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Introduction to Topological Data Analysis
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Topological Data Analysis Persistent Homology/離散Morse理論の概要
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Introduction to Topological Data Analysis
1.
Introduction to Deep Learning @simizut22
2.
注意:タイトルには誤りがあります
3.
登場人物 : 単体法おじさん : 僕(画像は
llvm) F F 講義やらない?? お題とかあるんでしょうか?? はあ… 一応タイトルは,Deep Learning の紹介ということにしてあるけど F F でも,好きなこと話していいよ. Topological Data Analysis でも A∞ とか離散 morse 理論の話になっ てもいいですか?? (; ・`д・´) F えっ,そういう話なの?? まぁ,いいんじゃない
4.
Introduction to Deep Learning Topological
Data Analysis @simizut22
5.
I’m not Data
Scientist, but C++er…
6.
最近の興味 • Homotopy Type
Theory • Directed Algebraic Topology • Computational Topology つまり…
7.
最近の興味 • 型はいいぞぉ!! • 並列化はいいぞぉ!! •
代トポはいいぞぉ!!
8.
最近の興味 • 型はいいぞぉ!! • 並列化はいいぞぉ!! •
代トポはいいぞぉ!! ついでに… • constexpr はいいぞぉ!! ※ constexpr の読み方は YOMIKATA.org 参照
9.
本日の内容 • TDA #とは •
Persistent Homology • 計算法(+離散 Morse 理論) • 社会での利用例
10.
Topological data analysis
#とは • もともとは Edelsbrunner/Letscher/Zomordian が 画像認識を行うために Persistent Homology を考 えた(*) • 与えられたデータの位相(幾何)的な不変量を用 いることで,データの次元削減/noise の除去など を行う→例えば機械学習の前処理として使える * Edelsbrunner, Herbert, David Letscher, and Afra Zomorodian. "Topological persistence and simplification." Discrete and Computational Geometry 28.4 (2002): 511-533.
11.
Topological data analysis
#とは • スペクトル系列と関連 スペクトル系列はいいぞぉ!! (*´д`*)ハァハァ Basu, Saugata, and Laxmi Parida. “Spectral Sequences, Exact Couples and Persistent Homology of filtrations.” arXiv preprint arXiv:1308.0801 (2013). より
12.
Topological data analysis
#とは • 主な応用分野は以下 1. 画像認識 2. Manifold learning 3. 遺伝子情報解析 4. 高分子構造の解析 5. 音楽データの解析 6. Network(social/脳のneuron) の解析 7. Sensor network 問題 etcetc…
13.
Persistent Homology 定義(point cloud) 𝑋
⊂ 𝑅 𝑛 :有限集合を point cloud という 定義(Vietoris Rips) 𝑟 > 0, 𝑋 = 𝑥 𝜆 𝜆∈Λ: 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑙𝑜𝑢𝑑 に対し, 𝐶 𝑛 𝑟 𝑋 = 𝜆0 ⋯ 𝜆 𝑛 𝑥 𝜆 𝑖 − 𝑥 𝜆 𝑗 ≤ 2𝑟 𝑉 𝑟 𝑋 : 𝐶 𝑛 𝑟 (𝑛 = 0, … ) で生成される自由加群
14.
Persistent Homology Point cloud
𝑋 : given 半径の列 0 = 𝑟0 < ⋯ < 𝑟𝑛をとると、次の Vietoris Rips 複体の列 𝑉 𝑟0 ⊂ 𝑉 𝑟1 ⊂ ⋯ ⊂ 𝑉 𝑟 𝑛 が得られる → homology の列が誘導される 𝐻 𝑝 𝑉 𝑟0 → 𝐻 𝑝 𝑉 𝑟1 → ⋯ → 𝐻 𝑝 𝑉 𝑟 𝑛
15.
Persistent Homology 定義(Persistent Homology) 𝑓
𝑖,𝑗 : 𝐻 𝑝 𝑉 𝑟 𝑖 → 𝐻 𝑝 𝑉 𝑟 𝑗 (𝑖 < 𝑗):包含写像の誘 導する準同型とする。 p-th Persistent Homology is defined as below: 𝐻 𝑝 𝑖,𝑗 𝑋 = 𝐼𝑚 𝑓𝑝 𝑖,𝑗
16.
Persistent Homology の表示 Persistent
Homology は homology class の生成 と消滅を表すと言われている。 主に使用される図示方法は 以下の 2 つ 1. Persistence diagram 2. Barcode
17.
Persistence Diagram 𝑏 𝑝 𝑖,𝑗 =
𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐻 𝑝 𝑖,𝑗 : betti number 𝜇 𝑝 𝑖,𝑗 :𝑉 𝑟 𝑖 で現れて,𝑉 𝑟 𝑗 で消えるホモロジークラス 全体の rank とする i.e. 𝜇 𝑝 𝑖,𝑗 = 𝑏 𝑝 𝑖,𝑗−1 − 𝑏 𝑝 𝑖,𝑗 − 𝑏 𝑝 𝑖−1,𝑗−1 − 𝑏 𝑝 𝑖−1,𝑗 Persistence Diagram: 𝑟 𝑖 , 𝑟 𝑗 ∈ ℝ2 に重複度 𝜇 𝑝 𝑖,𝑗 を持たせて書いた もの
18.
Persistence Diagram
19.
計算方法(体係数の時) 次の operator 𝑥:
⨁𝑖 𝑉𝑟 𝑖 ∗ → ⨁𝑖 𝑉𝑟 𝑖 ∗ を 𝑉𝑟 𝑖 ∗ → 𝑉𝑟 𝑖+1 ∗ : inclusion の拡張で与える 考える係数体を 𝐾 としたとき、 Boundary 𝜕: ⨁𝑖 𝑉𝑟 𝑖 𝑛 → ⨁𝑖 𝑉𝑟 𝑖 𝑛 を多項式環 𝐾 𝑥 module の準同型として考える。 この(多項式環係数)行列の smith-normal form を用いる
20.
補足: smith normal
form PID 𝑅 係数の 𝑛 × 𝑚 行列 𝑋 ∈ 𝑀 𝑛, 𝑚, 𝑅 の smith-normal form とは 正則行列 𝑆 ∈ 𝐺𝐿 𝑛, 𝑅 , 𝑇 ∈ 𝐺𝐿 𝑚, 𝑅 を用いて 𝑆𝑋𝑇 = 𝐴 0 0 0 𝑤/ 𝐴 = 𝑎1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 𝑎 𝑟 , 𝑎𝑖|𝑎𝑖+1
21.
計算方法 上の algorithm +
行列の reduction を用いることで、 計算量を抑えている。 一般の環係数に対して、最悪計算量はΟ 𝑛3 Milosavljevic 等は体係数の Persistent Homology を行列積 order Ο 𝑛 𝜔 で計算をしている(*) 現状 𝜔 ≈ 2.3727 が知られている * Milosavljević, Nikola, Dmitriy Morozov, and Primoz Skraba. "Zigzag persistent homology in matrix multiplication time." Proceedings of the twenty-seventh Annual Symposium on Computational Geometry. ACM, 2011.
22.
離散 Morse 理論 •
離散 morse 理論を用いて、単体複体を小さく することで計算量を抑えることを考える • 離散モース理論: 単体複体 𝐾 上の関数 𝑓 が morse ⇔ 任意の単体 𝛼 𝑝 に対し ⋕ 𝛼 < 𝛽 𝑝+1 𝑓 𝛽 ≤ 𝑓 𝛼 ≤ 1 ⋕ 𝛾 𝑝−1 < 𝛼 𝑓 𝛼 ≤ 𝑓 𝛾 ≤ 1
23.
離散 Morse 理論 単体複体
𝐾 の単体 𝜎 がmorse 関数 𝑓 の臨界 点(critical point) ⇔ ⋕ 𝛼 < 𝛽 𝑝+1 𝑓 𝛽 ≤ 𝑓 𝛼 = 0 ⋕ 𝛾 𝑝−1 < 𝛼 𝑓 𝛼 ≤ 𝑓 𝛾 = 0 類似: 多様体に対する morse 理論では morse 関数の 臨界点に応じて、多様体の cell 分解を行った…
24.
離散 Morse 理論 定理(基本定理) 単体複体
𝐾 上にモース関数 𝑓 が存在 ⇒ 𝑓 の p-次の臨界点に対応した p-次のセルを持つ CW 複体と homotopy 同値になる ∎ 𝑀𝑓: 𝑓 の臨界点から生成される自由加群 以下が分かる ∃ 𝜕: 𝑀𝑓 → 𝑀𝑓 で 𝑀𝑓 はchain 複体。これを morse 複体という これは homology を保っている。
25.
離散 Morse 理論 •
𝑅𝑃2 の homology の計算例 𝑅𝑃2 上の morse 関数を以下の図で与える。 2 3 1 1 23 t e e
26.
離散 Morse 理論(例) •
これの morse complex は次で与えられる ℤ ×2 ℤ → 0 ℤ → 0 これより、 𝐻0 𝑅𝑃2 , ℤ = ℤ 𝐻1 𝑅𝑃2 , ℤ = ℤ 2ℤ 𝐻2 𝑅𝑃2 , ℤ = 0
27.
離散 Morse 理論(Filtered
ver.) • Mischaikow, Konstantin, Nanda は離散モース 理論(Morse complex) の理論を filtered complex に拡張し,Persistent Homology の計 算の効率化を行った(*) • filtration に適合した morse complex は元の 複体と同じ Persistence Diagram を与える (*) Mischaikow, Konstantin, and Vidit Nanda. "Morse theory for filtrations and efficient computation of persistent homology." Discrete & Computational Geometry 50.2 (2013): 330-353.
28.
離散 Morse 理論(Filtered
ver.) 以上の方法計算量に使う値を定義する 𝑛: cell の個数(input size) 𝑝 = max 𝛼∈𝐾 # 𝛽 ∈ 𝐾 𝛼 < 𝛽 𝑚𝑖: i-次元のセルの個数 𝑚: morse complex のセルの個数(output) i.e. 𝑚 = 𝑚𝑖 𝑚 = 𝑚𝑖 2
29.
離散 Morse 理論(Filtered
ver.) 一般の体係数に対しては、filtered morse 理論 を用いた際の計算量は Ο 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑚 + 𝑚3 また、体係数では Ο 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑚 + 𝑚 𝜔 に削減できる。 詳細:略(´;ω;`)
30.
社会での実用例 • Fujitsu が
TDA を利用したサービスをリリース 時系列データを高精度に分析する新たなDeep Learning技術を開発 • Carlsson 先生が co-founder を務める Ayasdi 社
31.
ZHIEND
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