Euluer Integral, Target Enumeration presentation @Math.Pow() at MathPower

1. 𝜒 は測度ですか？？
s.t.@simizut22

2. • Twitter: s.t.@simizut22 でやってます
• 某企業の数理計画/数理最適化部員(programmer) やってます
• s.t. は such that でも subject to でもどちらでも

3. 数を数えてください
今日鞄に入ってたテキストを数えます

4. でも自分で数えるのは難しい

5. 自分で数えられないなら
積分したらいいじゃない！！

6. 今日の内容
• オイラー標数 #とは
• オイラー積分 #とは
• Target Enumeration(応用)

7. なるべく数学の言葉を出さない
よう頑張ります(努力目標

8. §1 オイラー標数 #とは
• 三角形分割/セル分割された空間 X に対し
𝜒 𝑋 ≔
𝜎
−1 𝑑𝑖𝑚𝜎 =
𝑛
−1 𝑛#|𝑛 単体|
⇒
組み合わせ的な Euler 標数

9. §1 オイラー標数 #とは(例)
• 離散集合
𝜒 𝑋 = #𝑋
⇒ 個数(離散集合の上の個数測度)みたい
に”思える” (思えない

10. §1 オイラー標数 #とは(例)
n-dim 球面 𝑆 𝑛
= 𝑥0, … , 𝑥 𝑛 ∈ ℝ 𝑛+1
∑𝑥𝑖
2
= 1}
𝜒 𝑆 𝑛 = 1 + −1 𝑛 =
2 (𝑛 ∶ 偶数)
0 (𝑛 ∶ 奇数)
∵) 𝑆 𝑛
のセル分割を ∗, 𝑆 𝑛
∖∗∼ℎ𝑜𝑚𝑒𝑜 ℝ 𝑛
のセル分割から
ここで、𝑆 𝑛 ∖∗∼ℎ𝑜𝑚𝑒𝑜 ℝ 𝑛 は立体射影

11. §1 オイラー標数 #とは(例)
• Oriented closed リーマン面 𝑀𝑔
𝜒 𝑀𝑔 = 2 − 2𝑔
𝑔 = 0 𝑔 = 1 𝑔 = 2

12. §1 オイラー標数 #とは(例)
種数 2(g=2)のリーマン面の三角形分割
⇒ 𝜒 𝑀2 = 1 − 4 + 1 = −2(= 2 − 2𝑔)
他の種数 g > 0 でも同様

13. §1. オイラー標数 #とは
• オイラー標数は次の関係を満たす(集合は適切なクラスと仮定)
1. 𝜒 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝜒 𝐴 + 𝜒 𝐵 − 𝜒(𝐴 ∩ 𝐵)
2. 𝜒 𝑋 × 𝑌 = 𝜒 𝑋 𝜒(𝑌)

14. 測度と思うなら積分じゃっ！！

15. §2. Euler積分(被積分関数)
𝑑𝑒𝑓
𝑋: 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑡 に対し、
𝐶𝐹 𝑋 = ∑ 𝜎:𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥 𝑐 𝜎 1 𝜎 ℤ 係数局所有限な和
ここで、1 𝜎 𝑝 =
1 (𝑝 ∈ 𝜎)
0 (その他)
以下、対象とする関数の集合を 𝐶𝐹 𝑋 とする

16. § 2. Euler積分
𝑑𝑒𝑓 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙
𝑋
𝑑𝜒 ∶ 𝐶𝐹 𝑋 → ℤ を
𝑋
∑𝑐 𝜎1 𝜎 𝑑𝜒 = ∑𝑐 𝜎 −1 𝑑𝑖𝑚𝜎
で定義する

17. § 2. Euler積分
簡単な Lemma
𝐴 ⊂ 𝑋: 𝑠𝑢𝑏 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥 に対し、
𝑋
1 𝐴 𝑑𝜒 = 𝜒(𝐴)
(i.e. A の定義関数をかませると A の “面積”)

18. § 2. Euler積分
𝑇ℎ𝑚 𝐹𝑢𝑏𝑖𝑛𝑖
𝑓: 𝑋 → 𝑌 を単体複体の間の写像(Piecewise Linear) とする
𝑋
ℎ 𝑑𝜒 =
𝑌 𝑓−1(𝑦)
ℎ 𝑥 𝑑𝜒 𝑥 𝑑𝜒(𝑦)
証明は tame map に対する Hardt Theorem(分解定理) とオイラー標数
に対する積の性質から ■

19. Sheaf cohomology からの定義(補足)
𝑑𝑒𝑓(𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 − 𝑃𝑜𝑖𝑛𝑐𝑎𝑟𝑒 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑥)
ℱ: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑠ℎ𝑒𝑎𝑓 に対し、
𝜒 ℱ 𝑥 ≔ −1 𝑖
dim ∑ 𝐻 𝑖
ℱ𝑥
∗
により 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 を与える
𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 − 𝑃𝑜𝑖𝑛𝑐𝑎𝑟𝑒 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑥 を用いて、Euler 積分を
𝑋
ℎ 𝑑𝜒 ≔ 𝜒 𝑅𝑝!ℱ
where
𝑝: 𝑋 →∗
ℎ 𝑥 = 𝜒( ∃
ℱ)(𝑥)

20. §3. Target Enumeration(問題の設定)
Target の集合：有限集合⊂ 𝑊
Sensor の集合: (dense)⊂ 𝑋
Sensing Relation: 𝒮 = 𝑤, 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 𝑥 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡 𝑤}
Counting Function h:
𝑥 ∈ 𝑋 のセンサーは 𝒮 𝑥 内の target の個数のみ数える(target の id 認
識などはできない)

21. §3. Target Enumeration
𝑇ℎ𝑚
ℎ ∈ 𝐶𝐹 𝑋 : 𝑐𝑜𝑢𝑛𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛
target α を認識できるセンサーの集合(Target Support) 𝑈 𝛼 が
𝜒 𝑈 𝛼 = 𝑁 ( ∀
𝛼)
を満たす。このとき、
#𝛼 =
1
𝑁 𝑋
ℎ 𝑑𝜒
(証明は容易)

22. §3. Target Enumeration(例)
1. Enumerating Vehicles:
仮定)
各車両が曲線 𝛾𝑖: 0, 𝑇 → ℝ2 にそって動くとする
𝛾𝑖 𝑡 は可縮な近傍 𝑈𝑖 𝑡 ⊂ ℝ2をもつ
Counting function h:
Sensor x が 𝑈𝑖 𝑡 に入ったとき、x はそのカウンターを increment

23. §3. Vehicle Enumeration

24. §3. Vehicle Enumeration
Prop
#𝑉𝑒ℎ𝑖𝑐𝑙𝑒𝑠 =
ℝ2
ℎ 𝑑𝜒
∵) 𝜒 𝑈 𝛼 = 1 を用いて、先の定理から
ℝ2× 0,𝑇
ℎ 𝑑𝜒 = #𝑇𝑢𝑏𝑒𝑠 ⋅ 𝜒 𝑈𝑖 = #𝑇𝑢𝑏𝑒𝑠
Fubini (前 chapter) を用いると ok.

25. §3. Target Enumeration(例)
例(Enumerate via beams)
各 target : 𝑉𝛼 は凸集合
Sensor: 各センサー ∈ ℝ 𝑛
Counting Function h : k-dim のビームで target を観測する
→ Sensor Space 𝐴𝐺𝑟𝑘
𝑛
= ℝ 𝑛
× 𝐺𝑟𝑘
𝑛
(Grassmannian でﾊﾟﾗﾒﾄﾗｲｽﾞ)

26. §3. Target Enumeration(例)
Prop:
(n, k) は(偶数, 奇数)以外のペアとする。このとき
#𝛼 = 𝑛
2
𝐶 𝑘
2 𝐴𝐺𝑟 𝑘
𝑛
ℎ 𝑑𝜒
証明）略
𝜒 𝐺𝑟𝑘
𝑛
=
0 (𝑛: 𝑒𝑣𝑒𝑛, 𝑘: 𝑜𝑑𝑑)
𝑛
2
𝐶 𝑘
2
(その他 を使って計算するだけ

27. まとめ

28. 手で数えられなければ
Euler 積分しような

29. 4. 今日話せなかったこと(能力の問題)
• Z-value の constructible function から R-valued の definable function
に定義を拡張
• (stratified)Morse Theoretic な解釈！！！！！！
• 実際の問題では、 sampling が完全にはできない
→ 上下限を与える/期待値を求める。などが実際には行われる
• duality
• Microlocal Fourier Transformation

30. 終わり