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A L G E B R A
CONCEPTOS BÁSICOS:

1.  Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una constante literal o
    numérica. Ejemplos: 3x2y ; 45 ; m
               En todo término algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numérico y factor literal.
2. Grado de un término: Se denomina grado de un término algebraico a la suma de los exponentes de su
    factor literal.
   Ejercicios:
   Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente numérico, factor literal
y grado:

            Ejercicio         Signo          C. numérico            F. literal            Grado
            – 5,9a2b3c        menos              5,9                  a2b3c              2+3+1=6

                3 4 5
           −     hk
               3
               abc

               xy 2
                4
            – 8a4c2d3


3.   Expresiones algebraicas: Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de
     adición, uno o más términos algebraicos.
     Ejemplo:

                           2
                             ab 2 −5ab +6c
                           3


4.   Cantidad de términos: Según el número de términos que posea una expresión algebraica se denomina:
            Monomio : Un término algebraico              : a2bc4 ; –35z
            Binomio : Dos términos algebraicos           : x + y ; 3 – 5b
            Trinomio : Tres términos algebraicos        : a + 5b -19
            Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y + 6z – 8x2

5. Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el                      mayor grado de
    alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero.

Ejercicios:
    Determina el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones algebraicas:

            Expresión algebraica             Grado de la expresión               Número de términos
                  2x – 5y3                          1; 3 = 3                         2: binomio



Srta. Yanira Castro Lizana                                                                            Página 1
x2 y3
                         4
                  a – b + c – 2d
                  m2 + mn + n2

                x + y2 + z3 – xy2z3


                                VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:


             Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico
 a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión
para determinar su valor final.

              Veamos un ejemplo:
              Valoremos la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando x = 2; y = –1


No olvidar:


                           1     Reemplazar cada variable por el valor
                                 asignado.
                           2     Calcular las potencias indicadas
                           3     Efectuar las multiplicaciones y divisiones
                           4     Realizar las adiciones y sustracciones



Veamos el ejemplo propuesto: 5x2y – 8xy2 – 9y3

5 x 2 y − 8 xy 2 − 9 y 3 = 5 ⋅ 2 2 ⋅ ( − 1) − 8 ⋅ 2 ⋅ ( − 1) − 9 ⋅ ( − 1)
                                                           2                3



                    =   5 ⋅ 4 ⋅ (−1) − 8 ⋅ 2 ⋅ 1 − 9 ⋅ (−1) =

                    =−    20 − 16 + 9 = −27
                                                                                 Es el valor
                                                                                 numérico
Ejercicios:
Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando:

       Expresión algebraica             Reemplazar :a = 2; b =5; c=–3; d=–1; f = 0         Resultado



       5a 2 − 2bc − 3d

Srta. Yanira Castro Lizana                                                                       Página 2
4 ab – 3 bc – 15d


        6a 3 f

        2a 2 − b 3 − c 3 − d 5
        3(a − b) + 2(c − d )

        c b a
          + −
        3 5 2
        (b + c) 2

                                              Términos semejantes:

Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos que tienen igual
factor literal.
Ejemplos:


    En la expresión 5 a2b + 3abx + 6 a2b3 – 7 a2b , 5 a2b es semejante con – 7 a2b

                                     2 23                             2 23
    En la expresión x2y3 – 8xy2 +     xy   , x2y3 es semejante con     xy
                                     5                                5
Reducir términos semejantes consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal que
les es común.

Ejemplos:

1)   –3 a2b + 2ab + 6 a2b – 7 ab = 3 a2b – 5 ab

     3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 3 2   13 3 2 1 2 3
2)     x y − x y + x y + x y =    x y + x y
     4      2     3     3      12      6
     3 1 9 + 4 13                           1 2 −3+ 4 1
      + =     =                        −     + =     =
     4 3  12    12                          2 3   6    6
Ejercicios:

1)   8x – 6x + 3x – 5x + 4 – x =

2) 4,5 a − 7 b − 1,4 b + 0,6 a + 5,3b + b =



Srta. Yanira Castro Lizana                                                                        Página 3
3 2         1    1
3)     m − 2mn + m 2 − mn + 2mn − 2m 2 =
     5          10    3
     2 2         3      3     2       1      1
4)     x y + 31 + xy 2 − y 3 − x 2 y − xy 2 + y 3 − 6 =
     5           8      5     5       5      4

Uso de paréntesis:        ( ) [ ] {}
En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones.
Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan:

    Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.

    Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él.

Ejemplos:

1) 2a + { − x + a − 1} − { a + x − 3} =                              2) 3x – (6x + 1) + (x –3 )
     2a − x + a − 1 − a − x + 3 = 2a − 2 x + 2                             3x – 6x – 1 + x – 3 = –2x – 4

Observación:

    Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a eliminar desde el más
     interior.

Ejemplo:
                                       {      [                 (
                               m 2 − − 7mn + − n 2 − m 2 − 3mn + 2n 2 =                  )]}
                                       {       [
                               m 2 − − 7mn + − n 2 − m 2 + 3mn − 2n 2 =                   ]}
                                m2   − {− 7mn − n         2
                                                              − m 2 + 3mn − 2n 2 =   }
                          m 2 + 7 mn + n 2 + m 2 − 3mn + 2n 2 = 2m 2 + 4mn + 3n 2
Ejercicios: ( desarrolla en tu cuaderno)

1)   − 4 − ( x − y ) − 5 + ( x + 3 y ) − 2 − { x − 3 y + 5 − [ − x + y − 1 + 2 + ( x − y ) ]} =

2)   − { + [ ( x − y + z ) ]} + { − [ ( z + x − y ) ]} − [ { − ( x + y )} ] =

                                               Multiplicación en álgebra

Para multiplicar expresiones algebraicas , debes observar los siguientes pasos:


1    Multiplicar los signos ( ley de los signos para la multiplicación )
2    Multiplicar los coeficientes numéricos.

Srta. Yanira Castro Lizana                                                                                 Página 4
3     Multiplicar las letras ( multiplicación de potencias de igual base ).



     Estos pasos son válidos para todos los casos de multiplicación en álgebra; esto es, monomios por
      monomios, monomios por polinomios y polinomios por polinomios.
                                                Ejemplos:

monomios por monomios                              monomios por polinomios                 polinomios por polinomios

                                                                                              ( 2a − 3b )( 3a − 7b ) =
( -4a5b4)•( 12ab2)= –48 a6b6
                                             7 a4b • ( 2 a3 – a b + 5 b3 )=
                                                                                   6a2–14ab –9ab +21b2 =
                                                  7         5 2       4 4
                                             14 a b – 7 a b + 35 a b
                                                                                                  6a2 –23ab +21b2



( 6 m5n-3p-4) • ( 5 mn-1p2)=
                                             ( a x + b y – c z ) • (- x y )=
                                                                                           ( x − 2) ( x 2 + 2 x + 4) =
                                                           – ax2y – bxy2 + cxyz   x3+2x2 +4x–2x2 –4x –8=
                                                                                                  x3 –8
                                                                                  (m                      )(              )
                30 m6n–4p–2
                                                                                       2
                                                                                           − 2mn − 8n 2 m 3 − 3m 2 + 2 =
                                               2 2 a − 3   5 a −1 5 5a 
3 4  2 3 1 5 4                            − m         ⋅− m + m  =
 a b  ⋅  ab  = a b                         5           4         2                            ¡ hazlo tú !
4     3      2
                                                  1 3a − 4
                                                    m        − m 7 a −3
                                                  2


      Ejercicios propuestos:

      Reduce:

1.    7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b =

2.    35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y =

3.     24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c =

4.         3m - 7n + 5m - 7n + 5n + 3n - 8p - 5n + 8p =

5.       4p - 7q + 5p - 12p - 11q + 8p - 11q + 12r + p + 5r =

5.    2a2 + 3b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 - 5 b2 =

7.       7a - 1,8 b + 5 c - 7,2a + 5a - 6,1b - 8a + 12b =

8.      8a + 5,2 b - 7,1a + 6,4 b + 9a - 4,3b + 7b - 3a =

           2                 1           2
9.     3m -  n + 5m - 7n + 5 n + 3n -      p - 5n + 8p =
           5                 2           5
         1       3
10.     2 a2 + 3 b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 – 5 b2 =
         2       5
11.     5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) =

Srta. Yanira Castro Lizana                                                                                           Página 5
12.        3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) =

13.        8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) =

14.        9x + 13 y - 9z - [7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z }] =

15.        -( x - 2y ) - [ { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) }] =

16.        6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =
                   1             3        3                  3
17.        8x - ( 1  y + 6z - 2 x ) - ( -3 x + 20y ) - ( x +   y+z)=
                   2             4        5                  4
                  1                   1            1                  
18.        9x + 3    y - 9z -  7 x − − y + 2 z −  5 x − 9 y + 5z − 3z  =
                  2                   2            3                  


Multiplica:


      a) 2ab(3a2+3ab-5b2)=

      b) (3x+2)(x+5)=

      c) (x-2)(x2+5x-3)=

      d) (x-3)(x-2y)=

      e) (x2-2y2)(x4+2x2y2+4y4)=

      f)     (x-2)(x+3)(x+2)=

      g) (a-b) (xn-yn)=

      h) 2xy(3y-x-1)2=




Srta. Yanira Castro Lizana                                                          Página 6

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  • 1. A L G E B R A CONCEPTOS BÁSICOS: 1. Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una constante literal o numérica. Ejemplos: 3x2y ; 45 ; m En todo término algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numérico y factor literal. 2. Grado de un término: Se denomina grado de un término algebraico a la suma de los exponentes de su factor literal. Ejercicios: Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente numérico, factor literal y grado: Ejercicio Signo C. numérico F. literal Grado – 5,9a2b3c menos 5,9 a2b3c 2+3+1=6 3 4 5 − hk 3 abc xy 2 4 – 8a4c2d3 3. Expresiones algebraicas: Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos algebraicos. Ejemplo: 2 ab 2 −5ab +6c 3 4. Cantidad de términos: Según el número de términos que posea una expresión algebraica se denomina: Monomio : Un término algebraico : a2bc4 ; –35z Binomio : Dos términos algebraicos : x + y ; 3 – 5b Trinomio : Tres términos algebraicos : a + 5b -19 Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y + 6z – 8x2 5. Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el mayor grado de alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero. Ejercicios: Determina el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones algebraicas: Expresión algebraica Grado de la expresión Número de términos 2x – 5y3 1; 3 = 3 2: binomio Srta. Yanira Castro Lizana Página 1
  • 2. x2 y3 4 a – b + c – 2d m2 + mn + n2 x + y2 + z3 – xy2z3 VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. Veamos un ejemplo: Valoremos la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando x = 2; y = –1 No olvidar: 1 Reemplazar cada variable por el valor asignado. 2 Calcular las potencias indicadas 3 Efectuar las multiplicaciones y divisiones 4 Realizar las adiciones y sustracciones Veamos el ejemplo propuesto: 5x2y – 8xy2 – 9y3 5 x 2 y − 8 xy 2 − 9 y 3 = 5 ⋅ 2 2 ⋅ ( − 1) − 8 ⋅ 2 ⋅ ( − 1) − 9 ⋅ ( − 1) 2 3 = 5 ⋅ 4 ⋅ (−1) − 8 ⋅ 2 ⋅ 1 − 9 ⋅ (−1) = =− 20 − 16 + 9 = −27 Es el valor numérico Ejercicios: Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando: Expresión algebraica Reemplazar :a = 2; b =5; c=–3; d=–1; f = 0 Resultado 5a 2 − 2bc − 3d Srta. Yanira Castro Lizana Página 2
  • 3. 4 ab – 3 bc – 15d 6a 3 f 2a 2 − b 3 − c 3 − d 5 3(a − b) + 2(c − d ) c b a + − 3 5 2 (b + c) 2 Términos semejantes: Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos que tienen igual factor literal. Ejemplos:  En la expresión 5 a2b + 3abx + 6 a2b3 – 7 a2b , 5 a2b es semejante con – 7 a2b 2 23 2 23  En la expresión x2y3 – 8xy2 + xy , x2y3 es semejante con xy 5 5 Reducir términos semejantes consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal que les es común. Ejemplos: 1) –3 a2b + 2ab + 6 a2b – 7 ab = 3 a2b – 5 ab 3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 3 2 13 3 2 1 2 3 2) x y − x y + x y + x y = x y + x y 4 2 3 3 12 6 3 1 9 + 4 13 1 2 −3+ 4 1 + = = − + = = 4 3 12 12 2 3 6 6 Ejercicios: 1) 8x – 6x + 3x – 5x + 4 – x = 2) 4,5 a − 7 b − 1,4 b + 0,6 a + 5,3b + b = Srta. Yanira Castro Lizana Página 3
  • 4. 3 2 1 1 3) m − 2mn + m 2 − mn + 2mn − 2m 2 = 5 10 3 2 2 3 3 2 1 1 4) x y + 31 + xy 2 − y 3 − x 2 y − xy 2 + y 3 − 6 = 5 8 5 5 5 4 Uso de paréntesis: ( ) [ ] {} En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan:  Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.  Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él. Ejemplos: 1) 2a + { − x + a − 1} − { a + x − 3} = 2) 3x – (6x + 1) + (x –3 ) 2a − x + a − 1 − a − x + 3 = 2a − 2 x + 2 3x – 6x – 1 + x – 3 = –2x – 4 Observación:  Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a eliminar desde el más interior. Ejemplo: { [ ( m 2 − − 7mn + − n 2 − m 2 − 3mn + 2n 2 = )]} { [ m 2 − − 7mn + − n 2 − m 2 + 3mn − 2n 2 = ]} m2 − {− 7mn − n 2 − m 2 + 3mn − 2n 2 = } m 2 + 7 mn + n 2 + m 2 − 3mn + 2n 2 = 2m 2 + 4mn + 3n 2 Ejercicios: ( desarrolla en tu cuaderno) 1) − 4 − ( x − y ) − 5 + ( x + 3 y ) − 2 − { x − 3 y + 5 − [ − x + y − 1 + 2 + ( x − y ) ]} = 2) − { + [ ( x − y + z ) ]} + { − [ ( z + x − y ) ]} − [ { − ( x + y )} ] = Multiplicación en álgebra Para multiplicar expresiones algebraicas , debes observar los siguientes pasos: 1 Multiplicar los signos ( ley de los signos para la multiplicación ) 2 Multiplicar los coeficientes numéricos. Srta. Yanira Castro Lizana Página 4
  • 5. 3 Multiplicar las letras ( multiplicación de potencias de igual base ).  Estos pasos son válidos para todos los casos de multiplicación en álgebra; esto es, monomios por monomios, monomios por polinomios y polinomios por polinomios. Ejemplos: monomios por monomios monomios por polinomios polinomios por polinomios ( 2a − 3b )( 3a − 7b ) = ( -4a5b4)•( 12ab2)= –48 a6b6 7 a4b • ( 2 a3 – a b + 5 b3 )= 6a2–14ab –9ab +21b2 = 7 5 2 4 4 14 a b – 7 a b + 35 a b 6a2 –23ab +21b2 ( 6 m5n-3p-4) • ( 5 mn-1p2)= ( a x + b y – c z ) • (- x y )= ( x − 2) ( x 2 + 2 x + 4) = – ax2y – bxy2 + cxyz x3+2x2 +4x–2x2 –4x –8= x3 –8 (m )( ) 30 m6n–4p–2 2 − 2mn − 8n 2 m 3 − 3m 2 + 2 =  2 2 a − 3   5 a −1 5 5a  3 4  2 3 1 5 4 − m  ⋅− m + m  =  a b  ⋅  ab  = a b  5   4 2  ¡ hazlo tú ! 4  3  2 1 3a − 4 m − m 7 a −3 2 Ejercicios propuestos: Reduce: 1. 7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b = 2. 35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y = 3. 24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c = 4. 3m - 7n + 5m - 7n + 5n + 3n - 8p - 5n + 8p = 5. 4p - 7q + 5p - 12p - 11q + 8p - 11q + 12r + p + 5r = 5. 2a2 + 3b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 - 5 b2 = 7. 7a - 1,8 b + 5 c - 7,2a + 5a - 6,1b - 8a + 12b = 8. 8a + 5,2 b - 7,1a + 6,4 b + 9a - 4,3b + 7b - 3a = 2 1 2 9. 3m - n + 5m - 7n + 5 n + 3n - p - 5n + 8p = 5 2 5 1 3 10. 2 a2 + 3 b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 – 5 b2 = 2 5 11. 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) = Srta. Yanira Castro Lizana Página 5
  • 6. 12. 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) = 13. 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) = 14. 9x + 13 y - 9z - [7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z }] = 15. -( x - 2y ) - [ { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) }] = 16. 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} = 1 3 3 3 17. 8x - ( 1 y + 6z - 2 x ) - ( -3 x + 20y ) - ( x + y+z)= 2 4 5 4 1   1  1   18. 9x + 3 y - 9z -  7 x − − y + 2 z −  5 x − 9 y + 5z − 3z  = 2   2  3   Multiplica: a) 2ab(3a2+3ab-5b2)= b) (3x+2)(x+5)= c) (x-2)(x2+5x-3)= d) (x-3)(x-2y)= e) (x2-2y2)(x4+2x2y2+4y4)= f) (x-2)(x+3)(x+2)= g) (a-b) (xn-yn)= h) 2xy(3y-x-1)2= Srta. Yanira Castro Lizana Página 6