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GUÍA          N°1 DE RAICES Y FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

HISTORIA DE LAS RAICES
El Papiro de Ajmeed datado en 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios
extraían raíces cuadradas.
En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada
fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente
mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y
3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un
método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.
David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice, acerca de la situación existente: "En Europa
esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo
(1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada".
El símbolo de la raíz cuadrada ( ) fue introducido en 1525 por el matemático Christoph
Rudolff para representar esta operación que aparece en su libro Coss, siendo el primer
tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra
r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto
actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. También se conjetura que pudiese
haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba anteriormente para representarlo,
donde posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando.
Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz
cuadrada de números negativos, para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero
no será hasta 1777 cuando Euler simbolice la raíz cuadrada de -1 con la letra i, dando así cabida al
desarrollo de los números complejos.


I. Calculo las siguientes raíces de números positivos y negativos, sin calculadora.
                                                                             64                                 729
1) 196                                2)   3
                                                   216              3)   3                            4)   3
                                                                             27                                1000
5)   7
          1                           6)   3
                                                   512              7)   5
                                                                              1                       8)   4
                                                                                                               1
         128                                        8                        243                               81
          64
9)   6                               10)       3
                                                   − 27             11)      5
                                                                                 − 32                 12)      5
                                                                                                                       − 0,00032
         729
13)   125                            14)                           15) 5 − 1                         16) 169 − 25
         3   −                                 3
                                                   − 0,064
      216                                                                 3125
17) 169 − 25                         18) 2 64 + 36                  19) 2 64 + 2 36                   20) 169 − 144

II. Efectúo las operaciones indicadas:
      1) 3 2 ⋅ 2 3                                               2) 3 2 ⋅ 2 18
      3) 25 10 : 5 2                                                   4) 3 48 : 6 12
         1
      5)    48 ⋅ 6 12                                                     6)          72 : 3 2
         3
      7) 3 + 2 5 ⋅ 3 − 2 5                                                8)      3
                                                                                      5 2 −7 ⋅3 5 2 + 7
      9)     4
                 3 2 − 2 ⋅4 3 2 + 2                                 (
                                                                 10) 2 7 + 3 5 e) 5 3 − 2 5) (
                                                                                            2
                                                                                                                   )   2


                                                   2
                                                                             4   3 7        7
      11)  12 + 4 5 − 12 − 4 5 
                                                                  12)       2 − −  − 3 1−
                                                                           5   4 12       8
                2
             6−
                5       2 7
                          − +1
      13)     −6      1 3 5                                                  14)           7−4 3 + 7+4 3
                    +
            2 5 4 2       2
             − ·            +1
            3 3 15        3
15)      3
             − 1· ( − 1) + −2· ( − 3) − 1 + 9 + ( − 3) : 3 − 27
                     3           3                           2
                                                                                       (         )
                                                                                 16) 3 + 2 11 − 6 2




Srta. Yanira Castro Lizana                                                                                                         Página 1
17)               25 + 121 − 3 2 − 3 3 · 81 + 5                            3
                                                                               −8 ·           16 · 64          18)           32 + 7 ·                      32 − 7
                 mx n            m5x
19)      n          · 6m x −1 ·n
                 2                3
III. Aplico las propiedades de las raíces y potencias para reducir las expresiones, no estimo valores:
1)       3· 5                                              2) 2a a m · 3b a 1− m                               3)       a · 5b
                                                                       4 1
4)   5
         3·5 − 27                                      5)               ·                                       6) 2 + 2 · 2 − 2
                                                                       3 2

7)       m2 − n2 ·
                              1
                             m−n
                                                       8)      (       x−y     )   2
                                                                                                                    (
                                                                                                               9) 6 − 2 x + 1                  )   2




10)      (       x+2 − x−2             )   2
                                                      11) 2
                                                            ax
                                                            3
                                                               ·
                                                                 a x −3
                                                                   2
                                                                                                                12) 2 5 5 − 3 − 1 (                        )
13) 3 a 3 x −1 · 2 a 1−3 x         − 2a 7 m
                                     m
                                        ·
                                           2a
                                                      14)      7  15) 2 + 3 − 2 2                                       (                              )
                                            a    a         1     1
IV. Utilizo las propiedades: a·b = a · b ;    =       y       =     , y estimo las raíces dadas; sabiendo
                                            b    b         b      b
que: 2 = 1, 41 ; 3 = 1, 73 ; 5 = 2, 24 y 7 = 2, 65 (sin usar calculadora)


1)        9                2) 12                                       3) 16                    4) 20          5) 27                           6) 28
7)       36                8) 45                                       9) 48                    10) 49         11) 50                          12) 6
13) 15                     14) 14                                      15)         42           16) 120        17)          0,5                18) 0,25
             1
19)                        20)         0,125                           21)         0,2
             3
V. Racionaliza las siguientes expresiones:

         1                                          1− a                                                7                                  3
1)                                         2)                                                   3)                           4)
             a                                1+ a                                                   7+ 7                             2− 3
                 4                             1    1                                                  a+ b                             x
5)                                         6)     +                                             7)                           8)
     2−3 2                                      a    b                                               2 a− b                            3
                                                                                                                                           x4
             a                                       7− 5                                              2 18 − 2 8                        2
9)       5
                                           10)                                                  11)                          12)
     2 32a                                           7+ 5                                                8 + 18                       2 3+3 2

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1) Calcula:
                                           (                   )
                                  5
a)  15 − 2 + 100  − − 1 − 3 − 27
                                                                   2
                                                                     +               256
                 
                                                      −2                                 −2       −1
                                          1                          1  1  1 
                                 −1    2 −                            +  −  · 
                 ( − 2) · 1 
                       5
                                    +
                                           2
                                             −1
                                                           +
                                                                       2  2   10 
                         2             3                                  2
                                          
b)                                       4
                                               −2
                  2    1
            −1+  :                       −1
                  5    3  1   6
                            · −  ·− 
                     1         36   5 
                1−
                     4
                                        20
2) ¿A qué es igual la expresión n n + 2         con n > 1 ? 3) ¿ A qué es equivalente la expresión
                                  4 + 2 2n+2
                            1           1
  3− 2 2 ?     4) Si a =        ,b=         , calcular el valor de: 3a2 + 5ab – 3b2
                         2− 3        2+ 3




Srta. Yanira Castro Lizana                                                                                                                                          Página 2

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Guía raíces cuadradas funciones

  • 1. GUÍA N°1 DE RAICES Y FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA HISTORIA DE LAS RAICES El Papiro de Ajmeed datado en 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas. En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos. David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice, acerca de la situación existente: "En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada". El símbolo de la raíz cuadrada ( ) fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación que aparece en su libro Coss, siendo el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. También se conjetura que pudiese haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba anteriormente para representarlo, donde posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando. Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números negativos, para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuando Euler simbolice la raíz cuadrada de -1 con la letra i, dando así cabida al desarrollo de los números complejos. I. Calculo las siguientes raíces de números positivos y negativos, sin calculadora. 64 729 1) 196 2) 3 216 3) 3 4) 3 27 1000 5) 7 1 6) 3 512 7) 5 1 8) 4 1 128 8 243 81 64 9) 6 10) 3 − 27 11) 5 − 32 12) 5 − 0,00032 729 13) 125 14) 15) 5 − 1 16) 169 − 25 3 − 3 − 0,064 216 3125 17) 169 − 25 18) 2 64 + 36 19) 2 64 + 2 36 20) 169 − 144 II. Efectúo las operaciones indicadas: 1) 3 2 ⋅ 2 3 2) 3 2 ⋅ 2 18 3) 25 10 : 5 2 4) 3 48 : 6 12 1 5) 48 ⋅ 6 12 6) 72 : 3 2 3 7) 3 + 2 5 ⋅ 3 − 2 5 8) 3 5 2 −7 ⋅3 5 2 + 7 9) 4 3 2 − 2 ⋅4 3 2 + 2 ( 10) 2 7 + 3 5 e) 5 3 − 2 5) ( 2 ) 2 2 4 3 7 7 11)  12 + 4 5 − 12 − 4 5    12) 2 − −  − 3 1−   5 4 12  8 2 6− 5 2 7 − +1 13) −6 1 3 5 14) 7−4 3 + 7+4 3 + 2 5 4 2 2 − · +1 3 3 15 3 15) 3 − 1· ( − 1) + −2· ( − 3) − 1 + 9 + ( − 3) : 3 − 27 3 3 2 ( ) 16) 3 + 2 11 − 6 2 Srta. Yanira Castro Lizana Página 1
  • 2. 17) 25 + 121 − 3 2 − 3 3 · 81 + 5 3 −8 · 16 · 64 18) 32 + 7 · 32 − 7 mx n m5x 19) n · 6m x −1 ·n 2 3 III. Aplico las propiedades de las raíces y potencias para reducir las expresiones, no estimo valores: 1) 3· 5 2) 2a a m · 3b a 1− m 3) a · 5b 4 1 4) 5 3·5 − 27 5) · 6) 2 + 2 · 2 − 2 3 2 7) m2 − n2 · 1 m−n 8) ( x−y ) 2 ( 9) 6 − 2 x + 1 ) 2 10) ( x+2 − x−2 ) 2 11) 2 ax 3 · a x −3 2 12) 2 5 5 − 3 − 1 ( ) 13) 3 a 3 x −1 · 2 a 1−3 x − 2a 7 m m · 2a 14) 7 15) 2 + 3 − 2 2 ( ) a a 1 1 IV. Utilizo las propiedades: a·b = a · b ; = y = , y estimo las raíces dadas; sabiendo b b b b que: 2 = 1, 41 ; 3 = 1, 73 ; 5 = 2, 24 y 7 = 2, 65 (sin usar calculadora) 1) 9 2) 12 3) 16 4) 20 5) 27 6) 28 7) 36 8) 45 9) 48 10) 49 11) 50 12) 6 13) 15 14) 14 15) 42 16) 120 17) 0,5 18) 0,25 1 19) 20) 0,125 21) 0,2 3 V. Racionaliza las siguientes expresiones: 1 1− a 7 3 1) 2) 3) 4) a 1+ a 7+ 7 2− 3 4 1 1 a+ b x 5) 6) + 7) 8) 2−3 2 a b 2 a− b 3 x4 a 7− 5 2 18 − 2 8 2 9) 5 10) 11) 12) 2 32a 7+ 5 8 + 18 2 3+3 2 GUIA COMPLEMENTARIA 1) Calcula: ( ) 5 a)  15 − 2 + 100  − − 1 − 3 − 27 2   + 256   −2 −2 −1  1 1  1  1  −1 2 −  +  −  ·  ( − 2) · 1  5   + 2 −1 + 2  2   10  2 3 2   b) 4 −2  2 1 −1+  : −1  5 3  1   6 · −  ·−  1  36   5  1− 4 20 2) ¿A qué es igual la expresión n n + 2 con n > 1 ? 3) ¿ A qué es equivalente la expresión 4 + 2 2n+2 1 1 3− 2 2 ? 4) Si a = ,b= , calcular el valor de: 3a2 + 5ab – 3b2 2− 3 2+ 3 Srta. Yanira Castro Lizana Página 2