SlideShare una empresa de Scribd logo
Problemas de Probabilidades y Estadística
1º.- (Cantabria, Junio, 1994) Al controlar la cantidad de un producto envasado, se eligen tres al
azar de una caja que contiene 50 envases. Por término medio, sabemos que en cada caja hay 5
cuya calidad es deficiente. Determinar las probabilidades siguientes:
1º.- De que entre los tres no haya ninguno, uno o dos deficientes.
2º.- Si el primero resulta deficiente, ¿cuál es la probabilidad de que entre los tres haya
uno o dos deficientes?
SOLUCIÓN:

Designamos por DDD al suceso “los tres sean deficientes”
1) La probabilidad que se pide viene dada por 1 - p(“los tres sean deficientes”).

5 4 3
96
=
= 0 '0005
50 49 48 245

p ( DDD ) =

Luego la probabilidad pedida será: p = 1 - 0'0005 = 0'9995
2) La probabilidad de que los otros dos sean deficientes viene dada por:

p=

4 3
= 0 '005
49 48

Luego la probabilidad de que entre los tres haya uno o dos deficientes vendrá dada
por 1 - 0'005 = 0'995.
2º.- (Santander, Junio, 1998) En una determinada población hay tres lugares de diversión a los
que suele ir un grupo de amigos. Las probabilidades de que vayan al primero, segundo o tercero
son, respectivamente, 0'3, 0'5, y 0'7. Hallar la probabilidad de que el grupo de amigos vaya:
Solamente a uno de los lugares.
Únicamente a dos de los lugares.
A los tres lugares.
SOLUCIÓN:

1. A partir del diagrama en árbol puede verse que el suceso “ir a un único lugar”
se verifica cuando ocurran cualquiera de los tres siguientes:

0'7
0'5

B

A
0'3

0'5

0'3
0'7

B

0'3
0'7
0'5
0'7

B

0'3

A

0'7
0'5

C

C
C

A∩ B ∩C

2)

A ∩ B ∩ C siendo p ( A ∩ B ∩ C ) = 0 '7 ⋅ 0 '5 ⋅ 0 '3

3)

A ∩ B ∩ C siendo p ( A ∩ B ∩ C ) = 0 '7 ⋅ 0 '5 ⋅ 0 '7

siendo

C
C

C

B

0'3

p ( A ∩ B ∩ C ) = 0 '3 ⋅ 0 '5 ⋅ 0 '3

1)
C

C

La probabilidad de la unión de estos tres sucesos
vendrá dada por la suma de probabilidades de cada
uno de ellos y será:

p(“ir a un único lugar) = 0'395
2. El suceso “ir únicamente a dos de los lugares” se dará cuando ocurra alguno de
los siguientes sucesos:

p ( A ∩ B ∩ C ) = 0 '3 ⋅ 0 '5 ⋅ 0 '3

a)

A∩ B ∩C

b)

A ∩ B ∩ C siendo p ( A ∩ B ∩ C ) = 0 '3 ⋅ 0 '5 ⋅ 0 '7

c)

A ∩ B ∩ C siendo p ( A ∩ B ∩ C ) = 0 '7 ⋅ 0 '5 ⋅ 0 '7

siendo

La probabilidad del suceso “ir únicamente a dos de los lugares” será la
suma de las anteriores: p(“ir únicamente a dos de los lugares” = 0'395
3. El suceso ir a los tres lugares
cuya probabilidad es

A∩ B ∩C

ocurre cuando se produce el resultado

p ( A ∩ B ∩ C ) = 0 '3 ⋅ 0 ' 5 ⋅ 0 '7 = 0 '105

3º.- (septiembre 2002) Disponemos de 3 dados cúbicos de colores. El primero tiene 4 caras
verdes y dos rojas, el segundo tiene 5 caras verdes y una roja, y el tercero tiene todas las caras
rojas. Para elegir el dado coloreado, se lanza antes un dado normal numerado del 1 al 6. Si sale
1 o 2, elegimos el primer dado, si sale 3, 4 o 5, elegimos el segundo dado, y si sale un 6,
elegimos el tercer dado.
a) Determina el espacio muestral del experimento consistente en lanzar el dado normal y luego
el coloreado correspondiente.
b) Calcula la probabilidad de obtener color verde.
c) Calcula la probabilidad de haber jugado con el dado con todas las caras rojas, sabiendo que
hemos obtenido color rojo.
4º.- (Andalucía, Junio 2002) Los alumnos de bachillerato de un I.E.S. proceden de tres
localidades, A, B y C, siendo un 20% de A, un 30% de B y el resto de C. El 80% de los alumnos
de A cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 50% de los alumnos de B cursa 1º de Bachillerato
y el resto, 2º. El 60% de los alumnos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto, 2º.
a) Seleccionado, al azar, un alumno de Bachillerato de ese centro, ¿cuál es la probabilidad de
que sea de 2º?.
b) Si elegimos, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S. y este alumno es de 1º, ¿cuál es
la probabilidad de que proceda de la localidad B?
SOLUCIÓN

B1
0,8
0,2

A
0,2

B2

0,5

0,5

B1

0,5

0,3

B2

Llamamos
B1 = “estudiar 1º de Bachillerato”
B2 = “estudiar 2º de bachillerato”

B
0,6

B1

0,4

B2

C

Construimos el diagrama de probabilidades que
aparece en el margen.
a) Por el teorema de las probabilidades totales:
p ( B 2) = p ( A) p ( B 2 / A) + p ( B ) p ( B 2 / B ) + p (C ) p ( B 2 / C ) de donde:
p ( B 2) = 0, 2 ⋅ 0, 2 + 0, 3 ⋅ 0, 5 + 0, 5 ⋅ 0, 4 = 0, 39
b) Se pide p ( B / B1) .
Aplicando la fórmula de Bayes:

p ( B) ⋅ p( B1/ B) p( B) ⋅ p ( B1/ B )
=
p( B1)
1 − p ( B 2)
0,3 ⋅ 0,5
≈ 0, 25
p( B / B1) =
1 − 0,39

p( B / B1) =
De donde:

5º.- (Andalucía, junio 1998) Se dispone de un mazo de 450 fichas de estudiantes de una escuela
de idiomas. Cada estudiante cursa un solo idioma de los tres que se imparten. El número de
mujeres es 3/2 del de hombres y los estudiantes de inglés representan el 80% del alumnado. El
número de estudiantes de francés duplica al número de estudiantes de alemán.
Sea M el suceso “sacar una ficha de mujer” al extraer una ficha al azar del citado mazo
(análogamente, sean H, I, F y A sacar hombre, inglés, francés y alemán, respectivamente).
Sabiendo que M/A es el suceso seguro y que M/F y H/F son equiprobables, determine:
a) Probabilidad de F. Probabilidad de M∩I.
b) Probabilidad de F/M.
SOLUCIÓN Se construye la siguiente tabla:
H

I
150

F
30
(5)

A
0

(4)

180

M

210

30

30

270

360

60

30

450

(6)

(6)

(2)

(5)

(3)

(4)

(3)

(1)

(1)

Se rellena, en primer lugar (1), los valores del número total de mujeres y de
hombres. A continuación (2) el número total de alumnos de inglés. En tercer lugar
(3) el total de alumnos de francés y alemán que en total son 90 = 450 – 360.
En cuarto lugar (4), por la condición de que M/A es el suceso seguro, se rellena el
número de mujeres y de hombres que estudian alemán.
En quinto lugar (5), por la condición M/F y H/F son equiprobables, completamos el
número de hombres y el número de mujeres que estudia francés. Por último (6),
restando se completa el número de alumnas y de alumnos de inglés.

60
2
210 7
=
= ; p(M ∩ I ) =
450 15
450 15

a)

p( F ) =

b)

p( F / M ) =

p ( F ∩ M ) 30 1
=
=
p(M )
270 9

6º.- (Andalucía, junio 1998) Ana, Juan y Raúl, que están esperando para realizar una consulta
médica, sortean, al azar, el orden en que van a entrar.
a) Calcule la probabilidad de que los dos últimos en entrar sean hombres.
b) Determine si son independientes los sucesos:
S1 = “la mujer entra antes que alguno de los hombres”
S2 = “los dos hombres entran consecutivamente”
SOLUCIÓN M = “entra una mujer”
H = “entra un hombre”
Si construimos el diagrama de probabilidades, que aparece al margen, tendremos:
a) La probabilidad pedida en este apartado es:
H

M

M

1/2

H
2/3

1/3

M

1
3

H

p ( MHH ) =

1/2

b) S1 = {HMH, MHH}
S2 = {HHM, MHH}
S1 ∩ S2 = {MHH}

H

H

p ( S1 ) = p ( HMH ) + p ( MHH ) =

2 1 1 2
⋅ + =
3 2 3 3

p ( S 2 ) = p ( HHM ) + p ( MHH ) =

2 1 1 2
⋅ + =
3 2 3 3

p ( S1 ∩ S 2 ) = p ( MHH ) =

1
3

Para que los sucesos sean independientes:

Como

p ( S1 ∩ S 2 ) =

p( S1 ∩ S2 ) = p( S1 ) ⋅ p( S2 )

1
4
≠ p ( S1 ) ⋅ p ( S 2 ) = , los sucesos son dependientes.
3
9

7º.- (Cantabria, Junio, 1994) Al controlar la cantidad de un producto envasado, se eligen tres al
azar de una caja que contiene 50 envases. Por término medio, sabemos que en cada caja hay 5
cuya calidad es deficiente. Determinar las probabilidades siguientes:
1º.- De que entre los tres no haya ninguno, uno o dos deficientes.
2º.- Si el primero resulta deficiente, ¿cuál es la probabilidad de que entre los tres haya
uno o dos deficientes?
SOLUCIÓN Designamos por DDD al suceso “los tres sean deficientes”
1) La probabilidad que se pide viene dada por 1 - p(“los tres sean deficientes”).

p ( DDD ) =

5 4 3
96
=
= 0 '0005
50 49 48 245

Luego la probabilidad pedida será: p = 1 - 0'0005 = 0'9995
2) La probabilidad de que los otros dos sean deficientes viene dada por:

p=

4 3
= 0 '005
49 48

Luego la probabilidad de que entre los tres haya uno o dos deficientes vendrá dada
por 1 - 0'005 = 0'995.
8º.- Sean A y b dos sucesos tales que

p ( A) =

Calcula, razonadamente, para qué valor de
SOLUCIÓN Sabemos que:

1
2

y

p( B) =

p( A ∪ B)

3
5

.

los sucesos A y B son independientes.
p ( A ∩ B ) = p ( A) p ( B )
p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B )

a)

tes:

1 3

b) Si los De b) obtenemos: p ( A ∩ B ) = p ( A) p ( B ) = .
2 5
sucesos A y
B
son
1 3 3 4
=
independien Sustituyendo en a) p ( A ∪ B ) = + −

2

5 10

=

3
10

5

9º.- (Santander, Septiembre, 1996) Una bolsa contiene 150 bolas lisas y 50 rugosas. Se
extraen tres bolas, una a una y sin reemplazamiento. Se pide:
1.- Formar el espacio muestral y asignar la probabilidad correspondiente a cada suceso.
2.- ¿Cuál es la probabilidad de haber extraído dos bolas lisas?.
3.- ¿Cuál es la probabilidad de haber extraído, al menos, dos bolas lisas?.
4.- Si la primera extracción ha sido una bola lisa, ¿cuál es la probabilidad de haber extraído, al
menos, una bola rugosa?.
SOLUCIÓN a) El espacio muestral está formado por 23 = 8 puntos muestrales que pueden
determinarse por medio de un diagrama de probabilidades: E = {LLL, LLR, LRL,
LRR, RLL, RLR, RRL, RRR}

p ( LLL) =

150 149 148 5513
⋅
⋅
=
200 199 198 13134

150 149 50
3725
⋅
⋅
=
200 199 198 26268
150 50 49
1225
p ( LRR ) = p ( RLR ) = p ( RRL) =
⋅
⋅
=
200 199 198 26268
p ( LLR ) = p ( LRL) = p ( RLL) =

p ( RRR ) =

b)
c)
d)

50 49 48
98
⋅
⋅
=
200 199 198 6567

3725 3725
=
26268 8756
3725 5513
p ( X ≥ 2 L) = p ( X = 2 L) + p ( LLL) =
+
≈ 0,85
8756 13134
3725
1225
p ( LLR ) + p ( LRL) + p ( LRR ) = 2 ⋅
+
= 0,33
26268 26268
p ( X = 2 L) = p ( LLR ) + p ( LRL) + p ( RLL) = 3 ⋅

10.- (Castilla – La Mancha, junio 1998) La probabilidad de que tenga lugar el contrario de un
suceso A es 1/3, la probabilidad de un suceso B es ¾ y la probabilidad de que ocurran a la vez
los sucesos A y B es 5/8. Determina:
I) Probabilidad de que se verifique el suceso A o el suceso B.
II) Probabilidad de que no se verifique A y no se verifique B.
III) Probabilidad de que ocurra A sabiendo que se ha verificado B.
IV) Independencia de los sucesos A y B.

SOLUCIÓN I)

p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B )
2
5
p ( A) = 1 − p ( A) =
p( A ∩ B) 8 5
3
III) p ( A / B ) =
= =
, por lo
3 6
p( B)
tanto:
4
2 3 5 19
p ( A ∪ B ) = IV) A − B = independientes si p ( A ∩ B ) = p ( A) ⋅ p ( B )
+ y son
3 4 8 24
6
5
Como p ( A) ⋅ p ( B ) =
y p ( A ∩ B ) = , los sucesos A y B son dependientes.
II)
12
8
5
p( A ∪ B) = 1 − p( A ∪ B) =
24
11.- Se tienen dos urnas U1 y U2 cuyo contenido en bolas rojas, azules y verdes es: en la urna
U1, 4 bolas azules, 3 bolas rojas y 3 verdes; en la urna U2, 4 rojas, 5 azules y 1 verde.
Se lanzan tres monedas y si se obtienen exactamente dos caras se extrae una bola de la urna
U1, en otro caso se extrae de la urna U2.
Se pide:
1) Hacer un diagrama para el experimento aleatorio de lanzar tres monedas.
2) Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea azul.
SOLUCIÓN E = {CCC, CCX, CXC, CXX. XCC, XCX, XXC, XXX}
Los sucesos que dan exactamente dos caras al lanzar la moneda son:
{CCX, CXC, XCC}
A
4/10
U1

5/8

p ( X = " sacar 2 caras ") =

noA
A

U2
noA

El suceso contrario al anterior será

p ( X = " no sacar 2 caras ") =

5
8

que es la

probabilidad de ir a la urna U2.

Según el teorema de las probabilidades totales:

p( A) = p(U1 ) p( A / U1 ) + p(U 2 ) p( A / U 2 )

Luego:

p ( A) =

3 4 5 5 37
+
=
8 10 8 10 80

12.- (Madrid, junio, 1994) Se sabe que en cierta población, la probabilidad de ser hombre
daltónico es un doceavo y la probabilidad de ser mujer daltónica es un veinticincoavo. La
proporción de personas de ambos sexos es la misma. Se elige una persona al azar.
1.- Si la persona elegida es hombre, hallar la probabilidad de que sea daltónico.
2.- Si la persona elegida es mujer, hallar la probabilidad de que sea daltónica.
3.- ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida padezca daltonismo?.
4.- Si una persona elegida al azar resulta no ser daltónica, ¿cuál es la probabilidad de
que sea hombre?.
SOLUCIÓN:

3
8

que es la probabilidad de ir a la urna U1.

3/8
5/10

Por lo tanto:
Del diagrama de árbol adjunto se obtiene:

1/12

D
a)

H
0'5
11/12
1/25

0'5

nD
D
b)

M
24/25

p( H ∩ D)
=
p( D / H ) =
p( H )

nD

p( D / M ) =

1
12 = 1
0 '5
12

0 '5 ⋅

p( M ∩ D)
=
p(M )

1
25 = 1
0 '5
25

0 '5 ⋅

c) p(D) = p(H) p(D/H) + p(M) p(D/M)

= 0 '5 ⋅

1
1
+ 0 '5 ⋅ = 0 '06
12
25

d) Aplicando la fórmula de Bayes, tendremos:

11
p ( H ) ⋅ p (nD / H )
12 = 0 '49
p( H / nD) =
=
p( H ) ⋅ p (nD / H ) + p ( M ) ⋅ p(nD / M ) 1 − p( D)
0 '5 ⋅

13.- (Oviedo, junio, 1994) En cierta floristería recibieron cantidades iguales de rosas y gladiolos,
cuyo color es blanco o amarillo. El 60% de los gladiolos son de color amarillo, mientras que el
70% de las rosas son de color blanco.
a
b
c

Si elegimos una rosa, ¿qué probabilidad tenemos de que sea de color amarillo?.
Si cogemos dos gladiolos ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?.
¿Qué proporción de flores son de color blanco?.

SOLUCIÓN
a) Del diagrama de árbol de la ilustración tenemos:

0'7

B

b) Del diagrama de la siguiente ilustración se obtiene
la siguiente información: sea D el suceso “coger dos
gladiolos de colores distintos”. Se tiene:

p( A / R) =

R
0'5
0'3

A

p( A ∩ R) 0 '5 ⋅ 0 '3
=
= 0 '3
p( R)
0 '5

D = {BA, AB} de donde:
p(D) = p(AB)+p(BA) = 0'4 0'6 + 0'6 0'4 = 0'48

0'4

0'5

B

G
0'6

A

c) Del primer diagrama se obtiene:
p(B) = p(R) p(B/R) + p(G)p(B/G) = 0'5 0'7 + 0'5 0'4 =
0'55
B
0'4
B
0'4

0'6

A
B

0'4

0'6
A

0'6
A

14.- El 25% de las familias de cierta comunidad autónoma española no sale fuera de la misma
durante las vacaciones de verano. El 65% veranea por el resto de España y el 10% restante se
va al extranjero. De los que se quedan en su comunidad autónoma, sólo un 10% no utiliza el
coche en sus desplazamientos. Esta proporción aumenta al 30% entre los que salen al resto de
España y al 90% entre los que viajan al extranjero.
a

Elegida una familia al azar, ¿qué probabilidad existe de que pase sus vacaciones
fuera de su comunidad y no utilice el coche?

b

Calcular el porcentaje de familias de esa comunidad que utiliza el coche en sus
desplazamientos de vacaciones de verano.

c

Una familia no usa coche en sus vacaciones de verano. ¿Cuál es la probabilidad
de que salga de su comunidad autónoma al resto de España?.

SOLUCIÓN
Hacemos las siguientes designaciones de sucesos:
A = “no sale fuera de su CCAA”
R = “sale al resto de España”
E = “viaja al extranjero”
C = “hace uso del coche”
= “no hace uso del coche”
a) El suceso “pasa sus vacaciones fuera de su comunidad y no utiliza coche” ocurre cuando se
producen los siguientes sucesos:

R ∩C

y

E ∩C

. En consecuencia:

p(“pasa sus vacaciones fuera de su comunidad y no utiliza coche”) =

p ( R ∩ C ) + p ( E ∩ C ) = 0 '65 ⋅ 0 '3 + 0 '1 ⋅ 0 '9 = 0 ' 285
b) La probabilidad de utilizar coche viene dada por:

p(C ) = p( A) p(C / A) + p( R) p(C / R) + p( E ) p(C / E ) =
= 0 '9 ⋅ 0 '25 + 0 '7 ⋅ 0 '65 + 0 '1⋅ 0 '1 = 0 '69
Luego lo utiliza el 69% de las familias.
c) Se trata de hallar la probabilidad de que “viaje al resto de España (R) supuesto que no utiliza
coche ()” , es decir . Aplicando la fórmula de Bayes tendremos:

p( R / C ) =

p(C ∩ R) p (C ∩ R ) 0 '3 ⋅ 0 '65
=
=
= 0 '63
1 − p(C )
1 − 0 '69
p (C )

15.- Una encuesta revela que el 30% de la población tiene estudios, de los cuales el 12% no
tiene trabajo. Del 70% que no tiene estudios, un 25% no tiene trabajo. Determina
razonadamente:
a

El tanto por ciento de la población que no tiene trabajo.

b

La probabilidad de que tenga estudios una persona elegida al azar entre las que
tienen trabajo.

c

La probabilidad de que tenga estudios una persona elegida al azar entre las que
no tienen trabajo.

SOLUCIÓN
Los datos proporcionados se pueden colocar en una tabla de doble entrada como la siguiente,
donde E = “tiene estudios”, T = “trabaja”,

T

E = “no tiene estudios” y T

=”sin trabajo”.

T

E

30

E

70

Para completar la tabla basta calcular los porcentajes indicados en el enunciado. Por ejemplo el
porcentaje de individuos con estudios que no tienen trabajo será: 30. 0'12 = 3'6 y el de
individuos con estudios que trabaja: 30 - 3'6 = 26'4. Siguiendo así se completará la tabla que
quedará:

T

T

Totales

E

26'4

3'6

30

E

52'5

17'5

Totales

78'9

70
21'1

A partir de la tabla tendremos
a

El tanto por ciento que no tiene trabajo: 21'1%.

100
b

p( E / T ) =

26 ' 4
= 0 '3346
78'9

c

p( E / T ) =

3'6
= 0 '1706
21'1

16.- Se lanzan un par de monedas y se anotan los resultados. Se consideran los siguientes
sucesos:
A = “sacar cara en la primera moneda”.
B = “sacar cara en la segunda moneda”
E = “sacar exactamente cara”.
Se pide estudiar si A, B y E son sucesos independientes o no.
SOLUCIÓN
El espacio muestral vendrá dado por: U = {CC, CX, XC, XX}
A = {CC, CX}; B = {CC, XC}
A ∩B = {CC}

E = {CX, XC}

A ∩ E = {CX}

B ∩ E = {XC}

A∩B∩E = { Ø }
De donde: p(A) = p(B) = p(E) =

p( A ∩ E ) =

1
= p ( A) ⋅ p ( E ) ;
4

2 1
=
4 2

p( A ∩ B) =

;

p( B ∩ E ) =

1
= p ( A) ⋅ p ( B ) ;
4

1
= p( B) ⋅ p( E )
4

Luego se cumple la primera condición; sin embargo: p(A ∩ B ∩ E) = p(Ø) = 0 y por lo tanto es
distinta de

p ( A) ⋅ p ( B ) ⋅ p ( E ) =

1
8

. En consecuencia los tres sucesos son dependientes.

17.- La probabilidad de que tenga lugar el contrario de un suceso A es

probabilidad de un suceso B es

A y B es

5
8

p( B) =

3
4

Probabilidad de que se verifique el suceso A o el suceso B.
Probabilidad de que no se verifique A y no se verifique B
Probabilidad de que ocurra A sabiendo que se ha verificado B
Independencia de los sucesos A y B.

SOLUCIÓN
De los datos del problema obtenemos:

p ( A) =

1
, la
3

y la probabilidad de que ocurran a la vez los sucesos

. Determina:

S
S
S
S

a) De

p ( A) =

1
1 2
se sigue que p ( A) = 1 − p ( A) = 1 − =
3
3 3
b)

p( A ∩ B) =

5
8

La probabilidad de que se verifique A o B vendrá dada por:
p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) ,

De donde:

p( A ∪ B) =

2 3 5 19
+ − =
3 4 8 24

La probabilidad de que no se verifique A y no se verifique B vendrá dada por
acuerdo con las leyes de Morgan:

A∩ B = A∪ B

p( A ∩ B) = p( A ∪ B) = 1 − p( A ∪ B) = 1 −

p( A ∩ B)

. De

con lo que:

19 5
=
24 24

La probabilidad de que ocurra A sabiendo que se ha verificado B, vendrá dada por:

5
p( A ∩ B) 8 5
p( A / B) =
= =
3 6
p( B)
4
Los sucesos A y B serán independientes si se verifica:

2 3 1 5
p ( A). p ( B ) = . = ≠ = p ( A ∩ B )
3 4 2 8

p ( A ∩ B ) = p ( A). p ( B)

luego A y B son dependientes.

18.- Para diagnosticar una grave enfermedad E existe una prueba T. Si una persona padece la
enfermedad y se somete a la prueba T, la probabilidad de que de positivo es del 96 % . En el
caso de que esté sana, la probabilidad de que de negativo al someterla a la prueba T será del 94
%.
a) Cierta persona se somete a la prueba y el resultado es positivo. ¿Cuál es la probabilidad de
que padezca la enfermedad, sabiendo que a su edad una de cada 150 personas tiene la
enfermedad sin saberlo?.
b) Suponiendo que el resultado de la prueba T hubiera sido negativo, ¿Cuál es la probabilidad de
que, a pesar de ello, tenga la enfermedad?.
SOLUCIÓN

E

no E

P

Para resolver el problema pueden
considerarse
los siguientes sucesos:
E1 = “padece la enfermedad”
E2 = “no padece la enfermedad”
P = “da positivo en el test T”

p ( E1 ) =

1
150
149
150
p( P / E1 ) = 0 '96 ; p( P / E2 ) = 0 '06
p ( E2 ) =

De acuerdo con el teorema de las probabilidades totales:
p(P) = p(E1) p(P/ E1) + p(E2) p(P/ E2)
De donde:

p( P) =

1
149
⋅ 0 '96 +
⋅ 0 '06
150
150

Para resolver el apartado a) hay que hallar p(E1/ P) , es decir, la probabilidad de que esté
enfermo supuesto que ha dado positivo. Aplicando el teorema de Bayes:

0 '96
p( E1 ) ⋅ p( P / E1 )
150
p( E1 / P) =
=
p( E1 ) ⋅ p( P / E1 ) + p( E2 ) ⋅ p( P / E2 ) 0 '96 + 149 ⋅ 0 '06
150
150

lo que aproximadamente

equivale a 10%.
19.- (Santander, Junio, 1996) En un determinado almacén hay tres estanterías y en cada una de
ellas dos tipos de productos A y B. En la primera hay 140 productos y se sabe que un 25% son
del tipo A. En la segunda hay 130 productos y se sabe que 91 son del tipo B. Y en la tercera hay
30 del tipo A y 80 del tipo B.
1.- Hacer una tabla que recoja la información anterior.
2.- Del total de los productos, ¿qué porcentaje corresponde a cada estantería?.
3.- Calcular la probabilidad de que un producto elegido al azar sea del tipo A.
4.- Si se sabe que el producto elegido no pertenece a la primera estantería, ¿cuál es la
probabilidad de que sea del tipo B?.
SOLUCIÓN
1.- Puede elaborarse una tabla como la que sigue (E1, E2, E3 representan cada una de las tres
estanterías, A y B los productos)
E1

E2

E3

Totales

A

35

39

30

104

B

105

91

80

276

140

130

110

380

36'8%

34'2%

29%

Tot.

2.- El cálculo de los porcentajes del total de los productos que correspondientes a cada
estantería figura en la última fila de la tabla.
3.- Para calcular la probabilidad de se puede aplicar el Teorema de las probabilidades totales:

p( A) = p( E1 ) p ( A / E1 ) + p ( E2 ) p ( A / E2 ) + p ( E3 ) p( A / E3 ) =

= 0 '368

35
39
30
+ 0 '342
+ 0 '29
= 0 ' 28
14
130
110
4.- Se trata de calcular

p ( B / E1 ) . Para ello:

p( B ∩ E1 ) p ( B ∩ E2 ) + p( B ∩ E3 )
p( B / E1 ) =
=
=
1 − p( E1 )
p( E1 )

0 '342

91
80
+ 0 '29
130
110 = 0 '71
1 − 0 '368

20.- Las probabilidades de acertarle a un blanco de tres tiradores, A, B y C son,
respectivamente, 1/6, 1/4 y 1/3.
Cada uno de ellos dispara una sola vez al blanco. Hallar:
a) El espacio muestral.
b) Las probabilidades de que acierte uno solo.
d) La probabilidad de que al menos uno acierto.
SOLUCIÓN
Sea A la probabilidad de que acierte el tirador A y
nA la de que no acierte. Análogamente para B y C.

1/3

C

2/3

nC

Formamos un diagrama de probabilidades como el
que se muestra al margen.

1/3

C

a) De él obtenemos el espacio muestral que será:

nC

E = {(A B C), (A B nC), (A nB C), ( A nB nC),
(nA B C), (nA B nC), (nA nB C), (nA nB nC)}

B
1/4
A
1/6

3/4

nB

2/3
5/6

nA
3/4

1/3

C

2/3

1/4

nC

B
nB 1/3
2/3

b) Las probabilidades de que acierte uno solo
vendrán dadas por:

C
p = p( A nB nC) + p(nA B nC) + p(nA nB C)
nC

Es decir:

1 3 2 5 1 2 5 3 1 31
p= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
6 4 3 6 4 3 6 4 3 72
c) La probabilidad de tener algún acierto es la probabilidad del suceso complementario “no tener
ningún acierto”. Como p(“no tener ningún acierto”) = p(nA nB nC), tendremos:

5 3 2 7
p = 1 − p (nA nB nC ) = 1 − ⋅ ⋅ =
6 4 3 12
21.- En una rifa hay 100 números y hemos comprado 2.
1. Si en la rifa hay un solo premio, ¿qué probabilidades tenemos de conseguirlo?
2. Si en la rifa hay dos premios:
a) ¿Qué probabilidades tenemos de conseguir al menos un premio?
b) ¿Qué probabilidad tenemos de conseguir los dos?
SOLUCIÓN
Si designamos por P al suceso “obtener premio” y por nP al contrario, tendremos:
1) Si hay un solo premio. p(P) = 2/100 = 0,02
2) Si hay dos premios, construimos el correspondiente diagrama de probabilidades
1/99

P

P
0,02

98/99
nP

0,98

2/99

La probabilidad del suceso “conseguir al menos un premio”
será 1 menos la probabilidad del suceso “no conseguir ningún
premio” puesto que son complementarios.
Es decir:

p = 1 − p ( nP nP)

Como puede verse en el diagrama de probabilidades,

P

nP

p (nP nP) = 0,98 ⋅
97/99

nP

97
98

De donde:

P(“conseguir al menos un premio”) =

1 − 0,98 ⋅

97
≈ 0, 04
99

22.- (Santander, Septiembre, 2000) El volumen de producción de tres plantas diferentes de una
fábrica es de 500 unidades la primera, 1000 unidades la segunda y 2000 unidades la tercera.
Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1%, 0'8%
y 2% respectivamente:
a) Calcular la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa.
b) Si se ha seleccionado una unidad que ha resultado no ser defectuosa.
¿Cuál es la probabilidad que proceda de la segunda planta?.
SOLUCIÓN:

La primera planta produce 500 unidades de un total de 3500 por
0'01

D

P1

0'99

D

1/7
0'008
2/7

D

lo tanto produce

1
2
, la segunda
y la tercera el resto, es decir,
7
7

4
. Con ello y el resto de datos podemos elaborar el siguiente
7
diagrama de árbol.

P2

0'992

a) La probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea
defectuosa, vendrá dada por:

D

4/7
0'02

D

p ( D ) = p ( P1) p ( D / P1) + p ( P 2) P ( D / P 2) + p ( P3) P ( D / P3)
1
2
4
De donde: p ( D ) = ⋅ 0 '01 + ⋅ 0 '008 + ⋅ 0 '02
7
7
7
lo que da como resultado: p ( D ) = 0 '015
2
⋅ 0 '992
p( D ∩ P 2) p( D ∩ P 2) 7
=
=
= 0 '2877
Aplicando la fórmula de Bayes: p ( P 2 / D ) =
1 − p( D)
0 '015
p( D)
P3

0'98

D

23.- (Santander, Junio, 1997) Una empresa tiene tres centros de producción y el número total
de unidades producidas es de 7000. El primer centro produce 1000 unidades de las cuales 300
son excelentes, 500 normales y 200 regulares. El segundo centro produce 2000 unidades de las
cuales 1000 son excelentes, 750 normales y 250 regulares. El tercer centro produce 4000
unidades de las cuales 2000 son excelentes, 1750 normales y 250 regulares. Se pide:
1.- Realizar una tabla que recoja la información anterior.
2.- Determinar la probabilidad de que un producto elegido al azar sea excelente.
3.- Si se sabe que un producto no procede del primer centro y ha sido elegido al azar,
determinar la probabilidad de que sea regular.
4.- Si se sabe que un producto no es normal y ha sido elegido al azar, determinar la probabilidad
de que proceda del segundo centro.
24.- (Santander, Septiembre, 1997) En un determinado centro de enseñanza todos los alumnos
aprueban alguna asignatura. Se conoce que el 30% aprueba la asignatura A, el 40% la
asignatura B y el 5% aprueban ambas. Calcular las siguientes probabilidades de que un alumno
1.- Apruebe cualquier otra asignatura.
2.- Apruebe la A y no la B.
3.- Si aprueba la B que no apruebe la A.
25.- (Santander, Septiembre, 1998) El 10% de los miembros de un determinado colectivo juega
al golf, y el 50% va de vacaciones. Calcula las siguientes probabilidades:
1.- Que uno juegue al golf y vaya de vacaciones.
2.- Que uno juegue al golf o vaya de vacaciones.
3.- Que tres no jueguen al golf.
4.- Que dos jueguen al golf o no vayan de vacaciones.
26.- (Santander, Septiembre, 1999) De una baraja de 48 cartas se extraen sucesivamente dos
cartas. Calcular la probabilidad de que:
1.- Las dos sean copas.
2.- Al menos una sea copa.
3.- Una sea copa y la otra oros.
4.- La primera sea copas y la segunda espadas.
27.- (Santander, Junio, 1999) En un determinado curso están matriculados 80 varones y 40
mujeres. Aprueban el curso completo 60 varones y 32 mujeres.
1.- Determinar la probabilidad de que un alumno del curso sea varón y apruebe.
2.- Determinar la probabilidad de que una de las personas matriculadas suspenda.
3.- Una de las personas matriculadas ha aprobado, determinar la probabilidad de que sea mujer.
28.- Una planta embotelladora recibe los tapones de corcho de tres proveedores A, B y C que le
suministran el 55 %, 30 % y 15 % respectivamente del total. Se estima que un 2% de los que
suministra A son defectuosos, y lo mismo ocurre con el 4% de los de b y 6% de los de C.
a) ¿Qué porcentaje de botellas tendrá el tapón defectuoso?.
b) Si se toma una botella al azar y el corcho es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que
provenga de A?.
29.- (León, junio, 1994). Se tienen tres recipientes, A, B y C. El recipiente A contiene 3 galletas
de vainilla y 2 de chocolate. El B contiene 3 de chocolate y 2 de vainilla, y el C contiene 2 de
chocolate y 1 de vainilla.
(a).- Se elige un recipiente al azar y se coge una galleta también al azar. ¿Cuál es la
probabilidad de que sea de chocolate?.
(b+).- Se elige una galleta al azar y ha resultado ser de vainilla, ¿cuál es la probabilidad de
que provenga del recipiente C?
30.- La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0'6, la de que apruebe Lengua
es 0'5 y la de que apruebe ambas es 0'2. Hallar la probabilidad de:
a) que apruebe al menos una de las dos asignaturas.
b) que no apruebe ninguna de las dos asignaturas.
c) que apruebe Matemáticas y no apruebe Lengua.
.- Un grupo de pacientes se ha sometido a un tratamiento médico. La distribución, según edad y
31respuesta, ha sido la recogida en la siguiente tabla:
Mejoran

≤30 años

De 31 a 60

> 60 años

SI

22'5 %

17'5 %

35 %

NO

7'5 %

7'5 %

10 %

Se selecciona al azar uno de estos pacientes. Se pide:
a) Sabiendo que tiene 36 años, ¿cuál es la probabilidad de que el tratamiento haya sido
eficaz?.
b) Se nos dice que ha experimentado mejora, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga
más de 60 años?.
c) Si se seleccionan dos pacientes al azar y el primero tiene más de 60 años, ¿cuál es la
probabilidad de que el segundo también tenga más de 60 años?.
32.- (Cantabria, Junio, 1994) Se sabe que el cociente intelectual de los alumnos de una
universidad se distribuye según una ley normal de media 100 y varianza 729.
1º.- Hallar la probabilidad de que una muestra de 81 alumnos tenga un cociente intelectual
medio inferior a 109.
2º.- Hallar la probabilidad de que una muestra de 36 alumnos tenga un cociente intelectual
medio superior a 109.
3º(+).- Elegida una muestra de 225 alumnos, determinar al nivel de confianza del 97%, el
intervalo en que se encontrará la media muestral.
SOLUCIÓN:
La población viene caracterizada por la normal N (100,

729) = N (100, 27)

muestral de medias seguirá también una normal caracterizada por:
tamaño de la muestra.
1.-En consecuencia,

P( X < 109) = p ( z ≤

N (100,

La distribución

27
)
n

, siendo n el

109 − 100
) = p( z ≤ 3) = 0 '9987
27
81

109 − 100
) = 1 − p( z ≤ 2) = 1 − 0 '9772 = 0 '0228
27
36
27
27 ⎞
⎛
,100 + zc
3.- El intervalo de confianza vendrá dado por: ⎜ 100 − zc
⎟ siendo zc el
225
225 ⎠
⎝
1 + 0 '97
valor crítico para el nivel de confianza del 97%, de donde p ( z ≤ zc ) =
= 0 '985 luego
2
2.-

P ( X > 109) = p( z ≥

.zc = 2'17 y el intervalo será: (96'1, 103'9)
33.- (León, junio, 1994) Una muestra aleatoria de 100 alumnos que se presenta a las pruebas
de selectividad, revela que la media de edad es de 18'1 años.
(a).- Halla un intervalo de confianza de 90%, para la edad media de todos los alumnos que
se presentan a las pruebas, sabiendo que la desviación típica de la población es 0'4.
(b+).- Calcula el tamaño de la muestra que hemos de tomar si queremos establecer un
intervalo de confianza para la media de la población con error menor que 0'2 años al nivel
de confianza de 97%.
SOLUCIÓN:
Utilizando

x = 18'1

como estimador puntual de la media de la población, tendremos una

0'4
)
100
0 '4
0'4 ⎞
⎛
,18'1 + zc
a) El intervalo buscado vendrá dado por: ⎜ 18'1 − zc
⎟ donde para hallar el
100
100 ⎠
⎝
1 + 0 '90
valor crítico partiremos de p ( z ≤ zc ) =
= 0 ' 95 de donde zc = 1'645.
2
distribución muestral de medias que se aproximará a una normal

N (18'1,

Luego el intervalo será: (18'1-1'645.0'04, 18'1+1'645.0'04) = (18'03, 18'17).
b) El error viene dado por

p ( z ≤ zc ) =

E = zc

1 + 0 '97
= 0 '985
2

0 '4
< 0'2
n

(*), donde para calcular zc, tendremos

de donde: zc = 2'17.

⎛ 2 '17 ⋅ 0 ' 4 ⎞
Despejando n de (*), tendremos: n > ⎜
⎟ = 18'85
⎝ 0'2 ⎠
2

Luego n > 19

34.- Las tallas de 3000 jóvenes están normalmente distribuidas siendo la media 173 cm y la
desviación típica 7'6 cm. Si se toman 80 muestras de tamaño 25 de esta población, determinar:
1) La media y la desviación típica de la distribución muestral de medias en el caso que el
muestreo se haga:
a) con reposición
b) sin reposición.
2) En cuántas muestras podemos esperar encontrar una media comprendida entre 168
cm y 174 cm.
3) En cuantas muestras será la media menor que 168 cm.
SOLUCIÓN
1) a) Si es con reposición

µx = µ

= 173 cm y la desviación típica de la distribución de muestreo

de medias estará relacionada con la desviación típica de la población por
donde: σ x

=

σx =

σ
n

de

7 '6
= 1'52
25

b) Si el muestreo se hace sin reposición

σx =

σ
n

σx =

7 '6 3000 − 25
= 1'51
25 3000 − 1

N −n
N −1

µx = µ

= 173 cm y la desviación típica:

donde N es el tamaño de la población y n el de las muestras, luego:
2) En primer lugar se han de tipificar los valores de la variable de acuerdo con la fórmula

z=

X − µX

. De donde:

σX

168 − 173
= −3'3
1'52
174 − 173
= 0'66
174 tipificada será =
1'52
168 tipificada será

=

de donde

P (168 ≤ X ≤ 174) = P(−3'3 ≤ z ≤ 0'66) = p ( z ≤ 0'66) − [1 − p( z ≤ 3'3)] = 0'7449
Por lo tanto, cabe esperar que el 74'5% de las muestras tengan medias entre 168 cm y 174 cm.
Es decir, 80 . 0'7449 = 59 muestras.
3) La probabilidad de que la media esté por debajo de 168 cm vendrá dada
por: P ( X

≤ 168) = P ( z ≤ −3'3) = 1 − p ( z ≤ 3'3) = 1 − 09995 = 0'0005

Luego cabe esperar que haya 80 . 0'0005 = 0'04 muestras, es decir, en ninguna.
35.- El 30% de los chicos de una población son rubios. Si se toma una muestra aleatoria de
tamaño 150, ¿cuál es la probabilidad de obtener, al menos, un 25% de chicos rubios?
SOLUCIÓN:
Suponiendo que la población es muy grande (N > 100n) se puede prescindir de que el muestreo
se haya hecho con o sin reemplazamiento.
Como n = 150 > 30, la distribución de muestreo de proporciones se aproxima a una normal de
media 0,3 y desviación típica

σP =

0 '3(1 − 0 '3)
, es decir N(0'3, 0'037).
150

Tipificando el valor de P de 0'25 tendremos:

z=

0'25 − 0'3
= −1'35 En consecuencia: P(X ≥0'25)
0'037

= P(z≥-1'35) =P(z <1'35) = 0'9115, es decir el 91%.
36.- Las lámparas de un fabricante A tienen una vida media de 1400 horas con desviación típica
de 200 horas. Las de un fabricante B tienen una vida media de 1200 horas con desviación típica
de 100 horas. Si se toma una muestra de 125 lámparas de cada fábrica, ¿cuál es la probabilidad
de que las de A tengan una vida media que sea al menos (a) de 160 horas y (b) de 250 horas
más que las de B?
SOLUCIÓN

X A y por X B la vida media
= 1400 − 1200 = 200

Si designamos la vida media de las muestras de lámparas de A por
de las muestras de lámparas de B, entonces:

σ X A− X B =

σ 12
n1

+

σ 22
n2

=

µ X A− X B = µ X A − µ X B

1002 2002
+
= 20h.
125 125

Con lo que tendremos un distribución normal N(200, 20)
La variable tipificada para la diferencia de medias vendrá dada por

z=

( X A − X B ) − (µ X A − µ X B )

σ X A− X B

En (a) tendremos

µ X A− X B ≥ 160

z=

160 − 200
= −2
20

, luego:

= P(z ≥ - 2) = P(z ≤ 2) = 0'9772.

En (b) tendremos

z=

250 − 200
= 2 '5
20

, luego:

µ X A− X B ≥ 250 = P(z ≥ 2'5) = 1 - P(z < 2'5) = 1 - 0'9938 = 0'0062.
37.- Una muestra aleatoria de 100 alumnos de un colegio da una talla media de 1'73 m y una
varianza s2 = 0'00245 m. Hallar los límites de confianza al 95% y al 99% para la media µ del
colegio.
SOLUCIÓN
Usamos

x = 1'73

como estimador puntual no sesgado de µ. La distribución muestral de medias

es aproximadamente normal N(1'73,

σ
n

) donde σ es la desviación típica de la población. Se

puede demostrar que si se emplea s en lugar de σ, no se altera significativamente el nivel de
confianza siempre que el tamaño de las muestras n sea mayor que 30.

En consecuencia los límites de confianza al 95% serán

σ
σ ⎤
⎡
, x + 1'96
⎢ x − 1'96
⎥
n
n⎦
⎣

s = 0 '00245 = 0 '0495 quedará:
0 '0495
0 '0495 ⎤
⎡
,1'73 + 1'96
⎢1'73 − 1'96
⎥ = [1'72,1'74]
100
100 ⎦
⎣
confianza al 95%.
Sustituyendo σ por

que representa el intervalo de

38.- (septiembre 2002) Los fabricantes de los cereales “Mellogs” afirman que el peso de cada
paquete de sus cereales es de 500 gr. al menos. Sabemos que el peso de dichos paquetes sigue
una distribución normal de desviación típica 60 gr. Para confirmar la afirmación de los
fabricantes, se toman 6 paquetes al azar, obteniéndose los pesos: 490, 450, 505, 520, 500,
475.
¿Tienen razón los fabricantes, con el 95% de confianza?
39.- (Santander, Junio, 1996) En una revista se afirma que la estatura media de las personas de
una determinada comarca es 1'80 m. Para comprobar si la afirmación es correcta con un grado
de confianza del 95%, se toma al azar una muestra de 85 personas a las que medimos sus
alturas, obteniendo una media de 1'77 m y una desviación típica de 0'12 m. ¿A qué conclusiones
llegaremos suponiendo que los datos se distribuyen con normalidad?.
40.- (Santander, Septiembre, 1996) 900 cigarrillos son sacados de una cadena de producción y
se observa que 45 de ellos son defectuosos.
1. Estimar la proporción de defectuosos.
2. Hallar el intervalo de confianza del 90 % de la proporción de defectuosos.
3. Hallar el intervalo de confianza del 98 % de la proporción de defectuosos.
41.- (Santander, Junio, 1997) Al medir el diámetro de los cojinetes producidos por una empresa
se estima que la desviación típica de dicho diámetro es 0'05 cm. Se han hecho 121 mediciones.
¿Se puede afirmar, con el 99% de confianza, que el error en la estimación de la media no
excederá a 0'01 cm?
42.- (Santander, Septiembre, 1997) 200 de cada 500 personas votan a un determinado partido
político. Se pide:
1.- Estimar la proporción de votantes.
2.- Calcular con un nivel de confianza del 99%, el intervalo en el que se encontrará la verdadera
proporción de votantes.
43.- (Santander, Junio, 1998) Se conoce que 25 de cada 1000 objetos elaborados por una
empresa son defectuosos.
De qué tamaño conviene tomar una muestra para que la proporción estimada de defectuosos no
difiera de la verdadera en más de un 5% con un nivel de confianza de un:
1.- 95%
2.- 99%
3.- 99'9%.
44.- (Santander, Septiembre, 1998) De una muestra de 900 jóvenes observamos un tiempo
medio de 3 horas dedicado al estudio con 30 minutos de desviación típica.
Calcular el intervalo de confianza del tiempo medio que los jóvenes dedican al estudio con un
nivel de confianza del
1.- 68'26%.
2.- 95'44%.
3.- 99'73%
45.- (Santander, Junio, 1999) Las medidas de los diámetros de una muestra al azar de 200
cojinetes de bolas, hechos por una determinada máquina, dieron una medida de 2 cm y una
desviación típica de 0'1 cm. Hallar los intervalos de confianza del:
1.- 68'26 %.
2.- 95'44 %.
3.- 99'73%
para el diámetro medio de todos los cojinetes.
46.- (Santander, Septiembre, 1999) Una muestra de 100 votantes elegidos al azar entre todos
los de un distrito, indicó que el 55% de ellos estaba a favor de un candidato determinado. Hallar
los intervalos de confianza del:
1.- 68'26%,
2.- 95'44%,
3.- 99'73%,
para la proporción de todos los votantes que estaban a favor del candidato.
47.- (Santander, Junio, 2000) Tomada al azar una muestra de 500 personas de una
determinada comunidad, se encontró que 300 leían la prensa diaria regularmente.
1.- hallar, con un intervalo de confianza del 90%, un intervalo para estimar la proporción
de lectores entre las personas de esa comunidad.
2.- A la vista del resultado anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir una
cota del error de 0'05% con el mismo nivel de confianza del 90%. ¿Cuántos individuos ha
de tener la muestra?.
48.- (Santander, Septiembre, 2000) Se ha lanzado 100 veces una moneda obteniéndose 62
caras. Estimar la probabilidad de “cruz” mediante un intervalo de confianza del 95%.
Basándonos en la experiencia anterior, se pretende estimar la probabilidad de “cruz” con un
error menor que 0'002 y un nivel de confianza del 95%.
¿Cuántas veces hemos de lanzar la moneda?.
49.- (La Laguna, Junio, 1998) Un estudio realizado sobre una muestra de 40 aviones
comerciales revela que la antigüedad media de éstos es de 13'41 años con una desviación típica
muestral de 8'28 años.
Hallar, con un nivel del 90% de confianza, en que intervalo se encuentra la antigüedad
media de la flota comercial.
Si se quisiera obtener un nivel de confianza del 95% cometiendo el mismo error de
estimación que en el apartado anterior y suponiendo también que s = 8'28 años, ¿cuántos
elementos deberían componer la muestra?
50.- (Andalucía, Junio, 1998) La variable altura de las alumnas que estudian en una escuela de
idiomas sigue una distribución normal de media 1'62 m y desviación típica 0'12 m.
Hallar la media y la desviación típica de la distribución muestral de medias de esta
población, si se toman muestras de tamaño 100.
Determinar la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 100 alumnas sea
mayor que 1'60 m.
51.- (Islas Baleares, Junio, 1998) En una determinada población se toma una muestra al azar
de 256 personas. De esta muestra, el 20% de las personas lleva gafas graduadas y el 80%
restante no.
Calcula el intervalo de confianza aproximado para la proporción poblacional de las
personas que llevan gafas graduadas para un nivel de confianza del 95%.
52.- (Andalucía, Junio, 1998) Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto
alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado
los siguientes precios:
95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110
Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una ley normal de varianza 25
y media desconocida:
a.- ¿Cuál es la distribución de la media muestral?
b.- Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional.
53.- (Islas Baleares, Junio, 1998) Se supone que la estatura de los chicos de 18 años de cierta
población sigue una distribución normal de media 162 cm y desviación típica 12 cm.
Se toma una muestra al azar de 100 de estos chicos encuestados y se calcula la media.
¿Cuál es la probabilidad de que esta media esté entre 159 y 165 cm?
54.- (Madrid, Junio, 1998) Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos
sigue una distribución normal con media µ =100 meses y σ = 12 meses.
Determínese el mínimo tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad de 0'98, que la
vida media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses.
55.- (Zaragoza, Junio, 1998) La desviación típica de la altura de los habitantes de un país es 10
cm. Calcular el tamaño mínimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho país para
que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1 cm con un nivel de confianza del
99%. ¿Y si el nivel de confianza es del 95%?. Explicar los pasos seguidos para obtener las
respuestas.
56.- En una muestra aleatoria de 1000 personas, el 65% están a favor de que el Ministerio de
Educación suprima los exámenes de selectividad.
Halla el intervalo de confianza al nivel del 99% en que se encontrará la proporción favorable de
la población.
Sabemos que una encuesta realizada una año antes daba un porcentaje del 68% favorable. a la
supresión, ¿cae este valor dentro del intervalo de confianza anterior?. ¿Qué conclusiones se
obtienen respecto a la evolución de la opinión sobre este tema?
Si la empresa encuestadora quiere un error máximo de 0'025 en la estimación de la proporción
favorable con el mismo nivel de confianza, ¿de qué tamaño debería tomar la muestra?.

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Ejemplos (1)
Ejemplos (1)Ejemplos (1)
Ejemplos (1)
ramirez_cabral
 
Bayes ejercicios
Bayes ejerciciosBayes ejercicios
Probabilidad diagramas de venn
Probabilidad   diagramas de vennProbabilidad   diagramas de venn
Probabilidad diagramas de venn
Ana Robles
 
Permutaciones
PermutacionesPermutaciones
Permutaciones
cristian martinez
 
Probabilidad condicional1
Probabilidad condicional1Probabilidad condicional1
Probabilidad condicional1
Cindy Adriana Bohórquez Santana
 
Distribuciones...
Distribuciones...Distribuciones...
Distribuciones...
Valeria Castañeda Martinez
 
SEGUNDA ACTIVIDAD
SEGUNDA ACTIVIDADSEGUNDA ACTIVIDAD
SEGUNDA ACTIVIDAD
elsy liseth galindo
 
Probabilidadcondicionada mtccss 2ºbto
Probabilidadcondicionada mtccss 2ºbtoProbabilidadcondicionada mtccss 2ºbto
Probabilidadcondicionada mtccss 2ºbto
Luis Patrick
 
Ejercicios de conjuntos
Ejercicios de conjuntosEjercicios de conjuntos
Ejercicios de conjuntos
Israel Ortiz
 
Ejemplo de teorema de lagrange
Ejemplo de teorema de lagrangeEjemplo de teorema de lagrange
Ejemplo de teorema de lagrange
Diana Lizeth Vanegas Castro
 
Diagrama de tallos y hojas
Diagrama de tallos y hojasDiagrama de tallos y hojas
Diagrama de tallos y hojas
Montserg93
 
Introduccion a la teoria de las probabilidades
Introduccion a la teoria de las probabilidadesIntroduccion a la teoria de las probabilidades
Introduccion a la teoria de las probabilidades
profejesushernan4
 
Segundo examen
Segundo examenSegundo examen
Cálculo de probabilidades
Cálculo de probabilidadesCálculo de probabilidades
Cálculo de probabilidades
Inmaculada Leiva Tapia
 
Matemática I - Límites y Continuidad
Matemática I - Límites y ContinuidadMatemática I - Límites y Continuidad
Matemática I - Límites y Continuidad
Joe Arroyo Suárez
 
Funciones ejercicios-resueltos
Funciones ejercicios-resueltosFunciones ejercicios-resueltos
Funciones ejercicios-resueltos
Liszeth Susana Diaz Pérez
 
Fórmula de cardano para cúbicas
Fórmula de cardano para cúbicasFórmula de cardano para cúbicas
Fórmula de cardano para cúbicas
Ignacio Larrosa
 
control estadistico de procesos-prueba de hipotesis
control estadistico de procesos-prueba de hipotesiscontrol estadistico de procesos-prueba de hipotesis
control estadistico de procesos-prueba de hipotesis
Sonia Ynés Huaripaucar G
 
Tarea 11 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 11 de probabilidad y estadistica con respuestasTarea 11 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 11 de probabilidad y estadistica con respuestas
IPN
 
Algebra 4to...Ecuaciones e inecuaciones de 2º Grado
Algebra 4to...Ecuaciones e inecuaciones de 2º GradoAlgebra 4to...Ecuaciones e inecuaciones de 2º Grado
Algebra 4to...Ecuaciones e inecuaciones de 2º Grado
Camilo Solis Yanac
 

La actualidad más candente (20)

Ejemplos (1)
Ejemplos (1)Ejemplos (1)
Ejemplos (1)
 
Bayes ejercicios
Bayes ejerciciosBayes ejercicios
Bayes ejercicios
 
Probabilidad diagramas de venn
Probabilidad   diagramas de vennProbabilidad   diagramas de venn
Probabilidad diagramas de venn
 
Permutaciones
PermutacionesPermutaciones
Permutaciones
 
Probabilidad condicional1
Probabilidad condicional1Probabilidad condicional1
Probabilidad condicional1
 
Distribuciones...
Distribuciones...Distribuciones...
Distribuciones...
 
SEGUNDA ACTIVIDAD
SEGUNDA ACTIVIDADSEGUNDA ACTIVIDAD
SEGUNDA ACTIVIDAD
 
Probabilidadcondicionada mtccss 2ºbto
Probabilidadcondicionada mtccss 2ºbtoProbabilidadcondicionada mtccss 2ºbto
Probabilidadcondicionada mtccss 2ºbto
 
Ejercicios de conjuntos
Ejercicios de conjuntosEjercicios de conjuntos
Ejercicios de conjuntos
 
Ejemplo de teorema de lagrange
Ejemplo de teorema de lagrangeEjemplo de teorema de lagrange
Ejemplo de teorema de lagrange
 
Diagrama de tallos y hojas
Diagrama de tallos y hojasDiagrama de tallos y hojas
Diagrama de tallos y hojas
 
Introduccion a la teoria de las probabilidades
Introduccion a la teoria de las probabilidadesIntroduccion a la teoria de las probabilidades
Introduccion a la teoria de las probabilidades
 
Segundo examen
Segundo examenSegundo examen
Segundo examen
 
Cálculo de probabilidades
Cálculo de probabilidadesCálculo de probabilidades
Cálculo de probabilidades
 
Matemática I - Límites y Continuidad
Matemática I - Límites y ContinuidadMatemática I - Límites y Continuidad
Matemática I - Límites y Continuidad
 
Funciones ejercicios-resueltos
Funciones ejercicios-resueltosFunciones ejercicios-resueltos
Funciones ejercicios-resueltos
 
Fórmula de cardano para cúbicas
Fórmula de cardano para cúbicasFórmula de cardano para cúbicas
Fórmula de cardano para cúbicas
 
control estadistico de procesos-prueba de hipotesis
control estadistico de procesos-prueba de hipotesiscontrol estadistico de procesos-prueba de hipotesis
control estadistico de procesos-prueba de hipotesis
 
Tarea 11 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 11 de probabilidad y estadistica con respuestasTarea 11 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 11 de probabilidad y estadistica con respuestas
 
Algebra 4to...Ecuaciones e inecuaciones de 2º Grado
Algebra 4to...Ecuaciones e inecuaciones de 2º GradoAlgebra 4to...Ecuaciones e inecuaciones de 2º Grado
Algebra 4to...Ecuaciones e inecuaciones de 2º Grado
 

Similar a Recuper probabilidadesyestad

Ejercicios_resueltos probabilidad.pdf
Ejercicios_resueltos probabilidad.pdfEjercicios_resueltos probabilidad.pdf
Ejercicios_resueltos probabilidad.pdf
adelaleston
 
Estadistik 2
Estadistik 2Estadistik 2
Estadistik 2
jessik2013
 
Estadistica
EstadisticaEstadistica
Estadistica
Carlos ChE
 
3 probabilidad condicionada_total
3 probabilidad condicionada_total3 probabilidad condicionada_total
3 probabilidad condicionada_total
yocoimamillan
 
Ejercicios calculo probabilidades
Ejercicios calculo probabilidadesEjercicios calculo probabilidades
Ejercicios calculo probabilidades
Cindy Adriana Bohórquez Santana
 
Trabajo estadistica
Trabajo estadisticaTrabajo estadistica
Trabajo estadistica
Linda Condor
 
Probabilidad ayudantía eiq 344-01
Probabilidad   ayudantía eiq 344-01Probabilidad   ayudantía eiq 344-01
Probabilidad ayudantía eiq 344-01
Sebastián González Manríquez
 
Estadistica ii.
Estadistica ii.Estadistica ii.
Estadistica ii.
Carolina Salazar
 
Probabilidad matemáticas, aprende estadistica
Probabilidad matemáticas, aprende estadisticaProbabilidad matemáticas, aprende estadistica
Probabilidad matemáticas, aprende estadistica
AllisonArancibia
 
Ejercicios resueltos probabilidad
Ejercicios resueltos probabilidad Ejercicios resueltos probabilidad
Ejercicios resueltos probabilidad
mgarmon965
 
Tema14 2 probabilidad
Tema14 2   probabilidadTema14 2   probabilidad
Tema14 2 probabilidad
Quimica Tecnologia
 
Problemas ccs ssolprobabilidades
Problemas ccs ssolprobabilidadesProblemas ccs ssolprobabilidades
Problemas ccs ssolprobabilidades
Christian Infante
 
Teoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a Probabilidad
Teoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a ProbabilidadTeoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a Probabilidad
Teoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a Probabilidad
Enely Freitez
 
Lista 1
Lista 1Lista 1
Estadistica probabilidad
Estadistica probabilidadEstadistica probabilidad
Estadistica probabilidad
alejandrapuyobarbosa
 
estadistica unico.pptx
estadistica unico.pptxestadistica unico.pptx
estadistica unico.pptx
ANGELGABRIEL75681
 
Ejemplos de distribuciones
Ejemplos de distribucionesEjemplos de distribuciones
Ejemplos de distribuciones
Khriiz Rmz
 
Estadistica ejercicios de probabilidad
Estadistica ejercicios de probabilidadEstadistica ejercicios de probabilidad
Estadistica ejercicios de probabilidad
alejandrapuyobarbosa
 
Ejercicios de probabilidades y teorema de bayes
Ejercicios de probabilidades y teorema de bayesEjercicios de probabilidades y teorema de bayes
Ejercicios de probabilidades y teorema de bayes
LuCy Liu Regalado
 
probabilidad y estadística. Ejercicios resueltos
probabilidad y estadística. Ejercicios resueltosprobabilidad y estadística. Ejercicios resueltos
probabilidad y estadística. Ejercicios resueltos
Nobu Dragon
 

Similar a Recuper probabilidadesyestad (20)

Ejercicios_resueltos probabilidad.pdf
Ejercicios_resueltos probabilidad.pdfEjercicios_resueltos probabilidad.pdf
Ejercicios_resueltos probabilidad.pdf
 
Estadistik 2
Estadistik 2Estadistik 2
Estadistik 2
 
Estadistica
EstadisticaEstadistica
Estadistica
 
3 probabilidad condicionada_total
3 probabilidad condicionada_total3 probabilidad condicionada_total
3 probabilidad condicionada_total
 
Ejercicios calculo probabilidades
Ejercicios calculo probabilidadesEjercicios calculo probabilidades
Ejercicios calculo probabilidades
 
Trabajo estadistica
Trabajo estadisticaTrabajo estadistica
Trabajo estadistica
 
Probabilidad ayudantía eiq 344-01
Probabilidad   ayudantía eiq 344-01Probabilidad   ayudantía eiq 344-01
Probabilidad ayudantía eiq 344-01
 
Estadistica ii.
Estadistica ii.Estadistica ii.
Estadistica ii.
 
Probabilidad matemáticas, aprende estadistica
Probabilidad matemáticas, aprende estadisticaProbabilidad matemáticas, aprende estadistica
Probabilidad matemáticas, aprende estadistica
 
Ejercicios resueltos probabilidad
Ejercicios resueltos probabilidad Ejercicios resueltos probabilidad
Ejercicios resueltos probabilidad
 
Tema14 2 probabilidad
Tema14 2   probabilidadTema14 2   probabilidad
Tema14 2 probabilidad
 
Problemas ccs ssolprobabilidades
Problemas ccs ssolprobabilidadesProblemas ccs ssolprobabilidades
Problemas ccs ssolprobabilidades
 
Teoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a Probabilidad
Teoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a ProbabilidadTeoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a Probabilidad
Teoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a Probabilidad
 
Lista 1
Lista 1Lista 1
Lista 1
 
Estadistica probabilidad
Estadistica probabilidadEstadistica probabilidad
Estadistica probabilidad
 
estadistica unico.pptx
estadistica unico.pptxestadistica unico.pptx
estadistica unico.pptx
 
Ejemplos de distribuciones
Ejemplos de distribucionesEjemplos de distribuciones
Ejemplos de distribuciones
 
Estadistica ejercicios de probabilidad
Estadistica ejercicios de probabilidadEstadistica ejercicios de probabilidad
Estadistica ejercicios de probabilidad
 
Ejercicios de probabilidades y teorema de bayes
Ejercicios de probabilidades y teorema de bayesEjercicios de probabilidades y teorema de bayes
Ejercicios de probabilidades y teorema de bayes
 
probabilidad y estadística. Ejercicios resueltos
probabilidad y estadística. Ejercicios resueltosprobabilidad y estadística. Ejercicios resueltos
probabilidad y estadística. Ejercicios resueltos
 

Más de Christian Infante

Regla mezcla-aleación
Regla mezcla-aleaciónRegla mezcla-aleación
Regla mezcla-aleación
Christian Infante
 
Regla de mezcla ii
Regla de mezcla iiRegla de mezcla ii
Regla de mezcla ii
Christian Infante
 
Regla de mezcla
Regla de mezclaRegla de mezcla
Regla de mezcla
Christian Infante
 
Regla de interés seminario
Regla de interés seminarioRegla de interés seminario
Regla de interés seminario
Christian Infante
 
Regla de interés guia anual uni
Regla de interés guia anual uniRegla de interés guia anual uni
Regla de interés guia anual uni
Christian Infante
 
Regla de descuento
Regla de descuentoRegla de descuento
Regla de descuento
Christian Infante
 
Regla interés
Regla interésRegla interés
Regla interés
Christian Infante
 
Probabilidad y estadistica elementales
Probabilidad y estadistica elementalesProbabilidad y estadistica elementales
Probabilidad y estadistica elementales
Christian Infante
 
Clasesprobabilidades
ClasesprobabilidadesClasesprobabilidades
Clasesprobabilidades
Christian Infante
 
Tema 2 colorprobabilidades
Tema 2 colorprobabilidadesTema 2 colorprobabilidades
Tema 2 colorprobabilidades
Christian Infante
 
Tema 2 colorprobabilidades
Tema 2 colorprobabilidadesTema 2 colorprobabilidades
Tema 2 colorprobabilidades
Christian Infante
 
T4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidadesT4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidades
Christian Infante
 
T4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidadesT4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidades
Christian Infante
 
Cfgs probabilidad-problemas resueltos
Cfgs probabilidad-problemas resueltosCfgs probabilidad-problemas resueltos
Cfgs probabilidad-problemas resueltos
Christian Infante
 
Probabilidades
ProbabilidadesProbabilidades
Probabilidades
Christian Infante
 
Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01
Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01
Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01
Christian Infante
 
Teoria conjuntos-2
Teoria conjuntos-2Teoria conjuntos-2
Teoria conjuntos-2
Christian Infante
 
Razones proporciones
Razones proporcionesRazones proporciones
Razones proporciones
Christian Infante
 
Planteo ecuaciones-5
Planteo ecuaciones-5Planteo ecuaciones-5
Planteo ecuaciones-5
Christian Infante
 
Moviles 7
Moviles 7Moviles 7

Más de Christian Infante (20)

Regla mezcla-aleación
Regla mezcla-aleaciónRegla mezcla-aleación
Regla mezcla-aleación
 
Regla de mezcla ii
Regla de mezcla iiRegla de mezcla ii
Regla de mezcla ii
 
Regla de mezcla
Regla de mezclaRegla de mezcla
Regla de mezcla
 
Regla de interés seminario
Regla de interés seminarioRegla de interés seminario
Regla de interés seminario
 
Regla de interés guia anual uni
Regla de interés guia anual uniRegla de interés guia anual uni
Regla de interés guia anual uni
 
Regla de descuento
Regla de descuentoRegla de descuento
Regla de descuento
 
Regla interés
Regla interésRegla interés
Regla interés
 
Probabilidad y estadistica elementales
Probabilidad y estadistica elementalesProbabilidad y estadistica elementales
Probabilidad y estadistica elementales
 
Clasesprobabilidades
ClasesprobabilidadesClasesprobabilidades
Clasesprobabilidades
 
Tema 2 colorprobabilidades
Tema 2 colorprobabilidadesTema 2 colorprobabilidades
Tema 2 colorprobabilidades
 
Tema 2 colorprobabilidades
Tema 2 colorprobabilidadesTema 2 colorprobabilidades
Tema 2 colorprobabilidades
 
T4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidadesT4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidades
 
T4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidadesT4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidades
 
Cfgs probabilidad-problemas resueltos
Cfgs probabilidad-problemas resueltosCfgs probabilidad-problemas resueltos
Cfgs probabilidad-problemas resueltos
 
Probabilidades
ProbabilidadesProbabilidades
Probabilidades
 
Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01
Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01
Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01
 
Teoria conjuntos-2
Teoria conjuntos-2Teoria conjuntos-2
Teoria conjuntos-2
 
Razones proporciones
Razones proporcionesRazones proporciones
Razones proporciones
 
Planteo ecuaciones-5
Planteo ecuaciones-5Planteo ecuaciones-5
Planteo ecuaciones-5
 
Moviles 7
Moviles 7Moviles 7
Moviles 7
 

Último

Eureka 2024 ideas y dudas para la feria de Ciencias
Eureka 2024 ideas y dudas para la feria de CienciasEureka 2024 ideas y dudas para la feria de Ciencias
Eureka 2024 ideas y dudas para la feria de Ciencias
arianet3011
 
Gracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdf
Gracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdfGracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdf
Gracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdf
Ani Ann
 
Independencia de Chile, Causas internas y externas
Independencia de Chile, Causas internas y externasIndependencia de Chile, Causas internas y externas
Independencia de Chile, Causas internas y externas
canessamacarena
 
La filosofía presocrática y los filosofos más relvantes del periodo.
La filosofía presocrática y los filosofos más relvantes del periodo.La filosofía presocrática y los filosofos más relvantes del periodo.
La filosofía presocrática y los filosofos más relvantes del periodo.
DobbieElfo
 
Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.
Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.
Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.
genesiscabezas469
 
Presentación de proyecto en acuarela moderna verde.pdf
Presentación de proyecto en acuarela moderna verde.pdfPresentación de proyecto en acuarela moderna verde.pdf
Presentación de proyecto en acuarela moderna verde.pdf
LuanaJaime1
 
Mundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdf
Mundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdfMundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdf
Mundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdf
ViriEsteva
 
Carnavision: anticipa y aprovecha - hackathon Pasto2024 .pdf
Carnavision: anticipa y aprovecha - hackathon Pasto2024 .pdfCarnavision: anticipa y aprovecha - hackathon Pasto2024 .pdf
Carnavision: anticipa y aprovecha - hackathon Pasto2024 .pdf
EleNoguera
 
CALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdf
CALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdfCALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdf
CALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdf
cesareduvr95
 
Evaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdf
Evaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdfEvaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdf
Evaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdf
EfranMartnez8
 
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...
Juan Martín Martín
 
Hablemos de ESI para estudiantes Cuadernillo
Hablemos de ESI para estudiantes CuadernilloHablemos de ESI para estudiantes Cuadernillo
Hablemos de ESI para estudiantes Cuadernillo
Mónica Sánchez
 
tema 7. Los siglos XVI y XVII ( resumen)
tema 7. Los siglos XVI y XVII ( resumen)tema 7. Los siglos XVI y XVII ( resumen)
tema 7. Los siglos XVI y XVII ( resumen)
saradocente
 
REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...
REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...
REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...
carla526481
 
Escuela Sabática. El conflicto inminente.pdf
Escuela Sabática. El conflicto inminente.pdfEscuela Sabática. El conflicto inminente.pdf
Escuela Sabática. El conflicto inminente.pdf
Alejandrino Halire Ccahuana
 
La vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primaria
La vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primariaLa vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primaria
La vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primaria
EricaCouly1
 
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
LuanaJaime1
 
MATERIAL ESCOLAR 2024-2025 3 AÑOS CEIP SAN CRISTÓBAL
MATERIAL ESCOLAR 2024-2025 3 AÑOS CEIP SAN CRISTÓBALMATERIAL ESCOLAR 2024-2025 3 AÑOS CEIP SAN CRISTÓBAL
MATERIAL ESCOLAR 2024-2025 3 AÑOS CEIP SAN CRISTÓBAL
Ana Fernandez
 
proyectoszona21para el logro de real.pptx
proyectoszona21para el logro de real.pptxproyectoszona21para el logro de real.pptx
proyectoszona21para el logro de real.pptx
ChristianGmez48
 
UrkuninaLab.pdfsadsadasddassadsadsadasdsad
UrkuninaLab.pdfsadsadasddassadsadsadasdsadUrkuninaLab.pdfsadsadasddassadsadsadasdsad
UrkuninaLab.pdfsadsadasddassadsadsadasdsad
JorgeVillota6
 

Último (20)

Eureka 2024 ideas y dudas para la feria de Ciencias
Eureka 2024 ideas y dudas para la feria de CienciasEureka 2024 ideas y dudas para la feria de Ciencias
Eureka 2024 ideas y dudas para la feria de Ciencias
 
Gracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdf
Gracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdfGracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdf
Gracias papá hombre_letra y acordes de guitarra.pdf
 
Independencia de Chile, Causas internas y externas
Independencia de Chile, Causas internas y externasIndependencia de Chile, Causas internas y externas
Independencia de Chile, Causas internas y externas
 
La filosofía presocrática y los filosofos más relvantes del periodo.
La filosofía presocrática y los filosofos más relvantes del periodo.La filosofía presocrática y los filosofos más relvantes del periodo.
La filosofía presocrática y los filosofos más relvantes del periodo.
 
Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.
Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.
Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.
 
Presentación de proyecto en acuarela moderna verde.pdf
Presentación de proyecto en acuarela moderna verde.pdfPresentación de proyecto en acuarela moderna verde.pdf
Presentación de proyecto en acuarela moderna verde.pdf
 
Mundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdf
Mundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdfMundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdf
Mundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdf
 
Carnavision: anticipa y aprovecha - hackathon Pasto2024 .pdf
Carnavision: anticipa y aprovecha - hackathon Pasto2024 .pdfCarnavision: anticipa y aprovecha - hackathon Pasto2024 .pdf
Carnavision: anticipa y aprovecha - hackathon Pasto2024 .pdf
 
CALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdf
CALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdfCALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdf
CALCULO DE AMORTIZACION DE UN PRESTAMO.pdf
 
Evaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdf
Evaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdfEvaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdf
Evaluacion-Formativa-Nueva Escuela Mexicana NEM-ok.pdf
 
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...
 
Hablemos de ESI para estudiantes Cuadernillo
Hablemos de ESI para estudiantes CuadernilloHablemos de ESI para estudiantes Cuadernillo
Hablemos de ESI para estudiantes Cuadernillo
 
tema 7. Los siglos XVI y XVII ( resumen)
tema 7. Los siglos XVI y XVII ( resumen)tema 7. Los siglos XVI y XVII ( resumen)
tema 7. Los siglos XVI y XVII ( resumen)
 
REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...
REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...
REGIMÉN ACADÉMICO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA - RESOC-2024-1650-GDEBA-DGC...
 
Escuela Sabática. El conflicto inminente.pdf
Escuela Sabática. El conflicto inminente.pdfEscuela Sabática. El conflicto inminente.pdf
Escuela Sabática. El conflicto inminente.pdf
 
La vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primaria
La vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primariaLa vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primaria
La vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primaria
 
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
 
MATERIAL ESCOLAR 2024-2025 3 AÑOS CEIP SAN CRISTÓBAL
MATERIAL ESCOLAR 2024-2025 3 AÑOS CEIP SAN CRISTÓBALMATERIAL ESCOLAR 2024-2025 3 AÑOS CEIP SAN CRISTÓBAL
MATERIAL ESCOLAR 2024-2025 3 AÑOS CEIP SAN CRISTÓBAL
 
proyectoszona21para el logro de real.pptx
proyectoszona21para el logro de real.pptxproyectoszona21para el logro de real.pptx
proyectoszona21para el logro de real.pptx
 
UrkuninaLab.pdfsadsadasddassadsadsadasdsad
UrkuninaLab.pdfsadsadasddassadsadsadasdsadUrkuninaLab.pdfsadsadasddassadsadsadasdsad
UrkuninaLab.pdfsadsadasddassadsadsadasdsad
 

Recuper probabilidadesyestad

  • 1. Problemas de Probabilidades y Estadística 1º.- (Cantabria, Junio, 1994) Al controlar la cantidad de un producto envasado, se eligen tres al azar de una caja que contiene 50 envases. Por término medio, sabemos que en cada caja hay 5 cuya calidad es deficiente. Determinar las probabilidades siguientes: 1º.- De que entre los tres no haya ninguno, uno o dos deficientes. 2º.- Si el primero resulta deficiente, ¿cuál es la probabilidad de que entre los tres haya uno o dos deficientes? SOLUCIÓN: Designamos por DDD al suceso “los tres sean deficientes” 1) La probabilidad que se pide viene dada por 1 - p(“los tres sean deficientes”). 5 4 3 96 = = 0 '0005 50 49 48 245 p ( DDD ) = Luego la probabilidad pedida será: p = 1 - 0'0005 = 0'9995 2) La probabilidad de que los otros dos sean deficientes viene dada por: p= 4 3 = 0 '005 49 48 Luego la probabilidad de que entre los tres haya uno o dos deficientes vendrá dada por 1 - 0'005 = 0'995. 2º.- (Santander, Junio, 1998) En una determinada población hay tres lugares de diversión a los que suele ir un grupo de amigos. Las probabilidades de que vayan al primero, segundo o tercero son, respectivamente, 0'3, 0'5, y 0'7. Hallar la probabilidad de que el grupo de amigos vaya: Solamente a uno de los lugares. Únicamente a dos de los lugares. A los tres lugares. SOLUCIÓN: 1. A partir del diagrama en árbol puede verse que el suceso “ir a un único lugar” se verifica cuando ocurran cualquiera de los tres siguientes: 0'7 0'5 B A 0'3 0'5 0'3 0'7 B 0'3 0'7 0'5 0'7 B 0'3 A 0'7 0'5 C C C A∩ B ∩C 2) A ∩ B ∩ C siendo p ( A ∩ B ∩ C ) = 0 '7 ⋅ 0 '5 ⋅ 0 '3 3) A ∩ B ∩ C siendo p ( A ∩ B ∩ C ) = 0 '7 ⋅ 0 '5 ⋅ 0 '7 siendo C C C B 0'3 p ( A ∩ B ∩ C ) = 0 '3 ⋅ 0 '5 ⋅ 0 '3 1) C C La probabilidad de la unión de estos tres sucesos vendrá dada por la suma de probabilidades de cada uno de ellos y será: p(“ir a un único lugar) = 0'395
  • 2. 2. El suceso “ir únicamente a dos de los lugares” se dará cuando ocurra alguno de los siguientes sucesos: p ( A ∩ B ∩ C ) = 0 '3 ⋅ 0 '5 ⋅ 0 '3 a) A∩ B ∩C b) A ∩ B ∩ C siendo p ( A ∩ B ∩ C ) = 0 '3 ⋅ 0 '5 ⋅ 0 '7 c) A ∩ B ∩ C siendo p ( A ∩ B ∩ C ) = 0 '7 ⋅ 0 '5 ⋅ 0 '7 siendo La probabilidad del suceso “ir únicamente a dos de los lugares” será la suma de las anteriores: p(“ir únicamente a dos de los lugares” = 0'395 3. El suceso ir a los tres lugares cuya probabilidad es A∩ B ∩C ocurre cuando se produce el resultado p ( A ∩ B ∩ C ) = 0 '3 ⋅ 0 ' 5 ⋅ 0 '7 = 0 '105 3º.- (septiembre 2002) Disponemos de 3 dados cúbicos de colores. El primero tiene 4 caras verdes y dos rojas, el segundo tiene 5 caras verdes y una roja, y el tercero tiene todas las caras rojas. Para elegir el dado coloreado, se lanza antes un dado normal numerado del 1 al 6. Si sale 1 o 2, elegimos el primer dado, si sale 3, 4 o 5, elegimos el segundo dado, y si sale un 6, elegimos el tercer dado. a) Determina el espacio muestral del experimento consistente en lanzar el dado normal y luego el coloreado correspondiente. b) Calcula la probabilidad de obtener color verde. c) Calcula la probabilidad de haber jugado con el dado con todas las caras rojas, sabiendo que hemos obtenido color rojo. 4º.- (Andalucía, Junio 2002) Los alumnos de bachillerato de un I.E.S. proceden de tres localidades, A, B y C, siendo un 20% de A, un 30% de B y el resto de C. El 80% de los alumnos de A cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 50% de los alumnos de B cursa 1º de Bachillerato y el resto, 2º. El 60% de los alumnos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto, 2º. a) Seleccionado, al azar, un alumno de Bachillerato de ese centro, ¿cuál es la probabilidad de que sea de 2º?. b) Si elegimos, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S. y este alumno es de 1º, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B? SOLUCIÓN B1 0,8 0,2 A 0,2 B2 0,5 0,5 B1 0,5 0,3 B2 Llamamos B1 = “estudiar 1º de Bachillerato” B2 = “estudiar 2º de bachillerato” B 0,6 B1 0,4 B2 C Construimos el diagrama de probabilidades que aparece en el margen. a) Por el teorema de las probabilidades totales:
  • 3. p ( B 2) = p ( A) p ( B 2 / A) + p ( B ) p ( B 2 / B ) + p (C ) p ( B 2 / C ) de donde: p ( B 2) = 0, 2 ⋅ 0, 2 + 0, 3 ⋅ 0, 5 + 0, 5 ⋅ 0, 4 = 0, 39 b) Se pide p ( B / B1) . Aplicando la fórmula de Bayes: p ( B) ⋅ p( B1/ B) p( B) ⋅ p ( B1/ B ) = p( B1) 1 − p ( B 2) 0,3 ⋅ 0,5 ≈ 0, 25 p( B / B1) = 1 − 0,39 p( B / B1) = De donde: 5º.- (Andalucía, junio 1998) Se dispone de un mazo de 450 fichas de estudiantes de una escuela de idiomas. Cada estudiante cursa un solo idioma de los tres que se imparten. El número de mujeres es 3/2 del de hombres y los estudiantes de inglés representan el 80% del alumnado. El número de estudiantes de francés duplica al número de estudiantes de alemán. Sea M el suceso “sacar una ficha de mujer” al extraer una ficha al azar del citado mazo (análogamente, sean H, I, F y A sacar hombre, inglés, francés y alemán, respectivamente). Sabiendo que M/A es el suceso seguro y que M/F y H/F son equiprobables, determine: a) Probabilidad de F. Probabilidad de M∩I. b) Probabilidad de F/M. SOLUCIÓN Se construye la siguiente tabla: H I 150 F 30 (5) A 0 (4) 180 M 210 30 30 270 360 60 30 450 (6) (6) (2) (5) (3) (4) (3) (1) (1) Se rellena, en primer lugar (1), los valores del número total de mujeres y de hombres. A continuación (2) el número total de alumnos de inglés. En tercer lugar (3) el total de alumnos de francés y alemán que en total son 90 = 450 – 360. En cuarto lugar (4), por la condición de que M/A es el suceso seguro, se rellena el número de mujeres y de hombres que estudian alemán. En quinto lugar (5), por la condición M/F y H/F son equiprobables, completamos el número de hombres y el número de mujeres que estudia francés. Por último (6), restando se completa el número de alumnas y de alumnos de inglés. 60 2 210 7 = = ; p(M ∩ I ) = 450 15 450 15 a) p( F ) = b) p( F / M ) = p ( F ∩ M ) 30 1 = = p(M ) 270 9 6º.- (Andalucía, junio 1998) Ana, Juan y Raúl, que están esperando para realizar una consulta médica, sortean, al azar, el orden en que van a entrar. a) Calcule la probabilidad de que los dos últimos en entrar sean hombres. b) Determine si son independientes los sucesos: S1 = “la mujer entra antes que alguno de los hombres” S2 = “los dos hombres entran consecutivamente” SOLUCIÓN M = “entra una mujer” H = “entra un hombre” Si construimos el diagrama de probabilidades, que aparece al margen, tendremos:
  • 4. a) La probabilidad pedida en este apartado es: H M M 1/2 H 2/3 1/3 M 1 3 H p ( MHH ) = 1/2 b) S1 = {HMH, MHH} S2 = {HHM, MHH} S1 ∩ S2 = {MHH} H H p ( S1 ) = p ( HMH ) + p ( MHH ) = 2 1 1 2 ⋅ + = 3 2 3 3 p ( S 2 ) = p ( HHM ) + p ( MHH ) = 2 1 1 2 ⋅ + = 3 2 3 3 p ( S1 ∩ S 2 ) = p ( MHH ) = 1 3 Para que los sucesos sean independientes: Como p ( S1 ∩ S 2 ) = p( S1 ∩ S2 ) = p( S1 ) ⋅ p( S2 ) 1 4 ≠ p ( S1 ) ⋅ p ( S 2 ) = , los sucesos son dependientes. 3 9 7º.- (Cantabria, Junio, 1994) Al controlar la cantidad de un producto envasado, se eligen tres al azar de una caja que contiene 50 envases. Por término medio, sabemos que en cada caja hay 5 cuya calidad es deficiente. Determinar las probabilidades siguientes: 1º.- De que entre los tres no haya ninguno, uno o dos deficientes. 2º.- Si el primero resulta deficiente, ¿cuál es la probabilidad de que entre los tres haya uno o dos deficientes? SOLUCIÓN Designamos por DDD al suceso “los tres sean deficientes” 1) La probabilidad que se pide viene dada por 1 - p(“los tres sean deficientes”). p ( DDD ) = 5 4 3 96 = = 0 '0005 50 49 48 245 Luego la probabilidad pedida será: p = 1 - 0'0005 = 0'9995 2) La probabilidad de que los otros dos sean deficientes viene dada por: p= 4 3 = 0 '005 49 48 Luego la probabilidad de que entre los tres haya uno o dos deficientes vendrá dada por 1 - 0'005 = 0'995. 8º.- Sean A y b dos sucesos tales que p ( A) = Calcula, razonadamente, para qué valor de SOLUCIÓN Sabemos que: 1 2 y p( B) = p( A ∪ B) 3 5 . los sucesos A y B son independientes.
  • 5. p ( A ∩ B ) = p ( A) p ( B ) p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) a) tes: 1 3 b) Si los De b) obtenemos: p ( A ∩ B ) = p ( A) p ( B ) = . 2 5 sucesos A y B son 1 3 3 4 = independien Sustituyendo en a) p ( A ∪ B ) = + − 2 5 10 = 3 10 5 9º.- (Santander, Septiembre, 1996) Una bolsa contiene 150 bolas lisas y 50 rugosas. Se extraen tres bolas, una a una y sin reemplazamiento. Se pide: 1.- Formar el espacio muestral y asignar la probabilidad correspondiente a cada suceso. 2.- ¿Cuál es la probabilidad de haber extraído dos bolas lisas?. 3.- ¿Cuál es la probabilidad de haber extraído, al menos, dos bolas lisas?. 4.- Si la primera extracción ha sido una bola lisa, ¿cuál es la probabilidad de haber extraído, al menos, una bola rugosa?. SOLUCIÓN a) El espacio muestral está formado por 23 = 8 puntos muestrales que pueden determinarse por medio de un diagrama de probabilidades: E = {LLL, LLR, LRL, LRR, RLL, RLR, RRL, RRR} p ( LLL) = 150 149 148 5513 ⋅ ⋅ = 200 199 198 13134 150 149 50 3725 ⋅ ⋅ = 200 199 198 26268 150 50 49 1225 p ( LRR ) = p ( RLR ) = p ( RRL) = ⋅ ⋅ = 200 199 198 26268 p ( LLR ) = p ( LRL) = p ( RLL) = p ( RRR ) = b) c) d) 50 49 48 98 ⋅ ⋅ = 200 199 198 6567 3725 3725 = 26268 8756 3725 5513 p ( X ≥ 2 L) = p ( X = 2 L) + p ( LLL) = + ≈ 0,85 8756 13134 3725 1225 p ( LLR ) + p ( LRL) + p ( LRR ) = 2 ⋅ + = 0,33 26268 26268 p ( X = 2 L) = p ( LLR ) + p ( LRL) + p ( RLL) = 3 ⋅ 10.- (Castilla – La Mancha, junio 1998) La probabilidad de que tenga lugar el contrario de un suceso A es 1/3, la probabilidad de un suceso B es ¾ y la probabilidad de que ocurran a la vez los sucesos A y B es 5/8. Determina: I) Probabilidad de que se verifique el suceso A o el suceso B. II) Probabilidad de que no se verifique A y no se verifique B. III) Probabilidad de que ocurra A sabiendo que se ha verificado B. IV) Independencia de los sucesos A y B. SOLUCIÓN I) p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B )
  • 6. 2 5 p ( A) = 1 − p ( A) = p( A ∩ B) 8 5 3 III) p ( A / B ) = = = , por lo 3 6 p( B) tanto: 4 2 3 5 19 p ( A ∪ B ) = IV) A − B = independientes si p ( A ∩ B ) = p ( A) ⋅ p ( B ) + y son 3 4 8 24 6 5 Como p ( A) ⋅ p ( B ) = y p ( A ∩ B ) = , los sucesos A y B son dependientes. II) 12 8 5 p( A ∪ B) = 1 − p( A ∪ B) = 24 11.- Se tienen dos urnas U1 y U2 cuyo contenido en bolas rojas, azules y verdes es: en la urna U1, 4 bolas azules, 3 bolas rojas y 3 verdes; en la urna U2, 4 rojas, 5 azules y 1 verde. Se lanzan tres monedas y si se obtienen exactamente dos caras se extrae una bola de la urna U1, en otro caso se extrae de la urna U2. Se pide: 1) Hacer un diagrama para el experimento aleatorio de lanzar tres monedas. 2) Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea azul. SOLUCIÓN E = {CCC, CCX, CXC, CXX. XCC, XCX, XXC, XXX} Los sucesos que dan exactamente dos caras al lanzar la moneda son: {CCX, CXC, XCC} A 4/10 U1 5/8 p ( X = " sacar 2 caras ") = noA A U2 noA El suceso contrario al anterior será p ( X = " no sacar 2 caras ") = 5 8 que es la probabilidad de ir a la urna U2. Según el teorema de las probabilidades totales: p( A) = p(U1 ) p( A / U1 ) + p(U 2 ) p( A / U 2 ) Luego: p ( A) = 3 4 5 5 37 + = 8 10 8 10 80 12.- (Madrid, junio, 1994) Se sabe que en cierta población, la probabilidad de ser hombre daltónico es un doceavo y la probabilidad de ser mujer daltónica es un veinticincoavo. La proporción de personas de ambos sexos es la misma. Se elige una persona al azar. 1.- Si la persona elegida es hombre, hallar la probabilidad de que sea daltónico. 2.- Si la persona elegida es mujer, hallar la probabilidad de que sea daltónica. 3.- ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida padezca daltonismo?. 4.- Si una persona elegida al azar resulta no ser daltónica, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?. SOLUCIÓN: 3 8 que es la probabilidad de ir a la urna U1. 3/8 5/10 Por lo tanto:
  • 7. Del diagrama de árbol adjunto se obtiene: 1/12 D a) H 0'5 11/12 1/25 0'5 nD D b) M 24/25 p( H ∩ D) = p( D / H ) = p( H ) nD p( D / M ) = 1 12 = 1 0 '5 12 0 '5 ⋅ p( M ∩ D) = p(M ) 1 25 = 1 0 '5 25 0 '5 ⋅ c) p(D) = p(H) p(D/H) + p(M) p(D/M) = 0 '5 ⋅ 1 1 + 0 '5 ⋅ = 0 '06 12 25 d) Aplicando la fórmula de Bayes, tendremos: 11 p ( H ) ⋅ p (nD / H ) 12 = 0 '49 p( H / nD) = = p( H ) ⋅ p (nD / H ) + p ( M ) ⋅ p(nD / M ) 1 − p( D) 0 '5 ⋅ 13.- (Oviedo, junio, 1994) En cierta floristería recibieron cantidades iguales de rosas y gladiolos, cuyo color es blanco o amarillo. El 60% de los gladiolos son de color amarillo, mientras que el 70% de las rosas son de color blanco. a b c Si elegimos una rosa, ¿qué probabilidad tenemos de que sea de color amarillo?. Si cogemos dos gladiolos ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?. ¿Qué proporción de flores son de color blanco?. SOLUCIÓN a) Del diagrama de árbol de la ilustración tenemos: 0'7 B b) Del diagrama de la siguiente ilustración se obtiene la siguiente información: sea D el suceso “coger dos gladiolos de colores distintos”. Se tiene: p( A / R) = R 0'5 0'3 A p( A ∩ R) 0 '5 ⋅ 0 '3 = = 0 '3 p( R) 0 '5 D = {BA, AB} de donde: p(D) = p(AB)+p(BA) = 0'4 0'6 + 0'6 0'4 = 0'48 0'4 0'5 B G 0'6 A c) Del primer diagrama se obtiene: p(B) = p(R) p(B/R) + p(G)p(B/G) = 0'5 0'7 + 0'5 0'4 = 0'55
  • 8. B 0'4 B 0'4 0'6 A B 0'4 0'6 A 0'6 A 14.- El 25% de las familias de cierta comunidad autónoma española no sale fuera de la misma durante las vacaciones de verano. El 65% veranea por el resto de España y el 10% restante se va al extranjero. De los que se quedan en su comunidad autónoma, sólo un 10% no utiliza el coche en sus desplazamientos. Esta proporción aumenta al 30% entre los que salen al resto de España y al 90% entre los que viajan al extranjero. a Elegida una familia al azar, ¿qué probabilidad existe de que pase sus vacaciones fuera de su comunidad y no utilice el coche? b Calcular el porcentaje de familias de esa comunidad que utiliza el coche en sus desplazamientos de vacaciones de verano. c Una familia no usa coche en sus vacaciones de verano. ¿Cuál es la probabilidad de que salga de su comunidad autónoma al resto de España?. SOLUCIÓN Hacemos las siguientes designaciones de sucesos: A = “no sale fuera de su CCAA” R = “sale al resto de España” E = “viaja al extranjero” C = “hace uso del coche” = “no hace uso del coche” a) El suceso “pasa sus vacaciones fuera de su comunidad y no utiliza coche” ocurre cuando se producen los siguientes sucesos: R ∩C y E ∩C . En consecuencia: p(“pasa sus vacaciones fuera de su comunidad y no utiliza coche”) = p ( R ∩ C ) + p ( E ∩ C ) = 0 '65 ⋅ 0 '3 + 0 '1 ⋅ 0 '9 = 0 ' 285 b) La probabilidad de utilizar coche viene dada por: p(C ) = p( A) p(C / A) + p( R) p(C / R) + p( E ) p(C / E ) = = 0 '9 ⋅ 0 '25 + 0 '7 ⋅ 0 '65 + 0 '1⋅ 0 '1 = 0 '69 Luego lo utiliza el 69% de las familias.
  • 9. c) Se trata de hallar la probabilidad de que “viaje al resto de España (R) supuesto que no utiliza coche ()” , es decir . Aplicando la fórmula de Bayes tendremos: p( R / C ) = p(C ∩ R) p (C ∩ R ) 0 '3 ⋅ 0 '65 = = = 0 '63 1 − p(C ) 1 − 0 '69 p (C ) 15.- Una encuesta revela que el 30% de la población tiene estudios, de los cuales el 12% no tiene trabajo. Del 70% que no tiene estudios, un 25% no tiene trabajo. Determina razonadamente: a El tanto por ciento de la población que no tiene trabajo. b La probabilidad de que tenga estudios una persona elegida al azar entre las que tienen trabajo. c La probabilidad de que tenga estudios una persona elegida al azar entre las que no tienen trabajo. SOLUCIÓN Los datos proporcionados se pueden colocar en una tabla de doble entrada como la siguiente, donde E = “tiene estudios”, T = “trabaja”, T E = “no tiene estudios” y T =”sin trabajo”. T E 30 E 70 Para completar la tabla basta calcular los porcentajes indicados en el enunciado. Por ejemplo el porcentaje de individuos con estudios que no tienen trabajo será: 30. 0'12 = 3'6 y el de individuos con estudios que trabaja: 30 - 3'6 = 26'4. Siguiendo así se completará la tabla que quedará: T T Totales E 26'4 3'6 30 E 52'5 17'5 Totales 78'9 70 21'1 A partir de la tabla tendremos a El tanto por ciento que no tiene trabajo: 21'1%. 100
  • 10. b p( E / T ) = 26 ' 4 = 0 '3346 78'9 c p( E / T ) = 3'6 = 0 '1706 21'1 16.- Se lanzan un par de monedas y se anotan los resultados. Se consideran los siguientes sucesos: A = “sacar cara en la primera moneda”. B = “sacar cara en la segunda moneda” E = “sacar exactamente cara”. Se pide estudiar si A, B y E son sucesos independientes o no. SOLUCIÓN El espacio muestral vendrá dado por: U = {CC, CX, XC, XX} A = {CC, CX}; B = {CC, XC} A ∩B = {CC} E = {CX, XC} A ∩ E = {CX} B ∩ E = {XC} A∩B∩E = { Ø } De donde: p(A) = p(B) = p(E) = p( A ∩ E ) = 1 = p ( A) ⋅ p ( E ) ; 4 2 1 = 4 2 p( A ∩ B) = ; p( B ∩ E ) = 1 = p ( A) ⋅ p ( B ) ; 4 1 = p( B) ⋅ p( E ) 4 Luego se cumple la primera condición; sin embargo: p(A ∩ B ∩ E) = p(Ø) = 0 y por lo tanto es distinta de p ( A) ⋅ p ( B ) ⋅ p ( E ) = 1 8 . En consecuencia los tres sucesos son dependientes. 17.- La probabilidad de que tenga lugar el contrario de un suceso A es probabilidad de un suceso B es A y B es 5 8 p( B) = 3 4 Probabilidad de que se verifique el suceso A o el suceso B. Probabilidad de que no se verifique A y no se verifique B Probabilidad de que ocurra A sabiendo que se ha verificado B Independencia de los sucesos A y B. SOLUCIÓN De los datos del problema obtenemos: p ( A) = 1 , la 3 y la probabilidad de que ocurran a la vez los sucesos . Determina: S S S S a) De p ( A) = 1 1 2 se sigue que p ( A) = 1 − p ( A) = 1 − = 3 3 3
  • 11. b) p( A ∩ B) = 5 8 La probabilidad de que se verifique A o B vendrá dada por: p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) , De donde: p( A ∪ B) = 2 3 5 19 + − = 3 4 8 24 La probabilidad de que no se verifique A y no se verifique B vendrá dada por acuerdo con las leyes de Morgan: A∩ B = A∪ B p( A ∩ B) = p( A ∪ B) = 1 − p( A ∪ B) = 1 − p( A ∩ B) . De con lo que: 19 5 = 24 24 La probabilidad de que ocurra A sabiendo que se ha verificado B, vendrá dada por: 5 p( A ∩ B) 8 5 p( A / B) = = = 3 6 p( B) 4 Los sucesos A y B serán independientes si se verifica: 2 3 1 5 p ( A). p ( B ) = . = ≠ = p ( A ∩ B ) 3 4 2 8 p ( A ∩ B ) = p ( A). p ( B) luego A y B son dependientes. 18.- Para diagnosticar una grave enfermedad E existe una prueba T. Si una persona padece la enfermedad y se somete a la prueba T, la probabilidad de que de positivo es del 96 % . En el caso de que esté sana, la probabilidad de que de negativo al someterla a la prueba T será del 94 %. a) Cierta persona se somete a la prueba y el resultado es positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad, sabiendo que a su edad una de cada 150 personas tiene la enfermedad sin saberlo?. b) Suponiendo que el resultado de la prueba T hubiera sido negativo, ¿Cuál es la probabilidad de que, a pesar de ello, tenga la enfermedad?. SOLUCIÓN E no E P Para resolver el problema pueden considerarse los siguientes sucesos: E1 = “padece la enfermedad” E2 = “no padece la enfermedad” P = “da positivo en el test T” p ( E1 ) = 1 150
  • 12. 149 150 p( P / E1 ) = 0 '96 ; p( P / E2 ) = 0 '06 p ( E2 ) = De acuerdo con el teorema de las probabilidades totales: p(P) = p(E1) p(P/ E1) + p(E2) p(P/ E2) De donde: p( P) = 1 149 ⋅ 0 '96 + ⋅ 0 '06 150 150 Para resolver el apartado a) hay que hallar p(E1/ P) , es decir, la probabilidad de que esté enfermo supuesto que ha dado positivo. Aplicando el teorema de Bayes: 0 '96 p( E1 ) ⋅ p( P / E1 ) 150 p( E1 / P) = = p( E1 ) ⋅ p( P / E1 ) + p( E2 ) ⋅ p( P / E2 ) 0 '96 + 149 ⋅ 0 '06 150 150 lo que aproximadamente equivale a 10%. 19.- (Santander, Junio, 1996) En un determinado almacén hay tres estanterías y en cada una de ellas dos tipos de productos A y B. En la primera hay 140 productos y se sabe que un 25% son del tipo A. En la segunda hay 130 productos y se sabe que 91 son del tipo B. Y en la tercera hay 30 del tipo A y 80 del tipo B. 1.- Hacer una tabla que recoja la información anterior. 2.- Del total de los productos, ¿qué porcentaje corresponde a cada estantería?. 3.- Calcular la probabilidad de que un producto elegido al azar sea del tipo A. 4.- Si se sabe que el producto elegido no pertenece a la primera estantería, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?. SOLUCIÓN 1.- Puede elaborarse una tabla como la que sigue (E1, E2, E3 representan cada una de las tres estanterías, A y B los productos) E1 E2 E3 Totales A 35 39 30 104 B 105 91 80 276 140 130 110 380 36'8% 34'2% 29% Tot. 2.- El cálculo de los porcentajes del total de los productos que correspondientes a cada estantería figura en la última fila de la tabla. 3.- Para calcular la probabilidad de se puede aplicar el Teorema de las probabilidades totales: p( A) = p( E1 ) p ( A / E1 ) + p ( E2 ) p ( A / E2 ) + p ( E3 ) p( A / E3 ) = = 0 '368 35 39 30 + 0 '342 + 0 '29 = 0 ' 28 14 130 110
  • 13. 4.- Se trata de calcular p ( B / E1 ) . Para ello: p( B ∩ E1 ) p ( B ∩ E2 ) + p( B ∩ E3 ) p( B / E1 ) = = = 1 − p( E1 ) p( E1 ) 0 '342 91 80 + 0 '29 130 110 = 0 '71 1 − 0 '368 20.- Las probabilidades de acertarle a un blanco de tres tiradores, A, B y C son, respectivamente, 1/6, 1/4 y 1/3. Cada uno de ellos dispara una sola vez al blanco. Hallar: a) El espacio muestral. b) Las probabilidades de que acierte uno solo. d) La probabilidad de que al menos uno acierto. SOLUCIÓN Sea A la probabilidad de que acierte el tirador A y nA la de que no acierte. Análogamente para B y C. 1/3 C 2/3 nC Formamos un diagrama de probabilidades como el que se muestra al margen. 1/3 C a) De él obtenemos el espacio muestral que será: nC E = {(A B C), (A B nC), (A nB C), ( A nB nC), (nA B C), (nA B nC), (nA nB C), (nA nB nC)} B 1/4 A 1/6 3/4 nB 2/3 5/6 nA 3/4 1/3 C 2/3 1/4 nC B nB 1/3 2/3 b) Las probabilidades de que acierte uno solo vendrán dadas por: C p = p( A nB nC) + p(nA B nC) + p(nA nB C) nC Es decir: 1 3 2 5 1 2 5 3 1 31 p= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 6 4 3 6 4 3 6 4 3 72 c) La probabilidad de tener algún acierto es la probabilidad del suceso complementario “no tener ningún acierto”. Como p(“no tener ningún acierto”) = p(nA nB nC), tendremos: 5 3 2 7 p = 1 − p (nA nB nC ) = 1 − ⋅ ⋅ = 6 4 3 12 21.- En una rifa hay 100 números y hemos comprado 2. 1. Si en la rifa hay un solo premio, ¿qué probabilidades tenemos de conseguirlo? 2. Si en la rifa hay dos premios: a) ¿Qué probabilidades tenemos de conseguir al menos un premio? b) ¿Qué probabilidad tenemos de conseguir los dos? SOLUCIÓN Si designamos por P al suceso “obtener premio” y por nP al contrario, tendremos: 1) Si hay un solo premio. p(P) = 2/100 = 0,02 2) Si hay dos premios, construimos el correspondiente diagrama de probabilidades
  • 14. 1/99 P P 0,02 98/99 nP 0,98 2/99 La probabilidad del suceso “conseguir al menos un premio” será 1 menos la probabilidad del suceso “no conseguir ningún premio” puesto que son complementarios. Es decir: p = 1 − p ( nP nP) Como puede verse en el diagrama de probabilidades, P nP p (nP nP) = 0,98 ⋅ 97/99 nP 97 98 De donde: P(“conseguir al menos un premio”) = 1 − 0,98 ⋅ 97 ≈ 0, 04 99 22.- (Santander, Septiembre, 2000) El volumen de producción de tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades la primera, 1000 unidades la segunda y 2000 unidades la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1%, 0'8% y 2% respectivamente: a) Calcular la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa. b) Si se ha seleccionado una unidad que ha resultado no ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad que proceda de la segunda planta?. SOLUCIÓN: La primera planta produce 500 unidades de un total de 3500 por 0'01 D P1 0'99 D 1/7 0'008 2/7 D lo tanto produce 1 2 , la segunda y la tercera el resto, es decir, 7 7 4 . Con ello y el resto de datos podemos elaborar el siguiente 7 diagrama de árbol. P2 0'992 a) La probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa, vendrá dada por: D 4/7 0'02 D p ( D ) = p ( P1) p ( D / P1) + p ( P 2) P ( D / P 2) + p ( P3) P ( D / P3) 1 2 4 De donde: p ( D ) = ⋅ 0 '01 + ⋅ 0 '008 + ⋅ 0 '02 7 7 7 lo que da como resultado: p ( D ) = 0 '015 2 ⋅ 0 '992 p( D ∩ P 2) p( D ∩ P 2) 7 = = = 0 '2877 Aplicando la fórmula de Bayes: p ( P 2 / D ) = 1 − p( D) 0 '015 p( D) P3 0'98 D 23.- (Santander, Junio, 1997) Una empresa tiene tres centros de producción y el número total de unidades producidas es de 7000. El primer centro produce 1000 unidades de las cuales 300 son excelentes, 500 normales y 200 regulares. El segundo centro produce 2000 unidades de las cuales 1000 son excelentes, 750 normales y 250 regulares. El tercer centro produce 4000 unidades de las cuales 2000 son excelentes, 1750 normales y 250 regulares. Se pide: 1.- Realizar una tabla que recoja la información anterior. 2.- Determinar la probabilidad de que un producto elegido al azar sea excelente. 3.- Si se sabe que un producto no procede del primer centro y ha sido elegido al azar, determinar la probabilidad de que sea regular. 4.- Si se sabe que un producto no es normal y ha sido elegido al azar, determinar la probabilidad de que proceda del segundo centro.
  • 15. 24.- (Santander, Septiembre, 1997) En un determinado centro de enseñanza todos los alumnos aprueban alguna asignatura. Se conoce que el 30% aprueba la asignatura A, el 40% la asignatura B y el 5% aprueban ambas. Calcular las siguientes probabilidades de que un alumno 1.- Apruebe cualquier otra asignatura. 2.- Apruebe la A y no la B. 3.- Si aprueba la B que no apruebe la A. 25.- (Santander, Septiembre, 1998) El 10% de los miembros de un determinado colectivo juega al golf, y el 50% va de vacaciones. Calcula las siguientes probabilidades: 1.- Que uno juegue al golf y vaya de vacaciones. 2.- Que uno juegue al golf o vaya de vacaciones. 3.- Que tres no jueguen al golf. 4.- Que dos jueguen al golf o no vayan de vacaciones. 26.- (Santander, Septiembre, 1999) De una baraja de 48 cartas se extraen sucesivamente dos cartas. Calcular la probabilidad de que: 1.- Las dos sean copas. 2.- Al menos una sea copa. 3.- Una sea copa y la otra oros. 4.- La primera sea copas y la segunda espadas. 27.- (Santander, Junio, 1999) En un determinado curso están matriculados 80 varones y 40 mujeres. Aprueban el curso completo 60 varones y 32 mujeres. 1.- Determinar la probabilidad de que un alumno del curso sea varón y apruebe. 2.- Determinar la probabilidad de que una de las personas matriculadas suspenda. 3.- Una de las personas matriculadas ha aprobado, determinar la probabilidad de que sea mujer. 28.- Una planta embotelladora recibe los tapones de corcho de tres proveedores A, B y C que le suministran el 55 %, 30 % y 15 % respectivamente del total. Se estima que un 2% de los que suministra A son defectuosos, y lo mismo ocurre con el 4% de los de b y 6% de los de C. a) ¿Qué porcentaje de botellas tendrá el tapón defectuoso?. b) Si se toma una botella al azar y el corcho es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de A?. 29.- (León, junio, 1994). Se tienen tres recipientes, A, B y C. El recipiente A contiene 3 galletas de vainilla y 2 de chocolate. El B contiene 3 de chocolate y 2 de vainilla, y el C contiene 2 de chocolate y 1 de vainilla. (a).- Se elige un recipiente al azar y se coge una galleta también al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de chocolate?. (b+).- Se elige una galleta al azar y ha resultado ser de vainilla, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del recipiente C? 30.- La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0'6, la de que apruebe Lengua es 0'5 y la de que apruebe ambas es 0'2. Hallar la probabilidad de: a) que apruebe al menos una de las dos asignaturas. b) que no apruebe ninguna de las dos asignaturas. c) que apruebe Matemáticas y no apruebe Lengua. .- Un grupo de pacientes se ha sometido a un tratamiento médico. La distribución, según edad y 31respuesta, ha sido la recogida en la siguiente tabla:
  • 16. Mejoran ≤30 años De 31 a 60 > 60 años SI 22'5 % 17'5 % 35 % NO 7'5 % 7'5 % 10 % Se selecciona al azar uno de estos pacientes. Se pide: a) Sabiendo que tiene 36 años, ¿cuál es la probabilidad de que el tratamiento haya sido eficaz?. b) Se nos dice que ha experimentado mejora, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga más de 60 años?. c) Si se seleccionan dos pacientes al azar y el primero tiene más de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo también tenga más de 60 años?. 32.- (Cantabria, Junio, 1994) Se sabe que el cociente intelectual de los alumnos de una universidad se distribuye según una ley normal de media 100 y varianza 729. 1º.- Hallar la probabilidad de que una muestra de 81 alumnos tenga un cociente intelectual medio inferior a 109. 2º.- Hallar la probabilidad de que una muestra de 36 alumnos tenga un cociente intelectual medio superior a 109. 3º(+).- Elegida una muestra de 225 alumnos, determinar al nivel de confianza del 97%, el intervalo en que se encontrará la media muestral. SOLUCIÓN: La población viene caracterizada por la normal N (100, 729) = N (100, 27) muestral de medias seguirá también una normal caracterizada por: tamaño de la muestra. 1.-En consecuencia, P( X < 109) = p ( z ≤ N (100, La distribución 27 ) n , siendo n el 109 − 100 ) = p( z ≤ 3) = 0 '9987 27 81 109 − 100 ) = 1 − p( z ≤ 2) = 1 − 0 '9772 = 0 '0228 27 36 27 27 ⎞ ⎛ ,100 + zc 3.- El intervalo de confianza vendrá dado por: ⎜ 100 − zc ⎟ siendo zc el 225 225 ⎠ ⎝ 1 + 0 '97 valor crítico para el nivel de confianza del 97%, de donde p ( z ≤ zc ) = = 0 '985 luego 2 2.- P ( X > 109) = p( z ≥ .zc = 2'17 y el intervalo será: (96'1, 103'9) 33.- (León, junio, 1994) Una muestra aleatoria de 100 alumnos que se presenta a las pruebas de selectividad, revela que la media de edad es de 18'1 años. (a).- Halla un intervalo de confianza de 90%, para la edad media de todos los alumnos que se presentan a las pruebas, sabiendo que la desviación típica de la población es 0'4.
  • 17. (b+).- Calcula el tamaño de la muestra que hemos de tomar si queremos establecer un intervalo de confianza para la media de la población con error menor que 0'2 años al nivel de confianza de 97%. SOLUCIÓN: Utilizando x = 18'1 como estimador puntual de la media de la población, tendremos una 0'4 ) 100 0 '4 0'4 ⎞ ⎛ ,18'1 + zc a) El intervalo buscado vendrá dado por: ⎜ 18'1 − zc ⎟ donde para hallar el 100 100 ⎠ ⎝ 1 + 0 '90 valor crítico partiremos de p ( z ≤ zc ) = = 0 ' 95 de donde zc = 1'645. 2 distribución muestral de medias que se aproximará a una normal N (18'1, Luego el intervalo será: (18'1-1'645.0'04, 18'1+1'645.0'04) = (18'03, 18'17). b) El error viene dado por p ( z ≤ zc ) = E = zc 1 + 0 '97 = 0 '985 2 0 '4 < 0'2 n (*), donde para calcular zc, tendremos de donde: zc = 2'17. ⎛ 2 '17 ⋅ 0 ' 4 ⎞ Despejando n de (*), tendremos: n > ⎜ ⎟ = 18'85 ⎝ 0'2 ⎠ 2 Luego n > 19 34.- Las tallas de 3000 jóvenes están normalmente distribuidas siendo la media 173 cm y la desviación típica 7'6 cm. Si se toman 80 muestras de tamaño 25 de esta población, determinar: 1) La media y la desviación típica de la distribución muestral de medias en el caso que el muestreo se haga: a) con reposición b) sin reposición. 2) En cuántas muestras podemos esperar encontrar una media comprendida entre 168 cm y 174 cm. 3) En cuantas muestras será la media menor que 168 cm. SOLUCIÓN 1) a) Si es con reposición µx = µ = 173 cm y la desviación típica de la distribución de muestreo de medias estará relacionada con la desviación típica de la población por donde: σ x = σx = σ n de 7 '6 = 1'52 25 b) Si el muestreo se hace sin reposición σx = σ n σx = 7 '6 3000 − 25 = 1'51 25 3000 − 1 N −n N −1 µx = µ = 173 cm y la desviación típica: donde N es el tamaño de la población y n el de las muestras, luego:
  • 18. 2) En primer lugar se han de tipificar los valores de la variable de acuerdo con la fórmula z= X − µX . De donde: σX 168 − 173 = −3'3 1'52 174 − 173 = 0'66 174 tipificada será = 1'52 168 tipificada será = de donde P (168 ≤ X ≤ 174) = P(−3'3 ≤ z ≤ 0'66) = p ( z ≤ 0'66) − [1 − p( z ≤ 3'3)] = 0'7449 Por lo tanto, cabe esperar que el 74'5% de las muestras tengan medias entre 168 cm y 174 cm. Es decir, 80 . 0'7449 = 59 muestras. 3) La probabilidad de que la media esté por debajo de 168 cm vendrá dada por: P ( X ≤ 168) = P ( z ≤ −3'3) = 1 − p ( z ≤ 3'3) = 1 − 09995 = 0'0005 Luego cabe esperar que haya 80 . 0'0005 = 0'04 muestras, es decir, en ninguna. 35.- El 30% de los chicos de una población son rubios. Si se toma una muestra aleatoria de tamaño 150, ¿cuál es la probabilidad de obtener, al menos, un 25% de chicos rubios? SOLUCIÓN: Suponiendo que la población es muy grande (N > 100n) se puede prescindir de que el muestreo se haya hecho con o sin reemplazamiento. Como n = 150 > 30, la distribución de muestreo de proporciones se aproxima a una normal de media 0,3 y desviación típica σP = 0 '3(1 − 0 '3) , es decir N(0'3, 0'037). 150 Tipificando el valor de P de 0'25 tendremos: z= 0'25 − 0'3 = −1'35 En consecuencia: P(X ≥0'25) 0'037 = P(z≥-1'35) =P(z <1'35) = 0'9115, es decir el 91%. 36.- Las lámparas de un fabricante A tienen una vida media de 1400 horas con desviación típica de 200 horas. Las de un fabricante B tienen una vida media de 1200 horas con desviación típica de 100 horas. Si se toma una muestra de 125 lámparas de cada fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que las de A tengan una vida media que sea al menos (a) de 160 horas y (b) de 250 horas más que las de B? SOLUCIÓN X A y por X B la vida media = 1400 − 1200 = 200 Si designamos la vida media de las muestras de lámparas de A por de las muestras de lámparas de B, entonces: σ X A− X B = σ 12 n1 + σ 22 n2 = µ X A− X B = µ X A − µ X B 1002 2002 + = 20h. 125 125 Con lo que tendremos un distribución normal N(200, 20)
  • 19. La variable tipificada para la diferencia de medias vendrá dada por z= ( X A − X B ) − (µ X A − µ X B ) σ X A− X B En (a) tendremos µ X A− X B ≥ 160 z= 160 − 200 = −2 20 , luego: = P(z ≥ - 2) = P(z ≤ 2) = 0'9772. En (b) tendremos z= 250 − 200 = 2 '5 20 , luego: µ X A− X B ≥ 250 = P(z ≥ 2'5) = 1 - P(z < 2'5) = 1 - 0'9938 = 0'0062. 37.- Una muestra aleatoria de 100 alumnos de un colegio da una talla media de 1'73 m y una varianza s2 = 0'00245 m. Hallar los límites de confianza al 95% y al 99% para la media µ del colegio. SOLUCIÓN Usamos x = 1'73 como estimador puntual no sesgado de µ. La distribución muestral de medias es aproximadamente normal N(1'73, σ n ) donde σ es la desviación típica de la población. Se puede demostrar que si se emplea s en lugar de σ, no se altera significativamente el nivel de confianza siempre que el tamaño de las muestras n sea mayor que 30. En consecuencia los límites de confianza al 95% serán σ σ ⎤ ⎡ , x + 1'96 ⎢ x − 1'96 ⎥ n n⎦ ⎣ s = 0 '00245 = 0 '0495 quedará: 0 '0495 0 '0495 ⎤ ⎡ ,1'73 + 1'96 ⎢1'73 − 1'96 ⎥ = [1'72,1'74] 100 100 ⎦ ⎣ confianza al 95%. Sustituyendo σ por que representa el intervalo de 38.- (septiembre 2002) Los fabricantes de los cereales “Mellogs” afirman que el peso de cada paquete de sus cereales es de 500 gr. al menos. Sabemos que el peso de dichos paquetes sigue una distribución normal de desviación típica 60 gr. Para confirmar la afirmación de los fabricantes, se toman 6 paquetes al azar, obteniéndose los pesos: 490, 450, 505, 520, 500, 475. ¿Tienen razón los fabricantes, con el 95% de confianza? 39.- (Santander, Junio, 1996) En una revista se afirma que la estatura media de las personas de una determinada comarca es 1'80 m. Para comprobar si la afirmación es correcta con un grado de confianza del 95%, se toma al azar una muestra de 85 personas a las que medimos sus alturas, obteniendo una media de 1'77 m y una desviación típica de 0'12 m. ¿A qué conclusiones llegaremos suponiendo que los datos se distribuyen con normalidad?. 40.- (Santander, Septiembre, 1996) 900 cigarrillos son sacados de una cadena de producción y se observa que 45 de ellos son defectuosos. 1. Estimar la proporción de defectuosos. 2. Hallar el intervalo de confianza del 90 % de la proporción de defectuosos. 3. Hallar el intervalo de confianza del 98 % de la proporción de defectuosos.
  • 20. 41.- (Santander, Junio, 1997) Al medir el diámetro de los cojinetes producidos por una empresa se estima que la desviación típica de dicho diámetro es 0'05 cm. Se han hecho 121 mediciones. ¿Se puede afirmar, con el 99% de confianza, que el error en la estimación de la media no excederá a 0'01 cm? 42.- (Santander, Septiembre, 1997) 200 de cada 500 personas votan a un determinado partido político. Se pide: 1.- Estimar la proporción de votantes. 2.- Calcular con un nivel de confianza del 99%, el intervalo en el que se encontrará la verdadera proporción de votantes. 43.- (Santander, Junio, 1998) Se conoce que 25 de cada 1000 objetos elaborados por una empresa son defectuosos. De qué tamaño conviene tomar una muestra para que la proporción estimada de defectuosos no difiera de la verdadera en más de un 5% con un nivel de confianza de un: 1.- 95% 2.- 99% 3.- 99'9%. 44.- (Santander, Septiembre, 1998) De una muestra de 900 jóvenes observamos un tiempo medio de 3 horas dedicado al estudio con 30 minutos de desviación típica. Calcular el intervalo de confianza del tiempo medio que los jóvenes dedican al estudio con un nivel de confianza del 1.- 68'26%. 2.- 95'44%. 3.- 99'73% 45.- (Santander, Junio, 1999) Las medidas de los diámetros de una muestra al azar de 200 cojinetes de bolas, hechos por una determinada máquina, dieron una medida de 2 cm y una desviación típica de 0'1 cm. Hallar los intervalos de confianza del: 1.- 68'26 %. 2.- 95'44 %. 3.- 99'73% para el diámetro medio de todos los cojinetes. 46.- (Santander, Septiembre, 1999) Una muestra de 100 votantes elegidos al azar entre todos los de un distrito, indicó que el 55% de ellos estaba a favor de un candidato determinado. Hallar los intervalos de confianza del: 1.- 68'26%, 2.- 95'44%, 3.- 99'73%, para la proporción de todos los votantes que estaban a favor del candidato. 47.- (Santander, Junio, 2000) Tomada al azar una muestra de 500 personas de una determinada comunidad, se encontró que 300 leían la prensa diaria regularmente. 1.- hallar, con un intervalo de confianza del 90%, un intervalo para estimar la proporción de lectores entre las personas de esa comunidad. 2.- A la vista del resultado anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir una cota del error de 0'05% con el mismo nivel de confianza del 90%. ¿Cuántos individuos ha de tener la muestra?. 48.- (Santander, Septiembre, 2000) Se ha lanzado 100 veces una moneda obteniéndose 62 caras. Estimar la probabilidad de “cruz” mediante un intervalo de confianza del 95%. Basándonos en la experiencia anterior, se pretende estimar la probabilidad de “cruz” con un error menor que 0'002 y un nivel de confianza del 95%. ¿Cuántas veces hemos de lanzar la moneda?.
  • 21. 49.- (La Laguna, Junio, 1998) Un estudio realizado sobre una muestra de 40 aviones comerciales revela que la antigüedad media de éstos es de 13'41 años con una desviación típica muestral de 8'28 años. Hallar, con un nivel del 90% de confianza, en que intervalo se encuentra la antigüedad media de la flota comercial. Si se quisiera obtener un nivel de confianza del 95% cometiendo el mismo error de estimación que en el apartado anterior y suponiendo también que s = 8'28 años, ¿cuántos elementos deberían componer la muestra? 50.- (Andalucía, Junio, 1998) La variable altura de las alumnas que estudian en una escuela de idiomas sigue una distribución normal de media 1'62 m y desviación típica 0'12 m. Hallar la media y la desviación típica de la distribución muestral de medias de esta población, si se toman muestras de tamaño 100. Determinar la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 100 alumnas sea mayor que 1'60 m. 51.- (Islas Baleares, Junio, 1998) En una determinada población se toma una muestra al azar de 256 personas. De esta muestra, el 20% de las personas lleva gafas graduadas y el 80% restante no. Calcula el intervalo de confianza aproximado para la proporción poblacional de las personas que llevan gafas graduadas para un nivel de confianza del 95%. 52.- (Andalucía, Junio, 1998) Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios: 95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110 Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una ley normal de varianza 25 y media desconocida: a.- ¿Cuál es la distribución de la media muestral? b.- Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional. 53.- (Islas Baleares, Junio, 1998) Se supone que la estatura de los chicos de 18 años de cierta población sigue una distribución normal de media 162 cm y desviación típica 12 cm. Se toma una muestra al azar de 100 de estos chicos encuestados y se calcula la media. ¿Cuál es la probabilidad de que esta media esté entre 159 y 165 cm? 54.- (Madrid, Junio, 1998) Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue una distribución normal con media µ =100 meses y σ = 12 meses. Determínese el mínimo tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad de 0'98, que la vida media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses. 55.- (Zaragoza, Junio, 1998) La desviación típica de la altura de los habitantes de un país es 10 cm. Calcular el tamaño mínimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho país para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1 cm con un nivel de confianza del 99%. ¿Y si el nivel de confianza es del 95%?. Explicar los pasos seguidos para obtener las respuestas.
  • 22. 56.- En una muestra aleatoria de 1000 personas, el 65% están a favor de que el Ministerio de Educación suprima los exámenes de selectividad. Halla el intervalo de confianza al nivel del 99% en que se encontrará la proporción favorable de la población. Sabemos que una encuesta realizada una año antes daba un porcentaje del 68% favorable. a la supresión, ¿cae este valor dentro del intervalo de confianza anterior?. ¿Qué conclusiones se obtienen respecto a la evolución de la opinión sobre este tema? Si la empresa encuestadora quiere un error máximo de 0'025 en la estimación de la proporción favorable con el mismo nivel de confianza, ¿de qué tamaño debería tomar la muestra?.