1. Congruencias y semejanzas
de figuras planas
Srta. Yanira Castro Lizana

2. ¿Cómo son las figuras
mostradas?
Son idénticas
2

3. Ej
emplos de Congruencia
 .
ES TA S S I S ON F I GU R A S CON GR U EN TES
ES TA S S I S ON F I GU R A S CON GR U EN TES
ES TA S N O S ON F I GU R A S CON GR U N TES

4. Congruencia
 .
 D o figu so co e s cu
s ras n ngru nte ando tie n la m a
ne ism
fo a y tam o e de si al co carlas u so
rm añ , s cir, lo na bre
o so co
tra n incide s e to su e te
nte n da x nsión.

5. Criterios de congruencia

6. Triángulos congruentes
 Dos triángulos son congruentes si y sólo
si sus partes correspondientes son
congruentes.
A D
B C E F
ABC ≅ DEF

7. Definición: Dos triángulos ABC y DEF
son correspondientes si:
 Sus lados correspondientes son iguales
 Sus ángulos correspondiente son iguales.
 En la figura
AB = ED;BC = DF ; AC = EF
C F D
γ γ β
α β
α
A B
E

8. POSTULADOS DE CONGRUENCIA
 Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son
respectivamente congruentes con los de otro, entonces los
triángulos son congruentes.
 Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son
congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de
otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
 Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son
respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre
ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
 Criterio LLA: Si el lado más largo del triangulo, junto con otro
lado de éste, y el ángulo superior del lado más largo del triángulo
son congruentes con los del otro triangulo, entonces los
triángulos son congruentes.

9. Postulado LLL
 Si los lados de un triángulo son congruentes
con los lados de un segundo triángulo,
entonces los triángulos son congruentes.
A D
B C E F
ABC ≅ DEF

10. Postulado ALA
 Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son
congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro
triángulo, los triángulos son congruentes.
B
A
C
E
D
ABC ≅ CDE

11. Postulado AAL
 Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo
son congruentes con dos ángulos y el lado no incluido
de otro triángulo, los triángulos son congruentes.
A
D F
B C
E
ABC ≅ EFD

12. Postulado LAL
 Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son
congruentes a dos lados y el ángulo incluido de otro
triángulo, entonces los dos triángulos son
congruentes.
B E
A C D
F
ABC ≅ DEF

13.  Ejemplos:
 1) En la figura, se tiene un triángulo
ABC isósceles ( AC = BC) y se ha
dividido su base AB en 4 partes iguales.
¿Cuáles triángulos son congruentes?

14.  2) Dado el triángulo rectángulo de lados a,b y c, se
han construido las figuras que están a sus lados
copiándolo varias veces y colocándolo en diferentes
posiciones.
 Analiza los ángulos que son congruentes en las
distintas posiciones. ¿Podrías deducir que el cuadrado
que se forma es congruente en ambas figuras?

17. PROPORCIONALIDAD DE
SEGMENTOS

19. TEOREMA DE THALES

20. TEOREMA DE THALES

22. PROPIEDAD BASE
MEDIA
B
AC
MN =
M N
2
A C
MN // AC
22

23. FIGURAS SEMEJANTES

24. ¿Cómo son las figuras mostradas?
Son proporcionales
Son semejantes
24

25. S emej
anza
• Dos figuras que tienen la misma forma,
aun con diferentes dimensiones, se
llaman semejantes.
• Dos figuras son semejantes si sus
ángulos correspondientes son iguales y
sus lados correspondientes
proporcionales.
• Los elementos que se corresponden
(puntos, segmentos, ángulos …) se
llaman homólogos.

26.  Dos figuras del
plano son
semejantes si los
cocientes de de los
segmentos
determinados por
pares cualesquiera
de puntos
correspondientes
son iguales.
ML
es la razón de semejanza
M 'L '

27. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y
los ángulos iguales.
a b c
El cociente = = =k
a ' b' c'
se llama razón de semejanza.

29. SEMEJANZA
DE TRIÁNGULOS
29

32. Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
A
6m
5m C
4m
B
Multiplica cada uno de los lados por 3.
P
x3
18m
15m
R
Los lados del triángulo se han triplicado. 12m
Q 32

33. Identificamos algunos elementos :
RAZÓN DE SEMEJANZA : 3
LADOS HOMÓLOGOS : AB PQ
BC QR
AC PR
Además:
Si la altura relativa al lado AC mide a, podemos
afirmar que la altura relativa a su lado homólogo PR mide
3a.
Cualquier longitud (lados y líneas notables) en el triángulo
ABC se triplica en el triángulo PQR.
33

34. ∼
¿Cuál es el símbolo que se utiliza para
representar la semejanza de dos triángulos?

35. Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden
alineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud conocida.

36. Distancias o alturas aplicando semejanza
 Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas
habitualmente por las guías y scouts, para estimar alturas y
distancias, recurriendo a la semejanza de triángulos.
 En este caso, es necesario que la persona pueda observar el
extremo superior del árbol reflejado en el espejo.

37. CASOS DE SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS
37

38. Criterios de semejanza de triángulos
 existen algunos principios que nos
permiten determinar si dos triángulos
son semejantes sin necesidad de medir
y comparar todos sus lados y todos sus
ángulos. Estos principios se conocen
con el nombre de criterios de
semejanza de triángulos

39. Existen tres criterios de
semejanza de triángulos
1. AA ( ángulo-ángulo)
2. LLL (lado-lado-lado)
3. LAL (lado-ángulo-lado)

40. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
POSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza.
Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos ángulos correspondientes
congruentes, entonces el tercero también será congruente y los
triángulos son semejantes”.
Criterio LAL de semejanza.
Teorema: “ Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo
congruente comprendido entre lados proporcionales”.
Criterio LLL de semejanza.
Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son
proporcionales, entonces los triángulos son semejantes".

41. I. Primer criterio AA
 Dos triángulos que tienen los dos
ángulos congruentes son semejantes
entre sí.
A A´
α´
α
β γ
C B
β´ γ´
C’ B´
Es decir: Si α = α´ , β = β´ de lo anterior se deduce que γ = γ´
Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´

42. Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
65
65 25
25
¡SI!
Por que al tener dos de
sus ángulos
congruentes, cumplen
con el criterio AA

43. II. Segundo criterio LLL
 Dos triángulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre sí.
A A´
a b b´
a´
C B
c
Es decir: C’ B´
c´
a b c
a´ = b´ = c´ =K
El cociente obtenido de
comparar los lados
homólogos entre sí
Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´ recibe el nombre de
razón de semejanza.

44. Ejemplo
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
Verifiquemos si las medidas de los P
lados son proporcionales B 1,5
C
3,5
1,5 3,5 5 7
3 = 7 = 10 5
Efectivamente , así es, ya que A 10
los productos “cruzados” son
iguales
1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5
3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Q
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por
criterio LLL 3
R

45. III. Tercer criterio LAL
 Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales
y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son
semejantes entre sí.
A A´
a
α a´
C B
c α´
C’ c´ B´
Es decir:
a c
a´ = c´ y α = α´
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ A´B´C´

46. Ejemplo
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
A D
9
E
3 = 4 3
9 12
C
B 4
Efectivamente así es,
ya que los productos
12
“cruzados” son
iguales
3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque,
¿Los ángulos formados por tal como se señala en el
estos dos lados son dibujo, ambos son rectos
congruentes?
F
Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES

47. Algunas aplicaciones de
estos conceptos

48. Ejercicio
 Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y
halla la razón de semejanza.
 a) 8 cm, 10 cm, 12 cm
b) 52 cm, 65 cm, 78 cm
Representemos el ejercicio Efectivamente, al calcular
los productos “cruzados”,
65
podemos ver la
12 proporcionalidad entre las
8
78 medidas de los lados
respectivos
10
52 •10 = 8 • 65 = 520
52 65 • 12 = 10 •78 = 780
Comprobemos que las medidas de los
lados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de
semejanza se calcula una
52 = 65 = 78 = 6,5 de las razones
8 10 12 65 : 10 = 6,5
Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL

49. Ejercicio
 Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1.
¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?.
x=9
Representamos la situación
5
3
12 = y
4 z =15
Luego, debe ocurrir:
X Y Z 3 X=3
3 = 4 = 5 = 1 =3 Entonces: X= 3· 3 = 9
3
Y
Escala de 4 =3 Y = 4 · 3 =12
ampliación La razón de
semejanza es 3 Z =3 Z = 5 · 3 = 15
5

50. Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados
de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso
afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?.
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
20 12 efectuar los productos
50 “cruzados”
30x16=480 y 40x12=480
30 además
16 40x20=800 y 16x50=800
40
Comprobemos que las medidas de los
Para calcular la razón de
lados homólogos son proporcionales semejanza se calcula una
de las razones
50 : 20 = 2,5
30 = 40 = 50
12 16 20

51. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué
altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5
metros?(Haz un dibujo del problema).
Son semejantes
por que cumplen el
p criterio AA, tienen
iguales el ángulo
o recto y el ángulo
s 3m de elevación que
t x forman los rayos
solares con el
e suelo
2m sombra
4,5m
Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra
son semejantes, por lo tanto
X= 3 • 4,5 = 6,75m
3 2 De donde
Formamos la proporción
x = 4,5
2

52. Para terminar una pequeña
demostración

53. Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC
B
A C
D
E
Demostración
Afirmaciones Razones
∠ABC ≅ ∠CDE Por ser ángulos alternos internos entre //
∠BAC ≅ ∠CDE Por ser Ángulos alternos internos entre //
Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al
criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son
semejantes