1 対応がつけられるかで判定される。 • 序数 (ordinar numbers)： 順番を表す（整列順序になって いることは明らか） 。 通常、 「帰納的定義」はこの順番に沿って行われる。また、 数学的帰納法による証明も、この順序に沿って行われる。 もちろん、普通の数学においては、任意の自然数は有限であ る。集合論における無限は、この自然数の役割を無限大に拡 張したものである。 16 / 47
- 18. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 順序数とブラリ・フォルティのパラドックス • 包括原理は非常に強力な集合の存在保証原理であり、解 析学など大抵の数学をこの上で展開できるが、一方で、 この原理は強力すぎ、古典論理の上ではいくつかのパラ ドックスにより、矛盾を導く。 • そのパラドックスとして、歴史的に最初に見つかったの はブラリ・フォルティのパラドックスである。順序数全 体の集合 On は、これもまた順序数になるが、では On ∈ On となるのかという、循環性にかかわるものである。 18 / 47
- 19. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 順序数の定義 • x が順序数であるとは、x 上で ∈ は以下の条件を満たす • 推移的である：(∀y, z)[z ∈ y ∧ y ∈ x → z ∈ x], • 整列順序をなしている： (∀y ⊆ x)(∃z)(∀p)[z ∈ y ∧ (p ∈ y → p < z)] （任意の x の 部分集合 y には、∈ に関する最小元が存在する） 。 つまり、順序数とは以上の二つの条件を満たす集合のことで ある。しかし、そんな条件を満たす集合が本当に構成できる のだろうか。 19 / 47
- 20. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 フォン・ノイマンによる順序数の構成 順序数は以下のように構成される： • 最初のステップ： ∅ = {x : x , x} はフォン・ノイマン順 序数である。 • 後続者ステップ： x が順序数のとき、S(x) = {x, {x}} は、 x の次のフォン・ノイマン順序数である。 • 極限ステップ： X が、後続者ステップについて閉じてお り、推移的な順序数の集合だとする。このとき X 自体も フォン・ノイマン順序数だとする。 このとき任意のフォン・ノイマン順序数は、順序数の定義を 満たす。 20 / 47
- 21. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 素朴集合論における極限の取り方 • 自然数全体の集合 ω は、以下のように定義される ω = {x : x = ∅ ∨ (∀Y)[∅ ∈ Y ∧ (∀z ∈ Y)S(z) ∈ Y → x ∈ Y] • 意味を考えると、ω は ∅ を含み、後者関数 S に対する最 小不動点である。 ω = ∩ {Y : Y は∅ を含み後者関数に関し閉じている } • n が ω という集合の要素かどうかをチェックするために は、任意の後者関数に関して閉じている集合 Y を取って きて、その要素をチェックしなければならない（ 「最小 性」とは他の集合全てと比べての最小性である） • ボトムアップな構成とは言えない（ 「非可述的である」 ） • さらに、この定義は循環的（自己言及的）である： 「任意 の後者関数に関して閉じている集合」の中には ω が含ま れるので、要は ω は ω を参照して定義されていることに なる！！ 21 / 47
- 22. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 超限帰納法 C を、以下を満たす順序数からなるクラスとする。 • ∅ ∈ C, • α ∈ C ならば S(α) ∈ C, • α が ∅ 以外の極限順序数であり、任意の β < α が β ∈ C であれば α ∈ C である。このとき、C は全ての順序数か らなるクラスになる。 （証明）そうでないと仮定する：α を C に含まれない最小の順 序数とすると、これに上の条件を適用すればよい。 22 / 47
- 23. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 ブラリ・フォルティのパラドックス さて、順序数全体の集まりを暫定的に On と書こう。このと き On は集合ではない。 証明： • On が集合だと仮定しよう。明らかに、∈ は On の上で推 移的であり整列順序になる。そのため、 On 自身も順序 数であり、 任意の順序数 α に対し α ∈ On であることか ら、 On は最大の順序数となるはずである。 • 一方、 On は順序数であることから、S(On) = {On, {On}} も順序数のはずである。しかし、前述のように On は最 大の順序数のはずであり、On より大きな順序数が存在す ることは矛盾である。 23 / 47
- 24. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 パラドックスの解釈 • このように順序数全体は集合を形成しない。しかし、包 括原理は、On が集合として存在することを保証してしま う。つまり、どこかおかしいということになる。 • フレーゲはこのブラリ・フォルティのパラドックスの原 因は順序数概念が矛盾を含むからだと信じ、カントール の素朴集合論と似ているがはるかに厳格に定義された素 朴集合論を作り上げ、順序数ナシで数学を展開できるこ とを示した（20 世紀冒頭） • しかしラッセルは順序数なしでもフレーゲの素朴集合論 では矛盾が示されることを示した（） 。 24 / 47
- 26. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 ラッセルのパラドックス：古典論理上、素朴集合論は矛盾 を導く ラッセル集合 R = {x : x < x} の存在は包括原理から保証さ れる。 [v : R ∈ R] [v : R ∈ R] R ∈ R ⇔ R < R R ∈ R → R < R R < R ⊥ ¬(R ∈ R) v→+ [w : R < R] [w : R < R] R ∈ R ⇔ R < R R < R → R ∈ R R ∈ R ⊥ ¬¬(R ∈ R) w→+ ⊥ 上の定理では以下のルールを使用している • 包括原理 ラッセル集合 R が存在を保証されるのは包括原理がある からである。 • 縮約規則 上の証明において、v→+ の箇所で、二つの R ∈ R という 前提を同時にキャンセルし、R < R を導いている（w→+ の箇所でも同様） 。複数の前提を一度にキャンセルできる 古典論理の構造に関する推論規則を「縮約規則」と呼ぶ。 26 / 47
- 28. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 ラッセルのパラドックスの解決法 ラッセルのパラドックスを解決するため、いくつかの解決策 が提案された。 (1) 古典論理は保持するが、包括原理を制限する。 (a) 集合論の一階の言語を保持し、包括原理そのものを弱め、 公理で定義出来る集合の形をもっとこまめに制限し、 ラッセル集合が定義出来ないようにする（公理的集合論） (b) 言語の文法を変更して高階の言語を採用し、ラッセル集 合が文法違反になるようにする（型理論） (2) 包括原理を保持するが、古典論理を制限する。 本講演では、(1b) を主にとりあげる。 28 / 47
- 29. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 文法による循環性の排除 • カントールは、ブラリ・フォルティのパラドックスの際 に、それを深刻な問題だとは考えなかった。というのも、 順序数全体の集合が存在すれば矛盾を導くが、実際の数 学は矛盾していない以上、実は順序数全体は実は集合と して存在していないはずである • カントールは、このパラドックスの原因は、包括原理が アバウトすぎ、本来ならば集合ではないような「全体性 を欠く」ものの集まりまで集合と認めてしまったせいだ、 と考えた。 • ここで登場したのが「定義可能性」という概念である。 カントールの素朴集合論に対するブラリ・フォルティの パラドックスは、 「順序数」のような「直感で考えればわ かるやろ」という概念が非常に危ないことを示した。こ の種の「だいたいの感じ」で集合論を展開することの困 難は、ツェルメロの整列定理の証明などでも繰り返され ることになる。 • 集合の定義は、有限の長さの論理式できっちりと書き下 せるものでなければならない。 29 / 47
- 30. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 公理的集合論 • 包括原理のサブセットで、矛盾を起こさない（ラッセル 集合の存在を認めない）ぐらいには弱い体系でありなが ら、どれだけ現代数学を展開できるかを教えてくれる • 包括原理なしでカントール流の高階の無限に関する理論 を展開できる • 古典的数学（と大抵の現代的数学）がここで展開できる ので、 「数学の基礎」と呼ばれうる体系である • 数学的に面白いこと、とくに解析学や実数上の組み合わ せ論を研究する上で面白い現象が起こること 30 / 47
- 31. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 ZF の公理 公理的集合論 ZF は、7 個の公理と 2 個の公理図式からなる • 集合の存在公理： (∃x)[x = x], • 外延性公理 (∀x, y)(∀z)[(z ∈ x ⇔ z ∈ y) → x = y], • 整礎性公理： (∀x)[∃y(y ∈ x) → ∃y(y ∈ x ∧ ¬∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y))], • 分離公理図式（包括原理の弱いバージョン） ：任意の論理 式 φ(x, z, ⃗ w) に関し (∀z∀⃗ w)(∃y)(∀x)[x ∈ y ⇔ x ∈ z ∧ φ(x, z, ⃗ w)] for any φ • ペアリング公理 (∀x, y)(∃z)[x ∈ z ∧ y ∈ z], • 和集合公理 (∀F)(∃A)(∀Y, x)[x ∈ Y ∧ Y ∈ F → x ∈ A], • 置換公理図式 任意の論理式 φ(x, y, A, ⃗ w) に対し (∀A, ⃗ w)[∀x ∈ A∃!yφ → ∃Y∀x ∈ A∃y ∈ Yφ] • 無限公理 (∃x)[∅ ∈ x ∧ (∀y ∈ x) S(y) ∈ x], • 巾公理 (∀x)(∃y)(∀z)[z ⊂ x → z ∈ y] 31 / 47
- 33. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 文法による循環性の排除 • ラッセルのパラドックスは、循環性が生むパラドックス と言われている。 • R が R の元かどうかを調べるためには、自分自身（R）に ついて R < R かどうかを調べなければならない。 • R は、その意味で強く自己言及的（再帰的）に定義されて いる。包括原理の特色は、このような悪循環こと強い自 己言及性を許すことである。 • こんな自己言及的な集合が定義出来るのは、素朴集合論 において、全ての集合を参照して自分自身を定義するこ とが可能なためである（全ての集合の中には当然自分自 身も含まれる） • この循環性を文法的に排除するために開発された体系が 型理論である。 33 / 47
- 34. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 ラッセルの型理論（言語） ここでは簡単のために、ラッセルによって開発され、ラム ジーによって簡略化された単純型理論 (simple type theory) を 紹介する。型理論の言語 LT は以下の要素を持つ • 階： この言語は、可算無限個の階 0, 1, 2, · · · を持つ。 • 型： 「分岐型」 「単純型」を持つ。後スライドで述べる。 • 言語： カントールの素朴集合論と比べると、変数に違い がある。 • 出発点になる言語 L0 の論理式や項を、type 0 と呼ぶ。 • 任意の自然数 n に対し、type n+1 の言語 Ln+1 は、以下を 満たす。 • n + 1 階の変数 x(n+1) , y(n+1) , · · · を持つ。 • P(x(n) ) が論理式のとき、項（n 階の要素を集めた集合） {x(n) : P(x(n) )} は type n + 1 の項となる。 • 任意の項 τ に対し、ある n が存在して項 σ が type n であ り、項 τ が type n+1 を持つ時のみ論理式 σ ∈ τ は有意味 な論理式となる。 34 / 47
- 35. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 ラッセルの型理論（公理） 単純型理論は LT 上の理論であり以下を満たす。 • 公理：外延性公理の他に、任意の階 n について以下の公 理図式と公理を持つ。 • 包括原理： ∀x(n) [x(n) ∈ {y(n) : P(y(n) )} ⇔ P(x(n) )], • 外延性公理： ∀x(n) [x(n) ∈ a(n+1) ↔ x(n) ∈ b(n+1) ] → a(n+1) = b(n+1) . 包括原理そのものは生き残っているが、適用される式の 形が制限され、結果的に包括原理は制限されている。 純粋にボトムアップ（ 「可述的」 ）な理論である。 35 / 47
- 36. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 ラッセル集合の定義不可能性 • プログラム言語に階と型を導入するのは、循環性を排除 し、プログラムが有限で停止することを保証することに ある。 • ラッセルのパラドックスは、R < R から R ∈ R、そして その逆も導出される一種の無限ループなプログラムであ り、階と型の導入によってこの無限ループを排除（つま り矛盾を除去）することができる。 • この定義の下では式 x ∈ x（従って x < x も）は 階（そし て型も）を持てないことがすぐわかる。ポイントは、 σ ∈ τ のとき τ の type= σ の type +1 が成立することである。従ってもし式 x ∈ x が型付け可 能ならば、 x の type = x の type+1 となるが、これは矛盾。 • つまりラッセル集合の定義式は、型理論においては文法 違反なので考慮の対象外となる。 36 / 47
- 37. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 単純型と分岐型 • （概略）単純型は以下のように定義される • () は基本命題の型 • 0 は基本対象の型 • 基本命題 φ(x0, · · · , xn) に、t0 : τ0, · · · , tn : τn) という形 を持つ対象を入力して定義される項は型 (τ0, · · · , τn) を 持つ。 帰納的に、その項の定義される経路に沿って、型を構成 していく。 • 分岐型は、さらに (τ0, · · · , τn) がどの階の型かを表現する 階のパラメータを持つ： (τn0 0 , · · · , τnn n )n ただし n = max{n0, · · · , nn} 分岐型理論は、ある数学的対象は、どの階層のどの型の言を 証拠として何が言えるのか、その対象の構成法を細かく記録 するため、より構成的であると言える。 37 / 47
- 39. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 非可述的な語彙の必要性 分岐型理論は可述的だが、我々は数学の時間にある程度は非 可述的な述語を使うし、それなしでは数学はできない。 • たとえばライプニッツ同一性 x = y は、任意の性質 P(x) について、P(x) ⇐⇒ P(y) となることである。これは 「任意の性質 P(x) について」という、非可述的な述語を 使用している。 • 単純型理論では「すべての性質 P(x) について」という量 化はできない（n 階の性質に関する量化は n + 1 階の述語 となってしまう） • = の定義は、循環的／非可述的（ 「すべての性質」の中に x = y という性質も含まれるはず）であり、型理論的には 定義出来ない。しかし、= なしの数学は考えられない。 39 / 47
- 40. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 還元公理 • そこでラッセルが導入したのが「還元公理」である。 • その目的は「形の上では確かに『a の全ての属性』や『す べての a 関数』のような概念に関わっているが、にもか かわらず、何か実質的な誤りを犯しているとはまず考え られないような数多くの推論を正当化することである」 （プリンキピア・マテマティカ p.182） • 還元公理は以下を主張する： 「任意の関数 f に対し、 f と 形式的に同値な、ある述語的関数（階数を考えなくて良 い、原始述語として含まれる関数）が存在する。 」 • = の定義をしたければ、述語的な関数全体の上を量化す れば、全ての属性を量化したのと同じ効果が得られるこ ととなる。 40 / 47
- 42. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 還元公理への批判 マルティンレーフ（1980） “The ramified theory of types was predicative, but it was not sufficient for deriving even elementary parts of analysis. So the axiom of reducibility was added on the pragmatic ground that it was needed, although no satisfactory justification (explanation) of it could be provided. The whole point of the ramification was, then lost, so that it might just as well be abolished. ” 42 / 47
- 43. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 単純型理論 分岐型理論+還元公理は実質的には単純型理論になる。 マルティンレーフ（1980） “What then remained was the simple theory of types. Its official justification (Wittgenstein, Ramsey) rests on the interpretation of propositions as truth values and propositional functions (of one or several variables; as truth functions. The laws of the classical propositional logic are then clearly valid, and so are the quantifier laws , as long as quantification is restricted to finite domains. However, it does not seem possible to make sense of quantification over infinite domains, like the domain of natural numbers, on this interpretation of the notions of proposition and propositional function. ” 43 / 47
- 44. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 ラッセルの型理論への評価 ゲーデル： 「しかし全体として、そこで得られた結果は、· · · 還元公理な どの何らかの公理という形で、一旦有罪判決の下ったものを再 び導入しない限り、数理論理のごく一部の断片が残るに過ぎ ないということだった。こうしたことはより保守的な道を進 むべきだということを示しているように思われる。たとえば 「クラス」や「概念」という語の意味をもっとハッキリさせ、 客観的存在者としてのクラスと概念についての無矛盾な理論 を立てるといった道である。これは数理論理学の実際の展開 が った道であり、ラッセル自身も彼の仕事のより構成的な 部分では取らざるを得なかった道なのである。 （p.83-84） 」 単純型理論の整合性は ZFC で証明できる（ZFC の内部モデル L の階層 ω までの部分と、ラッセルの分岐型理論は一致する） 。 44 / 47
- 45. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 ゲーデルの内部モデルによる分岐型理論のシミュレート 集合論の中で、ラッセルの分岐型理論をシミュレートしたの が、内部モデル L である。任意の集合 U を考える。 • def(U, n) = {⟨x0, · · · , xn−1⟩ : ある論理式φ に対しφU[x0, · · · , xn−1]}, • Def(U) = {X : (∃n)(∃s ∈ Un)(∃R ∈ def(U, n + 1))[X = {x ∈ U : s ⌢ ⟨x⟩ ∈ R]} M の中で、構成的集合のなす累積的階層 L を以下のように超 限帰納法により定義する： • L0 = ∅, • Lα+1 = Def(Lα), • Lα = ∪ β<α Lβ. 45 / 47
- 46. ラッセルのパ ラドックスと 3 つの対策 矢田部 俊介 数学のキモ： 帰納的定義 素朴集合論 順序数とブラリ・フォ ルティのパラドックス ラッセルのパラドッ クス ラッセルのパ ラドックスの 解決法 包括原理を制限する： 公理的集合論による 解決 文法的解決：型理論に よる解決 型の定義 型理論の問題点と評価 分岐型理論と内部モデルの関係 • Ln+1 とは Ln に含まれる集合を使って定義可能な集合で ある。 • a ∈ Ln+1 が b1, · · · , bj ∈ |LLn を使って定義される （φ(b1, · · · , bj, a)）とき、分岐型理論では以下を満たす • a の階数=n + 1 • a の型=(bn 1 , · · · , bn j )n • ラッセルの分岐型理論と、ゲーデルの内部モデル Lω は一 致する 46 / 47