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NOMBRE ACTIVIDAD:         construcciones geométricas.
                        (Puntos y líneas notables en el triángulo con regla – compas)

Por Construcciones Geométricas se suele entender la geometría que se puede construir con regla sin escala y
compás. La célebre geometría de Euclides (euclidiana) se fundó sobre las construcciones geométricas y a
partir de estas construcciones se han podido fundamentar muchas teorías de la geometría.
La restricción para el uso del compás y la regla sin escala, exclusivamente, en el estudio de la geometría fue
establecida por primera vez por los griegos. Fue motivada por su deseo de mantener a la geometría como
una ciencia sencilla y atractivamente estética. Para ellos, la introducción de instrumentos adicionales habría
destruido el valor de la geometría como un ejercicio creativo, intelectual y analítico, el introducir otros
elementos era considerado indigno de un pensador. Los griegos no estaban interesados en las aplicaciones
prácticas de sus construcciones, estaban fascinados en encontrar el mayor número de construcciones
posibles con el solo uso de los instrumentos a los cuales se habían autorrestringido.

COMPETENCIA:

     •   Conocer la utilidad de una regla y un compás dentro de construcción de los diferentes elementos
         geométricos, de modo que se pueda diferenciar entre construir y dibujar.
     •   Construir e identificar los segmentos especiales de un triángulo.
     •   Desarrollar la intuición del estudiante, facilitando una visión global del problema, que permite, en
         muchos casos, obtener una solución con un grado de aproximación bastante aceptable.

RED DE CONCEPTO (S):
Punto colineales, segmento, recta, ángulo y tipos de ángulos, triángulos, bisectriz, bisección, altura,
mediatriz, mediana, perpendicularidad, incentro, baricentro, circuncentro, ortocentro, circunferencia.
MATERIALES PARA REALIZAR LA ACTIVIDAD:
Compás, regla, transportador, 6 hojas de 70x50 ,lápiz grafito y lápices de colores .
DESCRIPCION DE LA ACTIVIDAD.

En esta actividad se construirán las líneas notables del triángulo, que son la bisectriz, la mediana, la altura y
la mediatriz; con sus respectivos puntos notables como el incentro, baricentro, ortocentro y circuncentro.
Todos ellos serán construidos con el método creativo y lógico de regla compás.

Para el desarrollo de la práctica se le entrega al estudiante el protocolo de construcción donde se describe
los pasos para que él utilizando la regla y el compás explore, identifique, construya, piense y muestre las
diferentes construcciones geométricas.

Elementos dados:

Segmento AB : 30 cm


                                     Ángulo A:

                                     Ángulo B:




                                     PROTOCOLO DE CONSTRUCCION.

1. Construcción de un triángulo dado un lado y los dos ángulos adyacentes.
2. Construcción de las bisectrices y el incentro.




Profesora Srta. Yanira Castro Lizana                                                             Página 1
•    Con el vértice A como centro y un radio conveniente (menor que la magnitud del segmento
             AB ), construya un arco que intersecte los lados del ∠A en D y en E.
        •    Con D y E como centros y un mismo radio, construya arcos que se intersecten en F.
        •    Trace AF . y prolónguela hasta cortar el segmento BC en G.
        •    AG es la bisectriz del ∠CAB

        Realice el mismo procedimiento para cada ángulo, teniendo en cuenta que el punto donde se
        intersectan las tres bisectrices es el incentro y es el centro de una circunferencia inscrita en el
        triangulo. Utilice el compás para construir la circunferencia y compruebe la teoría.

3. Construcción de las medianas y el baricentro.




    •   Con los vértices A y B como centros y un radio mayor que la mitad del segmento AB , construya
        dos arcos que se intersectan en H y J.
    •   Ubique la regla sobre los puntos H y J, y encuentre el punto M que corta al segmento AB ( M es el
        punto medio del segmento AB )
    •   Trace CM
    •   CM es la mediana respecto al lado AB .
    Repita los pasos anteriores para cada lado del triángulo y recuerde que el punto donde se cortan las
    medianas es el baricentro.

4. Construcción de las mediatrices y el circuncentro.




    •   Con los vértices A y B como centros y un radio mayor que la mitad del segmento AB , construya
        dos arcos que se intersectan en H y J.
    •   Trace HJ que intersecte a AB en M.
    •    HM es la mediatriz de AB
    Repita el procedimiento anterior y tenga en cuenta que las mediatrices solo se prolongan hasta el punto
    en donde se cortan, este punto en común es llamado circuncentro y es el centro de la circunferencia
    circunscrita en el triángulo. Construya el círculo con el compás y evidencie lo dicho.



Profesora Srta. Yanira Castro Lizana                                                        Página 2
5.   Construcción de las alturas y el ortocentro.




     •   Con C como centro y un radio suficientemente grande, construya un arco que corte a AB en P y Q.
     •   Con P y Q como centros y un radio mayor que la mitad de PQ , construya arcos que se intersecten
         en R.
     •   Trace CR que intersecta a AB en N.
     •   CN en la altura con respecto al lada AB .

     Repita los pasos anteriores para cada lado del triángulo y recuerde que el punto donde se cortan las
     alturas en un triángulo es denominado ortocentro.

6.   Construcción de la recta de Euler.




     •   Construir nuevamente el triángulo inicial y sobre poner sobre el los puntos notables del baricentro,
         circuncentro y ortocentro, y demostrar si estos puntos son colineales.


PREGUNTAS.

     •   ¿En qué tipos de triángulos los cuatro puntos notables del triángulo coinciden?
     •   ¿Un triángulo se puede graficar con dos ángulos de 100°?
     •   Grafique un triángulo de lados 4cm, 12cm y 17cm ¿Analice que sucede con el triángulo y justifique?
     •   ¿En los triángulos isósceles el ortocentro y el baricentro coinciden?
     •   ¿Si ubico la punta de un lápiz sobre el baricentro de un triángulo, el triángulo se quedara quieto o
         en movimiento?
     •   ¿Cómo hayo el centro de la circunferencia circunscrita en un triángulo?



CONCLUSIONES.

El estudiante debe redactar mínimo tres conclusiones acerca del trabajo que acaba de realizar.




Profesora Srta. Yanira Castro Lizana                                                          Página 3
DEFINICIÓN DE CONCEPTOS A UTILIZAR EN CLASE.

         Puntos colonineales Tres o más puntos son colineales cuando al pasar una recta ésta
pasa por todos los puntos. Es decir, están en la misma dirección. No son colineales si al pasar una
recta al menos uno de los puntos se encuentra fuera de la recta.

        La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que
divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
Incentro se denomina al arco de la circunferencia inscrita
en un radio, y equidista de sus tres lados.

         En geometría, bisección está la división algo en
dos porciones iguales, generalmente por una línea, que
entonces se llama a bisector. Los tipos lo más a menudo
posible considerados de bisectores son bisectores del segmento y bisectores del ángulo.
         Mediana Segmento de línea del vértice de un
triángulo al punto medio del lado opuesto.
El baricentro es el punto donde se cortan las tres medianas de un
triángulo.



        Una altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado
opuesto (o su prolongación).
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.




       La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y
es perpendicular al él.
Las mediatrices de un triángulo son cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por
su punto medio.




                        El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices.

                        El circuncentro es el centro de una circunferencia circunscrita al
                        triángulo.




Profesora Srta. Yanira Castro Lizana                                                    Página 4

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  • 1. NOMBRE ACTIVIDAD: construcciones geométricas. (Puntos y líneas notables en el triángulo con regla – compas) Por Construcciones Geométricas se suele entender la geometría que se puede construir con regla sin escala y compás. La célebre geometría de Euclides (euclidiana) se fundó sobre las construcciones geométricas y a partir de estas construcciones se han podido fundamentar muchas teorías de la geometría. La restricción para el uso del compás y la regla sin escala, exclusivamente, en el estudio de la geometría fue establecida por primera vez por los griegos. Fue motivada por su deseo de mantener a la geometría como una ciencia sencilla y atractivamente estética. Para ellos, la introducción de instrumentos adicionales habría destruido el valor de la geometría como un ejercicio creativo, intelectual y analítico, el introducir otros elementos era considerado indigno de un pensador. Los griegos no estaban interesados en las aplicaciones prácticas de sus construcciones, estaban fascinados en encontrar el mayor número de construcciones posibles con el solo uso de los instrumentos a los cuales se habían autorrestringido. COMPETENCIA: • Conocer la utilidad de una regla y un compás dentro de construcción de los diferentes elementos geométricos, de modo que se pueda diferenciar entre construir y dibujar. • Construir e identificar los segmentos especiales de un triángulo. • Desarrollar la intuición del estudiante, facilitando una visión global del problema, que permite, en muchos casos, obtener una solución con un grado de aproximación bastante aceptable. RED DE CONCEPTO (S): Punto colineales, segmento, recta, ángulo y tipos de ángulos, triángulos, bisectriz, bisección, altura, mediatriz, mediana, perpendicularidad, incentro, baricentro, circuncentro, ortocentro, circunferencia. MATERIALES PARA REALIZAR LA ACTIVIDAD: Compás, regla, transportador, 6 hojas de 70x50 ,lápiz grafito y lápices de colores . DESCRIPCION DE LA ACTIVIDAD. En esta actividad se construirán las líneas notables del triángulo, que son la bisectriz, la mediana, la altura y la mediatriz; con sus respectivos puntos notables como el incentro, baricentro, ortocentro y circuncentro. Todos ellos serán construidos con el método creativo y lógico de regla compás. Para el desarrollo de la práctica se le entrega al estudiante el protocolo de construcción donde se describe los pasos para que él utilizando la regla y el compás explore, identifique, construya, piense y muestre las diferentes construcciones geométricas. Elementos dados: Segmento AB : 30 cm Ángulo A: Ángulo B: PROTOCOLO DE CONSTRUCCION. 1. Construcción de un triángulo dado un lado y los dos ángulos adyacentes. 2. Construcción de las bisectrices y el incentro. Profesora Srta. Yanira Castro Lizana Página 1
  • 2. Con el vértice A como centro y un radio conveniente (menor que la magnitud del segmento AB ), construya un arco que intersecte los lados del ∠A en D y en E. • Con D y E como centros y un mismo radio, construya arcos que se intersecten en F. • Trace AF . y prolónguela hasta cortar el segmento BC en G. • AG es la bisectriz del ∠CAB Realice el mismo procedimiento para cada ángulo, teniendo en cuenta que el punto donde se intersectan las tres bisectrices es el incentro y es el centro de una circunferencia inscrita en el triangulo. Utilice el compás para construir la circunferencia y compruebe la teoría. 3. Construcción de las medianas y el baricentro. • Con los vértices A y B como centros y un radio mayor que la mitad del segmento AB , construya dos arcos que se intersectan en H y J. • Ubique la regla sobre los puntos H y J, y encuentre el punto M que corta al segmento AB ( M es el punto medio del segmento AB ) • Trace CM • CM es la mediana respecto al lado AB . Repita los pasos anteriores para cada lado del triángulo y recuerde que el punto donde se cortan las medianas es el baricentro. 4. Construcción de las mediatrices y el circuncentro. • Con los vértices A y B como centros y un radio mayor que la mitad del segmento AB , construya dos arcos que se intersectan en H y J. • Trace HJ que intersecte a AB en M. • HM es la mediatriz de AB Repita el procedimiento anterior y tenga en cuenta que las mediatrices solo se prolongan hasta el punto en donde se cortan, este punto en común es llamado circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo. Construya el círculo con el compás y evidencie lo dicho. Profesora Srta. Yanira Castro Lizana Página 2
  • 3. 5. Construcción de las alturas y el ortocentro. • Con C como centro y un radio suficientemente grande, construya un arco que corte a AB en P y Q. • Con P y Q como centros y un radio mayor que la mitad de PQ , construya arcos que se intersecten en R. • Trace CR que intersecta a AB en N. • CN en la altura con respecto al lada AB . Repita los pasos anteriores para cada lado del triángulo y recuerde que el punto donde se cortan las alturas en un triángulo es denominado ortocentro. 6. Construcción de la recta de Euler. • Construir nuevamente el triángulo inicial y sobre poner sobre el los puntos notables del baricentro, circuncentro y ortocentro, y demostrar si estos puntos son colineales. PREGUNTAS. • ¿En qué tipos de triángulos los cuatro puntos notables del triángulo coinciden? • ¿Un triángulo se puede graficar con dos ángulos de 100°? • Grafique un triángulo de lados 4cm, 12cm y 17cm ¿Analice que sucede con el triángulo y justifique? • ¿En los triángulos isósceles el ortocentro y el baricentro coinciden? • ¿Si ubico la punta de un lápiz sobre el baricentro de un triángulo, el triángulo se quedara quieto o en movimiento? • ¿Cómo hayo el centro de la circunferencia circunscrita en un triángulo? CONCLUSIONES. El estudiante debe redactar mínimo tres conclusiones acerca del trabajo que acaba de realizar. Profesora Srta. Yanira Castro Lizana Página 3
  • 4. DEFINICIÓN DE CONCEPTOS A UTILIZAR EN CLASE. Puntos colonineales Tres o más puntos son colineales cuando al pasar una recta ésta pasa por todos los puntos. Es decir, están en la misma dirección. No son colineales si al pasar una recta al menos uno de los puntos se encuentra fuera de la recta. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. Incentro se denomina al arco de la circunferencia inscrita en un radio, y equidista de sus tres lados. En geometría, bisección está la división algo en dos porciones iguales, generalmente por una línea, que entonces se llama a bisector. Los tipos lo más a menudo posible considerados de bisectores son bisectores del segmento y bisectores del ángulo. Mediana Segmento de línea del vértice de un triángulo al punto medio del lado opuesto. El baricentro es el punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo. Una altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación). Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular al él. Las mediatrices de un triángulo son cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio. El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices. El circuncentro es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo. Profesora Srta. Yanira Castro Lizana Página 4