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Conjuntos difusos  Definiciones básicas
¿Qué es esta “cosa difusa”?
Diccionario de Webster: difuso
1. Cubierto con algo o similar a algo borroso
2. No claro: confuso
3. Borroso, vago.
En un sentido técnico: denota a las disciplinas de la matemática o ingeniería que
tienen su base en la teoría de conjuntos difusos y lógica difusa.
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Relativamente nuevos métodos para la representación de incertidumbres y
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Tipos de incertidumbre:
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Propuesto en 1965 por L.A. Zadeh (Fuzzy Sets Information Control, vol.8, pp.
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generalización de la teoría de conjuntos ordinarios
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El término “lógica difusa” con frecuencia también denota a la teoría de conjuntos
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Un conjunto es una colección de objetos con una propiedad común.
Ejemplos:
Conjunto de números naturales menores a 5:
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A = {zIz Є C, IzI  1}
Una línea en IR2:
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Representación de conjuntos
Enumeración de elementos:
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Definición por propiedad:
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Función característica:
A(x): X  {0, 1}
1, si x miembro de A
A(x) =
0, si x no es miembro de A
Ejemplo: números menores a 5
Operaciones con conjuntos
 Intersección: C = A  B
C contiene elementos que pertenecen a A y B
Función característica:
C = min{A, B}
 Unión: C = A  B
C contiene elementos que pertenecen a A o a B
Función característica:
C = max{A, B}
 Complemento: C = A
C contiene elementos que no pertenecen a A
Función característica:
C =1  A
Intersección clásica: Ejemplo
¿Por qué conjuntos difusos?
 Los conjuntos clásicos son buenos para conceptos bien definidos (matemáticas,
programas, etc.)
 Poco útil para representar información con sentido común en términos de
conceptos vagos como:
 una persona alta, carretera resbaladiza, buena agua, …
 quiero comprar un carro grande con consumo moderado
 si la temperatura de demasiado baja, incremente más calor.
Enfoque de conjuntos clásicos
Un conjunto es una colección de elementos con cierta propiedad.
Ejemplo: conjunto de gente alta A = {hIh  180}
Propuesta lógica
“Jhon es alto” . . . verdadero o falso
Altura de Jhon:
hJhon = 180.0 A(180.0) = 1(verdadero)
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para un grado dado.
Propuesta de lógica difusa
“Jhon es alto” … grado de verdad
Altura de Jhon
hJhon = 180.0 A[180.0] = 0.55
hJhon = 179.5 A[179.5] = 0.5
hJhon = 201.0 A[201.0] = 1
Subjetivo y dependiente del contexto
Variable linguística
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Soporte de un conjunto difuso
sup(A) = {x I A(x) > 0}
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Corazón (núcleo) de un conjunto difuso
cor(A) = {x I A(x) = 1}
Corazón es un conjunto ordinario.
cut de un conjunto difuso
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Conjuntos difusos convexos y no convexos
Un conjunto difuso es convexo  todos sus -cuts son conjuntos convexos.
Conjuntos difusos no convexos: un ejemplo
Epoca de alto riesgo para póliza de seguros en autos.
Representación de conjuntos difusos
 Apropiado como una lista de pares membresía/elemento:
 Como una lista de pares -nivel/-cut:
 Fórmula analítica para la función de membresía
o de forma más general
donde d(x, v) es una medición de desigualdad.
Varias notaciones de taquigrafía: A(x), A(x), a
Formas de funciones de membresía
Cantidades difusas y Singletons
Regresión lineal difusa: y = 3~x1 + 5~x2
Complemento de un conjunto difuso
c: [0, 1]  [0, 1]
A(x)  c(A(x))
Axiomas fundamentales
1. Condiciones de límite  c se comporta como el complemento ordinario
c(0) = 1 c(1) = 0
2. Ningún incremento monotónico
a, b  [0, 1], si a < b, entonces c(a)  c(b)
Otros axiomas
 c es una función continua.
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Conjuntos Difusos

  • 1. Conjuntos difusos  Definiciones básicas ¿Qué es esta “cosa difusa”? Diccionario de Webster: difuso 1. Cubierto con algo o similar a algo borroso 2. No claro: confuso 3. Borroso, vago. En un sentido técnico: denota a las disciplinas de la matemática o ingeniería que tienen su base en la teoría de conjuntos difusos y lógica difusa. Control difuso, modelado difuso, toma de decisión difusa, … Conjuntos difusos y lógica difusa Relativamente nuevos métodos para la representación de incertidumbres y razonamientos bajo incertidumbre. Tipos de incertidumbre: casualidad, fortuito (estocastico) imprecisión, vaguedad, ambigüedad (no estocastico) Propuesto en 1965 por L.A. Zadeh (Fuzzy Sets Information Control, vol.8, pp. 338353) generalización de la teoría de conjuntos ordinarios 70s primera aplicación, control fuzzy (Mamdani) 80s aplicaciones industriales, operación del tren, reconocimiento por patrón 90s productos de consumo, carros, hardware y software especiales. El término “lógica difusa” con frecuencia también denota a la teoría de conjuntos difusos y sus aplicaciones (p.e., control de lógica difusa).
  • 2. Aplicación de conjuntos difusos Precisión contra pertinencia
  • 3. Teoría clásica de conjuntos Un conjunto es una colección de objetos con una propiedad común. Ejemplos: Conjunto de números naturales menores a 5: A = {1,2,3,4} Disco unitario en el plano complejo: A = {zIz Є C, IzI  1} Una línea en IR2: A = {(x, y)I ax + by + c = 0 [x,y,a,b,c Є IR]} Representación de conjuntos Enumeración de elementos: A = {x1, x2, …, xn} Definición por propiedad: A = {x Є X I x tiene propiedad P} Función característica: A(x): X  {0, 1} 1, si x miembro de A A(x) = 0, si x no es miembro de A Ejemplo: números menores a 5
  • 4. Operaciones con conjuntos  Intersección: C = A  B C contiene elementos que pertenecen a A y B Función característica: C = min{A, B}  Unión: C = A  B C contiene elementos que pertenecen a A o a B Función característica: C = max{A, B}  Complemento: C = A C contiene elementos que no pertenecen a A Función característica: C =1  A Intersección clásica: Ejemplo
  • 5. ¿Por qué conjuntos difusos?  Los conjuntos clásicos son buenos para conceptos bien definidos (matemáticas, programas, etc.)  Poco útil para representar información con sentido común en términos de conceptos vagos como:  una persona alta, carretera resbaladiza, buena agua, …  quiero comprar un carro grande con consumo moderado  si la temperatura de demasiado baja, incremente más calor. Enfoque de conjuntos clásicos Un conjunto es una colección de elementos con cierta propiedad. Ejemplo: conjunto de gente alta A = {hIh  180} Propuesta lógica “Jhon es alto” . . . verdadero o falso Altura de Jhon: hJhon = 180.0 A(180.0) = 1(verdadero) hJhon = 179.5 A(179.5) = 1(falso)
  • 6. Enfoque de conjuntos difusos Conjunto con membresía graduada, es decir, un elemento pertenece a un conjunto para un grado dado. Propuesta de lógica difusa “Jhon es alto” … grado de verdad Altura de Jhon hJhon = 180.0 A[180.0] = 0.55 hJhon = 179.5 A[179.5] = 0.5 hJhon = 201.0 A[201.0] = 1
  • 7. Subjetivo y dependiente del contexto Variable linguística
  • 8. Requerimientos básicos: Alcance (extensión) Validez semántica Soporte de un conjunto difuso sup(A) = {x I A(x) > 0} Soporte es un conjunto ordinario. Corazón (núcleo) de un conjunto difuso cor(A) = {x I A(x) = 1} Corazón es un conjunto ordinario.
  • 9. cut de un conjunto difuso A = {x I A(x) > } o A = {x I A(x)  } A es un conjunto ordinario. Conjuntos difusos convexos y no convexos Un conjunto difuso es convexo  todos sus -cuts son conjuntos convexos. Conjuntos difusos no convexos: un ejemplo
  • 10. Epoca de alto riesgo para póliza de seguros en autos. Representación de conjuntos difusos  Apropiado como una lista de pares membresía/elemento:  Como una lista de pares -nivel/-cut:  Fórmula analítica para la función de membresía o de forma más general donde d(x, v) es una medición de desigualdad. Varias notaciones de taquigrafía: A(x), A(x), a
  • 11. Formas de funciones de membresía Cantidades difusas y Singletons Regresión lineal difusa: y = 3~x1 + 5~x2 Complemento de un conjunto difuso c: [0, 1]  [0, 1] A(x)  c(A(x)) Axiomas fundamentales 1. Condiciones de límite  c se comporta como el complemento ordinario c(0) = 1 c(1) = 0 2. Ningún incremento monotónico a, b  [0, 1], si a < b, entonces c(a)  c(b) Otros axiomas  c es una función continua.  c es involutive, lo que significa que c(c(a)) = a, a  [0, 1]